Vetores no plano e no espaço.doc

7/16/2019 Vetores no plano e no espaço.doc

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A B

C

D

1ª Lista de Exercícios

1)Com base na figura ao lado, escreva cada combinação de vetores comoum único vetor:

a) BC AB+ b) DACD+

c) DCBC− d) DACDBC ++

2) Na figura ao lado ADDB 2= . Exprimir CD em função de AC e BC .

3) Na figura ao lado, 0=+MDMA e 0=+NCNB , escrever o vetor

DC AB + em função de NM .

4) A figura ao lado apresenta um losango EFGH inscrito no retânguloABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango.

Nestas condições,determine os vetores abaixo, expressando-os comorigem no ponto A:

a) CHOC + b) FGEH + c) AF AE 22 +

d) EFEH + e) BGEO + f) OCOE 22 +

g) EHBC +

2

1h) FGFE + i) HOOG −

j) AOFO AF ++

5) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos de um

trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma.

6)Ache o vetor a de IR 2 que corresponda a PQ . Grafe PQ e o vetor posição de a .

a)P(1, –4) ; Q(5, 3) b)P(2, 5) ; Q(–4,5) c)P(–3,–1) ; Q(6,–4) d)P(7, –3) ; Q(–2,4).

7)Determine um vetor unitário que tenha:(I)mesma direção e sentido de a ;(II)mesma direção e sentido oposto ao de a .

a)j15i8a +−=

b)<2, –5> c) j3i5a −=

8)Ache um vetor de mesma direção e sentido que < –6, 3 > e que tenha:

B

C

A

D

A B

C D

M N

A B

CD

E

F

G

H

O



a)o dobro do módulo de < –6, 3> b)metade do módulo de < –6, 3>

9)Ache um vetor de módulo 6 que tenha a mesma direção e sentido que . j7i4a −=

10)Nos itens a seguir determine todos os números reais c tais que :

(I) 3ac = ; (II) .0ac =

a) . j4i3 − b)< –5,12 >.

11)Na navegação aérea, as direções são dadas tomando-se as medidas a partir do norte em sentidohorário. Suponhamos que um avião esteja voando a 200 km/h na direção 60o e que o vento soprediretamente do oeste a 40 km/h. Essas velocidades podem ser representados por vetores v e

w , respectivamente. A direção da resultante wv + é a “trajetória real” do avião em relação ao

solo e o módulo de wv + é a “ velocidade no solo” do avião. Aproxime a velocidade no solo e overdadeiro curso do avião.

12)Resolva o exercício 11) supondo que o avião voa na direção 150o a uma velocidade no ar de 300km/h e que o vento sopra a 30 km/h na direção 60o .

13)Dois rebocadores estão rebocando um grande navio parao porto, conforme a figura. O rebocador maior exerce umaforça de 1800 N (Newtons) sobre o cabo, e o rebocador menor exerce uma força de 1440 N sobre seu cabo. Se onavio deve percorrer uma reta de A a B, determine o ânguloθ

que o rebocador maior deve fazer com AB .

14)Um automóvel percorre 30 km para leste , numa estrada planta. Num cruzamento ele vira para onorte e percorre mais 40 km. Achar o deslocamento resultante do automóvel (módulo e ângulo coma horizontal).

15)Ache o vetor que tem:(I)a mesma direção e sentido de a e duas vezes o módulo de a ;

(II)mesma direção de a , sentido oposto e um terço do módulo de a ;

(III)mesma direção e sentido de a e módulo 2.

a) k6 j15i14a +−= b) k6 j3i6a +−−=

16)Ache o vetor a de IR 3, que corresponde a PQ . Grafe PQ e o vetor posição de a .

a)P(2, 4, –5) e Q(4, –2, 3) b)P(–4, 0, 1) e Q(3, –2, 1) c)P(1, 0, 0) e Q(0, 1, 1).

17)Determine a soma dos vetores dados e ilustre geometricamente:

a)< 3, –1 > e < –2, 4 > b)<–1, 2> e <5, 3> c)< 1, 0, 1 > e < 0, 0, 1 > d)<0, 3, 2> e <1, 0, –3>

18)Determine: (I) a , (II) ba + , (III) ba − , (IV) b4a3 + , onde:

30O

θBA



a) a =<–4, 3> ; b =<6, 2> b) a =<6, 2, 3> ; b =<–1, 5, –2> c) k j2ia +−= ;

k2 jb +=

19) Dados os vetores u = (3, -1) e v = (-1,2), determinar o vetor x tal que:

a) xux)vu( −=+− 23

1

4 b) )ux()uv(x 34223 −=−−

20) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v =(-1, 3), sabendo que suaextremidade está em (3,1)?

21) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para:

a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5) b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4).

22) Sabendo que A(1, -1), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto

vértice de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.

23) Sendo A(-2,3) e B(6,-3), extremidades de um segmento, determinar:

a) Os ponto C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;

b) Os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.

24) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB tal

que AB AN5

2= .

25) Dados os vetores u = (2, 3, -1) e v = (1,-1, 1) e w = (-3, 4, 0) , determinar o vetor x tal quexwxvu 423 +=+− .

26) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção de suas diagonais, determinar os vértices C e D.

27) Dados os pontos A(1, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB , nosentido de A para B, para que seu comprimento quadriplique de valor.

28) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5),

calcular me e n.

29)Se várias forças estão agindo em um objeto, a “forçaresultante” experimentada pelo objeto é o vetor soma dessasforças. Duas forças

1F e 2F com magnitudes 10 lb e 12

lb agem sobre um objeto num ponto P como mostrado nafigura. Determine a força resultante F agindo em P assimcomo sua magnitude, direção e sentido.

30)Um peso de 100 lb está pendurado entre dois fios, como mostradona figura. Determine as tensões (forças) T1 e T2 em ambos os fios esuas normas.

45o30o

F1

F2

50o 32o

T2 T

1



31)A lei de Coulomb afirma que o módulo da força de atração entre duas partículas com cargas opostas é diretamente proporcional ao produto dos

módulos q1 e q2 das cargas e inversamente proporcional ao quadrado dadistãncia d entre elas. Mostre que se uma partícula com carga +q é fixadaem um ponto A e uma partícula com carga –1 é colocada em B, então a

força de atração F em B é dada por: BA

BA

kqF

3= .

32)Considere partículas de carga +q C colocadas e mantidas fixas nos pontos (1,0,0), (0,1,0) e(0,0,1). Coloca-se então uma carga de –1C em P(x,y,z).

a)Se OPv = , mostre que a força resultante F na partícula carregada negativamente é dada por :

−

−+−

−+−

−=333

vk

vk

v j

v j

vi

vikqF .

b)A partícula carregada negativamente deve ser colocada em um ponto P(x, y, z) equidistante dastrês cargas positivas, de modo que a força líquida que atua sobre a partícula seja nula. Ache ascoordenadas de P.

33) Considere a equação czbyaxczbyax222111

++=++ , mostre que:

a) Se ce,b,a são L.I. então x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2; b) Se ce,b,a são L.D., então não podemos concluir que x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.

34) Suponha que AB e AC sejam L.I.. Como devem ser o escalares x e y de modo que o vetor

ACy ABx AD += seja paralelo ao vetor AB , mas de sentido contrário?

35) Verifique se os vetores dados são L.I. ou L.D.:

a) k jiw, jiv,kiu 5322 ++=+=+=

b) k jiv,k jiu 8132569114 −−=++−=

c) k jiv, jiu ++=+= 123

d) ),,(w,),,(v),,(u 202111212 ==−=

36) Os vetores k jiw,k jiv,k jiu −+−=++=−+= 933234 , são L.I. ou L.D. ?Eles formam uma base de IR 3? Caso formem um base, determine as coordenadas do vetor

k ji ++ nessa base.

37) Sejam ),,(w,),,(v),,(u 101012110 === . Mostre que w,v,u é uma base de

IR 3 e determine as coordenadas de ),,(a 223= nessa base.

A

B

+q

–1



38) Seja w,v,u uma base de IR 3. Verifique se wv,wvu,wvu 5322 +−++− é base.

39) Escreva o vetor k ji ++ como combinação linear dos vetores

k jc,k jb, jia 232 +=+=+= .

40) Sejam cbavecbau 22 ++−=−+= , onde ceb,a são vetores L.I.. Mostre que

o vetor cbaw 6159 ++= é combinação linear de veu e determine os coeficientes dessacombinação linear.

Respostas:

1)a) AC b) CA c) BD d) BA 2)3

2 ACBCCD

+−= 3) 2MN

4) a) AE b) AC c) AC d) AB e) AO f) AD g) AH h) AD i) AO j)

AC

6) a)<4,7> b)<–6,0> c)<9,–3>

d)<–9,7>

7) a)(I)–8/17 i + 15/17 j , (II) )8/17 i – 15/17 j b)(I) 29/5,29/2 − , (II)29/5,29/2−

c)(I) 34/3,34/5 − , (II) 34/3,34/5−

8) a)<–12, 6> b)<–3, 3/2> 9) j65/42i65/24 − 10) a)(I) 5/3c ±= (II)0 b) (I)13/3c ±= (II) 0 11)235 km/h , 65o 12)301,5 km/h , 144,3o 13)arcsen(0,4)≈ 23,6o 14)50 km, 53o

y

x

0

7

4 –6

x 0

yy

x

y

x0



15)a)(I) k12 j30i28 +− (II) k2 j5i3/14 −+− (III) )k6 j15i14(457/2 +−

b)(I) k12 j6i12 +−− (II) k2 ji2 −+ (III) )k6 j3i6(9/2 +−−

16)a)<2,–6,8> b)<7, –2, 0> c)<–1, 1, 1>

17)a)<1,3> b)<4,5> c)<1,0,2> d)<1,3,–1> 18)a)5, <2,5>, <–10,1>, <12,17> b)7, <5,7,1>,<7,–3,5>, <14,26,1> c) 6 , k3 ji +− , k j3i −− , k11 j2i3 +− 19) a) (-15/2, 15/2) b) (23/5,-11/5) 20) (4, -2) 21) a) D(-2, 2) b) D(1, 2)22) (2, 2), (0, -4) e (10,6) 23) a) C(0, 3/2), D(2, 0), E(4, -3/2) b) F(2/3, 1), G(10/3, -1)24) N(1, -2, -6/5) 25) x = (11/3, 2/3, 4/3) 26) C(6, -1, 3) e D(1, -9, 7) 27) (9, 7, 11)

28) m = 5 e n = -13 29) j)256(i)2536(F ++−= , F 13,5 lb , o76≈θ

30) j,i,T 403405551

+= , 1T 64,91 lb. j,i,T 60650555

2+−= , , 2

T 85,64

lb

32) b) (1/3,1/3,1/3) 34) x<0 e y = 0 35) a) L.I. b) L.D. c) L.I. d) L.D.

36) Formam uma base; wvu91

5

7

3

13

1++ 37) Formam uma base; wvua ++=

38) É base 39) cbav2

32

2

1+−= 40) vuw 78 +=

Bibliografia:

SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2, Makron Books, São Paulo – SPWINTERLE. Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2009DUARTE FILHO. Jorge costa. Maria Silvia C. Favareto. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. UFPB-CCEN/DM

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