Verifiche sperimentali legge di Coulomb

c a p i t o l o 3

Fino a che punto si può aver fiducia nella legge di Coulomb?

Era noto che:

Una buccia sferica omogenea di materia dà, al suo interno, un contributo nullo al campo gravitazionale.

L’effetto è troppo piccolo per poter essere verificato sperimentalmente nel caso delle interazioni gravitazionali.

Tuttavia

Il verificare una tale fenomenologia per le interazioni elettrostatiche, aveva fatto immediatamente supporre che:

La legge di forza tra cariche elettriche dovesse avere identica struttura di quella gravitazionale

Supponiamo di avere una buccia perfettamente sferica di materiale conduttore e di depositare su di essa una carica

elettrica

la carica fluirà e, per motivi di simmetria, la densità di carica sarà uniforme su tutta la buccia

Calcoliamo il campo elettrico presente in un

generico punto “p” interno alla buccia.

Occorrerà dividere la superficie della buccia in tante superficiette infinitesime, calcolare il singolo

contributo e sommare i vari risultati.

I contributi dovuti alle cariche presenti nei due elementi di

superficie saranno opposti in direzione.

Valutiamone i moduli

dE1 p( ) = 1

4πε0σ dS1r12+ε

dE2 p( ) = 1

4πε0σ dS2r22+ε

Quale dei due sarà maggiore?

dS2r22+ε ⇔

dS1r12+ε

Avremo:

dS1 =dω r1

2

cos θ1( ) dS2 =dω r2

2

cos θ2( )

dE1 p( ) = 1

4πε0σr1ε

dωcos θ1( )

dE2 p( ) = 1

4πε0σr2ε

dωcos θ2( )

Se la superficie è sferica il triangolo in figura è isoscele e quindi i due angoli sono uguali, per cui:

dE2 p( ) = 1

4πε0σ

cos θ( ) dω1r2ε

dE1 p( ) = 1

4πε0σ

cos θ( ) dω1r1ε

ε > 0

ε = 0

ε < 0

Se

Se invece

Se

prevale il contributo della superficie vicina

prevale il contributo della superficie lontana

i due contributi sono esattamente uguali ed opposti

In questo ultimo caso, sommando tutti i contributi delle coppie opposte, troveremo

all’interno campo elettrico nullo

In cosa consisterà quindi la verifica sperimentale?

Prendere una sfera metallica, depositarvi quanta più carica possibile e verificare se, al suo interno, appaiono tracce

misurabili di campo elettrico

È un esempio di misura di Zero

Se vale la legge dell’inverso del quadrato della distanza, la massa a riposo del fotone

è nulla

Come è possibile ottenere le valutazioni in tabella?

Una sfera non sarà mai perfetta, quindi:

La densità di carica non sarà uniforme

Il triangolo non sarà realmente isoscele

Esperimento di Williams, Faller e Hill

Schema dell’apparato sperimentale

Occorre svincolarsi da qualunque ipotesi su forme geometriche

Quello che potremmo scegliere è solo il materiale, tenendo conto che avremo a che fare con materiali reali

Un isolante non sarà mai un “perfetto” isolante

Un conduttore non sarà mai un “perfetto” conduttore

In un conduttore”non perfetto” le cariche non saranno veramente libere di muoversi. Su di esse si eserciteranno delle

forze “viscose”

Effetto degli attriti

Il sistema si evolve nel tempo e tende a portarsi nella configurazione di di equilibrio, caratterizzata dal minimo per l’energia

potenziale

All’equilibrio la forza totale sulla particella è nulla

All’interno il campo elettrico è ovunque nullo

Sulla superficie qE +Rv = 0

All’interno saranno nulle pure tutte le derivate del campo

Sulla superficie la derivata del campo normale alla superficie è

diversa da zero

∇ ⋅E = 0

∇ ⋅E ≠ 0

La legge di Gauss dice che :

∇ ⋅E =

ρε0

Quindi, se è vera, all’equilibrio dovremmo avere:

Internamente al conduttore ρ = 0

In altri termini , se la legge di Coulomb è vera, tutta la carica fornita ad un conduttore dovrà trovarsi, all’equilibrio sulla

superficie.

La carica depositata su di un conduttore si trova sulla superficie

Il campo elettrico interno è nulloImmediatamente fuori del conduttore il campo è finito

Come dipende il campo esterno dalla densità di carica superficiale?

ΦS E( ) = E ⋅ds = σ dsε0

E =σε0

È il doppio del campo elettrico generato da una lastra piana

Come mai?

può esser considerata come una superficie

piana

Equilibrio

Legge di Coulomb

Una lastra avrà uno spessore finito

Se lo trascuriamo, per densità di carica intenderemo la somma delle densità di carica che si trovano sulle due facce

Il campo esterno, espresso in termini di detta somma, conterrà quindi il fattore 2 a

denominatore

Per verificare la legge di Coulomb occorrerà vedere che non vi sia carica

all’interno di un conduttore carico.

Occorrerà praticare una cavità all’interno del conduttore in modo da posizionarvi gli strumenti

Quello che è accessibile sperimentalmente sarà la densità di carica sulla superficie interna ed il campo elettrico presente

nella cavità

Se pratichiamo una cavità, avremo due superfici: l’interna e l’esterna

Come abbiamo carica sulla superficie esterna potremmo averne anche sull’interna?

Superficie chiusa che racchiude la cavità passando all’interno del

conduttore

ΦS

E( ) = 0

Qint = 0

Il valore nullo per la carica totale potrebbe derivare da

compensazioni

Se la situazione fosse come quella descritta in figura avremmo un campo all’interno della cavità:

E ⋅dl ≠ 0

γ∫

Dato poi che all’interno del conduttore il campo è nullo ci

aspetteremo:

In contrasto con le leggi dell’elettrostatica.

Se la carica penetrasse all’interno, essa dovrebbe essere

rivelata dall’elettroscopio

Quindi, se vale la legge di Coulomb, la densità di carica sulla superficie interna deve essere nulla, come nullo deve

essere il campo elettrico all’interno della cavità

Di queste grandezze ne verificheremo il valore nullo

Un conduttore cavo divide lo spazio in due regioni:l’interna e l’esterna

Che relazione esisterà tra i valori dei campi

all’equilibrio, eventualmente presenti

nelle due regioni?

Il flusso del campo elettrico è nullo quindi:

Q2 = −Q3

Indicando con Qext

la carica complessiva del conduttore esterno

Q1 = Qext −Q2 = Qext +Q3

Primo caso particolare: Q1 = 0 ; σ1 = 0

Il campo sarà presente solo nella cavità, sarà nullo esternamente alla superficie interna e nel conduttore interno

Le linee di campo saranno inoltre normali alle due superfici S3 ed S2

Supponiamo di aver risolto il caso in cui la carica sul conduttore

interno valga Q3 = σ 3ds3 =

S3∫ α Coulomb

ed, ovviamente: Q2 = σ 2ds2 =S2∫ −α Coulomb

Domandiamoci quale sarà la soluzione nel caso in cui si depositi sulle due superfici una carica totale di diverso valore

Q2' = σ 2

' ds2 =S2∫ − ξ ⋅α Coulomb

Q3' = σ 3

' ds2 =S3∫ ξ ⋅α Coulomb

Una semplice soluzione sarebbe:

σ 3' =ξ ⋅σ 3

σ 2' =ξ ⋅σ 2

Si vede che essa è la soluzione corretta, in quanto:

2) i campi generati dalle nuove densità, a causa della loro additività, rispettano le condizioni al contorno

1) la soluzione per un sistema di equazioni per la divergenza ed il rotore di un campo è unica, una volta stabilite le condizioni al contorno

Il campo da essa generato vale: E ' = ξ

E

Ha identiche direzioni e versi del precedente

È nullo ove il precedente era nullo

Secondo caso particolare:

Q2 = 0 ; σ 2 = 0

Q3 = 0 ; σ 3 = 0

Il campo sarà presente solo all’esterno del conduttoreLe linee di campo saranno inoltre normali alla superficie S1

Q1 = σ1ds1 =S1∫ β Coulomb

Analogamente a prima, se si conosce la densità in un caso particolare

σ1' = χ ⋅σ1

sarà la densità nel caso che la carica depositata valga

Q1' = σ1

'ds1 =S1∫ χ β Coulomb

Caso generale: sono presenti cariche su tutte e tre le superfici

I campi generati da una distribuzione del tipo:

Rispetta le condizioni al contorno dei campi

Tramite opportuna scelta delle costanti può descrivere la situazione per qualunque valore delle cariche presenti sui due

oggetti

Qint =ξ ⋅α Coulomb

Qext = Q1 +Q2 = χ ⋅ β −ξ ⋅α Coulomb

ξ =Qint

α

Nulli all’interno degli oggetti, normali alle superfici, zero all’infinito

σ = χσ1 β( ) + ξ σ 2 α( ) +σ 3 α( )( )

χ =Qext +Qint

β

Cosa accadrà ai campi se si sposta il conduttore interno alla cavità?

Ovviamente le densità di carica sulle due superfici

interne cambierannoσ int* = ξ σ 2

* α( ) +σ 3* α( )( )

Cambierà pure ?σ1

Quali saranno i campi generati da σ * = χσ1 β( ) + ξ σ 2

* α( ) +σ 3* α( )( )

E* = χ

Eext β( ) + ξ

Eint* α( ) Che rispetta le

condizioni al contorno

Quindi:I campi esterno ed interno sono tra loro indipendenti

Ad esempio, se portassi il conduttore interno a toccare la superficie interna, neutralizzando così entrambe, il campo esterno resterebbe invariato