Vergleich der Portfoliomodelle I

Manuel Molitor

Seminar Portfoliokreditrisiko

2

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Agenda

1. CreditRisk+

– Zusammenfassung– WEF– Kritik

2. CreditMetrics

3. CreditRisk+ vs CreditMetrics

4. CreditMetrics in CreditRisk +

5. CreditRisk+ in CreditMetrics

6. Zusammenfassung

3

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Eigenschaften

• Nur auf Ausfall-Ereignisse fokussiert

• Ausfälle sind Poisson-Verteilt

• Risikofaktoren Gamma-Verteilt

• Ausfallrisiko nicht an der Kapitalstruktur gebunden

• Annahme:– Ausfallwahrscheinlichkeit in einer Periode gleich hoch

für die selbe Periodendauer in der Zukunft

– Die Anzahl der Ausfälle in einer bestimmten Periode sind unabhängig zu einer anderen Periode

4

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Eigenschaften

• Die bedingte Wahrscheinlichkeit pi(x) eines Ausfall des Schuldners i– Einer Funktion von der jeweiligen Ratingklasse des

Schuldners i– Die Realisation der Risikofaktoren x– Der Vektor der Faktorladungen

• Intuition: Die Risikofaktoren x dienen die unbedingte Wahrscheinlichkeit zu erhöhen/reduzieren

( )1

( ) ( )K

i k ikik

p x p x wς=

= ∑

5

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (WEF)

• Ausfälle werden durch die WEF berechnet

• WEF dient zum Herleiten von Einzel-wahrscheinlichkeiten und der Verteilungsfunktion

• Annahmen bei einer WEF Fk(z):– Wenn K1 und K2 unabhängige ZV sind, dann ist die WEF

von den Summen K1+K2 gleich dem Produkt zweier WEF

– Wenn Fk(z|x) mit einer Verteilungsfunktion H(x) für x

( ) ( | ) ( )K K

x

F z F z x dH x= ∫

6

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Kritik zu CreditRisk+

• Exposure konstant

• Keine Migrationsrisiken

• Verliert an Genauigkeit durch Exposure Bänder

• Poisson: E[x]=Var[x] nicht empirisch nachgewiesen

• Nur für geringe Ausfallwahrscheinlichkeiten

7

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Agenda

1. CreditRisk+

2. CreditMetrics– Eigenschaften– CM2S– Kritik– Rating Agencies

3. CreditRisk+ vs CreditMetrics

4. CreditMetrics in CreditRisk +

5. CreditRisk+ in CreditMetrics

6. Zusammenfassung

8

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Eigenschaften

• Misst Korrelation in Kreditqualität für alle Gruppen von Schuldnern– Nicht direkt möglich

– Basiert auf gemeinsame Wahrscheinlichkeit von assetreturns

• Nur equity returns (Vereinfachung der Kapitalstruktur)

• Kernstück: Latente ZV

• Monte Carlo Simulation

• recovery rate flexibel

9

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Annahmen

• Kredit-Homogenität:– Alle Schuldner Kredithomogen in der gleichen

Ratingklasse• Gleiche Migrationswahrscheinlichkeiten

• Gleiche Ausfallwahrscheinlichkeiten

• Equity Preis als Proxy

• Unterliegt der Normalverteilung

10

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Eigenschaften

• Misst Ausfälle + Auf- und Abstufung zwischen den Ratingklassen

• Modellierung durch eine unbeobachtbare latente ZV yi, die verbunden mit Schuldner i ist

• wi : relative Sensitivität des Schuldners i zu den Risikofaktoren

• : relative Wichtigkeit des idiosynkratischen Risikos für den Schuldner

i i i iy xw η ε= +

iη

11

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Eigenschaften

• Schuldner Ausfall, wenn:

• Die Werte so gesetzt, dass die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit für geratetenSchuldner entspricht

wie bei CreditRisk+ definiert

Cζ

( )i i i ixw Cζη ε+ <

ζpζ

pζ

12

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

CM2S

• Restriktive Version von CreditMetrics

• Nur zwei Zustände– Ausfall

– Nicht-Ausfall

• Verlust bei Ausfall ist fixiert– Also keine speziellen Risiken in der Rückzahlung

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Kritik zu CreditMetrics

• Übergangswahrscheinlichkeiten basieren auf durchschnittliche historischen Frequenzen von Ausfällen und Kreditmigrationen

• Alle Firmen der gleichen Ratingklassegleiches Ausfallrisiko

• Aktuelle Ausfallraten sind gleich der historischen Ausfallraten

• Kreditratingänderung = Kreditqualitätsänderung

• Kreditrating Ausfallraten≜

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Rating Agenturen

• Ordinale Ranking

• Nur langsame Veränderung wg historischen Frequenzen

überschätzt die wahre W. für das bleiben in der gleichen Ratingklasse

• Durchschnittliche historische PD überschätzt die PD für typischen Firmen in einer Ratingklasse

• Wenn die W. in der gleichen Klasse zu bleiben und die PD zu groß sind

Übergangswahrscheinlichkeiten zu klein

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Agenda

1. CreditRisk+

2. CreditMetrics

3. CreditRisk+ vs CreditMetrics– Vergleich– Vor- und Nachteile

4. CreditMetrics in CreditRisk +

5. CreditRisk+ in CreditMetrics

6. Zusammenfassung

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Vergleich

– Deterministische Zinsraten

– Deterministische Exposures

– Keine Marktrisiken

– Keine nicht-lineare Produkte

Gemeinsamkeiten:

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

•Flexibilität

•Multi-State Modell mit Migrations-matrizen

•spezielle Risiken bei recovery rate

Vorteile

•Rechnerintensiv

•Kredit-Homogenität

•Historische Daten

Nachteile

CreditMetrics

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

•Sehr Computerfreundlich

•Output übersichtlich

•Analytisches Modell

Vorteile

•Exposure konstant

•Exposure Bänder->Genauigkeit

•Keine Migrationsrisiken

•Poisson->E[x]=Var[x]

->keine empirsiche Evidenz

•Keine Analyse von Daten

•pA nicht sinnvoll geschätzt

Nachteile

CreditRisk+

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

•Asset-basiertes Modell

•Lineares Modell

•Monte Carlo Simulation

•Normalverteilung

•Kreditmigrationen

•Spezielle Risiken bei recovery rate

•Unbeobachtbare latente ZV

•Monte Carlo Simulation

CreditMetrics

•Ausfallbasierendes Modell

•Mischmodell

•Rein mathematischer Struktur

• Poisson-Verteilt

•Faktorladungen/Gewichtung Gammaverteilt

•Keine Migrationsberücksichtigung

•Fixe recovery rate

•Hilfsvariablen

CreditRisk+

Vergleich beider Modelle

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Agenda

1. CreditRisk+

2. CreditMetrics

3. CreditRisk+ vs CreditMetrics

4. CreditMetrics in CreditRisk +

– Implementieren von CreditMetrics in CreditRisk +

– Exkurs: Taylor Entwicklung

5. CreditRisk+ in CreditMetrics

6. Zusammenfassung

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Implementieren von CM in CR+

• Ziel: Credit Risk+ – implizite bedingte PD-fkt. pi(x)

• CreditMetrics:

• Schuldner fällt aus, wenn

• ist standardnormal verteilt

( ) exp(log(1 ( )( 1))) exp( ( )( 1))i i iz x p x z p x zℑ = + − ≈ −

( )i i i ixw Cζη ε+ <

i i i iy xw η ε= +

( )( ) (( ) / )i i i ip x C xwζ η= Φ −

iε

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Implementieren von CM in CR+

• Annahme: Ausfall-Ereignisse unabhängig zw. Schuldern

• Bedingte WEF für Ausfälle

– Auch hier die Poisson-Approximation möglich

• Durch Integration nach x:

• Alle Risikofaktoren werden durch die Dichte berücksichtigt

( ) ( ) exp( ( )( 1)) exp( ( )( 1))i ii i

z x z x p x z x zπ π µℑ = ℑ ≈ − = −

( ) ( ) ( )z z x x dx∞

Ω−∞

ℑ = ℑ Φ∫

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Exkurs: Taylor Entwicklung

• Taylor Entwicklung von f(x):

– Allein mit Hilfe der Funktions- und Ableitungswerte an ein und derselben Stelle x0

f(x) mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen

( )0 0

0

1( ) ( )( )

!n n

n

f x f x x xn

∞

=

= −∑

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Implementieren von CM in CR+

• Koeffizient vor zn ist: unbedingte Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle im PF

– Wobei

• Übliche CreditRisk+ WEF:

0

0

( )( ) exp( ( )) ( )

!

1( ) exp( ( )) ( ) ( )

!

n n

n

n n

n

x zz x x dx

n

z x x x dx zn

µµ

µ µ

∞ ∞

Ω=−∞

∞∞

Ω= −∞

ℑ = − Φ

ℑ = − Φ

∑∫

∑ ∫

( ) ( )ix p xµ ≡∑

0

( ) ( ) n

n

z p ndefaults z∞

=

ℑ =∑

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Agenda

1. CreditRisk+

2. CreditMetrics

3. CreditRisk+ vs CreditMetrics

4. CreditMetrics in CreditRisk +

5. CreditRisk+ in CreditMetrics– Implementieren von CreditRisk+ in CreditMetrics– Kleine Formunterschiede

6. Zusammenfassung

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Implementieren von CR+ in CM

• Hier CM2S für Vereinfachung

• Bestimmen die latente Variable für Schuldner i

• xk und wik wie in CreditRisk+

gamma verteilt

• Die idiokratischen Risikofaktoren sind i.i.d., exponentiell mit 1 verteilt

1

1

K

i k ik ik

y x w ε−

=

= ∑

iε

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Implementieren von CR+ in CM

• Schuldner fällt aus, wenn

• Da Exponentialfunktion

• Mit

( ) ( )1

Pr( ) PrK

i i k iki ik

y p x p x w xζ ζε=

< = <

∑

( )

( ) 1 x

X Exp

P X x e λ

λ−≤ = −

∼

( ) ( )1

Pr( ) 1 expK

i k iki ik

y p x p x wζ ζ=

< = − −

∑

1λ =

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Implementieren von CR+ in CM

• Selbe Approximation:

• Unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit ist wie benötigt

( )1

( )K

k ik iik

p x w p xζ=

≈ =∑

( ) ( )1

Pr( ) 1 expK

i k iki ik

y p x p x wζ ζ=

< = − −

∑

1

( )1

( )K

k ik iik

p x w p xζ

−

=

= ∑

p

log(1 )

1 x

x x

x e

+ ≈+ ≈

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Kleine Formunterschiede

• Übliche CM Modell: latente variable ist lineare Summe von normalen ZV

• Hier: multiplikative Form– > gleiche Idee

• CM: Schwellenwerte: Funktion von

• Hier:

– >Prozess identisch

pζ

pζ

30

CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Agenda

1. CreditRisk+

2. CreditMetrics

3. CreditRisk+ vs CreditMetrics

4. CreditMetrics in CreditRisk +

5. CreditRisk+ in CreditMetrics

6. Zusammenfassung– Unterschiede– Verteilungsannahmen und Funktionsformen– Abschluß

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

•Verteilungsannahmen

•Funktionsformen

Wesentliche

• Lösungstechniken

• mathematische Sprache

• Methoden der Kalibriation

Unwesentliche

Unterschiede zwischen den Modellen

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Verteilungsannahmen und Funktionsformen

• Beide Modelle: – Wahl der Verteilung des systematischen Risikofaktors x

– Funktionsform der bedingten PD pi(x)

die Form der gemeinsamen Verteilung über Schuldnerausfälle im Portfolio

• CM : NV und beeinflussen die Ergebnisse stark

• CR: Gammaverteilung und bedingte WEF– kleine Abweichung von der Gamma Spezifikaten

signifikanten Unterschied in der tail percentile Werten

( )( ) (( ) / )i i i ip x C xwζ η= Φ −

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

CreditRisk CM Version

• Möglich: Monte Carlo Version von CreditRisk– Vermeidet Poissonverteilung

– Vermeidet Verlust exposures Approximation

– Ermöglicht Rückzahlungsrisiken

Verliert Computerfreundlichkeit

• Orthogonalität in CR auch möglich– Mehr Vorsicht bei Identifizierung und Kalibrierung der

Sektorrisiken

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Zusammenfassung

• CreditRisk+ : – Ausfall-basierend; Analytisch

• CreditMetrics: – Asset-basierend; Monte-Carlo Simulation

• Keine gravierende mathematische Unterschiede

• Deutliche Unterschiede durch Funktionsformen und Verteilungsannahmen

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Literatur

• Gordy, M.B. (2000): A comparative anatomy of credit riskmodels, Journal of Banking and Finance, 24, 119--149

• Crouhy, M., Galai, D., Mark, R. (2000): Comparativeanalysis of current credit risk models, Journal of Banking and Finance, 24, 59--117

• Credit Suisse First Boston (CSFB) (1997): CreditRisk+: A credit risk management framework, Technical report, Credit Suisse First Boston.

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CreditRisk+

CreditMetrics

CR vs CM

CM in CR

CR in CM

Zusammenfassung

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!