Introduo ao estudo de vetores1.1 - Introduo

+

Uma grandeza que fica plenamente caracterizada por um nmero seguido de uma unidade apropriada denominada grandeza escalar. Temperatura e massa constituem exemplos de grandezas escalares. Quando se diz que a temperatura mdia do corpo humano de 36,50C ou que a massa de um corpo de 3 kg, estas quantidades ficam bem determinadas. Comprimento, rea, volume e tempo so outros exemplos de grandezas escalares. Na fsica, contudo, h muitas grandezas para as quais a simples quantificao no suficiente para sua completa especificao. Alm do valor numrico devem, necessariamente, se fazer presentes duas outras informaes igualmente relevantes: direo e sentido. Grandezas fsicas com esse perfil so chamadas grandezas vetoriais. Fora um exemplo. Ao dizer-se que um caixote foi empurrado com uma fora de 50 newtons (admita que newton uma unidade de fora), no se estar sendo de todo claro. Afinal, para onde foi empurrado o caixote (isto , em que direo?)? Se ao longo de um plano inclinado, para cima ou para baixo (em que sentido?)? Como se observa, juntamente com o nmero e a respectiva unidade necessrio explicitar a direo e o sentido da fora aplicada para que esta fique bem definida. Deslocamento, velocidade, acelerao e quantidade de movimento so, tambm, grandezas vetoriais. Este captulo apresenta conceitos bsicos da lgebra vetorial, cuja compreenso, pelo aluno, fundamental para o estudo da mecnica.

1.2 - Representao e caractersticas de um vetorPara a representao grfica de um vetor, considere, inicialmente, o segmento de reta AB sobre a reta r da Fig. 1. Orientando-se este segmento por meio de uma seta colocada no ponto B (ou no ponto A ), obtm-se a representao grfica de um vetor (Fig. 2). Simboliza-se um vetor por uma letra maiscula ou minscula com uma pequena flecha sobre dela. Na Fig. 2, o ponto A a origem do vetor v e o ponto B a sua extremidade. A reta r a reta suporte do vetor v . Normalmente, quando se representa um vetor se omite a sua reta suporte.

Fig. 1

Fig. 2

Um vetor fica especificado por suas trs caractersticas: mdulo, direo e sentido. O mdulo de um vetor, dado por um nmero seguido de uma unidade, especifica a intensidade da grandeza por ele representada (50 newtons, 20 m/s etc.). Simbolicamente, o mdulo de um vetor v escrito como v ou, simplesmente, v .+

Texto elaborado pelos professores Luiz O. Q. Peduzzi e Snia S. Peduzzi (Depto de Fsica

UFSC).

1

A direo de um vetor a da sua reta suporte. J o seu sentido coincide com o da orientao do segmento de reta orientado. Os vetores a , b e c , da Fig. 3, tm como caracterstica comum o mesmo mdulo (admitindo como unidade de medida o comprimento ). Os vetores d e f , da Fig. 4, tm as trs caractersticas iguais: mesmo mdulo, mesma direo (as retas suportes so paralelas) e mesmo sentido. Neste caso, diz-se que os vetores so f . J o vetor e tem o mesmo mdulo e a mesma direo que d e f , porm iguais, isto , d sentido contrrio a eles. Pode-se relacion-los escrevendo que f significa que o vetor e tem o sentido contrrio ao dos outros dois.

d

e (onde o sinal negativo

a = b = c = 3 unidades a b cFig. 3

f = d = e

f = d = eFig. 4

1.3 - Adio e subtrao de vetores pelo mtodo geomtricoConsidere os vetores v1 e v2 da Fig. 5. A soma de v1 com v2 pode ser efetuada da seguinte maneira: fixa-se v1 e desloca-se v2 (mantendo-se inalteradas as suas caractersticas, isto , seu mdulo, direo e sentido), de modo que a origem de v2 coincida com a extremidade de v1 (Fig. 6). O vetor que tem por origem a origem de v1 e por extremidade a extremidade de v2 o vetor soma de v1 com v2 , v1 + v2 , como visto na Fig. 7. Pode-se observar, atravs de uma simples inspeo visual, que a soma dos comprimentos de v1 e v2 diferente do comprimento do vetor v1 + v2 .

Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 A soma de v1 com v2 pode tambm ser feita desenhando-se os vetores com a mesma origem. O vetor resultante, v1 + v2 , o vetor correspondente diagonal do paralelogramo que tem por lados os vetores v1 e v2 (Fig. 8).

2

Fig. 8 Os procedimentos acima descritos possibilitam a soma geomtrica de um nmero qualquer de vetores. Considere, por exemplo, a soma dos vetores A , B , C , D e E da Fig. 9. O vetor

A + B + C + D + E pode ser obtido da seguinte maneira: fixa-se o vetor A ; desloca-se paralelamente o vetor B de modo que a sua origem coincida com a extremidade de A ; desloca-se, da mesma maneira, o vetor C tal que a sua origem coincida com a extremidade de B e assim sucessivamente. O vetor soma tem por origem a origem do primeiro ( A ) e por extremidade a extremidade do ltimo ( E ) (Fig. 10).

Fig. 9

Fig. 10

Considere, agora, os vetores A e B da Fig. 11. Para se obter geometricamente o vetor A - B , transforma-se a diferena em uma soma, j que A - B = A + (- B ) . O vetor B tem mesmo mdulo, mesma direo, mas sentido oposto ao do vetor B (Fig. 12). Desta forma, recai-se na soma dos vetores A e B , como pode ser visto na Fig. 13.

Fig. 11

Fig. 12

Fig. 13

Para efetuar simultaneamente a adio e subtrao de um nmero qualquer de vetores transformam-se as diferenas em somas e adota-se o procedimento j descrito para a soma de vrios vetores. Por exemplo,

L - M + N - P = L + (- M ) + N + (- P )

3

1.4 - Adio e subtrao de vetores de mesma direo pelo mtodo analtico conveniente, antes de se efetuar a soma e subtrao analtica de vetores de mesma direo, definir o que se entende por vetor unitrio. Um vetor dito unitrio quando o seu mdulo igual unidade. O vetor unitrio que tem a direo do eixo x e o sentido de x' para x (Fig. 14) o vetor i .

Fig. 14 Considere a soma geomtrica de dois vetores unitrios i (Fig. 15). V-se, por esta figura, que o vetor resultante i + i tem mesma direo e sentido que o vetor i e mdulo duas vezes maior. Este vetor o vetor 2i .

Fig. 15 O resultado acima permite interpretar uma igualdade como, por exemplo, A = 7i da seguinte maneira: A um vetor que tem mesma direo e sentido que o vetor i e mdulo sete vezes maior. J o vetor B = -4i tem a mesma direo do vetor i , sentido oposto e mdulo quatro vezes maior. Pode-se estender o procedimento utilizado na Fig. 15 para se somar e subtrair analiticamente vetores na direo x . a) Soma de vetores de mesma direo e sentido: Seja C = 2 i , D = 6 i e R o vetor resultante da soma dos vetores C e D . Soma analtica: Soma geomtrica:

R = C + D,R = 2i +6i, R= (2+6)i,

R = 8i.b) Soma de vetores de mesma direo e sentidos opostos: Seja E = 3 i , F = - 5 i e R o vetor resultante da soma dos vetores E e F .

4

Soma analtica:

Soma geomtrica:

R = E + F, R = 3i -5i,

R = (3-5) i ,

R = -2i.A subtrao de dois vetores quaisquer A e B , A - B , feita transformando-se a diferena em uma soma, isto , A - B = A + (- B ) . Para vetores na direo y , pode-se realizar operaes de adio e subtrao de vetores utilizando-se um procedimento inteiramente anlogo ao que se adotou para a direo x . Para isto necessrio que se defina um vetor unitrio na direo y . O vetor unitrio que tem a direo do eixo y e o sentido de y' para y (Fig. 16) o vetor j .

Fig. 16 Assim, o vetor resultante da subtrao dos vetores A = 12 j e B = 5 j , R = A - B , tem mesma direo e sentido que o vetor j e mdulo sete vezes maior ( R = 7 j ).

1.5 - Componentes de um vetorConsidere o sistema de eixos cartesianos xy . Seja a x um vetor na direo x e a y um vetor na direo y (Fig. 17). Da soma geomtrica destes dois vetores resulta o vetor a (Fig. 18),

Fig. 17

Fig. 18

a = ax + a y .

(1)

Os vetores a x e a y so denominados, respectivamente, vetores componentes do vetor a nas direes x e y . Estes vetores podem ser escritos em termos dos vetores unitrios i e j . Assim,

5

ax = ax ie

(2)

ay = ay j .Substituindo-se as relaes (2) e (3) em (1), obtm-se

(3)

a = ax i + a y j .

(4)

O escalar a x a componente de a na direo x . Da mesma forma, a y a componente de a na direo y . As componentes a x e a y podem ser escritas em termos do mdulo do vetor a e do ngulo que a faz, por exemplo, como o semi-eixo positivo OX . Sendo este ngulo e representando-se por a o mdulo do vetor a , obtm-se, atravs do tringulo retngulo que tem por lados a , a x e a y (Fig. 19), que:

cose

=

ax a

a x = a cos

(5)

sen

=

ay a

a y = a sen

.

(6)

Fig. 19 Substituindo-se na eq. (4) os valores encontrados para ax e a y, respectivamente, nas eq. (5) e (6), obtm-se:

a = a cos i + a sen

j.

(7)

Exemplo 1: O vetor a , mostrado na Fig. 20, tem mdulo igual a 5 cm e faz um ngulo de 1200 com o semi-eixo positivo OX . Determine as suas componentes nas direes x e y .

6

Fig. 20 Soluo: Projetando-se o vetor a nos eixos x e y , pode-se obervar (Fig. 21) que a x i um vetor com sentido oposto ao do vetor i ; portanto, a componente a x negativa. J o vetor a y j tem sentido igual ao do vetor j e a y positivo. Usando-se a eq. (7), tem-se que:

ax = 5 cos 1200 = - 2,50 cme

a y = 5 sen 1200 = 4,33 cm.A partir do tringulo retngulo com lados 5 cm, a x e a y (Fig. 22) e observando o sentido dos vetores a x e a y , pode-se igualmente obter as componentes de a :

ax = - 5 cos 600 = - 2,50 cme

a y = 5 sen 600 = 4,33 cm.

Fig. 21

Fig. 22

1.6 - Adio e subtrao analtica de vetoresA adio/subtrao de vetores no plano xy feita somando-se/subtraindo-se as componentes destes vetores em cada uma das duas direes. Sendo a = a x i + a y j e b = bx i + by j , obtm-se o vetor c = a + b da seguinte maneira:

c = a + b,

7

c = ax i + a y j + bx i + by j ,

c = ( ax + bx ) i

+ ( a y + by ) j .

ax + bx e a y + by so, respectivamente, as componentes de c nas direes x e y .Exemplo 2: Sendo A = 3 i , B = 5 j e C = 4 i + 6 j , obtenha, analtica e geometricamente, os vetores R = A + B , S = A - B e V = A + C . Soluo:

R = A + B,

R = 3 i + 5 j.

S = A - B,S = 3 i - 5 j.

V = A + C,V = 3 i + 4 i + 6 j,V 7 i + 6 j.

Exemplo 3: Os vetores d1 e d 2 , mostrados na Fig. 23, tm mdulos respectivamente iguais a 3 cm e 7 cm. Obtenha: a) o vetor d

d1 + d2 ; b) a direo do vetor d .

Fig. 23

8

Soluo: a) O vetor d o vetor soma dos vetores d1 e d 2 ,

d = d1 + d 2 .Escrevendo o vetor d1 em termos de suas componentes (expressas em cm) e dos vetores unitrios i e j , obtm-se:

d1 = - 3 cos 60o i + 3 sen 600 j ,d1 = - 1,5 i + 2,6 j .Analogamente para d 2 :

d 2 = 7 cos 300 i + 7 sen 300 j , d 2 = 6,1i + 3,5 j .Somando-se d1 e d2 , resulta:

d = 4,6 i + 6,1 j .b) A direo de d obtida calculando-se o ngulo que o vetor faz com o semi-eixo OX, por exemplo. tg = 6,1/4,6 1,33

= arc tg 1,33 530. O vetor d faz um ngulo de aproximadamente 530 o semi-eixo OX positivo.

1.7 - Vetores em trs dimensesAt agora, trabalhou-se com vetores em uma e em duas dimenses. A situao que envolve vetores no espao tridimensional , no entanto, mais geral. Considere o sistema de eixos cartesianos xyz . Para se obter a expresso analtica de um vetor neste sistema de eixos, necessrio introduzir um vetor unitrio na direo z , que vai desempenhar, nesta direo, papel anlogo ao dos vetores i e j nas direes e x y . O vetor unitrio que tem a direo do eixo z e o sentido de z' para z o vetor k (Fig. 24).

9

Fig. 24 Seja a x um vetor na direo x , a y um vetor na direo y e az um vetor na direo z . Da soma geomtrica destes trs vetores (Fig. 25), resulta o vetor:

a = ax + a y + az .

(8)

Fig. 25 Os vetores a x , a y e az so denominados, respectivamente, vetores componentes do vetor a nas direes x , y e z . Estes vetores podem ser escritos como:

ax = a x i , ay = ay je

(9) ( 10 )

az = az k .Substituindo as relaes (9), (10) e (11) na relao (8), obtm-se:

( 11 )

a = a x i + a y j + az k .

( 12 )

O escalar a x a componente de a na direo x ; a y a componente de a na direo y e az a componente de a na direo z . A relao (12) a expresso geral de um vetor no espao tridimensional, escrita em termos de suas componentes e dos respectivos vetores unitrios.

10

Exemplo 4: Represente, num diagrama xyz , os seguintes vetores:

E = 3i + 2 j + 5k e F = 2 i + 4 j - 5k.Soluo: A Fig. 26 mostra o vetor E construdo como a soma dos seus vetores componentes. J o vetor F foi desenhado utilizando-se um paraleleppedo para melhor visualiz-lo no espao.

Fig. 26 Exemplo 5: Sendo A = 2i + j - 5k e B = 4i + 2 k , determine os vetores R = 2 A + B e

S = A - B.Soluo:

R = 2 A + B,

R = 2( 2i + j -5k ) + 4i + 2k ,

R = 4 i + 2 j - 10 k + 4 i + 2 k , R = ( 4 + 4 ) i + 2 j + ( - 10 + 2 )k ,R = 8 i + 2 j -8 k.

S = A- B

S = 2 i + j - 5 k - ( 4 i + 2 k ), S = 2 i + j -5k - 4 i - 2 k, S = ( 2 - 4 ) i + j + ( -5- 2 ) k,S = - 2 i + j - 7k .

11

1.8 - Produto de vetoresAlm de somar e subtrair vetores pode-se, tambm, multiplic-los, efetuando o produto escalar e o produto vetorial entre dois vetores. Estas operaes sero estudadas a seguir, j que muitas grandezas fsicas so expressas em termos destes dois produtos.

1.9 - Produto escalarO produto escalar de dois vetores a e b , representado por a . b (l-se a escalar b), definido como o produto do mdulo de a pelo mdulo de b pelo cosseno do ngulo formado entre a e b , ou seja,

a . b = a b cosonde

,

( 13 )

o ngulo entre a e b (Fig. 27).

Fig. 27 Pode-se tambm dizer que o produto escalar de dois vetores a e b igual ao produto do mdulo do vetor a pela componente do vetor b na direo de a (Fig. 28).

a . b = ( a ) ( b cos

)

componente de b na direo de a

Fig. 28

A eq. (13) indica que o produto escalar de dois vetores d como resultado uma grandeza escalar. Para melhor compreenso desta equao, considere as seguintes situaes: a) O produto escalar de dois vetores perpendiculares zero, porque

900 e cos 900 = 0 .

a . b = a b cos 900 ,++ 0

a . b = 0.Da mesma forma,

12

i . j = 0, j . k = 0 , k . i = 0, etc.b) O produto escalar de dois vetores que formam entre si um ngulo positivo. tal que 0

( 14 )

900 ,

a . b = a b cos++ +

,

a . b 0.c) O produto escalar de dois vetores que formam entre si um ngulo 1800 , negativo. tal que

90

0

a . b = a b cos++

,

a .b

0.

d) O produto escalar de um vetor por ele mesmo igual ao mdulo do vetor ao quadrado, pois o ngulo entre vetores de mesma direo e sentido 00 e cos 00 1.

a . a = a a cos 00 ,

a . a = a2.De forma anloga,

( 15 )

i . i = 1, j . j = 1, k . k = 1.

( 16 )

A definio do produto escalar de dois vetores envolve o mdulo dos vetores e o ngulo entre eles. Uma outra maneira de expressar o produto escalar de dois vetores atravs das componentes destes vetores. Seja a = a x i + a y j + a z k e b = bx i + by j + bz k . Efetuando-se o produto a . b , tem-se:a . b = ( a x i + a y j + a z k ) . ( bx i + by j + bz k )a . b = a x i . bx i + a x i . b y j + a x i . bz k + + a y j . bx i + a y j . b y j + a y j . bz k + + a z k . bx i + a z k . by j + a z k . bz k ,

13

a . b = a x bx i . i + a x b y i . j + a x bz i . k + + a y bx j . i + a y b y j . j + a y bz j . k + + a z bx k . i + a z b y k . j + a z bz k . k ,

a . b = a x bx + a y by + a z bz .

( 17 )

Exemplo 6: Seja v1 = x i + 4 j - 3 k e v2 = 3 i - 6 j - k . Determine o valor de x para que os vetores v1 e v2 sejam perpendiculares. Soluo: O produto escalar de dois vetores perpendiculares nulo, logo, v1 . v2 = 0 . Assim, usando a eq. (17), resulta:

3 x + ( 4 ) ( - 6 ) + ( - 3 ) ( - 1 ) = 0,

3 x = 21,x = 7.

As relaes (15) e (17) permitem calcular o mdulo de um vetor. Fazendo o produto escalar de um vetor a , qualquer, por ele prprio, primeiro usando a relao (15) e depois a (17), obtm-se:

a . a = a2e

a . a = ax a x + a y a y + a z a z , a . a = a x 2 + a y 2 + az 2 .Da igualdade destas duas equaes, resulta:

a 2 = a x 2 + a y 2 + az 2 ,

a = ax 2 + a y 2 + a z 2 .

( 18 )

Exemplo 7: Sendo A = 3 i + 10 j + k e B = - 7 i + j - 2 k , determine o mdulo do vetor

C = A+ B.Soluo:

C

A + B,

C = 3 i + 10 j + k - 7 i + j - 2 k ,C - 4 i + 11 j - k .

14

Utilizando-se a eq. (18), calcula-se o mdulo do vetor C .

C = ( - 4 ) 2 + ( 11 ) 2 + ( - 1 ) 2 = 11,75 unidades

Exemplo 8: Calcule o ngulo entre os vetores a = 3 i - 4 j e b = 8 i - 6 j . Soluo: Da relao (13), obtm-se:

cos

=

(3) (8)+( -4) ( -6) a .b = , ab ( 3 )2 + ( - 4 )2 ( 8 )2 + ( - 6 )2

cos = 0,96,= 16,260.O produto escalar pode tambm ser utilizado para a obteno do mdulo do vetor resultante da soma de dois vetores. Sejam a e b dois vetores, de mdulos respectivamente iguais a a e b , que formam entre si um ngulo . Seja r o vetor resultante da soma destes dois vetores (Fig. 29).

Fig. 29 Fazendo-se o produto escalar de r = a + b por ele prprio, obtm-se:

r . r = ( a + b ) . ( a + b ),r . r = a . a + a . b + b . a + b . b,

r 2 = a 2 + a b cos + b a cos + b2 ,r = a 2 + b2 + 2 a b cosCasos particulares desta equao:.

( 19 )

15

a ) Quando os vetores so perpendiculares ( = 900 ) , o mdulo do vetor r igual raiz quadrada da soma dos quadrados dos mdulos dos vetores a e b ,

r = a 2 + b 2 + 2 a b cos 900

,

r = a 2 + b2 .b) Se os vetores tiverem a mesma direo e o mesmo sentido ( ( soma a soma dos mdulos dos vetores,

= 00 ) , o mdulo do vetor

r = a 2 + b 2 + 2 a b cos 00

,

r = a 2 + b2 + 2 a b ,r=(a

+ b )2

=a

+ b.

c) Para vetores de mesma direo e sentidos opostos ( = 1800 ) , o mdulo do vetor r a diferena dos mdulos dos vetores a e b ,

r = a 2 + b 2 + 2 a b cos 1800 r = a 2 + b2 - 2 a b ,r=( a - b )2 ,

,

r = a - b, a bou

r = b - a, b a.1.10 - Produto vetorialSejam a e b dois vetores que formam entre si um ngulo . O produto vetorial de a e b , representado po a x b ( l-se a vetorial b), d como resultado um vetor c (a x b = c ) que tem as seguintes caractersticas: Mdulo: O mdulo do vetor c igual ao produto do mdulo de a pelo mdulo de b pelo seno do ngulo formado por a e b ,

c = a x b = a . b .sen .

( 20 )

16

Direo: O vetor c perpendicular ao plano determinado pelos vetores a e b , ou seja, c perpendicular, simultaneamente, a a e a b . Sentido: O sentido do vetor c dado pela regra da mo direita. Para determinar o sentido do vetor c , considere os dedos polegar, indicador e mdio da mo direita, como est indicado na Fig. 30.

Fig. 30 Se o polegar apontar no sentido do vetor a e o indicador no sentido do vetor b , o dedo mdio indicar o sentido do vetor c (Fig. 31).

Fig. 31 Para exemplificar o uso da regra da mo direita, considere os vetores E , F e G da Fig. 32 e os seguintes produtos:

Fig. 32 a) E x F : este produto d como resultado um vetor de direo e sentido iguais ao do vetor G ; b) G x E : deste produto resulta um vetor de direo e sentido iguais ao do vetor F ; c) G x F : o vetor resultante deste produto tem a mesma direo que o vetor E e sentido oposto ao mesmo. Usando a regra da mo direita e a eq. (21), pode-se mostrar que, para dois vetores quaisquer A e B , vale a relao:

17

A x B = B x A.Considere, agora, os vetores unitrios i , j e k . Do produto i x j resulta um vetor de: mdulo: i x j = 1 . 1 . sen 900 = 1; direo: coincidente com a do eixo z ; sentido: de z' para z . O vetor com estas caractersticas o vetor k . Portanto,

( 21 )

i x j = k.De acordo com a eq. (21),

( 22 )

j x i = - k.Do mesmo modo,

( 23 )

j xk =i,k x i = j,

k x j =-i,i x k = - j.

( 24 ) ( 25 )

O produto i x i d como resultado um vetor de mdulo nulo, isto ,

i x i = 1 .1 . sen 00.O vetor de mdulo igual a zero o vetor nulo. Deste modo,

i x i = 0.Analogamente,

( 26 )

j x j = 0;k x k = 0.

( 27 ) ( 28 )

Exemplo 9: Suponha que o mdulo dos vetores da Fig. 32 sejam E = 3, F = 2 e G = 2. Determine os produtos vetoriais E x F , E x G e F x G . Soluo:

E x F =3i x 2 j = 6 k;E x G = 3 i x 2 k = - 6 j;

18

F xG = 2 j x 2k =4i.O produto vetorial de dois vetores pode ser expresso em funo das componentes destes vetores. Assim, seja a = ax i + a y j + az k e b = bx i + by j + bz k . Efetuando-se o produto vetorial entre a e b , a x b , segue que:a x b = ( a x i + a y j + a z k ) x ( bx i + by j + bz k ),a x b = a x i x bx i + a x i x b y j + a x i x bz k + + a y j x bx i + a y j x by j + a y j x bz k + + a z k x bx i + a z k x by j + a z k x bz k ,

a x b = a x bx 0 + a x b y k + a x bz ( j ) + + a y bx ( k ) + a y b y 0 + a y bz (i ) + + a z bx ( j ) + a z b y ( i ) + a z bz 0,

a x b = ( a y bz + ( ax by

a z b y ) i + ( a z bx a y bx ) k .

a x bz ) j +

( 29 )

A eq. (29) pode ser obtida de forma mais simples, utilizando-se um determinante. Esse determinante construdo da seguinte maneira: na sua primeira linha so colocados os vetores unitrios i , j e k ; na segunda linha aparecem as componentes do primeiro vetor ( a ) , nas direes

x , y e z ; a ltima linha do determinante formada pelas componentes do segundo vetor (b ) nas direes x, y e z.i ax bx j ay by k az bz

axb =

( 30 )

Exemplo 10: Encontre um vetor perpendicular aos vetores A = 3i - k e B = -5 j + 7k . Soluo: Do produto A x B resulta um vetor perpendicular aos vetores A e B . Utilizando-se o determinante da eq. (30) para calcular este vetor, obtm-se:

iA x B= 3 0 0 5

j1 7

k

19

A x B = - 5 i - 21 j - 15 k .Exemplo 11: Determine o mdulo do vetor L = r x p, se r = 4i - j + 3k e p = 6i + 2 j . Soluo: Calcula-se, primeiro, o determinante da eq. (30) para obter o vetor L = r x p. Depois disso, obtm-se o mdulo do vetor L usando a eq. (19).

iL=r x p= 4 6 -1 2

j3 0

k

L = 8 k + 18 j + 6 k - 6 i ,

L = - 6 i + 18 j + 14 k ,L=

(- 6)2 + (18)2 + (14)2 = 23,58 unidades.

20