Se non ci è possibile cambiare questo mondo che non merita amore, cosa ci resta? Non consentire di venire ingannati.Per vedere e sapere. Per sapere come vedere.

M. Kundera

Il problema principale

L’arte contemporanea e la tecnologia producono una vasta quantità di dati vi-sivi. Noi crediamo che la gestione, l’identificazione e la classificazione di questidati sia uno dei problemi principali di oggi. Parecchie aree della scienza con-temporanea si concentrano su queste questioni riguardanti sia il livello teoricoche quello pratico. Queste aree includono, per esempio, campi diversi come lachimica, l’intelligenza artificiale, l’elaborazione delle immagini, il disegno grafi-co, la robotica e la teoria della complessità.

La nostra ricerca è stata eseguita in tutte le possibili direzioni e testata lar-gamente (soprattutto) su dati tecnici. Infatti, molti algoritmi sono progettatiper essere utilizzati con dati e situazioni di una tipologia molto particolare(come progetti grafici o modellazione di superfici di un certo materiale). Anco-ra oggi è proprio questa varietà ad esigere un’unificazione e una codifica deiprincipi fondamentali alla base dell’analisi visuale. Riteniamo che la presenzadi un aspetto estetico di questo tipo di analisi sia uno dei possibili principiunificatori.

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Verso un’estetica matematica

MARTIN BÁLEK, JAROSLAV NESETRIL

Sembra che l’aspetto estetico sia onnipresente nel giudizio che si dà alle infor-mazioni visive. Anche in aree più tecniche e “non artistiche” esiste un giudizioestetico. A volte è presente solo minimamente, dando un senso di armonia, be-nessere, soddisfazione e attrattiva. Il giudizio che si dà alle informazioni visiveinclude sempre dei criteri estetici.

Come analizzare l’aspetto estetico, come esprimerlo? È possibile misurarlo edanalizzarlo nella speranza di riuscire poi a sintetizzarlo in maniera esatta? Que-sto è il problema principale sul quale ci concentreremo. In questo articolo con-tinuiamo a sviluppare i nostri primi tentativi [1-5], che a loro volta erano moti-vati dai precedenti sforzi sia di artisti che di scienziati. Bisognerebbe citare an-che [6] ed i lavori pionieristici [7-9], che presentano vedute estremamente con-cise e coerenti. Tutti questi lavori convalidano il nostro punto di vista, cioè chegli aspetti estetici delle informazioni visive dovrebbero essere sperimentati sul-l’arte (e che gli artisti devono essere coinvolti). È chiaro che né la semantica nél’ontologia dei sentimenti estetici sono conosciute. Vari lavori (per esempio[10]) tracciano in maniera eccezionale questi problemi nel contesto della neu-robiologia e presentano sia prove convincenti (sebbene a volte un po’ speculati-ve) di spiegazioni fisiologiche dell’evoluzione sia la descrizione del sentimentoestetico.

Vogliamo seguire qui una diversa – e in un certo senso duale – linea di ap-proccio1. Vorremmo esprimere in termini esatti alcune qualità estetiche globali,per analizzare i dati visivi in riferimento alle loro qualità estetiche (o forse, piùmodestamente, per arrivare al punto della questione: le qualità “armoniose”).Ovviamente, esiste una letteratura estesa che riguarda queste tematiche, mo-strata in maniera convincente dalla lunga evoluzione della storia dell’arte e del-l’architettura, dalla teoria dei progetti e dagli “assiomi di bellezza” nei campi piùdisparati (come ad esempio l’allevamento degli animali!).

Molto schematicamente, vogliamo procedere come segue: cominciando dalleinformazioni visive in sé (che d’ora in poi chiameremo brevemente immagini),vogliamo trovare le loro caratteristiche essenziali per sviluppare un loro “nucleoastratto”, che a sua volta potrebbe essere usato per l’analisi, l’identificazione e laclassificazione dei dati. Per essere più concreti, parliamo di immagini intenden-do qualunque informazione visiva individualmente osservabile (isolata) a duedimensioni. Dunque l’immagine può essere un’opera d’arte come pure un pro-getto, una scena fissa o uno schizzo, oppure una foto proiettata su uno schermo.

Non miriamo a relazionare le immagini con alcune forme canoniche (come,per esempio, la sezione aurea e il modello geometrico), ma vogliamo estrarne iparametri essenziali dall’immagine in sé. Il nostro scopo è che questi parametri(che chiamiamo invarianti; si veda il terzo paragrafo) riflettano delle essenzialiqualità estetiche dell’immagine. La nostra analisi è libera dal contesto. Analiz-ziamo delle singole immagini (e paragoniamo i parametri ottenuti). Questo vabene anche per le situazioni tecniche (come l’analisi di un grafico), nelle quali lastoria ed il contesto hanno di norma un significato minimo. L’immagine indivi-duale è la nostra fonte primaria che analizziamo come se fosse un oggetto isola-to. Ma l’analisi che proponiamo riflette la nostra esperienza artistica e tecnolo-gica che poi si proietta di nuovo sull’immagine.

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1 Si veda il terzo paragrafo.

Perché l’arte?

L’approccio della matematica e dell’informatica dovrebbe riuscire a giustifi-carsi da sé, perché può analizzare la maggior parte dei dati tecnici per i quali lastoria ed il contesto in cui sono stati realizzati non significano molto. Perché al-lora vogliamo illustrare i nostri metodi e i nostri risultati sull’arte e su opere “ca-riche” artisticamente?

Riteniamo che analizzare informazioni visive, con la loro estrema varietà diinput, richieda di effettuare esperimenti su esempi che sono complicati e che ri-flettono questa varietà. Gli artisti visivi hanno fatto e continuano a fare esatta-mente così, esplorando e sfruttando ogni possibilità fino al limite (e a volte, cisembra, anche oltre). L’arte visiva produce esempi che non sono solo di grandevarietà, ma che sono anche esteticamente molto carichi (ovviamente, sia in sen-so positivo che in senso negativo, visto che il giudizio dipende dalle impressioniindividuali), in contrasto con (usuali) dati scientifici esteticamente neutri. Cosìquesta dimensione estetica presenta una dimensione addizionale che possiamousare per migliorare i nostri strumenti d’indagine e sperimentare la qualità delnostro approccio (e degli algoritmi).

È più probabile che gli algoritmi astratti, quando vengono testati su esempi co-sì complicati, rivelino i loro difetti. Inoltre, dato che le opere d’arte sono caricheesteticamente, anche il giudizio estetico può essere usato in questo algoritmo.Dobbiamo tentare e dobbiamo usare l’arte per allargare il nostro sapere. Sareb-be bello poter dire di voler mettere l’estetica al servizio della complessità.

Quindi l’analisi dell’arte è necessaria per entrambi (per la generalità di un ap-proccio esterno) e conveniente anche nei casi in cui i nostri dati di input sono dicarattere tecnico (generati da computer).

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Verso un’estetica matematica

Fig 1. L’archetipo di Kupka, basato su [9]

E il nostro approccio può essere forse anche utile per analizzare l’arte in sé. Peresempio, come contributo alla continua discussione sulla collaborazione tra Bra-que e Picasso nel primo periodo del cubismo (1905, [11]). I dati oggettivi (raccoltiper illustrare la Tesi di Entropia Ereditaria2 possono fornire alcune ulteriori in-formazioni.

La dualità “macro contro micro”

Quali caratteristiche – invarianti – delle immagini dovrebbero essere investi-gate? Dove trovare questi invarianti?

Nella scelta dei parametri, ovviamente, è codificato il periodo storico in cui vi-viamo e lo stato fisiologico e tecnologico dell’arte. La scelta dei parametri e la lo-ro interpretazione è il luogo dove manifestiamo il nostro approccio e dovrebbeessere il luogo dove si manifesta l’ontologia della percezione estetica (che si pre-suppone esista, ma è attualmente ancora sconosciuta). Su un livello d’indaginemolto basilare ci si chiede come il sentimento estetico venga acquisito, come sisviluppi e come venga mantenuto.

Una possibilità di come affrontare questi problemi è considerare l’estetica inun contesto gnoseologico e vedere le impressioni e i giudizi estetici come l’e-

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Fig. 2. G. Braque: Viaduct en L’Estaque, dell’inizio del 1908 e P. Picasso: Paysage avec unpont, primavera 1909

2 Si veda più avanti.

stensione di una funzione generale del cervello. Questo è espresso in manieramolto piacevole da S. Zeki in [12]:

La caratteristica principale di un sistema di conoscenza acquisita che sia effi-ciente, è la sua capacità di astrarre, che lo libera dalla schiavitù dal particola-re. Ma l’astrazione porta anche alla formazione di concetti e di ideali. Simil-mente, tutta l’arte è, in un certo senso, un’astrazione. L’arte è la traduzione sutela di concetti formati dal cervello attraverso l’astrazione. Anche in questamaniera, l’arte si innalza al di sopra del particolare e dà conoscenze generalisulle categorie.

Questo approccio che mostra l’estetica come una funzione tipica del cervello,consistente di interazioni incomprensibili e complicate che hanno come risulta-to l’astrazione, potrebbe essere chiamato una micro analisi dell’estetica, l’esteti-ca della percezione visiva. Quest’analisi sembra essere espressa dalla nozione digruppo: le operazioni elementari sono reciprocamente combinate e anche inver-tibili. L’algebra che governa tale astrazione si riflette particolarmente bene nelleoperazioni di gruppo, come forse ha sostenuto per primo Piaget [13].

Il nostro approccio è diverso: quando tentiamo di definire le linee guida perl’analisi di un’immagine, dobbiamo adottare un approccio più globale. Dobbia-mo vedere i problemi estetici dell’immagine nella loro totalità e miriamo quin-di ad una macro analisi. Forse in maniera simile all’approccio della topologia deicolori di H. Damish [14], miriamo ora ad una topologia dell’estetica.

Come va inteso quest’approccio di tipo globale? Basandoci sulla nostra comprensione delle immagini e sulla tecnologia dispo-

nibile, isoliamo una certa serie di concetti misurabili e verificabili che chiamia-mo invarianti. La scelta di questi invarianti è di cardinale importanza dato chenon solo influenza la qualità e il significato del risultato, ma dovrebbe anche ri-flettere la struttura sottostante all’analisi dell’immagine e la sua topologiaespressa in termini algebrici.

Ma allora, quale è l’algebra di questa macro analisi? Piuttosto che una combi-nazione di percezioni locali è una percezione dell’intera immagine, di parti inte-re dell’immagine. Questa percezione è poi affinata dalla percezione delle partiche a loro volta possono essere ulteriormente affinate. In termini matematici la-voriamo con oggetti duali, come la partizione di un reticolo ed i cogruppi. Ab-biamo tentato di rappresentare l’analisi nello schema di Figura 3.

Ovviamente la macro e la micro analisi si combinano l’una con l’altra, masembra che soltanto la macro analisi (ossia un’analisi top-down) produca con-cetti sufficientemente generali per i nostri scopi.

L’approccio globale (topologico) studia e si concentra sulle caratteristiche chesono simili al modo individuale di vedere l’arte. Sicuramente una caratteristicadell’arte è la sua ricchezza e la sua diversità. Ma considerando il lavoro indivi-duale (“libero dal contesto”) cerchiamo le somiglianze e speriamo che emergaun’immagine globale.

Abbiamo sviluppato le basi di tale analisi da una combinazione di tecnichedella teoria degli integrali in geometria, della teoria dei modelli e della teoria dei

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frattali. Usando queste tecniche possiamo definire rigorosamente l’algebra, lascala, lo spazio e l’entropia di un’immagine.

L’interazione di queste nozioni porta alla Tesi Ereditaria3, che vediamo comeun criterio generale per un’immagine armoniosa.

L’analisi di un caso: invarianti di alcune immagini

Cosa rende le seguenti immagini simili e cosa diverse fra loro?

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3 Si veda oltre.

parti importantidell’immagine affinateda partizioni

combinazione reciprocadegli elementi conun’operazione di gruppo

MICRO ANALISI

immagine

gruppo

cogruppo

immagine

MACRO ANALISI

Fig. 3. Schema di una micro e di una macro analisi di un’immagine

Fig. 4. Uno schizzo di un partito musicale di Janácek [22] e uno tratto dai Moduli – unoschizzo di Naceradsky e del secondo autore

E, molto semplicemente, possiamo distinguere oppure ordinare in qualchemaniera sistematica i seguenti quattro disegni dello stesso grafo?

La versione moderna di queste problematiche non è quella di insegnare ad unbambino dotato e collaborativo cosa sia piacevole e bello. Abbiamo bisogno diinsegnare invece ad un individuo che non collabora affatto, che prende ogni in-formazione che gli diamo come oro colato e che la utilizza seriamente fino al-l’ultimo bit: il computer. Gli umani in genere non reagiscono in questa maniera(e se lo fanno, è solo nelle commedie come [15] o [16]; il fatto che questi grandiromanzi abbiano un’ambientazione militare non è accidentale). Per riuscire ad“insegnare” qualcosa ad un computer (e anche senza l’ambizione di insegnare,ma anche solo per trattare con un computer) abbiamo bisogno di precisione. Eprecisione, detto in altre parole, significa cercare misure concrete dei nostri fe-nomeni, o meglio significa trovare gli invarianti.

Di conseguenza, il problema tradizionale principale dell’estetica (e della sto-ria dell’arte) – spiegare e predire in maniera soddisfacente l’arte e l’estetica – haportato recentemente ad uno sviluppo imprevisto. Non spieghiamo e non abbia-mo a che fare con dei casi individuali, ma dobbiamo classificare una vasta quan-tità di dati e dobbiamo progettare delle procedure con degli output armoniosi.Questo problema nella sua molteplice varietà è interessante già quando i nostrioggetti sono solo delle composizioni ben definite e composte da semplici bloc-chi di costruzione, come linee, quadrati, ecc. Questo è infatti esercizio familiaree terreno di prova per tutte le scuole di design, di architettura e per le (tradizio-nali) accademie d’arte. Questo illustra la difficoltà e la varietà delle soluzioni, an-che in situazioni semplici. Ciò non dovrebbe sorprendere, se riusciamo a capirequante semplici linee servivano, ad esempio a Rembrandt o a Picasso, per pro-durre immagini piene (i disegni di solito usano cinquanta linee o anche meno!).

Vorremmo creare un invariante per la nostra “semplice composizione a bloc-chi di costruzione”, che ci aiuterebbe a classificare ed ordinare queste composi-

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Verso un’estetica matematica

Fig. 5. Disegni diversi di un grafo (da sinistra): i vertici sono collocati regolarmente lungoun cerchio; versione prodotta dall’uomo accentuando le simmetrie e l’immaginazionespaziale; disegno ottenuto a caso; il computer ha generato il disegno usando modelli distringhe. I disegni si distinguono dai numeri (le entropie) scritte sotto

zioni. È difficile dire, anche a questo semplice livello, cosa sia un invariante, mapossiamo dichiarare con certezza quali proprietà dovrebbe avere:1. l’invariante dovrebbe essere un aspetto della struttura da calcolare (facilmen-

te);2. l’invariante dovrebbe essere costante (o invariante, nel senso che non dovreb-

be cambiare) se si sceglie di effettuare delle modifiche alla struttura;3. l’invariante dovrebbe essere utile per poter essere usato per catalogare, ordi-

nare (quale struttura è “migliore”), classificare, distinguere.

Proponiamo qui un invariante – di nome entropia ereditaria combinatoria –per misurare una qualità estetica di dati visivi (disegni, progetti, dipinti, sparti-ti, dati molecolari e altro). Questo invariante viene presentato nel prossimoparagrafo.

Misure

Gli articoli [1] e [5] suggeriscono un’“estetica” diversa che si basa sulle tecni-che della teoria degli integrali in geometria e della probabilità geometrica4. Ilparametro definito Lunghezza Frattale [19] o Entropia Combinatoria [1] (duetermini con lo stesso significato) è definito soltanto per disegni con linee e offreparecchi vantaggi:– il disegno (l’immagine, i dati visivi) non deve essere dato analiticamente; l’in-

put può essere un’immagine scansionata. Questo ci consente di analizzare,classificare e paragonare immagini reali, scene, foto e opere d’arte visiva in ge-nere;

– l’Entropia Combinatoria è invariante per scala e per rotazione;– l’Entropia Combinatoria è facile da determinare ed è “robusta”.

La generalizzazione dell’Entropia Combinatoria per immagini su scala di gri-gi può essere trovata in [2]. Tutti i risultati di questo articolo sono stati calcolatiper mezzo di queste definizioni. Senza dare ulteriori dettagli e derivazioni, dia-mo le seguenti formule.

Per un’immagine, data come un disegno di linee (connesse), abbiamo definitol’Entropia Combinatoria E come

E = 2L /C,dove L è la lunghezza totale del disegno e C è il perimetro del guscio convessodel disegno.

Per un’immagine su scala di grigi abbiamo una definizione simile di EntropiaCombinatoria:

E = πF/ C,dove C è ancora il perimetro del guscio convesso dell’immagine (in questo casodi solito è il perimetro del rettangolo di cornice) e F è l’area totale occupata dal-l’immagine. Questa formula non è precisamente invariante per scala (e questo èdovuto alle scale d’ombra variabili), ma può essere usata lo stesso per la maggiorparte delle operazioni di cui abbiamo bisogno.

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4 Per i dettagli matematici si vedano per esempio [17] e [18].

Entrambe le formule hanno delle belle proprietà in comune, così che l’Entro-pia Combinatoria può essere facilmente approssimata analizzando l’immaginedata, semplicemente guardando il numero di intersezioni del disegno con dellelinee casuali. E questo è esattamente il modo con cui calcoliamo i numeri inva-rianti per qualunque immagine.

Non calcoliamo soltanto l’Entropia Combinatoria dell’immagine intera, maanche per le singole parti dell’immagine. I valori in tutte le parti non possonoessere derivati dall’Entropia Combinatoria dell’immagine e sono essenzialmen-te dipendenti dall’immagine in sé. Questa è una delle ragioni per cui pensiamoche la distribuzione dell’Entropia Combinatoria dia delle informazioni di valoresulla struttura dell’immagine. Questo ci porta al nostro criterio principale perun’immagine bilanciata, armoniosa o esteticamente soddisfacente.

La tesi principale

Così possiamo misurare (piuttosto facilmente) l’Entropia Combinatoria diun’immagine. Ma qual’è il suo significato? È una densità media, un’approssima-zione della densità. Si noti che la distribuzione della densità a sua volta deter-mina l’immagine in sé (questo è uno dei principi su cui si basa la tecnica tomo-grafica al computer [20]).

Ma i contenuti semantici ed estetici di ogni immagine provocano un rafforza-mento ed un raffinamento delle informazioni globali. Siamo condotti dall’espe-rienza, dalla “logica” dell’immagine ad ispezionare le sue parti, a paragonarle fraloro. Non tutte le parti hanno la stessa importanza e la struttura gerarchica ri-sultante è parte integrante dell’elaborazione dell’immagine.

Qual’è il nucleo astratto di questa struttura gerarchica? Con l’aiuto della teoria dei modelli lo consideriamo come un reticolo omoge-

neo, numerabile e pesato, privo di atomi e che è stato troncato al livello della di-mensione frattale dell’immagine. A sua volta ciò viene approssimato dai nostrisensi come se fossero inseparabili macchie sfocate e troncate. Nei disegni tecni-ci fatti da computer, questi possono essere dei pixel e, in questo caso, la topolo-gia digitale è pertinente e produce dei risultati (e delle conoscenze) importanti.Il paragone e la valutazione reciproca fra le parti di un’immagine è espressa dal-la nostra tesi principale [1], [4]:

Tesi Ereditaria: un’immagine è armoniosa se due qualsiasi delle sue parti si-milmente significative hanno entropie combinatorie simili.

La “similitudine di significato” non viene definita, ma non è una nozione pri-mitiva. La similitudine è governata da considerazioni topologiche e algebriche.Questo conduce all’algebra di un’immagine. A sua volta ciò viene definito comeuna scomposizione in fattori sfocati dello spazio omogeneo privo di atomi diun’immagine. Ad ogni modo, in casi concreti questa complicata descrizionespesso non è un handicap. Inoltre, se non è data alcuna preferenza in un’imma-gine, allora la partizione uniforme serve da buon modello.

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Esempi

Includiamo vari esempi, insieme ai risultati delle misurazioni. Lasciamo al let-tore il compito di interpretare l’importanza dei nostri esperimenti. Le entropiecombinatorie di immagini intere assieme alle entropie delle loro suddivisioni re-golari sono raffigurate in tabelle, nel cui centro è scritta l’entropia del rettango-lo intero. In questa maniera vengono date le entropie dei primi dipinti di en-trambi i padri del cubismo (Fig. 2) [11].

Nel caso in cui venga indicata soltanto l’entropia dell’intero dipinto, questonumero è semplicemente scritto sotto l’immagine (come nelle Figure 4,5,8).Sembra che le misure di entropia si adattino bene alle nostre impressioni intui-tive di “densità” di un’immagine. Questo è vero anche se paragoniamo disegnicon fotografie (come in Figura 7), dove abbiamo confrontato la foto di copertinadi [21] scattata dal famoso fotografo di Praga S. Tu°ma con un disegno di J.Nesetril (che di fatto è stato realizzato in seguito a questa foto).

La Figura 8 contiene due versioni di un disegno del nostro istituto a Praga, en-trambi fatti da J. Nesetril. Uno è la copia del disegno originale, mentre l’altro èstato elaborato da un algoritmo in modo da ottenere solo linee sottili. La suadensità è considerevolmente più alta.

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Fig. 6. Antropogeometria [14]

Abbiamo scelto delle immagini che sono bilanciate, in maniera da poter ana-lizzare l’immagine per mezzo di una semplice algebra di suddivisioni regolari.

Terminiamo l’articolo con un’analisi ereditaria del disegno di Venezia, realiz-zato da J. Nesetril che si trova all’inizio dell’articolo.

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Fig. 7. Malá Strana, veduta dal Dipartimento di Matematica Applicata

Fig. 8. Il palazzo del Dipartimento di Matematica Applicata. Un disegno (28.46) e la suaversione con linee assottigliate (35.28)

Ringraziamenti

Ringraziamo V. Douchová per le numerose osservazioni e discussioni riguardo a que-sto articolo.

Bibliografia

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[3] M. Mendès France, J. Nesetril, Fragments of a Dialogue, KAM Series, 95-303, CharlesUniversity Prague (una traduzione in ceco si trova in Atelier 1997)

[4] J. Nesetril (2002) Art of Drawing and Art, in: Graph Drawing and Representations:Special Issue on Selected Papers from JGGA, vol. 6, 2, pp. 131-147

[5] J. Nesetril (2005) Aesthetics for Computers or How to Measure a Harmony, in: M.Emmer (ed.) Visual Mind II, MIT Press

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Fig. 9. Analisi ereditaria di un disegno di Venezia

[9] F. Kupka (1926) Quatre histories de blanc et noir, Paris[10] S. Zeki (1999) Inner Vision, Oxford University Press[11] W. Rubin (1990) Picasso und Braque: Eine Einführung, in: Picasso and Braque: Die

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Naceradsky, J. Nesetril Antropogeometrie I, II (in ceco e in inglese), Rabas Gallery,Rakovník (ISBN 80-85868-25-3)

[15] J. Hasek (1920) Osudy dobrého vojáka Svejka, (The Good Soldier Schweik)[16] J. Heller (1961) Catch-22[17] L.A. Santaló (1976) Integral Geometry and Geometric Probability, Encyklopedia of

Mathematics and Its Applications, Addison-Wesley[18] D.A. Klain, G.-C. Rota (1998), Introduction to Geometric Probability, Cambridge Uni-

versity Press[19] M. Mendès France (1991) The planck constant of curve, in: J. Blair. S. Dubuc (eds.)

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Letture consigliate

T.J. Clark (2000) Modernism - a farewell to an idea, Yale Univ. PressH. de Fraysseix Graph Drawing SW (comunicazione personale)

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