Versión electrónica ISSN: 2448-8089 diciembre de 2017 ... · Indagación de la historia de las desigualdades matemáticas Silvia Bernardis, ... Formas e Imágenes, S.A. de C.V.,

Sociedad Mexicana de Investigación y Divulgación de la Educación Matemática, A.C.




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www.revista-educacion-matematica.com

México • vol. 29 • núm. 3 • diciembre de 2017

Versión electrónica ISSN: 2448-8089

Educación Matemática

�� Enseñanza de la matemática por recorridos de estudio e investigación: indicadores didáctico-matemáticos de las “dialécticas” Verónica Parra y María Rita Otero § ARGENTINA

�� ¿A qué tipo de problemas matemáticos están expuestos los estudiantes de Cálculo? Un análisis de libros de texto. Adriana Berenice Valencia y Ricardo Valenzuela § MÉXICO

�� Aproximación al conocimiento común del contenido para enseñar probabilidad desde el modelo del conocimiento didáctico-matemático. Claudia Vásquez Ortiz y Ángel Alsina § CHILE-ESPAÑA

�� Realidades escolares en las clases de matemáticas. Alfonso Jiménez Espinosa y Alba Soraida Gutiérrez-Sierra § COLOMBIA

�� Análisis de las decisiones del profesor de matemáticas en su gestión de aula Diego Garzón Castro § COLOMBIA

�� Indagación de la historia de las desigualdades matemáticas Silvia Bernardis, Liliana Nitti y Sara Scaglia § ARGENTINA

�� Propuesta para el tratamiento de interpretación global de la función cuadrática mediante el uso del software GeoGebra Ana Luisa Gómez Blancarte, Rebeca Guirette, Felipe Morales-Colorado § MÉXICO

�� “Un minuto para matemáticas”. Una experiencia de diversión, aprendizaje y divulgación al explorar patrones numéricos Romy Adriana Godínez § MÉXICO

Educación MatEMática es una publicación internacional arbitrada, que ofrece un foro interdisciplinario para la presentación y discusión de ideas, conceptos y modelos que puedan ejercer una influencia en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. La revista publica artículos de investigación y ensayos teóricos sobre temas relacionados con la educación matemática. Educación MatEMática aparece tres veces al año y es indexada en zdM (Zentralbatt für Didaktik der Mathematik), MathDi (MathEducDatabase), Índice de Revistas Mexicanas de Investigación Científica y Tecnológica del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, Latindex, rEdalyc (Red de revistas científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal), Scientific Electronic Library Online (sciElo) y Clase (Citas Latinoamericanas en Ciencias Sociales y Humanidades). Las colaboraciones son recibidas en la plataforma www.autores-educacion-matematica.com Mantenemos el contacto: [email protected]

Producción

Alicia Avila StorerEditora en Jefe

Universidad Pedagógica Nacional, México

Luis Manuel AguayoUniversidad Pedagógica Nacional, Unidad Zacatecas, México, [email protected]

Gustavo BarallobresUniversidad de Quebec en MontrealCanadá, [email protected]

Leonor Camargo UribeUniversidad Pedagógica Nacional de [email protected]

Ceneida Fernández VerdúUniversidad de Alicante, España, [email protected]

Josep GascónUniversidad Autónoma de Barcelona, Españ[email protected]

Salvador Llinares CiscarUniversidad de Alicante, Españ[email protected]

Paulino Preciado BabbUniversidad de Calgary, Canadá[email protected]

Luis RadfordUniversité Laurentienne, Canadá[email protected]

Ana Isabel Sacristán RockDepartamento de Matemática Educativa, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, ipn, México, [email protected]

Diana Violeta SolaresUniversidad Autónoma de Querétaro, Mé[email protected]

María Trigueros GaismanDepartamento de Matemáticas, Instituto Tecnológico Autónomo de México, Mé[email protected]

Avenilde Romo VázquezCentro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (cicata), Instituto Politécnico Nacional, México, [email protected]

Mario Sánchez AguilarCentro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (CICATA), Instituto Politécnico Nacional, México, [email protected]

Gloria Sánchez-MatamorosUniversidad de Sevilla, España, [email protected]

Ernesto Sánchez SánchezDepartamento de Matemática Educativa.Centro de Investigación y de estudios Avanzados. IPN. México, [email protected]

Armando Solares RojasUniversidad Pedagógica Nacional, Mé[email protected]

Yolanda ChávezGestión de arbitrajes

Rodolfo Méndez Gestión y operación

José Luis Cortina Editor Asociado


Comité editorial

Formas e Imágenes, S.A. de C.V. Diseño y corrección, [email protected]

Leticia Pérez Solís Diagramación, [email protected]

Sociedad Mexicanade Investigacióny Divulgación

de la EducaciónMatemática, A.C.






Educación Matemática vol. 26 • núm. 3 • diciembre de 2014Educación Matemática vol. 29 • núm. 3 • diciembre de 2017

Sociedad Mexicanade Investigacióny Divulgación

de la EducaciónMatemática, A.C.






Educación Matemática vol. 26 • núm. 3 • diciembre de 2014Educación Matemática vol. 29 • núm. 3 • diciembre de 2017

© Educación Matemática, diciembre de 2017, vol. 29, núm. 3, es una publicación cuatrimestral editada por la Sociedad Mexicana de Investigación y Divulgación de la Educación Matemática, A.C., con domicilio en Guty Cárdenas 121-B, Col. Guadalupe Inn, 01020, Álvaro Obregón, Ciudad de México, correo electrónico [email protected].

Editora responsable: Alicia Ávila Storer. Reserva de derechos al Uso Exclusivo del Título: 04-2015-10163264600-203, ISSN (web) 2448-8089, ambos otorgados por la Dirección de Reservas de Derechos del Instituto Nacional del Derecho de Autor.

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Educación Matemática, vol. 29, núm. 3, diciembre de 2017, son propiedad de D.R. © Sociedad Mexicana de Investigación y Divulgación de la Educación Matemática, A.C.

Diagramación y corrección de estilo: Formas e Imágenes, S.A. de C.V., Av. Universidad 1953, edif. 2, loc. E, Copilco el Bajo, Coyoacán, 04330, Ciudad de México, [email protected]

Fecha de la última actualización 28 de noviembre de 2017.

www.revista-educacion-matematica.org.mx

Educación MatEMática, vol. 29, núM. 3, diciEMbrE dE 2017 3

Contenido

Editorial 5

ArtíCulos dE invEstigACión

Enseñanza de la matemática por recorridos de estudio e investigación: indicadores didáctico-matemáticos de las “dialécticas” 9Mathematics teaching Based on the study and research Path: Mathematical teaching indicators of the “dialectics”

Verónica Parra y María Rita Otero

¿A qué tipo de problemas matemáticos están expuestos los estudiantes de Cálculo? un análisis de libros de texto 51to what Kind of Mathematical Problems are Calculus students Exposed? A textbook Analysis

Adriana Berenice Valencia Álvarez y Jaime Ricardo Valenzuela González

Aproximación al conocimiento común del contenido para enseñar probabilidad desde el modelo del Conocimiento didáctico-matemático 79Approaching Common Knowledge of Content for teaching Probability from the didactic-mathematical Knowledge Model

Claudia Vásquez Ortiz y Ángel Alsina

realidades escolares en las clases de matemáticas 109school realities in Mathematics Classes

Alfonso Jiménez Espinosa y Alba Soraida Gutiérrez Sierra

Análisis de las decisiones del profesor de matemáticas en su gestión de aula 131Analysis of Mathematical teacher’s decisions in his Classroom Management

Diego Garzón Castro

4 Educación MatEMática, vol. 29, núM. 3, diciEMbrE dE 2017

Contenido

indagación de la historia de las desigualdades matemáticas 161inquiring about the history of mathematical inequalities

Silvia Bernardis, Liliana Nitti y Sara Scaglia

ContriBuCionEs A lA doCEnCiA

Propuesta para el tratamiento de interpretación global de la función cuadrática mediante el uso del software geogebra 189Proposal for treating global interpretation of the Quadratic Function using the software geogebra

Ana Luisa Gómez-Blancarte, Rebeca Guirette y Felipe Morales-Colorado

“un minuto para matemáticas”. una experiencia de diversión, aprendizaje y divulgación al explorar patrones numéricos 225“A minute for Mathematics”. An Experience of Fun, learning and outreach through the Exploration of numeric Patterns

Romy Adriana Cortez Godinez

Política editorial 245

Árbitros 2017 253


Editorial: los retos de Educación Matemática

En 2012 asumí, junto con Armando Solares, la responsabilidad de dirigir la revista Educación Matemática. Al cabo de dos años, Armando se ocupó de otras acti-vidades y compartí la responsabilidad con José Luis Cortina. Con el presente número concluyo mi función como editora en jefe. Es así que, en un tono distinto del utilizado comúnmente en los editoriales, daré algunos datos y haré algunas reflexiones sobre los años en los que estuve al frente de la Revista, primero acompañada por Armando Solares y después por José Luis Cortina.

Actualmente, sostener una revista de investigación es un gran reto. Los estándares y exigencias que se deben cubrir son por momentos abrumadores, más si como en el caso de Educación Matemática, no está detrás una institución con un departamento de publicaciones que proporcione el personal, las condi-ciones y recursos necesarios para publicarla. Con todo, en los últimos seis años la Revista resolvió distintos retos -el principal el de su financiamiento- y avanzó en su posicionamiento ante la comunidad internacional de habla hispana que se ve obligada, cada vez más, a publicar en revistas con altas certificaciones.

En este marco, mencionaré algunos logros de este período y el estado en que se encuentra Educación Matemática, a la manera de un informe de trabajo:

− Publicación puntual de la revista. - Recuperamos y hemos mantenido la publicación puntual de Educación Matemática; los autores y lectores pueden consultar el número en nuestro sitio web”, al menos un día antes de la fecha que señala la portada.

− Creación del sitio web www.revista-educacion-matematica.org, para potenciar el acceso a la revista.

− Creación del sitio web www.autores-educacion-matematica.org, para la gestión y control de arbitrajes, a través de la plataforma OJS.

− Creación de la versión electrónica de la revista y obtención del ISSN respectivo.

− Conversión de la revista a una publicación de acceso libre a través de la red.

Editorial


− Reingreso al sitio Scielo (Scientific Electronic Library on Line y Scielo Citation Index).

− Reingreso al padrón de revistas científicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología e México (CONACYT).

− Clasificación de la revista, al iniciar 2016, como Revista de Competencia Internacional, por el CONACYT y el CONRICYT.

− Permanencia en los sitios Redalyc y Latindex y reingreso a Dialnet − Ingreso al sistema DOI (Digital Object Identifier). − Ampliación del Comité Editorial, con la participación de los siguientes colegas: Salvador Llinares de España y Leonor Camargo de Colombia, en 2013 y 2014, respectivamente. En 2016, los colegas que enumero a con-tinuación también aceptaron la invitación para formar parte del Comité: Paulino Preciado Babb y Gustavo Barallobres, de Canadá, Ceneida Fer-nández Verdú y Gloria Sánchez Matamoros, de España, así como Luis Manuel Aguayo y Ernesto Sánchez de México. Hoy se está en vísperas de incorporar al Comité a colegas de Argentina y Colombia.

− Aumento en el número de artículos recibidos. Los últimos tres años hemos recibido un promedio anual de 60 artículos, provenientes de toda Ibe-roamérica. La tasa de aceptación es de un poco menos del 50%. A este último respecto pongo de relieve el valor de asesoría que tienen las eva-luaciones que realizan los árbitros. Es muy frecuente recibir de los autores la solicitud de ser la portavoz del agradecimiento a los árbitros anónimos por las ayudas en que se constituyeron sus observaciones y recomenda-ciones de mejora de los escritos.

− Acrecentamiento de la internacionalidad.- En este período se han publicado artículos de Argentina, España, Colombia, Chile, Brasil, Venezuela, México y, aunque eventualmente, también de Canadá, Francia e Italia.

− Aumento en el número de artículos publicados anualmente. Este número aumentó en virtud de la gran cantidad de propuestas que hemos recibido en estos años. Al retomar la revista, el promedio era de cinco o seis con-tribuciones por número. En el 2016 incorporamos siete contribuciones en cada número, y en 2017 alcanzamos 8 en cada entrega, sin demeritar la calidad tradicionalmente exigida, e incluso aumentándola. Nos acercamos así al número que CONACYT y CONRICYT consideran óptimo: 30 artículos anuales. Esperamos aproximarnos aún más en el próximo año.

Es importante mencionar que los temas abordados y los marcos conceptuales que sirven de base a los trabajos de los últimos años también han tenido una

Editorial


importante expansión: junto con temas de larga data, como son los problemas aritméticos, las fracciones y los decimales, o el aprendizaje de la geometría elemental, hoy recibimos trabajos sobre el uso de plataformas e internet para enseñar matemáticas, la utilización de Geogebra, los conocimientos de los profesores, las prácticas de enseñanza de las matemáticas, la matemática que se desarrolla fuera de la escuela, así como las matemáticas a través de la mode-lación y la formación matemática necesaria en distintas profesiones no mate-máticas, entre otros. También hemos publicado recuentos históricos de temas referidos a la educación matemática.

Entre las teorías que han servido de sustento a muchos de los artículos publicados en los últimos años, destacan las de Raymond Duval, de Yves Che-vallard, de Dévora Ball, de Charles Peirce, de Ed Duvinsky y el enfoque ontose-miótico de Juan Díaz Godino, entre las principales. Menciono lo anterior porque lo creo evidencia de dos cosas: a) de que la comunidad de investigadores de la educación matemática es muy diversa en sus intereses temáticos y sus enfoques; b) de que Educación Matemática es espacio de convergencia de corrientes teóricas y metodológicas que hoy dan estructura al campo.

Después de este recuento vuelvo a una idea que mencioné al inicio: en el contexto actual sostener una revista es un gran reto. Salir a tiempo, mostrar una y otra vez la internacionalidad de sus autores, estar registrado en diversos índices, hacer constatar que hay una amplia citación, tener un sitio web en español e inglés… garantizar arbitrajes en un lapso de tiempo no mayor a seis meses, son entre otras, las exigencias, que presionan a las revistas y no es fácil responder a ellas.

No obstante, Educación Matemática ha enfrentado exitosamente los retos y hoy goza de buena salud. Pero el trabajo realizado ha sido mucho y gracias a la participación y compromiso de muchos: el Comité Editorial en su parte mexi-cana y su parte internacional, los escrupulosos editores de la revista -Formas e Imágenes, S.A. de C.V- Yolanda Chávez y Rodolfo Méndez siempre pendientes de la gestión y de atender a los autores, los excelentes árbitros que ocupan su tiempo en revisar los escritos que se les envían, entre otros.

Sabemos bien que el ingreso a los índices Scopus y Web of Science es una asignatura pendiente para nuestra revista. Actualmente estamos empeñados en conseguir el ingreso, esperamos lograrlo. Pero esta cuestión, estando en proceso, será prioridad para los colegas que a partir del número 30-1 (abril de 2019) tomarán la dirección de la revista. Estos colegas: Avenilde Romo, Luis Manuel Aguayo y Mario Sánchez, sin duda vendrán a renovar la energía que necesita la publicación de una revista de investigación en el contexto actual.

Editorial


Pasaron los tiempos en que la calidad de una publicación de este tipo se ponderaba porque tenía un Comité Editorial constituido por colegas cuyo trabajo gozaba de cierto reconocimiento; porque el contenido de los artículos era con-siderado de calidad; porque las actas de arbitraje eran rigurosas; y porque salía más o menos a tiempo.

Hoy se trata, sí de salir a tiempo, y de tener un comité editorial con colegas reconocidos, pero este comité debe ser internacional, también hay que tener una página web atractiva y de fácil navegación en español y en lengua inglesa, estar registrado en una importante cantidad de índices, tener disponibles cierto tipo de archivos y hacer sobre los artículos los marcajes que solicitan las bibliotecas electrónicas para poder contar con facilidad las citas y las descargas. La dispo-nibilidad y pronta localización parece haber rebasado a la calidad como criterio de valoración.

Sabemos que es imposible sustraerse a tales criterios, porque los propios colegas investigadores obligan a cumplirlos mediante sus preferencias respecto de dónde publicar. Es por eso que Educación Matemática enfrenta el reto de incorporarse a otros índices que sean considerados de alta calidad, especialmente Scopus y Web of Science. Avenilde Romo, Luis Manuel Aguayo y Mario Sánchez estarán pronto al frente de la revista, sin duda asumirán con compromiso los retos que esto implica y en un plazo no lejano muy probablemente lograremos la incorporación a tales índices.

Alicia Avila

Artículos de investigAción


DOI: 10.24844/EM2903.01

Enseñanza de la matemática por recorridos de estudio e investigación: indicadores didáctico-matemáticos de las “dialécticas”

Mathematics teaching Based on the study and research Path: Mathematical teaching indicators of the “dialectics”

verónica Parra1 María rita otero2

resumen. Este trabajo propone y describe una metodología de análisis basada en la formulación de un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos de las “dialécticas” del estudio y la investigación. Estos indicadores se construyeron a partir de los datos obtenidos al diseñar, implementar y evaluar un Recorrido de Estudio e Investigación (REI) cuyas preguntas de partida se vinculan al equilibrio de mercado de un modelo de oferta y demanda. Se realizaron dos implementaciones en el último año del nivel escolar secundario argentino (16-17 años) (N = 60). El profesor propuso a los estudiantes preguntas del tipo siguiente: ¿Cómo calcular el punto de equilibrio en un modelo lineal de mer-cado? ¿Cuánto varía exactamente el punto de equilibrio al modificar los pará-metros del modelo? Se concluye que las dialécticas más identificadas son del individuo y del colectivo, del tema y fuera-de-tema, del estudio y de la investi-gación, del análisis-síntesis praxeológica y del análisis-síntesis didáctica, así como de las cajas negras y cajas claras.

Fecha de recepción: 10 de noviembre de 2016. Fecha de aprobación: 10 de agosto de 2017. 1 [email protected] [email protected]

Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT). Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA). Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET).

Verónica Parra • María Rita Otero


Palabras clave: Equilibrio de mercado; Recorridos de Estudio e Investigación; Teoría Antropológica de lo Didáctico; dialécticas; indicadores didáctico-matemáticos.

Abstract. This paper proposes and describes an analysis methodology based on the formulation of a set of didactic-mathematical indicators of the “dialectics” of study and research. These indicators were constructed based on the data obtained from de design, implementation and evaluation of a study and research path (SRP). The SRP’s initial questions are connected to market equilibrium in a microeconomic model of the supply and demand. Two implementations were developed in the last year of the Argentine secondary level (16-17years) (N = 60). The teacher proposed to the students the following type of questions: How to determine the market equilibrium? If the parameters of the model are modified: How to describe the variation of the point of equili brium? How much does the point of equilibrium change exactly in each case? We conclude that the most identified dialectics are: the individual and collective, theme and out of theme, study and research, praxeological analysis-synthesis and didactic of analy-sis-synthesis, and the dialectic of black boxes and clear boxes.

Keywords: Market balance; Study and Research Path; Anthropological Theory of the Didactic; dialectics; didactic-mathematical indicators.

introduCCión

En este trabajo se propone abordar un problema de investigación en torno a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el nivel secundario argentino, particularmente en el último año de la escolaridad (estudiantes de 16-17 años). Esta problemática ha sido y es el foco de interés de gran parte de los investi-gadores en Educación Matemática (Artigue, 2004; Brousseau, 1986; Barallobres, 2016; Barquero, 2011; Chevallard, 2002, 2004; Gascón, 2002; Otero et al., 2013; Quiroz Rivera y Rodríguez Gallegos, 2015; Trigueros, 2009). En nuestro caso, describiremos este problema a partir del referente que sirve de marco teórico a nuestro trabajo: el enfoque antropológico de Chevallard (2004, 2009, 2013a, 2013b, 2014), denominado la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD).

La TAD caracteriza un fenómeno identificado en los sistemas de enseñanza y denominado monumentalización de los saberes (Chevallard, 2013a). Este fenómeno se describe a partir de una analogía con la visita a un museo: se invita y guía a los estudiantes a “visitar” las obras propuestas en los programas

Enseñanza de la matemática por recorridos de estudio e investigación…


oficiales como un guía conduce a una persona a admirar los monumentos dentro de un museo. Allí, las obras expuestas solo se pueden mirar y venerar, sin tocarlas ni manipularlas y manteniendo cierta distancia. Análogamente, en los sistemas de enseñanza las matemáticas son estudiadas como si fuesen un monumento para honrar, admirar, y que no tiene más que raros usos. Este fenómeno nace, vive y se desarrolla en el paradigma de enseñanza dominante en las instituciones escolares, denominado paradigma monumentalista o de inventariar los saberes (Chevallard, 2013a). En este paradigma la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se limitan a un inventario de obras “muer-tas”, carentes de sentido, sin razones de ser, transparentes e incuestionables (Chevallard, 2004).

En contraposición al paradigma monumentalista, Chevallard (2004) propone la gestación del paradigma de la investigación y del cuestionamiento del mundo (PICM), incorporando el dispositivo didáctico de los Recorridos de Estudio e Investigación (REI). Los REI son considerados un potencial genera-dor de procesos funcionales, posicionando las preguntas como punto de par-tida de los procesos de estudio. Preguntas en sentido fuerte, es decir, tales que su respuesta no represente una simple búsqueda de información, sino que sea necesaria la construcción o reconstrucción de una praxeología o un con-junto de ellas. Preguntas con este potencial son denominadas preguntas generatrices. Con la introducción de los REI se recuperaría el sentido y las razones de ser —o al menos una razón de ser— de las obras matemáticas pro-puestas a estudiar en los programas oficiales. Según Chevallard (2014), lanzar y conducir un REI es pilotear un sistema didáctico formado, por ejemplo en una clase de matemáticas, por un grupo de estudiantes, un profesor o un conjunto de profesores y una pregunta Q generatriz. Este sistema didáctico construye un medio de estudio que permite “fabricar” la respuesta R a la pre-gunta Q. En este proceso de construcción de respuestas, la comunidad de estudio desarrolla ciertas praxeologías consustanciales a la situación de estu-diar e investigar, denominadas “dialécticas” (Chevallard, 2012). El desarrollo de estas dialécticas será el que permita pilotear el REI.

Centrándonos en el funcionamiento de las dialécticas, entendidas como gestos clave para concretar una enseñanza mediante el REI, este trabajo se propone abordar el problema de la monumentalización de saberes con un objetivo particular: presentar una metodología de análisis que permita identificar y describir una serie de indicadores didáctico-matemáticos de cada una de las dialécticas, a partir del análisis de datos obtenidos al implementar un REI en



el último año del nivel secundario argentino. El objetivo de este trabajo no consiste en describir detalladamente la dinámica del proceso de estudio del REI, sino que corresponde a una fase posterior de análisis. Es decir, luego de la descripción, análisis y evaluación de la implementación del REI —resulta-dos que ya han sido publicados (Parra, Otero, Fanaro, 2013, 2014, 2015)— hemos identificado una serie de indicadores didáctico-matemáticos que permitirían determinar el funcionamiento de cada una de las dialécticas y, al mismo tiempo, el poder generador de las preguntas generatrices y sus derivadas. Así, la pre-gunta de investigación de este trabajo puede formularse de la siguiente manera: ¿Cómo determinar, a partir de los resultados de la implementación de un REI, un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos para cada una de las dia-lécticas? ¿Qué condiciones (y restricciones) nos aporta el análisis de las dialéc-ticas sobre el funcionamiento de los REI? Nos proponemos entonces realizar no solamente un aporte desde la perspectiva metodológica, sino también desde el enfoque teórico. Consideramos aportes en los siguientes términos: por un lado, contribuir con una metodología de análisis de resultados de la implemen-tación de un REI a partir de indicadores de las dialécticas, especificando un conjunto de indicadores para cada una de ellas. Diversos trabajos abordan enseñanzas por REI (ver sección siguiente), pero pocos se centran en las dia-lécticas y, menos aún, en especificar un conjunto de indicadores. Por otro lado, aportar en aspectos teóricos desde el punto de vista de la relación entre el funcionamiento del dispositivo REI, sus preguntas generatrices y el conjunto de indicadores.

Para aportar respuestas a esta pregunta, presentamos en primer lugar la definición y características más importantes de los REI. Luego, sintetizamos los antecedentes de la enseñanza por REI que resultan relevantes para nuestro trabajo, en términos de contextos de implementación y análisis de resultados. Posteriormente describimos las nueve dialécticas propuestas en el marco de la TAD. Esta descripción se elabora segmentando cada una de las dialécticas para efectos de facilitar la identificación de los indicadores, pero esto no significa que exista esa separación entre cada una de ellas. De hecho, todas las dialécticas están interrelacionadas entre sí y, por consiguiente, esta delimitación se realiza sólo para efectos del análisis. Después presentamos la metodología de la inves-tigación, dando algunas características centrales de la dinámica del REI imple-mentado. Inmediatamente presentamos los resultados en términos de identificación y descripción de este posible conjunto de indicadores didáctico-matemáticos y,



por último, los aportes y conclusiones. A continuación se proponen la definición y las características más importantes de los REI.

dEFiniCión y CArACtErístiCAs PrinCiPAlEs dE los rEi

El estudio de una pregunta Q como punto de partida del saber supone la emergencia de sistemas didácticos de la forma S (X; Y; Q). Por ejemplo, en una clase de matemática, esto significa que un grupo de alumnos (X) con la ayuda del profesor (Y) construirá una respuesta R a la pregunta Q. El funcionamiento de este sistema responde a lo que Chevallard (2013b) denomina esquema herbartiano. En su forma reducida, se escribe de la siguiente manera: S (X; Y; Q) Ê R ♥. El símbolo ♥ colocado en el exponente de la respuesta R indica que la respuesta a la pregunta Q fue producida bajo ciertas limitaciones y “funciona” como respuesta a esa pregunta bajo esas limitaciones (Chevallard, 2009). La elaboración de R ♥ a partir de Q supone la “fabricación” de un medio didáctico M. Esto se expresa en el esquema herbartiano semi-desarrollado

[S (X; Y; Q) Ì M ] Ê R ♥

O sea, el sistema didáctico construye y organiza (Ì) el medio M, con el cual engendrará o producirá (Ê) una respuesta R ♥. Este esquema indica que la elaboración del medio M se articula de modo complejo con la elaboración de la respuesta R ♥. Esta observación se aplica en el esquema herbartiano desa-rrollado (Chevallard, 2009), que se escribe así:

[S (X; Y; Q) Ì {R1¸, R2

¸, R3¸, …, Rn

¸, Qn + 1, …, Qm, Om + 1, …, Op}] Ê R

Donde M = {R1¸, R2

¸, R3¸, …, Rn

¸, Qn + 1, …, Qm , Om + 1 , …, Op} es el medio didáctico o medio para el estudio (de Q). Las respuestas disponibles R i

¸, las preguntas derivadas Qj y las otras obras O l son instrumentos potenciales para el estudio de Q, instrumentos a estudiar convenientemente —en “calidad” y en “cantidad”, para ser utilizados en el momento oportuno, de manera efectiva y eficaz en el estudio de Q y entonces en la construcción y validación de R ♥ (Chevallard, 2009)—. Los objetos notados por R i

¸ para i = 1, …, n son respuestas “hechas”, disponibles —por ejemplo, un libro, una página Web, el curso de un profesor, etc.—; las enti-dades Ol para l = m + 1, …, p son otras obras —teorías, montajes experimentales,



praxeologías, etc.— consideradas útiles para deconstruir las respuestas R ◊ y extraer lo necesario que hay allí para construir la respuesta R ♥ (ibid). Con la introducción del esquema herbartiano desarrollado, Chevallard (2012) precisa lo que puede ser visto como un Recorrido de Estudio y de Investigación (REI).

Una vez definidos los REI, sintetizamos a continuación sus características esenciales:

− Los REI se generan por una pregunta Q denominada generatriz. Es decir, una pregunta cuya respuesta no es inmediata y que permite formular sub-preguntas, denominadas preguntas derivadas (Chevallard, 2004).

− La búsqueda de respuestas a las preguntas conduce no solo a la cons-trucción o reconstrucción de un conjunto de praxeologías, sino que tam-bién remite a la búsqueda de información como recurso indispensable para aportar a la construcción de respuestas y, en consecuencia, al aná-lisis y evaluación de esa información. Esto genera diferentes niveles de acción, indispensables en una enseñanza por REI: observar las respuestas existentes, analizarlas, evaluarlas, desarrollar una nueva respuesta y, finalmente, defender la respuesta producida (Chevallard, 2012).

− El medio didáctico en una enseñanza por REI es construido al mismo tiempo que se gestan las respuestas a las preguntas, no está determinado previamente, se construye a lo largo del recorrido y puede incorporar cualquier componente que sea aceptado y validado por la comunidad de estudio.

− La comunidad de estudio en una enseñanza por REI no se limita al grupo formado por el profesor y los estudiantes. Esta comunidad de estudio se amplía e incorpora, al menos momentáneamente, a cualquier persona o institución que resulte de utilidad o pueda aportar una obra útil y perti-nente a la construcción de las respuestas.

− El profesor es considerado el director del proceso de estudio (Chevallard, 2009); es una fuente más de información como cualquier otro medio de comunicación, pero es el responsable de guiar el proceso de estudio. No ocupa el lugar central en la clase, como tampoco es considerado el único poseedor del saber.

− Los estudiantes amplían sus posibilidades de acción: formulan preguntas, proponen recursos, fuentes de información, construyen respuestas, las evalúan, las difunden, defienden, y reciben, de manera crítica, las res-puestas de otros estudiantes (Chevallard, 2012).



− El saber es considerado de manera integral, un conjunto de saberes interrelacionados entre sí, que son pertinentes y se han construido como producto de una necesidad de respuesta.

− Esta articulación entre saberes se gesta en los procesos de modelización. La modelización es considerada un proceso de reconstrucción y articula-ción de praxeologías de complejidad creciente (Barquero, Bosch y Gascón, 2011), permitiendo la propuesta de REI con cuestiones generatrices cada vez más amplias. No se trata de “aplicar” un saber matemático a una situación en contexto. Se trata de delimitar un sistema —económico, físico, biológico, etc.—, luego describir sus variables, las relaciones entre ellas, formular un primer modelo, someterlo a prueba y perfeccionarlo las veces que sea necesario, hasta que sea capaz de construir una respuesta razo-nable, que pueda ser validada y aceptada por la comunidad de estudio.

En la sección siguiente presentamos el estado actual de la cuestión en torno a enseñanzas por REI, con el propósito de mostrar en qué contribuiría, de forma novedosa, nuestro trabajo.

AntECEdEntEs dE EnsEñAnzAs Por rEi

En esta sección describiremos los 14 trabajos más recientes que han sido desarrollados en el contexto de enseñanzas por REI, o propuestas abiertas de REI. Describiremos, en primer lugar, los trabajos según su codisciplinaridad, ya sea con la Economía y/o Ciencias Económicas y empresariales y/o Adminis-tración y dirección de empresas, al igual que con la Biología, la Física o la Medicina. Luego pasamos a los recorridos monodisciplinares (cuyas cuestiones son intra-matemáticas), y un recorrido propuesto para estudiar cuestiones de la Didáctica de la Matemática.

• Respecto a los trabajos codisciplinares a la Economía y/o Ciencias Econó-micas y empresariales y/o Administración y dirección de empresas, situamos los trabajos de Fonseca (2010, 2011c) y Serrano, Bosch y Gascón (2010) en el nivel universitario, y los trabajos de Ruiz-Munzón (2010), Ruiz, Bosch y Gascón (2007) y Donvito, Otero y Sureda (2014) en el nivel secundario.

Fonseca (2010) implementó un REI cuya cuestión generatriz corresponde a la movilidad del personal de una empresa, planteando hipótesis respecto no



solo de las políticas de movilidad, sino también sobre la repartición de los trabajadores. La implementación de recorrido se realizó en un taller-seminario con estudiantes de una facultad de ciencias económicas y empresariales. El REI provocó la emergencia de la diagonalización y multiplicación de matrices, así como la resolución de sistemas de ecuaciones. El análisis y descripción de resultados se centró en las organizaciones matemáticas desarrolladas y en la determinación y descripción de los momentos del estudio. Continuando con el estudio de la diagonalización de matrices, Fonseca (2011c) diseñó e implementó un REI en un taller de matemáticas con alumnos de una escuela de ingeniería industrial, cuya pregunta de partida se refiere a la fabricación de tres modelos de motos. Para cada fábrica se especifican los índices de producción, los cos-tos, ingresos, precio de venta y forma de trabajo, construyendo modelos matri-ciales lineales y utilizando el software Mathematica. El análisis y descripción de resultados se elabora en términos de los momentos del estudio y de las técnicas matemáticas propuestas.

Serrano, Bosch y Gascón (2010) diseñaron un taller de modelización y lo implementaron en cuatro grupos de primer año de una carrera de adminis-tración y dirección de empresas. Proponen iniciar el taller con una cuestión generatriz vinculada a la previsión de ventas. El taller, que funcionó de forma paralela al desarrollo del curso, tuvo una duración de 5 sesiones de clases. Previo a la concreción del taller, se llevaron a cabo cuatro “clases teóricas” para que los estudiantes tuvieran conocimientos sobre ciertas familias de funciones ya estudiadas en secundaria, tales como función afín, función cuadrática, fun-ción cúbica, función hiperbólica y funciones exponenciales. Se realizó un aná-lisis a priori de las posibles cuestiones derivadas y se evaluó la experimentación según las restricciones identificadas y la dialéctica de los medias y medio.

Donvito, Otero, Sureda (2014) diseñaron, implementaron y analizaron la viabilidad de un REI cuya pregunta generatriz se refiere a los planes de ahorro. Se efectuaron implementaciones en cursos habituales de matemáticas de tres instituciones con características diferentes: una secundaria estatal (estudiantes de 16-17 años), una privada (estudiantes de 16-17 años) y una secundaria para adultos (estudiantes de 16-60 años). El REI suscita el estudio de funciones, funciones lineales, funciones exponenciales, logaritmos, límites y el número e, sucesiones y series, capitalización, amortización (constantes y variables). El análisis de resultados fue elaborado a partir de las actitudes de la PICM: herbartiana, procognitiva, exotérica, de problematización y enci-clopedista ordinario.



Ruiz-Munzón (2010) y Ruiz, Bosch, y Gascón (2007) proponen el diseño y la experimentación de un taller de modelización matemática cuya pregunta generatriz corresponde a los beneficios, la producción y venta de camisetas. La experimentación se efectuó en tres grupos de estudiantes del nivel secundario durante el tercer trimestre 2004/2005. Se propone la utilización de la Calcula-dora Simbólica Wiris (CSW) para facilitar la creación, representación gráfica y manipulación de diferentes expresiones algebraicas. Se distinguen, a lo largo del trabajo, dos casos en relación a la función costes (costes lineales y costes cuadráticos), suponiendo que la función de ingresos es igual al producto entre las cantidades vendidas y el precio de venta por unidad del producto. Se propone una caracterización del desarrollo hipotético de la modelización funcional, en tres niveles caracterizados mediante praxeologías matemáticas de complejidad y completitud crecientes. Además, el análisis de datos fue elaborado a partir de las cuestiones derivadas y los modelos construidos para dar respuesta.

• Respecto a los REI codisciplinares a la Biología, ubicamos el trabajo de Barquero (2009, 2011) en el nivel universitario y el trabajo de Ruiz-Higue-ras y García García (2011) en el nivel inicial.

Barquero (2009, 2011) diseño e implementó un REI cuyas preguntas gene-ratrices corresponden a la dinámica de poblaciones. La implementación se llevó a cabo en un curso denominado “taller de modelización matemática”, con alumnos de ingeniería técnica química industrial de la Universidad Autónoma de Barcelona. Este taller fue desarrollado de forma paralela al curso tradicio-nal de matemáticas. El recorrido propuso estudiar la evolución de una población cuyo tamaño varía con el tiempo. La pregunta generatriz condujo al diseño de tres REI que permitieron cubrir parte de las organizaciones matemáticas pro-puestas para estudiar en el programa de estudio de los primeros cursos uni-versitarios de Ciencias Experimentales: por ejemplo, cuestiones de álgebra lineal y cálculo diferencial en una variable. El análisis y descripción de las experimen-taciones fue realizado en términos de cuestiones generatrices, cuestiones deri-vadas, modelos poblaciones y organizaciones matemáticas, construidos para dar respuesta a tales cuestiones.

Ruiz-Higueras y García García (2011) describieron las praxeologías que surgen al desarrollar tareas de modelización matemática a partir de un sistema configurado por una colección de gusanos de seda que se transformará (meta-morfosis) a lo largo del tiempo. En la propuesta participaron una maestra y un



grupo de alumnos (3 a 6 años) de la educación infantil. Los niños trabajaron en un taller de matemáticas que permitió abordar no únicamente las diferentes cantidades de magnitudes discretas, sino también la necesidad de medirlas y de formular esta medida. La descripción de los resultados fue realizada a partir de la determinación de las praxeologías matemáticas construidas, y de la carac-terización de la praxis y logos didáctico de la profesora.

• Respecto a los trabajos codisciplinares a la Física, situamos el trabajo de Costa, Arlego y Otero (2014) en el nivel universitario y el de Otero, Gazzola, Llanos y Arlego (2016) en el nivel secundario, en la formación de profe-sores y con investigadores en formación.

Costa, Arlego y Otero (2014) diseñaron e implementaron un REI codisciplinar a la Física en un curso habitual de matemáticas de una facultad de ingeniería. La pregunta generatriz se refiere a la construcción de edificaciones sustentables. Esta pregunta y sus derivadas permiten emerger las razones de ser del Cálculo Vectorial, integrando campos como la Termodinámica, la Mecánica de los Flui-dos, la Hidrodinámica, la Electricidad y el Magnetismo. El análisis de datos se hizo a partir de la escala de niveles de codeterminación didáctica y de las dialécticas, concluyendo con una serie de condicionamientos en las diferentes escalas que dificultan el desarrollo del REI.

Otero, Gazzola, Llanos y Arlego (2016) diseñaron, implementaron y evaluaron un REI a partir de la pregunta generatriz ¿Por qué se cayó la Piedra Movediza de Tandil? Se llevaron a cabo implementaciones en cursos de los últimos años del nivel secundario, en cursos de formación de profesores de matemáticas y con investigadores en formación. Fueron estudiadas cuestiones referidas a los sistemas oscilantes, movimiento armónico simple, ecuaciones del movimiento, funciones armónicas, oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancia, nocio-nes de periodo, frecuencia, ciclo en una oscilación, funciones seno y coseno. Analizaron los resultados en términos de preguntas derivadas, de las organi-zaciones matemáticas y físicas desarrolladas y de los modelos construidos.

• Respecto a los trabajos codisciplinares a la Medicina Nuclear, situamos el trabajo de Olivera Lucas (2015) en el nivel universitario.

Oliveira Lucas (2015) describe la experimentación y evaluación de recorridos de estudio e investigación diseñados para la enseñanza del cálculo diferencial



elemental en un primer curso de una licenciatura de Medicina Nuclear de la enseñanza universitaria portuguesa. Estos recorridos partieron de datos concre-tos y se basaban en problemas vinculados a la propagación de epidemias y a la variación de la concentración de un medicamento. Efectuaron la construcción y descripción de los posibles recorridos matemáticos a priori y cada sesión de clase fue analizada en términos de las cuestiones, actividades y técnicas.

• Respecto a los recorridos monodisciplinares, ubicamos el trabajo de Llanos y Otero (2015) en el nivel secundario; y los trabajos de Fonseca, Pereira y Casas (2010) y Fonseca (2011a, 2011b) en la transición entre el nivel secundario y universitario.

Llanos y Otero (2015) diseñaron, implementaron y evaluaron un REI cuya pregunta generatriz corresponde a la multiplicación de curvas. El REI fue imple-mentado en dos cursos en paralelo por cada año, durante tres años consecu-tivos, con estudiantes de cuarto año (14-15 años) del nivel secundario argentino. El recorrido permite estudiar varias organizaciones matemáticas, según las curvas que se elijan y las operaciones, entre ellas: funciones polinómicas, fun-ciones racionales, funciones homográficas, funciones potenciales, funciones radicales, funciones trascendentes. “La generatividad de la cuestión inicial pro-puesta en el REI, planteada en los dominios geométrico, gráfico y funcional; da sentido a los puntos notables de las curvas y a las características generales de la representación gráfica de dicha función” (Llanos y Otero, 2015: 270). Se hizo un análisis detallado de acuerdo con las funciones didácticas (mesogénesis, topogénesis y cronogénesis).

Fonseca, Pereira y Casas (2010) diseñaron e implementaron, en un “taller de problemas”, un recorrido para estudiantes de Ingeniería Química cuya pregunta de partida se refiere a la optimización de funciones. Otorgaron un rol fundamental al software GeoGebra y al software Máxima. Construyeron un primer modelo algebraico identificando sus componentes, relaciones y expre-sión. El análisis de la experimentación se hizo en términos de las modificacio-nes posibles de realizar a la cuestión inicial para lograr transponerla de la institución secundaria a la universidad, en función de los momentos del estudio y determinando los grados de completitud de las organizaciones matemáticas reconstruidas.

Fonseca (2011a, 2011b) diseñó un REI en torno al “diseño y fabricación de un contenedor que tenga el mayor volumen posible” (Fonseca 2011b: 16). Su



objetivo fue promover una continuidad en el proceso de estudio desde el nivel secundario hacia los primeros años de la universidad, a partir de la ampliación de una misma cuestión generatriz. El REI no fue implementado en la escuela secundaria y sí en la universidad, en la Escuela de Ingeniería Industrial (electró-nica y química) durante tres sesiones de un “taller de matemática”. En este nivel, se propone estudiar unidades relativas al Cálculo y Álgebra Lineal. El objetivo particular de este recorrido es abordar el estudio de la derivada introduciendo la optimización de funciones como respuesta a la pregunta generatriz y sus deri-vadas, recuperando tareas que abarcan, por ejemplo, el estudio de la monotonía de la primera y segunda derivada, los extremos de una función y la interpretación de derivadas. Los datos fueron analizados a partir de la determinación de los grados de completitud de las organizaciones matemáticas reconstruidas.

• Por último, el recorrido propuesto para estudiar cuestiones de la Didáctica de la Matemática corresponde al trabajo de Corica y Otero (2016) realizado en el nivel universitario.

Corica y Otero (2016) diseñaron, implementaron y evaluaron un REI para la formación de profesores. El recorrido se desarrolló en un curso del tercer año de la carrera de profesora en matemáticas, en una universidad pública argen-tina. Se propuso a los futuros docentes la cuestión generatriz ¿Cómo diseñar e implementar dispositivos didácticos para el estudio de la matemática? El análisis fue realizado a partir de la categorización de las preguntas derivadas según el género de tarea al que remite su estudio, la identificación de los tipos de tareas asociados a los mismos y las actitudes que pueden describirse en términos de las dialécticas.

La caracterización y clasificación de estos trabajos están resumidas en la Tabla 1. La primera columna contiene el(los) autor(es) de los trabajos y el año de publicación; la segunda, el tipo de propuesta; la tercera incluye las nociones, temas y disciplina en torno a los cuales han sido formuladas las preguntas generatrices de cada REI; la cuarta columna presenta el nivel educativo y/o la carrera en la cual ha sido propuesto y/o implementado el REI; la quinta, el espacio de implementación (un taller de matemáticas, un seminario o el curso habitual de matemáticas) y, finalmente, la última columna contiene el foco de análisis de cada trabajo.

Lo novedoso de nuestro trabajo es la propuesta, desarrollo y uso de una nue-va metodología de análisis para estudiar la dinámica de los REI, una metodología



antes no usada y propuesta por primera vez en este trabajo. Nuestro REI se vincula a cuestiones de la microeconomía, específicamente los modelos de oferta y demanda de un único bien. El REI fue implementado en dos cursos de matemáticas del nivel secundario argentino, en las clases habituales, no en cursos tipo “Taller” ni en clases paralelas al curso habitual. Este recorrido tuvo una implementación extendida en el tiempo (36 sesiones), marcando allí una diferencia con las implementaciones de otros diseños. Además, se describió el proceso de estudio en términos de los gestos didácticos denominados “dialéc-ticas”. Aquí reside la contribución más importante y novedosa: la metodología de análisis que presentamos en este trabajo corresponde a la construcción de un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos potencialmente útiles para determinar la operatividad de cada una de las dialécticas. Nos ubicamos en una fase superior de análisis: nos centramos no en describir el proceso de estudio producto de la implementación del REI (resultados ya publicados en Parra, Otero y Fanaro, 2013, 2014, 2015), sino en cómo generar un conjunto de indicadores de las dialécticas, con base en los datos obtenidos al implementar el REI. Estos indicadores se encuentran en una primera etapa de formulación y, por consi-guiente, serán ampliados a partir no solo de futuras implementaciones propias, sino de otros colegas que trabajen en enseñanzas por REI. El trabajo de Salgado, Otero y Parra (2017) aporta en este sentido y corresponde a una tesis en vías de desarrollo. Aquí se ha implementado un REI en la universidad, en dos cur-sos de Cálculo con estudiantes de Economía y Administración de empresas. La pregunta generatriz se refiere a los costos de un microemprendimiento. Para el análisis del proceso de estudio, el trabajo ha tomado como punto de partida la construcción de los indicadores aquí descritos. Antes de presentar los indica-dores construidos, incluimos una breve descripción de cada una de las nueve dialécticas. Esta descripción se realiza de manera independiente no para indicar la no relación entre ellas, sino para manipular la construcción de los indicadores de cada una de las dialécticas.

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Existen diferentes acepciones del concepto “dialéctica”, una de ellas es interpre-tarla como “la ciencia del movimiento”; esta concepción es muy indeterminada y subraya la movilidad o carácter dinámico de todo. Otra es definir la dialéctica como concepción de la “diversidad de relaciones” implicadas en cualquier



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proceso: significa que todo está interconectado y que hay un proceso continuo de cambio en esta interrelación (Bueno, 1972). La tercera acepción de dialéctica es definirla como concepción que subraya la estructura de “retroalimentación negativa” de ciertos sistemas, llamados precisamente por este motivo, dialécticos (Olleta, 1997). La cuarta acepción, que fundamenta la noción de dialéctica en una enseñanza por REI, es la de dialéctica definida en función de las contra-dicciones implicadas en los procesos analizados, en este caso, en los procesos de estudio. Esta concepción acepta los cambios originados en las contradiccio-nes, a partir del conflicto o del enfrentamiento. Aquí, en un aula de clase, en una comunidad de estudio provista con las intenciones de responder una pregunta generatriz y sus derivadas.

Adhiriéndonos a la noción de dialéctica como una “teoría de las contradic-ciones”, y considerando el carácter metafórico de la ciencia en general y de la didáctica en particular, asumimos que las acciones ocurridas en el desarrollo de una clase pueden encuadrarse en diferentes gestos dialécticos: del estudio y de la investigación; del individuo y del colectivo; del análisis-síntesis praxeo-lógica y del análisis-síntesis didáctica; del tema y fuera-de-tema; del paracaidista y de las trufas; de las cajas negras y cajas claras; media-medio; de la lectura y de la escritura, y de la difusión y de la recepción (Chevallard, 2002, 2013b). Es importante destacar que no hay dualidad en una dialéctica sino un proceso interactivo, una interrelación entre los polos de la misma que generan “algo nuevo”. Por ejemplo: entrar o salir del tema son acciones contrapuestas, no duales, una acción llama a la otra. Dentro de esta dialéctica, si se comenzó a estudiar un asunto, habrá también que decidir cuándo dejar de hacerlo, pero esta dinámica produce el estudio de un asunto de una manera “nueva”, dirigida por el interés de responder a un cuestionamiento.

• Dialéctica del estudio y de la investigación (dE-i): la búsqueda de respues-tas a una pregunta generatriz combina el estudio de praxeologías, dispo-nibles en la cultura escolar (denotadas R ◊), con la formulación de nuevas preguntas (preguntas derivadas). Responder una pregunta generatriz genera un cuestionamiento de las obras, nociones y saberes vinculados a ella. Este cuestionamiento provoca una investigación en torno a esas obras y, a su vez, esta investigación genera estudios específicos. Así se concreta una dialéctica: una investigación genera un estudio y un estudio, una investigación.



• Dialéctica del individuo y del colectivo (di-C): los REI corresponden a un trabajo colectivo pero, en el proceso de búsqueda de respuestas a pre-guntas, cada actor del proceso de estudio, o sea el profesor y los estu-diantes, puede seguir el recorrido que desee. Según Chevallard (2013b) cada miembro de la comunidad de estudio debe considerarse libre de perseguir un estudio e investigar relativamente respecto a las preguntas, pero sin dejar de contribuir al conjunto. Esta dialéctica es fundamental no sólo al interior de cada grupo de trabajo, sino también en la clase en general, con la intervención del profesor para decidir qué cuestiones seguir, cómo gestionar las puestas en común, etcétera.

• Dialéctica del análisis-síntesis praxeológica y del análisis-síntesis didáctica (dAsP-Asd): consideraremos esta dialéctica no en el sentido estricto, es decir, sin distinguir el análisis-síntesis praxeológico del análisis-síntesis didáctico. Preferimos mantener el nombre asignado por Chevallard (2013b), pero asumimos que la construcción de una respuesta a una pregunta no se limita a buscar, investigar y estudiar los saberes útiles para construir la respuesta. Es necesario concretar un análisis de esos saberes y determinar qué es lo útil, lo funcional para la construcción de la respuesta buscada. Este análisis comporta además la elaboración de una síntesis, entendida no como un resumen de esos saberes sino como una producción perso-nal-grupal de los saberes, identificando las relaciones y los elementos útiles para la construcción de respuestas.

• Dialéctica del tema y fuera-de-tema (dt-Fdt): una auténtica pregunta gene-ratriz, vinculada o no con disciplinas diferentes a las matemáticas, conduce inevitablemente a estudiar e investigar saberes ligados directa o indirec-tamente a la pregunta de partida. La búsqueda de respuestas a una pregunta no es lineal y directa. Es necesario transitar por un camino con ramificaciones que generan “salidas” al estudio e investigación de obras que parecen ser pertinentes para la construcción de la respuesta a cons-truir, aunque luego resulten no serlo.

• Dialéctica del paracaidista y de las trufas (dP-t): un proceso de estudio que tiene como punto de partida una pregunta generatriz necesita “rastrillar” áreas amplias, de gran alcance, zonas donde se estima que puede encon-trase un saber útil a la construcción de una respuesta. Una vez identifi-cadas las áreas pertinentes, es necesario realizar enfoques cada vez más próximos, con el objetivo de identificar las “pepitas” —las “trufas”— que



permitirán progresar en el estudio e investigación. Los términos “paracai-dista” y “trufas” se deben al historiador francés Emmanuel Leroy-Ladurie, quien clasificó a los historiadores como paracaidistas y buscadores de trufas. Por un lado, los paracaidistas realizan una exploración en extensas áreas de territorio, mientras los buscadores de trufas sacan a la luz los teso-ros enterrados. “‘Buscadores de trufas’ y ‘paracaidistas’: los primeros hurgan en torno a sí con las narices metidas en la tierra; en tanto que los segun-dos descienden en medio de las nubes, inspeccionando el panorama de todo el campo, pero desde una altura tan elevada que no alcanzan a percibir con claridad nada en detalle” (Bouza Álvarez, 1990: 99).

• Dialéctica de las cajas negras y cajas claras (dCn-CC): en una enseñanza tradicional, las obras deben estudiarse porque así se ha explicitado en el programa de estudios, sin cuestionar demasiado su utilidad, el por qué y para qué de su estudio. En una enseñanza por REI, en cambio, se trata de buscar un nivel intermedio sobre cuánto y qué estudiar de una obra. Esto es considerado como el nivel de gris más óptimo en función de una necesidad. Esta dialéctica estimula el estudio de los saberes pertinentes, los necesarios para “clarificar” algunos aspectos de las obras que son necesarios y dejar en la “oscuridad” los que no lo son.

• Dialéctica media (sistema de información)-medio (de estudio) (dM-M) (o de la conjetura y de la prueba): el ingreso en la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento concibe un medio didáctico más próximo al desa-rrollado en una práctica de investigación. El medio de estudio no está definido de antemano, sino que se construye y sus componentes son puestos a prueba en paralelo a la construcción de respuestas. Esta con-cepción de medio, más amplio y abierto, permite el ingreso a él de cual-quier tipo de saber producto de diferentes fuentes de información, diferentes medias. En una enseñanza monumental el único media del que dispone el estudiante es el profesor. En una enseñanza por REI, en cambio, el alumno puede considerar e incorporar al medio de estudio una obra reencontrada en cualquier otro media. Chevallard (2013b) define un media como cualquier sistema que represente una parte del mundo natu-ral o social destinado a un público específico: el “curso” de un profesor, un artículo de química, una revista, un periódico, un sitio de Internet, etc. Esta dialéctica corresponde también, de acuerdo con sus primeras formu-laciones, a la conjetura y prueba. En este sentido se refiere a que el saber



construido en un REI y considerado producto de una conjetura, debe ponerse a prueba.

• Dialéctica de la lectura y de la escritura (dl-E): el proceso de búsqueda de respuestas disponibles en los diferentes medias conduce a una “decons-trucción” de estas respuestas. Esta deconstrucción se refiere a un desglo-samiento, a identificar, separar, “leer” las obras que pueden servir a la construcción de la respuesta buscada. Esta “lectura” activa así, en principio, tres tipos de tareas: observar, analizar y evaluar estas respuestas, para luego activar otros tres tipos de tareas, más propios de la “escritura”: desa-rrollar, difundir y defender la respuesta producida. Esta dialéctica incita al desarrollo de diversos niveles de escritura: diarios de clase, notas de síntesis, glosarios, producción final, etcétera.

• Dialéctica de la difusión y de la recepción (dd-r): una vez construida la respuesta, cada miembro o grupo de estudio debe difundirla, darla a conocer explicando sus componentes y justificando las elecciones reali-zadas. Esta difusión no consiste en una simple presentación de la res-puesta, sino que debe ser una difusión que tome en cuenta la recepción del resto de la comunidad, una difusión que considere los cuestionamien-tos, las aceptaciones y resistencias del resto de la clase.

A continuación presentamos la metodología de la investigación. Resulta indispensable mencionar, además, en esta sección las características de la dinámica del REI implementado, para ubicar al lector en el proceso de cons-trucción de los indicadores. Por cuestiones de espacio —y debido a que el objetivo de este trabajo no es describir las implementaciones del REI, sino presentar los indicadores didáctico-matemáticos de las dialécticas— solamente describiremos brevemente la dinámica y estructura del REI experimentado. Una descripción detallada de esta dinámica se encuentra en Parra, Otero y Fanaro (2013).

MEtodologíA dE lA invEstigACión

La implementación del REI fue llevada a cabo en el último año del nivel secun-dario argentino desde el primer día del ciclo lectivo, y estuvo a cargo del inves-tigador. Comenzar con la implementación desde el primer día de clases fue una decisión tomada durante la etapa de diseño del REI pues, de esta forma, no se



realizó un “entrenamiento” previo en las praxeologías que permitirían dar res-puesta a las preguntas, es decir, los estudiantes no sabrían qué nociones mate-máticas permitirían aportar las respuestas. La implementación de mayor duración se desarrolló durante 36 sesiones de clases en un grupo de alumnos del último año de los niveles secundarios argentinos (16-17años), distribuidos (a elección de ellos) en 6 grupos de trabajo ubicados, por decisión institucional, en mesas redondas. Las 36 clases se desarrollaron a lo largo de siete meses. Los encuentros se concretaban dos veces por semana, con duración de 2 horas cada sesión. Se realizó observación participante, se tomaron notas de campo que permitieron registrar en un diario de clase las intervenciones, dificultades, sensaciones, acontecimientos, etc. Fue registrado el desarrollo de las clases en audios gene-rales, para facilitar su registro cronológico, y principalmente se recolectaron las producciones de los estudiantes de todas y cada una de las sesiones de clase. Estas producciones eran escaneadas y devueltas la sesión siguiente.

El REI fue implementado dentro de las clases usuales de matemáticas. El profesor y los estudiantes acordaron que el proceso de estudio a desarrollar diferiría de la forma en que estaban habituados a trabajar. Este grupo de jóvenes ha realizado toda su escolaridad con una enseñanza enmarcada en el para-digma tradicional, donde el docente de matemáticas explica un “tema” del programa y los alumnos resuelven actividades de aplicación del “tema” previa-mente expuesto. En esta oportunidad, el profesor les propuso trabajar de forma diferente: estudiarían matemáticas a partir de preguntas que cada grupo debe-ría responder y luego comunicar y defender. No se redactó un contrato de trabajo, pero sí se mencionaron algunas “cláusulas” respecto a:

• La modalidad de trabajo: los estudiantes trabajarían en grupos de cinco integrantes cada uno, máximo. La conformación de los grupos era volun-taria y debían permanecer estables a lo largo de todo el recorrido.

• Los recursos a utilizar: además del propio docente de matemáticas, los alumnos podían consultar a los demás profesores del colegio, en particular al profesor de economía. Se incorporó el uso de computadoras: cada grupo disponía de una computadora con acceso a Internet, permitiendo realizar búsquedas cuando lo creían necesario, o utilizar el GeoGebra® si lo consideraban pertinente. Además, se acordó asistir a la biblioteca del establecimiento para consultar los libros de texto (de matemáticas y/o de microeconomía) allí disponibles.



• La evaluación: se acordó que la evaluación sería a lo largo del proceso de estudio, clase a clase, a partir de las producciones individuales y gru-pales diarias. Luego, habría una instancia de síntesis que también formaría parte de la evaluación de todo el proceso de estudio.

Las preguntas generatrices del REI se refieren a la microeconomía, específi-camente al comportamiento de las leyes de oferta y la demanda de mercado. Desarrollamos un REI cuyas preguntas e hipótesis de partida (H0, H1 y H2) per-miten construir y analizar las variaciones de un modelo lineal de oferta y deman-da, donde las ecuaciones dependen únicamente del precio del bien (p) y de las cantidades del mismo (cantidad demanda y cantidad ofrecida). Estas hipótesis no se explicitaron al grupo de alumnos como tales, sino que fueron consideradas durante las primeras fases de la ingeniería didáctica, específicamente cuando se diseñó el recorrido implementado. Las hipótesis son las siguientes:

h0: Existe el estado de equilibrio y es accesible.h1: El equilibrio en el mercado se alcanza si y sólo si la demanda excedente es cero: Cd – Co = 0, siendo Cd la función de demanda y Co la función de oferta.h2: Las funciones Co y Cd son lineales y dependen de una única mercancía.

Bajo estas hipótesis, las preguntas generatrices, tal cual fueron presentadas a los estudiantes por parte del profesor, fueron las siguientes:

Q1: Supongamos que se está elaborando un producto con la intención de venderlo. De un ensayo de ventas previo se obtuvo la información ofrecida en las tablas siguientes:

Cantidad ofrecida

Precio por unidad(en $)

Cantidad demandada

Precio por unidad(en $)

155 10 330 7

307 18 250 15

98 7 270 13

¿Cómo determinar a qué precio por unidad todo lo producido se vende y no queda demanda insatisfecha? ¿Qué modelo lineal permitiría estudiar el comportamiento de la oferta y demanda en este mercado?



Q2: ¿Cómo se podría estudiar el comportamiento de las leyes de oferta y la demanda para cualquier par de funciones lineales de oferta y de demanda? ¿Cómo podría hallarse en este caso el punto de equilibrio?

Q3: Supongamos que la función de oferta de un mercado está dada por la función Co (p) = 3p − 2 y que la función de demanda, por Cd (p) = −4p + 6 ¿Cómo describir la variación del punto de equilibrio si solo se modifica el valor de la cantidad inicial demandada? ¿Y si se modifica el valor de la cantidad inicial ofrecida?

Q4: ¿Cómo describir la variación del punto de equilibrio si solo se modifica el valor de las pendientes?

Q5: ¿Cuánto varía exactamente el punto de equilibrio en cada caso?

Es importante mencionar que estas preguntas fueron presentadas en el orden indicado. O sea, fue una sucesión de preguntas donde cada una de ellas fue propuesta por el profesor en los momentos donde lo creía conveniente. Cada grupo de alumnos tenía la tarea de aportar una respuesta, comunicarla y defenderla ante el resto. Las preguntas que surgían en los distintos grupos de alumnos eran consideradas por la comunidad de estudio y también debían responderse. Cada grupo debía aportar respuestas, utilizando las sesiones de clases necesarias y los recursos disponibles. El profesor recorría los grupos para seguir el trabajo de cada uno y gestionaba las puestas en común, ayudando pero sin aportar las respuestas a las preguntas planteadas, permitiendo que los estudiantes asumieran su papel en la construcción de respuestas y en el planteo de nuevas preguntas. Los alumnos debían hacerse cargo de las pre-guntas y comprometerse con la elaboración de respuestas genuinas, y no simplemente buscando información.

El REI experimentado permitió estudiar organizaciones matemáticas en torno a rectas del plano en diversos momentos del proceso de estudio, a la derivada de funciones que condujo al estudio del límite de funciones (invir-tiendo así el orden “habitual”, que en general se efectúa a la inversa, primero se estudia el límite y luego la derivada), a la continuidad y al análisis de algunas funciones sencillas. Respecto a las obras de la microeconomía, fue posible estudiar el esquema de funcionamiento de un modelo económico, el análisis de los mercados, concepto, clases, funcionamiento, equilibrio y la determinación de precios.



Cada pregunta permitió a los grupos (con la ayuda del docente) formular una serie de preguntas derivadas, que por razones de espacio no detallaremos aquí. Conviene mencionar que las preguntas derivadas emergieron durante el proceso de estudio. Como ya lo indicamos anteriormente, el profesor pro-puso a los estudiantes las preguntas que presentamos bajo el rótulo Q1, Q2, Q3, Q4 y Q5. Estas preguntas no se dividieron a priori en cada una de sus derivadas, sino que las derivadas emergieron a lo largo del proceso de bús-queda de respuestas a las Qi, i = 1, …, 5. Es decir, el profesor no dividió a priori las cuestiones Qi, i = 1, …, 5 en sus derivadas —por ejemplo, el profesor no dividió a priori la cuestión Q5 en 13 sub-cuestiones, sino que estas 13 sub-cuestiones fueron emergiendo a lo largo del proceso de estudio en los diferentes grupos de la clase, bajo su dirección—. Una descripción detallada del funcionamiento de la dialéctica del estudio y la investigación centrada precisamente en la generación de las sub-cuestiones ha sido el foco de un trabajo ya publicado (Parra, Otero y Fanaro, 2015). Aquí solamente presenta-mos el esquema que resume las preguntas.

Para analizar los registros obtenidos fue diseñada la Tabla 2. En la primera columna se coloca el número de clase (desde la clase 1 a la 36); la segun-da contiene las preguntas estudiadas; la tercera, dividida en 9 sub-columnas, contiene las dialécticas; aquí se coloca un 1 para indicar que esa dialéctica fue identificada y un 0 para indicar que no. Finalmente, la cuarta columna contie-ne el indicador del funcionamiento de la dialéctica correspondiente.

tabla 2. Funcionamiento de las dialécticas.

Sesi

ón N

°

Preg

unta

dialéctica

Indi

cado

r

dE-i di-C dAsP-Asd dt-Fdt dP-t dCn-CC dM-M dl-E dd-r

Del

est

udio

y d

e la

in

vest

igac

ión

Del

indi

vidu

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s)

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(sín

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y

caja

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De

la le

ctur

a y

de la

esc

ritur

a

De

la d

ifusi

ón y

de

la re

cepc

ión



Q4: Variaciones en la pendiente

Q5

Q5.1: ¿Cómo justificar los cambios constantes? Q5.2: ¿Cómo hacer para obtener los valores sin graficar? Q5.3: ¿Cómo determinar el incremento de una variable respecto a otra? Q5.4: ¿Cómo se relaciona la derivada con el cociente incremental?

Q5.4.1: ¿Cómo calcular un cociente incremental? Q5.4.2: ¿Cómo hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos?

Q5.4.2.1: ¿Qué es una recta secante? Q5.4.2.1: ¿Qué es una recta tangente?

Q5.5: ¿Cómo calcular límites? Q5.6: ¿Cuáles son las propiedades del límite de funciones? Q5.7: ¿Cómo calcular la derivada de cualquier función? Q5.8: ¿Cómo calcular la derivada de una función en un punto? Q5.9: ¿Siempre se debe calcular una derivada por definición?

Q5.9.1: ¿Cuáles son las reglas de derivación? Q5.9.2: ¿Cuáles son los casos elementales?

Q5.10: ¿Cómo calcular derivadas usando las reglas y los casos elementales? Q5.11: ¿Cómo estudiar las variaciones en el punto de equilibrio utilizando la derivada? Q5.13: ¿Cuál es la relación de la derivada con el análisis de funciones?

Variaciones en un modelo particular

Conclusiones cuantitativas

OMat Derivada OMat Límite

Q3: Variaciones en la ordenada al origen Q3.1: ¿Cuándo dos rectas son paralelas? Q3.2: ¿Cómo utilizar el GeoGebra®? Q3.3: ¿Cuál es la fórmula para sacar el cambio? Q3.4: ¿Cómo obtener las variaciones de “forma práctica?

Variaciones en un modelo particular Conclusiones cualitativas

OMat Desplazamientos de rectas OMat Relaciones entre variables OMat Sistemas de ecuaciones

Construcción del modelo particular

Q1 Q1.1: ¿Qué es un modelo de oferta y de demanda? Q1.2: ¿Qué es la oferta y qué es la demanda? Q1.3: ¿Cuáles son las leyes de la oferta y la demanda? Q1.4: ¿Qué es el punto de equilibrio? Q1.5: ¿Cómo se calcula el punto de equilibrio? Q1.6: ¿Cómo es la ecuación de una recta?

Q1.7: ¿Cómo hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos? Q1.8: ¿Cómo resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? Q1.9: ¿Cuándo una función lineal es creciente y cuándo decreciente?

Q2 Q2.1: ¿Cómo determinar los signos de los parámetros? Q2.2: ¿Cómo se interpretan los parámetros en la microeconomía?

Construcción del modelo general

Identificación del modelo - Construcción del modelo - Análisis del modelo - Evaluación del modelo.

OMat Función afín - OMat Rectas del plano OMic Oferta y demanda - OMat Sistemas de ecuaciones

OMic Restricciones del dominio

Esquema 1. Resumen de preguntas formuladas durante las 36 sesiones de clases.



PrinCiPAlEs rEsultAdos: indiCAdorEs didÁCtiCo-MAtEMÁtiCos dE lAs diAléCtiCAs

dE-i: del estudio y de la investigación: identificamos el funcionamiento de esta dialéctica cuando en algún momento de la clase se produce:

− Una búsqueda sostenida en Internet, en libros de diversas disciplinas, consultas a profesores de diferentes disciplinas, consultas a profesionales y/o cualquier otra búsqueda en distintos medias ajenos al profesor del curso. Por ejemplo, en este caso, la búsqueda en Internet o en libros de matemáticas y/o de microeconomía.

− El estudio de respuestas R i¸, es decir, el estudio de respuestas disponibles,

entendiendo por tales a aquellas obras reconocidas por la cultura y/o el estudio de obras Oj que son útiles en la construcción de la respuesta a la pregunta generatriz o sus derivadas. Identificaciones de acciones de estudio en torno a:

❍❍ R 1¸: OMat en torno a la función lineal.

❍❍ R 2¸: OMat en torno a rectas paralelas y rectas perpendiculares.

❍❍ R 3¸: OMat en torno a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas.❍❍ R 4

¸: OMicro en torno a los modelos de oferta y demanda.❍❍ R 5

¸: OMicro en torno a los desplazamientos de las curvas de oferta y demanda.

− La formulación de preguntas derivadas de la generatriz en los diferentes grupos y acciones de búsqueda de respuestas a las mismas. Por ejemplo:

❍❍ Q ME1 : ¿Qué es un modelo de oferta y de demanda?❍❍ Q ME2 : ¿Cómo se comporta la función de oferta?❍❍ Q ME3 : ¿Cómo se comporta la función de demanda?❍❍ Q ME4 : ¿Qué se entiende en microeconomía por punto de equilibrio?❍❍ Q ME5 : ¿Cómo representar el conjunto de datos en un sistema de ejes cartesianos?

di-C: del individuo y del colectivo: identificamos el funcionamiento de esta dia-léctica cuando se detectan las siguientes acciones:

− Una toma de decisiones del grupo de estudiantes, por ejemplo ponerse de acuerdo sobre el modelo a construir (si las cantidades ofrecidas y



demandadas dependen del precio o si el precio depende las cantidades ofrecidas y demandadas).

− Algún integrante menciona que la producción que ha realizado no es de él sino del grupo, y viceversa.

− Cada grupo acuerda cómo difundir y defender su respuesta, entendiendo que es una producción grupal, colectiva, no individual, y asignando tareas y responsabilidades individuales en esa difusión.

− El profesor y/o los estudiantes deciden qué cuestiones estudiar. − El docente gestiona las puestas en común en función de las necesidades de avanzar en el proceso de estudio.

− Los alumnos incorporan cuestionamientos durante las puestas en común, para re-direccionar el proceso de estudio según la producción de su grupo.

dAsP-Asd: del análisis (síntesis) praxeológica y del análisis (síntesis) didáctico: identificamos el funcionamiento de esta dialéctica cuando se observa alguna acción del siguiente tipo:

− Un análisis de las diferentes respuestas R i¸ que requiere decidir qué parte

estudiar de estas obras para construir la respuesta R ♥. Por ejemplo: ¿Qué y cómo estudiar los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incóg-nitas? ¿Qué y cómo estudiar los modelos de oferta y de demanda? ¿Qué y cómo estudiar los desplazamientos de funciones? ¿Qué y cómo estudiar las relaciones entre variables?, etcétera.

− Un análisis de los datos obtenidos de diferentes sistemas de información: Internet, libros de matemáticas, libros de microeconomía, profesores, eco-nomistas, comerciantes, etcétera.

− Un análisis de las preguntas formuladas dentro de cada grupo de estudio. − Una síntesis de las técnicas, tecnologías y teorías que componen las diferentes respuestas R i

¸. − Una síntesis de la información obtenida en los diferentes media, priori-zando lo que es necesario y adecuado para aportar respuestas a las preguntas.

− Una síntesis de las respuestas a las preguntas derivadas de la generatriz.

dt-Fdt: del tema y fuera-de-tema: previo a enumerar los indicadores, diremos que la separación entre matemática y microeconomía se efectúa en términos de la



exploración de ámbitos que no parecían tener mucha relación directa con la cuestión considerada. Por ejemplo, el estudio del límite de funciones se produjo a partir de la pregunta sobre las variaciones del precio y cantidad de equilibrio. Esta exploración no fue evidente al considerar la pregunta Q4. Así, detectamos que esta dialéctica funciona por acciones tales como:

− Una salida a una disciplina diferente de las matemáticas, por ejemplo, a la microeconomía. La decisión sobre el dominio de validez de los pará-metros del modelo implica estudiar las leyes de oferta y la demanda, y ajustarlos a ellas. A su vez, la representación en un sistema de ejes cartesianos puede alternar los ejes cartesianos.

− Dentro de las matemáticas, una salida a la misma disciplina. Por ejemplo:

❍❍ El estudio del límite de funciones para poder ingresar al estudio de la derivada de funciones como el límite del cociente incremental.

❍❍ El estudio de sistemas de ecuaciones para ingresar al cálculo de puntos de equilibrio.

dP-t: del paracaidista y de las trufas: esta dialéctica se pone en funcionamiento cuando es introducida por primera vez una pregunta “nueva”, alguna pregunta derivada, alguna R ◊ y/o cualquier obra que, habiendo realizado una búsqueda en diferentes media y sin un análisis exhaustivo, pareciera ser útil a la cons-trucción de la respuesta R ♥. El funcionamiento de esta dialéctica es identificado cuando en algún momento de la clase observamos que:

− Los grupos de alumnos no logran determinar cómo comenzar a responder las preguntas, y las producciones entregadas no aportan una respuesta parcial a las mismas.

− La búsqueda en Internet es ampliada y comienzan a enfocarse en lo que les podría ser útil.

− La búsqueda en los libros los lleva a descartar diferentes capítulos que no servirán para aportar repuestas.

dCn-CC: de las cajas negras y cajas claras: identificamos el funcionamiento de esta dialéctica si en algún momento de la clase se produce un estudio “incompleto”, parcial, de una obra. Es decir, cuando ocurre un estudio en un “nivel de gris”. Por ejemplo, acciones pertenecientes a este nivel de “gris” son las siguientes:



− Estudiar solo una manera de resolver un sistema de ecuaciones. − Construir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos sin realizar el estudio “mecánico” de “la fórmula”.

− Estudiar rectas paralelas sin estudiar las rectas perpendiculares. − Estudiar la derivada de funciones como el límite del cociente incremental.

dM-M: media-medo (o la de la conjetura y de la prueba): esta dialéctica es detec-tada cuando en algún momento de la clase:

− Se realizan preguntas en términos de ¿Por qué?, o sea, cuestionando un resultado obtenido o propuesto en algún media (fuente de información). Por ejemplo ¿Cuál de los dos modelos obtenidos es el correcto? ¿Por qué ambos modelos de oferta y demanda son adecuados?

− Se estudia una obra obtenida en algún media diferente al profesor de la clase.

− Se hacen preguntas en términos de ¿Cómo?, cuestionando ¿Cómo probar que efectivamente el modelo elegido es el correcto? ¿Cómo probar que el punto de equilibrio efectivamente varía la cantidad indicada? ¿Cómo probar que la variación entre el punto de equilibrio y los parámetros está relacionado?, etc. Esto implica la necesidad de disponer de nueva información.

dl-E: de la lectura y de la escritura: detectamos el funcionamiento de esta dia-léctica si en aquellos momentos de la clase los estudiantes:

− Subrayan o resaltan lo que consideran importante de las búsquedas en Internet, o bien cuando copian en sus carpetas lo que puede serles útil de esas búsquedas y de las lecturas en los libros o de las consultas al profesor de economía y matemáticas.

− Elaboran la síntesis de su propio trabajo, o bien una síntesis de la infor-mación obtenida en algún media.

dd-r: de la difusión y de la recepción: es identificada cuando en algún momento de la clase los grupos de estudio comunican y defienden cada una de las respuestas construidas. Es decir, al compartir las producciones realizadas.



A continuación se propone, a modo de ejemplo, la tabla generada a partir de los datos de la clase 5. Durante la sesión de clase número 5, la pregunta estudiada fue Q2: ¿Cómo podría hallarse en este caso (haciendo referencia a datos específicos) el punto de equilibrio? Durante la búsqueda de respuestas a esta pregunta se activaron los siguientes gestos, indicando la puesta en marcha de las dialécticas señaladas en la tabla:

tabla 3. Indicadores didáctico-matemáticos de la sesión cinco.

sesión n°

dialéctica

dE-i di-C dAsP-sd dt-Fdt dP-t dCn-CC dM-M dl-E dd-r

5 1 1 1 1 0 1 1 1 0

Enseguida, los indicadores didáctico-matemáticos identificados en esta clase, espacio correspondiente a la última columna de la Tabla 2:

IndIcadores dIdáctIco-matemátIcos

dE-i: los grupos de trabajo investigan y estudian qué relación existe entre los signos de los parámetros del modelo que lograron construir (ver siguiente figura) y los postulados de la oferta y la demanda en microeconomía.

di-C: primero al interior de cada grupo y luego con el grupo en general, los estudiantes y el profesor deciden los signos de los parámetros del modelo, según las distintas formulaciones. Existe aquí una toma de decisiones intra e inter grupal.

dAsP-sd: analizar la praxeología “función lineal”. Se analiza lo que ya se “conoce” de funciones lineales, determinando lo que puede servir para la construcción de respuesta. Luego, se procede a realizar una síntesis respecto a funciones crecientes y funciones decrecientes.

dt-Fdt: salir a la microeconomía para interpretar los signos de los parámetros y su razón de ser en los modelos de oferta y de demanda. Salir a la praxeología, funciones crecientes y funciones decrecientes, y una salida más prolongada en el tiempo a los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (gene-rada por la búsqueda del punto de equilibrio en el modelo general).



dCn-CC: establecer que el saber pertinente en este caso corresponde al (de) crecimiento de una función lineal, cuándo y por qué.

dM-M: los alumnos, junto con el profesor, realizan cuestionamientos, en términos de validación, sobre la consideración del precio en el eje horizontal: Se formulan preguntas tales como: ¿Por qué la pendiente de la demanda debe ser negativa? ¿Por qué su ordenada debe ser positiva? ¿Por qué la pendiente de la oferta debe ser positiva? ¿Por qué su ordenada negativa?

dl-E: los estudiantes y el profesor interpretan y reescriben lo que encontraron de funciones afines crecientes y decrecientes, para justificar los signos de los parámetros del modelo. Se “lee” de apuntes del profesor y se “reinterpreta” en el contexto de los modelos de oferta y de demanda.

Durante esta clase no se han detectado indicadores de DP-T ni de DD-R . El análisis realizado aquí con la sesión número 5 fue también efectuado con las 35 sesio-nes restantes, obteniendo la frecuencia con que se ha desarrollado una cierta dialéctica (Tabla 4). Conviene destacar que esta tabla no corresponde a un análisis estadístico, sino que la codificación en 0 o 1 nos permite rotular y diferenciar los gestos que consideramos propios de una dialéctica y no de otra. Es una rotulación desarrollada para interpretar lo ocurrido en clase en términos de las dialécticas, considerando que estos gestos no pueden determinarse directamente sino a través de indicadores.

Reagrupando la ocurrencia de 0 y 1 en función de cada pregunta y cada dialéctica, resumimos esta información en el esquema 2:

La pregunta 5 presenta mayor ocurrencia de indicadores en todas las dialécticas, especialmente las del estudio y la investigación, del tema y fue-ra-de-tema, y del individuo y el colectivo. Esto indica mayor ocurrencia de búsqueda de información y desarrollo de investigaciones, mayor presencia



tabla 4. Resumen de las sesiones de clase.se

sión

n°

Fecha Pregunta

dialéctica


1 10/03 Q1 1 1 0 1 1 0 0 1 0

2 15/03 Q1 1 1 1 1 0 1 0 1 0

3 17/03 Q1 1 1 1 1 0 1 1 1 0

4 22/03 Q1 0 1 1 0 0 0 0 0 1

Q2 1 1 0 1 1 1 0 1 0

5 29/03 Q2 1 1 1 1 0 1 1 1 0

6 31/03 Q2 Q2.1 1 1 1 1 0 0 1 1 1

7 05/04 Q3 1 1 1 1 1 1 1 0 1

8 07/04 Q4 0 1 1 1 1 1 1 0 0

9 12/04 Q4 0 1 0 1 0 1 0 0 1

10 14/04 Q5 Q5.1 Q5.2 1 1 1 0 0 1 1 0 1

11 19/04 Q5.3 1 1 0 1 1 1 1 0 1

12 26/04 Q5.3 1 1 0 1 0 0 0 0 0

13 28/04 Q5.3 Q5.3.1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

14 05/05 Q5.3 0 0 0 0 0 0 0 0 1

15 10/05 Q5.4 Q5.4.1 Q5.5 1 1 1 1 1 1 1 1 0

16 12/05 Q5.5 Q5.6 1 1 1 1 1 1 1 1 0

17 17/05 Q5.5 Q5.6 1 1 1 1 0 1 1 1 0

18 19/05 Q5.5 Q5.6 0 0 0 0 0 0 0 0 1

19 24/05 Q5.5 Q5.6 0 0 0 0 0 0 0 0 1

20 26/05 Q5.5 Q5.6 0 1 0 0 0 0 0 0 1

21 31/05 Q5.5 Q5.6 0 1 1 1 0 1 0 1 1

22 02/06 Q5.5 1 1 1 1 0 0 0 0 0



sesi

ón n

°

Fecha Pregunta

dialéctica


23 07/06 Q5.5 1 1 1 1 0 0 0 0 0

24 14/06 Q5.4.1 1 1 1 1 0 1 1 0 0

25 28/03 Q5.4.1 Q5.4.2

Q5.4.2.1 Q5.7 Q5.8

1 0 1 1 0 1 1 0 0

26 30/06 Q5.7 Q5.8 1 1 1 1 1 1 1 1 0

27 05/07 Q5.9 Q5.9.1 Q5.9.2 1 1 1 1 1 1 1 0 0

28 07/07 Q5.10 1 1 1 1 0 1 0 0 1

29 02/08 Q5.10 1 1 1 1 1 1 1 0 0

30 04/08 Q5.10 1 1 1 1 0 1 1 0 1

31 09/08 Q5.11 1 1 1 1 1 1 1 0 0

32 11/08 Q5.11 0 0 0 0 0 0 0 0 1

33 16/08 Q5.12 1 1 1 1 1 1 1 0 0

34 18/08 Q5.12 1 1 1 1 1 1 1 0 1

35 30/08 Q5.13 1 1 1 1 1 1 1 0 0

36 01/09 Q5.13 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Esquema 2. Ocurrencia de cada dialéctica según cada pregunta.



de acuerdos al interior de cada grupo y mayor salida-ingresos a otros temas (tanto de las matemáticas como de la microeconomía). Se observa una dife-rencia significativa con las restantes preguntas, posiblemente porque Q5 ha permitido generar el mayor número de preguntas derivadas, característica no determinada de antemano. La cuestión Q5 fue produciendo, a lo largo de todo el proceso de estudio, una variedad de preguntas, que además generó un estudio sostenido en el tiempo. Es decir, se destinaron más sesiones de clase a la construcción de respuestas para Q5 y sus derivadas que al resto de las cuestiones. Esta particularidad podría influenciar en la aparición de las dia-lécticas, así como también el hecho de que Q5 permitió abordar aspectos del programa no estudiados previamente por el grupo de clase, y el hecho de que gran parte de las preguntas derivadas fuesen formuladas por los propios grupos de estudiantes.

La búsqueda de respuestas a la Q4 no presenta indicadores de la dialéctica del estudio y la investigación ni de la dialéctica de la lectura y escritura, posi-blemente porque Q4 no generó preguntas derivadas y, en consecuencia, no fue necesario buscar e investigar en diferentes fuentes de información, por lo cual no hubo lecturas con posteriores re-escrituras e interpretaciones por parte de los alumnos.

En Q3 no se determinaron indicadores de la dialéctica de la lectura y escri-tura, pero sí del estudio e investigación, posiblemente porque Q3 generó algunas preguntas derivadas —relativas a rectas paralelas, al uso del GeoGebra® y a la intersección de dos rectas— específicas de una matemática que los estudiantes conocían y sabían utilizar. De manera general, la ocurrencia de indicadores fue similar para Q2 y Q1, detectándose un número inferior a los correspondientes a Q5, pero superior a Q3 y Q4.

La formulación de las preguntas en términos de “Cómo” ha limitado la generación de preguntas derivadas. Así, las cuestiones desde Q1 a Q4 formuladas en términos de “Cómo” generaron un menor número de preguntas derivadas que la cuestión Q5, formuladas en términos de “Cuánto varía (exactamente)”, permitiendo activar las distintas dialécticas. A su vez, estas diferencias, respecto a las apariciones de una dialéctica en detrimento de otras, podrían vincularse a que las preguntas hagan o no referencia a aspectos ya estudiados o no por los alumnos. Diferencia que podríamos asociar a la pregunta Q5 respecto a las restantes. Otro aspecto a considerar es que Q5 ha favorecido en mayor medida la formulación de sub-cuestiones por parte de los propios estudiantes.



disCusión y ConsidErACionEs FinAlEs

El proceso de estudio llevado a cabo a partir de la implementación del REI permitió poner en funcionamiento las dialécticas del estudio y la investigación. Varias de ellas pueden operar a la vez, y el funcionamiento de una llama a la puesta en marcha de las otras. La búsqueda de respuestas a las distintas pre-guntas pone en juego la dialéctica del “estudio y de la investigación”, pues no sólo es necesario estudiar sobre microeconomía y matemáticas, sino también investigar en torno a ambas disciplinas. Para estudiar e investigar sobre una pregunta, es necesario decidir dónde (por ejemplo, Internet, libros de microeco-nomía, economía, matemáticas, profesores de economía y matemáticas, entre otros) realizar las búsquedas y luego determinar cuáles de esos medias serán incorporados al medio (dialéctica de los medias y medio), y qué saberes extraí-dos de dichos medias serán puestos a prueba, o sea, no creídos bajo palabra o por el principio de autoridad. A su vez, esta búsqueda en diferentes fuentes de información requiere determinar qué saberes son pertinentes y funcionales para la construcción de la respuesta R ♥, o sea, cuál es el nivel de “gris” más adecuado. Asimismo, la decisión del nivel de “gris” de las distintas R¸ y de otras obras encontradas en los diferentes medias conducen a decidir de qué forma se incluirán estos saberes en la construcción de la respuesta R ♥, para lo cual será necesario analizarlos, interpretarlos y reescribirlos sin elaborar una copia textual (dialéctica de la lectura y de la escritura).

Por otra parte, la respuesta R ♥ desarrollada por cada grupo de alumnos debe ser el producto de un consenso entre todos los integrantes del mismo. Si bien cada integrante puede realizar un estudio e investigación individual, llega un momento en el cual debe contribuir a la respuesta colectiva, incluyendo a cada actor del proceso de estudio, estudiantes y profesor (dialéctica del individuo y del colectivo). Una vez construida R ♥ al interior de cada grupo, éstos la difun-den y defienden para con el resto de la clase (dialéctica de la difusión y recep-ción). El estudio y la investigación de diferentes obras, la puesta a prueba de los saberes encontrados en los distintos medias, la decisión de su pertinencia y funcionalidad, la identificación del nivel de “gris” adecuado, la lectura y escri-tura no textual de esas obras y la difusión y defensa de la respuesta R ♥ implican que en diferentes momentos del proceso de estudio se realicen “salidas” y “entradas” a ámbitos inesperados o que no parecían, en principio, tener relación directa con la cuestión considerada. Por ejemplo, la praxeología en torno al límite de funciones estaba disponible en el equipamiento praxeológico de los



estudiantes, pero fue necesario llevar a cabo un “reencuentro” con tal praxeo-logía. En otras palabras, se requirió “volver a estudiarla”, a partir del análisis de sus tipos de tareas, sus técnicas, tecnologías y teorías. Así ocurrió una “salida” al límite de funciones, que se prolongó en el tiempo pero que recuperó al menos un sentido al concepto “límite”. Con posterioridad a este estudio fue necesario volver a ingresar, “entrar”, a la organización relativa a la derivada, pues es la que permitía aportar una respuesta a la cuestión sobre las variaciones en el punto de equilibrio. La dialéctica del análisis (y síntesis) didáctica y análisis (síntesis) praxeológica opera no solamente en el desarrollo del REI, sino también en la ingeniería didáctica del mismo. El investigador analiza las acciones didác-ticas y praxeológicas que cada pregunta puede poner en juego.

Respecto a las preguntas derivadas, las correspondientes a las matemáticas han sido superiores al número de sub-preguntas relativas a la microeconomía, y las mayores dificultades corresponden al análisis cuantitativo de las variacio-nes en el modelo de mercado. La dialéctica con mayores dificultades de puesta en marcha fue la de la lectura y escritura, lo cual podría relacionarse con una restricción institucional: el retroceso de las prácticas de lectura y escritura por parte de los alumnos, que opera de hecho en la escuela secundaria y que no pueden circunscribirse solo a las clases de matemáticas ni resolverse en su seno. Su número de ocurrencia es el más bajo. Las dialécticas de la difusión y recepción del paracaidista y de las trufas presentan también un menor número de ocurrencia que las restantes. En esta última, si bien los estudiantes no sabían con qué nociones podrían responderse las preguntas, una vez que identificaron que se refería a modelos de oferta y de demanda, los enfoques para hallar las “pepitas” fueron cada vez menos frecuentes.

La dialéctica más frecuente fue la del individuo y colectivo, lo cual podría deberse a la modalidad de trabajo del grupo de clase. La dialéctica del tema y fuera-de-tema es otra de las más frecuentes —esto se correspondería con la generatividad de las preguntas formuladas—, como también la del estudio y de la investigación, del análisis-síntesis praxeológica y del análisis-síntesis didác-tica, y de las cajas negras y cajas claras. El trabajo en clase, desde el primer día del ciclo escolar, fue responder las preguntas relativas al punto de equili-brio. No se introdujo la pregunta como una “aplicación” de algo estudiado en clases anteriores. Esto provocó cierto desconcierto en los estudiantes, ya que no sabían con qué nociones matemáticas ni microeconómicas podrían respon-derse las preguntas. Esta “incertidumbre” conduce a buscar información útil y a formular preguntas sobre los saberes “matemáticos” y “microeconómicos” que



son necesarios estudiar para responder las preguntas (dialéctica del estudio y de la investigación). La dialéctica del análisis-síntesis praxeológica y del análi-sis-síntesis didáctica, al igual que la de las cajas negras y cajas claras, fueron puestas en marcha en la gran mayoría de las clases. Ambas dialécticas están fuertemente asociadas, ya que la realización de un análisis y una síntesis requiere determinar un nivel de gris óptimo del estudio de las obras.

La dialéctica media-medio resulta en menor ocurrencia que las mencionadas anteriormente. Habría aquí un resultado llamativo, pues la dialéctica media-me-dio es considerada un elemento clave en la reforma epistemológica-didáctica basada en los REI (Bosch, Gascón, 2007, Barquero, Bosch, Gascón, 2011). Con-sideramos que este resultado es producto de la clasificación disjunta de las dialécticas y que, en realidad, los indicadores de una de las dialécticas podrían ser también indicadores de otra. En cambio, la importancia de la dialéctica del estudio y la investigación (preguntas y respuestas), así como la del individuo y colectivo, resulta confirmarse en nuestros resultados, puesto que son dos de las dialécticas con mayor ocurrencia. Con esto es posible reconocer la interre-lación entre las distintas dialécticas ya que, por ejemplo, toda propuesta de nuevas cuestiones o de búsqueda de respuestas externas o creación de nuevas soluciones son elementos que constantemente se incorporan en el medio de los estudiantes y de la comunidad. Así podemos aludir a que la menor ocu-rrencia de la dialéctica medio-media podría depender de la forma como se decida describir y medir la aparición de cada una de las dialécticas. En nuestro caso, el considerarlas independientemente podría correr el riesgo de simplificar su propia dinámica interna, estableciendo así cierta jerarquía entre cada una de las dialécticas y otorgándole a la dialéctica del estudio y de la investigación un papel primordial.

Como se ha mencionado, el objetivo de este trabajo no consistió en describir detalladamente la dinámica del proceso de estudio del REI, sino que se propuso avanzar hacia una fase posterior de análisis. Es decir, luego de la descripción, análisis y evaluación de la implementación del REI, nos propusimos identificar y describir un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos que permitirían establecer el funcionamiento de cada una de las dialécticas —no solo su des-cripción— y al mismo tiempo determinar el poder generador de la pregunta generatriz y sus derivadas. Conviene mencionar que el interés de este trabajo en contar las apariciones de las dialécticas radica en la posibilidad de cuanti-ficar cada una de ellas, y que esto no implica un desprecio en un análisis cualitativo. Nos proponemos avanzar en este sentido, pues un análisis cualitativo



nos permitiría evidenciar qué ha hecho posible o qué ha restringido la aparición o no de las diferentes dialécticas. Aunque hemos mencionado algunos aspectos en la sección anterior, sería deseable avanzar el análisis cualitativo con el objetivo de precisar qué particularidades de cada cuestión parecen influir en la aparición o no de las dialécticas, por ejemplo que las preguntas sean com-pleta o parcialmente formuladas por el profesor o los alumnos, que hagan referencia al estudio de aspectos conocidos, poco o nada conocidos por los estudiantes, que sean preguntas fuertemente codisciplinares, etcétera.

Las preguntas de investigación que nos planteamos fue ¿cómo determinar, a partir de los resultados de la implementación de un REI, un conjunto de indicadores didáctico-matemáticos para cada una de las dialécticas? y ¿qué condiciones (y restricciones) nos aporta el análisis de las dialécticas sobre el funcionamiento de los REI? Para responder nuestras preguntas de investigación, a los efectos del análisis de datos y con la intención de construir tales indica-dores, las dialécticas fueron consideradas de forma independiente. Esta decisión, correspondiente al nivel de análisis, generó ciertas dificultades, ya que en algunos casos resultó difícil delimitar cuándo un indicador corresponde, por ejemplo, a la dialéctica del paracaidista y de las trufas o a la de las cajas negras y cajas claras. A su vez podría ser la razón por la cual la dialéctica media-me-dios, vital en una enseñanza por REI, tuvo menor ocurrencia que, por ejemplo, la de las preguntas y respuestas.

Consideramos que, además, estas dificultades pueden ser producto de la poca utilización de las dialécticas para describir y analizar este tipo de experi-mentaciones y aquí radica, entendemos, la aportación metodológica y teórica más importante de este trabajo: contribuir en una fase metodológica y de análisis poco explorada. Si bien los indicadores presentados en la sección de resultados corresponden a esta experimentación en particular, y han sido desa-rrollados bajo las condiciones y limitaciones del REI implementado, podemos concluir que la generatividad de una pregunta y la ocurrencia de los indicadores de las dialécticas están vinculados entre sí de forma directa: cuanto más gene-rativa es una pregunta, es posible construir más indicadores de las dialécticas. Se espera avanzar en la construcción, amplitud y generatividad del conjunto de indicadores —los resultados aquí presentados corresponden a sus primeras formulaciones y en absoluto son definitivos—, extendiéndolos a partir de futuras implementaciones, propias y de otros investigadores. El trabajo de Salgado, Otero y Parra (2017) aporta en este sentido.



Por último, queremos indicar que el carácter exploratorio de esta investiga-ción deja una variedad de preguntas que aún no poseen respuestas. Por ejemplo: ¿Cómo construir indicadores que permitan determinar dos o más dialécticas interrelacionadas entre sí? ¿Cómo ampliar este conjunto de indica-dores incorporando las dimensiones topogénesis, mesogénesis y cronogénesis? ¿Cómo construir un conjunto de indicadores que permita describir cualquier enseñanza por REI?

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DOI: 10.24844/EM2903.02

¿A qué tipo de problemas matemáticos están expuestos los estudiantes de Cálculo? un análisis de libros de texto

to what Kind of Mathematical Problems are Calculus students Exposed? A textbook Analysis

Adriana Berenice valencia Álvarez1 Jaime ricardo valenzuela gonzález2

resumen. Ante la importancia de la resolución de problemas matemáticos situados en contextos reales, y dada la influencia del libro de texto en la ense-ñanza-aprendizaje de las matemáticas, se cuestiona a qué tipo de problemas matemáticos están expuestos los estudiantes. En este artículo se presenta una distinción entre los problemas matemáticos convencionales y los de modelaje matemático con respecto a nueve aspectos relacionados con el planteamiento del problema y su solución (Green y Emerson, 2010). Utilizando estos nueve criterios, se analizaron y clasificaron un total de 188 ejemplos y 1,114 ejercicios encontrados en la unidad de funciones en una muestra de libros de texto de Cálculo de editoriales mexicanas y estadounidenses. Como resultado del análisis se encontró que entre 65% y 87% de los ejemplos y ejercicios en los libros estudiados tienen características de problemas completamente convencionales. Sólo en tres de los libros se encontraron problemas de modelaje y correspon-dieron a 1% o 2% de los ejemplos y ejercicios de la unidad.

Fecha de recepción: 18 de junio de 2016. Fecha de aceptación: 20 de junio de 2017.1 Tecnológico de Monterrey. [email protected] Tecnológico de Monterrey. [email protected]

Adriana Berenice Valencia Álvarez • Jaime Ricardo Valenzuela González


Palabras clave: Análisis de libros de texto, problemas de modelaje matemático, problemas convencionales, resolución de problemas, Cálculo.

Abstract. Given the importance of solving mathematical problems placed in real contexts and given the influence of the textbook in the teaching and learning of mathematics, it is important to study to what kind of mathematical problems students are exposed. In this article, we present a distinction between conventional mathematical problems and mathematical modeling problems in terms of nine aspects related to the problem statement and its solution (Green and Emerson, 2010). Using these nine criteria, we analyzed and classified a total of 188 examples and 1,114 exercises found in the unit about functions in a sample of Calculus textbooks from Mexican and American publishing com-panies. As a result, the analysis showed that between 65% and 87% of the examples and exercises in the books studied were classified as completely conventional problems. Modeling problems were found in only three of the books analyzed and these correspond to merely 1% or 2% of the examples and exercises of the unit.

Keywords: Analysis of textbooks, mathematical modeling problems, conventional problems, solving problems, Calculus.

introduCCión

Un dicho popular mexicano señala que “del dicho al hecho hay mucho trecho”; parafraseando esto, se plantea aquí que del ejercicio convencional al problema de modelaje matemático hay mucho trecho.

El presente artículo muestra que los problemas convencionales difieren de los de modelaje matemático en nueve aspectos (Green y Emerson, 2010). Estos aspectos son utilizados como criterios de evaluación para analizar los problemas encontrados en una muestra de libros de texto de Cálculo a nivel medio superior (alumnos de 16 a 18 años) y superior o universitario (de 18 a 21 años), para posteriormente categorizarlos como problemas convencionales (en adelante PC) o como problemas de modelaje matemático (en adelante PM).

En general, los PC son estructurados en su planteamiento y cerrados en su solución y procedimientos. Involucran contextos matemáticos familiares y son similares a los que se encuentran en clase “para ejercitar la utilización de méto-dos particulares” (International Association for the Evaluation of Educational

¿A qué tipo de problemas matemáticos están expuestos los estudiantes de Cálculo?


Achievement, IEA, 2011: 42). En cambio, los PM no muestran en su planteamiento toda la información necesaria para solucionarlos, y permiten acceder a múltiples soluciones a través de diversos caminos. Además, están enmarcados en situa-ciones de la vida real, por lo que el alumno requiere “aplicar procedimientos matemáticos en contextos poco conocidos o complejos” (IEA, 2011: 43). En la educación matemática, un PM involucra la representación de la realidad por medio de un modelo matemático.

Por sus características, ambos tipos de problemas difieren en las habilida-des matemáticas que se ponen en práctica al enfrentarse a ellos. Las habilidades necesarias para resolver los PC son, generalmente, limitadas o permanecen en un nivel elemental. Aunque esta clase de problemas son apropiados para prac-ticar los procedimientos vistos en clase, no son los más adecuados para desa-rrollar algunas de las competencias matemáticas necesarias en la actualidad. Los PM tienen mayor complejidad cognitiva y favorecen la relación de dos o más conceptos, el paso de una representación matemática a otra o la imple-mentación de varios procedimientos, por tanto, “representan un resultado valioso de la educación en matemáticas” (IEA, 2011: 44). Este estudio plantea la impor-tancia de investigar a qué tipo de problemas matemáticos están expuestos los estudiantes de Cálculo (PC o PM), analizando los contenidos que plantea una muestra de libros de texto.

El objetivo de este estudio es responder:

1. ¿Qué proporción de los ejemplos y ejercicios planteados en los libros de texto de Cálculo se clasifican como problemas de modelaje matemático y cuántos como problemas convencionales?

2. ¿A cuáles de los criterios o aspectos de los problemas de modelaje mate-mático (Green y Emerson, 2010) dan mayor énfasis los autores de los libros de texto de Cálculo?

Los resultados obtenidos buscan brindar un panorama general acerca de la ausencia o presencia de los PM en los libros de texto, así como sobre el enfoque que dan los autores a sus ejemplos y ejercicios. Aunque el estudio fue realizado en libros de texto de Cálculo, se espera que los criterios de análisis puedan ser de utilidad para apoyar la evaluación y selección de libros en otras disciplinas donde la resolución de problemas sea una de las principales herramientas de aprendizaje.



diFErEnCiACión EntrE ProBlEMAs ConvEnCionAlEs y ProBlEMAs dE ModElAJE MAtEMÁtiCo

Cuando los jóvenes finalizan su educación media superior, es de esperarse que no solamente cuenten con los conocimientos matemáticos suficientes para acre-ditar sus cursos, sino que también sean capaces de utilizarlos para resolver los problemas que pudieran encontrar fuera del entorno escolar (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos, OCDE, 2013; Secretaría de Educación Pública, SEP, 2008). La mayoría de las veces este tipo de problemas diferirá de aquellos vistos en el salón de clases, pues estarán situados en un contexto real, no serán planteados de manera directa y permitirán una mayor variedad de aproximaciones y soluciones (IEA, 2011; SEP, 2013). Estas y otras características son reunidas por los PM.

Los PM son problemas abiertos y complejos donde se pueden poner en juego conocimientos previos y habilidades creativas para proponer hipótesis y esta-blecer modelos que logren explicar matemáticamente cómo se comporta un fenómeno (Trigueros, 2006). Al mismo tiempo, promueven la unión de las mate-máticas escolares con la realidad de los alumnos (Quiroz y Rodríguez, 2015), o con otras áreas del conocimiento. Al utilizarse en la enseñanza, la modelación matemática refuerza los conocimientos sobre conceptos matemáticos (Muro, Camarena y Flores, 2007), despierta el interés de los estudiantes por las mate-máticas frente a su aplicabilidad y estimula la creatividad en la formulación y resolución de problemas (Biembengut, 2006).

Como marco teórico se utiliza la propuesta de Green y Emerson (2010), quienes aportan criterios interesantes para diferenciar los PM de los PC. Los nueve aspectos que proponen pueden dividirse en dos temas: por el plantea-miento del problema y por la solución del mismo.

Por el PlanteamIento del Problema

En este tema se encuentran los aspectos: (1) Naturaleza de la evidencia disponible en el planteamiento, (2) Conexión del planteamiento con los procedimientos matemáticos, (3) Tipo de supuestos necesarios y (4) Complejidad del problema.

Con respecto a los primeros tres aspectos, los PC son estructurados en su planteamiento porque presentan toda la información necesaria para su solución,



desde las variables implicadas en el problema hasta el procedimiento matemá-tico que debe elaborarse. Por lo anterior, el alumno no requiere introducir nuevas variables ni elaborar una gran cantidad de supuestos y, en caso de realizarlos, estos son de naturaleza matemática. En ocasiones el mismo planteamiento guía al estudiante hacia el procedimiento apropiado; por ejemplo, palabras como “en total” o “ganó” pudieran ser pistas verbales de que debe efectuarse una suma (Nesher y Teubal, 1975). Los estudiantes pueden resolver correctamente proble-mas rutinarios haciendo uso de estrategias sencillas de memorización; pueden seleccionar y utilizar correctamente los algoritmos y llegar a una solución correc-ta, aun careciendo de un conocimiento conceptual sólido sobre los conceptos matemáticos (Finney, 2003). Incluso, es común que los alumnos sigan estrate-gias de solución superficiales, tomando únicamente los números que aparecen en el planteamiento y efectuando cálculos que les son familiares (Blum y Borro-meo, 2009).

Los PM son poco estructurados porque pueden no presentar toda la infor-mación necesaria para su solución ni dejar en claro el procedimiento matemático que debe realizarse. Es así como el solucionador requiere establecer supuestos matemáticos y supuestos sobre el contexto del problema, poniendo en juego habilidades matemáticas superiores como razonamiento, creatividad, pensamien-to divergente, comunicación y la capacidad para plantear problemas (Mevarech y Kramarski, 2014).

En cuanto al cuarto aspecto, la complejidad del PC depende del número de procedimientos matemáticos involucrados para su solución, y dichos procedimien-tos ocurren únicamente en el dominio matemático, mientras que el PM adquiere su complejidad porque el proceso de solución ocurre entre el dominio matemático y el dominio real. La interacción entre ambos dominios (Niss, Blum y Galbraith, 2007) y el proceso de modelaje matemático se observa en la Figura 1.

Para resolver PC, los estudiantes deben ser capaces de reconocer las técnicas matemáticas que los llevarán a un resultado, hacer cálculos matemáticos básicos y establecer relaciones sencillas entre conceptos. Para resolver PM, el alumno deberá ser capaz de: especificar cuál es el problema (construcción), identificar la información relevante para resolverlo y establecer supuestos cuando no cuen-te con información suficiente (simplificación y estructuración), representar el problema matemáticamente construyendo un modelo (matematización), mani-pularlo en términos matemáticos para llegar a una solución (trabajo matemáti-co), dar sentido a los resultados de acuerdo con el contexto (interpretación), evaluarlos (validación) y comunicarlos adecuadamente para poder tomar



decisiones (exposición). Estas actividades conforman el proceso de modelaje matemático (Blum y Leiß, 2007) y se muestran también en la Figura 1.

Por la solucIón del Problema

En este tema se encuentran los aspectos: (5) Singularidad de la respuesta, (6) Evaluación, (7) Robustez, (8) Transferencia de las técnicas utilizadas y (9) Tipo de revisión.

El quinto aspecto indica que los PC pueden ser resueltos con un número limitado de métodos que, si son aplicados correctamente, llevan a un único resultado correcto. En contraste, los PM pueden ser resueltos por múltiples cami-nos que conducen a una gran cantidad de resultados, y es posible que tengan múltiples soluciones o que no tengan solución.

El sexto aspecto señala que, si bien las soluciones de los PC sólo pueden ser “correctas” o “incorrectas”, las soluciones de los PM únicamente pueden ser “más apropiadas” o “menos apropiadas”, dependiendo de las decisiones que tomó el solucionador para determinar el objetivo del problema y los factores que son relevantes para resolverlo, entre otras cuestiones. Entonces, la Evalua-ción de la respuesta en un PC consiste principalmente en valorar si se efectuaron

Figura 1. Esquema del proceso de modelaje matemático (Blum y Leiß, 2007: 225).



correctamente los procedimientos matemáticos y si se llegó a una respuesta determinada. En contraste, la Evaluación de una solución de un PM consiste en determinar qué tan apropiada es para el contexto del problema.

Con respecto al séptimo aspecto, la Robustez de la estrategia utilizada para resolver el problema, los PC pueden llegar a ser resueltos simplemente mediante la recuperación y aplicación directa de fórmulas y algoritmos (Finney, 2003), con estrategias de solución sencillas como métodos de prueba y error (Panasuk y Beyranevand, 2010), o copiando el procedimiento de ejercicios similares (Lithner, 2003a). Green y Emerson (2010) observan que estas técnicas llevarían a resul-tados similares o al único resultado posible. En cambio, la estrategia utilizada para resolver un PM es sensible a cambios en los datos o en el contexto del problema, llevando a que el solucionador adapte sus estrategias de solución.

El octavo aspecto, la Transferencia de las técnicas utilizadas, indica que las técnicas de resolución para los PC son transferibles únicamente a problemas parecidos, en tanto que la resolución de un PM favorece la transferencia de conocimientos y destrezas a nuevas situaciones. Entre estas destrezas se encuen-tran la identificación del problema, de los supuestos y de la información útil del mismo (Green y Emerson, 2010).

Por último, el Tipo de revisión en un PC se reduce a verificar que se hayan llevado a cabo los procedimientos de manera correcta, mientras que la revisión de un PM necesita que se evalúe el contexto y se considere cuáles datos fue-ron tomados en cuenta y por qué, entre otras cuestiones.

En el Cuadro 1 se resumen los nueve aspectos presentados, contrastando los PC con los PM.

inFluEnCiA dE los liBros dE tEXto En lA EnsEñAnzA MAtEMÁtiCA

Adoptar como objeto de estudio a los problemas matemáticos propuestos en algunos libros de texto de Cálculo es relevante debido al papel de esos libros en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Los libros de texto constituyen uno de los principales recursos didácticos del profesor para apoyar su trabajo en el aula (Cabero, Duarte y Barroso, 1989; García y Caballero, 2005). En la enseñanza de las matemáticas, el libro de texto es utilizado para seleccionar y organizar los contenidos (Cantoral, Cordero, Farfán e Imaz, 1990), planificar la secuencia y profundidad didáctica del currículo, establecer la definición formal de ciertos



Cuadro 1. Contraste entre los PC y los PM (adaptado de Green y Emerson, 2010).

tema AspectoProblema matemático

convencional (PC)Problema de modelaje

matemático (PM)

Planteamiento del problema

1. Naturaleza de la evidencia disponible

Toda la evidencia o datos necesarios para resolver el problema son proporcionados en el planteamiento, en la sección correspondiente del libro de texto o en los ejemplos realizados por el profesor, entre otras fuentes.

La evidencia que se provee es insuficiente y posiblemente contradictoria, llevando a la necesidad de que el estudiante realice supuestos, investigue a fondo o introduzca nuevas variables al problema.

2. Conexión con los procedimientos matemáticos

Los procedimientos matemáticos necesarios para su solución son dados, directa o indirectamente, en la formulación del problema.

En la formulación del problema no se indican de manera directa los procedimientos matemáticos necesarios para llegar a una solución.

3. Tipo de supuestos necesarios

Los supuestos necesarios son principalmente matemáticos.

Los supuestos están basados tanto en el mundo matemático como en el mundo real. No se puede llegar a una solución sin establecer una conexión entre ambos mundos.

4. Complejidad del problema

La complejidad está dada por la cantidad de etapas en los procedimientos matemáticos.

La complejidad surge de la interacción entre el mundo matemático y el real.

Solución del problema

5. Singularidad Sólo hay una solución correcta posible.

Hay múltiples soluciones a las que se puede acceder a través de múltiples caminos y que pueden justificarse de diversas maneras.

6. Evaluación Se evalúa si se efectuaron correctamente las técnicas matemáticas y si se llegó a la solución correcta.

Se evalúa si la solución tiene sentido en el contexto del problema, si está justificada y si los pasos están respaldados.



términos, así como para ejemplificar y practicar el uso de procedimientos. Los libros de texto también constituyen la principal fuente de los maestros de Cálculo para los ejercicios y problemas vistos en clase, las tareas escolares y los problemas planteados en los exámenes (Bergqvist, 2012). Asimismo, los estu-diantes de Cálculo dedican gran parte del tiempo de sus tareas a realizar los ejercicios de los libros, se basan en sus ejemplos o en ejercicios similares para imitar los procedimientos utilizados, y se apoyan en ellos al estudiar para los exámenes (Lithner, 2003a; 2003b). En pocas palabras, el libro de texto determi-na en gran medida el tipo de problemas a los que estarán expuestos los alumnos en el aula. En este sentido, es importante conocer en qué proporción se han incorporado los PM a los libros de texto, en contraste con aquellos problemas considerados PC.

Los problemas y ejercicios constituyen una parte esencial de los libros de texto de matemáticas y, a través de los años, su relevancia ha ido en aumento. Los ejercicios comenzaron a convertirse en un elemento central del aprendizaje para apoyar las explicaciones, representar las matemáticas en estrecha relación

tema AspectoProblema matemático

convencional (PC)Problema de modelaje

matemático (PM)


7. Robustez El problema es poco sensible a las estrategias para resolverlo, por su naturaleza “de molde o plantilla”.

El problema es sensible a cambios en los datos o el contexto, resultando en que pueda resolverse por estrategias completamente distintas.

8. Transferencia de las técnicas utilizadas

Hay una transferencia baja de las técnicas hacia otro tipo de problemas. Es decir, lo aprendido para resolver el problema sólo sirve para problemas muy similares.

Hay una transferencia alta en el método general de dar solución a un problema, pero no necesariamente en las técnicas de solución específicas.

9. Tipo de revisión

La revisión consiste en corregir los errores en el procedimiento.

La revisión requiere de una mayor comprensión del contexto y de las técnicas utilizadas.

El Cuadro 1 es relevante para el análisis, pues se utilizó como instrumento de ponderación y categorización de los ejemplos y ejercicios.



con situaciones próximas al alumno, fomentar el interés de los estudiantes y consolidar el aprendizaje (Ruiz de Gauna, Dávila, Etxeberría y Sarasua, 2013). Por su potencial como herramientas para el aprendizaje, “las actividades son uno de los aspectos más valorados por el profesorado a la hora de elegir un libro de texto” (López-Manjón y Postigo, 2016: 86).

Un estudio clasificó los problemas encontrados en libros de texto de mate-máticas utilizados en China y en Estados Unidos para secundaria (educación media), y encontró que la mayoría eran PC (Yan y Lianghuo, 2006). En un primer diagnóstico sobre cómo se incorporan los PM en los libros de texto de mate-máticas, para educación primaria en México (Quiroz y Rodríguez, 2015) se encontró que la modelación matemática no está presente en la mayoría de las lecciones. En otro estudio se compararon los ejemplos a los que están expuestos los estudiantes de Cálculo, comparando los ejemplos que proponen en clase profesores con distintos años de experiencia (Figueiredo, Contreras y Blanco, 2012). Se descubrió que mientras los profesores nóveles usaron ejemplos situa-dos en un contexto matemático, la profesora experimentada utilizó aplicacio-nes de las funciones a situaciones matemáticas de la vida real y de modelación en otras ciencias (Figueiredo, Contreras y Blanco, 2012). Dichos estudios dejan abierta la pregunta sobre la presencia de PM en libros de texto, a nivel medio superior y superior. Esta investigación contribuye además a explorar un campo en donde se requiere enseñar mayor conexión entre las matemáticas y la rea-lidad: el Cálculo.

La mayoría de los estudios sobre libros de texto de matemáticas se enfoca en el producto, es decir, en el libro de texto mismo, e ignora la relación entre el libro y variables como el currículo, el profesor y el contexto educativo, entre otras (Fan, Zhu, Miao, 2013). Los libros de texto presentan una propuesta del saber a enseñar y un tratamiento didáctico, por lo que, más allá de ser materiales de consulta, representan una forma de enseñar (Bravo y Cantoral, 2012). Analizar los libros de texto de matemáticas es un primer paso para encontrar relaciones entre el currículum oficial, el impartido, el oculto y lo que realmente es aprendido por los estudiantes de bachillerato (Valenzuela y Dolores 2012). Los problemas propuestos en el libro de texto representan el currículo oficial (los propósitos de las matemáticas), puesto que son el tipo de problemas que se espera que los estudiantes sean capaces de resolver al terminar la instrucción. Al analizar los libros de texto, es posible detectar los modelos de enseñanza y aprendizaje implícitos en ellos (Serradó y Azcárate, 2003). Por ello, otra aportación del estudio es averiguar cuáles de los nueve aspectos que caracterizan un PM (Green y



Emerson, 2010) son tomados más en cuenta por los autores al momento de diseñar sus ejemplos y ejercicios.

Método

Se utilizó una metodología mixta, realizando un análisis de contenido (Bardín, 1986). Primero, fueron definidos los objetivos y las unidades de análisis: los ejemplos y ejercicios de una muestra de libros de texto. Después se determinaron las categorías de clasificación, utilizando como guía los nueve aspectos propues-tos por Green y Emerson (2010). Luego contabilizamos con cuántos de los nueve aspectos que definen a un PM cumplía cada ejemplo y ejercicio. Si el ejemplo o ejercicio evaluado no cumplía con las características de los PM, se le ponde-raba con cero puntos; si cumplía con una característica se le asignaba un punto y así sucesivamente. Por tanto, se contó con 10 categorías cuantitativas (del 0 al 9). Del análisis también emergieron tres categorías de problemas cualitativas: problemas convencionales, aplicaciones, y de modelaje. Finalmente, calculamos el porcentaje de ejemplos y ejercicios ubicados en cada categoría e hicimos una comparación entre libros.

Para responder a la segunda pregunta de investigación, también se conta-bilizó el número de ejemplos y ejercicios que cumplían con cada aspecto, con la finalidad de identificar los aspectos a los que se les da mayor importancia en los libros de texto estudiados.

materIal analIzado

Fueron seleccionados cinco libros de texto sobre Cálculo, de una variable a nivel medio superior y superior. Para simplificar la lectura, de ahora en adelante cada libro será identificado con la abreviatura “LT#” (Libro de Texto #). Los libros anali-zados y sus abreviaturas son:

LT1: Larson, R., Hostetler, R. y B. Edwards (1994). Calculus of a Single Varia-ble: Early Transcendental Functions. (5a ed.) Boston: Houghton Mifflin.

LT2: De la Borbolla, F. y L. De la Borbolla (1998). Cálculo diferencial e inte-gral. (4a ed.) México: Esfinge.



LT3: Astey, L. (1999). Cálculo diferencial. Programa de complementación de estudios para el ingreso a la educación superior. México: Limusa Norie-ga Editores, Secretaría de Educación Pública, Colegio Nacional de Edu-cación Profesional Técnica.

LT4: Stewart, J. (2002). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. (4ª ed.) México: Cengage Learning/Thompson Internacional.

LT5: Thomas, G. (2010). Cálculo, una variable. (12ª ed.) México: Addison- Wesley.

Si bien estos libros no necesariamente representan los que con mayor fre-cuencia utilizan los profesores de matemáticas, fueron seleccionados con la intención de obtener una gran variabilidad en la muestra. Los más antiguos fueron publicados en los años noventa (LT1 y LT2) y el más reciente en el 2010 (LT5). Hay dos libros (LT1 y LT3) destinados a estudiantes de nivel medio superior y tres (LT2, LT4 y LT5) para alumnos de nivel superior. Dos (LT2 y LT3) pertenecen a dos de las nueve editoriales especializadas en libros de texto con mayor difu-sión en México (Oficina Comercial de la Embajada de España en México, 2006) y uno de ellos (LT3) fue además coeditado por la Secretaría de Educación Pública (Astey, 1999), el principal editor y distribuidor de libros de texto en el país (Becerril, 2014; Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, CANIEM, 2009). Los tres restantes son traducciones de ediciones estadounidenses ampliamente uti-lizadas alrededor del mundo (Larson, Hostetler y Edwards, 1994) y en Latinoa-mérica (Thomas, 2010).

Fueron analizados y clasificados un total de 188 ejemplos y 1,114 ejercicios hallados en la unidad de funciones de los cinco libros (19 ejemplos y 279 ejercicios del LT1; 48 ejemplos y 12 ejercicios del LT2; 49 ejemplos y 110 ejer-cicios del LT3; 53 ejemplos y 328 ejercicios del LT4 y 19 ejemplos y 385 ejerci cios del LT5). Se acotó el análisis a la unidad de funciones por ser un tópico cuya comprensión influye en temas posteriores de Cálculo (García y Vázquez, 2003), común en los cinco libros analizados, y dada la posibilidad del tema para el uso de PM ya que, en un sentido simple, una función es un modelo de una situación.

El Cuadro 2 describe el número de ejemplos y ejercicios encontrados en la unidad de funciones de los cinco libros, así como las páginas y secciones donde se localizaron.



Cuadro 2. Número de ejemplos y ejercicios encontrados en la unidad de funciones, en los cinco libros.

libro de texto sección Ejemplos Ejercicios

LT1: Capítulo P. Preparación para el Cálculo

P.1. Gráficas y modelos n = 7 (pp. 3-8) n = 63 (pp. 9-10)

P.2. Modelos lineales y tasas de cambio

n = 4 (pp. 12-16) n = 88 (pp. 17-19)

P.3. Funciones y sus gráficas n = 5 (pp. 21-27) n = 66 (pp. 28-30)

P.4. Ajustando modelos a los datos n = 3 (pp. 31 -33) n = 19 (pp. 34-36)

Ejercicios de repaso del capítulo P n = 0 n = 43 (pp. 37-38)

Subtotal 19 ejemplos 279 ejercicios

LT2: Capítulo 1. Variables y funciones

1. Variables y funciones n = 48 (pp. 11-22) n = 12 (pp. 23-26)


LT3: Capítulo 1. Funciones

1.1. Dos problemas n = 2 (pp. 13-14) n = 0

1.2. Funciones n = 18 (pp. 15-20) n = 22 (pp. 20-21)

1.3. Gráficas de funciones n = 8 (pp. 23-26) n = 24 (pp. 26-27)

1.4. Operaciones con funciones n = 1 (pp. 28-29) n = 5 (p. 29)

1.5. Composición de funciones n = 11 (pp. 30-34) n = 35 (pp. 34-36)

1.6. Funciones trigonométricas inversas

n = 9 (pp. 38-46) n = 24 (pp. 46-47)


LT4: Capítulo 1. Funciones y modelos

1.1. Cuatro maneras de representar una función

n = 11 (pp. 13-21) n = 64 (pp. 22-24)

1.2. Modelos matemáticos n = 5 (pp. 26-35) n = 20 (pp. 35-38)

1.3. Nuevas funciones a partir de funciones ya conocidas

n = 11 (pp. 40-46) n = 66 (pp. 46-49)

1.4. Calculadoras graficadoras y computadoras

n = 9 (pp. 50-54) n = 42 (pp. 55-56)

1.5. Funciones exponenciales n = 5 (pp. 59-63) n = 26 (pp. 63-64)

1.6. Funciones inversas y logarítmicas

n = 12 (pp. 65-72) n = 58 (pp. 73-75)

Comprobación de conceptos n = 0 n = 12 (p. 75)



libro de texto sección Ejemplos Ejercicios

LT4: Capítulo 1. Funciones y modelos

Preguntas de verdadero-falso n = 0 n = 10 (p. 75)

Ejercicios de repaso n = 0 n = 30 (pp. 76-77)


LT5: Capítulo 1. Funciones

1.1. Las funciones y sus gráficas n = 8 (pp. 2-7) n = 72 (pp. 11-13)

1.2. Combinación de funciones n = 5 (pp. 14-18) n = 88 (pp. 19-22)

1.3. Funciones trigonométricas n = 0 n = 72 (pp. 28-30)

1.4. Graficación n = 6 (pp. 31-34) n = 40 (p. 34)

Preguntas de repaso n = 0 n = 17 (pp. 34-35)

Ejercicios de práctica n = 0 n = 68 (pp. 35-36)

Ejercicios adicionales y avanzados n = 0 n = 18 (pp. 37-38)

Proyectos de aplicación tecnológica n = 0 n = 10 (p. 38)


Total 188 ejemplos 1,114 ejercicios

dIscIPlIna de Interés

Se optó por el Cálculo diferencial e integral de una variable debido a tres factores. Primero, por su importancia en el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes, para la solución de problemas en diversos ámbitos y por el éxito académico y profesional (Grattan-Guinness, 1991). Segundo, porque en la edu-cación media superior y superior se presentan los mayores índices de reproba-ción y deserción escolar de todos los niveles educativos en México (Sistema Nacional de Información Estadística Educativa, SNIEE, 2011) y se ha encontrado que los mayores índices de reprobación y rezago, en muchas instituciones edu-cativas, se presentan en los cursos de Cálculo (Aparicio, Jarero y Ávila, 2007; Riego, 2013; Rubí, Moreno, Pou y Jordán, 2010).

Por último, a causa de que los estudiantes tienen dificultades para conectar el Cálculo con la realidad. La enseñanza tradicional tiende a centrarse en la práctica procedimental y deja de lado la comprensión de los contenidos y cómo son utilizados (Morales y Cordero, 2014). Según la percepción de los jóvenes, los contenidos curriculares matemáticos son poco pertinentes (Alfaro, 2013), el



Cálculo es considerado por algunos como una serie de contenidos cuya utilidad no rebasa el salón de clases (Moreno y Ríos, 2006). Como consecuencia, los alumnos no se sienten atraídos ni motivados a aprender, y no son capaces de aplicar dichos conocimientos en la resolución de problemas de la vida diaria (Wilkins, 2000).

Instrumento: crIterIos de análIsIs

Utilizando la propuesta de Green y Emerson (2010), clasificamos los ejemplos y ejercicios de acuerdo con el número de características de un PM con las que cumplían. Para ello, se utilizó el Cuadro 1 a manera de lista de verificación o de cotejo. Los ejemplos y ejercicios fueron leídos cuidadosamente y evaluados en cada aspecto. Por cada aspecto de un PM cumplido, se le asignaba un punto. Así, los ejemplos y ejercicios fueron ponderados dentro de un rango de cero (PC) a nueve puntos (PM).

ProCEdiMiEnto

El instrumento utilizado para el análisis es cualitativo, por lo que siempre habrá un grado de subjetividad en la evaluación. A manera de confiabilidad entre jueces, se determinó la Kappa de Cohen ponderada (ĸ = 0.66) para las valora-ciones dadas por dos evaluadores.

rEsultAdos

categorIzacIón cualItatIva

Del análisis cualitativo emergieron tres categorías de problemas con caracterís-ticas comunes: problemas convencionales (PC), problemas de aplicación (PA) (con características intermedias), y problemas de modelaje (PM). A continuación se describen y ejemplifican estas tres categorías.

1. Problemas convencionales (0 a 1 punto)

Los ejemplos y ejercicios que cumplieron con ninguno o con uno de los aspectos de los PM fueron evaluados con cero y un punto, respectivamente. Por el



contrario, contaban con nueve u ocho de los aspectos que describen a un PC (con excepción del aspecto 5) y se encontraban situados en un contexto pura-mente matemático.

Entre ellos encontramos problemas cuya solución se lograba con la aplica-ción directa de procedimientos sencillos y que, en su planteamiento, daban indicaciones explícitas al alumno sobre cuáles procedimientos matemáticos seguir, por ejemplo aquellos que pedían encontrar el dominio y/o rango de una función, relacionar una lista de ecuaciones con sus gráficas o convertir ciertas funciones implícitas en explícitas.

Algunos de los PC fueron ponderados con un punto pues, al permitir múlti-ples caminos de solución, cumplían con el criterio de singularidad de la solución (aspecto 5). Tomemos como ejemplo el ejercicio propuesto en LT5, donde los alumnos deben graficar una serie de ecuaciones y explicar “por qué no son gráficas de funciones de x” (Thomas, 2010: 12). Para resolverlo, el estudiante podría utilizar el concepto general de función y hacer una explicación teóri-ca; podría cuestionarse si el valor de la variable dependiente está relacionado con el valor de la variable independiente y podría tabular los valores para com-probar que cada elemento de x tenga una sola imagen en y, entre otras alter-nativas. Sin embargo, este problema y otros similares son mayormente convencionales al estar situados en un contexto completamente matemático y no cumplir con los otros ocho aspectos de un PM.

2. Problemas de aplicación (2 a 6 puntos)

Estos problemas tuvieron en común que se encontraban situados en un contexto real, por lo cual fueron categorizados como problemas situados o aplicaciones (PA). Debido a ello requerían, como mínimo, que el alumno estableciera cone-xiones entre el mundo real y el matemático (aspecto 4) y que verificara que su respuesta tuviera sentido en la realidad (aspecto 6), obteniendo dos puntos. Por ejemplo, los problemas que solicitaban la expresión del área o del perímetro de una figura en función de la longitud de un lado, una diagonal o un radio.

Los problemas con tres puntos requerían, además, que el estudiante realizara supuestos tanto matemáticos como del mundo real (aspecto 3), pero en su planteamiento ofrecían toda la información necesaria para su solución (no cumpliendo los aspectos 1 y 2). En el siguiente ejercicio se observa que todos los datos necesarios para su solución son proporcionados, e inclusive se lleva a cabo uno de los procedimientos:



Trescientos libros se venden en $40 cada uno, lo que da por resultado un ingreso de . Por cada aumento de $5 en el precio, se venden 25 libros menos. Exprese el ingreso R como una función del número x de incrementos de $5. (Thomas, 2010: 13).

Blum y Borromeo (2009) encontraron que los alumnos suelen tener proble-mas para hacer supuestos o asignar valores a variables si estos no han sido definidos en el planteamiento del problema. Ejercicios como el anterior limitan las oportunidades de los estudiantes para practicar estas habilidades.

Los problemas con cuatro, cinco o seis puntos no proveían toda la evidencia necesaria para resolverlos (aspecto 1) ni prescribían los procedimientos (aspecto 2), llevando al estudiante a explorar múltiples caminos de solución (aspecto 5). De igual forma, los alumnos debían evaluar si su solución tenía sentido de acuerdo al contexto (aspecto 6). Algunos PA, como el siguiente, cumplieron con 6 de 9 de los criterios, pero no se consideraron propiamente PM.

El agua fluye a través de un jarrón de 30 centímetros de altura a un ritmo constante. El vaso está lleno después de 5 segundos. Utilice esta información y la forma del jarrón que se muestra en la figura para responder a las preguntas, si d es la pro-fundidad del agua en centímetros y t es el tiempo en segundos. (a) Explica por qué d es una función de t. (b) Determina el dominio y rango de la función. (c) Dibuja una posible gráfica de la función. (Larson et al., 1994: 29).

Figura 2. Forma del jarrón en el ejercicio de LT1 (Larson et al., 1994: 29).

El estudiante puede justificar de múltiples maneras por qué la profundidad del agua depende del tiempo (aspecto 5), calcular el dominio y rango de acuerdo con el contexto del problema (aspecto 6) y determinar si la figura del jarrón afecta la manera en la que es llenado con agua (aspectos 1, 2, 3 y 4).



3. Problemas de modelaje (7 a 9 puntos)

Estos problemas se consideraron PM al estar situados en la realidad, donde se solicitaba la construcción, selección, análisis, interpretación, evaluación, mejora y/o uso de modelos matemáticos para predecir valores futuros. Por ejemplo, un problema propuesto en el LT1 (Larson et al., 1994: 8) presenta una tabla con datos reales sobre el aumento del dióxido de carbono en la atmósfera entre 1960 y 1990 (en partes por millón), en el Observatorio Mau-na Loa, en Hawaii. El problema solicita, como respuesta, que los estudiantes elijan cuál modelo representa “mejor” los datos: (a) Un modelo lineal o (b) Un modelo cuadrático.

Para llegar a una solución, el estudiante debe definir qué significa que un modelo sea “mejor” que otro (aspecto 1) y decidir cuáles criterios va a utilizar para compararlos (aspecto 2). La decisión se basará en los supuestos que esta-blezca el solucionador, en el mundo matemático y en el mundo real (aspecto 3). Matemáticamente, el mejor modelo puede ser aquel cuyo valor del coeficiente de determinación () es más cercano a 1, o aquel donde los valores reales y los valores dados por el modelo sean similares. En el mundo real, el mejor modelo dependerá de si será utilizado para realizar predicciones, representar los datos o expresar la relación entre las emisiones de carbono y el tiempo (aspectos 4 y 6). El alumno deberá elegir entre “dos objetivos (frecuentemente en conflicto): precisión y simplicidad. Esto es, desear que el modelo sea lo suficientemente simple para trabajar con él, pero lo suficientemente preciso para producir resul-tados significativos” (Larson et al., 1998: 8). De acuerdo con las decisiones toma-das, optará por una estrategia de solución (aspecto 7) y llegará a una de las múltiples posibles (aspecto 5). En el proceso, el estudiante aprenderá estrate-gias de solución transferibles a problemas similares (aspecto 8) y llegará a una mayor comprensión del contexto y de las limitaciones de los modelos (aspecto 9).

categorIzacIón cuantItatIva

Del análisis cuantitativo se obtuvieron 10 categorías de acuerdo con el número de características que compartían con un PM (del 0 al 9). El Cuadro 3 muestra la proporción de ejemplos y ejercicios en cada categoría, por cada libro. Ll Figura 3 representa la misma información, con la intención de ilustrar la tendencia obser-vada en los cinco libros.



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En total, la mayoría de los problemas encontrados en los cinco libros (entre 78% y 93%) corresponden a PC, situados en un contexto matemático (0 a 1 punto). Lo anterior implica que los estudiantes están expuestos, en su mayoría, a problemas descontextualizados que pueden ser resueltos con la aplicación directa, y en ocasiones rutinaria, de procedimientos. Estos problemas dificul-tan que los alumnos comprendan y practiquen las aplicaciones del Cálculo, o bien, que puedan en un futuro identificar situaciones donde el Cálculo puede ser utilizado.

Comparando los totales, se observa que un porcentaje menor de problemas (entre 7% y 20%) son aplicaciones (2 a 6 puntos). Al ser problemas situados en un contexto real, como mínimo cumplen con dos aspectos: llevan a que el alumno establezca conexiones entre el mundo real y el matemático (aspecto 4) y a que verifique su respuesta en relación con la realidad (aspecto 6). Algu-nos de estos problemas promueven también que practique sus habilidades para establecer supuestos, introducir variables en el problema y proponer diferentes estrategias de solución, entre otras ventajas. Sin embargo, en estos problemas la situación suele estar expresada de manera directa por los autores (por ejemplo, definiendo cuál variable debe estar en función de la otra o expre-sando matemáticamente en qué consiste la relación entre ambas variables) y esto no permite que el alumno genere o proponga por sí mismo la función o modelo ni que cuestione el modelo dado por los autores, o formule mejores modelos. Si se considera que estos problemas son de una dificultad intermedia, en algunos de los libros no hay suficientes “puentes” o escalafones entre los PC y los PM.

A pesar de que el modelaje matemático es descrito como una herramienta que une la realidad de los estudiantes con las matemáticas (Quiroz y Rodríguez, 2015), en total, un porcentaje aún menor (de 0% a 2%) de ejemplos y ejercicios fueron considerados PM (de 7 a 9 puntos). La mayoría de ellos funcionaba a manera de ejemplos (cumpliendo con un papel ilustrativo o motivacional) y también se encontraron, en menor medida, ejercicios. Así, el modelaje presentado en los libros de texto rara vez cumple con la intención didáctica de que el alum-no practique sus habilidades de resolución de problemas abiertos y de cons-trucción o evaluación de modelos.

En la Figura 3 puede observarse que, en los cinco libros, la mayoría de los problemas fueron PC (cero o un punto).



énfasIs dado a cada aspecto

Para responder la segunda pregunta de investigación, sobre los aspectos de un PM que enfatizan los autores al momento de planear y estructurar sus ejemplos y ejercicios, se registró cuántos ejemplos y ejercicios cumplían con cada aspecto de un PM. El Cuadro 4 describe la proporción de problemas que cumplieron con cada aspecto.

El Cuadro 4 revela que en dos de los libros (LT2 y LT3) ningún ejemplo y ejercicio se asemeja a un PM en los aspectos 1, 2, 7, 8 y 9, por lo cual limitan la posibilidad de que los estudiantes aprendan a definir el problema, a identificar posibles estrategias o caminos de solución y a evaluar su solución, más allá de verificar si realizaron los procedimientos de manera correcta, entre otras habili-dades importantes.

Los aspectos que los autores enfatizaron pueden observarse con mayor facilidad en la Figura 4. En ella es notorio que la mayoría de los ejemplos y ejercicios cumplieron con los aspectos 3, 4, 5 y 6, es decir que los autores buscan que los problemas estén situados en un contexto real y puedan ser resueltos a través de diversas aproximaciones. No obstante, descuidan los aspectos 1, 2, 7, 8 y 9, prefiriendo “guiar” al alumno en el proceso de solución y limitar el tipo de revisión de las soluciones de los estudiantes.

Figura 3. Porcentaje de ejemplos y ejercicios de los cinco libros, en cada categoría.



Cuadro 4. Porcentaje de ejemplos y ejercicios que cumplieron con cada aspecto de un pro-blema de modelaje matemático.

tema Aspecto

lt1 lt2 lt3 lt4 lt5

n=298 n=60 n=159 n=381 n=404

% % % % %

Planteamiento del problema

1. Naturaleza de la evidencia disponible

6% 0% 0% 4% 1%

2. Conexión con los procedimientos matemáticos

7% 0% 0% 2% 0%

3. Tipo de supuestos necesarios

14% 22% 7% 13% 8%

4. Complejidad del problema 11% 0% 7% 10% 4%


5. Singularidad 23% 0% 6% 15% 20%

6. Evaluación 26% 22% 3% 19% 11%

7. Robustez 3% 0% 0% 3% 3%

8. Transferencia de las técnicas utilizadas

2% 0% 0% 1% 2%

9. Tipo de revisión 3% 0% 0% 1% 4%

Notas: Los porcentajes fueron redondeados a enteros. Se encontraron problemas que cumplían con varios criterios, por tanto, la suma de los porcentajes no necesariamente será 100%.

Figura 4. Porcentaje de ejemplos y ejercicios que cumplieron con cada aspecto.



Los resultados de este estudio indican que escasean los problemas de apli-cación y los de de modelaje en los libros de texto analizados. También se observa que, si bien hay problemas que cumplen con algunos criterios de PM, como estar situados en la realidad, hay otros aspectos importantes que no se están tomando en cuenta al planear los libros.

ConClusionEs E iMPliCACionEs didÁCtiCAs

La resolución de problemas es un contenido central en la enseñanza-aprendi-zaje de las matemáticas. Sin duda, gran parte del tiempo de clase es destinado a esta actividad, pues se espera que los estudiantes no sólo posean conocimien-to y habilidades matemáticas, sino que también sean capaces de aplicarlos efectivamente dentro y fuera del aula.

En este estudio se explora en qué medida los alumnos están expuestos a PC, en comparación con los PM y aplicaciones. El no contar con suficientes oportunidades para desarrollar y practicar habilidades superiores de resolución de problemas pudiera provocar que los estudiantes no formen suficientes repre-sentaciones de los problemas complejos y no puedan recuperar los inicios de solución tentativos correspondientes (Selden, Selden, Hauk y Mason, 1999). A pesar de ello, los libros analizados dedican la mayoría de sus ejemplos y ejerci-cios a la práctica de procedimientos directos y en menor medida a la aplicación de los conceptos y técnicas matemáticas en una situación real, o al modelaje matemático.

Si bien no es posible “aplicar el cálculo en situaciones de la vida real sin ser capaces primero de comprender y hacer Cálculo” (Larson et al., 1994: ix) y los PC deben formar parte del currículo para practicar, reforzar y posteriormente dominar los conocimientos matemáticos, este tipo de problemas no debe cons-tituir todo el material. La educación matemática debe ir más allá e incluir ejer-cicios de nivel intermedio y avanzado que logren reforzar el tema mediante aplicaciones y soluciones para el mundo real, que sean de interés para los estudiantes y favorezcan el desarrollo de habilidades de orden superior. Los PM son prácticos, motivan al alumno, facilitan la comprensión de conceptos y le demuestran la clase de situaciones que las matemáticas ayudan a resolver. No obstante, su presencia en los libros de texto analizados no resulta suficiente. Así se pone de manifiesto la necesidad de incorporar en el currículo una mayor cantidad de PA y de PM en la educación matemática (Cordero et al., 2009;



Dundar, Gokkurt y Soylu, 2012), además del requerimiento de que investigadores, autores de libros y profesores reflexionemos sobre la clase de problemas con los que nuestros alumnos aprenden y practican nuestra disciplina.

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DOI: 10.24844/EM2903.03

Aproximación al conocimiento común del contenido para enseñar probabilidad desde el modelo del Conocimiento didáctico-matemático

Approaching Common Knowledge of Content for teaching Probability from the didactic-mathematical Knowledge Model

Claudia vásquez ortiz1 Ángel Alsina2

resumen. En este artículo se analiza el Conocimiento Didáctico-matemático del profesorado de educación primaria para enseñar probabilidad, centrándose específicamente en la subcategoría de conocimiento común del contenido. Para ello fueron analizadas las prácticas matemáticas de 93 profesores chilenos de educación primaria en activo, a partir de un cuestionario compuesto por 7 ítems que evalúan aspectos parciales e iniciales de dicho conocimiento. Los resultados muestran un nivel de conocimientos insuficiente, con 4.75 pun-tos promedio de respuestas correctas sobre 14. Se concluye que es necesario diseñar un programa de formación que permita mejorar el nivel de los cono-cimientos para enseñar probabilidad en el aula.

Palabras clave: Conocimiento Didáctico-matemático, probabilidad, profesorado, educación primaria.

Fecha de recepción: 1 de diciembre de 2016. Fecha de aceptación: 21 de junio de 2017.1 Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile. Departamento de Matemática y Didáctica de la Mate-

mática. [email protected] Universidad de Girona, España. Departamento de Didácticas Específicas. [email protected]

Claudia Vásquez Ortiz • Ángel Alsina


Abstract. This paper analyzes the didactic-mathematical knowledge, to teach probability, of Elementary Scool teachers, focusing specifically on the subcate-gory of common knowledge of content. For this, the mathematical practices of 93 active Chilean teachers were analyzed from a questionnaire composed of 7 items that evaluate partial and initial aspects of this knowledge. The results show an insufficient level of knowledge, with 4.75 average points of correct answers over 14. It is concluded that it is necessary to design a training program that allow improving the level of knowledge to teach probability in classrooms.

Key words: Mathematical and Didactic Knowledge of Teacher, Probability, Teach-ers, Elementary school.

introduCCión

Durante las últimas décadas, la probabilidad se ha incorporado desde muy temprana edad en los currículos de numerosos países. Sin embargo, una parte del profesorado de educación primaria en activo ha tenido poca preparación en probabilidad y su didáctica durante su formación inicial, debido a su reciente incorporación en el currículo. Como producto de esta falta de preparación, en ocasiones la enseñanza de esta materia tiende a omitirse y cuando se realiza, principalmente se focaliza en la enseñanza de fórmulas, dejando de lado la experimentación con fenómenos aleatorios y la resolución de problemas (Bata-nero, Ortiz y Serrano, 2007). Desde este prisma, se limita el desarrollo de una experiencia estocástica basada en una metodología activa y exploratoria de fenómenos aleatorios, que permita el desarrollo de un razonamiento probabilís-tico desde la infancia. Para revertir esta situación se requiere, pues, que los profesores comprendan la probabilidad y los aspectos relacionados con su ense-ñanza, además de conocer los errores y dificultades que pueden presentar sus estudiantes (Sthol, 2005).

Con base en estos antecedentes, en el presente trabajo son analizados los conocimientos sobre probabilidad de un grupo de profesores chilenos de edu-cación primaria en activo, con objeto de diagnosticar lo que sucede en Chile al respecto y obtener datos que posibiliten a futuro el diseño de planes de forma-ción que permitan llevar a cabo una enseñanza eficaz de la probabilidad en el aula de educación primaria. A pesar de que las investigaciones en torno al tema han aumentado durante los últimos años en diversos países como España,

Aproximación al conocimiento común del contenido para enseñar probabilidad . . .


principalmente en docentes en formación (e. g. Azcárate, 1995; Azcárate, Carde-ñoso y Porlan, 1998; Batanero, Godino y Cañizares, 2005; Batanero, Burrill y Reading, 2011; Gómez, Batanero y Contreras, 2013), los estudios centrados en el conocimiento didáctico-matemático para la enseñanza de la probabilidad en Chile son prácticamente inexistentes.

Para elaborar nuestro análisis se asume el modelo del Conocimiento Didác-tico-Matemático (CDM), que se fundamenta en el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS) desarrollado por Godino, Bata-nero y Font (2007). Este modelo, a diferencia de otros más generales, permi-te analizar de manera detallada los distintos tipos de conocimientos que debe poseer el profesor para lograr una enseñanza idónea de las matemáticas. De forma más concreta, dicho modelo interpreta y caracteriza el conocimiento del maestro considerando tres dimensiones (Pino-Fan, Godino y Font, 2015): a) La dimensión matemática; b) La dimensión didáctica; y c) La dimensión meta didáctica-matemática. Por tanto, el objetivo de este estudio consiste en determi-nar el conocimiento común sobre probabilidad que posee un grupo de 93 profesores chilenos de educación primaria en activo, por lo cual nos centramos específicamente en la sub-dimensión de conocimiento común del contenido, que forma parte de la dimensión matemática del conocimiento. Así, por medio de este estudio, se espera aportar con la generación de nuevos conocimientos que contribuyan a mejorar la formación del profesorado de educación primaria en probabilidad y su didáctica, sobre todo en el contexto chileno, del cual poco se conoce. Para el posterior desarrollo de orientaciones concretas dirigidas a los formadores de docentes de educación primaria en relación con el conocimiento común del contenido para enseñar probabilidad que los maestros chilenos en activo necesitan adquirir, comprender y desarrollar.

ConoCiMiEnto didÁCtiCo-MAtEMÁtiCo dEl ProFEsorAdo dE MAtEMÁtiCA

Durante los últimos años se observa, a nivel internacional y nacional, un cre-ciente interés por las investigaciones en torno a la formación y desarrollo del profesorado, sobre todo en el área de matemáticas (e. g. Hill, Ball y Schilling, 2008; Even y Ball, 2009; Chapman, 2014; Hoover, 2014). Este cambio de tenden-cia se debe a la necesidad de contar con docentes mejor preparados para la enseñanza de esta disciplina, sobre todo en los primeros niveles educativos, pues



“los profesores son la clave de oportunidad de aprendizaje de las matemáticas” (Even y Ball, 2009: 1-2), por lo que finalmente la calidad de la enseñanza depen-de de ellos, de su conocimiento y su preparación para enseñar, la cual impacta directamente en el aprendizaje y desarrollo de competencias matemáticas de sus estudiantes (Darling-Hammond y Bransford, 2005; Darling-Hammond, Wei y Johnson, 2009; Hattie, 2012). Por tanto, si se desea mejorar la formación mate-mática de los alumnos, es necesario prestar especial atención al conocimiento del profesor. Es en este sentido que Godino (2009), a partir de la integración entre las nociones teóricas del EOS, la noción de proficiencia en la enseñanza de las matemáticas (Schoenfeld y Kilpatrick, 2008) y el modelo del conocimiento matemático para la enseñanza (Hill, Ball y Schilling, 2008), establece los funda-mentos y las bases para el desarrollo de un modelo integrador que permite llevar a cabo un análisis en detalle del conocimiento del maestro de matemáticas, considerando un conjunto de herramientas teórico-metodológicas con base en las facetas epistémica, ecológica, mediacional, interaccional, afectiva y cognitiva del EOS, para el análisis de los conocimientos que ponen en juego los profesores al enseñar un determinado contenido matemático. Para ello Godino (2009) considera, de manera inicial, las siguientes tres categorías globales del conoci-miento sobre el contenido matemático: a) Conocimiento común del contenido; b) Conocimiento ampliado del contenido, y c) Conocimiento especializado. Tales categorías se refinan y evolucionan a partir de los trabajos desarrollados por Pino-Fan, Godino y colaboradores (e. g. Godino y Pino-Fan, 2013; Pino-Fan, Godino y Font, 2013; Pino-Fan y Godino, 2015; Pino-Fan, Godino y Font, 2015; Pino-Fan, Assis y Godino, 2015; Pino-Fan, Godino y Font, 2016), constituyéndose de este modo el modelo CDM, que propone tres grandes dimensiones para el análisis del conocimiento del profesor (Figura 1).

Cada una de estas dimensiones se encuentra estrechamente relacionada con las fases propuestas para la elaboración de los diseños de instrucción: estudio preliminar, diseño, implementación y evaluación (Pino-Fan, Assis y Castro, 2015). A continuación se sintetizan las tres dimensiones:

1. Dimensión matemática: se refiere al conocimiento que el profesor pone en juego para resolver un problema o actividad matemática a implementar en el aula con los estudiantes, así como la capacidad para vincularlo con los objetos matemáticos que serán abordados, de acuerdo con el currículo, en los cursos siguientes. Esta dimensión considera las subcate-gorías de conocimiento común del contenido y conocimiento ampliado del



contenido. La primera subcategoría, que es en la cual se enmarca este estudio, trata del conocimiento sobre un objeto matemático que es nece-sario poner en juego para resolver problemas en relación con un tema específico de las matemáticas en un nivel educativo determinado donde se enmarca la situación problema (Pino-Fan y Godino, 2015). A su vez, la subcategoría de conocimiento ampliado del contenido referente a que el docente, además de saber resolver problemas sobre un determinado tema y nivel, debe poseer conocimientos más avanzados, que forman parte de niveles superiores del currículo (Pino-Fan y Godino, 2015).

2. Dimensión didáctica: de acuerdo con Pino-Fan, Godino y Font (2014) esta dimensión se refiere al conocimiento pedagógico del contenido e incluye las siguientes subcategorías: a) Conocimiento especializado de la dimen-sión matemática (faceta epistémica); b) Conocimiento sobre los aspectos cognitivos de los estudiantes (faceta cognitiva); c) Conocimiento sobre los aspectos afectivos, emocionales y actitudinales de los estudiantes (faceta afectiva); d) Conocimiento sobre las interacciones que se suscitan en el

Figura 1. Dimensiones y componentes del modelo del Conocimiento Didáctico-matemático del profesor de matemáticas (Pino-Fan, Assis y Castro, 2015: 1433).



aula (faceta interaccional); e) Conocimiento sobre los recursos y medios que pueden potenciar los aprendizajes de los alumnos (faceta mediacio-nal), y f) Conocimiento sobre los aspectos curriculares, contextuales, socia-les, políticos, económicos..., que influyen en la gestión de los aprendizajes de los estudiantes (faceta ecológica).

3. Dimensión meta didáctica-matemática: considera aspectos que van mas allá del diseño e implementación de una tarea matemática en el aula; involucra conocimientos sobre las normas y metanormas conectadas con las distintas facetas de la dimensión didáctica, al igual que conocimientos sobre los criterios de idoneidad didáctica como herramienta de valoración y autorreflexión de la práctica docente.

ConoCiMiEnto ProBABilístiCo dEl ProFEsorAdo dE EduCACión PriMAriA

En el ámbito internacional, las investigaciones al respecto son escasas, por lo general se centran en profesores en formación y evidencian la necesidad de ofrecer una mejor preparación a los futuros maestros, para que logren una ense-ñanza idónea de la probabilidad en el aula. En el contexto nacional, las investi-gaciones al respecto son aún más escasas y prácticamente inexistentes, de ahí la importancia de llevar a cabo este estudio para aportar con resultados que pueden ser utilizados por los formadores de profesores, como base que sirva al desarrollo de recursos y actividades destinados a la formación inicial docente en el rubro de la probabilidad y su enseñanza.

Una de las primeras investigaciones en torno al conocimiento probabilístico de futuros profesores de educación primaria fue realizada por Azcárate (1995), quien detectó en una muestra de 57 futuros docentes concepciones erróneas y dificultades asociadas a la noción de probabilidad; además de una baja com-prensión de la noción de aleatoriedad y, por ende, en la comprensión del cono-cimiento probabilístico. Esto se debía a que su razonamiento relacionado con la noción de probabilidad se basaba más en un conocimiento de tipo cotidiano que en conocimientos formales. Por otra parte, se evidenciaron serias dificultades en relación a la idea de juego equitativo, puesto que los futuros maestros, en su mayoría, no fueron capaces de diferenciar entre juego equitativo y no equi-tativo. Asimismo, fue detectada la carencia de esquemas combinatorios y de instrumentos elementales para la asignación de probabilidades. Estos resultados



se complementan con los obtenidos por Serrano (1996), que evidencia dificul-tades, en un grupo de 10 futuros profesores, para realizar y evaluar experimentos aleatorios, encontrándose éstas principalmente ligadas al concepto de indepen-dencia de sucesos y al sesgo de equiprobabilidad (Lecoutre, 1992). Investigación que más tarde es ampliada por Azcárate, Cardeñoso y Porlán (1998), quienes describen y analizan las respuestas de 57 futuros docentes de educación pri-maria sin instrucción previa en el tema, a un cuestionario sobre sucesos alea-torios, encontrando que presentan una concepción incompleta en relación con la aleatoriedad, pues en su mayoría no la reconocen en los fenómenos presen-tados, sobre todo cuando se trata de los vinculados al contexto meteorológico y cotidiano, argumentando que “el sistema de condiciones que provoca el fenó-meno no está modulado por el azar, al menos como elemento exclusivo y, por tanto, no es un fenómeno aleatorio” (Azcárate et al., 1998: 92), lo cual deja entrever que el tipo de conocimiento que posee este grupo de futuros profesores en torno a la noción de aleatoriedad, no está elaborado formalmente sino más bien a partir del sentido común. No obstante, perciben de manera correcta la existencia de multiplicidad de posibilidades, así como el carácter impredecible de los posibles resultados.

Más adelante Batanero, Godino y Cañizares (2005) evalúan la presencia de sesgos en el razonamiento probabilístico en una muestra de 132 futuros maes-tros, obteniendo como resultado que 60% de los profesores en formación, a los que se aplicó el cuestionario, razonaban según la heurística de la representati-vidad (Tversky y Kahneman, 1982). Otro 60% de la muestra presentó el sesgo de equiprobabilidad (Lecoutre, 1992), mientras que 23% de ellos tuvo dificultad para interpretar un enunciado probabilístico en forma no probabilística (Konold, 1991). Estos sesgos, al igual que el razonamiento probabilístico, fueron reducidos y mejorados al utilizar metodologías de enseñanza basadas en la simulación, con dispositivos manipulativos, tablas de números aleatorios y utilización de software como recurso didáctico que ayudó a superar las dificultades y concepciones erróneas. Mohamed (2012) evalúa el conocimiento común del contenido de 283 docentes en formación de educación primaria sobre la idea de juego equitativo, a través de sus respuestas a un problema extraído de un libro de texto de pri-maria. Los resultados evidencian que la mayoría tiene escaso conocimiento común del contenido sobre la idea de juego equitativo, puesto que son incapa-ces de identificarla y aplicarla correctamente en la resolución de los problemas planteados. Entre los errores y dificultades que aparecen con mayor frecuencia se encuentran: el sesgo de la equiprobabilidad y de la falacia del jugador, la



incorrecta realización de cálculos de probabilidad y la falta de capacidad com-binatoria, que les impide determinar adecuadamente el espacio muestral.

Más recientemente Gómez (2014) evalúa el conocimiento común del conte-nido sobre probabilidad de acuerdo con los distintos significados de la misma en futuros profesores de Educación Primaria; si bien los resultados son bastante alentadores, indican pobre razonamiento probabilístico y un predominio de las estrategias aritméticas. Lo anterior producto de una mezcla de intuiciones y creencias correctas e incorrectas sobre la forma de percibir la aleatoriedad. Asi-mismo se observan sesgos como la falacia del jugador o el enfoque en los resultados, además de concepciones erróneas sobre equiprobabilidad, o falta de comprensión de independencia de sucesos.

Tomando en consideración los resultados de éstas y otras investigaciones, nuestro estudio se orienta a diagnosticar las principales dificultades que presenta el profesorado chileno de educación primaria, específicamente aquellas vincu-ladas al conocimiento común del contenido sobre probabilidad, para el posterior diseño de estrategias de intervención que den lugar a un conocimiento profundo y acabado del contenido a enseñar y cómo enseñarlo.

Método

Los participantes del estudio fueron 93 profesores chilenos de establecimientos municipales, particulares subvencionados y particulares privados de la Región de La Araucanía que durante la recolección de los datos cursaban voluntariamente un seminario-taller gratuito sobre enseñanza de la probabilidad. La recolección de los datos se hizo mediante la aplicación del cuestionario CDM-Probabili-dad (Vásquez y Alsina, 2015a), previamente validado con un coeficiente de fiabi-lidad alfa de Cronbach de 0.76. Dicha aplicación se efectuó dentro del horario del seminario-taller, y el tiempo máximo de respuesta fue de 90 minutos.

Este instrumento se compone de 7 situaciones hipotéticas de aula, algunas de elaboración propia y otras que corresponden a reformulaciones de ítems provenientes de investigaciones internacionales preliminares (Green, 1983; Fis-chbein y Gazit, 1984; Cañizares, 1997). En concordancia con el propósito de este estudio, a continuación se exponen únicamente aquellas preguntas específicas de las situaciones hipotéticas de aula que permiten explorar aspectos del cono-cimiento común del contenido para enseñar probabilidad en educación primaria, de acuerdo con las orientaciones curriculares chilenas e internacionales



(Vásquez y Alsina, 2014). En nuestro estudio se asume que una situación hipo-tética de aula es aquella que ejemplifica situaciones que se dan en el proceso de enseñanza y aprendizaje, considerando para ello la diversidad de conoci-mientos didáctico-matemáticos que se ponen en juego cuando un maestro enseña, en nuestro caso, probabilidad en el aula de educación primaria.

La situación hipotética 1 (Cuadro 1) analiza el conocimiento común del contenido en relación con la independencia de sucesos en ensayos repetidos, bajo las mismas condiciones de un experimento.

ítem 1. La profesora Gómez plantea la siguiente situación a sus alumnos de sexto año básico:

Una persona lanza 8 veces la misma moneda, obteniendo en orden, los siguientes resulta-dos: cara, sello, cara, sello, sello, sello, sello, sello. Si lanza la moneda por novena vez, ¿qué es más probable que pase en el noveno lanzamiento?

Algunos de los alumnos de la profesora Gómez dan las siguientes respuestas:

luis: es más probable que salga cara, puesto que han salido demasiados sellos y ya es hora de que salga cara.Andrés: es igual de probable que salga cara o sello.lucía: es más probable que salga sello, puesto que ha salido sello en cinco lanzamientos sucesivos.

responda:a) Resuelva el problema planteado por la profesora Gómez.

Cuadro 1. Situación hipotética de aula nº 1.

La respuesta correcta a la pregunta a) es que es igualmente probable que salga cara o sello (equiprobabilidad de los sucesos), puesto que los resultados obtenidos en los distintos lanzamientos son independientes entre sí. De esta manera se busca observar si el contar con la secuencia de los resultados ante-riores influye o no en la respuesta de los profesores, es decir, se estudia la presencia del sesgo de la recencia positiva o negativa (Kahneman, Slovic y Tversky, 1982).

La situación hipotética 2 (Cuadro 2) aborda el conocimiento común del contenido sobre cálculo de probabilidades y comparación de probabilidades de sucesos elementales no equiprobables en un experimento simple.



ítem 2. La profesora María Eugenia presenta el siguiente juego a sus alumnos:

Deben sacar una bola de una de las cajas siguientes con los ojos cerrados. Ganan si obtie-nen una bola blanca. ¿De qué caja es preferible hacer la extracción?

Caja A: 3 bolas blancas y 3 negras. Caja B: 3 bolas blancas y 5 negras.

responda: a) Resuelva el problema.


Con esta situación se desea que los maestros apliquen el principio de indi-ferencia y, dado que no se dispone de información de tipo frecuencial en relación a la situación planteada, es posible aplicar la regla de Laplace para luego com-parar las dos fracciones resultantes del cálculo de probabilidad. Con ello se pretende idóneamente que los docentes identifiquen que la caja A es la que da mayor probabilidad de obtener una bola blanca (respuesta correcta).

La situación hipotética 3 (Cuadro 3) tiene el propósito de acceder al conoci-miento común del contenido sobre el concepto de suceso seguro y la capacidad combinatoria de los profesores de primaria.

ítem 3. El profesor Ramírez plantea el siguiente problema a sus alumnos:

En una caja hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 blancas. ¿Cuántas bolas se deben sacar para estar seguro de que se obtendrá una bola de cada color?

Las respuestas obtenidas por parte de algunos de sus alumnos son las siguientes:Carla: tres, porque hay tres tipos de colores.Antonio: tendrá que cogerlas todas y así estará lo más seguro posible.raúl: si se sacaran primero las bolas rojas y verdes serían siete, pero como son una de cada color, pues ocho.Karina: para estar segurísimo habrá que sacar seis bolas, porque si hay nueve en total y hay de tres colores, hay que dejar tres bolas en la caja, una de cada color.

responda:a) ¿Qué respuestas debería aceptar el profesor como correctas? ¿Por qué?




Para responder, los participantes deberán resolver primero el problema y luego decidir, con base en su respuesta, cuál de ellas es o son correctas, argu-mentando su elección. Para ello el profesor debe poner en juego sus ideas sobre suceso seguro, así como su capacidad combinatoria para estimar, dentro de las distintas cantidades de bolas que se pueden sacar, cuál es la opción que le permite estar seguro de que tendrá éxito. En este problema, pues, deben descu-brir que la respuesta correcta es la de Raúl (8 bolas): puede ocurrir, por ejemplo, que se extraigan primeramente las cuatro rojas, una a continuación de la otra, luego las tres verdes también de manera sucesiva, y por último una blanca.

La situación hipotética 4 (Cuadro 4) explora el conocimiento común del con-tenido en relación con el cálculo y comparación de probabilidades de sucesos elementales de un experimento aleatorio simple de sucesos no equiprobables.

ítem 4. Usted se encuentra en un quinto año básico y ha planteado el siguiente problema a sus alumnos:

En una clase de matemáticas hay 13 niños y 16 niñas. Cada alumnos escribe su nombre en un trozo de papel y todos los trozos se ponen en un sombrero. El profesor saca uno sin mirar y pregunta a sus alumnos: ¿qué es más probable que suceda?

Uno de los alumnos da la siguiente respuesta:“Es la suerte quien decide. Aunque haya más niñas, la suerte es igual. En parte podría ganar una niña”.

responda:a) ¿Considera correcta la respuesta de este alumno? Justifique su veracidad o falsedad.


Para responder la pregunta planteada, los docentes deben discriminar entre sucesos equiprobables y no equiprobables para poder determinar que la res-puesta dada por el alumno es incorrecta ya que hay mayor número de niñas, por lo cual es más probable que salga niña. La pretensión es, pues, que los profe-sores lleguen a identificar que el error en la respuesta del alumno se debe a una confusión entre las nociones de aleatoriedad y equiprobabilidad, lo que comporta una asociación intuitiva que le puede hacer pensar que es la suerte quien decide (dado que el espacio muestral se encuentra conformado por dos posibles valores: niños y niñas), aun cuando haya más niñas que niños.



La situación hipotética 5 (Cuadro 5), analiza el conocimiento común del contenido en relación con la comprensión de independencia de sucesos en asignación de probabilidades y noción de aleatoriedad, así como las creencias subjetivas que afectan las concepciones sobre el azar.

ítem 5. Pedro ha participado en una lotería semanal durante los dos últimos meses. Hasta ahora no ha ganado nunca, pero decide continuar por la siguiente razón:

“la lotería es un juego basado en la suerte, algunas veces gano, algunas veces pierdo. Yo ya he jugado muchas veces y nunca he ganado. Por tanto, estoy más seguro que antes de que ganaré en alguna partida próxima”.

¿Cuál es su opinión sobre la explicación de Pedro?


Además, esta pregunta busca evidenciar la presencia del sesgo de la recencia negativa (Khaneman, Slovic y Tversky, 1982), que llevaría a creer que dado que Pedro ha perdido las veces anteriores, ya es tiempo de que gane, por lo cual sus probabilidades de ganar en la próxima jugada deben ser mayores (falacia del jugador).

A través de la situación hipotética 6 (Cuadro 6), se busca acceder al conoci-miento común del contenido sobre comparación de probabilidades simples, y a la noción de juego equitativo.

ítem 6: Eduardo tiene en su caja 10 bolas blancas y 20 negras. Luis tiene en su caja 30 bolas blancas y 60 negras. Juegan una partida de azar. El ganador es el niño que saque primero una bola blanca. Si ambos sacan simultáneamente una bola blanca o una bola negra, ninguno gana, devuelven las bolas a las cajas y la partida continúa.

Eduardo afirma que el juego no es justo porque en la caja de Luis hay más bolas blancas que en la suya.

¿Considera correcta la respuesta de este alumno? Justifique su veracidad o falsedad.




Para responder a esta situación, los participantes deben distinguir el espacio muestral correspondiente a los dos sucesos simples no equiprobables, y a partir del cálculo y comparación de probabilidades establecer que la respuesta del alumno es incorrecta, dado que ambas tienen la misma proporción de bolas blancas y negras (se puede establecer por medio de la comparación de fraccio-nes). Por tanto, el juego es justo.

El propósito de la situación hipotética 7 (Cuadro 7) es evaluar el conocimiento común del contenido sobre comprensión de la independencia de sucesos vincu-lada al cálculo de probabilidades, para la posterior formalización de la regla de Laplace.

ítem 7. Usted ha seleccionado el siguiente problema para sus alumnos de 6º básico:

Al lanzar un dado 10 veces han salido los siguientes valores: 3, 6, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 6, 2. Si se lanza el dado otra vez, ¿qué número es más probable que salga?

responda:a) Resuelva el problema.


Por medio de la pregunta a) se evalúa la percepción de independencia de sucesos en ensayos repetidos bajo las mismas condiciones, y de qué manera ésta influye en las respuestas de los profesores (conocimiento común del contenido).

AnÁlisis dE rEsultAdos

Para acceder a aspectos iniciales y parciales, que son de nuestro interés, del conocimiento común del docente desde la perspectiva del modelo CDM, se realizó un análisis cuantitativo y cualitativo.

El análisis cuantitativo consideró la variable “grado de corrección”, asignando los valores: “2” si la respuesta es correcta, “1” si es parcialmente correcta y “0” si es incorrecta o no responde. Los criterios para definir a cuál de estas tres cate-gorías pertenece la respuesta otorgada por cada profesor se consensuaron por



medio de una rúbrica de evaluación que fue sometida al juicio de expertos en didáctica de la matemática y de la probabilidad (Vásquez, 2014).

En el caso del análisis cualitativo se procedió a leer las respuestas, para luego agrupar aquellas similares y categorizarlas por medio de un proceso cíclico e inductivo, característico del análisis cualitativo (Buendía, Colás y Hernández, 1998). Una vez establecidas las principales categorías de respuestas fue elabo-rado un análisis de los conocimientos puestos en juego. A partir del mismo se obtuvo información que permite describir los diversos errores, dificultades y argumentaciones presentes en el conocimiento común del contenido que poseen estos maestros en relación con la probabilidad. A continuación presentamos los resultados obtenidos para cada una de las preguntas de las situaciones hipo-téticas de aula propuestas que exploran esta subcategoría de la dimensión matemática del Conocimiento Didáctico-matemático.

Los resultados muestran que, en general, el conocimiento común del conte-nido sobre probabilidad es insuficiente, pues el porcentaje promedio de respues-tas correctas no supera 22.4%, lo cual denota dificultades para resolver correctamente las situaciones planteadas, producto de concepciones erróneas, de heurísticas y sesgos probabilísticos. La Figura 2 resume la composición de las respuestas de los profesores, de acuerdo con el grado de corrección para el conocimiento común del contenido sobre probabilidad.

A continuación se presentan de manera extendida los resultados obtenidos para cada una de las preguntas que exploran aspectos del conocimiento común del contenido sobre probabilidad.

sItuacIón hIPotétIca 1

La pregunta sobre comprensión de la independencia de sucesos en ensayos repetidos bajo las mismas condiciones de un experimento aleatorio resultó ser de gran dificultad, pues únicamente se obtuvo 5.3% de respuestas correctas. La Tabla 1 muestra los tipos de respuesta.

En la Tabla 1 se observa que 36.6% responde que es igualmente probable obtener cara o sello en el noveno lanzamiento. Sin embargo, sólo 5.3% centra el argumento de su respuesta en la independencia de sucesos. Un ejemplo: “es igual de probable que salga cara o sello, la cantidad de veces que ha salido sello no me asegura que ahora sale cara” (profesor 78).



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En cuanto a las respuestas incorrectas, 22.6% considera que en el noveno lanzamiento es más probable que salga sello, argumentando que ya ha salido sello en seis de los ocho lanzamientos, por lo cual es más probable que la siguiente vez vuelva a salir sello. Un ejemplo es la respuesta: “de los 8 lanza-mientos 2 es a 6 fueron cara a sello, por tanto existe la probabilidad mayor que el que salga sea sello” (profesor 7). Esto evidencia que un alto porcentaje de los docentes presenta el sesgo de la recencia positiva. Por el contrario, 15% de los profesores incurre en la recencia negativa al responder que, como ya ha salido demasiadas veces sello, es momento de obtener una cara, puesto que en algún momento tiene que darse un equilibrio. Un ejemplo de este tipo de respuesta es la siguiente: “es más probable que en el siguiente lanzamiento salga cara, pues la ley de probabilidades tiende hacia una igualación en situaciones como la descrita en el problema; esto aun tomando en cuenta que existe 50% de probabilidades en cada tiro” (profesor 51).


En la pregunta sobre cálculo y comparación de probabilidad de sucesos elementa-les no equiprobables, si bien los resultados son más alentadores al obtener 37.6% de respuestas correctas, evidencian estrategias de resolución elementales (compa-ración del número de casos desfavorables). Además, se observa la presencia del sesgo de la equiprobabilidad, que provoca un alto porcentaje de generalizaciones

tabla 1. Frecuencias y porcentajes para los tipos de respuesta a la pregunta 1.

respuestas Frecuencia Porcentaje

Igualmente probable obtener cara o sello en próximo lanzamiento (*)

34 36.6

Más probable que en el siguiente lanzamiento salga cara 14 15

Más probable que en el siguiente lanzamiento salga sello 21 22.6

Otras respuestas y argumentos 3 3.2

No responde 21 22.6

Total 93 100

(*) Respuesta correcta.



incorrectas de la regla de Laplace, obviando el supuesto de la equiprobabilidad. La Tabla 2 muestra los tipos de respuesta.



En ambas cajas hay la misma probabilidad de extraer una bola blanca.

4 4.3

En la caja A hay mayor probabilidad de extraer una bola blanca. (*)

78 83.9

En la caja B hay mayor probabilidad de extraer una bola blanca.

5 5.4

Otras respuestas y argumentos. 0 0

No responde. 6 6.4

Total 93 100


En la Tabla 2 puede observarse que 83.9% de los profesores identifica que en la caja A hay mayor probabilidad de extraer una bola blanca. No obstante, sólo 37.6% fundamenta su preferencia ya sea por medio de la aplicación de la regla de Laplace o en comparación de cantidades absolutas de bolas negras (hemos considerado ambas fundamentaciones como tipos de respuesta correc-ta). En el caso de quienes aplican la regla de Laplace, ninguno hace mención al principio de indiferencia, aplicándola directamente. Un ejemplo es: “Caja A= 3/6 = ½; Caja B = 3/8. Es preferible sacar la bola blanca de la caja A, ya que la probabilidad es de 50% de extraer una blanca” (profesor 77). Por otro lado, los participantes que fundamentan su respuesta en comparación de cantidades absolutas se focalizan en comparar las bolas blancas, al observar que la canti-dad es la misma en ambas cajas. Indican, además, que es necesario comparar la cantidad de bolas negras, lo cual finalmente los lleva a responder que es preferible realizar la extracción de la caja A, puesto que hay un menor número de bolas negras. Por ejemplo: “en ambas cajas hay igual cantidad de bolas blancas, sin embargo en la caja A hay menos bolas negras que en la B, por lo que es preferible realizar la extracción desde la caja A” (profesor 23).



En cuanto a las respuestas parcialmente correctas, 46.2% de los maestros identifica que es preferible realizar la extracción desde la caja A, pero no argu-menta su respuesta. Entre las respuestas incorrectas, 5.4% de ellos considera que es mejor hacer la extracción de la caja B, justificando mayoritariamente su elección en que existe un mayor número de bolas negras en esa caja. Un ejem-plo es: “de la caja B es preferible hacer la extracción, pues hay 5/8, en cambio en la A hay 3 de 3. En la caja B hay más de 50%, que es más que lo que hay en la caja A” (profesor 56). Se puede apreciar, pues, una confusión entre casos favorables y desfavorables que conducen a determinar la probabilidad de extraer un bola negra para seleccionar la caja desde la cual es preferible realizar la extracción. Por otra parte, se nota una inclinación por la caja B, dado que en esta hay mayor número total de bolas (casos posibles).


En la pregunta 3a) sobre comprensión del concepto de suceso seguro, se observa un comportamiento similar a las preguntas anteriores, pues 15.1% de los docen-tes responde correctamente, sin embargo 5.4% lo hace con base en nociones básicas de combinatoria. La Tabla 3 contiene los tipos de respuesta.

La Tabla 3 muestra que si bien 15.1% de los profesores identifica la respuesta de Raúl como correcta, sólo 5.4% lo hace con base en un argumento adecuado.



Hay que sacar 3 bolas, por lo que Carla tiene la razón. 11 34.4

Hay que sacar 6 bolas, por lo que Karina tiene la razón. 32 11.8

Hay que sacar 8 bolas, por lo que Raúl tiene la razón. (*) 14 15.1

Hay que sacar todas las bolas, por lo que Antonio tiene la razón.

16 17.2

Otras respuestas y argumentos. 9 9.7

No responde. 11 11.8

Total 93 100




La mayoría de los argumentos dados para la respuesta son de la forma “a mi parecer la respuesta de Raúl, porque al sacar las rojas y verdes, agotó las posi-bilidades de volver a sacar una más de esos colores, logrando sacar con exac-titud una blanca” (profesor 61). Esta respuesta evidencia que el maestro logra deducir adecuadamente una de las posibilidades de extracción que lo llevan a estar seguro de obtener una bola de cada color, vinculando la noción de suceso seguro con la idea de exactitud que lleva a obtener una bola de cada color. 9.7% menciona que la respuesta correcta es la de Raúl, sin dar un argumento o con uno inadecuado, como: “8 bolas. Tengo 3 colores, la roja y la verde tienen más posibilidad de salir” (profesor 31). En esta respuesta se observa que si bien el docente logra identificar que hay que sacar 8 bolas para estar seguro de obtener una de cada color, su argumento no es claro porque confunde la noción de suceso seguro con posibilidad de extracción. En lo que referente a las respuestas incorrectas, un alto porcentaje de los maestros (34.4%) confunde la noción de suceso seguro con la de suceso posible, ya que consideran que hay que extraer 3 bolas para asegurarse de obtener una de cada color. Un ejemplo de esto es: “la de Carla, ya que hay 3 tipos de colores” (profesor 17).


En la pregunta centrada en el cálculo y la comparación de probabilidades de sucesos elementales de un experimento aleatorio simple de sucesos no equipro-bables, 32.3% identifica que el experimento aleatorio presenta dos resultados no equiprobables, argumentando su respuesta en la comparación de las cantidades absolutas del número de niñas y niños. 16.1% presenta el sesgo de la equipro-babilidad, obviando que los sucesos simples a comparar no son equiprobables y aplicando incorrectamente la regla de Laplace en sus cálculos. La Tabla 4 indica los tipos de respuesta.

32.3% considera que la respuesta del alumno es incorrecta, puesto que hay más niñas que niños, por lo cual es más probable que al extraer uno de los trozos de papel tenga escrito el nombre de una niña. Por ejemplo: “No es correcta, hay más probabilidades de que salga una niña, ya que hay más niñas que niños” (profesor 5). En este tipo de respuestas los maestros identifican correcta-mente la equiprobabilidad de resultados, argumentando su respuesta en la comparación de las cantidades absolutas del número de niñas y niños. Por otro lado, 16.1% consideró la respuesta del alumno incorrecta, pues es más probable



que salga niña a que salga niño, porque al aplicar la regla de Laplace y com-parar las fracciones resultantes, se obtiene que la probabilidad de que salga niña es mayor que la de que salga niño. Este tipo de respuesta la consideramos parcialmente correcta, dado que si bien la respuesta es correcta, el argumento es incorrecto. Un ejemplo de esta respuesta es: “Falso, ya que el hecho de que hayan más niñas que niños aumenta las probabilidades de que saque a una niña. Sin embargo, esto no quiere decir que es imposible que salga un niño. Las probabilidades serían: niños = 13/29, niñas = 16/29” (profesor 30). Lo ante-rior refleja el sesgo de la equiprobabilidad (Lecoutre y Durand, 1988), ya que hacen una generalización incorrecta de la regla de Laplace. Este tipo de con-flicto los lleva a calcular erróneamente la probabilidad de elegir niño o niña, sin darse cuenta de que lo correcto es comparar las cantidades absolutas de cada uno de los sucesos. Al contrario de estos profesores se encuentran aque-llos que consideran correcta la respuesta del alumno, es decir, que es una cuestión de azar/suerte, por lo cual es igualmente probable que salga niño o niña, aunque haya más niñas. Este tipo de respuesta se encuentra presente en 42% de los docentes, que argumentan por ejemplo: “Sí, porque independiente de la cantidad entre niños y niñas, el azar juega un rol importante” (profesor 62). De lo anterior se desprende que los maestros otorgan gran importancia al factor suerte o al azar.



La respuesta del alumno es incorrecta, puesto que hay mayor número de niñas, por lo cual es más probable que salga niña. (*)

30 32.3

La respuesta del alumno es correcta, pues es igualmente probable que sea un niño o una niña.

39 42

La respuesta del alumno es incorrecta, pues es más probable que salga una niña (16/29) que un niño (13/29).

15 16.1


No responde. 2 2.1

Total 93 100





La independencia de sucesos en la asignación de probabilidades y noción de aleatoriedad planteada en esta situación resultó de gran dificultad, pues 12.9% de los profesores argumenta que la probabilidad de ganar o perder no depende de los resultados anteriores, ya que se trata de sucesos independientes. La Tabla 5 muestra los tipos de respuesta.



La explicación de Pedro es incorrecta, pues la probabilidad de ganar no depende de los resultados anteriores. (*)

12 12.9

La explicación de Pedro es incorrecta, pues lo más probable es que continúe perdiendo.

31 33.3

La explicación de Pedro es correcta. 33 35.5

Si gana o pierde depende del azar o de la suerte. 7 7.6


No responde. 8 8.6

Total 93 100


La Tabla 5 muestra que 12.9% de los profesores comprende la indepen-dencia de sucesos, al argumentar que la probabilidad de ganar o perder no depende de los resultados anteriores. Un ejemplo es: “Existen las mismas probabilidades de que Pedro gane la lotería semanal que cuando jugó por pri-mera vez, ya que es un juego de azar. Por tanto, puede ganar o no ganar las próximas loterías, a pesar de que hubiese jugado anteriormente” (profesor 8). Por otro lado, 33.3% de los maestros responde que la opinión de Pedro es inco-rrecta, pero lo atribuye a un argumento incorrecto, considerando que como Pedro ha perdido tantas veces, lo más probable es que continúe perdiendo (efecto de recencia positiva). Ejemplo: “Creo que tiene más posibilidades de perder que de ganar” (profesor 42).

Dentro de las respuestas incorrectas destacan aquellas que consideran correcta la opinión de Pedro (33.3%). Por ejemplo, en la siguiente respuesta: “Le



encuentro la razón, ya que Pedro ha perdido tantas veces, por lo que en algún momento futuro podrá ganar al menos una vez la lotería” (profesor 27). En este tipo de respuesta se manifiesta el conflicto de efecto de recencia negativa o falacia del jugador. Para estos profesores, la suerte juega un rol importante en la asignación de probabilidades.


Respecto a la comparación de probabilidades simples, así como la noción de juego equitativo, 60.2% distingue el espacio muestral correspondiente a dos sucesos simples no equiprobables y, de este modo, a partir del cálculo y com-paración de probabilidades, logra establecer si el juego es o no justo. La Tabla 6 resume los distintos tipos de respuesta y sus argumentos.



La respuesta de Eduardo es correcta, pues en la caja de Luis hay más bolas blancas.

24 25.8

La respuesta de Eduardo es errónea, pues hay la misma proporción de bolas en ambas cajas. (*)

56 60.2

La respuesta de Eduardo es errónea, pues él tiene mayor probabilidad de sacar blanca, ya que en la caja de Luis hay más bolas negras.

8 8.6


No responde. 3 3.2

Total 93 100


En las respuestas correctas se observa que los docentes argumentan que la respuesta de Eduardo es incorrecta, dado que ambas cajas tienen la misma proporción de bolas blancas y negras, por lo cual la probabilidad de obtener una bola blanca es la misma en las dos cajas. Por tanto, el juego es un juego justo. Un ejemplo es la respuesta otorgada por el profesor 30: “Es falsa, ya que



la cantidad de bolas blancas y negras en ambas cajas están en la razón 1:2, por tanto, la probabilidad de sacar una bola blanca o una negra es la misma para ambas”. A partir de este tipo de respuesta se observa que 60.2% de los profesores tiene un conocimiento adecuado de la comparación de probabilida-des simples de un mismo suceso en dos experimentos con dos sucesos equi-probables, siendo la estrategia de resolución predominante el establecer una correspondencia entre casos favorables y totales.

En la categoría de respuestas parcialmente correctas se incluyen las que, si bien identifican que la afirmación de Eduardo es incorrecta, lo hacen a partir de un argumento incorrecto. Un ejemplo de este tipo de respuesta es el siguiente: “Creo que Eduardo está equivocado, ya que Luis tiene mayor cantidad de bolas blancas y negras, por tanto tiene más probabilidad de que le salgan bolas negras. Eduardo tiene menos bolas en total, por tanto es más probable que él sea quien gane” (profesor 67). En este tipo de respuesta los profesores se centran en la comparación de los casos desfavorables, lo cual los lleva a pensar erró-neamente que tiene mayor probabilidad de éxito aquella caja con menor número de casos desfavorables.

En relación con las respuestas incorrectas, en la Tabla 6 puede observarse que 25.8% de los maestros responde de manera errónea, siendo el principal tipo de argumento el considerar que la respuesta de Eduardo es correcta, pues en la caja de Luis hay más bolas blancas. Un ejemplo se observa en la respuesta del profesor 5: “Sí es correcta, efectivamente al haber más bolas blancas en una caja es más probable sacar una de ellas”. Así, se hace visible el conflicto asociado a comparar sólo el número de casos favorables, lo cual lleva a responder inco-rrectamente, pues la estrategia es incompleta, ya que no considera la totalidad de datos ni emplea el razonamiento proporcional.


Para la independencia de sucesos vinculada al cálculo de probabilidades, 3.2% enfoca su argumento en la independencia y en la equiprobabilidad de los sucesos, y al igual que en la pregunta de la situación hipotética 1, puede observarse una fuerte incidencia del sesgo de recencia positiva y negativa. La Tabla 7 indica los tipos de respuesta.

La Tabla 7 muestra que 3.2% de los profesores argumentó correctamente su respuesta al enfocar su argumento en la independencia y en la equiprobabilidad



de los sucesos. Un ejemplo es: “Si el dado tiene 6 caras la probabilidad es la misma para cualquier número, y no varía la probabilidad la cantidad de números que ya han salido” (profesor 20). En esta respuesta el argumento del docente no se ve influenciado por la secuencia de resultados ya obtenidos. 14% logran identificar que todos los números del espacio muestral tienen igual probabilidad de salir, pero no argumentan su respuesta, o bien el argumento empleado no es correcto. Un ejemplo es el siguiente: “Creo que todos los números tienen la misma probabilidad de salir” (profesor 74).

En lo que se refiere a las respuestas incorrectas, el argumento utilizado mayoritariamente (29%) es considerar que en un nuevo lanzamiento es más probable que salgan el 2 o el 3, ya que estos números han salido mayor número de veces. Un ejemplo es el otorgado por el profesor 67: “El número que es más probable que salga puede ser el 2 y 3, ya que han salido más veces”. Este tipo de respuesta muestra una fuerte influencia de la secuencia de resultados obte-nidos en los lanzamientos anteriores, conflicto conocido como el sesgo de la recencia positiva (Piaget e Inhelder, 1951). En contraposición a este tipo de sesgo están los profesores (20.4%) que presentan el sesgo de la recencia negativa, es



Todos los números del 1 al 6 tienen igual probabilidad de salir, pues son sucesos equiprobables. (*)

3 3.2

Todos los números del 1 al 6 tienen igual probabilidad de salir.

13 14

Es más probable que salgan el 2 o el 3, ya que han salido mayor número de veces.

27 29

Es más probable que salgan el 4 o el 6, ya que han salido menos veces.

19 20.4

Es más probable que salgan el 1 o el 5, ya que no han salido en ninguno de los lanzamientos anteriores.

10 10.8


No responde. 18 19.4

Total 93 100




decir, consideran que, puesto que ya han salido muchas veces el 2 y el 3, ya es momento de que salgan el 4 o el 6, pues tales números han salido menos veces.

ConsidErACionEs FinAlEs

A partir de los resultados obtenidos, interpretamos que el conocimiento común del contenido sobre probabilidad de la gran mayoría de los docentes chilenos de educación primaria que han participado en el estudio es muy insuficiente, puesto que el porcentaje de respuestas correctas no logra superar 22.4%, en promedio. Además se observa que presentan serios impedimentos para resolver correcta-mente las situaciones hipotéticas de aula planteadas, pues manifiestan variados errores y dificultades, al tiempo que es evidente también la presencia de heurís-ticas y sesgos probabilísticos, como en los resultados obtenidos por Azcárate (1995) con futuros profesores de primaria. Además, se ha puesto en evidencia el uso de estrategias incorrectas en casi la totalidad de las situaciones hipotéticas planteadas. Si nos centramos en los resultados obtenidos en relación con la percepción de la independencia de sucesos, nos permiten detectar la fuerte influencia que tiene el dar a conocer la secuencia de los resultados anteriores obtenidos en un experimento aleatorio, por ejemplo el lanzamiento sucesivo de una moneda o un dado. Esta comprensión inadecuada de la independencia de sucesos llevó a los profesores a responder equivocadamente aquellas pre-guntas vinculadas a este conocimiento, presentado en muchos casos el sesgo de la recencia positiva (predominantemente) y el de la recencia negativa (en menor proporción).

De manera similar, encontramos conocimientos inadecuados en lo que res-pecta al cálculo y a la comparación de probabilidades, ya que los resultados evidencian un conocimiento insuficiente. Este déficit se fundamenta, principal-mente, en estrategias de resolución muy elementales (como la comparación del número de casos desfavorables). Asimismo se observa, en algunas de las situa-ciones problemáticas vinculadas a este contenido, la presencia del sesgo de la equiprobabilidad que lleva, en un alto porcentaje, a que los profesores realicen una incorrecta generalización de la regla de Laplace, obviando el supuesto de equiprobabilidad de sucesos.

Por otra parte, al analizar los distintos argumentos otorgados en aquellas situaciones hipotéticas en las cuales es necesario aplicar una adecuada com-prensión de nociones básicas de probabilidad —tales como experimento aleatorio,



espacio muestral, suceso probable, seguro, etcétera—, los resultados muestran que estas nociones, pese a ser básicas, son de gran dificultad para los profesores. Estos resultados concuerdan con Fischbien y Gazit (1984), para quienes la noción de suceso seguro presenta mayores dificultades en su comprensión que la de suceso posible.

Otra noción que muestra dificultad para estos docentes es la de juego equi-tativo. Si bien en las tareas vinculadas a ella se observa una mejoría en el por-centaje de respuestas correctas, éstos son aún bajos si consideramos que se trata de respuestas de profesores de primaria en activo, quienes en su mayoría basan sus respuestas en argumentos muy elementales y característicos de aquellos sujetos que se encuentran al final de la etapa pre-operacional, en la cual todavía no son capaces de establecer relaciones entre el todo y las partes, es decir, entre casos favorables y el total de casos posibles en un experimento aleatorio.

Si comparamos nuestros resultados con los obtenidos por Mohamed (2012) al evaluar el conocimiento común del contenido sobre probabilidad en futuros profesores de primaria por medio de un cuestionario con tareas similares, y en algunos casos iguales a las nuestras, se evidencia que sus resultados son bas-tante más alentadores que los nuestros, pese a ser bajos. Del mismo modo, al contrastar nuestros resultados con la investigación de Gómez (2014) observa-mos, al igual que en los casos anteriores, que el conocimiento común del con-tenido sobre probabilidad de los docentes chilenos de educación primaria en activo se encuentra muy por debajo de los datos obtenidos por futuros profesores españoles en investigaciones semejantes. Incluso a los alcanzados por alumnos de primaria en la resolución de problemas muy similares de probabilidad, como es el caso de los resultados obtenidos por Cañizares (1997). Esta situación es alarmante, si consideramos que en nuestro caso se trata de maestros de edu-cación primaria en activo, que ya se encuentran enseñando probabilidad y podrían transmitir tales sesgos a sus alumnos.

Así, pues, los resultados reflejan que casi la totalidad de los participantes en nuestra investigación posee un débil conocimiento común del contenido sobre probabilidad. En otras palabras, los profesores no cuentan con un dominio adecuado de conceptos básicos sobre probabilidad que les permita identificar los distintos contenidos involucrados en la resolución de las situaciones hipo-téticas de aula planteadas.

Estos datos, junto con los obtenidos en estudios preliminares acerca del conocimiento didáctico-matemático (Vásquez y Alsina, 2015b), son el punto de partida imprescindible para diseñar nuevos estudios en el futuro, que permitan



concretar planes de formación ajustados a las necesidades del profesorado chileno en activo, con objeto de abordar exitosamente la enseñanza de la pro-babilidad en el aula de educación primaria.

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DOI: 10.24844/EM2903.04

realidades escolares en las clases de matemáticas

school realities in Mathematics Classes

Alfonso Jiménez Espinosa1 Alba soraida gutiérrez sierra2

resumen. El artículo presenta resultados de una investigación que tuvo como objetivo analizar realidades de clases de docentes de matemáticas en una institución de educación básica y media. En el referente teórico se consideran aspectos como creencias, concepciones, interacciones en el aula, prácticas pedagógicas y modelos didácticos. La investigación se desarrolló bajo un enfo-que cualitativo, donde interesa establecer las realidades que se viven al interior de las aulas en las clases de matemáticas, intenta destacar comprensiones complejas y relaciones que se dan en las aulas. Se percibe aún un enfoque didáctico tradicional, con visos de constructivismo, derivados de concepciones de las matemáticas, como que enseñar es sinónimo de exponer ordenadamente los contenidos, con pocas acciones que favorezcan el desarrollo del pensa-miento matemático. Los resultados se analizaron conjuntamente con los pro-fesores, especialmente sobre las posibles razones de ese tipo de prácticas, y se planteó la forma como podrían mejorarse.

Fecha de recepción: 3 de septiembre de 2016. Fecha de aceptación: 1 de mayo de 2017.1 Facultad de Educación, Licenciatura en Matemáticas. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colom-

bia, Colombia. [email protected] Escuela Normal Superior de Socha, Colombia. [email protected]

Alfonso Jiménez Espinosa • Alba Soraida Gutiérrez Sierra


Palabras clave: Realidades escolares, matemáticas, modelos didácticos, (re)significación.

Abstract. The article presents results of an investigation that had as objective to analyze realities of classes of mathematics teachers in an institution of basic and average education. In the theoretical reference are considered aspects like beliefs, conceptions, interactions in the classroom, pedagogical practices and didactic models. The research was developed under a qualitative approach, where it is interesting to establish the realities that are lived inside the class-rooms in the mathematics classes, it tries to emphasize complex understandings and relationships that are given in the classrooms. There is still a traditional didactic approach, with constructivism, deriving from conceptions of mathemat-ics. Teaching is synonymous of exposition of contents, with few actions that favor the development of mathematical thinking. The results were analyzed jointly with teachers, especially on possible reasons for these practices, and how they could be improved.

Key Words: School realities, mathematics, didactic models, (re)signification.

1. introduCCión

En la actualidad, uno de los focos de estudio en la formación de docentes es el de la práctica para analizar lo que realmente sucede allí. Al respecto Sola (2004) afirma “En este proceso de construcción de conocimiento, es la práctica tanto el motor como la condición inexcusable; es decir, no existe la posibilidad de crear conocimiento profesional práctico si no es en torno a una práctica concreta y a partir de ella” (p. 97). En este sentido, la modificación de las prácticas es un problema a resolver y sólo será posible si los investigadores en educación mate-mática se cuestionan sobre “…cómo diseñar programas de formación que real-mente incidan sobre la calidad de la práctica docente” (Mendoza e Ibarra, 2013: 148). El análisis de las prácticas llevaría a identificar características que deberían tener los programas de formación de profesores de matemáticas.

Díaz (2006) entiende la práctica pedagógica como la actividad diaria que se desarrolla en las aulas o en otros espacios, orientada por un currículo y cuyo propósito es la formación de los alumnos. Si se piensa en la actividad diaria del maestro en el aula de clase, orientada por el desarrollo de un currículo, necesa-riamente se maneja un componente didáctico pedagógico, en concordancia con

Realidades escolares en las clases de matemáticas


los fines y principios de formación integral de sus educandos. Respecto al cono-cimiento necesario del profesor de matemáticas, Carrillo et al. (2013, en Carrillo, 2014), con base en el modelo MKT (Mathematical Knowledge for Teaching; Ball, Tames & Phelps, 2008), proponen el modelo MTSK (Mathematics Teacher´s Spe-cialized Knowledge), el cual “…intenta trascender la diferenciación entre el cono-cimiento común y el especializado y superar las dificultades de limitación entre los subdominios del conocimiento especializado del horizonte matemático y del conocimiento del contenido y los estudiantes” (p. 117). Estos autores definen así los subdominios del conocimiento matemático desde la propia matemática, en función de las necesidades del profesor: conocimiento de los temas, conocimien-to de la estructura matemática y conocimiento de la práctica matemática. Los subdominios del conocimiento didáctico del contenido “…se enfocan desde la matemática, de modo que esta condiciona su caracterización, no es intersección entre matemática y enseñanza o aprendizaje” (idem) y están compuestos por: conocimiento de la enseñanza de la matemática, conocimiento de las caracte-rísticas del aprendizaje de las matemáticas y conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas. A este modelo los autores mencionados añaden “el estudio de las creencias del profesor sobre las matemáticas y sobre su ense-ñanza y aprendizaje” (idem). Los autores consideran al futuro maestro no un especialista en el contenido matemático, sino alguien con un conocimiento de carácter especializado sobre su enseñanza.

Si bien la investigación ha avanzado mucho en esta área del conocimiento necesario para el profesor de matemáticas, la correspondiente al análisis de la práctica pedagógica no lo ha hecho en la misma proporción. De esta forma, la investigación que aquí se menciona se preguntó cómo se realizan las prácticas pedagógicas de los docentes de matemáticas en una institución de educación básica y media.3 El objetivo fue caracterizar las prácticas pedagógicas de los maestros de matemáticas e identificar posibles acciones de mejoramiento para las mismas. Este texto discute la problemática mencionada, presenta aspectos teóricos sobre creencias, concepciones, interacciones en aula, prácticas pedagó-gicas de aula y modelos didácticos. En los resultados son discutidas las acciones desarrolladas durante la práctica pedagógica de los profesores, y se interpre-tan desde la voz de los protagonistas. El texto cierra planteando una línea abierta

3 En Colombia la denominación que usa el sistema educativo para los niveles de primaria y secunda-ria ahora es la de educación básica, que va del grado cero al noveno, y la media para los grados diez y once.



a la investigación para el mejoramiento de la práctica de aula del docente de matemáticas.

2. MArCo tEóriCo

PensamIento del Profesor

Steinberg et al. (2004) mencionan cuatro niveles en los que un maestro de matemáticas puede estar involucrado con el estudiante. Un primer nivel describe la creencia del docente de que los estudiantes no pueden resolver problemas, a menos que se les enseñe cómo. Esta creencia estaría presente en aquellos docentes que esperan que sus alumnos resuelvan los problemas como se les indicó y, por tanto, si lo hacen de otra forma no les preguntan cómo lo hicieron. Un segundo nivel está caracterizado por profesores que creen que los estudian-tes pueden resolver problemas sin enseñarles previamente cómo y, aunque hablan del valor de la variedad de métodos para alcanzar una solución, son inconsistentes y poco sistemáticos en las oportunidades que proveen para dis-cutir los diversos métodos. Los siguientes dos niveles se caracterizan porque los maestros creen que para que los alumnos comprendan, deben resolver los problemas. Estos profesores, además de una variedad de oportunidades para resolver problemas autónomamente, proveen espacios para que los estudiantes discutan las soluciones, y así pueden conocer sus formas de pensar (Ponte, 1998). Es pertinente además tener en cuenta las interpretaciones que los profe-sores tienen de su práctica a partir de las creencias sobre la matemática misma y además, interesa también lo que creen sobre los papeles que juegan tanto el profesor como los alumnos al interior del aula, y que se reflejarán en patrones de interacción y negociación de significados (Jiménez, 2010).

La práctica del maestro en el aula es un proceso complejo donde intervienen sus creencias y concepciones, su formación disciplinar y pedagógica, al igual que las reflexiones sobre lo que hace. Según Partido (2003), el pensamiento del pro-fesor permite mirar cómo conceptualiza las matemáticas, indagar cómo las emplea en clase y su posición frente a la práctica pedagógica que asume en el aula.

Las concepciones del profesor sobre la naturaleza de la matemática y su función como docente lo inducen a seleccionar un contenido u otro, una estra-tegia de aprendizaje, una forma de evaluación y una postura frente a la mate-mática (Jiménez, 2010). Los factores que inciden en la toma de decisiones son



de dos tipos: los factores internos, que son propios del docente, de su persona-lidad, antecedentes, creencias y conocimientos prácticos, entre otros; y factores externos a él como los estudiantes, la situación escolar, los padres de familia o las autoridades educativas. Más aún, un mismo objeto matemático puede ser enseñado de diferentes maneras o métodos, con diferentes fines, en diversas circunstancias, a través de varios ejemplos, con múltiples secuencias; sin embar-go, lo interesante es saber qué es lo que lleva al maestro a elegir su forma particular de enseñanza. En este sentido, se puede interpretar que el pensamien-to del profesor determina en gran medida su estilo y forma de enseñanza, pero al mismo tiempo es consecuencia de sus creencias, que se ven reflejadas en sus prácticas pedagógicas (idem).

creencIas y concePcIones

De acuerdo con Ponte (1992), el interés por el estudio de las concepciones de los profesores se basa en el supuesto de que existe un sustrato conceptual que juega un papel determinante en el pensamiento y en la acción. Este sustrato es de naturaleza diferente a los conceptos específicos; es decir, no se refiere a objetos y acciones bien determinadas, pero sí se constituye en una forma de ver el mundo, de pensar y organizar las ideas. Según este autor, “… las concepciones tienen una naturaleza esencialmente cognitiva. Actúan como una especie de filtro. Por un lado, son indispensables pues estructuran el sentido que damos a las cosas; por otro, actúan como elemento bloqueador con relación a nuevas realidades o a ciertos problemas, limitando nuestras posibilidades de actuación y comprensión” (p. 185). Declara Ponte que las concepciones son resultado de un proceso individual y simultáneamente social. Individual, en cuanto son fruto de una elaboración sobre nuestra experiencia, y social porque son producto de la confrontación de nuestras elaboraciones con las de los otros.

Como ejemplo este autor menciona que nuestras concepciones sobre las matemáticas son resultado de las experiencias que tuvimos con ellas, así como de las representaciones sociales dominantes. Afirma que “La matemática es un asunto acerca del cual es difícil no tener concepciones. Es una ciencia muy antigua que hace parte del currículo escolar desde hace siglos; se enseña con carácter obligatorio durante largos años de la escolaridad y ha cumplido un importante papel de selección social. Posee, por todo esto, una imagen fuerte, suscitando miedos y admiraciones” (p. 185).



En cuanto a las creencias del profesor, de acuerdo con García (2006), “… son ideas poco elaboradas, generales o específicas, las cuales forman parte del conocimiento que posee el docente, pero carecen de rigor para mantenerlas e influyen de manera directa en su desempeño. Las creencias sirven como filtro para todo aquello que supone el proceso enseñanza-aprendizaje” (p. 85). Según Aguilar (2003), las creencias son ideas u opiniones infundadas, estables, que poseen las personas; se aceptan dependiendo de la posición filosófica, de las experiencias que han alcanzado en su interacción social y de la formación conceptual y cultural que poseen.

En lo que respecta a la influencia de las creencias del maestro en su modo de enseñar, Thompson (1992) afirma que el énfasis que cada profesor pone en el aula puede ser explicado por su visión predominante respecto de las matemáticas.

Por otro lado, se evidencian contradicciones entre el “decir” y el “hacer” que son resultado de concepciones tradicionales y otras de tipo pedagógico, acordes al contexto y las circunstancias, y que muestran las inconsistencias entre el modelo explícito que sigue el docente y la realidad de lo que sucede en el aula, como ya lo señalaron Ruiz et al. (2005), Van Driel et al. (2007) y Señoriño et al. (2014).

Gómez y Valero (1997) mencionan diversas concepciones acerca de la natu-raleza de las matemáticas, las cuales, según ellos —en conjunción con la con-cepción de los objetivos de la educación matemática, el modelo de enseñanza y el aprendizaje de la matemática y los recursos educativos—, reflejan diferentes tipos de profesores de matemáticas, entre los cuales distinguen: tecnólogo, humanista, progresista, crítico e investigativo. Esta clasificación, a pesar de ser interesante, solamente se hace desde las concepciones del profesor y no analiza la práctica pedagógica en el aula.

InteraccIón en el salón de clase

El aprendizaje en un enfoque sociocultural se basa en la negociación de los significados producidos en el diálogo, la interacción, la colaboración y la distri-bución de responsabilidades que se asignan en el grupo, y a través de intercam-bios comunicativos. Por tal razón es pertinente hablar de negociación de significados en la clase de matemáticas, considerada un proceso de interacción discursiva donde participan el profesor y los estudiantes, a partir de la cual se



generan patrones de interacción en el grupo, considerados como regularidades. Según describe Voigt (1995, en Godino y Llinares, 2000), los patrones de interac-ción en clase se ponen en juego durante las situaciones de negociación de significados, sin que necesariamente sean pretendidos ni reconocidos por los participantes. Cuando las situaciones de negociación son escasas o poco apro-piadas —y regularmente así sucede— constituyen un patrón de interacción frágil.

Para que los procesos de enseñanza y aprendizaje se vean favorecidos, es necesaria la interacción del maestro con sus alumnos en torno a un objetivo común; esto es, generar aprendizajes matemáticos, por lo que dicho proceso tiene un carácter social. De acuerdo con Woods (1998), las interacciones sociales son un proceso de elaboración y no una mera respuesta a factores que inciden sobre la persona, tales como la personalidad, las tendencias psicológicas o las normas sociales; así, la interacción es un elemento formativo.

tendencIas de la dIdáctIca como caracterIzadora de la PráctIca docente

Los modelos didácticos como instrumento de análisis y de intervención en la realidad de las prácticas pedagógicas representan una potente herramienta intelectual para abordar los problemas educativos; son el vínculo necesario entre la teoría y la intervención práctica, conexión que poco aparece en la tradición educativa, en la cual habitualmente se encuentran separadas. Por un lado están las producciones teóricas desde diversas áreas como filosofía, pedagogía, psico-logía, sociología, didáctica y administración, entre otras, que generalmente son producidas desde fuera de la escuela y son ajenas a la realidad que allí se vive; junto con los avances en materiales audiovisuales y algunas experiencias prác-ticas de grupos innovadores e investigadores de su propia práctica; por otro lado están las actuaciones concretas de los profesores en sus aulas, de espaldas a aquellos avances teóricos (Fiorentini, 2001).

Los modelos didácticos pretenden caracterizar las prácticas de aula, definidas como el conjunto de formas de acción cotidiana desde las cuales el profesor actúa frente al contexto educativo donde se desenvuelve; corresponden al con-junto de acciones que el docente, de manera consciente o inconsciente, realiza con el ánimo de hacer posible el aprendizaje de las matemáticas. Los modelos didácticos que se exponen a continuación evidencian transformaciones, funda-mentadas en las perspectivas de la evolución de la enseñanza. Para tal análisis



se toman los modelos tradicional, tecnológico, activista-espontaneísta, construc-tivista y alternativo.

Afirma Pérez (1995) que el modelo didáctico tradicional no ha perdido su vigencia, pues está fuertemente arraigado en la sociedad y pretende formar a los alumnos dándoles a conocer las informaciones; los contenidos son conce-bidos desde una perspectiva enciclopédica y con carácter acumulativo y frag-mentario (el saber correspondiente a un tema, más el saber correspondiente a otro…). Es decir, el conocimiento escolar sería una especie de selección divulga-tiva de lo producido por la investigación científica, plasmado en los manuales o libros de texto. En este modelo no se tienen en cuenta las concepciones o ideas de los alumnos ni se piensa en la dinámica de la clase. En la forma de enseñar no se suelen considerar específicamente unos principios metodológicos, sino que se parte de la convicción de que basta con un buen dominio de los conocimientos disciplinares de referencia. El método de enseñanza se limita entonces a una exposición lo más ordenada y clara posible de lo que hay que enseñar, ya que el contenido viene dado como síntesis del conocimiento; de ahí el protagonismo del libro de texto y del profesor. Implícitamente pide al alumno que escuche atentamente las explicaciones, que desarrolle diligentemente los ejercicios, que estudie casi inevitablemente memorizando la lección, y que la reproduzca lo más fielmente posible en el examen. Según este autor, la concep-ción tradicional mantiene una división de los saberes por asignaturas de una forma que ha llegado a parecer “natural”, que perdura y se perpetúa. Desde esa óptica la función básica de la escuela sería transmitir a las nuevas generaciones los cuerpos de conocimiento disciplinares que constituyen la cultura. Esta pers-pectiva sigue vigente en la mayoría de las prácticas pedagógicas de nuestras escuelas.

El modelo didáctico tecnológico se añade a la formación moderna, entendida como formación cultural, no como desarrollo personal. Aquí se incorporan avan-ces de corrientes científicas, especialmente desde la psicología, o incluso cono-cimientos no estrictamente disciplinares, pero vinculados a problemas sociales y ambientales de actualidad. En la forma de enseñar se insertan estrategias metodológicas procedentes de las llamadas ciencias de la educación. Se suele depositar una excesiva confianza en que la aplicación de esos métodos va a producir en el estudiante el aprendizaje de aquellos conceptos previamente elaborados por los científicos. Para ello se recurre a la combinación de una exposición del profesor y los ejercicios específicos, lo cual se plasma en una secuencia de actividades muy detallada, que responde a procesos de elaboración



del conocimiento previamente determinado y puede partir de las concepcio-nes de los alumnos —ideas previas—, con la pretensión de sustituirlas por otras más acordes al conocimiento científico que se persigue. La metodología se centra en la actividad y ejercitación del estudiante, con tareas que el profesor concibe como una cierta reproducción del proceso de investigación científica, protago-nizado directamente por el estudiante. La evaluación intenta medir las adquisi-ciones disciplinares de los alumnos, aunque también existe preocupación por comprobar la adquisición de otros aprendizajes más relacionados con los pro-cesos metodológicos empleados (Pérez, 1987).

El modelo didáctico activista-espontaneísta, considerado una alternativa al modelo tradicional, tiene como finalidad educar al estudiante introduciéndolo en la realidad que le rodea, desde el convencimiento de que el contenido ver-daderamente importante para ser aprendido ha de ser expresión de sus intereses y experiencias, y se halla en el entorno en que vive. Esa realidad debe ser des-cubierta por el alumno mediante el contacto directo, realizando actividades de carácter muy abierto, poco programadas y muy flexibles, en las que él sea el protagonista, a quien el profesor no debe decir nada que él no pueda descubrir por sí mismo. Se considera más importante que el estudiante aprenda a observar, a buscar información, a descubrir, que el propio aprendizaje de los contenidos supuestamente presentes en la realidad; ello se acompaña con el fomento de determinadas actitudes, por ejemplo la curiosidad por el entorno y la cooperación en el trabajo común. En esta tendencia lo que se evalúa no es tanto ese conte-nido de fondo, cuanto los procedimientos (destrezas de observación, recogida de datos, técnicas de trabajo de campo, etc.) y actitudes (de curiosidad, sentido crítico, colaboración en equipo...) adquiridas en el propio proceso de trabajo (Porlán y Toscano, 1991).

El modelo alternativo se define como “investigación en la escuela”; propone como finalidad educativa el enriquecimiento del conocimiento de los estudiantes en una dirección que conduzca hacia una visión más compleja y crítica de la realidad, que sirva de fundamento para una participación responsable en la misma. En este modelo la metodología se concibe como investigación escolar, desarrollada por el alumno con la ayuda del profesor, lo cual se considera el mecanismo más adecuado para favorecer la construcción del conocimiento escolar propuesto. A partir del planteamiento de problemas se desarrolla una secuencia de actividades dirigida al tratamiento y solución de los mismos. La evaluación es concebida como un proceso de investigación que intenta dar cuenta de la evolución de las concepciones o ideas de los estudiantes, de la



actuación profesional del docente y, en definitiva, del propio funcionamiento del proyecto (Porlán, 1999).

Por último, el modelo didáctico constructivista parte de los saberes previos del estudiante, para asimilar el nuevo contenido; el protagonista no es la ense-ñanza, sino el aprendizaje; el progreso del estudiante, más que los conceptos impartidos por el maestro; busca que el alumno aprenda a crear sus propias ideas, que hasta cierto punto sea independiente y capaz de desarrollar cualquier actividad. Reconoce las ideas de los alumnos y ellos son parte del proceso para alcanzar el éxito. La metodología es propositiva y de descubrimiento, activa por parte del estudiante; combina la exposición con la práctica y la investigación; permite que el alumno proponga, discuta y sintetice; el papel del docente es el de mediador, ofrece al estudiante ambientes de aprendizaje, variedad de situa-ciones, le comunica sus significados, muestra maneras de proceder y apoya la capacidad del alumno para desarrollar sus propias ideas, al tener preguntas y resolverlas. La evaluación se centra en la capacidad del estudiante para dar solución a un problema y los medios que utiliza para ello, de acuerdo con los objetivos (idem).

3. MEtodologíA

La investigación siguió un enfoque cualitativo, con el uso de instrumentos como observación y entrevistas no estructuradas —tanto a docentes como a estudian-tes— y diario de campo. Por la naturaleza del objeto de estudio, una investigación de tipo cualitativo es apropiada, puesto que interesa establecer las realidades que se viven al interior de las clases de matemáticas y teniendo en cuenta a Denzin y Lincoln (1994, citado por Sandín, 2003), en estos espacios interaccionan diversas disciplinas, con un componente fuerte de lo humanista, naturalista e interpretativo. La investigación es un estudio de caso: los profesores del área y sus alumnos, pertenecientes a una institución educativa privada de la ciudad de Sogamoso (Boyacá, Colombia). La escuela tiene alrededor de 300 estudiantes, los cuales corresponden a una clase socioeconómica media baja. Para el desarrollo del trabajo, durante el primer semestre de 2015 se tuvo consentimiento informado por parte de los participantes, incluso de las directivas, guardando sus identidades.

Se hizo una entrevista no estructurada a dos docentes de matemáticas con título de licenciado, tres observaciones no estructuradas de clase a cada uno, y



una entrevista focal a ocho estudiantes, que asistieron voluntariamente y fuera de la jornada de clase. Las entrevistas a los mismos dos profesores de matemá-ticas se realizaron mediante preguntas abiertas, a través de un diálogo amplio sobre creencias e interacción con sus alumnos, y demás aspectos de su práctica pedagógica en el aula. La entrevista a los estudiantes se desarrolló mediante preguntas abiertas, donde pudieron describir cómo perciben el desarrollo de la clase del profesor de matemáticas y la interacción que mantienen tanto en clase como fuera del aula, permitiéndoles expresar la experiencia que viven en esa clase. La observación directa fue utilizada como instrumento para evidenciar aspectos relevantes de la enseñanza de las matemáticas de los docentes parti-cipantes, y triangular la información recogida en la entrevista a los mismos profesores y la realizada al grupo de estudiantes.

Las categorías de análisis surgieron siguiendo a Erickson (1986: 146), quien afirma que el análisis de datos cualitativos debe “… generar afirmaciones empí-ricas, en gran medida a través de la inducción” y “para establecer una evidencia probatoria” se hace a través de una búsqueda sistemática de la confirmación o no confirmación de los datos. Este proceso, como Agar lo expresa (1980: 9), es dialéctico, se requiere “… fracturar sistemáticamente los datos”, lo cual lleva a generar categorías y “regularidades” en los mismos. Por tanto, en la búsqueda de los temas centrales del material empírico, la totalidad del conjunto de datos fue examinado en varias ocasiones y a profundidad, hasta obtener tres catego-rías de análisis: ¿Qué enseña?, ¿Cómo enseña?, ¿Para qué enseña?

4. rEsultAdos y disCusión

Los resultados obtenidos fueron agrupados de acuerdo con las tres categorías de análisis mencionadas.

¿Qué enseña?

El profesor D14 sigue textualmente la secuencia del libro de texto; transcribe en

el tablero los contenidos, sigue con un ejemplo y pide a los alumnos realizar otros ejercicios. Les explica uno a uno los pasos de cada ejercicio; los estudiantes

4 D1 significa Docente uno; esto para preservar la identidad del mismo.



elaboran otros sobre las propiedades de la multiplicación (tema que estaban desarrollando); es decir, el docente sigue linealmente una lista de contenidos y se insiste bastante en el algoritmo, dinámica de clase típica del modelo tradicio-nal (Pérez, 1995). Al final el maestro pregunta si hay dudas, los alumnos plantean algunas cuestiones que él intenta resolver y como aún parece haber confusión, explica de nuevo (Observación de clase, 09/04/2015). En la entrevista dice “… sigo los Lineamientos y los Estándares Curriculares del Ministerio”, y al pre-guntársele cuál es la diferencia de estos con el libro de texto afirma: “… pues son lo mismo” (Entrevista D1, 17/04/2015). Aquí debe considerarse que los estándares son una lista de acciones o competencias que realizará o alcanzará el alumno con dicho contenido; por ejemplo, “realiza multiplicaciones; multiplica y divide fracciones” (p. 49); “maneja con fluidez las unidades métricas” (p. 133). Para el docente no es claro cómo se alcanzaría esa acción o esa competencia; no per-cibe la diferencia.

El maestro tiene alguna interacción con los estudiantes, pero solo cuando él les pregunta para confirmar si lo expuesto está claro o no; y si hay dudas, vuelve a repetir la explicación. Aquí sucede lo que afirma Voig (1995, en Godino y Lli-nares, 2000): cuando las situaciones de negociación son escasas o poco apro-piadas, el patrón de interacción es frágil, característico del modelo tradicional.

En una clase el profesor D2 dicta la definición de fracción equivalente y los alumnos copian al pie de la letra lo que él les indica: “niños, recuerden que dos fracciones son equivalentes si me dan la misma representación”. Enseguida escribe en el tablero el número seis tercios (6/3) y comienza a representarlo visualmente partiendo pasteles; indica a los estudiantes que cada unidad debe dividirse en tres partes y tomar seis. Cuando termina de realizar el rayado en el gráfico, determinando las seis partes, pregunta: “¿Una de las fracciones equiva-lente, cuál sería? ”; el profesor invita a un alumno para que muestre sus ejemplos; el chico indica que “Son equivalentes a seis tercios las fracciones cuatro medios, diez quintos, veinte medios”. El niño hace su representación gráfica y el maestro dice que es correcta. El profesor, en forma general, afirma: “Dos fracciones a/b y c/d, son equivalentes si el producto cruzado es igual (axd = bxd)”, y retoma el ejercicio inicial donde 6x1= 6 =2x3. “Cuando yo comparo dos fracciones con el producto cruzado me doy cuenta si son o no equivalentes, no olviden que se multiplica en equis”. Enseguida propone ejercicios como “¿½ será equivalente con 2/4? ”. Varios chicos inmediatamente dicen que no, pues, según ellos, su producto cruzado no es igual. El maestro reitera la pregunta y ahora los niños afirman que sí. Se percibe que los niños realmente no entendieron y



simplemente terminan cambiando su respuesta ante la insistencia del profesor (Observación de clase, 24/04/2015).

Se confirma aquí lo señalado por Pimm (2002); cuando el docente hace preguntas se produce un problema peculiar: “… no trata de descubrir algo que no sepa, sino de discernir si el alumno interrogado lo sabe” (p. 91). Por otra parte, se ve cómo no hay espacio para la discusión de esas respuestas; la discusión en estas clases se enfrenta con una dificultad, ya que las matemáticas escolares carecen de lugar para ello, según la concepción generalizada sobre ellas (Ponte, 1992), que además forma parte de una creencia cultural. Pimm (2002) afirma que en las fronteras de las matemáticas pueden existir temas abiertos que per-mitan la discusión, pero en el nivel escolar todo está ordenado y escrito. Esta creencia de las matemáticas escolares, por demás muy extendida, refleja una visión exacta de las mismas, al igual que de la propia actividad matemática escolar, y desempeña un papel central en su enseñanza (idem).

¿cómo enseña?

Este aspecto se evidencia cuando D1 indica: “hoy trabajaremos las fracciones equivalentes”; coloca el título en el tablero y comienza la explicación de los contenidos. Luego elabora un ejemplo y propone a los alumnos hacer otros muy similares (Observación de clase, 27/04/2015). En la entrevista hay un momento en que el mismo profesor expresa: “Desarrollo la clase explicando uno a uno los temas, pero no siempre aprenden y entonces tengo que volver a explicar” (Entrevista D1, 17/04/2015). Se percibe aquí que enseñar es sinó-nimo de explicar los contenidos; no hay espacio para confrontar interpretacio-nes, respuestas y soluciones, y por tanto escasea el tiempo para conjeturar y argumentar.

Con D2 la situación no es diferente: “Pues yo explico los contenidos en el tablero y en caso que un estudiante no logre comprender alguna temática, se les brinda la oportunidad de que me busque en un tiempo extra clase, en un descanso o en las horas de almuerzo; pero cuando es más de un estudiante citamos un sábado o un viernes en la tarde para hacer una explicación nue-vamente del tema, se retoma toda la temática y se vuelve a explicar desde el principio; cuando esta dificultad persiste vuelvo a cero, como si empezara la clase; borrón y cuenta nueva, empiezo explicando el ejemplo o ejercicio que esté trabajando, se vuelve a empezar de nuevo” (Entrevista D2, 30/04/2015). El



análisis permite observar cómo los dos profesores siguen un modelo acade-micista tradicional, típico de la organización disciplinar de la matemática; pretenden formar a los alumnos dándoles a conocer las informaciones; los contenidos son concebidos desde una perspectiva enciclopédica y con carác-ter acumulativo y fragmentario; el saber correspondiente a un tema, más el saber correspondiente a otro; siendo la única referencia la de la disciplina matemática (Pérez, 1995).

Los docentes llevan a la clase la planeación que el Colegio les exige, la cual considera tres momentos: introducción al tema, explicación apoyada con ejem-plos y, por último, ejercicios del libro de texto (a veces con evaluación). Solo en una ocasión D2 utilizó el trabajo en grupo y ahí resolvió dudas respecto al tema. Esa vez evaluó mediante preguntas y permitió que fueran analizados los errores de algún estudiante y que se hicieran las correcciones para afianzar la com-prensión del tema (Observación de clase, D2; 17/04/2015). En la planeación de la clase, lo que llaman “Introducción al tema” consiste en iniciar con el título del mismo en el tablero y comenzar a explicar.

En otra observación de clase se repite el mismo esquema: D1 realiza la intro-ducción al tema explicando en el tablero algún ejemplo, plantea ejercicios y comienza a preguntar: “¿Y cómo se resuelve este ejercicio? Pasa y nos lo expli-cas…”; espera a que el estudiante lo resuelva, lo califica frente a los otros alumnos, permite que alguien pregunte, reitera el proceso (algoritmo) y hace que corrijan los errores. Nuevamente se percibe que la estructura del desarrollo de la clase va de la disciplina a los ejercicios de práctica, aspecto característico del modelo tradicional (Observación de clase, D1; 28/04/2015). En las prácticas de esos docentes es evidente que se hacen actividades especialmente para observar la ejercitación de los estudiantes en el tablero y en el cuaderno (Observación de clase, D1, 28/04/2015; y D2, 28 y 30/04/2015).

El profesor D1 afirma en la entrevista: “… para introducir una nueva temática de clase, después de una valoración escrita del tema anterior, que me permite detectar fallas, comienzo con el título del nuevo tema; sigo con una ‘lluvia de ideas’, (…) ellos muestran la idea… uno mejora la definición y la encamina, les dice qué tienen que corregir, en qué se equivocaron…” (Entrevista D1, 17/04/2105). Aquí es evidente la inconsistencia entre el “decir” y el “hacer”, ya que en las clases observadas esto no se hizo; no hay correspondencia entre el modelo explícito que dice seguir el docente y la realidad de lo que sucede en el aula (Ruiz et al., 2005; Van Driel et al., 2007; Señoriño et al., 2014).



¿Para Qué enseña?

Veamos lo que ocurre en una clase. El profesor D1 reitera a los alumnos que las fracciones se encuentran en situaciones muy particulares de la vida, y los invita a que den ejemplos donde se aplican, tanto las fracciones como las fracciones equivalentes. Tímidamente un niño dice “… se usan cuando hay que partir cosas”, pero no puede dar un ejemplo concreto; el maestro menciona algunos. No hubo ningún otro tipo de análisis sobre fracciones equivalentes (Observación de clase, 27/04/2015). En la entrevista afirma: “Es importante entender que los estudiantes no deben simplemente aprender a desarrollar un ejercicio en la clase, lo que yo pretendo es que ellos dominen la matemática cuando se les presente la oportu-nidad en la vida real y que al aplicar este conocimiento distingan la importancia de tener en claro para qué sirven los conocimientos matemáticos” (Entrevista D1, 17/04/2105). Se percibe en la respuesta del docente la influencia de los Linea-mientos y Estándares de Competencias, los cuales insisten en que lo aprendido se manifieste en la competencia de “hacer en contexto”. Sin embargo, en las clases observadas se nota la dificultad para relacionar los contenidos matemá-ticos estudiados con la vida real.

A la pregunta de qué aspectos pretende fortalecer en sus estudiantes al momento de planear y desarrollar sus clases, D2 afirma: “favorecer la aplicación a la vida cotidiana” (Entrevista D2, 30/04/2015). Es perceptible la concepción de que la matemática es importante por su utilidad. Según Partido (2003), el maestro dice al alumno para qué aprende matemáticas y dónde las utiliza, solo que con el peso de lo que el profesor mismo cree importante y además sin utilizarlas de forma concreta; es decir, esa utilidad no se percibe en las clases.

En general, se evidencia que estos docentes mantienen un modelo tradicio-nal; en pocos momentos permiten la participación e involucran a sus alumnos; la clase sigue la lógica del desarrollo disciplinar del contenido, como lo expresa D1: “… cuando se pretende enseñarlas [matemáticas] uno las explica primero de la manera como las aprendió y como se desarrolló el pensamiento lógico y racional para luego aplicar diferentes métodos en los estudiantes y [para que] capten cómo las pueden aplicar en su vida; la única diferencia que tiene con otras materias es que la matemática es una ciencia exacta” (Entrevista D1, 17/04/2105). Al reconocer las ideas de los estudiantes y permitir que participen, las pocas veces que sucedió, su práctica mostró rasgos de modelo constructivista (Porlán, 1999), aunque de forma incipiente, como lo expresa un alumno: “El



profesor a veces tiene en cuenta lo que uno sabe… en los ejercicios y nos plantea nuevas formas de resolverlos” (E7;

5 Entrevista, 8/05/2015).Por otra parte, al preguntar a los alumnos sobre la importancia de las mate-

máticas, manifiestan su sentido utilitario: “Saber las operaciones es como un reto […] las matemáticas las utilizo en muchas cosas de la vida, en cualquier carrera que estudiemos; están presentes en la casa, al ir a la tienda […] al hacer algo con dinero, en el colegio, al comprar ropa, hacer fiestas y muchas otras” (E3, Entrevista, 8/05/2015). Otro estudiante expresa: “… las matemáticas nos sirven para el futuro, porque la mayoría de carreras tienen que ver con matemáticas y esto sirve para tener mejores oportunidades de trabajo y aplicarlas en cualquier situación de la vida” (E8, idem).

También se percibe, según los alumnos, que el profesor es el protagonista de la clase y su rol es “explicar los conceptos” y demostrar que los ejercicios se pueden resolver, como lo afirma E3: “El profe nos dice el tema, luego nos explica algunos ejemplos, desarrollamos un aplicativo y finalizamos con una valoración parcial…” (idem). El interés de los estudiantes por aprender matemáticas se vin-cula con la aprobación de la materia y la promoción al curso siguiente, como lo expresa E4: “… cuando alguno pierde le toca hacer recuperación para aprobar, porque no se puede perder”, y con “aprender a desarrollar los ejercicios de mane-ra dinámica…” (E3). Cuando se dan cuenta de que no han comprendido se sienten aburridos y la expectativa por aprender disminuye, pues creen que no tienen capacidades para lograrlo: “… me gustaría que el profesor nos explicara un poco más el tema para poder entender mejor y así la clase no sería aburridora”; a pesar de que manifiestan que a veces: “Él desarrolla más actividades… para los estudiantes que no entienden; a veces da clases extras; en otro horario fuera del colegio, hace refuerzos, actividades y busca la forma de que se nivelen” (E7, idem).

De acuerdo con la normatividad vigente, cuando los alumnos no alcanzan las competencias requeridas, se deben programar actividades niveladoras, lo cual confirma E7: “… para los estudiantes que no entienden, a veces da clases extras”; y a la pregunta ¿qué hacen en las clases extras?, afirma: “Saca algún taller con muchos ejercicios, para que recuperemos o nos nivelemos” (idem). Esto muestra que aprender se relaciona bastante con repetir; además se nota poca interacción social en la clase, donde se podría discutir o argumentar para que la interacción fuera un elemento formativo que se manifieste en la negociación de significados, como lo expresa Jiménez (2002).

5 Se refiere a uno de los estudiantes que participaron en la entrevista.



Existen investigaciones donde la reflexión aparece como instrumento pro-motor del cambio. Ávalos (2011) señala que los cambios en las prácticas docen-tes, más que depender de los años de experiencia, están relacionados con el grado en que los docentes se involucran en una indagación reflexiva y colabo-rativa. En el mismo sentido, Jiménez (2002) expresa que un maestro que no reflexiona y problematiza su práctica, no sentirá la necesidad de actuar de forma diferente. La reflexión sobre la práctica inicia con el reconocimiento de la realidad y el diálogo con los colegas. La práctica docente se concreta en su propia inter-pretación crítica, para una continua (re)significación de lo que se piensa, se sabe, se dice y se hace (idem).

Por la razón anterior, los resultados de la investigación fueron socializados con los profesores involucrados en la misma, durante dos sesiones de trabajo. En la primera se mostraron los resultados y se realizó un diálogo alrededor de por qué esas cosas sucedían en sus clases. Aparecieron razones como que “seguramente es producto de la formación recibida” (D2), o también que “… es lo que el Ministerio exige”, o es que “… la verdad uno no se da cuenta de eso” (D1, Protocolo de reunión, 15/05/2015). En la siguiente sesión se leyeron textos de los dos últimos autores citados, con los cuales ambos profesores se identificaron plenamente. Los investigadores propusieron que los docentes se observaran en clases de forma recíproca, buscaran posibilidades de superar prácticas poco apropiadas y examinaran la forma de mejorarlas, tarea que emprendieron. Este tipo de reflexiones y análisis lo incorporaron en sus reuniones de área (Protocolo, 22 de mayo de 2015).

5. ConClusionEs

La investigación deja ver que la práctica pedagógica de estos docentes de matemáticas se basa en exponer los contenidos, explicarlos una y otra vez y resolver ejercicios, lo cual muestra claros trazos del modelo tradicional, con asomos de constructivismo, al rara vez permitir la participación de los estudian-tes. Las tareas propuestas son elementales y buscan la mera ejercitación y repetición; la evaluación se centra en confirmar el éxito o en destacar los errores y, de ser posible, repetir la explicación magistral del profesor. El uso del material se limita a seguir estrictamente un texto, o a veces un taller de ejercicios sacado del libro.



Los profesores mantienen una postura mecanicista tradicional que hace que los estudiantes identifiquen su tarea como “el que explica”, pues permanente-mente el maestro vuelve a explicar y los alumnos le piden que lo vuelva a hacer cada vez que tienen alguna duda, lo cual genera en ellos excesiva dependen-cia del profesor. Se cree que cuando los niños no comprendieron se debe explicar de nuevo, pensando que con eso es suficiente. Una dificultad estriba en que no se permite que los alumnos expliquen por qué esa fue su respuesta, y que ellos mismos perciban por qué está errada (Wood, 1998).

Las creencias y concepciones que evidencia el estudio, manifiestas en los dos últimos párrafos, están asociadas a la forma como el docente aprendió las mate-máticas, siguiendo algunos parámetros de la didáctica. Los planes de clase tienen tres momentos: introducción, explicación y ejercitación, y a veces evalua-ción (Entrevista D1, 17/04; D2, 30/04/2015), sin embargo en las observaciones de clase se aprecia que comienzan con el título y la explicación sistemática. En esa planeación no se consideran los espacios de discusión de respuestas ni de validación, y en las clases pocas veces se pide a algún alumno que explique su respuesta. Se perciben aspectos positivos, como implementar actividades adicio-nales, solo que consisten en volver a explicar y efectuar más ejercicios.

Al conocer los resultados y dialogar sobre ellos, los profesores reconocieron que deben reflexionar sobre los aspectos aquí destacados, a partir de que obser-ven sus clases recíprocamente y discutan cómo mejorar sus prácticas, tarea que emprendieron, aprovechando los espacios de reunión de área. Esta investigación deja abierta la posibilidad de analizar las prácticas, pero ahora a partir de la reflexión sobre lo que se hace, y examinar así cómo transformar esas realidades de aula, cómo (re)significar esas prácticas o, como dicen Carrillo et al. (2013, en Carrillo, 2014), buscar que el conocimiento sobre la enseñanza de las matemá-ticas tenga un carácter especializado.

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DOI: 10.24844/EM2903.05

Análisis de las decisiones del profesor de matemáticas en su gestión de aula

Analysis of Mathematical teacher’s decisions in his Classroom Management

diego garzón Castro1

resumen. Esta investigación analiza las decisiones que toman dos profesores en “momentos de enseñanza” en los que emergen oportunidades pedagógicas. Éstas, corresponden a ejemplos del discurso en el aula en las que se hace manifiesto el pensamiento matemático del estudiante y la construcción de significados matemáticos. Con esta finalidad, se diseñó y se evaluó el instru-mento MOST-Noticing que permite dicho análisis. Se llevó a cabo un estudio de casos exploratorio que incluyó la observación de clases video-grabadas de profesores de secundaria. Para el análisis, se tuvieron en cuenta: la observación profesional de la enseñanza de las matemáticas, enfatizando en la habilidad del profesor para responder a la comprensión matemática del alumno, y el estudio de momentos de enseñanza que ponen en relación el pensamiento matemático del alumno, lo significativo desde el punto de vista matemático y las oportunidades pedagógicas. En el análisis se reconocieron dos momentos

Fecha de recepción: 4 de agosto de 2016. Fecha de aceptación: 5 de mayo de 2017.1 Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Área de Educación Matemática, diego.

[email protected] trabajo se ha realizado en el marco del Programa del Doctorado en Educación de la Universidad

Autonóma de Barcelona (UAB).



de enseñanza que permitieron caracterizar las decisiones en relación con las acciones a partir del instrumento aplicado y la comparación constante.

Palabras clave: Decisiones del profesor, momentos de enseñanza, pensamiento matemático del estudiante, discurso matemático en clase, prácticas de ense-ñanza.

Abstract. This paper analyzes the decisions made by two teachers during “teach-ing moments” in which pedagogical opportunities emerge. These correspond to examples of classroom discourse in which the mathematical thinking of the student and the construction of mathematical meanings are made manifest. For this purpose, the MOST-Noticing instrument was designed and evaluated, allowing for such an analysis. An exploratory case study was carried out that included the observation of videotaped classes of high school teachers. For the analysis, we took into account: professional observation of the teaching of mathematics, emphasizing the teacher’s ability to respond to the mathematical understanding of the student, and the study of teaching moments that relate the student’s mathematical thinking, the significant from the mathematical point of view and the pedagogical opportunities. In the analysis, two teaching mo-ments were recognized that allowed to characterize the decisions in relation to the actions from the applied instrument and the constant comparison.

Keywords: Teacher decisions, teachable moments, student’s mathematical think-ing, mathematical discourse in the classroom, teaching practice.

introduCCión

En las últimas décadas, diversos autores se han centrado en el estudio del de-sarrollo profesional del profesor de matemáticas como objeto de investigación, entre ellos, Litte (2004) y Warfield (2001). Esta tendencia en la investigación abar-ca aquellas aproximaciones que enfatizan en el pensamiento matemático del estudiante para el aprendizaje del profesor. Además, permite abordar la toma de decisiones del profesor en “momentos de enseñanza” y cuando se manifiestan oportunidades pedagógicas. En esta investigación, el concepto momento de en-señanza abarca situaciones de clase en que emergen oportunidades pedagógi-cas que posibilitan la transformación del pensamiento matemático del alumno, en condiciones en que se manifiesta el diálogo (Jaworski, 1994:112; Davies y Walker, 2005: 275; Schoenfeld, 2008:57; Thames y Ball, 2013:31).



Stockero y Van Zoest (2013) reconocen que los momentos de enseñanza y la toma de decisiones asociadas pueden ser evaluados a fin de establecer cómo influyen en el aprendizaje de los estudiantes. Por su parte, Sun y van Es (2015) contribuyen a la fundamentación de propuestas pedagógicas para desarrollar las competencias de observación profesional del profesor2 en la fase inicial de la formación de futuros profesores. También, Leatham, Peterson, Stockero y Van Zoest (2015) proponen una estructura, para el análisis y el lenguaje necesario, centrada en la mirada tanto del investigador como del profesor en el pensa-miento matemático.

Los trabajos mencionados han desarrollado herramientas para comprender la enseñanza de las matemáticas que se enfocan en el pensamiento matemá-tico del alumno para favorecer su aprendizaje. Así, los momentos de enseñanza identificados (asociados a los episodios de referencia: “trazo de la perpendicular a una recta” y “construcción de triángulos congruentes”) y las oportunidades pedagógicas, se constituyen en instrumentos para fundamentar el aprendizaje del profesor.

Un punto de acuerdo entre la comunidad de investigadores en Educación Matemática, los diseñadores de política educativa y los formadores de profesores, es la necesidad que se tiene en la clase de matemáticas de favorecer el desarro-llo del pensamiento matemático del estudiante (NTCM, 2000; Jacobs, Franke, Carpenter, Levi y Battey, 2007:264; Sowder, 2007:174). Esto implica que una ac-tividad relevante, en la enseñanza de las matemáticas, sea la consideración de las ideas de los estudiantes y la respuesta a sus iniciativas (Ball, Lubienski, y Mewborn, 2001:434). En este sentido, esta investigación busca caracterizar la toma de decisiones de acción cuando el profesor gestiona la clase.

Stockero y Van Zoest (2013) apoyados en el reconocimiento de las circuns-tancias que posibilitan los momentos pivote para la enseñanza de las matemá-ticas, clasifican las decisiones del profesor en: (a) extender las matemáticas y hacer conexiones entre ideas matemáticas, (b) enfatizar en el pensamiento matemático del estudiante y (c) destacar el significado de las matemáticas. La toma de decisiones de acción en la gestión de clase es un proceso vinculado a una de las habilidades de la observación profesional del pensamiento del alum-no y se refiere a la respuesta del profesor respecto a la comprensión del alumno

2 Se conceptualiza como la articulación de tres habilidades: identificar los aprendizajes del alumno, interpretar estos mismos, y decidir la respuesta a la comprensión del alumno. Tal como se precisa y referen-cia en el marco teórico.



cuando se enfrenta a la resolución de un problema (Jacobs, Lamb, Philipp y Schappelle, 2011:99).

La pregunta en esta investigación es: cómo un profesor identifica lo que es relevante para el aprendizaje de la geometría de sus alumnos y cómo lo inter-preta para fundamentar la toma de decisiones de acción3 en la gestión de momentos de enseñanza, en los que emergen oportunidades pedagógicas. A partir de esta pregunta, los objetivos son:

a) Diseñar y evaluar un instrumento de análisis para caracterizar las deci-siones de acción de los profesores en su gestión de clase.

b) Describir las decisiones de acción en momentos de enseñanza en los que los profesores recurren al diálogo y emergen oportunidades pedagógicas.

MArCo tEóriCo

En esta investigación se integran dos aproximaciones teóricas:4 la observación profesional del pensamiento matemático del estudiante (Jacobs, Lamb y Philipp, 2010) y las oportunidades pedagógicas significativas desde una perspectiva matemática (“Mathematically Significant Pedagogical Opportunity to Build on Student Thinking”, la utilizamos en su versión abreviada MOST’s) (Leatham et al., 2015). La primera propone herramientas para describir el análisis de las prácti-cas y la toma de decisiones (cuando los estudiantes recurren a una estrategia oral o escrita). La segunda permite caracterizar el tipo de prácticas de enseñan-za que favorecen el pensamiento matemático de los alumnos.

observacIón ProfesIonal del PensamIento matemátIco y most’s

Se consideraron como conceptos articuladores y transversales para esta inves-tigación: la observación profesional del pensamiento matemático del estudiante,

3 La toma de decisiones de acción se vincula con momentos de enseñanza en los que el profesor gestiona significados matemáticos en el diálogo. En la revisión de literatura en el campo, las decisiones de acción se asocian con dilemas de enseñanza, los que se conciben determinados por los múltiples propósitos de la escuela y el papel asignado a los profesores. Se reconocen dilemas de tres tipos: de contenido, discur-so y comunidad (Ball, 1993:377).

4 Según Wedege (2010:555) “una aproximación teórica está basada en principios teóricos combinados con una metodología que guían, dirigen y piensan la acción”.



las decisiones de acción, los momentos de enseñanza y las oportunidades pe-dagógicas. Esto debido a que vertebran elementos teóricos y metodológicos correspondientes a cada una de las aproximaciones teóricas.

En esta investigación se reconoce como concepto articulador de las dos aproximaciones teóricas, la observación profesional del pensamiento matemáti-co del estudiante , uno de los matices de la observación profesional de la ense-ñanza de las matemáticas, y el MOST.5 Se conceptualiza como un conjunto interrelacionado de tres competencias: identificar estrategias de los estudiantes respecto a una situación problema, interpretar las estrategias usadas por el es-tudiante al abordar la situación problema —en relación con sus conocimientos matemáticos y el reconocimiento de los aportes de la investigación respecto al desarrollo de pensamiento matemático— y decidir la respuesta a las estrate-gias del estudiante en relación con los conocimientos matemáticos y aportes reconocidos de la investigación sobre el desarrollo de pensamiento matemático (Jacobs et al., 2010).

Leatham et al. (2015) argumentan sobre cómo el MOST dispone de un ins-trumento para el análisis y desarrollo de las tres habilidades que estructuran la observación profesional. Debido a que: (a) proporciona un instrumento que permite identificar casos del pensamiento matemático del estudiante que po-drían ser matemáticamente destacados en una lección, (b) permite reconocer si un caso particular del pensamiento matemático del estudiante puede manifes-tarse durante una lección, (c) toma en consideración el contexto del aula para establecer si un caso determina transformaciones que permiten mejorar la com-prensión matemática.

El concepto de la observación profesional de la enseñanza de las matemá-ticas, en la aproximación MOST, se fundamenta en el concepto de visión profe-sional (van Es y Sherin, 2002) y en la conceptualización de la observación profesional del pensamiento matemático del estudiante (professional noticing of children’s mathematical thinking). Esta última, se define como el conjunto interrelacionado de tres habilidades: identificar las estrategias de los estudiantes cuando abordan una situación problema, interpretar las comprensiones de los estudiantes y decidir que responder a las comprensiones de los estudiantes (Jacobs, Lamb, Philipp y Schapelle, 2011).

Un segundo concepto que se examina, en la integración local entre las dos aproximaciones teóricas, es la conceptualización de decisiones de acción que

5 Se usa el término “el MOST” como singular del término MOST’s.



forman parte de uno de los tres componentes de la visión profesional de un pro-fesor. Están asociados con el razonamiento del profesor para responder a las es-trategias del estudiante que aborda una situación problema. Estas decisiones de acción se fundamentan en el concepto de visión profesional (van Es y Sherin, 2002; Fortuny y Rodriguez, 2012) y en la conceptualización de la observación profesional del pensamiento matemático del niño (Jacobs, Lamb, Philipp y Schapelle, 2011).

En la articulación de las dos aproximaciones teóricas se destaca como tercer concepto, el momento de enseñanza. Este concepto abarca aspectos específicos de situaciones de clase, en que el profesor orquesta discusiones en las que emergen oportunidades pedagógicas que posibilitan la transformación del pen-samiento matemático del estudiante.

De los momentos de enseñanza, se destacan los que tienen el potencial de contribuir al aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas. También, permiten reconocer en la revisión de los documentos reportados, distintas connotacio-nes respecto a la naturaleza de los momentos de enseñanza (Leathan et al., 2015).

Se reconoce la ausencia de un lenguaje unificado respecto a los momentos de enseñanza. Por esta razón, el MOST se entiende como el instrumento dise-ñado para analizar el potencial matemático y pedagógico del pensamiento matemático del estudiante en relación con los momentos de enseñanza. Además, el MOST suministra una estructura analítica en la que se articulan características y criterios, lo que permite un lenguaje en esta investigación que caracteriza y compara entre si momentos de enseñanza (Leathan et al., 2015).

El cuarto concepto, vinculado con la aproximación MOST, es oportunidad pedagógica. Este concepto se entiende en el contexto de un momento de ense-ñanza. En particular, en el que la orquestación de discusiones en el aula por parte del profesor, junto con las manifestaciones del pensamiento matemático del estudiante, posibilita la construcción de significado matemático.

oPortunIdades PedagógIcas con sIgnIfIcado matemátIco Para la construccIón de PensamIento matemátIco (most’s)

Según Leatham et al. (2015), la característica fundamental de un MOST es el pensamiento matemático del estudiante. Posteriormente, se enfoca en examinar si el pensamiento de los estudiantes desarrolla significados matemáticos. Por último, considera si el pensamiento matemático del estudiante puede ser cons-truido sobre la comprensión que tienen los estudiantes de los significados ma-temáticos en el momento en que emerge una oportunidad pedagógica.



De la definición de los MOST se deriva un proceso analítico que describe una trayectoria a seguir en el análisis que corresponde a: el pensamiento matemá-tico del alumno (PE), lo signficativo desde el punto de vista matemático (MS) y la oportunidad pedagógica (OP) (en la intersección de las tres características).

La estructura MOST proporciona una manera sistemática de analizar y ar-ticular las características y criterios de los MOST (Leathan et al., 2015:102). Es por ello, que el proceso de análisis de la información, proveniente de videos, incluyó las características y criterios en la identificación de momentos de enseñanza.

Pensamiento matemático del alumno. En la perspectiva de Leathan et al. (2015) para que un caso sea MOST debe fundamentarse en el pensamiento matemá-tico, debe cumplir dos criterios para caracterizarlo como portador del pensa-miento matemático del estudiante: (a) la acción del estudiante suministra evidencias suficientes para hacer inferencias razonables, (b) se puede articular una idea matemática que está estrechamente relacionada al caso con las matemáticas del estudiante. Una evidencia observable, basada en el PE puede ser utilizada para caracterizar la perspectiva matemática del alumno. En la clase, la evidencia observable tiene que ver con declaraciones verbales, gestos o trabajos escritos.

Un caso cumple el criterio matemáticas del estudiante, si un observador puede inferir lo que el estudiante está expresando matemáticamente. Se reco-noce la imposibilidad de acceder directamente al pensamiento del estudiante. Los profesores hacen inferencias basadas en observaciones de lo que los estu-diantes hacen y dicen.

El otro criterio corresponde al reconocimiento de la perspectiva matemática. Se establece la existencia de una idea matemática que está estrechamente re-lacionada con las matemáticas de los estudiantes del caso. Ésta debe ser enten-dida por los estudiantes y se presenta como una declaración concisa. Por ejemplo: “la suma y la resta son operaciones inversas”, “se pueden sumar frac-ciones con un denominador común añadiendo sus numeradores y mantenien-do el denominador común”.

Lo significativo de las matemáticas. Según Leathan et al. (2015), un caso (ejemplo) es MOST cuando la perspectiva matemática se relaciona con las matemáticas del estudiante. Se considera el tiempo de enseñanza limitado y permite lo significa-tivo de las matemáticas. Así mismo contiene las matemáticas del estudiante que se utilizan para la comprensión.



Un caso se caracteriza por lo significativo de las matemáticas cuando cum-ple dos criterios: (a) la perspectiva matemática es apropiada para el nivel de desarrollo matemático de los estudiantes con antecedentes similares y (b) la perspectiva matemática es uno de los contenidos para el aprendizaje.

El primer criterio consiste en que la perspectiva matemática sea apropiada para el nivel del desarrollo matemático de los estudiantes con antecedentes similares. Cumplir con este criterio suscita dos condiciones. La primera es que las matemáticas deben ser accesibles a los estudiantes, reconociendo las expe-riencias matemáticas anteriores y considerando que el conocimiento es suficien-te para articularse con la perspectiva matemática. La segunda es que la perspectiva matemática no debe ser aquella que los estudiantes con su nivel de desarrollo matemático ya han adquirido.

El segundo criterio, es que la perspectiva matemática esté relacionada con un objetivo matemático central para los estudiantes de la clase. Los objetivos matemáticos para el aprendizaje de los estudiantes podrían estar determinados por el maestro o por una fuente externa como los documentos curriculares. Al analizar la perspectiva matemática en relación con el criterio de las matemáticas centrales, es importante que los objetivos matemáticos: (a) se extiendan de ob-jetivos para una lección específica a objetivos amplios para el aprendizaje de las matemáticas en general, y (b) abarquen el contenido matemático y las prácticas matemáticas (un caso —por ejemplo— puede satisfacer el criterio de las matemá-ticas centrales si la perspectiva matemática está estrechamente relacionada con un objetivo de aprendizaje para los estudiantes de esa clase).

Oportunidades pedagógicas. Leathan et al. (2015) definen una oportunidad pedagógica como un caso (ejemplo) en el discurso6 del aula, en que el pensa-miento matemático del estudiante posibilita condiciones en la construcción de significado matemático. Un caso de oportunidad pedagógica se presenta cuan-do se cumplen dos criterios: (a) el pensamiento matemático del estudiante en el caso crea apertura para construir a partir del mismo la perspectiva matemá-tica, (b) el momento oportuno se aprovecha para tomar ventaja de la apertura.

6 Leinhardt y Steele (2005:90) refirieron a las explicaciones en la enseñanza para dar cuenta del dis-curso. En esta mirada, los diálogos en la enseñanza son explicaciones interactivas y conversaciones en el salón de clase que sirven tanto para construir como transmitir conocimiento entre los estudiantes; son visibles y constituyen un modo obligado de enseñanza, que empodera a los aprendices con respecto a su propio aprendizaje.



En el primer criterio, se define la apertura como un caso en el que la expre-sión del pensamiento matemático del estudiante, crea una necesidad intelectual que otorga sentido a las matemáticas del estudiante. Según Harel (2013), la necesidad intelectual está conectada con la justificación epistemológica: nece-sidad de descernir entre cómo se ha realizado el aprendizaje de los alumnos y el porque se obtiene determinado conocimiento.

El segundo criterio para determinar si un caso es una oportunidad pedagó-gica, es el momento oportuno (Timing). Por definición, la elección del momento oportuno es un elemento de cualquier oportunidad, que no es sólo una apertu-ra, pero que saca ventajas de la apertura por lo cual es probable una mayor comprensión desde el punto de vista de los significados.

estructura analítIca most

Un momento de enseñanza se dice que es MOST, si en su análisis sistemático satisface las tres características: pensamiento matemático del estudiante, lo significativo de las matemáticas y las oportunidades pedagógicas. En esta estructura las características y los criterios asociados se analizan linealmente. Esta estructura de análisis, se utilizó en la estructuración del instrumento MOST-Noticing.

Método

El enfoque adoptado para esta investigación es cualitativo. Según Creswell (2007:37), la investigación cualitativa se define como una actividad situada que localiza al observador en el mundo, involucrando una perspectiva interpretativa y naturalista del mundo. Esto significa que los investigadores estudian las cosas, intentan dar sentido e interpretar fenómenos en términos del significado que la gente les asigna.

Se recurre al método de la teoría fundamentada (Teppo, 2015:3; Strauss y Corbin, 1990:23). El cual se define como un método de investigación cualitativo que usa un conjunto sistemático para desarrollar una teoría derivada inducti-vamente en relación con un fenómeno.

Se adoptó entre las aproximaciones cualitativas, un estudio de casos múltiple, etnográfico e ilustrativo (Angrosino, 2007). En particular, se diseñó un estudio de



casos exploratorio en que las clases de dos profesores en servicio (Eva y Andrés) fueron grabadas, para estudiar sus interacciones en prácticas de enseñanza.

Para seleccionar a los participantes, se consideraron las clases de profesores que cumplieron los siguientes criterios: (a) necesidad de continuar con su forma-ción profesional, (b) enseñanza centrada en el aprendizaje (propone problemas abiertos, tareas y ejercicios de discusión en grupo) que promueve la interacción entre profesor y estudiantes (favorecen el intercambio mediante la discusión gru-pal y el desarrollo de sesiones plenarias), (c) una experiencia mínima de cinco años como profesor de matemáticas en secundaria y (d) vinculación a programas de formación de profesores de la Universidad del Valle (Colombia).

La elección de profesores en servicio, la justifica el que éstos por medio de su vínculo con programas de formación de una institución educativa, como una universidad, permite obtener información para describir el estado de sus com-petencias profesionales a través de una “instantánea” que se relaciona con su formación profesional. De esta forma se da cuenta del uso del pensamiento matemático en la enseñanza que se interpreta y analiza en un contexto institu-cional, pero también asociado con la práctica profesional de los profesores.

Se emplea, por un lado, videograbaciones de las clases de Eva (cuatro sesio-nes de 1,5 horas) sobre problemas de construcción geométrica en las que se usó regla no graduada y compás. Por otro lado, la clase de Andrés (siete sesio-nes de 0,75 horas) sobre construcciones geométricas en las que se emplea doblado de papel. La selección de problemas de construcción geométrica estu-vo asociada con la posibilidad de explorar la enseñanza del profesor, en proce-sos asociados con: el desarrollo de pensamiento geométrico, la resolución de problemas y el razonamiento geométrico. Además, de introducir como variable el tipo de recurso al que recurre el profesor en la enseñanza.

ProCEdiMiEnto

Consta de cuatro fases, las cuales se describen a continuación:

Fase I. Recolección y organización de los datos. Revisión de cada una de las sesiones de clase de Eva y Andrés para reconocer rasgos de sus interacciones



con los estudiantes y realizar la transcripción7 de las videograbaciones de en-señanza. Las intervenciones de los profesores se designaron mediante un seu-dónimo y las de los estudiantes, mediante variaciones de A (A1, A2, A3…) con el fin de designar varios sujetos.

Fase II. Diseño del instrumento Most-Noticing. Fue a partir de ocho componentes, distribuidos como una tabla rectangular: turno, transcripción de las interacciones, acciones y formulaciones del profesor, acciones y formulaciones del estudiante, pensamiento matemático del estudiante, lo significativo desde las matemáticas, las oportunidades pedagógicas y observaciones. Se fundamentó en la estructu-ra analítica que suministra el MOST para caracterizar episodios de referencia. El instrumento tuvo como propósito aplicar criterios del enfoque MOST para reco-nocer episodios de referencia ilustrativos del pensamiento matemático de los estudiantes.

En la parte izquierda de la tabla se describe quien inicia la acción en las interacciones profesor-estudiante (turno) y se transcriben las interacciones.

Se consideraron las siguientes interrogantes:Pensamiento matemático del estudiante: ¿Es posible observar algún resulta-

do matemático del estudiante? ¿En qué consiste? ¿En qué momento se produjo? ¿Qué genera la intervención del profesor? ¿Qué estructura conceptual involucra el problema propuesto? ¿Es coherente el contenido matemático tratado en clase con el contenido del problema propuesto? ¿Pueden los estudiantes avanzar en sus aprendizajes?

Lo significativo de las matemáticas: ¿Se adecuan los problemas a la expe-riencia matemática del estudiante? ¿Permiten las estrategias propuestas inten-cionalmente por el profesor que el estudiante alcance el objetivo propuesto? ¿Es la comprensión matemática un aspecto central para el aprendizaje en esta clase?

Oportunidades pedagógicas: ¿Proveen los problemas o las tareas propues-tas por el profesor un descubrimiento o una elaboración de nuevos aprendi-zajes? ¿En qué momentos de la actividad matemática de los estudiantes se genera un descubrimiento o una elaboración de nuevos aprendizajes? ¿Qué aportan los problemas o interrogantes formulados por el profesor a la acti-vidad matemática del estudiante? ¿En qué momento de la resolución de un

7 Según Planas (2006:42), el uso de transcripciones para dar cuenta de las interacciones exige utilizar categorías que dependen de las cuestiones de investigación y no son reducibles a programas informáticos.



problema el estudiante tiene la oportunidad de progresar en el logro de los aprendizajes matemáticos? ¿Puede el discurso transformarse en una oportu-nidad de aprendizaje?

Finalmente, en la parte final del instrumento se registraron rasgos destacados de la información obtenida.

Fase III. Usos del instrumento Most-Noticing. Se utilizó en la identificación y descripción de los episodios de enseñanza de referencia. Se entienden los epi-sodios como segmentos de enseñanza que corresponden a niveles distintos de interacción (profesor-clase, profesor-estudiante, estudiante-clase). Estos involu-cran las siguientes posibilidades: (a) la identificación de una meta específica; (b) el reconocimiento de observables de las matemáticas del estudiante, (c) el reconocimiento de ejemplos ilustrativos del PE de los estudiantes en la clase. La segmentación de las grabaciones en episodios de referencia nos permitió reco-nocer un total de ocho episodios (cinco de Eva y tres de Andrés).

Fase IV. El análisis de los datos. Se presentó en tres fases relacionadas con la pregunta de investigación: (a) codificación, (b) análisis de las acciones y formu-laciones del profesor, (c) análisis de las acciones y formulaciones de los estu-diantes. Teppo (2015:10) describe el análisis de datos por procesos como una manera de capturar la dinámica de las interacciones. Retomamos este tipo de estructura analítica para describir cómo se generaron datos vinculados con los procesos que articulados definen la observación profesional de la enseñanza de las matemáticas.

(a) Codificación. Mediante el método de comparación constante, se asignaron códigos a los segmentos de enseñanza transcritos. En este procedimiento, se aplicó codificación abierta (análisis en el que se denominan y categorizan los fenómenos según sus propiedades). En el análisis de las acciones y formulacio-nes del profesor se identificaron 34 códigos para designar las acciones de Eva y 22 para Andrés, los cuales, se redujeron a 4 códigos: explicar, instruir, pregun-tar y apropiar recursos.

Se utilizó el mismo procedimiento de codificación para las acciones de los estudiantes. En la codificación se escribieron notas analíticas para examinar la introducción de nuevas categorías respecto a algunas ya establecidas, y se re-conocieron categorías comunes a ambos casos. La comparación entre categorías permitió describir las características de “momentos de enseñanza” y procesos



asociados con la observación profesional de la enseñanza y la aproximación MOST. Así, por ejemplo, se elaboró un cuadro comparativo de la codificación de los dos casos. Se cotejaron las categorías comunes, reduciéndose el número de categorías acuñadas para describir interacciones entre Eva-estudiantes y Andrés-estudiantes.

Los análisis se efectuaron en el siguiente orden: codificación (fase transver-sal); análisis acciones y formulaciones de los profesores; análisis de las acciones y formulaciones de los estudiantes; análisis de cada proceso componente de la observación profesional; análisis de las interacciones entre procesos.

(b) Análisis de las acciones y formulaciones del profesor. En la Tabla 1 se ilustran las acciones y formulaciones del profesor en dos categorías a las que se les asignaron códigos abiertos:

• Preguntar: Eva y Andrés formularon preguntas para interactuar con la clase, con un grupo de estudiantes o con un estudiante que presenta sus estrategias de solución.

• instruir: Eva y Andrés formularon instrucciones para completar procedi-mientos de construcción y reconocer su finalidad.

En la tabla 1, los ejemplos que se asignan a Eva provienen del episodio en el que el problema propuesto fue construir un triángulo congruente al dado, usando regla no graduada y compás. Mientras las líneas utilizadas para ejem-plificar la intervención de Andrés, provienen de un episodio en el cual el pro-blema formulado era: Dados dos puntos cualesquiera A y B, y el punto P, construya la recta que pasa por P y que sea perpendicular a línea determinada por A y B.

(c) Análisis de las acciones y formulaciones del estudiante. Respecto al análisis de las acciones y formulaciones de estudiantes, la Tabla 2 las presenta agrupa-das en dos categorías:

• Explicar: Comprende la justificación de un algoritmo de construcción y determinar los pasos que estructuran un algoritmo de construcción.

• Apropiar recursos: Está asociado con los usos de la regla no graduada y el compás, así como los usos del doblado de papel.



• Los ejemplos propuestos en la Tabla 2 respecto a la intervención de A1 tuvieron que ver con el problema de “construir un triángulo congruente con un triángulo dado”, y la intervención de A6 se ubica en un momento del episodio cuyo problema consistió en construir “la perpendicular a una recta y que pase por un punto”

rEsultAdos

Se reconocieron como procesos las habilidades (identificar, interpretar y decidir) que, articuladas, determinan la pericia en la observación profesional para esta-blecer nexos entre la conceptualización presentada en el marco teórico de Jacobs et al. (2010) y el acercamiento de van Es y Sherin (2002). La habilidad identificar, se asoció con describir las matemáticas del estudiante, se vincula con la carac-terización del pensamiento matemático; la habilidad interpretar se focalizó en la articulación entre lo particular de una situación y sus objetivos, la habilidad de decidir se asocia a la oportunidad de aprendizaje y al diálogo.

Las categorías obtenidas con posterioridad a la aplicación del análisis com-parado se presentan en la figura 1. Las categorías corresponden a distintas fases: codificación abierta, codificación intermedia. De esta última, se destaca la codificación dirigida a establecer vínculos entre procesos, para caracterizar el

tabla 1. Categorías descriptivas de las acciones y formulaciones de los profesores

Acciones y formulaciones del profesor descripción Ejemplo

Preguntar 1. Explicitar un algoritmo de construcción.

2. Justificar un algoritmo de construcción.

3. Constatar un hecho geométrico.

1.1 Andrés: ¿Cómo lo hiciste?2.1 Andrés: Esta línea (se refiere a

doblez del papel) ¿la obtuviste porque sí, así no más?

3.1 Eva: ¿Está bien que él llame B a ese punto?

Instruir 1. Reconocer la finalidad de un algoritmo de construcción.

2. Completar un algoritmo de construcción.

1. Eva: ¿Para qué hiciste el arco?2. Andrés: Ahora necesito que esta

línea se extienda…



pensamiento matemático del alumno, los gestión de los significados matemáti-cos y las oportunidades pedagógicas.

CArACtErizACión dEl PEnsAMiEnto MAtEMÁtiCo dEl EstudiAntE

El análisis permite construir un perfil de momentos de enseñanza. En la resolu-ción de problemas de construcción geométrica, el PE está ligado a acciones y formulaciones del alumno (codificación intermedia8), tales como explicar y apro-piar recursos para la construcción geométrica. Se trata de acciones asimétricas a las del profesor, quien regula la interacción mediante acciones como pregun-tar e instruir (ver Tabla 3).

8 Según Teppo (2015) en esta fase de la codificación los datos son agrupados de manera conceptual a fin de iniciar y explicar fenómenos identificados en los datos. La codificación se enfoca en investigar, por parte del investigador, en una dirección analítica particular. Las categorías integradas como relaciones entre categorías y subcategorías son identificadas; y las propiedades de las categorías llegan a desarrollarse.

tabla 2. Categorías descriptivas de las acciones y formulaciones de los estudiantes

Acciones y formulaciones

de los estudiantes descripción Ejemplo

Explicar 1. Justificar el algoritmo de construcción.

2. Establecer el algoritmo de construcción o partes del mismo.

1. A1 toma el compás y mide respectivamente el lado AC.

2. A1 ubica el compás sobre el segmento AB, de tal modo que coloca la aguja en A y el otro extremo en B.

Apropiar recursos 1. Usar la regla no graduada y el compás en la resolución de problemas de construcción geométrica.

2. Usar el doblado de papel para resolver problemas de construcción geométrica de geometría plana.

1. A1 afirma que lo hizo con el compás (episodio 4, Eva).

2. A6 hace un doblez sobre el papel y marca el punto sobre este para trazar la línea que pasa por dicho punto, la cual es perpendicular. Dobla el papel utilizando como soporte el borde recto de una hoja.



El PE se interpreta como un sistema que articula acciones del estudiante con acciones del profesor (código intermedio) en la resolución de un problema.

Mediante una matriz de dos dimensiones, que evoca un sistema coorde nado, se relacionaron acciones del estudiante con la acción de preguntar para el desarrollo de PE por parte del profesor. Tal análisis, por reducción de códigos, de-terminó la categoría PE como código axial, el cual relaciona ambos tipos de acciones.

La acción de preguntar, en los casos de Eva y Andrés, abarca acciones en-caminadas a explicitar el procedimiento de construcción mediante preguntas, que tenían como intencionalidad reconocer la secuencia de pasos que configu-ran el algoritmo de construcción y hacer uso de las propiedades geométricas para justificar el algoritmo dicho o las partes del mismo. En este último caso, se espera que el estudiante recurra al razonamiento geométrico y la medida para explicar su procedimiento.

La acción de explicar se reconoce en los estudiantes para: (a) justificar el algoritmo de construcción, (b) establecer el algoritmo de construcción o sus componentes y (c) aclarar afirmaciones relacionadas con el algoritmo de cons-trucción. De forma similar, la acción de apropiar instrumentos, se vincula con el uso de regla no graduada y compás, así como con el doblado de papel.

Ilustramos, a través del momento de enseñanza de Eva referido a la cons-trucción de triángulos congruentes, las interacciones entre ella y el estudiante A1. Esta muestra se realiza mediante el análisis de las preguntas de Eva en relación con las matemáticas del estudiante que se hacen manifiestas. En este ejemplo, se transfirió la longitud de uno de los lados de un triángulo de vértices ABC dado, como se muestra en la figura 2 que se presenta a continuación:

13. A1: Medí el segmento AC 14. Eva: ¿Qué fue lo primero que hizo?15. A1: El arco con la medida del segmento AC, uno de los lados del triángulo.16. Eva: ¿Para qué hizo el arco?17. A1: Para saber la ubicación de este punto (señalándolo).18. Eva: De ese arco, ¿escogió cualquier punto?19. A1: Lo hice con el compás, usé la escuadra y uní un punto del arco con el pun-

to C de la recta.20. Eva: ¿Por qué escogió ese punto allí?



Figura 1. Fases del proceso de codificación que abarcan categorías emergentes.

Figura 2. Triángulo de vértices ABC.

En este momento de enseñanza, Eva pretendió, mediante la realización de preguntas del tipo ¿Qué hizo?, ¿Escogió cualquier punto?, y ¿Cómo lo hizo? que A1 determinase cada paso del algoritmo de construcción (linea 14) y aclarase cada paso (lineas 16 y 18). Además, las preguntas ¿Por qué? y ¿Esta afirmación es válida? persiguen que A1 justifique con propiedades geométricas, es decir, que haga uso del razonamiento geométrico o del razonamiento con la medida.

En los análisis comparativos, se reconoció la importancia que tiene la ac-ción de preguntar para la interacción con los estudiantes en relación con la



identificación de necesidades del estudiante. Esto reafirma resultados de inves-tigaciones previas en las que se muestra cómo las preguntas de los profesores pueden posicionar las matemáticas del estudiante respecto a la perspectiva matemática, dado que apoyan la comprensión del alumno. Es así como se reco-noce que, tras la formulación de una pregunta por parte de un profesor en clase, crecen las posibles variantes que experimentan las preguntas formuladas por el profesor, además de las respuestas de los estudiantes (Franke, Webb, Chan, Ing, Freund y Battey, 2009:391).

Sin embargo, nuestra perspectiva de análisis se limita al contexto de una clase en la que se resuelven problemas de construcción geométrica. Por tanto, la acción dominante de los profesores fue preguntar, identificándose instruccio-nes en menor proporción.

Así pues, se configuró un perfil de los momentos de enseñanza en los que fue posible reconocer manifestaciones del PE, gracias al análisis de las relacio-nes entre acciones del profesor y del estudiante en la resolución de problemas. La creación de este perfil se apoyó en el instrumento Most-Noticing.

CArACtErizACión dE lA gEstión dE lo signiFiCAtivo dE lAs MAtEMÁtiCAs

El análisis permite caracterizar la gestión de clase de lo significativo de las matemáticas. La Tabla 3 ilustra categorías cuyos rótulos han sido obtenidos por codificación abierta: preguntar, enfatizar una meta específica y organizar la actividad de clase.

La categoría preguntar se describe en la caracterización del PE. En tanto, enfatizar una meta específica hace referencia a la manera en que, mediante la interacción con los estudiantes, el profesor recurre a afirmaciones, de ma-nera explícita o implícita. Con ellas, recuerda los objetivos parciales o finales que persigue a través de un problema o problemas planteados dentro de una secuencia.

La categoría organizar la actividad de clase permite situar el desarrollo de clase en el tiempo. Ésta se presenta al poner en relación un problema formula-do con problemas previos o con una secuencia de problemas, además de aus-piciar la participación de los estudiantes en clase.

En los análisis elaborados se determinó la meta de aprendizaje, que en este caso, suponía la exploración de las propiedades de figuras geométricas



bidimensionales y el estudio de la congruencia entre figuras a través de pro-blemas de construcción geométrica. Para dar muestra de ello, la Tabla 4 ilustra acciones del profesor que están asociadas con la caracterización de la gestión de clase de signficados matemáticos, en términos de los descriptores de cada acción que se corresponden y son abarcados por las categorías, componentes de la gestión.

tabla 3. Caracterización de la gestión de los significados matemáticos

gestión del profesor en clase descriptores Ejemplos

1. Preguntar 1. Descrito en la Tabla 4

2. Enfatizar una meta específica

2. Reconocer la meta, sea implícita o explícita

2. Andrés: Hay un cuarto punto, muchachos. Ese cuarto punto es el que más interesa, porque estamos haciendo todas estas cuestiones de doblado de papel.

3. Organizar la actividad de clase

3.1 Relacionar la actividad propuesta con otras actividades de clase.

3.2 Auspiciar la participación en clase.

3.1 Andrés: Todas estas construcciones nos ayudan a resolver el punto 4, con todo lo que hemos hecho en estas tres o cuatro clases de doblado de papel.

3.2 Eva: ¿Quién le puede ayudar a A1? Él ya tiene los triángulos con dos lados congruentes. ¿Qué puede hacer para que el tercero también sea congruente?

4. Instruir 4.1 Reconocer la finalidad de un algoritmo de construcción o de uno de sus pasos.

4.2 Completar un algoritmo de construcción geométrica o un paso del mismo.

4.1 Eva: ¿Para qué hiciste el arco?

4.2 Eva: ¿Qué hace falta para que se complete la figura?

Las acciones del profesor que permitieron caracterizar la gestión de lo signi-ficativo y asociadas con aspectos matemáticos, se asociaron con las categorías: (a) preguntar con la finalidad de explicitar un algoritmo de construcción, justificar propiedades que sustentan el algoritmo de construcción y constatar un hecho



geométrico; (b) organizar la clase descrita como conectar entre si actividades, y auspiciar la participación individual o colectiva; y (c) instruir abarcó reconocer el sentido de un algoritmo de construcción o los componentes del mismo, com-pletar el algoritmo de construcción.

La categoría enfatizar en una meta especifica, descrita con acciones repre-sentativas como la articulación de una secuencia de acciones a un objetivo, está asociada con la gestión del aprendizaje.

Los resultados que se refieren a la gestión del profesor se relacionan con los resultados obtenidos por Ponte, Mata-Pereira, y Quaresma (2013) quienes, a partir del estudio de las discusiones de clase, establecen la distinción entre ac-ciones del profesor vinculadas tanto con tópicos matemáticos como con pro cesos y acciones relacionadas con la gestión de aprendizaje. Éste estudio, se relaciona con la investigación porque permite caracterizar los componentes de la gestión del profesor en términos de sus acciones.

Las acciones del profesor relacionadas con tópicos matemáticos abarca: invitar al estudiante con el objetivo de iniciar una discusión; fundamentar los procedimientos de los estudiantes en la solución de un problema, a través de preguntas u observaciones; introducir información, dar sugerencias, presentar argumentos para la validación de respuestas de los estudiantes; desafiar a los estudiantes para que: produzcan nuevas representaciones, interpreten una pro-posición, establezcan conexiones, formulen un razonamiento o una evaluación.

CArACtErizACión dE lAs oPortunidAdEs PEdAgógiCAs

Los análisis en los que se recurrió al instrumento Most-Noticing proporcionaron un perfil de momentos de enseñanza en los que es posible reconocer las OP. Esto mediante una matriz bidimensional que relaciona acciones y formulaciones de los estudiantes con la gestión de clase de lo MS. Se obtuvo el perfil de mo-mentos de enseñanza por medio de codificación axial.

Los rasgos de los momentos de enseñanza, en los que es posible reconocer las OP, encontramos que: cumplen la condición de articular componentes del algoritmo de construcción y su justificación; la naturaleza del recurso es rele-vante cuando los estudiantes recurren al uso de la regla no graduada y del compás, o el doblado de papel; también lo es cuando el profesor formula pregun-tas cuya intencionalidad es justificar el algoritmo de construcción; en la relación entre la apropiación de recursos por el estudiante que busca incorporarlos y la



gestión del profesor, dichos recursos se clasifican según su naturaleza y según las formas de participación que el profesor promueve en clase; el diálogo juega un papel central en los momentos de enseñanza para dar cuenta de oportuni-dades pedagógicas de aprendizaje.

La toma de decisiones de Eva y Andrés se observa en aquellos momentos de enseñanza en los que es posible reconocer las OP, el diálogo y los dilemas de enseñanza (la representación de contenidos, la creación y uso de la comu-nidad (tipos y niveles de participación), del estudiante como pensador.

Por ejemplo, en el momento de enseñanza concreto de “trazo de la per-pendicular a una recta”, Andrés tenía como meta resolver el problema de la trisección de un ángulo mediante el doblado de papel. Para ello, les propone a sus estudiantes construir la perpendicular a una recta dada por un punto dado. Plantea la organización del trabajo en parejas. Reseñamos algunas líneas para ilustrar:

1. A6: ..plasmó, mediante dobleces sobre el papel, su estrategia de solución al problema.

2. Andrés:… muestra cómo hiciste esta línea. (así porque así) ¿La paso así por esa línea y ya?

3. A6: Usted (refiriéndose al profesor), no dijo que tenía que formarse un ángulo recto.

4. Andrés: ¿Cómo sabemos que ese es ángulo recto? Por ejemplo, antes hicimos una pequeña prueba donde nos dio que fuera como un ángulo recto. Yo lo que quiero saber es cómo construiste esta línea de acá (señalando sobre el papel uno de los dobleces). Si quieres, hazlo nuevamente aquí (entregando a A6 un trozo blanco de papel) y vas explicando.

5. A6: ..colocó una línea cualquiera, hizo un doblez sobre el papel. Marcó el punto sobre el papel. Para trazar la línea que pasa por el punto y es perpendicular A6, dobla el papel utilizando el borde recto de la hoja del taller como soporte y efectuó el doblez

6. Andrés: Mira qué pasó con esta línea (la recién construida) cuando tú lo mandas a este lado de acá. Dóblalo.

7. A6: Al doblar, expresó que las líneas coinciden.8. Andrés: Estos fueron los métodos que tenemos para poder trazar.

El profesor, para la gestión de clase de lo MS, explicó ayudado del diálogo con el estudiante (líneas 1 a la 8). Adicionalmente, solicitó la justificación del



procedimiento de construcción (línea 2); puso énfasis en la justificación del pro-cedimiento de construcción mediante una pregunta (línea 4); estableció una instrucción para verificar una propiedad geométrica estudiada (línea 6) y recor-dó los procedimientos y heurísticas para trazar la línea perpendicular (línea 8).

Cuando A6 justifica la perpendicularidad entre la línea dada y la obtenida al retomar una afirmación del profesor (línea 3), reconstruye el algoritmo de construcción y justifica la perpendicularidad, apoyándose en un procedimiento heurístico en el que recurre a la medición (línea 6) y gracias al cual confirma que las líneas coinciden mediante una operación de doblado (línea 7).

Por otro lado, para la organización de la actividad en el aula, el docente se apoyó en una propiedad estudiada en clase (línea 6); además, aludió a las propiedades geométricas que validan operaciones de doblado y heurísticas uti-lizadas para el trazado de la perpendicular a una recta dada. Añádase el hecho de que, en el diálogo entre Andrés y A6, incluyó un componente adicional: la relación con los recursos. Se integra, pues, como un recurso adicional al dobla-do de papel: los bordes de una hoja de papel que se asumen perpendiculares entre sí.

Las oportunidades pedagógicas y las decisiones de acción del profesor se describen y analizan en las discusiones de clase. Se analizó el discurso de Andrés con A6 desde la perspectiva de las explicaciones en la enseñanza y se otorgó importancia al diálogo entendido como explicación durante la inte-racción. Reconocimos cómo las explicaciones, tanto de Eva como de Andrés, se plasmaron en un diálogo y caracterizamos, sus decisiones de respuesta a los estudiantes, una vez identificados los dilemas de la enseñanza durante la gestión de clase.

Andrés puso mayor énfasis en la argumentación y en la estructuración del algoritmo de construcción con sus preguntas e instrucciones (líneas 4 y 6).

En el momento de enseñanza analizado, se reconoció la presencia de una OP, cuando el estudiante A6 explicó el algoritmo de construcción geométrica por medio de una heurística en la que recurrió a la medición (línea 5).

Adicionalmente, se generó una apertura cuando el estudiante elaboró una respuesta incompleta (linea 2) y el profesor, por un lado, solicitó al estudiante que justificara el procedimiento de construcción y, por otro, instó a explicar, a través de un razonamiento geométrico, la perpendicularidad entre la recta dada y la obtenida mediante el doblez.

En tanto que A6 pretendió razonar apoyándose en las acciones sobre el papel más que en las propiedades que justifican su razonamiento. En sus



acciones se identifica como recurrió al uso de heurísticas y a parafrasear las afirmaciones del profesor. Andrés aceptó esa argumentación (línea 8) que no precisaba las propiedades geométricas subyacentes ni las discutía con el res-to de los estudiantes. Del mismo modo, el profesor introdujo una heurística para comparar ángulos (al superponerlos o recortarlos), generando un obs-táculo, ya que la justificación de la perpendicularidad de la recta emerge de nuevo. Sin embargo, el docente enfatiza la validación de la estrategia de solu-ción que da A6.

El uso de la medición no genera la necesidad de que A6 explique su proce-dimiento usando propiedades geométricas. El avance para la construcción de MS se ve menguado. Esto crea ambigüedad y no permite aprovechar la OP que se generó cuando A6 introdujo un recurso complementario para explicar el procedimiento de construcción.

En la gestión de clase de Andrés subyace el dilema de la representación de contenidos, pues se reconocen distintas maneras de representar y justificar la relación de perpendicularidad entre la recta dada y la construida mediante el doblez (líneas 6 y 8), incluso en los procedimientos de solución de distintos estudiantes.

El dilema de la creación y el uso de una comunidad se puso de manifiesto cuando Andrés restringió la discusión sólo a quien propone la estrategia de solución, pero no transitó hacia la discusión grupal ni consideró las propiedades que se ponen en juego en otras estrategias de solución.

En la toma de decisiones se identificó, como respuesta a los estudiantes, que Andrés: retomó heurísticas del estudiante; propiedades geométricas estudiadas previamente; recurre a preguntar con el fin de que el estudiante explique; enfa-tizó en responder al estudiante que propone la estrategia de solución, pero lo planeado en el tiempo no posiblitó la discusión entre los estudiantes; tiene poca consideración respecto al uso de las representaciones de los estudiantes en distintas estrategias de solución.

En el momento de enseñanza “construcción de triángulos congruentes” de la clase Eva, A1 completa el triángulo al trazar el segmento BC. La acción de A1 se fundamenta en la siguiente conjetura: para la construcción de un triángulo congruente al dado basta transportar, mediante el compás, dos de sus lados.

Eva refuta la acción de A1 mediante dialógo. En él introduce el uso de la medida como una heurística para confrontar la conjetura que no hace explícita A1 y responde a las necesidades de aprendizaje de éste:



1. Eva: …midió los segmentos AC y su correspondiente A’C’ y determinó si son congruentes. ¿Con qué lo vas a medir?

2. A1: -Comparó los lados correspondientes a BC y AB, respectivamente, y sus co-rrespondientes B’C’ y A’B,’. Obtuvo que los BC y B’C’ tienen igual medida, mientras que los lados denotados como AB y A’B’ no le dieron de igual longitud.

3. Eva:…¿Si los dos triángulos fueran congruentes, cómo deberían ser sus lados?4. A1: Deberían ser iguales.5. Eva: ¿Qué pasó que no le dieron iguales? ¿Será que construir dos lados con-

gruentes, el tercero también lo será?

En este caso, señalamos que el discurso en el aula permite reconocer mo-mentos de enseñanza en los que es posible examinar aspectos del PM de los estudiantes, así como la habilidad de los profesores para idenficarlos.

Además, identificamos que Eva y Andrés hacen preguntas similares en dis-tintos momentos del diálogo (ver Tabla 1) con la intención de explicitar o justi-ficar el procedimiento de construcción. Las preguntas de Eva y Andrés se agruparon en dos categorías: acciones aclaratorias (que justifican un procedi-miento de construcción y establecen elementos del algoritmo) y acciones de apropiación del recurso (usos de la regla no graduada y del compás, además del doblado de papel).

No obstante, la comparación de la intervención de los profesores permitió reconocer que Eva integra (ver Tabla 4) diversidad de preguntas con distinta intencionalidad: (a) anticipar el procedimiento de construcción, (b) seleccionar y regular el uso del recurso, (c) regular el uso de la notación simbólica y (d) orga-nizar las representaciones gráficas. En el caso que nos ocupa, Eva formuló varias cuestiones con el fin de: reconocer el recurso para medir (el compás), extender la definición de segmentos congruentes a triángulos congruentes y reformular el problema en términos de la conjetura del estudiante.

La gestión de clase de Eva y Andrés se diferenció en el el tipo de discurso. En el caso de Andrés, el discurso con la clase fue unidireccional (lo cual no niega la manifestación de momentos de diálogo), mientras que, en el caso de Eva, el discurso dominante se caracterizó por ser dialógico con A, con la clase y con los grupos de estudiantes. Así, las preguntas formuladas en las interven-ciones 3 y 5 fueron dirigidas por Eva a toda la clase y no sólo para A.

En la gestión de los significados matemáticos de Eva se observa que ella respeta al alumno en lo que refiere a su pensamiento matemático. Esto se evi-dencia en las líneas 3 y 5 del diálogo, en las que, para provocar el PE, formula



preguntas encaminadas a extender los alcances de la definición de segmentos congruentes a triángulos congruentes. De igual manera, retoma la conjetura del estudiante y recurre a reformular el problema en términos de un enunciado que permite examinar sus propiedades geométricas.

Consecuentemente, el análisis comparativo de la gestión de ambos profeso-res, en términos de acciones (por ejemplo, preguntar), hizo posible reconocer la importancia que tiene la diversidad de las preguntas para atender el PE y favo-recer los MS.

Del mismo modo, se hizo manifiesto el dilema de la creación y el uso de una comunidad, ya que Eva, en la discusión con el estudiante y con la clase, propo-ne preguntas dirigidas no sólo al estudiante, sino a todo el grupo (líneas 3 y 5).

En la toma de decisiones se identificó, como respuesta a los estudiantes, que Eva: recurrió al uso de la pregunta para aprovechar el PE; introdujo la extensión de una definición; reformuló la enunciación del problema de construcción; fa-voreció la introducción de una heurística en la que se recurre a la utilización de recursos para medir (compás); enfatizó, mediante preguntas, en la participa-ción de los estudiantes.

Stockero y Van Zoest (2013:144) reconocen en momentos pivote para la enseñanza de las matemáticas los siguientes tipos de decisiones: ignorar o descartar de plano; reconocer, pero continuar con lo planeado; enfatizar en el PE; extender y hacer conexiones. En el ejemplo del momento de enseñanza, objeto de análisis de Eva, las decisiones identificadas se concentran entorno al PE y sólo una de ellas, queda fuera de tal tipo de decisión.

En el ejemplo, del momento analizado correspondiente a Andrés, las deci-siones de acción se distribuyen en relación con tres de las categorías que pro-vienen de la identificación de momentos pivote. En consecuencia, el resultado obtenido puede enmarcarse en la tipología existente para describir las decisiones de acción tanto de Eva como Andrés.

disCusión y ConClusionEs

Los análisis de los datos se apoyaron en la articulación de dos aproximaciones teóricas. Éstas configuraron, como línea de interpretación dominante, aquella en la que se redujo la conceptualización de la observación profesional de la enseñanza de las matemáticas a la conceptualización contenida en la aproxi-mación MOST.



Con el fin de responder a la pregunta de investigación, se reconocieron dos momentos de enseñanza en los que se manifiestó el pensamiento matemático del estudiante. Estos fueron identificados a partir de la aplicación del instrumen-to MOST- Noticing y el análisis de comparación constante. En ellos se descri-bieron las matemáticas del estudiante y la perspectiva matemática. Se elaboró una caracterización de la gestión de lo significativo desde el punto de vista matemático (que permite describir la interpretación) y posteriormente, se reco-nocieron las oportunidades pedagógicas y las decisiones de acción. Estas se caracterizan por:

• La descripción de las manifestaciones de los dilemas de enseñanza, a partir de acciones del profesor. En concreto, acciones como preguntar en el momento de enseñanza concreto de “construcción de triángulos con-gruentes”, corresponden a una de las acciones que permite reconocer manifestaciones del pensamiento matemático del alumno. En el caso de Andrés, las manifestaciones del dilema de la representación están asocia-das con una afirmación y una instrucción para describir (en el momento de enseñanza “trazo de la perpendicular a una recta”).

• La comparación de la gestión de clase de Eva y Andrés, en relación con actividades comunes, tales como preguntar (ver la Tabla 2), permite reco-nocer la importancia de este tipo de actividad para el desarrollo de pen-samiento matemático del estudiante y de sus explicaciones.

• Las decisiones de acción en el momento de enseñanza “construcción de triángulos congruentes” y “trazado de la perpendicular a una recta” permi-ten apreciar su relación con acciones de respuesta del profesor, así como también con los dilemas de enseñanza identificados en el dialogo entre profesor y estudiantes.

El análisis comparativo de los dos momentos de enseñanza reconocidos, permitió evidenciar el papel del discurso matemático en las discusiones de clase en: diferentes grados, contextos matemáticos y con maestros de diversa experiencia en el aula.

El análisis de la gestión de Eva y Andrés pone en evidencia el diálogo como forma de explicación, en los dos momentos de enseñanza analizados como un aspecto de la caracterización de las OP. Además, se establece cómo el MOST permitió la explicación de los dilemas en la enseñanza para analizar la toma



de decisiones del profesor en momentos de enseñanza en los que emergen oportunidades pedagógicas.

En los análisis, El MOST facilitó identificar lo qué los profesores necesitan comprender en la toma de decisiones. Esto se ilustra mediante un análisis en el que se comparan las decisiones de acción de Eva y Andrés, en las que se reconocen:

• El papel que cumplen las preguntas para atender el PE y favorecer las MS en las decisiones del profesor.

• La tendencia dominante de un determinado tipo de discurso: en el caso de Andrés, el discurso unidireccional; en el caso de Eva, el dialógico.

• Al comparar las desiciones de Eva, y Andrés, en relación con la escala de clasificación de los momentos pivote de la enseñanza de las matemáticas, las decisiones de Eva enfatizan el pensamiento matemático del estudian-te. Para Andrés, las decisiones se distribuyen en relación con las siguientes categorías: ignorar o descartar de plano; reconocer, pero continuar con lo planeado; enfatizar el pensamiento matemático del estudiante; extender y hacer conexiones (Stockero y Van Zoest, 2013:144).

El análisis de los datos permitió diseñar y evaluar en un instrumento análi-sis debido a que la estructura analítica sirvió de fundamentó para el diseño del instrumento MOST-Noticing. Éste último, posibilitó el reconocimiento de episo-dios de enseñanza de referencia. Asi mismo, con la comparación constante: se abordaron las tres habilidades que determinan la observación profesional del profesor, se caracterizaron perfiles de momentos de enseñanza, las oportunida-des pedagógicas y las decisiones de acción. Para describir la toma de decisiones (segundo objetivo).

Leathan et al. (2015:122) aluden a la necesidad de la investigación posterior al uso del MOST para identificar momentos de enseñanza en los que se presen-ta el diálogo en clase a través del estudio de las acciones del profesor y sus afirmaciones entorno a estos momentos. Con esta investigación se exploró este aspecto cuando se estudiaron las acciones y formulaciones del profesor.

En síntesis, el aporte de esta investigación está relacionado, en primer lugar, con la articulación de observación profesional de la enseñanza de las matemá-ticas y el MOST las dos aproximaciones teóricas; en segundo lugar, con el diseño y aplicación del instrumento MOST-Noticing que sirve para estudiar desiciones



de acción del profesor, en momentos de enseñanza posteriores al uso del marco analítico que provee el enfoque MOST, cuando emergen OP.

AgrAdECiMiEntos

Proyecto 364-2009 Caracterización de los vínculos entre recursos pedagógicos y el conocimiento matemático en la enseñanza de las matemáticas. Colciencias y Universidad del Valle.

Dr. Josep Maria Fortuny, catedrático de la Universidad Autónoma de Barce-lona por la dirección del trabajo de tesis.

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DOI: 10.24844/EM2903.06

indagación de la historia de las desigualdades matemáticas

inquiring about the history of mathematical inequalities

silvia Bernardis1 liliana nitti2 sara scaglia3

resumen. En este artículo presentamos una indagación histórica sobre los usos de las desigualdades en la historia de la matemática, realizada en el marco de una investigación en torno al tema mencionado, cuyo propósito es contribuir a mejorar la calidad de su enseñanza. Esto porque el análisis histó-rico de un concepto proporciona indicios para interpretar las producciones, concepciones y dificultades de los estudiantes y para diseñar experiencias que favorezcan su comprensión. A partir de un estudio fenomenológico (Freudenthal, 2002) caracterizamos fenómenos matemáticos organizados por el concepto de desigualdad. En este artículo presentamos algunas evidencias de la manifestación de esos fenóme-nos en la historia de la matemática. Reflexionamos respecto del tipo de experiencias que es necesario ofrecer a los estudiantes para la construcción de buenos “objetos mentales” de la

Fecha de recepción: 27 de agosto de 2016. Fecha de aceptación: 10 de junio de 2017.1 Facultad de Humanidades y Ciencias. Universidad Nacional del Litoral. Santa Fe. Argentina.

[email protected] [email protected] [email protected]

Silvia Bernardis • Liliana Nitti • Sara Scaglia


desigualdad en la etapa elemental, para abordar en condiciones óptimas el estudio de la matemática avanzada.

Palabras clave: indagación histórica, desigualdad matemática, fenómenos or-ganizados, concepto-marcos.

Abstract. In this article, we inquire about the use of inequalities in the history of mathematics, so as to help improve the quality of teaching this theme. The historical analysis of a concept provides clues to interpret the productions, conceptions, and difficulties of students and to design experiences that favor their understanding. From a phenomenological study (Freudenthal, 2002) we characterize math-ematical phenomena that are organized by the concept of inequalities. In this article, we present some evidence of the manifestation of these phenomena in the history of mathematics. We reflect on the type of experiences that are necessary for students, for them to create “mental objects” of inequality in an elementary stage, that will enable them to study this advanced mathematics topic, in optimal conditions.

Keywords: historical inquiry, mathematical inequalities, organized pheno mena, concept, frames.

1. introduCCión

Para abordar la problemática de la enseñanza y el aprendizaje del cálculo, Ar-tigue (1995) propone desarrollar investigaciones que se ubiquen en la transición álgebra-cálculo, ya que considera que no existe un paso natural entre estos dominios. Por el contrario, plantea que existe una ruptura entre ambos que impacta en la comprensión de los temas del cálculo.

Consideramos que las desigualdades matemáticas constituyen uno de los temas que forman parte de esta transición, dado que intervienen en algunas definiciones, como por ejemplo la de límite de una función, en los procedimien-tos de acotación, en la comparación de expresiones algebraicas y en otras no-ciones relacionadas al cálculo y al álgebra.

Algunas investigaciones en torno a las desigualdades estudian las dificulta-des de los estudiantes al abordarlas y formulan propuestas para mejorar su tratamiento en el aula. Tal es el caso de Diez (1996), Malara, Brandoli y Fiori

Indagación de la historia de las desigualdades matemáticas


(1999), Tsamir y Almog (2001), Garrote, Hidalgo y Blanco (2004), Garuti (2003), Kieran (2004), Sackur (2004) y Alvarenga (2006). Otras se dedican a indagar concepciones de estudiantes y docentes sobre el tema, como por ejemplo, Bo-rello, Farfán y Lezama (2008), Borello (2010) y Halmaghi (2011). Finalmente, algunos trabajos estudian las dificultades asociadas a las desigualdades de los estudiantes en el aprendizaje de las nociones del cálculo como Artigue (1995), Tall (1995), Azcárate y Camacho (2003) y Calvo (2001).

La investigación realizada (Bernardis, 2015) tuvo como objetivo estudiar el tratamiento de las desigualdades en relación con las cuestiones que necesita construir el estudiante en la matemática elemental,4 para comprender mejor la matemática avanzada. Dicho estudio constó de dos estadios. En el primero realizamos un estudio fenomenológico que consiste en indagar en textos de matemática avanzada con la finalidad de caracterizar fenómenos matemáticos organizados por el concepto de desigualdad. Además, buscamos evidencias de la presencia de dichos fenómenos en la historia de la matemática y en la opinión de matemáticos de nuestra institución. En el segundo estadio, con este insumo, analizamos el tratamiento del tema en la escuela secundaria, a partir del estudio de opiniones de docentes, libros escolares y producciones de estudiantes ingre-santes al profesorado en Matemática de nuestra institución.

Nuestro interés en este artículo es hallar elementos que den cuenta de la manifestación en la historia de los fenómenos matemáticos identificados en el primer estadio de la investigación. Los documentos utilizados son, por un lado, fuentes primarias (Euclides, 1996) y por el otro, fuentes secundarias, como libros de historia de la matemática (Boyer, 1986; Rey Pastor y Babini, 1997; Bourbaki, 1976) e investigaciones sobre la historia de las desigualdades (Bagni, 2005; Fink, 2000; Halmaghi, 2011, 2012; Pellicer, 2007; Sfard, 1995; Sinaceur, 1992).

A continuación, destacamos el interés de algunos investigadores en Educa-ción Matemática en indagar en la historia de la matemática para comprender la evolución de un concepto y sobre todo para constituirse en una herramienta para su enseñanza.

Boero (1997, 1998, 1999 citado por Borello, 2010), reconoce que la historia de la matemática y la historia de la enseñanza de la matemática tendrían

4 Adoptamos de Calvo (2001) la distinción entre etapa elemental y etapa avanzada. La primera tiene lugar en las clases de matemática hasta la escuela secundaria obligatoria, y la segunda está asociada a la enseñanza matemática universitaria.



elementos para entender la constitución histórica de algún saber concerniente a las inecuaciones.

Bagni (2005) menciona “distintas perspectivas teóricas” en torno a la relación entre historia y didáctica. En el marco de una investigación sobre la historia del álgebra, se dedica particularmente a la historia de las ecuaciones e inecuaciones. El autor considera que una primera perspectiva se relaciona con la presentación de anécdotas y aclara que la selección de los datos históricos que se presenta-rá en la práctica del aula es relevante ya que refleja algunas opciones episte-mológicas adoptadas por el docente. Otra asume un paralelismo entre el desarrollo histórico y el desarrollo cognitivo. Desde este punto de vista se sostie-ne que las reacciones de los alumnos son a veces bastante similares a las in-terpretaciones que tuvieron algunos matemáticos en la historia en la conformación de ciertas teorías matemáticas. Dicha similitud sería una herra-mienta importante para los profesores de matemática. Finalmente, Bagni (2005) menciona la perspectiva que alude a los “obstáculos epistemológicos”, según la cual, la mayoría de los objetivos importantes de los estudios históricos se llevan a cabo para encontrar problemas y sistemas de restricciones (situaciones fun-damentales) que deben ser analizados con el fin de entender el conocimiento existente, cuyo descubrimiento está conectado a la solución de tales problemas.

Sessa (2005) reflexiona sobre la historia del álgebra y alerta sobre el uso “ingenuo” de la historia de la matemática en la enseñanza y el aprendizaje. Considera que el conocimiento de los “caminos” de la historia representa una vía de acceso a mayores niveles de complejidad acerca de la naturaleza de los objetos matemáticos. Menciona que las condiciones de la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, no son adecuadas en general para reproducir en la escuela.

Azcárate y Deulofeu (1990) destacan en este sentido que no se trata de enseñar la historia de un concepto en un período o períodos determinados, sino que constituye un instrumento básico para el enseñante y supone un conoci-miento imprescindible para la elaboración de una didáctica determinada. Este conocimiento, le permitirá adquirir una visión más amplia de la que se obtiene a partir de las definiciones de una teoría acabada, a la que se llega después de un largo camino. Además, aclaran, que si las nociones matemáticas se reprodu-cen en la enseñanza como formalmente son presentadas en una teoría acaba-da pueden conducir a graves errores epistemológicos y didácticos.

A partir de las consideraciones anteriores sostenemos que el análisis histó-rico de un concepto da indicios para interpretar las producciones, concepciones



y dificultades de los estudiantes y para detectar los fenómenos que el concepto organiza (en el sentido que le damos siguiendo a Freudenthal, 2002, en el apartado siguiente). Esto permitirá ofrecer experiencias que favorezcan su com-prensión.

2. MArCo tEóriCo

El marco teórico en el que basamos nuestro estudio proviene principalmente de la perspectiva de Freudenthal (2002). Este autor afirma que los conceptos, ideas y estructuras matemáticas sirven para organizar fenómenos del mundo físico, social y mental. La fenomenología de un concepto, estructura o idea matemáti-ca significa describirlo en su relación con los fenómenos para los que fue creado y a los que ha sido extendido en el proceso de aprendizaje de la huma-nidad. Cuando esta descripción se refiere al proceso de aprendizaje de las ge-neraciones jóvenes, se habla de fenomenología didáctica, que proporciona una guía al profesor acerca de los lugares por los que el alumno puede transitar en el proceso de aprendizaje. En particular, Freudenthal (2002) considera fenome-nología histórica al estudio de cómo se adquiere la relación entre los conceptos, ideas y estructuras matemáticas y los fenómenos en la historia. El conocimiento de los momentos claves en la historia de la desigualdad matemática pone de manifiesto aquellos obstáculos que hubo que superar para perfeccionar este concepto. Además, pone en evidencia su importancia en distintos dominios de la matemática. Consideramos que estas cuestiones resultan de interés para el diseño de experiencias de aprendizaje apropiadas para su comprensión.

Si bien en este artículo no pretendemos realizar una fenomenología históri-ca, nos apoyamos en esta idea para explorar en la historia de la matemática con el fin de detectar evidencias de los fenómenos en los que surge el uso de las desigualdades matemáticas.

Freudenthal (2002) propone comenzar por los fenómenos que solicitan ser organizados y desde aquí enseñar a manipular los correspondientes medios de organización. En el proceso de construcción del conocimiento matemático, como se muestra en el Esquema 1, distingue entre phainomenon y nooumena. Phai-nomenon: es el fenómeno que queremos comprender y estructurar. Es aquello que se comprende a través de la experiencia. Nooumena: corresponde a las entidades de pensamiento, las ideas con las que organizamos tal fenómeno. Es decir, lo que es capaz de concebirse con la mente.



Los términos que utilizamos en nuestra investigación son concepto de des-igualdad para nooumena, es decir lo que está en la mente del estudiante refe-rido a la desigualdad y para phainomenon optamos por describir los fenómenos del tipo matemático, aquello de lo que tenemos experiencia matemática.

Esquema 1. Términos de Freudenthal

En su postura didáctica, Freudenthal asume que el objetivo de la acción educativa en el sistema escolar ha de ser básicamente la constitución de buenos objetos mentales y, sólo en segundo lugar, la adquisición de conceptos tanto temporalmente como en orden de complejidad.

En Bernardis (2015) encontramos tres fenómenos matemáticos que surgen del análisis de las definiciones de desigualdad matemática presentadas en dos textos de Matemática avanzada. Elegimos estos textos debido a que son los que utilizan los estudiantes del primer año de la formación inicial de profesorado en Matemática en Argentina, sujetos de estudio en el segundo estadio de la inves-tigación. Para el desarrollo de la fenomenología didáctica de la desigualdad seguimos el criterio adoptado por Claros (2010) y Sánchez (2012), quienes rea-lizan una búsqueda de fenómenos (del límite finito de una sucesión y de límite finito de una función en un punto, respectivamente) que surgen directamente de las definiciones formales de los textos de matemática avanzada.

A continuación describimos brevemente cada uno de los fenómenos mate-máticos que organiza la desigualdad que encontramos en el primer estadio de la investigación mencionada.

En el libro de Lehman (1992) encontramos una primera parte donde desta-ca la existencia de una relación de orden definida en los números reales. En la sección 6.2 denominada “Definiciones y Teoremas Fundamentales” el autor re-toma la definición de ecuación para introducir por oposición las desigualdades.



A continuación, el autor define mayor y menor. Además, destaca que dos des-igualdades tienen el mismo sentido si sus símbolos apuntan en la misma direc-ción; en caso contrario tienen sentidos opuestos.

Claramente el autor relaciona mayor y menor con la ordenación, extiende esta idea por lo que consideramos que a partir de la definición de desigualdad entre expresiones que propone surge el fenómeno de ordenación.

Fenómeno de ordenación: la definición de desigualdad como una relación que cumple con ciertas propiedades (tricotomía y transitividad) nos conduce a plan-tear la existencia del fenómeno de ordenación. Como resultado de la relación de orden en el conjunto de los números reales, surgen en paralelo las desigual-dades de expresiones. Es fácil entender que este fenómeno está presente en la necesidad de comparar y ordenar.

La relación de orden, o simplemente orden, es una relación binaria que permite formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un con-junto. El orden supone una estructura agregada al conjunto, y se adquiere mediante la definición en él de una relación apropiada. Para establecer un orden debemos señalar qué elementos preceden a cuáles, lo cual se indica mediante la relación R: “si a precede a b, entonces (a, b) ∈ R”. Claramente el par inverso no puede ser parte de la relación, por lo cual pediremos que ésta sea asimétrica. Además, si un elemento precede a otro y éste a un tercero, entonces el primero debe preceder al tercero, por lo cual exigiremos transitividad.

Lehmann (1992) define dos tipos de desigualdades, diferenciándolas de acuerdo a su dominio de validez, las “desigualdades absolutas” y las “desigual-dades condicionales o inecuaciones”. Este hecho es relevante a nuestro entender para identificar cada uno de estos conceptos en relación a los fenómenos que organizan.

Una desigualdad absoluta o incondicional es aquella que tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables para los que están definidos sus miembros. Son ejemplos de desigualdades absolutas 5 > − 7 y x2 + 1 > 0. (p. 136)

Observamos que la expresión “tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables” supone la existencia de una función proposicional cuantificada universalmente que será necesario validar. Esta validación se concreta para todos los elementos del dominio de valores admisibles de la variable. Interpre-tamos que refiere al fenómeno de generalización.



Fenómeno de generalización: la definición de desigualdad absoluta o incondi-cional se fundamenta en la lógica proposicional y en particular en el principio de generalización universal, que establece que: “del ejemplo de sustitución de una función proposicional respecto del nombre de un individuo cualquiera ar-bitrariamente elegido, se puede inferir válidamente la cuantificación universal de la función proposicional” (Copi, 1999, p. 375). Este fenómeno se presenta en la necesidad de demostrar la validez de una desigualdad absoluta, es decir una desigualdad que es cierta para todos los valores posibles de la variable.

Por otro lado, Lehmann (1992) define desigualdades del tipo condicionales.

Una desigualdad condicional o inecuación es aquella que tiene el mismo sentido solo para ciertos valores de las variables, tomados entre los valores para los que sus miembros están definidos. Son ejemplos de desigualdades condicionales o inecua-ciones. x − 2 < 3, válida solo si x < 5; x2 > 4, válida solo si x > 2 ó si x < − 2. (p. 136)

En la definición de desigualdad condicional expresa que es aquella que tiene el “mismo sentido para ciertos valores de las variables”. Esta expresión es relevante ya que pone de manifiesto que existirán o no valores, que se toman de un dominio admisible, que harán cierta la desigualdad. Esta idea nos remi-te a la acción de particularizar las variables con valores del dominio. Surge de esta manera el fenómeno de especificación.

Fenómeno de especificación: la definición de desigualdad condicional o inecua-ción refiere al dominio de validez de la desigualdad entre dos expresiones. Se basa en el llamado axioma (esquema) de especificación destinado a la forma-ción de nuevos conjuntos a partir de un referencial. Tomamos de Halmos (1967) su enunciado:

Axioma de especificación: a todo conjunto A y a toda condición S(x) corresponde un conjunto B cuyos elementos son precisamente aquellos elementos x de A para los cuales se cumple S(x). (...) Para indicar la forma en que B es obtenida de A y de S(x), se escribe: B = {x ∈ A/S(x)} (p. 15).

Este fenómeno se presenta en la búsqueda del(los) valor(es) que verifican la condición de desigualdad.

Para contribuir a formar “buenos objetos mentales” de desigualdad matemá-tica, será necesario en primer lugar: identificar aquellos fenómenos a los cuales



sirve de medio de organización, para luego elaborar situaciones de enseñanza en distintos contextos.

En el presente trabajo, coincidimos con Douady (1986) respecto de que la presentación de un contenido matemático bajo distintos marcos promoverá en el estudiante la constitución de un objeto mental del mismo, que le permita comprender distintos sentidos y aplicaciones. La autora considera que “un mar-co está formado por los objetos de un dominio de las matemáticas, las relacio-nes entre objetos, sus formulaciones eventualmente diversas y las imágenes mentales asociadas a estos objetos y sus relaciones” (1986, p. 11).

La autora destaca que las traducciones de un marco a otro conducen a re-sultados no conocidos, a técnicas nuevas, a la creación de objetos matemáticos nuevos, en suma, al enriquecimiento del marco origen y de los marcos auxilia-res de trabajo. Aclara que dos marcos diferentes pueden tener los mismos ob-jetos matemáticos pero diferentes imágenes mentales asociadas a ellos, como también las cuestiones conceptuales que generan.

Douady sostiene también que una pregunta interesante es ¿cuándo se rea-liza un cambio de marco? Considera que el cambio de marco se realiza ante la necesidad de presentar diferentes formulaciones de un mismo problema, por las dificultades que presenta o por la posibilidad de acceder a otras herramientas. Además, menciona que estas herramientas no sólo pueden favorecer la solución del mismo sino también la adquisición de conceptos.

Los cambios de marcos, según explica Douady, pueden ser espontáneos, es decir, por la iniciativa de un alumno o provocados por otro alumno o docente para hacer avanzar en los conceptos, desbloquear una situación o hacer evo-lucionar o complejizar una concepción. En este sentido, menciona que podemos ayudar al alumno a comprender un problema dentro de un marco u otro, me-diante distintos procedimientos acordes a cada uno de ellos. Estos procedimien-tos, como afirma la autora, permitirán entender la matemática como un todo, favoreciendo la integración de los diferentes dominios de esta ciencia.

En el caso de las desigualdades, existen diferencias en su tratamiento según el marco en el que se trabaja. Cada marco aporta al objeto desigualdad de un modo determinado e inherente al mismo. Es por ello, que consideramos impor-tante que los estudiantes aborden situaciones que les permitan poner en juego, según sea el caso, cualquiera de ellos. Por ejemplo, en los problemas siguientes:

Problema 1: Si 0 < x <1 ¿cómo es x 2?Problema 2: Si la longitud del lado de un cuadrado es menor que 1, ¿cómo

es su área?



Podemos observar que ambos problemas involucran las mismas desigual-dades, sin embargo toman de los marcos sus características propias. El prime-ro, claramente se trata de un marco algebraico y el segundo de un marco geométrico. Estos dos marcos diferentes tienen los mismos objetos matemáticos pero distintas imágenes mentales asociadas y generan cuestiones conceptua-les diversas.

3. AsPECtos MEtodológiCos

La metodología de la investigación se encuadra en la modalidad cualitativa (McMillan y Schumacher, 2005). Llevamos a cabo una investigación consisten-te en el análisis de libros de texto de historia de la matemática e investigaciones de educación matemática que incluyen una mirada histórica del tema.

Indagamos los usos a lo largo de la historia de la matemática que presentan los textos con el objetivo de detectar algunas manifestaciones de los fenómenos matemáticos que organiza el concepto de desigualdad.

4. indAgACión En lA historiA

Según Halmaghi (2012) en los primeros registros matemáticos que brinda la historia, las desigualdades tenían sólo un carácter instrumental, y cuando las circunstancias se convirtieron en favorables, evolucionaron en una disciplina, tanto es así que en la actualidad existen revistas específicas de matemática dedicadas a las desigualdades y sus aplicaciones (Journal of Inequalities and Applications y Mathematical Inequalities and Applications, cuyos primeros vo-lúmenes datan de 1997 y 1998).

Esta autora sostiene que las desigualdades se utilizaron en un comienzo como herramientas para resolver problemas geométricos vinculados con longi-tudes, áreas y volúmenes. También fueron útiles para pensar problemas alge-braicos y finalmente se instalaron en la teoría de funciones, aplicándose a los más variados modelos. Esto posibilitó la interacción con diversas áreas de la matemática: el cálculo, la estadística, el análisis numérico, la teoría de juegos, etcétera.

A partir de las consideraciones de esta autora organizamos la información relacionada a las cuestiones históricas de las desigualdades en tres secciones,



sin que esta disposición signifique una evolución lineal y cronológica de los acontecimientos o descubrimientos. En cada sección describimos resultados e ideas matemáticas que involucran desigualdades.

4.1 orIgen en la geometría

Rey Pastor y Babini (1997) describen en el capítulo correspondiente a la mate-mática helénica (siglos VI a IV a.C. de la cultura griega) la obra matemática de Eudoxo, quien utiliza para llegar a la definición de la razón entre dos cantidades (sean éstas conmensurables o no) un “principio lógico”. Este principio se refiere a la condición para que dos cantidades “tengan razón mutua”. El mismo expre-sa que dos cantidades tienen razón mutua cuando un múltiplo de la menor supera a la mayor; en términos actuales: dadas dos cantidades A > B, existe siempre un entero positivo n tal que 1n A < B. Afirman los autores que Euclides en sus Elementos otorgó a este enunciado el carácter de “principio lógico”, pero Arquímedes lo considera en sus escritos un postulado. Este postulado se cono-ce actualmente como el “postulado de la continuidad”, de Arquímedes y a veces, de Eudoxo o Arquímedes.

Consideran los autores que Eudoxo logró conceder carácter geométrico a las cantidades inconmensurables, con lo que acentuó el proceso iniciado por los pitagóricos de sacrificar la aritmética y el álgebra, privilegiando lo geométrico. Estas nociones seguirán presentándose en la matemática griega, por mucho tiempo, bajo ropaje geométrico.

En el libro citado, los autores describen en el capítulo correspondiente a la matemática helenística (etapa de la cultura griega posterior al reinado de Ale-jandro Magno y que llega hasta el emperador Augusto) los trabajos de Euclides, Arquímedes y Apolonio y conciben esta época como la “edad de oro de la ma-temática griega”. Afirman que Euclides establece con sus postulados las condi-ciones de desigualdad de ciertas líneas y de ciertas porciones de superficies, así como fija un principio de mínimo para casos particulares.

Fink (2000), en relación con la historia de las desigualdades, menciona que los antiguos sabían de la desigualdad del triángulo como un hecho geométrico. Aclara que se trata de una desigualdad general puesto que se aplica a todos los triángulos. Además destaca que una desigualdad general en el contexto geométrico es la desigualdad de la media aritmética y la geométrica para dos números, incluida en el texto de Euclides.



Según Boyer (1986), las tres medias: aritmética, geométrica y subcontraria (más tarde llamada harmónica), ya eran conocidas por los babilonios. Cuenta que Pitágoras de Samos, matemático griego que vivió alrededor del año 550, antes del nacimiento de Euclides, sabía de la existencia de estas tres medias en la Mesopotamia. Los pitagóricos poseían una manera alternativa de definir las tres medias utilizando la noción de proporcionalidad. Es decir, dados dos números positivos a y b, las medias aritmética, geométrica y harmónica entre a y b son los números ma, mg y mh que satisfacen respectivamente las siguien-tes relaciones:

a −mama − b

= aa (1)

a −mgmg − b

= amg

(2)

a −mhmh − b

= ab (3)

De donde:

Despejando ma de la ecuación (1), obtenemos ma =a + b2 , media aritmética

de a y b.

Despejando mg de la ecuación (2), obtenemos mg = ab , media geométrica de a y b.

Despejando mh de la ecuación (3), obtenemos mh =2aba + b , media harmóni-

ca de a y b.

Una construcción geométrica como se muestra en la Figura 3 demuestra esta desigualdad.

Boyer (1986) menciona que Papus de Alejandría, geómetra que vivió alrede-dor del año 300, antes del nacimiento de Euclides, describe en el libro III de su colección una interesante construcción de las medias: aritmética, geométrica y harmónica desde un punto de vista geométrico en un semicírculo (ver Figura 1).



Observamos que |AC| = a, |CB| = b, |DE| = a + b2

, |CE| = ab y |FE| = 2aba + b ,

desde el punto de vista geométrico claramente tenemos las desigualdades ma ≥ mg ≥ mh y las igualdades se obtienen cuando los números a y b coinciden.

Fink (2000) menciona que una tercera desigualdad es la que ahora llama-mos la “desigualdad isoperimétrica” en el plano, y que mencionamos a conti-nuación. Ésta era conocida por Arquímedes y por matemáticos griegos anteriores:

Desigualdad isoperimétrica: si α es una curva cerrada de longitud L y A(α) es el área de la región acotada por la curva, entonces L2 ≤ 4π A(α), siendo la igualdad cierta únicamente si α describe una circunferencia.

Además el autor menciona que en la antigua Grecia, durante el segundo milenio a.C., consideraban como ecuaciones a las relaciones entre números, buscando aquellos que satisficieran las mismas (interpretadas como longitudes, áreas y volúmenes) con tanta precisión como fuera posible o deseable.

Boyer (1986) menciona que Aristarco de Samos (310-230 a.C.) propuso un sistema astronómico heliocéntrico (más de un milenio antes de Copérnico) pero todo lo que escribió al respecto se ha perdido. En cambio nos ha llegado su tratado, escrito posiblemente antes de elaborar su teoría heliocéntrica, titulado Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna, en el que supone un uni-verso geocéntrico. En esta obra hace la suposición de que cuando la Luna está exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del Sol y la

Figura 1. Desigualdad entre ma = |DE|, mg = |CE| y mh= |FE|; ma ≥ mg ≥ mh



visual dirigida al centro de la Luna es menor que un ángulo recto en un trein-tavo de cuadrante. En el lenguaje actual esto significa que la razón entre la distancia de la Luna a la Tierra y la distancia del Sol a la Tierra es igual a sen3º. Como aún no se conocían las tablas trigonométricas recurre a un teorema geométrico conocido en su época y que hoy lo expresaríamos por medio de la cadena de desigualdades trigonométricas:

senαsenβ < α

β < tgαtgβ

para 0 < α < β < π2

.

De estas condiciones, indica el autor, Aristarco afirmó que el Sol está más alejado de la Tierra que la Luna. Si bien los valores están lejos de aproximarse a los verdaderos, mejoró los que Arquimedes atribuye a Eudoxo y Fidias.

En Euclides (1996), Libro X de los Elementos (300 A.C.) se incluye la siguien-te proposición:

Proposición 1: Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (mag-nitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada. (p. 12).

Más adelante se menciona el siguiente lema:

Lema: Dadas dos rectas desiguales hallar cuanto el cuadrado de la mayor es mayor que el cuadrado de la menor. (p. 30).

Se acompaña con la Figura 2.

Figura 2. El cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de A∆, es decir Γ



Y la explicación:

Descríbase sobre AB el semicírculo A∆B y adáptese a él la (recta) A∆ igual a Γ y trácese ∆. Entonces está claro que el ángulo A∆B es recto y que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de A∆, es decir de Γ, en el cuadrado de ∆B. (p. 30)

Según Boyer (1986), Herón estaba interesado en las medidas numéricas bajo todas sus formas que derivan de las mediciones geométricas a distintas aplica-ciones, como óptica, mecánica y geodesia. La ley de reflexión de la luz ya la conocían Euclides y Aristóteles pero Herón parece haber sido el primero que la demostró a través de un razonamiento geométrico. Si un haz de luz de rayos luminosos parte de un foco S, se refleja en un espejo MM’ y se dirige después hacia el ojo E de un observador (ver Figura 5) entonces la luz deberá recorrer el camino más corto posible SPE, que es exactamente aquel en que los ángulos SPM y EPM’ sean iguales. Ningún otro camino posible SP’E es más corto. En efecto, trazando la perpendicular SQS’ a MM’ tomando S’Q = SQ y comparando el camino SPE con el SP’E, dado que S’PE es una línea recta por ser iguales los ángulos M’PE y MPS, se llega a la conclusión de que S’PE es el camino más corto. Es decir, la justificación se basa en la comparación de las longitudes de los segmentos utilizando la desigualdad del triángulo.

Figura 3. Ley de la reflexión de la luz.

Sessa (2005) considera que el tratamiento geométrico babilónico de las ecuaciones supone la existencia de una solución, y piensa la figura como una figura de análisis, en la que se apoya la resolución numérica para guiarse en



el cálculo, pero no se realizan sobre ella transformaciones a partir de los datos. En cambio Euclides, obtiene los resultados mediante construcciones a partir de los datos, avanza hacia lo que quiere hallar, es decir avanza por “síntesis” (des-de los datos a las incógnitas). Es decir, que el tratamiento que hace Euclides está lejos del trabajo que realizamos con las ecuaciones actualmente. Resalta la autora que las ecuaciones (y extendemos la idea a las inecuaciones) se ca-racterizan por juntar en una expresión datos e incógnitas, y a partir de estable-cer una relación entre ellos se realizan transformaciones, sin cambiar su conjunto solución, hasta obtener el o los valores de las incógnitas. A este tipo de tratamiento se le da el nombre de “análisis”.

4.2 emIgracIón al álgebra

Según Rey Pastor y Babini (1997) las ideas de Diofanto, matemático destacado del período grecorromano de los primeros siglos cristianos, estuvieron vinculadas preferentemente con la matemática babilónica. Diofanto, para resolver ecuacio-nes de segundo grado, toma incógnitas auxiliares que lo llevan a reducirlas a ecuaciones lineales (sistemas) y a desigualdades, considerando las resolventes de las ecuaciones cuadráticas correspondientes (transformando las desigualda-des en igualdades). Los autores describen el “problema de los vinos”, el cual trata de determinar las cantidades de dos clases de vino de precios proporcio-nales a 8 y 5, de manera que el costo sea un cuadrado, que sumado al núme-ro 60, reproduzca el cuadrado de la suma de las dos cantidades. Para resolver el sistema (con los símbolos actuales): 8x+5y=z2; z2+60=(x+y)2 introduce la in-cógnita auxiliar u=x+y que lo lleva al sistema u2-60=3x+5u=8u-3y, y a las des-igualdades 8u>u2-60>5u. Teniendo en cuenta las resolventes de las ecuaciones cuadráticas (transformando las desigualdades en igualdades), encuentra que u está entre 11 y 12. Como u2-60 debe ser un cuadrado, introduce otra variable v tal que u2-60=(u-v)2 llegando a un nuevo par de inecuaciones: 22v<60+v2<24v, llega así a 19<v<21, toma v=20 y de allí obtiene los demás valores.

Notemos que en las estrategias utilizadas para resolver estos tipos de pro-blemas se usan (como herramientas) las igualdades y las desigualdades. No se trata de resolver un problema de desigualdades, sino que éstas surgen como una estrategia de resolución.

Halmaghi (2012) afirma que en la historia del álgebra, Nesselmann (1842) identifica tres etapas de desarrollo: álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra



simbólica. Además, continúa su descripción mencionando que el álgebra retó-rica es el álgebra de las palabras y el álgebra sincopada utiliza una mezcla de palabras y símbolos para expresar generalidades.

Boyer (1986) piensa que tal división del desarrollo del álgebra supone una simplificación quizás excesiva pero que puede servir para una primera aproxi-mación de lo ocurrido, y dentro de este esquema ubica a la obra Arithmetica de Diofanto en la segunda categoría.

Sessa (2005) advierte respecto de esta clasificación tan rígida del álgebra que atiende sólo a sus formas de escrituras. Considera que las relaciones entre abstracción, escritura simbólica y generalización son complejas y no es posible pensar la historia como una evolución lineal en esos tres aspectos hasta alcan-zar las formas actuales. Respecto de la producción de Viète, resalta la autora que a pesar del tratamiento algebraico de las expresiones, la interpretación geométrica seguía vigente. Es decir, la geometría seguía dando interpretación a las expresiones y validando procedimientos de cálculo.

Según Bagni (2005), François Viète introdujo la distinción entre una cantidad determinada, una constante y las variables en una ecuación. Comenta que Viète fue el primero en resolver con éxito las ecuaciones paramétricas. Después de ese descubrimiento, las ecuaciones se convirtieron en objetos de procesos de orden superior.

Según comenta Sfard (1995), desde Viète en adelante, el álgebra estructural hace su aparición. Las obras de Descartes y Fermat, sobre las aportaciones de Viète, ayudaron a la geometría a capturar generalidad y expresar ideas operati-vas. En los primeros años, el álgebra necesita de la geometría para la materia-lización y verificación, luego, la geometría utiliza el álgebra para nuevas materializaciones y desarrollo.

Halmaghi (2012) estima que antes de la invención de los símbolos, el álge-bra fue la interpretación verbal de los procesos algorítmicos. Es importante re-flexionar sobre si las desigualdades emergieron de la retórica o el álgebra sincopada, o si la naturaleza de éstas es en realidad diferente de la esencia del álgebra. Es posible que la invención de los símbolos de las desigualdades ayu-dara a la manipulación de las desigualdades conocidas.

4.2.1 Los símbolos

Sostiene Eves (1983), citado por Halmaghi (2011), que los símbolos < y > se in-trodujeron por primera vez por el matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621)



en su obra Artis Analyticae Praxis publicada en Londres en 1631. Halmaghi (2011) también cita a Johnson (1994) quién comenta que Harriot fue inspirado por un símbolo que había visto en el brazo de un nativo americano (ver Figura 4) para “inventar” los símbolos de las desigualdades.

Figura 4. Insignia que da origen a los símbolos

En 1734, el francés Pierre Bouguer inventó los símbolos ≤ y ≥ . Mucho antes de la aparición del álgebra simbólica no había símbolos para represen-tar las incógnitas y no había símbolos para representar la relación entre incóg-nitas antes de Diofanto. No hay nada malo en escribir enunciados matemáticos en un lenguaje sencillo, pero puede tomar varias páginas, mientras que con símbolos matemáticos el mismo trabajo se podría hacer, posiblemente, en una sola línea.

Sessa (2005) menciona el proyecto de Descartes como esencialmente nue-vo, que consistía en resolver problemas geométricos a través de herramientas algebraicas.

Rey Pastor y Babini (1997) describen en la resolución gráfica de las ecuacio-nes cúbicas y cuárticas el método de Descartes de la “parábola fija”, que consis-te en considerar la ecuación de cuarto grado reducida. Se construye gráficamente una parábola fija de lado recto unitario y una circunferencia de centro y radio dados, y de esta manera se pone en juego la geometría sintética y la analítica.

Según Boyer (1986), el álgebra simbólica formal, que había seguido desde el Renacimiento un proceso más o menos continuo de avance, encuentra su culminación en La géometrie de Descartes, ya que fue mucho más sistemático que sus predecesores en su álgebra simbólica y en la interpretación geométrica del álgebra.



4.3 InsercIón en la teoría de funcIones

Rey Pastor y Babini (1997) sostienen que en el método de máximos y mínimos de Fermat, se logra traducir algebraicamente la anulación de la variación de la función en las proximidades de los valores considerados. Aplican este método al problema de encontrar entre todos los rectángulos isoperimétricos el de área máxima. Dado un rectángulo de perímetro 2a y lado x, el otro lado es a-x, el área del rectángulo es x(a-x). Este producto será máximo si el rectángulo es un cua-drado de lado a/2.

Según Fink (2000), durante muchos años no aparecieron otras desigualdades generales y menciona el siguiente resultado que atribuye a Newton:

Sea pr el promedio de la función simétrica elemental de las cantidades positivas a1…an de orden r, es decir, el promedio de las sumas de todos los productos de los ai tomados r a la vez. Entonces Newton demostró que pr-1pr+1 < pr

2 para 1≤ r<n, a menos que todos los ai sean iguales.

Agrega también que Maclaurin observó que p1 > p21/2>…> pn

1/n, Hardy, Littlewood y Polya (1934, citado en Fink, 2000), comentan que este último resul-tado es un corolario del teorema de Newton. Los extremos de esta sucesión son la media aritmética y la media geométrica, lo que permite establecer una des-igualdad ya famosa.

Según Perez (2008), en la teoría de las “razones últimas” de Newton, expues-ta en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) aparece el primer indicio del concepto de límite funcional en estrecha relación con el cálculo de fluxiones (velocidades instantáneas). Estas ideas de Newton fueron desarrolladas por el matemático escocés Colin Maclaurin (1698- 1746) que, en su gran obra A Treatise of Fluxions (1742), establece el cálculo sobre la base de una teoría geométrico–cinemática de límites. Maclaurin rechazaba los infinitésimos, afir-maba que los antiguos nunca reemplazaron curvas por polígonos y que la base de la geometría de Arquímedes era el concepto de límite. Lo sorprendente es que Maclaurin usa el concepto de límite como algo evidente que no precisa ser explícitamente presentado ni analizado. Esto se debe a que el cálculo de Ma-claurin se sustenta sobre las ideas de espacio, tiempo y movimiento, lo que le lleva a aceptar como evidentes la continuidad y la diferenciabilidad.

Fink (2000) considera que Maclaurin desempeña un papel prominente en el campo de las desigualdades, pero que no originó las desigualdades generales



con nombres. Además comenta que este matemático realizó lo que equivale a las pruebas de épsilon-delta para varios límites, y hay serios indicios de que estos resultados tuvieron una influencia en los matemáticos continentales que esta-ban empezando a utilizar las pruebas basadas en la desigualdad para el análisis. Curiosamente, el siglo transcurrido más o menos entre Maclaurin y Cauchy no dio lugar a desigualdades. Cauchy es reconocido como el autor de la prueba formal de la desigualdad entre la media aritmética y geométrica.

Como afirma Sinaceur (1992) fue Weierstrass quien eliminó del lenguaje del análisis toda relación con el movimiento. Considera que frases como “una va-riable se acerca a un límite”, que recuerdan las ideas temporales de Newton, fueron transformadas en desigualdades, intentando aritmetizar todo lo posible. Además, agrega el autor, que se debe al mismo matemático la definición de continuidad que hoy se llama épsilon-delta. Destaca que en su obra de 1968 Éléments d’analyse, Jean Diudonné define explícitamente el cálculo infinitesimal como “un aprendizaje en el manejo de las desigualdades”, un aprendizaje que puede resumirse en tres palabras: “minorización, mayorización, aproximación”.

Según Rey Pastor y Babini (1997), Schwartz, discípulo de Weierstrass, fue quien continuó su obra y se ocupó del cálculo de variaciones, en especial de su-perficies de área mínima. Además de sus aportes en teoría de grupos y en teo-rías de funciones le debemos la desigualdad de Schwartz que establece, en 1885, que el producto a escalar de dos vectores no puede superar el producto de sus módulos. Aunque la desigualdad de Schwartz para puede ya ser atribui-da a Lagrange para sumas finitas arbitrarias de números reales, había sido establecida por Cauchy en 1821 y para integrales por Buniacowsky en 1859. Bourbaki (1976) expresa que la teoría de conjuntos, en el sentido que le damos actualmente, se la debemos a Cantor. Weierstrass fue el único en seguir los trabajos de su alumno Cantor. Quién había demostrado en 1890 la desigualdad m<2m, pero no pudo establecer una relación de buena ordenación entre cardi-nales cualesquiera. Este inconveniente fue resuelto por Bernstein (1897) demos-trando que las relaciones a ≤ b y b ≤ a implican a = b, y sobre todo por el teorema de Zermelo que demuestra la existencia en todo conjunto de una buena ordenación (conjeturado por Cantor en 1883).

Fink (2000) reconoció que la historia de las desigualdades se había escrito cuando Hardy completó las 300 páginas de su libro Inequalities sobre desigual-dades con sus pruebas. Por otra parte, menciona que hay dos revistas en la actualidad dedicadas a desigualdades (Journal of Inequalities and Applications



y Mathematical Inequalities), así como muchas publicaciones matemáticas, cuyo único propósito es demostrar una desigualdad.

Pellicer (2007) indica que la teoría de optimización se desarrolló en la pri-mera mitad del siglo XX, debido al avance del capitalismo hacia las grandes empresas en Estados Unidos y a la ejecución de grandes planes estatales en la Unión Soviética. Durante la Segunda Guerra Mundial se resolvieron diversos problemas con criterio de optimización. Esto exigió la construcción de ordena-dores y el desarrollo de la técnica de programación lineal, donde las restricciones vienen dadas por desigualdades lineales y el criterio de optimización se expresa mediante una función lineal.

5. ConClusionEs

La geometría, la aritmética y la teoría de números son disciplinas que están bien establecidas desde la antigüedad. Con la etapa del álgebra simbólica, nuevas disciplinas matemáticas se desarrollaron, como la geometría analítica. Sfard (1995) sostiene que la geometría ayudó a la materialización de pesados cálcu-los de álgebra. El álgebra y la geometría ayudaron a evolucionar y a responder muchos de los problemas que habían quedado pendientes desde la antigüedad.

Inicialmente, las desigualdades no tienen un estatus especial en matemática, sino que se consideraron peculiaridades o herramientas matemáticas para el desarrollo de otras teorías. Dos milenios y acciones personales cambiaron el es-tado de las desigualdades, desde considerarse una herramienta para la mate-mática hasta afianzarse como una disciplina real de estudio.

A partir de lo analizado en la evolución histórica pensamos que las desigual-dades no son intrínsecamente geométricas, aunque muchas de ellas puedan ser visualizadas a través de la representación de objetos geométricos, por la relación de comparaciones entre las relaciones métricas (longitudes, áreas, vo-lúmenes); tampoco son puramente algebraicas, a pesar de que puedan ser traducidas al lenguaje algebraico, ni aun del análisis, aunque están presentes en las nociones de límite y convergencia. Es una noción que se presta a diver-sos “trajes”, a una variedad de expresiones. Para una mejor comprensión de estas relaciones por parte de los alumnos es indispensable presentarlas en distintos marcos (algebraico, geométrico y funcional) y mostrar que estas expre-siones se corresponden en cada uno de ellos. De esta manera, reconocerán a



la desigualdad como un concepto transversal que está presente en muchos otros y que conectan distintos dominios de la matemática.

Como consecuencia de este análisis surgen relaciones entre la evolución histórica de la desigualdad y los marcos (según Douady, 1986) adoptados para su tratamiento (ver Esquema 2).

Esquema 2. Distintos marcos.

• Marco geométrico: se relaciona fundamentalmente con la primera etapa histórica cuando las desigualdades surgen como un instrumento para expresar problemas de comparación de magnitudes (longitudes, áreas, volúmenes), para resolver problemas geométricos. Se basa en lo visual, las construcciones y las propiedades de los objetos geométricos respaldan las comparaciones.

• Marco algebraico: se pone en evidencia durante la etapa en que las des-igualdades emigran de la geometría para impregnarse del simbolismo del álgebra. Las resoluciones basadas en procedimientos algebraicos son prio-rizadas. Se subordina al trabajo con la ecuación, incluso en cierto momen-to se limita a la sustitución en los extremos. También es tomada como una herramienta, en este caso, para resolver problemas.

• Marco funcional: se considera en la etapa en que las desigualdades se instalan definitivamente en la teoría de funciones, donde se enriquecen con nuevas estructuras y sustentan la reversibilidad de los procesos de acotación. En este marco se resuelven problemas de modelización de si-tuaciones que podrán ser geométricas, algebraicas, cotidianas, relaciona-das con otras ciencias, etcétera.

Claramente estos marcos no son los únicos a partir de los cuáles es posi-ble abordar las desigualdades (por ejemplo, podríamos mencionar además el



numérico). Pero en esta indagación histórica surgen estos tres marcos a través de los cuales las miradas del objeto desigualdad toma tintes especiales. Estima-mos que el objeto mental desigualdad que construyen los estudiantes será rico en la medida en que se brinden experiencias para lograr imágenes elabora-das en distintos marcos. La historia de la matemática muestra, y un ejemplo es esta indagación, que los conceptos matemáticos se construyen, modifican y amplían para resolver problemas de la vida real o de la matemática misma y que evolucionan tanto en su formulación como en su manera de representación.

Coincidimos con Sessa (2005) respecto de que el análisis histórico cuestiona el modo distanciado en que usualmente el álgebra y la geometría conviven en la escuela.

Nos permitimos añadir que la incorporación de la mirada funcional amplía las posibilidades de favorecer la construcción de sentido en la escuela. Además, como menciona Sessa, el juego de marcos de Douady constituye una herramien-ta didáctica útil para dicha construcción. El juego de marcos proporciona la posibilidad de generar cambios en la interpretación de los problemas que po-drían, por un lado, habilitar la evolución de las concepciones de los estudiantes y, por el otro, activar el proceso de aprendizaje. Estos cambios exigen reformu-laciones del problema y la puesta en acción de herramientas y técnicas distintas a las iniciales.

En relación con los tres fenómenos matemáticos organizados por el concep-to de desigualdad, los documentos analizados permiten constatar algunas evi-dencias de su manifestación, a saber:

Fenómeno de ordenación: se establecen relaciones de desigualdad entre canti-dades distintas de la misma magnitud. Este fenómeno aparece, por ejemplo:

• en las relaciones de desigualdad establecidas entre números, interpretadas como longitudes, áreas y volúmenes;

• en el postulado de Arquímedes.

Fenómeno de especificación: del conjunto solución de una inecuación. A modo de ejemplo mencionamos algunos:

• En la antigua Grecia, durante la exploración de relaciones entre números, se trataba de buscar aquellos que satisficieran las relaciones con tanta



precisión como fuera posible o deseable. Estas relaciones eran interpreta-das como longitudes, áreas y volúmenes;

• Diofanto al resolver ecuaciones de segundo grado comienza a tomar in-cógnitas auxiliares que lo llevan a reducirlas a ecuaciones lineales (siste-mas) y a desigualdades. Dichas desigualdades son inecuaciones que resuelve especificando los números que pueden verificar las condiciones.

Fenómeno de generalización: aparece claramente la idea de la generalización de una propiedad expresada en una desigualdad que se menciona para un representante que se toma de una clase de objetos. Encontramos por ejemplo:

• La desigualdad del triángulo se trata de una desigualdad general puesto que se aplica a todos los triángulos;

• Hardy recopila en su libro las desigualdades generales con sus pruebas. Dichas pruebas consisten en justificaciones formales de la generalización de la propiedad para todos los elementos para los cuáles está definida.

Consideramos que esta indagación histórica nos ayuda a reflexionar respecto de cuáles de los fenómenos matemáticos encontrados, que son incluidos en la escuela, fueron importantes a lo largo de la historia del concepto y continúan vigentes. Así como también, a pensar en los aspectos del objeto mental des-igualdad que aporta el trabajo con cada uno de ellos.

A partir de los resultados obtenidos, proponemos las siguientes recomenda-ciones para la enseñanza.

• Tener en cuenta los fenómenos matemáticos que organiza el concepto de desigualdad y ofrecer experiencias a los estudiantes abordando distintos tipos de tareas que enriquezcan su objeto mental desigualdad.

• Las tareas que involucran a los estudiantes en actividades enmarcadas en el fenómeno de ordenación, aportan sentido de relación a las desigualda-des y los introduce en la noción de orden, presente cada vez que aparece una desigualdad, en los distintos marcos.

• Las tareas de resolución de inecuaciones que involucran a los alumnos en el fenómeno de especificación, deben estar fundadas en el reconoci-miento de la transformación de una inecuación en otra equivalente y se enriquecen al incluirse los casos no típicos, donde los procedimientos no



se automatizan, ya que podrían acostumbrarse a verlas sólo como una rutina de procedimientos.

• Las tareas de demostrar desigualdades absolutas contribuyen a introducir a los estudiantes en la problemática de la demostración matemática y brinda experiencias dentro del fenómeno de generalización. Es importan-te habituar a los estudiantes a que justifiquen sus decisiones con las herramientas matemáticas que poseen, respaldando las afirmaciones con propiedades conocidas. Como sostiene Dreyfus (2000), “no deberíamos esperar que nuestros estudiantes sean capaces de captar demostracio-nes sofisticadas y de alto nivel, sin haber estado expuestos durante muchos años al espíritu de la justificación y a la naturaleza del pensamiento ma-temático” (p. 130).

• La utilización de los marcos (algebraico, funcional y geométrico) en el tratamiento del tema, podría contribuir al uso de diferentes estrategias frente al mismo problema y aportaría otra interpretación de la situación en pos de una mejor comprensión.

5. rEFErEnCiAs

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ContribuCiones a la doCenCia


DOI: 10.24844/EM2903.07

Propuesta para el tratamiento de interpretación global de la función cuadrática mediante el uso del software geogebra

Proposal for treating global interpretation of the Quadratic Function using the software geogebra

Ana luisa gómez-Blancarte1 rebeca guirette2 Felipe Morales-Colorado3

resumen. Basados en la vía de interpretación global que Duval (1988) sugie-re para el tratamiento de las representaciones gráficas, en este artículo se presenta una propuesta de interpretación global para la función cuadrática f x( ) = ax 2 + bx + c , mediante el uso del software GeoGebra. A fin de ilustrar la pertinencia de la propuesta en la enseñanza, se presenta un estudio de caso con un grupo de estudiantes de Educación Media Superior del sistema de Telebachillerato. Los resultados muestran la potencialidad del software para realizar un análisis de congruencia entre los registros de representación grá-fica y algebraica de la función y reconocer cualitativamente la asociación de las variables visuales del registro gráfico y las unidades simbólicas significa-tivas del registro algebraico.

Palabras clave: Función cuadrática, interpretación global, coordinación entre registros, variables visuales y unidades simbólicas significativas.

Fecha de recepción: 27 de agosto de 2016. Fecha de aceptación: 2 de febrero de 20171 Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, unidad Legaria (CICATA-Legaria),

Instituto Politécnico Nacional, México, [email protected] Facultad de Matemática, Universidad Veracruzana, México, [email protected] Telebachillerato Río Uxpanapa, México, [email protected]

Ana Luisa Gómez-Blancarte • Rebeca Guirette • Felipe Morales-Colorado


Abstract. Based on Duval’s (1988) interpretation about the treatment of gra phical representations, this paper presents a proposal to the global interpretation of the quadratic function f x( ) = ax 2 + bx + c by using the Software GeoGebra. In order to illustrate the relevance of the proposal in the teaching, a case study of a group of high school students is presented. The results show the potential of the software for a congruence analysis among graphic and algebraic regis-ters of representation and its effects on qualitative recognition of the association of visual variables and significant symbolic units.

Keywords: Quadratic function, global interpretation, coordination among re-gisters, visual variables and significant symbolic units

1. introduCCión

De acuerdo con Duval (2006), la enseñanza, aprendizaje y comunicación de las matemáticas se realiza inevitablemente en sistemas de representación. El domi-nio de las representaciones y sobre todo, el manejo de distintas representaciones de un mismo objeto matemático son de gran importancia en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas. Así pues, Duval (1998) nos advierte de que las dificultades que presentan los estudiantes en el aprendiza-je de las matemáticas pueden deberse a que no se promueve la actividad cognitiva de conversión4 en la enseñanza de las matemáticas, ya que se enfa-tiza más el tratamiento5 de representaciones.

La coordinación entre dos o más registros de un mismo objeto matemático (como el de función) se alcanza mediante la tarea de conversión de represen-taciones entre los registros. Sin embargo, la conversión es la actividad cognitiva más compleja, pues no hay reglas específicas que permitan dicha actividad (Duval, 2006). La complejidad de cambiar de un sistema semiótico a otro se presenta tanto en la conversión del lenguaje natural a una expresión dentro del lenguaje algebraico, como en la conversión del registro algebraico al gráfico y viceversa.

4 Para Duval (2006), la conversión es un cambio en el registro de representación manteniendo la totalidad o parte del contenido de la representación inicial.

5 El tratamiento es la transformación de una representación dentro del registro donde fue creada.

Propuesta para el tratamiento de interpretación global de la función cuadrática . . .


Algunos autores señalan las dificultades que presentan los estudiantes para articular registros de funciones. Por ejemplo, Guzmán (1998) reporta que estu-diantes de ingeniería no coordinan explícitamente dos o más registros de repre-sentación del concepto de función, ya que presentan dificultades al convertir un enunciado en lenguaje natural en otro registro de representación, tales como el gráfico o algebraico, así como del registro gráfico al algebraico. En el caso de la función lineal y cuadrática, Díaz, Haye, Montenegro y Córdoba (2013) identifican dificultades por parte de los estudiantes para articular los registros algebraico y gráfico de esas funciones. Por ejemplo, los autores señalan que los estudiantes no lograron reconocer que la ausencia o presencia del coeficiente del término lineal de una función cuadrática (b = 0, b ≠ 0) determina si el eje de la parábo-la coincide o no con el eje y.

Estas dificultades estriban en una falta de discriminación y de asociación entre las variables visuales del registro gráfico y unidades simbólicas significa-tivas del registro algebraico. La discriminación de esas variables y unidades simbólicas, de acuerdo con Duval (2006), se debe realizar mediante un recono-cimiento cualitativo (sin cálculos numéricos) de las variables visuales de la re-presentación gráfica, a través de la oposición de dos o más representaciones, poniéndolas en correspondencia con una característica semántica de la repre-sentación algebraica. Sin embargo, los estudiantes articulan registros mediante procedimientos más de cálculo numérico que cualitativos. Valero (2015) reporta que estudiantes de Educación Media Superior y de Superior recurrieron más a cálculos numéricos tales como la factorización, el uso de la fórmula general y otros que permitían determinar los ceros de la función y las coordenadas del vértice de la parábola para articular los registros gráfico y algebraico de la fun-ción cuadrática. El autor pone en evidencia una falta de coordinación de las variables visuales y unidades simbólicas significativas de la función cuadrática para la articulación de los registros, en particular, cuando se parte del registro de representación gráfico. Además, el uso de tales procedimientos numéricos fue más evidente en estudiantes de nivel Superior. Lo anterior parece suponer que entre más avanzado es el nivel académico del estudiante más se recurre a esos procedimientos por el dominio que tiene sobre ellos.

De acuerdo con Duval (1988), la comprensión integradora de un concepto matemático descansa en la coordinación de al menos dos de sus registros de representación y esta se manifiesta en la rapidez y la espontaneidad de la acti-vidad cognitiva de conversión. Desarrollar dicha actividad es una tarea que necesita más atención en el contexto escolar, pues el autor nos aclara que “no



puede haber utilización correcta de las representaciones gráficas cartesianas sin discriminación explícita de las variables visuales pertinentes y sin una corres-pondencia sistemáticamente establecida entre los valores de esas variables y las unidades significativas de la escritura algebraica” (Duval, 1992, p. 131).

En particular, para Duval (1988) son tres los tratamientos de las representa-ciones gráficas y cada uno de ellos toma en cuenta distintos datos visuales de la gráfica. Estos tratamientos son: vía el punteo, vía de extensión del trazo efec-tuado y vía de interpretación global de las propiedades de las figuras. La prime-ra, es la más recurrente para introducir y definir las representaciones gráficas de las funciones, así como para la lectura de ciertos puntos de interés. La segunda, se refiere a las actividades de interpolación y extrapolación, ateniéndose a los datos del trazo hecho y no a las variables visuales oportunas de la representa-ción gráfica. Estas dos vías quedan limitadas a los valores y puntos particulares seleccionados para ello, sin llegar a considerar las variables visuales oportunas de la representación gráfica y la forma de la escritura algebraica. La vía de in-terpretación global, es la más importante, ya que es en ésta que se puede apreciar que toda modificación de una representación gráfica que implique una modificación en la escritura de la expresión algebraica correspondiente define una variable visual pertinente para la interpretación gráfica y para ello hay que identificar las modificaciones conjuntas de la gráfica y de la forma de su escri-tura algebraica.

El desarrollo de la vía de interpretación global de polinomios de grado 2 y 3 fue estudiado por Benítez (2004). En el caso del polinomio de grado 2 (función cuadrática y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 ), mediante un análisis del contenido de las representaciones gráfica, numérica y algebraica, Benítez identifica 5 variables visuales de la representación gráfica que se corresponden con valores categó-ricos de la expresión algebraica. Sin embargo, algunas de las variables visuales que propone Benítez requieren de un reconocimiento cuantitativo de los valo-res categóricos de la expresión algebraica. Para Duval (1988) la interpretación global “depende […] del reconocimiento cualitativo de las unidades de escritura simbólica que corresponden” (p. 138). En otras palabras, “están excluidos toda consideración de los números y todo recurso a cálculos” (Duval, 1999, p. 75).

El presente artículo pretende contribuir a la enseñanza de la vía de interpre-tación global; para ello, propone tres variables visuales del registro gráfico de la función cuadrática que se corresponden semióticamente con las unidades sim-bólicas del registro algebraico. La propuesta se presenta mediante un análisis de congruencia entre los dos registros de representación usando el software



GeoGebra. Así pues, el objetivo de este artículo es doble: 1) definir las unidades simbólicas significativas del registro algebraico de la función cuadrática que determinan una variable visual pertinente en el registro gráfico y 2) ejemplificar con el software GeoGebra cómo se pueden discriminar estas variables y unida-des simbólicas de manera cualitativa. A fin de ilustrar la pertinencia de la pro-puesta en el contexto escolar, se presenta un estudio de caso con un grupo de estudiantes de Educación Media Superior del sistema de Telebachillerato quienes respondieron un cuestionario con tareas de reconocimiento.

2. trAtAMiEnto dE lA FunCión CuAdrÁtiCA En lA EnsEñAnzA MEdiA suPErior En El tElEBAChillErAto

En esta sección se expone un análisis acerca del estudio de la función cuadrá-tica en los libros de texto de Telebachillerato. El objetivo es identificar el modo en que se favorece la vía de interpretación global para el caso de la parábola vertical. Se analizaron tres libros de texto desarrollados por la Secretaria de Educación de Veracruz (SEV) para el sistema educativo Telebachillerato del es-tado de Veracruz (TEBAEV): Matemáticas I, Matemáticas III y Matemáticas IV. Cada libro se estudia en un semestre, de manera que en los semestres I, III y IV se estudian temas relacionados con la función cuadrática. En seguida se pre-senta un análisis detallado de los libros de matemáticas I y IV, ya que es en estos textos donde se aborda el estudio de la parábola definida como función cuadrática.

2.1 matemátIcas I

Los objetivos relacionados con el comportamiento de la gráfica de una parábo-la se presentan en el Bloque X. En éste los estudiantes, entre otros objetivos, deben identificar que toda función cuadrática es una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo. Así como visualizar que al cambiar los parámetros de a, b y c (números reales y a ≠ 0) en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola (Secretaría de Educación de Ve-racruz, 2016a, p. 39).

Una vez expuesto en el libro, mediante el tratamiento de la vía del pun-teo, que la función cuadrática es una parábola, se presenta el tratamiento de la



escritura de la función cuadrática. Se pide a los estudiantes transformar la es-critura de la función de su forma general, y = ax 2 + bx + c , a la forma estándar, y = a x − h( )2 + k . El uso de la escritura estándar de la función busca que los estudiantes visualicen las variables visuales que determinan los parámetros a, h y k en la gráfica. Estos parámetros están asociados con el vértice (h, k) y con la abertura de la parábola, a. El estudio de los parámetros h, k enfatiza la lectu-ra de un punto particular (la coordenada del vértice) de la gráfica porque, de acuerdo con Duval (1988), “es un punto interesante”. En este caso, se trata del máximo o mínimo, como se observa en los ejercicios propuestos al final del bloque X.

Casi al término del bloque, el libro aborda el análisis del comportamiento de la gráfica de la función cuadrática en su forma general (y = ax 2 + bx + c ). El análisis inicia con el estudio del comportamiento del parámetro a (Figura 1). Los estudiantes deben analizar las gráficas que se muestran en la figura y respon-der preguntas como: “¿Qué pasa cuando el signo del término “a” [sic ] cambia?6 ¿Qué crees que suceda cuando el coeficiente a cambie de magnitud y no sólo de signo?” (Sánchez, Hernández, Hernández y Velázquez, 2014, p. 314). En el texto, no hay una propuesta que guie al estudiante a la exploración de la rela-ción entre el parámetro y las modificaciones de la parábola para responder a esas preguntas, tampoco se presenta una conclusión al respecto.

Figura 1. Imágenes del libro Matemáticas I (Sánchez et al., 2014, p. 314).

6 Matemáticamente no es el término, sino el coeficiente o parámetro.



La curva es cóncava hacia arriba cuando a > 0, cóncava hacia abajo cuan-do a < 0; se dilata cuando el valor absoluto del coeficiente cuadrático está entre cero y uno, y se contrae cuando el valor absoluto del mismo es mayor que uno.

Para los parámetros b y c, el texto muestra algunas gráficas (Figura 2) para que el estudiante pueda realizar una apreciación similar a la del parámetro a. En este caso, no hay ninguna pregunta que guie al estudiante a dicha aprecia-ción, ni una estrategia para la la exploración.

Figura 2. Imágenes del libro Matemáticas I (Sánchez et al., 2014, p. 315).

Los estudiantes debieran extraer conclusiones acerca del comportamiento que cada parámetro provoca en la gráfica, observando que la diferencia entre una escritura y otra es el signo del parámetro b y c, respectivamente. El paráme-tro b, se corresponde con una “traslación” horizontal de la gráfica (derecha o izquierda del eje y); el parámetro c, con una “traslación” vertical. En el caso del parámetro c, se variaron los valores y signos de los parametros a y b. Lo cual, contradice la propuesta de Duval (1988) sobre hacer variar sólo uno a la vez a fin de apreciar la correspondencia semiótica entre la unidad simbólica de la escritura y la variable visual de la gráfica.

Es importante resaltar que en el ejemplo (ver figura 2, parámetro b) la tras-lación horizontal es a la derecha cuando el valor simbólico del parámetro b es negativo (b < 0) y a la izquierda cuando es positivo (b > 0). ¿Qué pasa cuando a < 0? Retomemos el mismo ejemplo del parámetro b en la figura anterior, pero ahora con a < 0.



Figura 3. Variación del parámetro b cuando a < 0.

En la figura 3, se puede observar que cuando a < 0 la traslación de la grá-fica se comporta de distinta forma. La posición del vértice de la gráfica de la expresión y = −2x 2 +10x + 4 ahora está en el lado derecho del eje y, y la posi-ción del vértice de la gráfica de la expresión y = −2x 2 −10x + 4 está en el lado izquierdo del eje y; ubicación contraria a la que se observa en la figura 2, pará-metro b. En la sección 3 retomaremos este hecho, pues es una de las contribu-ciones de este trabajo.

2.2 matemátIcas Iv

En este curso, el último de matemáticas del tronco común del Telebachillerato, los estudiantes abordan el concepto de lo que es función, en particular la función cuadrática se aborda en el bloque III. Los estudiantes, al término de este bloque, debieran ser capaces de, entre otros objetivos, identificar “la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así como sus gráficas” (Secretaría de Educación de Veracruz, 2016b, p. 20).

Para favorecer el reconocimiento de los tipos de gráficas y regularidades parti-culares de las funciones polinómicas, específicamente lo referente a la función cuadrática, el texto presenta un análisis de cómo cada uno de los parámetros a, b



y c de la escritura algebraica de la función, cuya expresión analítica es f x( ) = ax 2 + bx + c = 0 o bien f x( ) = a2x 2 + a1x + a0 = 0 , representan una ca-racterística visual en la gráfica. El análisis inicia con la variación del coeficiente del término cuadrático a, luego presenta la variación del coeficiente del término lineal b y, finalmente, la del término independiente c, como se muestra a continuación.

Variación del coeficiente del término cuadrático a o a2.

figura. Imágenes del libro Matemáticas IV (Ávila, García, Hernández, y García, 2014, p. 120).

Se observa en la figura 4 que se establece la relación cualitativa entre el signo del coeficiente del término cuadrático con la abertura de la curva (a > 0 o a < 0) y el ancho de la abertura de la misma. En el texto se concluye que la curva se dilata cuando el valor absoluto del coeficiente cuadrático está entre cero y uno; se contrae cuando el valor absoluto del mismo es mayor que uno.

Variación del coeficiente del término lineal b o a1.

Se establece una relación cualitativa entre la variación del parámetro b y la posición de la gráfica (Figura 5) respecto de ambos ejes. Primero se señala el



desplazamiento vertical respecto del eje y cuando cambia el signo del paráme-tro. Posteriormente, el desplazamiento horizontal, cuando cambia tanto el signo como el valor del parámetro. En este texto, al igual que en el de Matemáticas I, tampoco se expone el análisis de correspondencia semiótica entre el parámetro b de la escritura y la variable visual de la gráfica cuando el coeficiente del tér-mino cuadrático es negativo, es decir, cuando la curva abre hacia abajo.

Figura 5. Imágenes del libro Matemáticas IV (Ávila et al., 2014, p. 121).

Variación del coeficiente del término independiente c o a0.

Finalmente, se establece la relación cualitativa entre el corte de la curva con el eje y, y el coeficiente del término lineal (Figura 6). Se concluye que el coeficien-te c determina el corte de la parábola con el eje y : la curva cortará en la parte negativa del eje y, cuando c < 0 y en la parte positiva del eje y cuando c > 0.

En este mismo bloque, también se presenta un análisis similar al de la forma general, pero para la forma estándar de la función cuadrática: f x( ) = a x − h( )2 y f x( ) = a x − h( )2 + k

f x( ) = a x − h( )2 y f x( ) = a x − h( )2 + k . En el texto se considera que con la forma estándar es “más fácil graficar una función de grado dos” (Ávila et al., 2014, p. 126). Así, el análisis se concentra más en la lectura de puntos de interés como la coordena-da del vértice, lo que favorece más el tratamiento vía el punteo.



En ambo textos analizados se tiene en cuenta el tratamiento de la gráfica de la función cuadrática a través de la vía de interpretación global. Sin embargo, el tratamiento parece enfatizar la búsqueda de valores particulares. Además, el análisis de la asociación entre el parámetro b y el desplazamiento de la gráfica no contempla el caso para cuando a < 0. En la siguiente sección proponemos tres variables visuales que favorecen la conversión entre los registros gráfico y algebraico de la función cuadrática, así como una manera de discriminar esas variables haciendo uso de un software dinámico.

3. ProPuEstA dE unA víA dE intErPrEtACión gloBAl PArA El trAtAMiEnto dE lA FunCión CuAdrÁtiCA

La presente propuesta se deriva de un análisis de correspondencia semiótica entre los parámetros a, b y c de la escritura de la función cuadrática en su forma general, f x( ) = ax 2 + bx + c , y la representación gráfica (parábola). La propues-ta está fundamentada en la vía de interpretación global que sugiere Duval (1988), como uno de los principales tipos de tratamientos de las representaciones

Figura 6. Imágenes del libro Matemáticas IV (Ávila et al., 2014 122).



gráficas. De acuerdo con él, las unidades significativas de una expresión alge-braica son: 1) los signos relacionales (<, >, =, …), 2) los símbolos de operación o de signo (+, −), 3) los símbolos de la variable, y 4) los símbolos de exponente, de coeficiente y de constante. En el caso de la representación gráfica, las variables generales son: 1) la implementación de la tarea (un trazo: =, o una zona: >, <) y 2) la forma de la tarea (recta o curva).

Para la función lineal y = ax + b , el autor propone tres variables visuales a tomar en cuenta para la conversión de los registros gráfico y algebraico: 1) sentido de inclinación, 2) ángulos con los ejes y 3) posición del trazo respecto al origen del eje vertical. Para cada uno de esos valores corresponde una unidad simbólica significativa en la expresión algebraica. En este caso, importan el coeficiente a y la constante b. Por ejemplo, el sentido de inclinación puede ser ascendente (a > 0) o descendente (a < 0); el ángulo formado con el eje hori-zontal puede ser simétrico (a = 1), menor (a < 1) o mayor (a > 1) que el forma-do con el eje vertical, y la posición del trazo respecto al origen del eje vertical puede cortar arriba (b > 0), abajo (b < 0) o en el origen (b = 0). Un análisis si-milar para la función y = ax 2 + bx + c permitió determinar tres variables visua-les de la parábola y unidades simbólicas significativas que se corresponden semióticamente con los parámetros a, b y c, definidos respecto a su signo y no a su valor absoluto. Las variables visuales están basadas en que la figura que se desprende es un trazo (=) y el trazo realizado es una curva abierta.

Las tres variables que se proponen son: 1) la abertura de la parábola, 2) la posición del vértice respecto del eje y, y 3) la intersección de la curva con el eje y. Las variables visuales abertura e intersección de la curva con el eje son las mismas que contemplan los libros de texto analizados (sección 2). Nuestra aportación se encuentra en la variable visual posición del vértice respecto del eje y. Para identificar la correspondencia semiótica entre las variables visuales del registro gráfico y unidades simbólicas significativas del registro algebraico, Duval (1992) sugiere “hacer variar una unidad significativa de la escritura man-teniendo constantes todas las otras y ver qué es lo que sucede con el otro re-gistro (o hacer variar cada variable visual manteniendo constantes las otras dos y ver las modificaciones de la escritura)” (p. 130). Además, de acuerdo con el autor, es necesario explorar todas las variaciones posibles. Duval (2006) recono-ce que un software “puede dar una percepción dinámica de la transformación de representación frente al soporte estático del papel” (p. 159). En efecto, un software dinámico como GeoGebra es una herramienta prometedora para iden-tificar la correspondencia semiótica entre los registros gráfico y algebraico de la



función. Es reconocido que el uso de programas computacionales dinámicos favorecen la generación instantánea de múltiples representaciones de un ob-jeto matemático, como lo es la función cuadrática, así como la interacción si-multánea entre esas representaciones (e. g., Oaxaca y Valderrama, 2000; Sandoval, 2011; Huapaya 2012). Además, los sistemas multi-representacionales permiten un entendimiento más profundo sobre las relaciones entre tales repre-sentaciones (Ainsworth, 2006). A continuación, se muestran imágenes que ilus-tran las tres variables visuales de la parábola y sus respectivas unidades simbólicas de la representación algebraica mediante el software GeoGebra.

Se diseñó una tarea partiendo de la representación algebraica y = ax 2 + bx + c como registro inicial; como registro final, la representación gráfica. Las tareas fueron creadas con la herramienta de barras deslizadoras que representan va-lores reales en un rango deseado (ver figura 7). Al escribir en la barra de entra-da la expresión ax 2 + bx + c , el programa puede crear las barras deslizadoras de manera automática para cada una de los parámetros a, b y c. Por defecto, el valor que le asigna a esos parámetros es igual a 1.

Figura 7. Creación de la tarea con las barras deslizadoras.



3.1 concavIdad de la Parábola (arrIba o abajo)

La representación gráfica es una curva abierta que, al tratarse de una parábola vertical, la concavidad puede ser hacia arriba o hacia abajo. Esta variable visual se establece a partir de la unidad simbólica que corresponde al signo del coe-ficiente del término cuadrático (a), el cual puede tomar valores negativos (a < 0) y positivos (a > 0) en .

Para determinar lo que podría cambiar en el registro gráfico cuando se mo-difica el coeficiente a, se anima la barra deslizadora correspondiente a dicho coeficiente y se puede seleccionar la opción de “rastro” (ver figura 8) para apre-ciar el movimiento de la representación gráfica. Lo que se distingue es una familia de parábolas que tienen en común el valor de b y c, los cuales perma-necen fijos; la concavidad cambia cuando el valor de a pasa de positivo a ne-gativo y viceversa. La concavidad de la curva es hacia arriba cuando a > 0 y cuando a < 0 la concavidad es hacia abajo.

3.2 PosIcIón del vértIce resPecto al eje y (derecha, sobre e IzQuIerda)

Se consideró la posición como una variable visual que centra la atención en una característica cualitativa y no en una numérica, como lo sería el valor de las coordenadas del vértice. En este caso, la posición del vértice respecto del eje y se coordina con el producto de los signos de los coeficientes del término cua-drático y lineal (a y b). A diferencia de los libros analizados y de la propuesta de Benítez (2004), quienes proponen sólo el parámetro b, en esta propuesta es el producto de signos de los parámetros a y b las unidades simbólicas de la ex-presión algebraica de la función cuadrática lo que es pertinente considerar.

Para apreciar el cambio en el registro gráfico al variar el signo del producto ab, se fijan los parámetros a y b. Primero se explora lo que sucede cuando se fija el coeficiente a en un valor positivo y se deja variar b (ver figura 9). Al animar la barra del coeficiente b y seleccionar la opción de “rastro” tanto para el punto del vértice como para la curva, se observa que cuando b > 0 el vértice se mue-ve siempre del lado izquierdo del eje (rastro azul del vértice). Cuando b < 0, el vértice se mueve del lado derecho. Cuando b = 0, el punto del vértice se encuen-tra sobre el eje y.

En la figura 10 se aprecia el caso cuando se fija el coeficiente a en un valor negativo. En este caso, cuando b toma un valor positivo (b > 0), la posición del



Figu

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vértice se ubica del lado derecho del eje y. Mientras que, cuando b toma valores negativos (b < 0), el vértice se mueve del lado izquierdo del eje y. Ambas figuras muestran que cuando ab > 0 el vértice se mueve del lado izquierdo; en tanto si este producto es negativo (ab < 0), el desplazamiento es hacia la derecha del eje y ; en el caso de que el producto sea igual a cero (ab = 0), el vértice de la parábola está sobre el eje y.

3.3 InterseccIón de la curva con el eje y

Esta variable visual se relaciona con el corte de la curva, tomando como punto de referencia el origen del eje y. El corte de la curva con el eje y queda estable-cido por el signo de c. Si c > 0 la parábola corta al eje y en la parte positiva; en caso contrario, si c < 0 corta al eje y en la parte negativa y cuando c = 0 lo corta en el origen. En la aplicación de GeoGebra se varía la constante c, y se fijan los parámetros a y b (ver figura 11). Con la selección de la opción de “ras-tro” del punto C, punto donde la parábola interseca al eje y, así como de la parábola, se puede apreciar que cuando c toma valores positivos (c > 0), se tiene una familia de parábolas que intersectan el lado positivo del eje ; cuando toma valores negativos (c < 0), la intersección cambia del eje de los valores positivos al de los negativos. Estos mismos valores se mantienen cuando a < 0 (ver figura 12).

Mediante un análisis de congruencia realizado con el software GeoGebra se han presentado las modificaciones pertinentes de la escritura general de la función cuadrática. El análisis muestra la asociación “variable visual de la repre-sentación-unidad significativa de la escritura algebraica” sugerida por Duval (1988) como una vía de interpretación global. En la Tabla 1 se resumen las variables visuales y sus respectivas unidades simbólicas de los registros gráfico y algebraico de la función cuadrática derivados del análisis.



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l eje

y p

ara

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0.



tabla 1. Valores de las variables visuales y unidades simbólicas significativas para la función: y = ax 2 + bx + c .

variables visuales valoresunidades simbólicas

significativas

Concavidad de la curva Cóncava hacia arriba a > 0

Cóncava hacia abajo a < 0

Posición del vértice respecto al eje y

A la derecha del eje ab < 0

Sobre el eje b = 0

A la izquierda del eje ab > 0

Intersección de la curva con el eje y

Por arriba o parte positiva del eje c > 0

En el origen c = 0

Por abajo o parte negativa del eje c < 0

La combinación de estos valores muestra 18 representaciones distintas vi-sualmente (ver tabla 2). Además, de acuerdo con Duval (2006) “cada caracterís-tica visual particular puede ser distinguida solamente a través de la oposición de dos gráficas y cada característica visual particular se combina con una ca-racterística semántica de la ecuación y no con la función representada” (p. 152).

4. El Estudio

En este artículo describimos un estudio en el que un profesor del sistema edu-cativo del TEBAEV, como parte de su tesis de licenciatura, diseñó una experien-cia didáctica con sus estudiantes a fin de identificar el reconocimiento que ellos hacían respecto de las variables visuales y unidades simbólicas significativas de los registros gráfico y algebraico de la función cuadrática. La experiencia didác-tica se realizó en un ambiente computacional con el objetivo de que los estu-diantes, con apoyo del profesor, analizaran las variables visuales del registro gráfico y unidades simbólicas significativas de la notación algebraica de la función cuadrática, propuestas en este artículo (sección 3). El profesor manifes-tó que él no suele utilizar algún tipo de software en su enseñanza.



tabla 2. Combinaciones de las unidades simbólicas significativas de la función y = ax 2 + bx + c .

a > 0

b > 0 [ab > 0]c > 0, c = 0, c < 0

b = 0 [ab = 0]c > 0, c = 0, c < 0

b < 0 [ab < 0]c > 0, c = 0, c < 0

g(x) = 3x² + 2x + 1f(x) = 3x² + 2x

h(x) = 3x² + 2x - 1

g(x) = 3x² + 1f(x) = 3x²

h(x) = 3x² - 1

g(x) = 3x² - 2x + 1f(x) = 3x² - 2x

h(x) = 3x² - 2x - 1

a < 0

b > 0 [ab < 0]c > 0, c = 0, c < 0

b = 0 [ab = 0]c > 0, c = 0, c < 0

b < 0 [ab > 0]c > 0, c = 0, c < 0

g(x) = -3x² + 2x +1f(x) = -3x² + 2x

h(x) = -3x² + 2x -1

g(x) = -3x² + 1f(x) = -3x²

h(x) = -3x² - 1

g(x) = -3x² - 2x + 1f(x) = -3x² - 2x

h(x) = -3x² - 2x - 1



4.1 PartIcIPantes

Los estudiantes a cargo del profesor fueron 14 alumnos (entre los 16 y 18 años de edad) que cursaban el cuarto semestre del nivel medio superior, inscritos en el Telebachillerato Río Uxpanapa, Veracruz. Los alumnos reciben un total de cinco horas a la semana de la materia de Matemáticas IV. Como se mostró en la sección 2, en este curso (Matemáticas IV) y en dos previos (Matemáticas I y Matemáticas III) los estudiantes abordan contenidos acerca de la función cuadrática.

4.2 la exPerIencIa dIdáctIca

La experiencia consistió en una sesión de clase (60 minutos) utilizando el sof-tware GeoGebra. La sesión se llevó a cabo dentro de las instalaciones de la escuela, en el centro de cómputo. Se asignó una computadora por cada dos alumnos. El profesor explicó a los estudiantes que la finalidad de la actividad era explorar las variaciones que experimentaba la parábola cuando los coefi-cientes de la función f x( ) = ax 2 + bx + c se hacían variar. El profesor tuvo la libertad de diseñar y organizar la actividad a su parecer. Por ello, cabe aclarar que el diseño que implementó difiere del mostrado en la sección 3 del presen-te artículo.

El diseño del profesor consistió en graficar la función cuadrática en GeoGe-bra, utilizando la opción de barras deslizadoras y agregando algunos elementos. Así obtuvo una pantalla en la que se apreciaban los siguientes elementos: la gráfica, las barras deslizadoras correspondientes a cada parámetro, la expresión de la función cuadrática, el producto de los parámetros a y b, el punto donde la parábola corta al eje y y el punto del vértice (ver figura 13). El profesor tomó la decisión de mostrar el producto de los parámetros a y b con la intención de que los estudiantes apreciaran la coordinación entre el producto de signos de los parámetros y la posición del punto del vértice de la parábola con respecto al eje y. Además, decidió mostrarles la expresión de la función en su forma general, y no la expresión correspondiente a la parábola graficada, a fin de que los estudiantes describieran la expresión algebraica que le correspondía a la parábola graficada, según los valores de los parámetros que mostraban las barras deslizadoras.



Dado que el profesor ya tenía el diseño de la actividad cuando inició la clase, sólo les describió a los estudiantes los elementos que se mostraban en la pantalla, sin mencionar que el producto se correspondía con el desplazamien-to del vértice respecto del eje y. Les indicó a los estudiantes que al deslizar el punto sobre cada una de las tres barras los valores de los coeficientes aumen-tarían o disminuirían y que con ello se obtendrían transformaciones de la pará-bola. Posterior a las explicaciones, los estudiantes hicieron variar los parámetros y analizaron las características que observaban en la gráfica, las cuales escri-bieron en su cuaderno.

Una vez que los alumnos interactuaron con GeoGebra analizaron la relación que tenían los valores de los coeficientes a, b y c con las transformaciones que sufría la gráfica al variar dichos valores. De acuerdo con el profesor, la concavi-dad fue lo primero que los alumnos relacionaron con el signo del coeficiente a, al igual que el valor de c reconociéndolo como el punto en donde la parábola intersectaba al eje y. Fue de mayor dificultad relacionar el producto ab con la posición que presentaba la gráfica con respecto al eje y, sin embargo, una vez que fueron realizando los ejercicios se percataron de que el signo del producto estaba en relación con dicha posición de la gráfica.

Figura 13. Copia de pantalla de la actividad realizada por el profesor.



4.3 recoleccIón de datos

Los datos para el estudio son las respuestas de los estudiantes a un cuestiona-rio de tareas de reconocimiento cualitativo que se aplicó en dos momentos: antes y después de realizar la actividad de GeoGebra. El profesor aplicó el cuestionario para identificar si, con los temas estudiados en el curso de Mate-máticas IV según los textos analizados en la sección 2, los estudiantes hacían uso de las variables visuales y unidades simbólicas significativas en el recono-cimiento de tareas. El mismo cuestionario se aplicó a los estudiantes después de haber realizado la actividad en GeoGebra.

Primera aplicación. Tuvo lugar en el aula de clases, en presencia del profesor de matemáticas a cargo del grupo, un día después de haber terminado el es tudio de los temas de la función cuadrática, correspondientes al bloque III del libro de Matemáticas IV (ver sección 2.2). El profesor indicó a los estudiantes responder el cuestionario tomando en cuenta los temas estudiados. Además, les hizo hin-capié en que debían responder las preguntas que acompañaban a cada una de las tareas del cuestionario, las cuales justificarían sus respuestas.

Segunda aplicación. Al igual que la primera, los estudiantes respondieron el mismo cuestionario en presencia de su profesor de matemáticas. La segunda aplicación del cuestionario sucedió un día después de la actividad desarrollada con GeoGebra; 2 días posteriores a la primera aplicación. Es decir, el profesor aplicó el cuestionario por primera vez, posterior al cierre del bloque III de Mate-mática IV, al día siguiente realizó la actividad con GeoGebra y un día después aplicó de nuevo el cuestionario.

El cuestionario se compone de cuatro tareas de reconocimiento cualitativo. De acuerdo con Duval (2006), este tipo de tareas implica un registro de inicio y un registro de destino, distintos en su sistema semiótico. Para distinguir las características visuales del registro de inicio, la tarea debe incluir la oposición de dos o más representaciones en el registro de destino. Pasar de un registro a otro, por medio de una vía de interpretación global, exige diferenciar las variables visuales o unidades significativas de las representaciones en el mismo registro de destino para ponerlas en correspondencia con la represen-tación del registro de inicio.



4.4 análIsIs de las tareas

Las cuatro tareas de reconocimiento cualitativo se agruparon en dos secciones. En la primera, tareas 1 y 2, la conversión se da del registro gráfico (registro de inicio) al algebraico (registro final). En las siguientes dos tareas (3 y 4), segunda sección, la conversión se da del registro algebraico (registro de inicio) al gráfico (registro final), el proceso inverso.

Dado que el estudiante podía seleccionar el registro final con base en otros tratamientos, distintos a la vía de interpretación global, cada una de las cuatro tareas se acompañaron de las siguientes preguntas: ¿Cómo determinas tu res-puesta? ¿Qué elementos de la gráfica te permitieron elegir la expresión algebrai-ca correspondiente? ¿Qué elementos de la expresión algebraica te sirvieron para elegir la gráfica correspondiente? La respuesta a estas preguntas permite iden-tificar si la conversión de la tarea estuvo, o no, basada en un reconocimiento cualitativo.

4.4.1 Del registro gráfico al algebraico (tareas 1 y 2)

Figura 14. Tareas 1 y 2.

En la tarea 1, un reconocimiento cualitativo implica discriminar que la parábola es cóncava hacia arriba (registro de inicio), lo cual nos indica que el signo del coeficiente a es positivo (registro de salida). Esta observación excluye las opcio-nes de los incisos a) y c). Dado que la parábola tiene su vértice en el origen,



b = 0 e intersecta al eje y en el origen, c = 0, la expresión que describe la grá-fica dada es la del inciso d.

En la tarea 2 se tiene una parábola cóncava hacia abajo, por lo cual el coe-ficiente a del término cuadrático es menor que cero. Debido a que la gráfica tiene su vértice sobre el eje y, b = 0. Además, la gráfica intersecta al eje y en la parte positiva, en 4, por lo que el valor del coeficiente c debe ser positivo.

En ambas tareas, la discriminación de las variables visuales de abertura de la parábola e intersección con el eje y eran suficientes para seleccionar el regis-tro algebraico correspondiente.

4.4.2 Del registro gráfico al algebraico (tareas 3 y 4)

El registro de inicio es la expresión algebraica de la función cuadrática, las dos unidades simbólicas necesarias para asociar el registro gráfico correspondiente son: el producto de los coeficientes a y b y el valor del coeficiente independien-te c. Dado que los tres registros gráficos finales son parábolas cóncavas hacia arriba, no era necesario discriminar la unidad simbólica a > 0. Se puede obser-var que en el registro algebraico el producto ab > 0, por lo que el vértice debe estar a la izquierda del eje y ; se descarta la gráfica del inciso c. Se observa además que c = −4, lo que descarta la opción a. De ahí que ambas unidades son necesarias para discriminar el registro final correcto, el cual se encuentra en la opción b.

Figura 15. Tarea 3.



En la tarea 4, la discriminación de las unidades simbólicas de los parámetros a y c es suficiente para asociar el registro gráfico correspondiente. Al ser a > 0, se descarta la gráfica de la opción a, y al identificar que c = −3, la gráfica corta en y = −3, se tiene que las variables visuales de la gráfica de la opción b, co-rresponden a esas dos unidades simbólicas significativas.

Figura 16. Tarea 4.

Las respuestas de los estudiantes se analizaron según el tipo de tratamien-to que el estudiante dijo haber usado para pasar de un registro a otro. Por ello, los datos analizados son las respuestas que dieron los estudiantes a cada una de las preguntas que incluía la tarea: ¿Cómo determinas tu respuesta? ¿Qué elementos de la gráfica te permitieron elegir la expresión algebraica correspon-diente? ¿Qué elementos de la expresión algebraica te sirvieron para elegir la gráfica correspondiente? El análisis de las respuestas se centró en el reconoci-miento de las variables visuales y unidades simbólicas significativas, así como en la asociación variable visual-unidad simbólica significativa, antes y después de la actividad con GeoGebra.

5. rEsultAdos

Los 14 estudiantes eligieron las opciones correctas tanto en la primera como en la segunda aplicación del cuestionario. Lo que difiere de una aplicación a otra es la discriminación de esas variables y unidades simbólicas significativas para



elegir el registro de destino. Así como la asociación entre la variable visual del registro gráfico y la unidad simbólica significativa del registro algebraico.

En las siguientes gráficas se muestra la frecuencia con que fueron recono-cidas cada una de las variables visuales de las gráficas (figura 17) y las unida-des simbólicas significativas en la expresión algebraica (figura 18) en el total de tareas analizadas (4 tareas x 14 estudiantes: 56).

34

1

16

11

9

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Concavidad

Intersecciónconelejever2cal

Posicióndelvér2cerespectodelejever2cal

Tareas

Discriminacióndelasvariablesvisuales

Despuésdelaac4vidadconGeoGebra Antesdelaac4vidadconGeoGebra

Figura 17. Discriminación de las variables visuales.

En la primera aplicación del cuestionario, antes de la actividad con GeoGe-bra, la variable concavidad fue reconocida en 34 de las tareas, mientras que la variable de intersección de la curva con el eje y tuvo sólo un reconocimiento. En el caso de la variable posición del vértice respecto del eje y, las 15 de las 16 tareas que la mencionan, se refieren a la posición del vértice como coordenada (e. g., “cuyo vértice es el origen” o “cuyo vértice es el número 4”). Es decir, el re-conocimiento es sobre un punto y no sobre un desplazamiento de la parábola, sólo 1 tarea (tarea 4) tiene este último reconocimiento (“está hacia la derecha”). Después de la actividad con GeoGebra, el reconocimiento de las variables vi-suales concavidad y posición del vértice respecto del eje y disminuyó, mientras que la variable intersección de la curva con el eje y aumentó, fue reconocida en 9 tareas. Además, de las 6 tareas que mencionaron la posición del vértice res-pecto del eje y, 5 reconocieron dicha variable más como un desplazamiento o traslación de la curva que como un punto (coordenada del vértice).



El reconocimiento de unidades simbólicas significativas de la expresión al-gebraica fue mayor después de la actividad con GeoGebra. El parámetro b fue el de mayor discriminación. Antes de la actividad con GeoGebra, se discriminó sólo la unidad simbólica b (“el valor de b es cero”) y no el producto ab. Después de la actividad con GeoGebra, de las 14 tareas que discriminaron dicha unidad simbólica, 4 respuestas mencionaron la unidad simbólica ab, por ejemplo: “por-que el punto de b es positivo, su producto de a es positivo” (tarea 3); “porque el producto de a × b es 0” (tarea 1).

0

0

2

8

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14 16

a>0oa<0

c=0,c>0oc<0

ab=0,ab>0oab<0

Tareas

Discriminacióndelasunidadessimbólicassignifica3vas

Despuésdelaac8vidadconGeoGebra Antesdelaac8vidadconGeoGebra

Figura 18. Discriminación de las unidades simbólicas significativas.

En esta segunda gráfica (figura 18) se muestra evidencia de que la actividad con GeoGebra favoreció la discriminación de las características semánticas (uni-dades simbólicas significativas) de la expresión algebraica y, en especial, de la unidad simbólica ab.

En 15 de las 54 tareas analizadas, antes de la actividad con GeoGebra, se identificó el uso de procedimientos numéricos (tabulación) para determinar los puntos de intersección de la parábola. No se puede afirmar que tales procedi-mientos hayan sido determinantes para articular los registros, pues también se menciona el reconocimiento ya sea de una variable visual o unidad simbólica significativa en al menos una tarea. Después de la actividad con GeoGebra ninguna tarea se acompañó de, o mencionó, algún procedimiento numérico.



A pesar de que los datos de la primera gráfica (figura 17) muestran un me-nor reconocimiento de las variables visuales de la gráfica después de la actividad con GeoGebra, dicho reconocimiento se centró en una modificación conjunta de la gráfica y de la forma de la escritura algebraica. En otras palabras, después de la actividad con GeoGebra, las variables visuales de la gráfica fueron reco-nocidas en conjunto con las unidades simbólicas significativas de la escritura algebraica. En las siguientes gráficas se muestra la frecuencia del reconocimien-to conjunto de las variables visuales de la gráfica y las unidades simbólicas significativas de la expresión algebraica en cada una de las tareas.

6 64

2

7

11

46

02468

1012

Tarea1 Tarea2 Tarea3 Tarea4

Frecue

ncia

Variableconcavidad-unidadsimbólicaa

Antesdelaac5vidadconGeoGebra

Despuésdelaac5vidadconGeoGebra

Figura 19. Variable concavidad - unidad simbólica a.

En el caso de la asociación variable visual de concavidad y su unidad sim-bólica (figura 19), se observa una mayor diferencia en las tareas 2 y 4. En la tarea 2, después de la actividad con GeoGebra, 11 de los 14 estudiantes asocia-ron la abertura hacia abajo de la parábola con la unidad simbólica negativa del parámetro a. Algunas respuestas que muestran dicha asociación son: “la con-cavidad hacia abajo el valor de a debe ser negativo” (tarea 1); “la gráfica es cóncava hacia abajo el valor de a es negativo” (tarea 2); “la parábola es cónca-va hacia arriba, el valor de a es positivo” (tarea 3); “porque el valor de es posi-tiva la concavidad de la gráfica es hacia arriba“ (tarea 4).



1 1 10

5

7

4

7

0

2

4

6

8


Frecue

ncia

Variableintersecciónconelejey-unidadsimbólicac

Antesdelaac6vidadconGeoGebra

Despuésdelaac6vidadconGeoGebra

Figura 20. Variable intersección con el eje y - unidad simbólica c.

Una diferencia más marcada se aprecia en la asociación de la variable in-tersección de la curva con el eje y y su unidad simbólica c (figura 20). De nuevo, las tareas 2 y 4 muestran una mayor incidencia. Se puede apreciar que antes de la actividad con Geogebra, sólo un estudiante en tres tareas discriminó y asoció la variable visual y su unidad simbólica. Ejemplos de dicha asociación son: “su intersección está en el origen c = 0” (tarea 1), “su punto de intersección debe ser positivo c = 4” (tarea 2), “su punto de intersección es negativo ” (tarea 3). Después de la actividad con GeoGebra, el reconocimiento de la asociación aumentó en promedio en 5 estudiantes por tarea. Algunas respuestas fueron: “porque es cero, su punto de intersección está en el origen” (tarea 1); “c = 4, la c es positiva, su intersección está en el 4 positivo” (tarea 2); “su punto de inter-sección del eje y entonces el valor de c es 4” (tarea 3); “su intersección es nega-tiva, c = −3” (tarea 4).

Un cambio relevante se dio en la asociación de la variable posición del vér-tice respecto del eje y y su unidad simbólica b (figura 21). Relevante por dos razones: 1) fue la de menor asociación antes de la actividad con GeoGebra y, después de la actividad con GeoGebra, no sólo se presentaron casos de asocia-ción, sino que además, 2) se discriminó el producto ab y no sólo el parámetro b.

La tarea 3, como se mencionó en la sección 4.4.2, implicaba una discrimina-ción de la variable posición del vértice respecto del eje y y su relación con el parámetro b. Como el parámetro a de la expresión algebraica (registro de inicio) era positivo, el reconocimiento de que b > 0, asociado con el desplazamiento a



la izquierda de la gráfica, era suficiente para elegir el registro final. De ahí que antes de la actividad con GeoGebra un estudiante lo discriminó, mencionó “está hacia la izquierda, b = 5“. El alumno reconoce que la unidad simbólica b > 0 implica un desplazamiento de la gráfica hacia la izquierda.

0 01

0

3

1

8

4

0123456789


Frecue

ncia

Variableposicióndelvér4cerespectodelejey-unidadsimbólicaab

Antesdelaac7vidadconGeoGebra Despuésdelaac7vidadconGeoGebra

Figura 21. Variable posición del vértice respecto del eje y - unidad simbólica ab.

Después de la actividad con GeoGebra, la unidad simbólica ab fue discrimi-nada en 11 de los 16 reconocimientos (1 en la tarea 1, 6 en la tarea 3 y 4 en la tarea 4). Algunas respuestas que evidencia esta discriminación son: “porque el producto debe ser positivo, el vértice se encuentra en el centro” (tarea 1), “la gráfica se desplaza hacia la izquierda, el producto de a × b es positivo” (tarea 3), “la desplaza hacia la derecha y el producto de a x b es negativo” (tarea 4). En los 5 reconocimientos restantes, sólo se discriminó el parámetro b, por ejem-plo: “porque b = 0 y el vértice está en el origen” (tarea 1), “no está hacia la de-recha ni a la izquierda, b = 0” (tarea 2), “está trasladada hacia la izquierda, b = 5” (tarea 3).

6. ConClusionEs y ConsidErACionEs FinAlEs

En este artículo se ha presentado y explorado una propuesta de tres variables visuales de la parábola que están en correspondencia semiótica con el signo de las unidades simbólicas a, b y c de la escritura algebraica de la función



cuadrática. En la exploración, al enfrentarse los estudiantes a las tareas de re-conocimiento cualitativo en las que tenía que comparar expresiones o gráficas visualmente semejantes, antes de la actividad con GeoGebra, se observó:

• Uso de cálculos numéricos (como la tabulación) para ir de un registro a otro.

• Una mayor discriminación de la concavidad de la parábola, sin asociarla con su unidad simbólica en la escritura algebraica.

• Un reconocimiento casi nulo tanto de la intersección de la curva con el eje y (variable visual) como del parámetro c (unidad simbólica significativa). Este hecho es interesante, pues dicha variable parece presentar menos dificultad al asociarla con la ordenada al origen (0, c).

• Un reconocimiento del parámetro b asociado a un punto específico de la curva (coordenada del vértice).

Después de la actividad con GeoGebra, se observó:

• Ausencia del uso de cálculos numéricos para ir de un registro a otro. • Una mayor presencia de la asociación de las tres variables propuestas y sus respectivas unidades simbólicas.

• Un mayor reconocimiento de la variable intersección de la curva con el eje y y de la unidad simbólica significativa

• Un reconocimiento cualitativo de la unidad simbólica ab, asociado a una posición del vértice y no a un punto específico. La discriminación de esta unidad simbólica es un gran aporte, pues su estudio no se aborda en los libros de texto analizados.

Los resultados de la exploración muestran que el uso de GeoGebra presen-ta un gran potencial para el tratamiento de la vía de interpretación global, pues permite discriminar la congruencia entre las características visuales de la pará-bola y las semánticas de la expresión algebraica que intervienen para la con-versión de tales representaciones. Además, los resultados evidencian que no es posible asumir que los estudiantes perciben de manera natural la relación se-miótica entre las características visuales y las unidades simbólicas significativas de los registros gráfico y algebraico de la función después de un curso tradicio-nal. Si bien el papel del profesor y otros factores intervienen en ello, es impor-tante señalar que este artículo proporciona una estrategia para que el profesor,



además del libro de texto, aprecie la potencialidad que un software dinámico le brinda para favorecer la enseñanza de la vía de interpretación global. El estudio que aquí se reportó muestra que un día de exploración de la relación entre las unidades simbólicas y las características visuales de los registros algebraico y gráfico de la función cuadrática mediante GeoGebra tuvo mejores resultados que todo el estudio a través de los libros de texto. Mayor aún el aporte si se toma en cuenta que el profesor de Telebachillerato imparte no sólo matemáticas, sino todas las disciplinas que se estudian en este sistema, de ahí que la formación del profesor no siempre es de matemáticas, por lo que este tipo de estrategias son un gran recurso para él.

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ContribuCiones a la doCenCia


DOI: 10.24844/EM2903.08

“un minuto para matemáticas”. una experiencia de diversión, aprendizaje y divulgación al explorar patrones numéricos

“A minute for Mathematics”. An Experience of Fun, learning and outreach through the Exploration of numeric Patterns

romy Adriana Cortez godinez1

resumen. El presente texto muestra una experiencia de divulgación de las matemáticas a través de la exploración de patrones numéricos con material concreto; se fundamenta en las bondades del juego (De Guzmán, 2007) y en el empleo del razonamiento inductivo en la construcción de generalizaciones (Osorio, 2012; Cañadas, Castro y Castro, 2008). Los resultados revelan el empleo de estrategias en la búsqueda de patrones, trabajo colaborativo y motivación hacia las matemáticas. Se concluye que la propuesta es un valioso escenario para las tareas de generalización y la divulgación de la ciencia.

Palabras clave: patrones numéricos, juego, divulgación.

Abstract. This paper shows an experience of popularization of mathematics through the exploration of numeric patterns with concrete material; it is based on games benefits (De Guzman, 2007) and on the use of inductive reasoning to construct generalizations (Osorio, 2012; Cañadas, Castro y Castro, 2008). The results reveal the use of strategies in the search for patterns, collaborative work

Fecha de recepción: 16 de agosto de 2016. Fecha de aceptación: 25 de febrero de 2017.1 Universidad Autónoma de Nayarit. Área de Ciencias básicas e Ingenierías. [email protected]



and motivation toward math. It is concluded that the proposal is a valuable scenario for the purposes of generalization and dissemination of science.

Key words: number patterns, games and disclosure.

introduCCión

De acuerdo con el Programa de Estudios 2011 Cuarto Grado de la Secretaría de Educación Pública de México (SEP), la formación matemática que reciba el niño en la escuela puede traer como consecuencias: “el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y reproducirlas, la bús-queda de argumentos para validar resultados o la supeditación de éstos al cri-terio docente” (SEP, 2011, p. 65), a los efectos del escenario planteado, las tendencias didácticas establecen que: es necesario utilizar situaciones problemá-ticas que impliquen los conocimientos y habilidades que se quieren desarrollar; presenten obstáculos, que su solución requiera de sus conocimientos previos para la reestructuración —ampliar, modificar, rechazar o reutilizar— de lo que se sabe. Ante tales consideraciones, toma especial relevancia el diseño de estrategias para la enseñanza de las sucesiones en el cuarto grado de educación primaria.

dEsArrollo

De acuerdo con Merino, Cañadas y Molina (2013) la generalización es la clave para la generación del conocimiento matemático, y al respecto Polya 1966 (ci-tado por Merino, Cañadas y Molina, 2013) enfatiza que el reconocimiento de patrones es esencial en la habilidad para generalizar.

El estudio de patrones constituye una forma productiva para desarrollar el pensamiento algebraico en los grados elementales (Ferrini, Lappan y Phillips, 1997 citados por Osorio 2012); Butto y Rojano (2010) señalan que el trabajo con patrones en edades tempranas debe incluir:

La exploración de patrones y funciones que permitan al estudiante: descubrir, exten-der, analizar y crear diversos patrones; describir y representar relaciones con tablas, gráficas y reglas; analizar relaciones funcionales para explicar cómo un cambio en una cantidad provoca un cambio en la otra; y usar patrones y funciones para repre-sentar y resolver problemas (p.62-63).

“Un minuto para matemáticas”. Una experiencia de diversión, aprendizaje y divulgación . . .


Las tareas de generalización, implican la búsqueda de patrones y su solución demanda encontrar un elemento a partir de otro conocido (Merino, Cañadas y Molina, 2013). Cuando los alumnos estudian patrones emplean el razonamien-to inductivo, debido a que parten de situaciones particulares en las que se ob-servan regularidades que tienden a generalizar (Osorio, 2012) y en este sentido, cabe destacar lo señalado por Cañadas, Castro y Castro (2008) la inducción es un poderoso medio para realizar descubrimientos matemáticos.

Consecuentemente, las sucesiones forman parte de los contenidos de es-tudio de la educación primaria en México en el eje de contenidos llamado “Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico”. Este eje conlleva la exploración de propiedades aritméticas que en la secundaria podrán ser generalizadas con el álgebra. En lo que respecta al cuarto grado, las sucesiones no consti-tuyen un tema en sí, se incluyen en el estudio del rubro números y sistemas de numeración; el concepto se trabaja de manera intuitiva y la secuencia de contenidos es gradual.

Primero, se abordan regularidades en sucesiones con progresiones aritmé-ticas y se buscan términos faltantes. Posteriormente, se resuelven problemas que implican sucesiones compuestas y se determinan patrones en figuras com-puestas hasta con dos variables. Finalmente, se identifican y aplican regulari-dades de sucesiones con figuras, es decir progresiones geométricas (SEP, 2011).

Por otra parte, de acuerdo con Bruner (citado por Rivas, Fajardo, y Villalba, 2011) el juego es una forma de usar la inteligencia y, casi todo, puede permitir su existencia dentro de ciertos límites (Arana, y Sánchez-Navarro, 2009). Tradi-cionalmente la matemática ha guardado una estrecha relación con el juego, por dos cuestiones primordiales: a) recrear el quehacer interno de la matemática y b) sus virtudes para su enseñanza; entre estas últimas destacan: motivar al alumno con situaciones atractivas y recreativas, desarrollar habilidades y destre-zas, dejar atrás la rigurosidad tradicional (De Guzmán, 2007).

El juego como contenido implica definir los modos, las intenciones, los es-pacios, los momentos y las intervenciones docentes, sin perder de vista su sig-nificado intrínseco, esparcimiento y recreación (Sarlé, 2013).

Atendiendo a los planteamientos anteriores, surgió “un minuto para mate-máticas”. En una primera fase se diseñó con el objeto de contribuir en el apren-dizaje de sucesiones aritméticas; se implementó bajo la siguiente secuencia en un grupo de 4° grado de educación primaria en el ciclo escolar 2014-215.



un minuto para matemáticas

Propósito

Contribuir en el aprendizaje de sucesiones aritméticas.

Características

Combina elementos del juego reglado y de habilidad, dado que con-lleva destreza para la construcción de las pirámides y el cumplimien-to de una normativa. El juego se desarrolla en equipos, los cuales de manera simultánea realizan el mismo reto bajo la coordinación del profesor; se constru-yen pirámides diferentes en cada reto y se asignan puntos, el gana-dor surgirá al finalizar el juego tras comparar los puntos acumulados. Ganar el juego dependerá de la habilidad para construir las pirámi-des en el tiempo establecido o en el menor posible. Adicionalmente se plantea, un momento, análisis mediante acciones y cuestionamientos orientados a la descripción de estrategias para identificar la secuencia de los números, así como la argumentación de procesos para establecer una expresión matemática que repre-sente el comportamiento de dicha sucesión.

Materiales

100 vasos de plástico para cada equipo, cronómetro, tablero de registro, marcadores, lápiz, borrador y hojas de trabajo.

desarrollo de la actividad (descripción/consigna)

1. Se invita a los niños a salir del aula para jugar y se organizan equipos de 8 integrantes. A cada equipo se le asignan 100 vasos de plástico.

orientación de las intervenciones docentes

Se habrá de observar que los equipos sean heterogéneos.

2. Se coloca el tablero en un lugar visible.

3. Se explica en qué consiste la actividad: construir por equipo una pirámide de 3 niveles en 20 segundos o menos. El equipo que lo consiga, gana un punto. Posteriormente deben construir la pirámide que se indique.

Establecer los retos y tomar el tiempo. Apoyarse en la siguiente distribución.

Reto Niveles Tiempo

1 3 20 segundos

2 4 20 segundos

3 5 30 segundos

4 8 60 segundos

5 10 60 segundos

6 12 60 segundos




Observar el uso conceptos y argumentos matemáticos; monitorear el trabajo en equipo, designar al ganador del reto y registrarlo.

4. Cuando se llegue al reto 5, es posible que ningún equipo logre superarlo en el tiempo establecido, si esto sucede, la actividad cambia. Ahora en la construcción de las pirámides de 10 y 12 niveles, ganará el equipo que lo haga en el menor tiempo posible.

Establecer las nuevas reglas del juego y tomar el tiempo. Observar la presencia conflictos y estrategias de solución.

Determinar y registrar al ganador del juego.

5. Se entrega a cada equipo una hoja de trabajo, en ella deberán completar la tabla y reflexionar sobre los cuestionamientos (anexo 1).

Monitorear la comprensión de las instrucciones.

Tomar nota de las situaciones que presentan más dificultades.

6. En plenaria se comentan los resultados de la hoja de trabajo.

Invitar a los niños a socializar sus resultados.

Orientar la reflexión acerca los procedimientos realizados para completar la hoja de trabajo.

Recuperar las producciones del equipo.

De esta primera fase se puede inferir dos momentos bien diferenciados: la construcción y análisis. En referencia al primero, es posible señalar que los alumnos estaban motivados y trabajaron de manera colaborativa, ya que explo-raron distintas formas de superar los retos y las dificultades que esto representó (establecimiento de roles, sortear con la resistencia, el equilibrio, entre otras); se observó un diálogo constante, ver Figura 1.

En el segundo momento, la indisponibilidad de los vasos obligó a los equi-pos a implementar diversas estrategias para pasar de la acción a la construcción de ideas. Los resultados muestran que sólo dos de los tres equipos completan



la tabla, proporcionando un resultado correcto en los términos 1°, 2°, 3°, 4°, 5°, 6°, 7° y 8°; así mismo proporcionaron argumentos en sus hojas de trabajo.

En relación a los primeros términos (1°, 2°, 3°, 4° y 5°) se observa en los tres equipos la experiencia previa de los niños, dado que no hubo necesidad de realizar alguna reconstrucción, mientras que en los términos restantes (6°, 7°, 8° y 9°) se presentaron dificultades y un trabajo singular en cada equipo.

Equipo 1: sostiene la realización de sumas para determinar cada término, a pesar de ello se aprecia error en el último término. No encontraron el patrón y justificaron su proceder con lenguaje común al señalar “contamos los vasos y supimos el resultado”.

Figura 1. Equipos trabajando de manera colaborativa.

Figura 2. Hoja de trabajo equipo 1.



Equipo # 2: no completa la sucesión adecuadamente ni presenta planea-mientos de estrategias.


Equipo # 3: completa acertadamente 9 de los 10 términos de la sucesión, asume el uso de cálculos “multiplicación y suma” para determinar los términos faltantes. De la figura 4 (ver página siguiente) se puede inferir que en el término 10° el equipo falla, al relacionar 100 como múltiplo de 10 y como tal, aplicarle el mismo procedimiento que la multiplicación por 10, aumentarle un cero al número que se multiplicó, es decir, 55 × 10 = 550, aunque el resultado es inco-rrecto el equipo utilizó argumentos matemáticos.

De estos fragmentos podemos inferir que se parte de un conocimiento ya adquirido, que los errores cometidos están relacionados con asociaciones inco-rrectas y falta de validación del resultado.




Simultáneamente a su desarrollo, la consigna causó gran interés en la co-munidad escolar a tal grado que en el siguiente ciclo escolar 2015-2016 se implementó una segunda fase. Al comienzo el propósito persistía, contribuir en el aprendizaje de las sucesiones aritméticas, no obstante, la fase tomó un rum-bo radical, transformar estos momentos de diversión y aprendizaje en una pro-puesta de divulgación de las matemáticas.

A partir del análisis de la primera fase “un minuto para matemáticas” cambia, se reconoce el peso de las matemáticas en contexto para su divulgación, se introducen actividades y se pone el acento en la incorporación de niños moni-tores para mostrar la matemática a través de su perspectiva. Y para tal efecto se llevaron a cabo los siguientes procesos:

selección de los monitores. Se establecieron dos criterios, actitudes positivas y habilidades matemáticas.



diseño. Se reflexionó y analizó con los monitores la presencia de las mate-máticas en la consigna y como mostrarlas a la comunidad de manera sen-cilla; se realizaron adecuaciones y se estableció validarla a partir de la percepción de los participantes y sus producciones (ver anexo 2). implementación. Se llevó a cabo con los grupos de cuarto grado en el patio escolar, los participantes y monitores se mostraron entusiastas en todo momento.

Figura 5. Los grupos de 4° realizando retos con orientación de los monitores.

validación. Se establecieron dos unidades de análisis para validar la pro-puesta: identificación de términos faltantes y relevancia. La primera de ellas se determinó a partir del análisis de la hoja de trabajo y la segunda median-te una encuesta de percepción (anexo 2). De acuerdo a las producciones de los equipos, para ninguno de ellos resul-tó evidente la regularidad numérica, esto puede deberse a la familiaridad que tenían los niños con las sucesiones aritméticas, no entendieron el cues-tionamiento. En el análisis realizado a los términos de las sucesiones, se encontró que 62% de los equipos completó acertadamente la serie, el resto incurrió en errores. Los errores fueron principalmente de cálculo (23%) y aplicación de reglas (15%). Se puede notar que en los casos 1, 2 y 3 los resultados provienen de errores al sumar y la falta de verificación.

Figura 6. Caso 1.



Figura 7. Caso 2.

Figura 8. Caso 3

Por su parte en los casos 4 y 5, el error se produce por la deformación de la regla. Se encontró que en el primer caso el equipo definió como patrón (n+1), mientras que en el último, el hecho fue duplicar, del tal forma que la regla se determinó como 2n

Figura 9. Caso 4.

Figura 10. Caso 5.

Paralelamente se determinó la motivación y el trabajo en equipo, sobre estos se encontró que todos los participantes gustaron de la actividad y sólo 7% no volvería a hacerlo (anexo 3).

Finalmente, la última fase se desarrolló fuera del contexto escolar, en el marco del concurso Expociencias Nayarit 2015 que se llevó a cabo el día 15 de octubre de 2015 en el Museo Interactivo de Ciencias e Innovación de Nayarit.



Figura 11. Participación en el concurso Expociencias.

Esta etapa se caracterizó por la divulgación, los niños dieron a conocer la propuesta, sus resultados, así como los aprendizajes que se promueven. Deriva-do de la presentación, la participación fue muy nutrida y atrajo el interés de grandes y chicos, fue sin duda una actividad muy enriquecedora tanto para ponentes como asistentes.

En cuanto a los asistentes, podemos señalar que vivieron una experiencia recreativa que les causó grandes expectativas, superar sus propias marcas y las de otros; en esta etapa se consideraron retos individuales diferenciados para niños y adultos, inicialmente se invitaba a cada jugador a superar el reto, sí el jugador lo deseaba podía hacerlo varias veces, posteriormente se analizaban los tiempos y se determinaba si podía formar parte del tablero de records; segui-damente se les entregaba una hoja para completar la sucesión. Finalmente, se utilizaban los resultados planteados para exponer cómo en el juego estaban presentes las matemáticas.

Figura 12. Participación de los espectadores.



Por su parte los ponentes tuvieron la oportunidad de divertirse divulgando la ciencia y a la vez, desarrollar habilidades para transitar del lenguaje común al lenguaje matemático.

ConClusionEs

Los resultados aquí registrados muestran la factibilidad del juego para iniciar a los niños en las tareas de generalización, esto en vista de la experiencia que desarrollaron al explorar patrones numéricos, la cual permitió identificar qué su-cedía con la cantidad de vasos al variar el nivel de la pirámide; esta práctica didáctica constituye un escenario para el análisis de la construcción del cono-cimiento, para el trabajo colaborativo y la divulgación de la ciencia de manera divertida y con materiales cotidianos. No obstante, los resultados obtenidos, conviene señalar que estos no dependen propiamente del juego, sino de la posibilidad de propiciar un ambiente de reflexión y participación activa.

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Cañadas, M., Castro, E., y Castro, E. (2008). Patrones, generalización y estrategias induc-tivas de estudiantes de 3° y 4° de Educación Secundaria Obligatoria en el Problema de las Baldosas. PNA , 2(3), 137-151

De Guzmán, M. (2007). Enseñanza de las ciencias y la matemática. Revista Iberoameri-cana de Educación, No. 43, 19-58.

Merino, E., Cañadas, M. y Molina, M. (2013). Estrategias utilizadas por alumnos de pri-maria en una tarea de generalización que involucra relaciones inversas entre dos variables. En A. Berciano, G. Gutiérrez, A. Estepa y N. Climent (Eds.), Investigación en Educación Matemática XVII (pp. 383-392). Bilbao: SEIEM.

Osorio, C. (2012). Procesos de generalización que intervienen en el aprendizaje del alumno al hacer uso de sucesiones. En Flores, Rebeca (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 75-83). México, DF: Comité Latinoamericano de Ma-temática Educativa A. C.



Rivas, D., Fajardo, E., y Villalba, D. (2011). Aplicación de juegos en clase, una mirada desde la ingeniería didáctica. Revista Ciencia e Ingeniería. 32(4), 2011. Caracas, VE: Red Universidad de Los Andes.

Sarlé, P. M. (2013). Lo importante es jugar… Cómo entra el juego en la escuela. Buenos Aires, AR: Homo Sapiens Ediciones.

SEP (2011). Plan de Estudios 2011. Educación Básica. México: SEP.



Anexo 1. hoja de trabajo



Anexo 2. variaciones de la secuencia “un minuto para matemáticas”.


Propósito

Divulgar las matemáticas de una manera lúdica.

Características

Combina elementos del juego reglado y de habilidad, dado que conlleva destreza para la construcción de las pirámides y en el cumplimiento de una normativa. El juego se desarrolla en equipos, los cuales de manera simultánea realizan el mismo reto bajo la coordinación de los monitores; se construyen pirámides diferentes en cada reto y se asignan puntos, el ganador surgirá al finalizar el juego tras comparar los puntos acumulados. Ganar el juego dependerá de la habilidad para construir las pirámides en el tiempo establecido o en el menor posible.

Adicionalmente se plantea un momento análisis mediante acciones y cuestionamientos orientados a la descripción de estrategias para identificar la secuencia de los números, así como la argumentación de procesos para establecer una expresión matemática que represente el comportamiento de dicha sucesión.

desarrollo de la actividad (descripción/consigna)

1. El profesor invita a los niños a jugar y les indica que para tal efecto contarán colaboración de monitores.

2. Se invita a los niños a salir del aula para jugar y se organizan equipos de 4 integrantes. A cada equipo se le asignan 100 vasos de plástico.

orientación intervención docente

Proporcionar ayudas contingentes.

orientación intervención del monitor.

Dar a conocer las instrucciones de la actividad.

Distribuir el material.

3. Se coloca el tablero en un lugar visible.




4. Se explica en qué consiste la actividad: construir por equipo una pirámide de 3 niveles en 20 segundos o menos. El equipo que lo consiga, gana un punto. Posteriormente se construyen la pirámide que se indique.

Observar el uso conceptos y argumentos matemáticos; identificar los roles del equipo.

Establecer los retos y tomar el tiempo. Apoyarse en la siguiente distribución.

Reto Niveles Tiempo

1 3 20 segundos

2 4 20 segundos

3 5 30 segundos

4 8 60 segundos

5 10 60 segundos

6 12 60 segundos

Verificar el cumplimiento del reto y determinar el ganador.

5. Cuando se llegue al reto 5, es posible que ningún equipo logre superarlo en el tiempo establecido, si esto sucede la actividad cambia. Ahora en la construcción de las pirámides de 10 y 12 niveles, ganará el equipo que lo haga en el menor tiempo posible.

Observar la presencia conflictos y estrategias de solución.

Dar a conocer las nuevas reglas del juego y tomar el tiempo.

6. Se entrega a cada equipo una hoja de trabajo, en ella deberán completar la tabla y reflexionar sobre los cuestionamientos.

Tomar nota de las situaciones que presentan más dificultades.

Distribuir la hoja de trabajo y verificar la comprensión de las instrucciones.

7. En plenaria cada equipo socializan los resultados.

Cuestionar para orientar la reflexión acerca los procedimientos realizados.

Recuperar las producciones de los equipos (hojas de trabajo).

Invitar a los niños a socializar sus resultados.

Asignar turnos de participación.




8. Se muestra como en la construcción de las pirámides están presentes las matemáticas.

Monitorear el desarrollo de la actividad.

Proporcionar ayudas contingentes.

Exponer como en el juego realizado están presentes las matemáticas; hacer énfasis entre la cantidad de vasos en cada nivel y la identificación de una regularidad numérica, y como está permite determinar los términos de una sucesión.

Dirigir las reflexiones para establecer cómo a través de actividades lúdicas es posible conocer la matemática.

Se entrega una papeleta a cada niño para valorar el trabajo en equipo, la motivación y la comprensión de la actividad.

Monitorear el desarrollo de la actividad.

Promover el análisis y la reflexión.

Distribuir papeleta de evaluación.

Proporcionar ayuda sobre el llenado de la papeleta.

Fomentar la participación objetiva.

Materiales

100 vasos de plástico para cada equipo, cronómetro, tablero de registro, marcadores, lápiz, borrador.

Hoja de trabajo.




Encuesta.



Anexo 3. Percepción de la actividad

gráfico 1. ¿Te gustó la actividad?

si no

0102030405060

Fácil Regular Complicado

Títulodelgrá>ico

0

20

40

60

80

100

Si No

gráfico 2. ¿Cómo fue el trabajo el equipo?

si no

0102030405060


Títulodelgrá>ico

0

20

40

60

80

100

Si No

gráfico 3. ¿Participarías nuevamente en juegos matemáticos?

si no

0102030405060


Títulodelgrá>ico

0

20

40

60

80

100

Si No


Política editorial

La revista Educación MatEMática es una publicación internacional arbitrada, publicada por la Sociedad Mexicana de Investigación y Divulgación de la Edu-cación Matemática A.C., que ofrece un foro académico para la presentación y discusión de ideas, conceptos, propuestas y modelos que puedan contribuir a la comprensión y la mejora de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en diversos contextos y latitudes. La revista aparece tres veces al año y publica artículos de investigación, ensayos teóricos sobre temas relacionados con la educación matemática y contribuciones para la docencia en matemáticas sus-tentadas teóricamente. Adicionalmente, difunde reseñas de libros y eventos rele-vantes para la comunidad interesada en la educación matemática.

oBJEtivos

Educación MatEMática se propone:

• Actuar como un foro académico internacional en lengua española en el que se discutan problemáticas y hallazgos en torno a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en diferentes contextos.

• Promover la investigación de alta calidad en educación matemática en los países iberoamericanos.

• Facilitar la comunicación entre investigadores, estudiantes de posgrado y maestros de matemáticas.

• Colaborar en la comprensión de la naturaleza, la teoría y la práctica de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

lECtorEs

Educación MatEMática está dirigida a investigadores de la educación matemática, estudiantes de posgrado, maestros en formación y en ejercicio, diseñadores de programas y proyectos educativos, evaluadores, administradores y cuadros téc-nicos vinculados con la educación matemática.

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PrinCiPAlEs tEMÁtiCAs

El contenido de Educación MatEMática se orienta principalmente a los siguientes temas:

• Educación matemática en el nivel básico. • Educación matemática en el nivel preuniversitario. • Educación matemática en el nivel universitario. • Los sistemas educativos y las políticas educativas en educación matemática. • Saberes matemáticos y procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en contextos no escolares.

• Historia y epistemología de las matemáticas y de la educación matemática.

inForMACión PArA los AutorEs

• La revista Educación MatEMática publica artículos de investigación y otras contribuciones (ensayos, contribuciones para la docencia y reseñas) en español, en portugués, y eventualmente en inglés o francés, en las temáticas enlistadas en esta Política Editorial.

• Todos los escritos que se reciben se someten a un proceso de evaluación doble-ciego.

• El Comité Editorial, con base en los resultados de la evaluación de los escritos, se reserva el derecho de aceptar o rechazar un material o hacer sugerencias de corrección para su publicación. Así mismo, se reserva el derecho de ubicar la contribución en la sección de la revista que considere más conveniente conforme a la política editorial.

• La Sociedad Mexicana de Investigación y Divulgación de la Educación Matemática tendrá los derechos de publicación de los artículos aceptados, para lo cual el autor debe firmar una licencia de publicación no exclusiva que se hará llegar a los autores una vez aprobada la publicación. En esta licencia, el autor o los autores se comprometen también a asegurar que son los legítimos propietarios de la contribución, que ésta es original y que no existen problemas de derechos de autor con terceros.

• La publicación y reproducción de los artículos se efectuará dentro de la Revista Educación MatEMática en su puesta a disposición a través de medios electrónicos. La Sociedad Mexicana de Investigación y Divulgación de la Educación Matemática, se compromete a incluir el nombre de los autores

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en lugar visible en toda reproducción del artículo, otorgándoles así el crédito que les corresponde.

CuEstionEs dE étiCA

Educación MatEMática es un órgano de difusión que se sustenta en la ética de la investigación y también busca promoverla, por lo que tiene como política editorial: respetar la pluralidad de ideas y enfoques; conservar la confidencialidad durante todo el proceso de evaluación acerca de los escritos recibidos; evitar conflictos de interés; evaluar objetivamente los escritos propuestos; respetar permanentemente los criterios de evaluación establecidos; no publicar escritos que pudiesen ser resultado de prácticas poco éticas.

Con el fin de cumplir los puntos anteriores, nuestra política permanente ha sido y seguirá siendo:

• Publicar trabajos con acercamientos y marcos conceptuales diversos, con-siderando únicamente como criterio de publicación la calidad, originalidad y rigor de los escritos.

• Publicar sólo trabajos cuyos autores hayan firmado una carta señalando que son los legítimos autores del escrito y que éste no implica conflicto de derechos intelectuales o de cualquier otro tipo con terceros.

• Evaluar los trabajos propuestos mediante el sistema de doble ciego, con el fin de evitar posible pérdida de objetividad por parte de los árbitros.

• No utilizar como evaluadores a colegas pertenecientes a la misma institu-ción o red de investigación que los autores.

• Ponderar si el número de autores corresponde a la cantidad de trabajo implicada en la investigación de la que deriva el artículo. No se aprobarán artículos cuyo número de autores resulte excesivo por la magnitud del trabajo presentado.

• Establecer con los evaluadores compromiso de confidencialidad, mediante anotación en el formato de evaluación.

CArACtErístiCAs y PrEPArACión dE los EsCritos

La revista Educación MatEMática publica artículos en español y en portugués, y eventualmente en inglés y francés. Los autores de artículos en los idiomas

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distintos al español deberán aceptar que los dictámenes estén elaborados en este idioma.

Artículos de investigación:

• Deberán tener originalidad y rigor y mostrar, explícitamente, el aparato conceptual y metodológico utilizado.

• Prepararse electrónicamente, en Word o en algún otro procesador compatible. • Deberán tener un máximo de 10 000 palabras, incluidos resumen, notas, referencias bibliográficas, tablas, gráficas y figuras. Se recomienda amplia-mente que en total la extensión del artículo no sea mayor de 20 cuartillas.

• Se deberá incluir un resumen de entre 150 y 180 palabras en el idioma en que se haya escrito. Además, se incluirá una versión en inglés del título y el resumen, y cinco palabras clave en los dos idiomas elegidos.

• El anonimato de los artículos, para su envío a los árbitros, correrá por cuenta de los autores. Los editores no eliminarán ni los nombres, ni las citas o referencias que permitan identificar a los autores.

• En archivo aparte, deberá prepararse una carátula que contenga: a) título del artículo; b) declaración de que el material es original e inédito y que no se encuentra en proceso de revisión para otra publicación (debe men-cionarse, explícitamente, si el material ha sido presentado previamente en congresos y ha aparecido de manera sintética [máximo seis cuartillas] en las memorias del mismo); c) el nombre, institución de adscripción (incluido Campus, Departamento, Facultad o División, conforme a la organización institucional), dirección electrónica, teléfono, domicilio completo (incluyendo código postal) del autor o los autores.

• Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo del escrito. En caso de que el artículo sea aprobado, se enviarán las fotografías o ilustraciones en formatos .jpg, .tif o .eps, insertos en el docu-mento y también en archivo aparte, con una resolución mínima de 300 dpi.

• Deberá evitarse el uso de siglas, acrónimos o referencias locales que no sean conocidas por un lector internacional; si éstas se utilizan, deberá explicitarse su significado a pie de página, la primera vez que aparezcan.

• Las referencias dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991: 51).

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• Al final del artículo se debe incluir la ficha bibliográfica completa de todas las referencias citadas en el texto siguiendo el modelo APA.

Bang, V. (1965). De l’intuition Géometrique : Construction de la plus grande surface possible à`partir d’un périmetre constant. En V. Bang y E. Lunzer. Conservations Spatiales. París: Presses Universitaires de France. 39-58

Corberán, R. M. (1996). Análisis del concepto de área de superficies planas. Estudio de su comprensión por los estudiantes, desde primaria a la universidad. Tesis de doctorado en Ciencias Matemáticas. España: Universidad de Valencia.

D’Amore, B. & Fandiño, M.I. (2006). Area e perimetro. Aspetti concettuali e didaticci. Italia: Centro Studi Erickson.

Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE). Bases de datos Excale. Recuperado el 15 de abril de 2017, desde www.inee.edu.mx

Leder, G., H. Pehkonen & G. Törner (Eds.). (2002). Beliefs: A hidden Variable in Mathematics Education? Netherlands: Kluwer Academic Publishers.

Stephanou, L. & D. Pitta-Pantazi (2006). The impact of the intuitive rule “if A then b, if not A then not B”, in perimeter and area tasks. En J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká & N. Stehlíková (Eds.). Proceedings 30th Conference of the Interna-tional Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 5, Prague: PME. 177-184.

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• En los casos en que los trabajos citados tengan DOI, éste deberá anotarse a continuación de la ficha bibliográfica.

Ensayos

Educación MatEMática publica ensayos de alta calidad con un máximo de 7000 palabras (y 15 cuartillas incluyendo imágenes y bibliografía), que aborden de manera rigurosa y original algún tema relevante en el campo de la educación matemática. A diferencia de los artículos, los ensayos implican la interpretación de un tema desde el punto de vista del autor, sin que sea necesario explicitar el aparato metodológico o documental específico que lo sustenta, ni aportar datos empíricos. Los ensayos se someten al mismo proceso de arbitraje que los artículos de investigación.

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Contribuciones para la docencia

Educación MatEMática considera para su publicación un número limitado de Contribuciones para la docencia, consistentes en propuestas originales de pre-sentación de un tema, acercamientos novedosos con sustento conceptual que hayan sido probados en clase. Así mismo, se consideran en esta sección puntos de vista y análisis fundamentados conceptualmente sobre algún programa o material educativo relevante y, en general, cualquier producto de la experiencia en el aula o de planeación de proyectos en educación matemática que se hayan elaborado con sustento conceptual y rigor metodológico y que se considere valioso compartir con los investigadores del campo y los docentes de los distintos niveles educativos. Las contribuciones para la docencia no deberán exceder las 7000 palabras o 15 cuartillas incluyendo tablas, gráficas y figuras, y deberán enviarse en formato Word, con los mismos lineamientos de presentación que los artículos.

rEsEñAs

Educación MatEMática publica también reseñas de libros especializados, libros de texto, software, tesis de doctorado y eventos relevantes relacionados con las temáticas de la revista y que hayan aparecido recientemente. Las reseñas deben expresar el punto de vista de su autor; es decir, que no serán meramente des-criptivas, y no excederán 2 000 palabras. Asimismo, deben incluir la ficha com-pleta del texto o software reseñado; el nombre, institución de adscripción y el correo electrónico del autor. En el caso de las reseñas de tesis de doctorado, se incluirá también el grado, institución, director de tesis y fecha de defensa. Las reseñas serán revisadas al interior del Comité Editorial.

ProCEso dE ArBitrAJE

Aspectos generales

Todos los manuscritos recibidos están sujetos al siguiente proceso de arbitraje: el Comité Editorial hace una primera revisión del manuscrito para verificar si cumple los requisitos básicos para publicarse en Educación MatEMática. Esta revisión interna se realiza en un plazo de seis semanas. En este término, se notificará por correo electrónico al autor si su manuscrito será enviado a

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evaluadores externos. En el caso en que el manuscrito no se considere adecuado para su eventual publicación en Educación MatEMática, se expondrán, por escrito, las razones al autor.

Con el fin de asegurar la originalidad de los escritos, durante el proceso de arbitraje, tanto el Comité Editorial como los evaluadores podrán hacer búsquedas electrónicas para evaluar la originalidad de los artículos.

Artículos y ensayos

Las contribuciones que cumplan los requisitos básicos para ser evaluadas serán enviadas para arbitraje doble-ciego de dos expertos en el tema. Esta segunda etapa del proceso de arbitraje se realizará en un plazo de dos meses. Al término de este periodo, el autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial: Aceptado en su versión original, Aceptado con modificaciones menores, Aceptación condicionada a incorporación de modifica-ciones mayores, o Rechazado.

Cuando sea el caso, el autor deberá responder electrónicamente si está de acuerdo o no en elaborar una segunda versión de su contribución, incorporando los cambios propuestos. La versión revisada, acompañada de una relación de los cambios efectuados, deberá enviarse en un periodo no mayor de seis semanas. Si el autor o autores envían su segunda versión en un plazo mayor al estipulado, el escrito será considerado como nueva contribución, y se reiniciará el proceso de arbitraje.

En el caso en que un árbitro apruebe una contribución con modificaciones menores y otro la rechace, la contribución será enviada a un tercer revisor. Pre-valecerá la opinión de dos de los tres árbitros.

Cuando en la segunda revisión de un escrito los árbitros vuelvan a solicitar correcciones mayores, el artículo se considerará rechazado. Se sugerirá al autor o autores reelaborarlo tomando en consideración las observaciones de los árbitros y reiniciar el proceso de envío del escrito que se recibirá como un nuevo artículo para su arbitraje.

Contribuciones para la docencia

Las contribuciones para la docencia se someten a un proceso de arbitraje en el que participan como árbitros un miembro del Comité Editorial y un árbitro externo. Los plazos del proceso son los mismos que para los artículos y los ensayos. En

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caso de discordancia en las evaluaciones, se seguirá un proceso similar al de artículos y ensayos.

reseñas

Las reseñas son evaluadas por un miembro del Comité Editorial y el resultado de su evaluación se comunica al autor una vez que haya sido discutido en el pleno del Comité Editorial. Para hacer la evaluación, en este caso, se consideran la actualidad y relevancia del objeto de la reseña y la calidad de la perspectiva personal que el autor incorpora en su escrito.

Envío dE los EsCritos

Los escritos deberán enviarse en archivo electrónico a través de la página www.autores-educacion-matematica.org.mx


Árbitros 2017

nombre institución País

Martín ACOSTA GEMPELER Universidad Distrital Francisco José Caldas Colombia

Luis Manuel AGUAYO RENDÓN Universidad Pedagógica Nacional-Zacatecas México

Tulio AMAYA DE ARMAS Universidad de Sucre Colombia

Alejandra AVALOS ROGEL Escuela Normal Superior de México México

Alicia AVILA Universidad Pedagógica Nacional México

Pilar AZCÁRATE Universidad de Cádiz España

Hugo BALBUENAUniversidad Pedagógica Nacional-Unidad Ajusco

México

Gustavo BARALLOBRES Universidad de Quebec en Montreal Canadá

Berta BARQUERO Universidad de Barcelona España

David BENÍTEZ MOJICA Universidad del Valle Colombia

Silvia BERNARDIS Universidad Nacional del Litoral Argentina

Mariana BOSCH Universidad Ramon Llull, Barcelona España

Claudia BROITMAN Universidad Nacional de la Plata Argentina

Gabriela BUENDÍA Colegio Mexicano de Matemática Educativa México

Alberto CAMACHO RÍOS Instituto Tecnológico de Chihuahua II México

Leonor CAMARGO Universidad Pedagógica Nacional Colombia

Reginaldo Fernando CARNEIRO Universidad Federal de Juiz de Fora Brasil

Pablo CARRANZA Universidad Nacional de Río Negro Argentina

Vicente CARRIÓN-VELÁZQUEZ Universidad Nacional Autónoma de México México

Alicia CARVAJAL Universidad Pedagógica Nacional México

Apolo CASTAÑEDADepartamento de Investigaciones Educativas-CINVESTAV

México

Nuria CLIMENT Universidad de Huelva España

Árbitros 2017


Francisco CORDERODepartamento de Matemática Educativa-CINVESTAV

México

Olda COVIÁNInstituto Nacional para la Evaluación de la Educación

México

José Luis CORTINAUniversidad Pedagógica Nacional- Unidad Ajusco

México

Enrique DE LA TORRE Universidad de la Coruña España

Crisólogo DOLORES Universidad Autónoma de Guerrero México

Vicente Domingo ESTRUCH FUSTER

Universidad Politécnica de Valencia España

Daniel EUDAVE Universidad Autónoma de Aguascalientes México

Ceneida FERNÁNDEZ-VERDÚ Universidad de Alicante España

José Antonio FERNÁNDEZ-PLAZA Universidad de Granada España

Ana Cristina FERREIRA Universidad de Minho Brasil

Ángel Homero FLORES Universidad Nacional Autónoma de México México

Rosa del Carmen FLORES MACÍAS

Universidad Nacional Autónoma de México México

Eric FLORES-MEDRANOBenemérita Universidad Autónoma de Puebla

México

Alejandro GARCIADIEGO DANTÁN

Universidad Nacional Autónoma de México México

Silvia GARCÍA-PEÑA Profesionista independiente México

José María GAVILÁN Universidad de Sevilla España

Claudia GÓMEZ WULSCHNER Instituto Tecnológico Autónomo de México México

Ana Luisa GÓMEZ BLANCARTECentro de Investigación en Ciencia Aplica-da y Tecnología Avanzada- Instituto Politéc-nico Nacional

México

María Teresa GONZÁLEZ-ASTU-DILLO

Universidad de Salamanca España

Edith GOROSTEGUI Universidad Nacional del Nordeste Argentina

Árbitros 2017


Elgar GUALDRÓN Universidad de Pamplona Colombia

Santiago INZUNZA CÁZARES Universidad Autónoma de Sinaloa México

Javier LEZAMACentro de Investigación en Ciencia Aplica-da y Tecnología Avanzada- Instituto Poli-técnico Nacional

México

Salvador LLINARES Universidad de Alicante España

Ana MAROTO Universidad de Valladolid España

Miguel Ángel MÁRQUEZ Universidad Autónoma de Aguascalientes México

César MARTÍNEZ HERNÁNDEZ Universidad de Colima México

Maria Rosa MASSA-ESTEVE Universitat Politècnica de Catalunya España

Miguel MERCADO MARTÍNEZ Colegio de Ciencias y Humanidades-UNAM México

Alejandro MIGUEL ROSASCentro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada - Instituto Politécnico Nacional

México

Francisco Javier MONJE Universidad de Alicante España

Miguel Ángel MONTES Universidad de Huelva España

Mónica OLAVE Instituto de Profesores Artigas Uruguay

Antonio OLLER MARCÉNCentro Universitario de la Defensa/Universi-dad Nacional de Educación a Distancia.

España

David PÁEZ Universidad Autónoma de Aguascalientes México

Sandra Evely PARADA Universidad de Santander Colombia

Verónica PARRAUniversidad nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires.

Argentina

Olga Yaneth PATIÑOUniversidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia/Normal SuperiorSantiago de Tunja

Colombia

Cristina PECHARROMÁN Universidad de Valladolid España

Patricia PÉREZ-TYTECA Universidad de Alicante España

Luis Roberto PINO FAN Universidad de Los Lagos Chile

Árbitros 2017


Jesús PINTO SOSA Universidad Autónoma de Yucatán México

Marcel POCHULU Universidad Nacional de Villa María Argentina

Paulino PRECIADO BABB Universidad de Calgary Canadá

Aarón Reyes Universidad Autónoma de Hidalgo México

Francisco ROJAS Pontificia Universidad Católica de Chile Chile

John ROJAS Universidad Pedagógica Nacional Colombia

Beatriz QUINTOSUniversidad de Maryland Estados Unidos

de América

Samantha QUIROZ RIVERA Universidad Autónoma de Nuevo León México

Mirela RIGO LEMINIDepartamento de Matemática Educativa- CINVESTAV

México

Solange ROA Universidad Industrial de Santander Colombia

Rosa María RODRÍGUEZ AGUILAR

Universidad Autónoma del Estado de México

México

Ruth RODRÍGUEZ GALLEGOS Tecnológico de Monterrey México

Ana Isabel SACRISTÁNDepartamento de Matemática Educativa- CINVESTAV

México

Patricia SADOVSKY Universidad Pedagógica de Buenos Aires Argentina

Hilda SALGADO Instituto Tecnológico Autónomo de México México

educacIón matemátIca

se terminó de editar y diagramar en Formas e Imágenes, S.A. de C.V.,[email protected]

en noviembre de 2017.

Educación MatEMática es una publicación internacional arbitrada, que ofrece un foro interdisciplinario para la presentación y discusión de ideas, conceptos y modelos que puedan ejercer una influencia en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. La revista publica artículos de investigación y ensayos teóricos sobre temas relacionados con la educación matemática. Educación MatEMática aparece tres veces al año y es indexada en zdM (Zentralbatt für Didaktik der Mathematik), MathDi (MathEducDatabase), Índice de Revistas Mexicanas de Investigación Científica y Tecnológica del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, Latindex, rEdalyc (Red de revistas científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal), Scientific Electronic Library Online (sciElo) y Clase (Citas Latinoamericanas en Ciencias Sociales y Humanidades). Las colaboraciones son recibidas en la plataforma www.autores-educacion-matematica.com Mantenemos el contacto: [email protected]

Producción

Alicia Avila StorerEditora en Jefe


Luis Manuel AguayoUniversidad Pedagógica Nacional, Unidad Zacatecas, México, [email protected]

Gustavo BarallobresUniversidad de Quebec en MontrealCanadá, [email protected]

Leonor Camargo UribeUniversidad Pedagógica Nacional de [email protected]

Ceneida Fernández VerdúUniversidad de Alicante, España, [email protected]

Josep GascónUniversidad Autónoma de Barcelona, Españ[email protected]

Salvador Llinares CiscarUniversidad de Alicante, Españ[email protected]

Paulino Preciado BabbUniversidad de Calgary, Canadá[email protected]

Luis RadfordUniversité Laurentienne, Canadá[email protected]

Ana Isabel Sacristán RockDepartamento de Matemática Educativa, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, ipn, México, [email protected]

Diana Violeta SolaresUniversidad Autónoma de Querétaro, Mé[email protected]

María Trigueros GaismanDepartamento de Matemáticas, Instituto Tecnológico Autónomo de México, Mé[email protected]

Avenilde Romo VázquezCentro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (cicata), Instituto Politécnico Nacional, México, [email protected]

Mario Sánchez AguilarCentro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (CICATA), Instituto Politécnico Nacional, México, [email protected]

Gloria Sánchez-MatamorosUniversidad de Sevilla, España, [email protected]

Ernesto Sánchez SánchezDepartamento de Matemática Educativa.Centro de Investigación y de estudios Avanzados. IPN. México, [email protected]

Armando Solares RojasUniversidad Pedagógica Nacional, Mé[email protected]

Yolanda ChávezGestión de arbitrajes

Rodolfo Méndez Gestión y operación

José Luis Cortina Editor Asociado


Comité editorial

Formas e Imágenes, S.A. de C.V. Diseño y corrección, [email protected]

Leticia Pérez Solís Diagramación, [email protected]





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www.revista-educacion-matematica.com

México • vol. 29 • núm. 3 • diciembre de 2017

Versión electrónica ISSN: 2448-8089


�� Enseñanza de la matemática por recorridos de estudio e investigación: indicadores didáctico-matemáticos de las “dialécticas” Verónica Parra y María Rita Otero § ARGENTINA

�� ¿A qué tipo de problemas matemáticos están expuestos los estudiantes de Cálculo? Un análisis de libros de texto. Adriana Berenice Valencia y Ricardo Valenzuela § MÉXICO

�� Aproximación al conocimiento común del contenido para enseñar probabilidad desde el modelo del conocimiento didáctico-matemático. Claudia Vásquez Ortiz y Ángel Alsina § CHILE-ESPAÑA

�� Realidades escolares en las clases de matemáticas. Alfonso Jiménez Espinosa y Alba Soraida Gutiérrez-Sierra § COLOMBIA

�� Análisis de las decisiones del profesor de matemáticas en su gestión de aula Diego Garzón Castro § COLOMBIA

�� Indagación de la historia de las desigualdades matemáticas Silvia Bernardis, Liliana Nitti y Sara Scaglia § ARGENTINA

�� Propuesta para el tratamiento de interpretación global de la función cuadrática mediante el uso del software GeoGebra Ana Luisa Gómez Blancarte, Rebeca Guirette, Felipe Morales-Colorado § MÉXICO

�� “Un minuto para matemáticas”. Una experiencia de diversión, aprendizaje y divulgación al explorar patrones numéricos Romy Adriana Godínez § MÉXICO

Documents

Versión electrónica ISSN: 2448-8089 diciembre de 2017 ... · Indagación de la historia de las desigualdades matemáticas Silvia Bernardis, ... Formas e Imágenes, S.A. de C.V.,