VERONICA TREJO CARBAJAL

Números reales

En matemáticas, los numeros reales(designados por ) incluyen tanto a los números racionales(positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales

como: .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Tipos de números reales

Un número real puede ser un numero racional o un numero irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos:1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

Es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Por lo tanto, todos los

números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1. No existen raices de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los numeros complejos donde dichas operaciones sí están definidas).

2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).

Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

Notación

Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.

Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo,

" ") en vez de su respectiva aproximación decimal.

Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, .la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.

La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Construcciones de los números reales

Caracterización axiomática

Artículo principal: Axiomas de los números reales.

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

1. es un campo.

2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:

Si entonces ;Si y entonces .

3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.

Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas esisoformo al conjunto de los números reales.

En vista de lo anterior podemos hablar del conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo para representarlo.

Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que es completo en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente equivalentes. Algunos de estos son:

(Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de cauchy es convergente.

(Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados tiene intersección no vacía.

Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.

1. Si , entonces (Cerradura en la suma)2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)

3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)

4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)

5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)

6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)

8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)

9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)

10.Para cada existe un elemento tal que

(Inverso multiplicativo)

11.Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)

12.Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía) o

oo

13.Si , y entonces (Transitividad)14.Si y , entonces (Monotonía en la

suma)15.Si , y , entonces (Monotonía en la

multiplicación)16.Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en ,

entonces tiene supremo en (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue de otros cuerpos ordenados como ,

.

LOS NUMEROS NATURALES

surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

Con los números naturales  se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman unsemigrupo conmutativo.

Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia directiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto    cuando  es distinto de

0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien .

Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo

de se tiene .

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces

.

o Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es

podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:

Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .

Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta

para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.

o Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:

Dados dos números naturales , no es cierto en general que

exista un natural tal que . Si tal existe se denomina cociente exacto de por , y la división se denomina exacta. En este caso se dice que es divisible por , o que es un divisor de , o que es un múltiplo de . Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen

con Los números , , y se denominan

dividendo, divisor,cociente yresto respectivamente y el procedimiento para determinar y a partir de y se denomina división entera. 

Descomposición en factores primos: Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.

Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes,

que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente.  

El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos).

Todo número natural admite una descomposición en producto de números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos ejemplos.

Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema. 

 

NUMEROS REALES

Se representan con la letra . 

El conjunto de los Números Reales ( ) está integrado por:

• El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.      • El conjunto  de los Números Irracionales (I)  queestá formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales atodos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números

Reales ( ) está formado por los elementos del conjunto  unido con I .

 El siguiente cuadro es ilustrativo:

Todos los números reales pueden ser  representados en la recta numérica.

A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.

Importante:

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.

Infinito no es un número real

Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.

Recuerde, además, que cualquier fracción con  numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)

Número complejo

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.

CONJUNTOS NUMERICOS

Números Naturales

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número ilimitado de elementos

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2) N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales

N 0 =  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

Números Enteros

Z =   {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z ¯

Enteros Positivos:  Z+

Enteros Positivos y el Cero:  Z0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

                             Z  =  Z ¯  U  {0}  U  Z +

 

NUMEROS ENTEROS

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI  mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes,  que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras.  Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemánMichael Stifel  (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso  entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)

Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ejermplos :        – 3   +  – 8  =   – 11      ( sumo y conservo el signo)

                         12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ejemplo:          – 7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  –  7  =   5 ¿con cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de  +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un número positivo).

                    5   +   – 51   =   – 46   ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

                   – 14  +   34   =    20

Resta en Z

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo (uno después del otro) porque de estamanera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a)         Cambiar el signo de la resta en suma y

b)         Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ejemplo 1:

     –3  –  10   

a) cambiamos el signo de resta por el de suma:

  –3    +  10 

b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo de operación (que ahora es el +):

– 3 + – 10 =    –13   ( signos iguales se suma y conserva el signo)

Ejemplo 2:

19  –   – 16 

a) cambiamos el signo de resta por el de suma:

19 + –16

b) cambiamos el signo del número que está a la derecha (– 16) del signo de operación (que ahora es el +):

19 + + 16 =   19   +    16    =    35

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

+   •    +    =    +

–   •   –     =    +

+   •   –     =   –

–  •   +     =   –

Ejemplos:   – 5   •    – 10   =    50    (  5  •   10   =    50 ;   –  •   –   =   + )

                     12  •    – 4    =   – 48    (  12 •   4   =     48;:    + •  –   =   – )

Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).

4) Q = Conjunto de los Números Racionales

Q  = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z). 

Se expresa por comprensión como:

Q  =  {  a / b  tal que  a y b     Z; y  b    0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. 

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

5) I =  Q* = Conjunto de Números Irracionales

I  =   Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

¿Que son los Numeros Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Propiedades de la adicion de Numeros Naturales

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

 

Propiedades de la Division de Numeros Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

 

En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción comúna/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en Blackboardbold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalenciasobre .

.

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

Demostración

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

Aritmética de los números racionales

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

Definición de suma y multiplicación en Q

Se define la suma

Se define la multiplicación

Relaciones de equivalencia y orden en Q

Se define la equivalencia cuando

Los racionales positivos son todos los tales que

Los racionales negativos son todos los tales que

Se define el orden cuando

Existencia de neutros e inversos

Para cualquier número racional: se cumple que entonces

es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por .

Para cualquier número racional: se cumple que entonces

es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .

Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que

Cada número racional: con excepción de tiene un inverso

multiplicativo tal que

Equivalencias notables en Q

Todo número entero se puede escribir como fracción

con y

con y

con y .

Propiedades

El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros .

Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.

La clausura algebraicade , es el conjunto de los números algebraicos.

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre y (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).

Propiedad arquimediana: el conjunto es denso en por construcción misma de ; es decir, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos.

Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo

racional puede descomponerse en la forma: donde son números enteros primos, (siendo algunos de ellos

negativos si q no es entero) y . Por ejemplo

.

Representación racional de los números decimales

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

o Ejemplo:

Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

o Ejemplo: Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia

entre y , donde es el número escrito sin la coma, y es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.

o Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que la fracción

correspondiente será , es decir: .

Desarrollo decimal de los números racionales

El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:

Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».

Ejemplo:

Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.

Ejemplos: o En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el

denominador de su fracción irreducible es de la forma 2n·5p (n y p enteros).

o En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Propiedades topológicas de los números racionales

Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.

Poseen una expansión finita como fracción continuaregular. Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo

parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x − y|.

Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.

Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizablenumerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.

Número p-ádico

Sea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|p = p−n, donde pn es la mayor potencia de pque divide aa.

Si |0|p = 0, y para cada número racional a/b, |a/b|p = |a|p / |b|p, entonces la

función multiplicativa define una métricasobre .

El espacio métrico no es completo, su completitud es el cuerpo de los

números p-ádicos . El teorema de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.

Clasificación de números

Complejos

Reales

Racionales

Enteros Naturale

s

Naturales primosNaturales compuestos

CeroEnteros negativos

FraccionariosFracción propiaFracción impropia

IrracionalesIrracionales algebraicosTrascendentes

Imaginarios puros

1. .2. CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES

3.

4. Concepto.-5. Es un número de la forma a/b en donde b es diferente de o y se

encuentran ubicados dentro de los números reales.6.7.

Enteros

-

+

Reales

Racionales

Fraccionarios

Comunes

Decimales

Irracionales

8.9.

10.Hay que tomar en cuenta que todos los números enteros tienen como denominador el número uno y por lo tanto son racionales. Por lo anterior se sabe que un número racional cuenta con dos elementos:

11.Numerador.- Indica cuantas partes se tomaron del entero12.Denominador.- Indica en cuantas partes se dividió el entero y es

diferente de o13.14.a = Numerador

15.b = Denominador b 016.17.

18.Fracciones Equivalentes.-19.

20.Son aquellas que tienen diferente forma pero el mismo valor. Para saber si dos fracciones son equivalentes, se aplica la regla del sandwich y el producto de los extremos será igual al producto de los medios.

21.

22.

ab=cd⋅¿⋅a¿

b ¿cd

¿⋅¿⋅( a)( d )=(c )(d )¿

23. ExtremosMedios24.25.26.Esta regla nos ayuda a determinar en una pareja cuál de las fracciones

es mayor.27.28.29.30.31.

32.

12⋅¿⋅34⋅¿→⋅¿ 2

6⋅¿⋅13

33.Equivalentes34.35.Ejercicios:36.

37.a )⋅57⟨ 89⋅¿⋅¿b )⋅3

5= 610

⋅¿⋅¿c )⋅79⟩ 68⋅¿⋅¿d )⋅3

4¿ 27⋅¿⋅¿e )⋅ 5

10=48

¿

38.39.40.En caso que se tengan que comparar dos o más fracciones, éstas

tendrán que tener un denominador común para poder realizar la comparación.

41.

42.

25

=410

=615

=820

⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿⋅¿Múltiplos⋅de⋅5

34

=68

=912

=1216

=1520

⋅¿⋅¿⋅¿Múltiplos⋅de⋅4

43.44.Procedimiento:45.1.- Se obtiene el mcm de los denominadores, a éste se le llamará

común denominador.

46.2.- El común denominador se divide entre cada uno de los denominadores, el cociente que resulte se multiplicará por cada uno de los numeradores de las fracciones.

47.48.49.a) mcm 6,3,4, = 12 Común denominador50.51.

52.

53.

54.

26= 412

13=412

14=312

b )⋅126x2=4

123x1=4

124x1=3

55.Ejercicio:

a )⋅34,78,164

mcm=64644x 3=48

64648x 7=

5664

6464x 1=1

64

78

¿34

¿

164

¿ ¿b)1/7,3 / 4,1 /12 ¿ ¿mcm=(7 )(22 )(3 )=84 ¿847x 1=

1284

¿844x3=

6384

¿8412x 1=

784

¿ ¿34

¿17

¿112

¿ ¿c )8/16 ,4 /5,5 /25 ¿mcm⋅¿⋅(24 )(52)=400 ¿4006x 8=

200400

¿4005x 4=

320400

¿40025

x5=80400

¿45

¿816

¿525

¿ ¿¿

VERONICA TREJO CARBAJAL