VETORES

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1 Profª Cristiane Guedes

Espaço R3 2

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Exercício: Seja P um paralelepípedo com faces

paralelas aos planos coordenados. Sabendo que A =

(1,1,1) e B = (3,4,5) são dois dos seus vértices,

determine os outros vértices.

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Distância entre dois pontos

Sejam P(x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) dois pontos do espaço.

A distância entre eles é dada por:

d(P, Q) = √(x2– x1 )2 + (y2 – y1 )

2 + (z2 – z1 )2

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Vetores

•Módulo (Norma)

•Direção

•Sentido

Vetor

ABAB

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Vetores Coplanares

São vetores que possuem representantes no mesmo

plano.

coplanares não coplanares

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Subtração de vetores

Definimos a diferença v1 – v2 como v1 + (– v2 ).

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Adição de vetores

a

b

bas

),,(

),,(

),,(

212121

222

111

zzyyxxba

zyxb

zyxa

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Propriedades da Adição

1. Associativa

2. Comutativa

1. Elemento neutro

1. Elemento oposto

3,,)()( Vcbacbacba

3, Vbaabba

30 Vaaa

0)()(/)(0

aaaaaa

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Multiplicação por um escalar

Dados:

vetorv

real

:

:

vw

é o vetor vezes o vetor v

Definição:

• Se =0 ou =0 então =0

• é definido como:

comprimento: | |=||| |

direção: é paralelo a

sentido: se >0 o sentido é o mesmo de

<0 o sentido é oposto ao de

Exemplo: v v

2

v

2

1v

2

v

v

v

v

v

v

v

v

v

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Propriedades da multiplicação por

escalar

Para quaisquer vetores u e v e quaisquer escalar e b reais são

válidas as seguintes propriedades:

Rvv bbb ,)()(

Rvuvu

)(

Rvvv bbb ,)(

vv

1

M1.

M2.

M3.

M4 (elemento neutro da operação)

•Versor de um vetor

Se v≠0 o seu versor é um vetor unitário (modulo 1) e possui a

mesma direção e mesmo sentido. Representação: versor de v:

v

vv

*ˆ

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Produto Escalar

Considere dois vetores não nulos

O produto escalar de por é o número real

Se um dos vetores for nulo o produto escalar é igual a zero.

Notação:

212121 ...cos... zzyyxxvuvu

),,(),,( 222111 zyxvezyxu

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Propriedades do Produto Escalar

Considere os vetores , e e seja t um número real.

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0. vuvu

Observe que os vetores das bases canônica do R2 e do R3 são

ortogonais e unitários.

1,0,0,0,1,0,0,0,1k,j,i

b

1,0,0,1j,i

14 Profª Cristiane Guedes

Norma (Módulo) de um vetor

2

222

.

.

vvv

vvzyxv

• A desigualdade de Cauchy-Schwarz continua válida:

|u.v| ||u||. ||v||

• O ângulo entre os vetores u e v, θ, é tal que:

0 θ π

cos θ = (u.v) / (||u||. ||v||)

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Ângulo entre dois vetores

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vu

vuvuvu

vuvvuuvvuvvuuu

vuvvuuvuvu

vuvuvu

.

.coscos...2.2

cos...2......

cos...2..)).((

,cos...2222

Ângulos e Cossenos Diretores

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Vamos determinar os ângulos entre um vetor não nulo

e os vetores da base canônica:

z,y,xu

iu

iui,ucos

u

0,0,1z,y,x

u

x

u

xarccosi,u

ju

juj,ucos

u

0,1,0z,y,x

u

y

u

yarccosj,u b

ku

kuk,ucos

u

1,0,0z,y,x

u

z

u

zarccosk,u

1)(cos)(cos)(cos 222 b

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Observe que:

u

z

u

y

u

xu

uu

,,

1* )cos(),cos(),cos( b

Os ângulos , b e são chamados ângulos diretores e os

cossenos desses ângulos são chamados cossenos diretores.

Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 b

Exemplo: Determine o versor de um vetor u sabendo que

dois dos seus cossenos diretores são:

6

6)cos( b

3

6)cos(

Projeção de um vetor

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v2

v1

v

u

v2

v1

v

u

Dados os vetores u e v, decompondo v = v1 + v2 com v1 // u

e v2 u.

O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u

e é denotado por:

vvv

vuvuproj

.

.),(

Produto Vetorial

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O produto vetorial ao contrário do produto escalar resulta em

um vetor.

Notação do produto vetorial: u x v.

Sejam u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2), então:

222

111

zyx

zyx

kji

vu

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O vetor u x v é simultaneamente

ortogonal a u e v.

u

u x v v

v x u

(u x v).u = 0 e (u x v).v = 0

u x v = - (v x u), a ordem de colocação dos vetores altera o

sentido do vetor resultante.

u x v = 0 se e somente se u // v

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Se é o ângulo entre os vetores u e v então:

|u x v| = |u||v| sen

O |u x v| é a área de um paralelogramo de lados iguais

ao |u| e |v|.

|u|

|v|

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i

k j

Produto Misto

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Definição: Sejam u , v e w . O produto misto entre esses vetores é

um número real, denotado e definido por:

Interpretação Geométrica do Produto

Misto

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Sejam u , v e w três vetores não coplanares.

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Portanto, podemos concluir que:

Exemplos

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1) Considere o paralelepípedo de arestas OA, OB e

OC, onde OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC =

(2,1,0). Calcule o volume V deste paralelepípedo

e uma das suas alturas.

2)

A respeito do tetraedro de arestas OA, OB, e OC,

sabemos que OA = (x,3,4), OB = (0,4,2) e OC =

(1,3,2). Calcule o valor de x, para que o volume

desse tetraedro seja igual a 2 u.v.