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Vektorrechnung - · PDF fileO.SchimmelUMGGreiz Vektorrechnung Def1.4 DerVektor~0 mitj~0j= 0 heißtNullvektor. Def1.5 JederVektor~amitj~aj= 1 heißtEinheitsvektor. Def1.6

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VektorrechnungUnterrichtsinhalte und Beispiele

Olaf Schimmel

1 Grundlegende Vektoroperationen

1.1 Der (geometrische) Begriff des Vektors

Definitionen:

Def 1.1

Die Klasse aller gerichteten Strecken, die die gleiche Lnge, die gleiche Richtung unddie gleiche Orientierung besitzen, heit Vektor.

Schreibweisen sind: ~a,AB.

Def 1.2

Jede einzelne gerichtete Strecke, heit Reprsentant des Vektors.

Abb. 1

Drei Reprsentanten desselben Vektors ~a

Def 1.3

Der Zahlenwert der Lnge eines Reprsentanten eines Vektors heit Betrag des Vek-tors.

Schreibweise: |~a|

Abb. 2

Vektoren und ihre Lngen ~aBeachten Sie: 1 LE muss nicht immer gleich 1 cm sein.

1

O. Schimmel UMG Greiz Vektorrechnung

Def 1.4

Der Vektor ~0 mit |~0| = 0 heit Nullvektor.

Def 1.5

Jeder Vektor ~a mit |~a| = 1 heit Einheitsvektor.

Def 1.6

Zwei Vektoren heien parallel genau dann, wenn sie auf parallelen Geraden liegen.

Schreibweise: ~a||~b.

Def 1.7

Zwei parallele Vektoren knnen entweder gleichgerichtet ~a ~b oder entgegengesetztgerichtet (bzw. antiparallel) ~a ~b sein. (Auch richtig: gleich bzw. entgegengesetztorientiert.)

Abb. 3

Parallele und antiparallele Vektoren.

Def 1.8

Zwei Vektoren heien zueinander entgegengesetzt, wenn sie entgegengesetzt gerichtetsind und gleiche Betrge haben.

Abb. 4

~a und ~b sind entgegengesetzte Vektoren. Wir schreiben: ~b = ~a

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O. Schimmel UMG Greiz Vektorrechnung

1.2 Addition von Vektoren

Def 1.9

Gegeben seien zwei Vektoren ~a und ~b durch ihre Reprsentanten ~a =PP und ~b =

P P .

Der dadurch eindeutig bestimmte Vektor ~a +~b =PP heit Summe der Vektoren ~a

und ~b .

Abb. 5

Die Summe der Vektoren ~a und~b kann man als das Hintereinander-setzen, bzw. als Kette geeigneter Reprsentanten interpretieren.

Gesetze der Addition:Gegeben seien beliebige Vektoren ~a,~b,~c,~0 . So gilt:

Satz 1.1

Existenz eines Nullelementes: ~a+~0 = ~a

Satz 1.2

Kommutativgesetz: ~a+~b = ~b+ ~a

Abb. 6

Kommutativgesetz: In welcher Reihenfolge man die Reprsentantenhintereinandersetzt, spielt fr das Ergebnis keine Rolle.Der Summenvektor entspricht einer Diagonale des Parallelogram-mes, welches von ~a und ~b aufgespannt wird.

Satz 1.3

Assoziativgesetz:(~a+~b

)+ ~c = ~a+

(~b+ ~c

)

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O. Schimmel UMG Greiz Vektorrechnung

Abb. 7

Assoziativgesetz: Auch bei drei Vektoren, spielt es keine Rolle, obman zuerst die Summe der ersten beiden bildet und dazu den drit-ten addiert (roter Weg) oder ob man zum ersten Vektor die Summeaus dem zweiten und den dritten addiert. (blauer Weg)Man knnte die Vektoren auch einzeln nacheinander addieren.

Satz 1.4

Zu jedem Vektor ~a existiert ein eindeutig bestimmter Vektor ~b, so dass gilt: ~a+~b = ~0

Beweis: Existenz:Sei ~a =

PP , dann whlen wir ~b =

P P .

Fr die Summe gilt somit: ~a+~b =PP +

P P =

PP = ~0

Eindeutigkeit:Annahme: Es gibt ~b1 6= ~b2 mit ~a+~b1 = ~0 ~a+~b2 = ~0Folgerung:

~b2 = ~b2 +~0

= ~b2 + (~a+~b1)

= (~b2 + ~a) +~b1

= ~0 +~b1

= ~b1

Bemerkung: Wir nennen den Vektor ~b auch den zu ~a inversen Vektor undschreiben ~b = ~a

Satz 1.5

Die Vektorgleichung ~a+ ~x = ~b hat die eindeutige Lsung ~x = ~a+~b = ~b ~a.

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1.3 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

Def 1.10

Das Produkt ~b = ~a aus einer reellen Zahl und einem Vektor ~a wird folgendermaenfestgelegt:

(1) |~b| = | ~a| = || |~a|

(2) > 0 ~b ~a < 0 ~b ~a

Abb. 8

Beispiele fr die Multiplikation Zahl mit Vektor (S-Multiplikation)

Eigenschaften der S-Multiplikation:Gegeben seien reelle Zahlen und , ein Vektor ~a und der Nullvektor ~o. Dann gilt:

Satz 1.6 1 ~a = ~a

Satz 1.7 0 ~a = ~0

Satz 1.8 ~0 = ~0

Satz 1.9 (1) ~a = ~a

Satz 1.10 ( ~a) = ( ) ~a

Satz 1.11 (~a) = ~a

Beweis 1.10: linke Seite:| ( ~a)| = || | ~a| = || || |~a| ( ~a) ~a, wenn sgn() = sgn() ( ~a) ~a, wenn sgn() 6= sgn()

rechte Seite:|( ) ~a| = | | |~a| = || || |~a|( ) ~a ~a, wenn sgn() = sgn()( ) ~a ~a, wenn sgn() 6= sgn()

Wenn = 0 oder = 0, dann entsteht aus 1.10: ~0 = ~0.In allen Fllen sind die rechte und die linke Seite gleich.

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2 Linearkombination von Vektoren

2.1 Begriff der Linearkombination

Def 2.1

Seien {~a1;~a2;~a3; ...;~an} eine Menge von Vektoren und 1;2;3; ...;n beliebige reelleZahlen, dann heit jede Darstellung der Form

1~a1 + 2~a2 + 3~a3 + ...+ n~an

Linearkombination der Vektoren ~a1 bis ~an.

Abb. 9

Beispiel fr eine Linearkombination aus den Vektoren ~a, ~b und ~c.

Beispiel: Drcken Sie die Vektoren fr die Seiten und die Diagonalen desRechtecks ABCD mit Hilfe der gegebenen Vektoren ~p = 1

3

AB und

~q = 34

AD aus.

Lsungen:AB =

DC = 3~p,

AD =

BC = 4

3~q

AC = 3~p+ 4

3~q

BD = 3~p+ 4

3~q

MA =

CM = 3

2~p 2

3~q

DM =

MB = 3

2~p 2

3~q

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O. Schimmel UMG Greiz Vektorrechnung

Durch Linearkombinationen kann man Untersuchungen an geometrischen Figuren fh-ren. Dabei reichen wenige Ausgangsvektoren aus, um alle anderen Vektoren darzustellen.In der Ebene bentigt man zwei und im Raum drei geeignete Ausgangsvektoren.Zu Vereinfachungen der rechnerischen Anstze bentigen wir noch zwei Gesetzmigkei-ten.

Distributivgesetze:

Satz 2.1

Seien , R und ~a ~b Vektoren. Dann gilt:

(1) (+ ) ~a = ~a+ ~a

(2) (~a+~b) = ~a+ ~b

Es folgt noch ein Beispiel aus dem dreidimensionalen Raum.

Beispiel: Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide ABCD.Es gilt: ~u = 1

2

AB, ~v =

AC und ~w = 4

5

AD.

Stellen Sie alle Kantenvektoren durch ~u, ~v und ~w dar.

Lsungen:AB = 2~u,

AD = 5

4~w

BC = 2~u+ ~v

BD = 2~u+ 5

4~w

CD = ~v + 5

4~w

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O. Schimmel UMG Greiz Vektorrechnung

2.2 Lineare Unabhngigkeit von Vektoren

Definitionen

Def 2.2

Die Vektoren ~a1;~a2;~a3; ...;~an heien linear abhngig genau dann, wenn es reelle Zahlen1;2;3; ...;n nicht alle gleich Null so gibt, dass gilt:

~0 = 1~a1 + 2~a2 + 3~a3 + ...+ n~an =n

i=1

i ~ai.

Def 2.3

Wenn sich der Nullvektor nur auf die triviale Weise erzeugen lsst, dass gilt: 1 = 2 =... = n = 0, heien die Vektoren linear unabhngig.

Satz 2.2

Die Vektoren ~a1;~a2;~a3; ...;~an sind linear abhngig genau dann, wenn es mindestens einenunter ihnen gibt, der sich als Linearkombination der anderen darstellen lsst.

Beweis: Richtung :Der Vektor ~ak lsst sich durch die anderen darstellen:~ak = 1~a1 + 2~a2 + 3~a3 + ...+ n~an | ~ak ohne ~ak~0 = 1~a1 + 2~a2 + 3~a3 + ... ak + ...+ n~anWegen k 6= 0 wird der Nullvektor nichtrivial erzeugt, d.h. dieVektoren sind linear abhngig.

Richtung :Die Vektoren sind linear anhngig.Nach Def 2.2 gibt es dann in ~0 = 1~a1 + 2~a2 + 3~a3 + ... + n~anein k 6= 0.Wir rechnen: k~ak:k~ak = 1~a1 + 2~a2 + 3~a3 + ...+ n~an | : (k)

~ak = 1k~a1

2k~a2

3k~a3 ...

nk~an

Der Vektor ~ak lsst sich also aus den anderen linear kombinieren.

Schlussfolgerung:Lsst sich kein Vektor ~ai aus den anderen Vektoren {~a1,~a2, ...,~an} durch Linearkombi-nation erzeugen, so sind die Vektoren linear unabhngig.

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Spezialflle fr zwei und drei Vektoren:

Satz 2.3

Seien ~a und ~b zwei Vektoren mit |~a| 6= 0 und |~b| 6= 0. Dann gilt:

1. Wenn ~a und ~b abhngig sind, dann gilt: ~a||~b und umgekehrt.

2. Wenn ~a und ~b unabhngig sind, also eine Ebene aufspannen, dann kann man jedenVektor ~x dieser Ebene in eindeutiger Weise als Linearkombination aus ~a und ~bdarstellen.

Beweis: Teil 1:Seien ~a und ~b abhngig. Dann gib es eine Zahl mit ~b = ~aDaraus folgt aber sofort ~b||~aUmkehrung analog.

Teil 2:Wir betrachten den Vektor ~x =

OX

Wir zeichnen eine zu ~a parallele Trgergerade a durch O und einezu ~b parallele Trgergerade b durch X. Da a und b nicht parallelsein knnen, sei a b = P . Dann gilt:OP = 1 ~a und

PX = 2 ~b.

MitOX =

OP +

PX = 1 ~a+ 2 ~b gibt es also eine Linearkom-

bination.Eindeutigkeit:Annahme: Es gibt zwei verschiedene Linearkombinationen fr ~x.Also: 1 ~a+ 2 ~b = r ~a+ s ~b mit 1 6= r und 2 6= sDaraus folgt: (1 r) ~a+ (2 s) ~b = ~0Da aber ~a und ~b unabhngig sind, folgt 1 = r und 2 = s, also einWiderspruch.Die Darstellung ist also eindeutig.

Satz 2.4

Wenn drei Vektoren linear unabhngig sind, spannen sie den dreidimensionalen Raumauf und umgekehrt.

Begrndung: Aus Satz 2.3 wissen wir, dass sich jeder Vektor der Ebene aus zweilinear unabhngigen Vektoren kombinieren lsst.Damit sind drei komplanare Vektoren (d.h. Vektoren in einer Ebe-ne) stets linear abhngig und umgekehrt.Wenn sie also unabhngig sind, dann spannen sie den Raum aufund umgekehrt.

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O. Schimmel UMG Greiz Vektorrechnung

2.3 Geometrische Beweise mit Linearkombinationen

Jeder elementargeometrische Satz lsst sich vektoriell beweisen. Eine Gruppe dieser Be-weise fhrt ber Linearkombinationen. Einige Beispiele sollen dies z

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