VEKTORRECHNUNG - hs-esslingen.deulmet/mathe/vorlesungen/VR_dan-2011.pdf · Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen

VektoralgebraAnwendungen der Vektorrechnung

VEKTORRECHNUNG

Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet

Hochschule Esslingen

Marz 2011

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Overview

1 Vektoralgebra

2 Anwendungen der Vektorrechnung

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Was sind Vektoren ?

Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung undOrientierung.

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Was sind Vektoren ?


Physikalische Interpretation als Krafte, Geschwindigkeiten etc.(Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik ..)

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Was sind Vektoren ?


Physikalische Interpretation als Krafte, Geschwindigkeiten etc.(Mechanik, Festigkeitslehre, Elektrotechnik ..)

Vektoren werden algebraisch definiert als geordneteZahlenpaare oder Zahlentripel.

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Was sind Vektoren ?

In der Physik unterscheiden wir zwei Typen von Großen:

Skalare Großen, die durch die Angabe einer Zahl beschriebenwerden konnen: Zeit, Masse, Volumen etc.

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Was sind Vektoren ?



Vektorielle Großen, die durch mehrere Zahlenangabenbestimmt werden, z.B. Kraft: nicht nur Große (Betrag)sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analogGeschwindigkeit etc.

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Was sind Vektoren ?



Vektorielle Großen, die durch mehrere Zahlenangabenbestimmt werden, z.B. Kraft: nicht nur Große (Betrag)sondern auch Richtung und Orientierung sind wichtig - analogGeschwindigkeit etc.

Nach dem physikalischen Vorbild des Kraftbegriffs definierenwir:Definition: Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Streckeim Raum. Dabei werden diejenigen

”Pfeile” als gleich

angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinanderubergehen.

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Was sind Vektoren ?

Bezeichnung: −→aVektoren besitzen Lange (Betrag), Richtung und Orientierung.Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung undOrientierung ubereinstimmen.Der Vektor mit dem Betrag Nullheisst Nullvektor −→o .

−→a

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Was sind Vektoren ?

Definiert werden hier sogenannte”freie“ Vektoren; der

Anfangspunkt des Pfeils ist beliebig.In den Anwendungen sind noch gebrauchlich:

linienfluchtige Vektoren: der Anfangspunkt des Pfeils kann aufeiner Geraden gewahlt werden.

ortsfeste Vektoren mit wohlbestimmtem Anfangspunkt

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Addition von Vektoren

Definition: Zwei Vektoren werden addiert, indem man denAnfangspunkt des einen Vektors im Endpunkt des anderen Vektorsanhangt.

−→a

−→b

−→b

−→a−→a −−→

b

−→a +−→b

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Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Definition: Unter s · −→a mit s > 0 verstehen wir einen Vektor,dessen Richtung und Orientierung mit −→a ubereinstimmt, aber mitder s-fachen Lange von −→a . Ist s negativ, so dreht sich nochzusatzlich die Orientierung um.

−→a

3−→a

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Rechenregeln

−→a +−→b =

−→b + −→a

s(−→a +−→b ) = s−→a + s

−→b

(s + t)−→a = s−→a + t−→a|s · −→a | = |s| · |−→a |

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Punkte und Vektoren

Zwei Punkte P1(x1|y1|z1) und P2(x2|y2|z2) definieren den Vektor

−−−→P1P2 =

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

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Algebraisierung der Vektorrechnung

Der geometrische Vektorbegriff soll zahlenmaßig erfasst werden.Dazu wahlen wir drei Vektoren der Lange 1 aus, die paarweiseaufeinander orthogonal stehen. Weiter legen wir die Reihenfolge(gegenseitige Orientierung) mit der

”Rechtsschrauben-Regel” fest.

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Alle Vektoren im Raum konnen als Linearkombination derEinheitsvektoren

−→i ,

−→j ,

−→k dargestellt werden, die wir uns in den

Achsen eines kartesischen Koordinatensystems denken.

−→a = a1−→i + a2

−→j + a3

−→k =

a1

a2

a3

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Die Grundrechenoperationen ubertragen sich damit auf dieKomponenten:Gleichheit von Vektoren

a1

a2

a3

=

b1

b2

b3

⇐⇒

a1 = b1

a2 = b2

a3 = b3

Addition und Subtraktiona1

a2

a3

±

b1

b2

b3

=

a1 ± b1

a2 ± b2

a3 ± b3

S-Multiplikation

s ·a1

a2

a3

=

s · a1

s · a2

s · a3

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Lange (Betrag) eines Vektors

x1

x2

x3

−→a

−→a ∗a1

a2

a3

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Lange (Betrag) eines Vektors

|−→a ∗| =√

a21 + a2

2

|−→a | =√

|−→a ∗|2 + a23 =

√a21 + a2

2 + a23

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Anwendung: Normierung eines Vektors

Normierung eines Vektors −→a auf die Lange 1. Einsvektor −→e a.

−→e a =−→a|−→a |

Vektor der Lange 1 mit Richtung und Orientierung wie −→a .

Praxisanwendung: Computer Aided Design and Manufacturing(CAD/CAM), Prozesskette Karosserie

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Die Richtung eines 2D Vektors

α =Winkel zwischen x1-Achse und −→a :

� x1

�

x2

��

��

��

��

−→a =

(a1

a2

)

α

α =

{arctan a2

a1, a1 > 0

arctan a2a1

+ π , a1 < 0

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Die Richtung eines 3D Vektors. Richtungscosinusse

αk =Winkel zwischen xk -Achse und −→a ; cos αk = ak

|−→a | .

��

��

��

x1

�x2

�x3

��

��

��

��

−→a =

a1

a2

a3

α1

α2

α3

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Beispiele :

−→a =

(1−1

); α = −π/4

−→b =

1

1√2

; α1 = α2 = π/3, α3 = π/4

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Fur einen Vektor −→a und seine Richtungscosinusse cos αk gilt:

cos2 α1 + cos2 α2 + cos2 α3 = 1

sowie

−→e a =

cos α1

cos α2

cos α3

und −→a = |−→a | · −→e a

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Das Skalarprodukt

Das physikalische Experiment: Arbeit, die langs einer Strecke −→svon der Kraft

−→F geleistet wird. Nur der Anteil der Kraft langs des

Weges ist relevant.

A = |−→F | · |−→s | · cos ϕ

ϕ

−→F

−→s∣∣∣−→F ∣∣∣ · cos ϕ

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Das Skalarprodukt

Definition: Unter dem Skalarprodukt der Vektoren −→a und−→b

versteht man das Produkt aus den Betragen der beiden Vektoren−→a und

−→b multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen

Winkels. −→a · −→b = |−→a | · |−→b | · cos ϕ

Daraus ergibt sich fur den Winkel ϕ :

−→a · −→b > 0 0 ≤ ϕ < π2

−→a · −→b < 0 π2 < ϕ ≤ π

−→a · −→b = 0 ϕ = π2

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Eigenschaften des Skalarproduktes

−→a · −→b =−→b · −→a

−→a · (−→b + −→c ) = −→a · −→b + −→a · −→cs · (−→a · −→b ) = (s · −→a ) · −→b = −→a · (s · −→b )

−→a · (−→b · −→c ) �= (−→a · −→b ) · −→c−→a · −→b = 0 ⇒ −→a = −→o ∨−→

b = −→o ∨−→a ⊥ −→b

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Eigenschaften des Skalarproduktes

Es gibt keine Umkehrung des Skalarproduktes, d.h. die Beziehung

−→a · −→x = b

lasst sich nicht nach −→x auflosen.

−→a

−→x

Alle −→x besitzen dieselbe Projektion auf −→a . Die Spitzen allerVektoren mit −→a · −→x = b liegen in einer Ebene.

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Skalarprodukt in Koordinatendarstellung

−→a · −→b = (a1−→i + a2

−→j + a3

−→k ) · (b1

−→i + b2

−→j + b3

−→k )

= a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3a1

a2

a3

·

b1

b2

b3

= a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3

Sind die Koordinaten zweier Vektoren bekannt, so kann mit Hilfedes Skalarprodukts der Winkel zwischen den beiden Vektorenbestimmt werden.

−→a · −→b = |−→a | · |−→b | · cos ϕ ⇒

cos ϕ =−→a · −→b

|−→a | · |−→b |= a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a2

2 + a23 ·

√b2

1 + b22 + b2

3

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Projektionen

Projektion des Vektors −→a auf die Richtung von−→b :

skalar: ba =−→a · −→b|−→b |

vektoriell:−→b a =

−→a · −→b|−→b |2

· −→b

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Vektorprodukt(Kreuzprodukt)

Das physikalische Experiment:Bewegt sich eine elektrische Ladung im Magnetfeld, so wirkt aufdiese eine Kraft. Diese Kraft wirkt senkrecht auf dieBewegungsrichtung und senkrecht auf die Richtung desMagnetfelds. Dabei ist nur der Anteil des Magnetfelds relevant,der senkrecht zur Bewegungsrichtung ist.Das Drehmoment in der Mechanik wird ebenfalls alsVektorprodukt definiert.

ϕ

−→B

−→v

∣∣∣−→B ∣∣∣ · sinϕ

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Definition: Das mit −→a ×−→b bezeichnete Vektorprodukt steht

senkrecht auf den Vektoren −→a und−→b , bildet in der Reihenfolge

−→a ,−→b , −→a ×−→

b ein Rechtssystem und hat den Betrag

|−→a ×−→b | = |−→a | · |−→b | · | sinϕ|, ϕ = ∠(−→a ,

−→b )

−→a

−→b

−→a ×−→b

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ϕ

−→a

−→b

|−→b | · sinϕ

Der Betrag |−→a ×−→b | kann als die von den Vektoren −→a ,

−→b

aufgespannten Parallelogrammflache gedeutet werden.

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Eigenschaften des Vektorproduktes

−→a ×−→b = −−→

b ×−→a−→a × (

−→b + −→c ) = −→a ×−→

b + −→a ×−→cs · (−→a ×−→

b ) = (s · −→a ) ×−→b = −→a × (s · −→b )

−→a × (−→b ×−→c ) �= (−→a ×−→

b ) ×−→c−→a ×−→

b = −→o ⇒ −→a = −→o ∨−→b = −→o ∨−→a ‖ −→

b

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Eigenschaften des Vektorproduktes

Es gibt keine Umkehrung des Vektorprodukts, d.h. die Beziehung

−→a ×−→x =−→b

lasst sich nicht nach −→x auflosen.

−→a

−→x

Die Spitzen aller Vektoren mit −→a ×−→x =−→b liegen auf einer

Geraden parallel zu −→a und senkrecht zu−→b .

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Vektorprodukt in Koordinatendarstellung

−→a ×−→b = (a1

−→i + a2

−→j + a3

−→k ) × (b1

−→i + b2

−→j + b3

−→k ).

−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2)

−→i + (a3b1 − a1b3)

−→j + (a1b2 − a2b1)

−→k .

oder a1

a2

a3

×

b1

b2

b3

=

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

.

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Vektorprodukt in Koordinatendarstellung

Merkregel mit”Determinantenschema” :

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i

−→j

−→k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣

=−→i ·

∣∣∣∣ a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣︸︷︷︸a2b3−a3b2

− −→j ·

∣∣∣∣ a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣︸︷︷︸a1b3−a3b1

+−→k ·

∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣︸︷︷︸a1b2−a2b1

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Spatprodukt

Definition: Wird ein Vektor −→a mit dem Vektorpodukt von zwei

Vektoren−→b ×−→c skalar multipliziert, so nennt man diese

Kombination Spatprodukt.

Schreibweise: [ −→a ,−→b ,−→c ] = −→a · (−→b ×−→c )

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Spatprodukt

Das Spatprodukt lasst sich als (orientiertes) Volumen des von dendrei Vektoren aufgespannten Spats interpretieren.

|−→a · (−→b ×−→c )| = |−→a | · |−→b ×−→c |︸︷︷︸AP

· | cos ϕ|

mit ϕ = ∠(−→a ,−→b ×−→c )

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Spatprodukt

−→a

−→b

−→c

−→b ×−→c

h

Ap

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Spatprodukt in Koordinatendarstellung

−→a · (−→b ×−→c ) =

a1

a2

a3

·

b2c3 − b3c2

b3c1 − b1c3

b1c2 − b2c1

= a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1) ⇒

[ −→a ,−→b ,−→c ] =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

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Eigenschaften des Spatprodukts

Aus der Eigenschaft [ −→a ,−→b ,−→c ] = 0 folgt, dass alle

Vektoren in einer Ebene liegen.

Wird beim Spatprodukt die Reihenfolge der Vektorenverandert, so kann sich hochstens das Vorzeichen andern.Speziell gilt:

Werden zwei Vektoren vertauscht (dritter Vektor bleibt aufseiner Position), so andert sich das Vorzeichen.Bei

”zyklischer Vertauschung“ bleibt das Vorzeichen erhalten.

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Lineare Abhangigkeit

Zwei Vektoren −→a ,−→b �= −→

0 nennt man

linear abhangig, wenn sie parallel sind; d.h. wenn gilt:−→b = λ−→alinear unabhangig, wenn sie nicht parallel sind.−→a und

−→b spannen dann (bei gleichem Anfangspunkt) eine

Ebene auf.

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Lineare Abhangigkeit

Drei Vektoren nennt man

linear abhangig, wenn alle drei Vektoren in einer Ebene liegen

Es gilt dann −→c = λ−→a + µ−→b

Kriterium: [ −→a ,−→b ,−→c ] = 0

linear unabhangig, wenn sie (bei gleichem Anfangspunkt) den3D-Raum aufspannen.

Kriterium: [ −→a ,−→b ,−→c ] �= 0

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Zerlegung in zwei Komponenten

Sind die Vektoren −→a ,−→b , −→c linear abhangig, so kann der Vektor

−→c in Komponenten in die Richtungen von −→a ,−→b zerlegt werden.

Das lineare Gleichungssystem:

−→c = λ1 · −→a + λ2 · −→b

besitzt dann eine eindeutige Losung λ1, λ2.

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Zerlegung in zwei Komponenten

Beispiel:

−→a =

2

10

,

−→b =

1

0−2

,−→c =

5

2−2


−→c = λ1 · −→a + λ2 · −→b

besitzt die Losung λ1 = 2, λ2 = 1.

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Zerlegung in drei Komponenten

Sind die Vektoren −→a ,−→b , −→c linear unabhangig, so kann jeder

Vektor −→x in Komponenten in die Richtungen von −→a ,−→b , −→c

zerlegt werden. Das lineare Gleichungssystem:

−→x = λ1 · −→a + λ2 · −→b + λ3 · −→c

besitzt dann eine eindeutige Losung λ1, λ2, λ3.

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Zerlegung in drei Komponenten

Beispiel:

−→a =

2

10

,

−→b =

1

0−2

,−→c =

1−11

,−→x =

1

05


−→x = λ1 · −→a + λ2 · −→b + λ3 · −→c

besitzt die Losung λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 1.

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Gerade in Parameterdarstellung

x1

x2

x3

−→x 0

−→x

−→u

g

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Gerade in Parameterdarstellung

Gerade in Parameterdarstellung (Punkt-Richtungsform)

g : −→x = −→x 0 + t · −→u , t ∈ IR

Beispiel: Gerade durch die Punkte A(1|2|3), B(−1|0|2).

−→u =−→AB =

1

23

−

−1

02

=

2

21

−→x =

x1

x2

x3

=

1

23

+ t ·

2

21

=

1 + 2t

2 + 2t3 + t

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Ebene in Parameterdarstellung

x1

x2

x3

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E : −→x = −→x 0 + λ−→u + µ−→v λ, µ ∈ IRBeispiel : Ebene durch A(1| − 1|1), B(2|1|4),C (2| − 3| − 1).

−→x 0 =−→OA =

1−11

−→u =−→AB =

2

14

−

1−11

=

1

23

−→v =−→AC =

2−3−1

−

1−11

=

1−2−2

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Ergebnis

−→x =

x1

x2

x3

=

1−11

+ λ

1

23

+ µ

1−2−2

=

1 + λ + µ−1 + 2λ − 2µ1 + 3λ − 2µ

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Ebene in Gleichungsform

−→x 0

−→x−→u

−→v−→n

−→n

E

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Eine Ebene lasst sich auch durch eine lineare Gleichung in x1, x2,x3 beschreiben. Dazu multiplizieren wir die Parameterdarstellungscalar mit dem Normalenvektor der Ebene −→n = −→u ×−→v

−→x = −→x 0 + λ−→u + µ−→v

−→x · −→n = −→x 0 · −→n + λ−→u · −→n + µ−→v · −→n

−→x · −→n = −→x 0 · −→n

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Beispiel

−→x =

1−11

+ λ

1

23

+ µ

1−2−2

−→n = −→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣−→e 1

−→e 2−→e 3

1 2 31 −2 −2

∣∣∣∣∣∣ =

2

5−4

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Beispiel

−→x · −→n = −→x 0 · −→n

⇐⇒ 2

5−4

·

x1

x2

x3

=

2

5−4

·

1−11

2x1 + 5x2 − 4x3 = + − 7

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Schnitt Gerade-Ebene

Die Parameterdarstellung der Geraden eingesetzt in dieEbenengleichung ergibt eine lineare Gleichung fur denSchnittparameter t .Ist die Ebene ebenfalls in Parameterform gegeben, so bestimmtman zunachst die Ebenengleichung und verfahrt weiter nachobigem Schema.

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Beispiel

g : −→x =

1

01

+ λ

1

1−2

⇐⇒

x1 = 1 + λx2 = λx3 = 1 − 2λ

E : x1 + 2x2 + x3 = 3

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=⇒ (1 + λ) + 2λ + (1 − 2λ) = 3 =⇒ λ = 1

=⇒ −→s =

1

01

+

1

1−2

=

2

1−1

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Schnitt Ebene-Ebene

Die Ebenen E1, E2 seien durch ihre Koordinatengleichung gegeben.Die Losung dieses linearen Gleichungssystems ergibt eineeinparametrige Losung, d.h. die Parameterdarstellung derSchnittgeraden.

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Schnitt Ebene-Ebene

Beispiel :E1 : x1 + 2x2 + x3 = 3E2 : 4x1 − x2 + 2x3 = 3(

1 2 1 34 −1 2 3

)∼

(1 2 1 30 −9 −2 −9

)⇒

x1 = 1 − 5λx2 = 1 − 2λx3 = 9λ

−→x =

1

10

+ λ

−5−29

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Schnitt Gerade-Gerade

Zwei Geraden im Raum besitzen nur dann einen Schnittpunkt,wenn sie in einer Ebene liegen und nicht parallel sind. DasGleichsetzen der beiden Parameterdarstellungen (mitunterschiedlichen Bezeichnungen fur die Parameter) ergibt einlineares Gleichungssystem fur die beiden Parameter.

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Schnitt Gerade-Gerade

Beispiel :

g1 :

x1

x2

x3

=

−1

3−1

+ t1 ·

−2

31

g2 :

x1

x2

x3

=

5−2−3

+ t2 ·

−8

42

Ergebnis: S(1|0| − 2)

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Kurven in Parameterdarstellung

Definition :

Kurve−−→x(t) =

x1(t)

x2(t)x3(t)

, t ∈ IR

Tangentialvektor˙−−→

x(t) = d−−→x(t)dt =

x1(t)

x2(t)x3(t)

, t ∈ IR

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Kurven in Parameterdarstellung

Beispiele :

Kreis−−→x(t) =

(r · costr · sint

), t ∈ [0, 2π]

Zykloide−−→x(t) =

(r · t − r · sintr − r · cost

), t ∈ [0, 6π]

Schraubenlinie−−→x(t) =

cost

sintt

, t ∈ [0, 4π]

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