1

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

MATEMTICAS 4 ESO

OPCIN B

Curso 2013/2014

ACTIVIDADES PARA REALIZAR DURANTE EL VERANO

Alumno:_______________________________________________________________________

ESTOS EJERCICIOS DEBEN REALIZARSE EN HOJAS SUELTAS, CON

PORTADA, NUMERADAS Y BIEN PRESENTADAS.

SE ENTREGARN AL PROFESOR DE MATEMTICAS ANTES DEL

EXAMEN EXTRAORDINARIO DE SEPTIEMBRE, SIN LA ENTREGA DE LAS

ACTIVIDADES REALIZADAS NO SER POSIBLE OBTENER

CALIFICACIN POSITIVA.

2

ARITMTICA

OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS Y FRACCIONES

1. Realiza las siguientes operaciones:

a) 7243 1:518513

b) 431532:4 227

c) 02 25351:32 d) 62 4522516

2. Efecta y simplifica:

a) 16

1

8

1

4

1

2

1 b)

1

5

2

4

32

4

1

5

3

c)

4

1

3

1

2

1

4

3

3

11 d)

20

3

3

2

2

1

4

31

3

1

5

3

e) 3

4:

2

1

4

3

3

2 f)

3

21

3

4

2

1

3

2

g)

3

4

1)2(

3

7

3

1

3

2

h)

10

312

3

1

2

32

i)

3

52

2

11

10

3

5

3 j)

3

1

3

2:

3

1

3

22

3. Calcula:

a)

6

5

9

8

4

3

b)

7

13:

8

1

2

21

c)

14

3

2

1

8

1

2

1

4

3

d)

16

7:

3

5

3

5

2

3

e)

5

2

4

3)4(

3

2

5

1

8

7

f)

5

1

3

1

7

41

5

1

7

3

5

31

g)

2

53

32

24

3

POTENCIAS

4. Calcula el valor de las siguientes potencias.

1. 23

2.

2

5

3

3.

3

3

1

4.

3

24

5.

2

5

2

6. 2151

7. 32

8.

3

4

3

5. Calcula y simplifica las siguientes expresiones, utilizando las propiedades de las potencias cuando sea posible. Dar el resultado en forma de potencia sin exponentes

negativos.

a)

324327

97298125

024

b)

30

122

333

333

c)

13

32

232

ab

baababa

d)

2

1

12

21

21

15

4

3

2

e)

21

23

40575

22515

f)

234

253234

22

222

g)

2

1

2

33

1

h)

2

1

12

21

21

15

4

3

2

i)

232

22

yyx

xyx

j)

038

332

5205

225100

k)

3

12

3

51

3

22

l)

32

32312

ba

abbba

RADICALES

6. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) 43

b) 43 c) 43

d) 41

81

e) 41

81

f)

2

3

1

4

7. Simplifica los siguientes radicales:

a) 10 32

b) 3 243 c) 6

8

3

64

125

b

a

d) 4 14121064 cba

8. Calcula las siguientes operaciones de radicales, simplificando el resultado cuando sea posible.

a)

4 3

6 33 5

ba

abba

b) 43 2422

c)

22

404250

d) 2332 e)

52335212

2

375

5

1

f) 24 33 g) 322322 h) 2332

i) 2712342162

375

5

1

j) 24 33 k) 125553523 l) 4 3 284

m)

6

3 2 abaa

n)

33

9126753

o)

521

4

125

5

425

5

220

2

12

9. Racionalizar:

a) 23

310

b) 5 9

2

c)

352

523

d) 3

2

23

1

e)

322

322

LGEBRA

POLINOMIOS

10. Dados xxxP 23 2 33 xxxQ 2 xxR , calcular:

a) xRxQxP 23

b) xRxQxP3

12

5

11. Calcular y simplificar:

a) 23212 xxx b) 32325312 22 xxxx

c) 142

3

2

5312 3

2

xx

xxx

d) xxxxxx 2222

2

22123

12

12. Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones, utilizando Ruffini cuando sea posible:

a) 12:542 223 xxx b) 2:542 23 xxx

FACTORIZACIN

13. Descomponer en factores los siguientes polinomios:

a) 35 25xx

b) 252 2 xx

c) 652 23 xxx

d) xxx 23 45

e) 4129 2 xx

f) 593 23 xxx

g) 3073 234 xxxx

h) xxxxx 122393 2345

i) 234 18122 xxx

j) 22 2312 xx k) xx 273 3

FRACCIONES ALGEBRAICAS

14. Calcula y simplifica cuando sea posible:

a)

1

12

1

122 x

x

xx

x

x

b)

1

211

2

2

x

xx

x

c)

5

3

250

1

2

32 xxx

d)

4

1

9

1

127

122 xxxx

e)

4

1:

168

22

3

x

x

xx

xx

f)

2

2

3

22

2

1:

2

32

3

2

x

x

x

xx

x

xx

g)

1

1

11:

11

2

2

x

x

x

x

x

xx

h)

1:

2

1

1

112 x

xx

xx

6

ECUACIONES

15. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 158

53

5

32

3

122

xx

x

x

x

x

x

b)

5

1

2

3

4

9

5

2222

xxx

c) 2

18

82

612

2

152

xx

x

x

d) 33

1

9

102

xx

e) 1336

2

2 x

x

f) 9

4

4

9 2

x

g) 12

19

1

12

2 x

x

x

x

x

h) 1

1

22

212

xx

x

x

16. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) xxxx 6510 222 b) 049 2 x

c) 5

2

3

212

4

3 xxx

d) 01323 2 xx

e) 22 1242 xxx

f) 233 9211 xxx g) 0365 224 xxxx h) 044 235 xxx

17. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 125 2 xx

b) xx 13

c) 77 xx

d) 3346 x

e) 3333 xxx

SISTEMAS DE ECUACIONES

18. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

a)

29

1922 yx

xy

b)

42

2

311

yx

yx

c)

7

24522

yx

yxyx

d)

73

222 yx

xy

e)

12

16

xy

yxyx

7

f)

4843`

3

yx

yx

PROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES Y SISTEMAS

19. Calcular los lados de un tringulo rectngulo de permetro 24 cm y cuya hipotenusa mide 2cm ms que el cateto mayor.

20. En una parcela rectangular de 44m de permetro se hace un jardn rectangular bordeado por un camino de 2m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela

sabiendo que el rea del jardn es de 45m2.

21. Calcular el rea de un tringulo rectngulo de permetro 24m y diagonal 10m.

22. Calcular los lados de un tringulo rectngulo sabiendo que su permetro es 30cm y el cateto menor mide 5cm.

23. Calcular la diagonal de un rectngulo sabiendo que su permetro vale 34cm y su rea 60cm

2.

24. Calcular el lado de un tringulo equiltero sabiendo que su rea es de 234 cm .

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

25. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con una incgnita:

a) 7436 xx

b) 562 xx

c) 1164 xx

d) 221332 xxx

e) 1038423 xxx

f) 0333

1x

g) 4322324 xxx

h) xxxx

342

84

5

33

i) 12

37

3

13

4

234

xxx

j) 027

1

2

xxx

k) 6

2

3

52 xx

l) 10

1

5

31

4

1 xxx

m) 5

31

2

17

xxx

n) 73

4

15

336

5

1

xxx

o) 2

4

23

xxx

p) 53632

xxxx

q) 4

1

3

2

2

12

xxx

8

INECUACIONES NO LINEALES CON UNA INCGNITA

26. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incgnita:

a) 0652 xx

b) 0532 xx

c) 012 xx

d) 0242 2 xx

e) 0232 xx

f) 0862 xx

g) 17321 222 xxxx

h) 2434 2 xxx

i) 124 2 xxx

j) 562 xx

k) 0123 xx

l) 03242 22 xx

m) 0562 xx

n) 041 2 x

o) 094 2 x

p) 03

52 x

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCGNITA

27. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incgnita:

a)

04

01

x

x

b)

12

21

x

x

c)

1223

132

xx

xx

d)

102

01

xx

x

e)

12

222

xx

xx

f)

xx

xx

42532

1

242

g)

023

53

102

3

45

x

xxx

INECUACIONES RACIONALES

28. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) 04

3

x

x b) 3

32

13

x

x

9

c) 063

42

x

x

d) 242

53

x

x

e) 05

2

x

x

f) 45

23

x

x

g) 312

86

x

x

ECUACIONES Y SISTEMAS EXPONENCIALES

29. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 321 33 xx

b) 24333 x

c) 1222 5'02 xx

d) 8

12

21 x

e)

12

1

3

13

x

x

f) 17 652

xx

g) 181232 xx

h) 2164 xx

i) 14122

497 xx

j) 03329 xx

k) 033283 12 xx

l) 081329 2 xx

m) 43

13

1

x

x

n) 04254 xx

o) 224 xx

p) 0101616 1 xx

q) 012553052 xx

r) 32024 31 xx

30. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 7222 11 xxx

b) 36333333 4321 xxxxx

c) 198422222 423222122 xxxxx

d) 621612 x

e) 1 521 5 x xx x aa

f) 7aaaa xxx

g) 263 3 3 222 aaaa xxx

31. Resuelve los siguientes sistemas:

a)

3396515

80762531

1

yx

yx

b)

255

255 3

yx

yx

10

c)

952

95212 yx

yx

d)

2433

3633yx

yx

e)

712382

5321

1

yx

yx

f)

132

73211 yx

yx

LOGARITMOS

32. Calcula los siguientes logaritmos.

a) 27

1log 3

b) 2log2

1

c) 2log a

d) 21logb

b

33. Calcula el valor de x, aplicando la definicin de logaritmo.

a) 81log3x

b) 33log3x

c) 9

3log

4

3x

d) 3log81x

e) 3

3log81x

f) 3

3log

4

91x

g) )3(log9

1 x

h) 81log3

3

x

i) 9

1log

33

x

j) 4 3log3

3x

k) 3log77x

l) 7log497x

m) 27log x

n) 2

17log x

o) 3

27log 3 x

p) 4

1

49

1log x

q) 2

1log 2 x

r) 3

1log

81 x

s) 2log 3 4 x

t) 3

4log4

2x

u) 27log7 x

v) 2log 47 x

11

34. Sustituye los puntos suspensivos por igual (=) distinto ( ).

a) 5log7log....57log

b) 5log2....5log 2

c) 5log6log....5

6log

d) 3

5log....5log 3

e) 19log12log....19:12log

f) 7log3....7log 3

g) 8log22log....822log

h) 30log....822log

35. Calcula, utilizando la calculadora, los siguientes logaritmos.

a) 123log5

b) 123log 7

c) 500log5

d) 7log 2

e) 27log 2

f) 7log11

g) 23log

h) 3ln

36. Sabiendo que hN 5log , obteniendo el logaritmo en base 5 de 125

N.

37. Verdadero o falso? Por qu?

a) 5log3log2log

b) 6log3log2log

c) 10log5log15log

d) 3log5log15log

e) 12log1log2log x

f) 310310loglog xx

g) 7log7loglog yxyx

h) 100010310loglog xx

38. Calcula el valor de k en los siguientes casos:

a) xkx 33

1 loglog

b) xkx 327 loglog

c) xkx 33 loglog

d) xkx 39

3loglog

e) 2log3log 32 k

f) 2log2 100logk

ECUACIONES LOGARITMICAS

39. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 522

x

b) 012272 24 xx

c) 3loglog7log x

12

d) 25log5

log 77 x

e) 225log100log xx

f) 1log1log 22 xx

g) xx 2log3log2log

h) 5log112log53log xx

i) 06loglog2 xx

j) 2log23log14log xx

k) 022loglog3 2 xxx

l) 3ln1ln1ln3 2 xx

m) xxxx 1log52log1log32log

n) 05log5log1log 222 xxx

o) 5log5

4loglog4 2

xx

p)

1

32log

563log2

2

x

xx

q) 065log2log2 xx

r) xx

x 2log2

87loglog 3

s) 4log8log2log1 x

t) 3267 2 x

u) 32 4 xe

40. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

5

1loglog

yx

yx b)

1loglog

9

yx

yx

GEOMETRA

TRIGONOMETRA

41. En una circunferencia de 16cm de radio, un arco mide 64cm. Halla su ngulo central correspondiente en grados sexagesimales y en radianes.

42. a) Expresar en radianes los siguientes ngulos dados en grados sexagesimales:

60, 300, 505, 37

b) Expresa en grados sexagesimales los siguientes ngulos dados en radianes:

rad2,10

,4

11,

3

7

43. a) Sabiendo que 2

1senx , calcula el resto de las razones trigonomtricas

2

3 x

b) Calcula las siguientes razones trigonomtricas del ngulo , sabiendo que

2

5sec y que

2

3 .

13

44. Sabiendo que 3

1cos y que I , calcular:

a) 2cos

b)

2cos

c) cos

d)

2

3cos

e) cos

f)

2cos

45. Simplifica la siguiente expresin:

2cos

2cos

xsenxxxsen

46. Calcula el valor de las siguientes razones trigonomtricas, relacionndolas con un ngulo del primer cuadrante:

a) 1680sen

b) 585tag

c) 2

23cos

d) 21sec

e) 840cos

f) 585sen

g) 30tg

h) 945sen

i) 1980sec

j) 270tg

47. Simplificar las siguientes expresiones:

a) xctg

xxctg2

2

1

sec

b)

xsen

xsenxxxsen2

33

1

coscos

c)

xctgx

x

xtg

tgxx

sec

1seccos 2

2

d) ecxsenxsenx

xcos

cos 2

e) ctgxtgx

xsec

48. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 12

2

xsen

b) xxtgx seccos

c) 1cos3 2 senxx

d) 14

xtg

e) 4

1cos2 22 xxsen

f) 01cos2 2 xxsen

14

49. Calcular los catetos de un tringulo rectngulo de 20cm de hipotenusa, sabiendo que la tangente de uno de sus ngulos agudos vale .

50. Calcular los catetos de un tringulo rectngulo de 12dm de hipotenusa sabiendo adems que uno de sus ngulos agudos mide 30.

51. Un tringulo rectngulo tiene catetos que miden 12mm y 9 mm. Calcula la hipotenusa y los lados del tringulo.

52. Resuelve un tringulo rectngulo del que se sabe que un cateto mide 7mm y la hipotenusa 12mm.

53. Un tringulo rectngulo issceles tiene 9cm de hipotenusa. Resulvelo.

54. Resuelve los siguientes tringulos rectngulos conociendo:

a) 2317 Bcmc

b) 783 Ccma

55. Antonio y Rafael, que estn de trismo por Madrid, tienen curiosidad por saber qu altura tiene la torre Picasso, el edificio ms alto de Espaa. Antonio ve la torre

desde un ngulo de 40 y Rafael, situado a 25 metros detrs, la ve desde un ngulo

de 38. Cunto mide la torre Picasso?

56. Para conocer la altura de un rbol, Pedro se sita a 12 metros del rbol y observa que el ngulo de visin del rbol es de 32. Cmo puede Pedro calcular la altura

del rbol? Cunto mide el rbol?

57. Calcular los lados de un rombo del que sabemos que la diagonal mayor mide 24cm y el ngulo mayor 120.

58. El mstil mayor de un barco est sujeto a proa y a popa por un cable que forma con la proa un ngulo de 55 y con la popa un ngulo de 45. Si el barco mide

12m de longitud. Cul es la altura del mstil? Qu longitud total tiene el cable

que lo sujeta?

59. A qu altura vuela un avin si las visuales de dos observadores separados entre s una distancia de 700 metros forman ngulos de 70 y 80 respectivamente?

60. Con un comps cuyos brazos miden 12cm se traza una circunferencia de 5cm de dimetro. Calculo el ngulo que forman los brazos del comps.

61. Calcular la superficie de un tringulo del que conocemos los lados b = 100cm y c= 250cm y el ngulo comprendido entre ambos A = 20.

62. Calcular el ngulo que forman dos lados de un tringulo sabiendo que el rea del tringulo es 57,75cm

2 y que dichos lados miden 10 y 15 cm.

15

63. Prueba que si un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 60 entonces la hipotenusa mide el doble que el cateto menor.

64. Razona si las siguientes frases son verdaderas o falsas.

a. Hay dos ngulos cuyo coseno es 1,2 b. Hay dos ngulos, comprendidos entre 0 y 180, cuyo seno vale -0,45.

65. Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros ro abajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B

desde el que se ve el pino formando un ngulo de 30 con nuestra orilla. Calcular

la anchura del ro.

66. Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de 30, si avanzamos 30 metros, el ngulo pasa a ser de 45. Calcular la

altura del edificio.

FUNCIONES

67. En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta grfica se ve la

cantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un da.

a) A qu hora empiezan las clases? b) A qu hora es el recreo?Cunto dura? c) El puesto se cierra a medioda y el dueo se lleva el dinero a casa. Cules fueron

los ingresos esta maana?

d) Cul es el horario de tarde en el colegio? e) Es esta una funcin continua o discontinua?

67. Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la representacin grfica de la funcin tiempo-distancia al suelo de uno de los

cestillos:

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a) Cunto tarda en dar una vuelta completa? b) Observa cul es la altura mxima y di cul es el radio de la noria. c) Cul es la principal caracterstica de esta funcin? d) Explica como podramos calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de

continuar la grfica.

68. La siguiente grfica describe la relacin entre el tiempo que lleva una bicicleta en marcha y la altura a la que se encuentra la vlvula del aire de la rueda.

a) Cul es la mxima altura que alcanza la vlvula? b) Cada cunto tiempo alcanza esa altura? c) Es una funcin peridica?, cul es el periodo de la funcin?.

69. En una panadera, el dependiente tiene siempre a la vista una tabla con los siguientes datos:

N de panes 1 2 3 4 x

Precio (cntimos ) 30 70 105 140 y

a) Da dos valores ms de la tabla. b) Cunto nos costarn 15 panes? y 32 panes? c) Escribe una frmula que nos de la relacin existente entre el nmero de panes y

el precio en cntimos de euro (llama x al nmero de panes e y al precio en cntimos de euro).

d) Construye la grfica de la funcin.

70. Queremos imprimir un folleto para dar una fiesta en el instituto. El impresor nos dice que el precio es de 2 euros por gastos generales ms 5 cntimos por cada

folleto.

a) Construye una tabla de valores, representa la funcin y escribe la formula que nos de la relacin existente entre el precio pagado y el nmero de folletos

impresos.

b) Cunto pagar por imprimir 1000 folletos? c) Cuntos folletos he impreso si he pagado 52,5 euros?

71. La libra es una medida de peso que equivale a 0,45Kg. a) Construye una tabla para la funcin que convierte libras en kilos, represntala y

da su frmula.

b) Anlogamente para la funcin que convierte kilos en libras.

72. En un contrato de trabajo a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas:

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A. Sueldo fijo mensual de 1000 euros. B. Sueldo fijo mensual de 800 euros ms un 20% de las ventas que haga.

a) Haz una grfica que muestre lo que ganara en un mes segn la modalidad de contrato. Toma como variable independiente las ventas que haga y como

variable dependiente el sueldo.

b) A cunto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades de contrato? cules son esas ganancias?

c) Qu contrato le interesa? d) Escriba la frmula de cada contrato.

73. Una receta para hacer helados recomienda poner 5gr de vainilla por cada 100 cm3 de leche. Encuentra l relacin (frmula) existente entre la cantidad de leche y la

de vainilla y representa la funcin.

74. Indica El dominio, el recorrido, coordenadas de los puntos de corte con los ejes, simetras, intervalos de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos locales

y mximos y mnimos globales de las funciones cuyas grficas se adjuntan. Son

peridicas dichas funciones? Justifica tu respuesta.

75. Dibuja la grfica de una funcin que cumpla, simultneamente:

I. ,20, yfDom . II. Mximo local en x = 3.

III. Creciente en 0,24, y y decreciente en 2,4 . IV. No es continua en x = -4.

76. En una ciudad espaola, un recorrido de 20 minutos en taxi ha costado 7,50 euros, y un recorrido de 35 minutos ha costado 10,50 euros. Suponiendo que la relacin

entre el nmero de minutos y dinero pagado es afn.

a) Expresin algebraica de la funcin que representa el precio de la carrera en funcin del nmero de minutos de sta.

b) Cunto costar una carrera de 40 minutos?. Si me han cobrado 15,10 euros, cunto tiempo ha durado la carrera?

77. Un colegio necesita realizar una excursin. El autobs cuesta 300 euros. Sea x el nmero de alumnos que van a ir a la excursin, e y el precio del billete.

a) Relacin algebraica de la funcin que relaciona el precio del billete en funcin del nmero de alumnos.

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b) Representa grficamente l funcin anterior. Se pueden unir los puntos?. Ser continua la funcin?. Raznalo.

c) Si se les cobra como fianza a cada alumno 10 euros ms del precio real del billete, cul ser entonces la nueva expresin algebraica y la nueva grfica de la

funcin?

?

78. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

35 24 xxxf

562

62

2

xx

xxxg

5

6103

2

x

xxxh

32 xxxj

52 xxxk

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