vettori – grand. fisiche - · Lucidi di D. SCANNICCHIO e P. MONTAGNA, rivisti da E. GIROLETT I. Elio GIROLETTI - Università di Pavia, Dip. Fisica nucleare e teorica Pavia, 2005

Elio GIROLETTI - Università di Pavia, Dip. Fisica nucleare e teorica

Pavia, 2005

ESCLUSIVO USO DIDATTICO INTERNO - PROPEDEUTICO: Grandezze fisiche e vettori

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elio girolettielio giroletti

UNIVERSITUNIVERSITÀÀ DEGLI STUDI DI PAVIADEGLI STUDI DI PAVIAdip. Fisica nucleare e teoricadip. Fisica nucleare e teorica

via Bassi 6, 27100 Pavia, via Bassi 6, 27100 Pavia, ItalyItaly -- tel. tel. [email protected]@unipv.it -- www.unipv.it/www.unipv.it/webgirowebgiro

vettori vettori –– grand. fisichegrand. fisicheMATEMATICA & FISICAMATEMATICA & FISICA, elio giroletti, 2005, elio giroletti, 2005

corso propedeuticocorso propedeuticodi di

MATEMATICA E FISICAMATEMATICA E FISICA

Classe Lauree diClasse Lauree diINFERMIERISTICA e OSTETRICIAINFERMIERISTICA e OSTETRICIA


-- IntroduzioneIntroduzione-- Grandezze fisiche e dimensioniGrandezze fisiche e dimensioni-- Sistemi di unitSistemi di unitàà di misuradi misura-- Scalari e vettoriScalari e vettori

Lucidi di D. SCANNICCHIO e P. MONTAGNA, rivisti da E. GIROLETTLucidi di D. SCANNICCHIO e P. MONTAGNA, rivisti da E. GIROLETTII


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CL-INF/OST - PROPEDEUTICO – Vettori e grandezze fisiche - 2003

GRANDEZZA FISICAdefinizione entità misurabile

DIMENSIONI

fondamentali

derivate

[L] lunghezza[M] massa[ t ] tempo[ i ] corrente elettrica[ T ] temperatura

[L]a[M]b[ t ]c[ i ]d

EQUAZIONI DIMENSIONALIcontrollo omogeneità relazioni

COSTANTI FONDAMENTALI


GrandezzeGrandezze fisichefisicheDefinizione operativa:

Grandezza fisica Proprietà misurabile

Misura di una grandezza:• mediante un dispositivo sperimentale• in confronto con un’altra grandezza omogenea di riferimento

costante e riproducibileEspressionedi una grandezza: numero + unità di misura

rapporto tra misura e campione di riferimento

Sensazione di caldo/freddo NO (soggettiva, diversa per ciascuno) Temperatura SI (oggettiva, uguale per tutti)

Es.


UnitUnitàà di di misuramisura

MAI dimenticare l’unità di misura!Dire “un corpo è lungo 24” non ha senso.Dire “la densità dell’acqua è 1” non ha senso. …e dirlo all’esame…

Lunghezza di un corpo:

Procedere all’operazione di misura mediante uno strumento

Es. misuratore A: 3 “spanne”; misuratore B: 4 “spanne”

Confrontare il risultato con campione fisso, preso come unità di misura

“spanna” misuratore A = 20 cm 3 “spanne” = 60 cm

“spanna” misuratore B = 15 cm 4 “spanne” = 60 cm uguale!

Es.


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GrandezzeGrandezze fondamentalifondamentalie derivatee derivate

Fondamentaliconcetti intuitiviindipendenti l’uno dall’altronon definibili in termini di altre grandezze

Derivatedefinibili in termini delle grandezze fondamentalimediante relazioni analitiche

Lunghezza [L]Massa [M]Tempo [t]Intensità di corrente [i]Temperatura assoluta [T]

Superficie (lungh.)2 [L]2Volume (lungh.)3 [L]3Velocità (lungh./tempo) [L] [t]-1Acceleraz. (veloc./tempo) [L] [t]-2Forza (massa*acc.) [L] [M] [t]-2Pressione (forza/sup.) [L]-1 [M] [t]-2

in generale ………… [L]a[M]b[t]c[i]d[T]e


SuperficiSuperfici e e volumivolumi

Retta – [L]1 Piano – [L]2 Spazio – [L]3

l (m) S (m2) V (m3)

L’area della superficie di un corpo si misura in m2, cm2,…Il volume (o capacità) di un corpo si misura in m3, cm3,…

a

r

b

PARALLELEPIPEDOS = a•bV = a•b•c

c SFERAS = π•r2

V = (4/3)•π•r3

r

CILINDROS = π•r2

V = π•r2•l l

In generale:S = base•altezzaV = area base•altezza


MisureMisure di di superficisuperfici e e volumivolumi

Attenzione alle conversioni tra unità di misura!

1 m2 = (1 m)2 = (102 cm)2 = 104 cm2 = 10.000 cm2

1 m3 = (1 m)3 = (102 cm)3 = 106 cm3 = 1.000.000 cm3

1 cm2 = (1 cm)2 = (10-2 m)2 = 10-4 m2 = 0,0001 m2

1 cm3 = (1 cm)3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3 = 0,000001 m3

1 l = 1 dm3 = (1 dm)3 = (10-1 m)3 = 10-3 m3

= (101 cm)3 = 103 cm3

Meglio un passaggio in più...

1 m100 cm

1 m100 cm

1 m100 cm

1 m2(m3) significa “un metro al quadrato(cubo)”è una misura di area(volume) e quindi ha sempre dimensione L2(L3)

Quindi:

Se 1 litro d’acqua ha massa di 1 kg, 1 m3 d’acqua ha massa di 1.000 kg!!!Es.


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SISTEMI di UNITA' di MISURA

SISTEMA INTERNAZIONALE (S.I. ex MKSQ)

metro (m) kilogrammo (kg) secondo (s)ampere (A)

SISTEMA C.G.S.SISTEMA C.G.S.centimetro (cm) grammo (g) secondo (s)

SISTEMI PRATICISISTEMI PRATICI esempi

atmosfera (atm) millimetri di mercurio (mmHg)ora (h) .........................................

ångstrom (Å) elettronvolt (eV)

temperatura (°K)


SistemiSistemi di unitdi unitàà di di misuramisura

Stabilire un sistema di unità di misura =fissare le grandezze fondamentalie il valore dei loro campioni unitari

Sistema [L] [M] [t] [i] [T]lungh. massa tempo intens. temper.

corrente assoluta

MKSQ (SI) m kg s A oKInternazionale metro chilogr. secondo ampere gr.kelvin

cgs cm g s A oKcent. grammo secondo ampere gr.kelvin

Sistemi pratici vari esempi


ESEMPI DI UNITA’ PRATICHELunghezza angstrom, anno-luceTempo minuto, ora, giorno, annoVolume litroVelocità chilometro/oraPressione atmosfera, mmHg, bariaEnergia elettronvolt, chilowattoraCalore caloria.......... ..........

Fattori di conversione:MKS cgs 1 m = 102 cm 1 kg = 103 gcgs MKS 1 cm = 10-2 m 1 g = 10-3 kgMKS, cgs pratici proporzioni con fattori numerici noti e viceversa

SistemiSistemi di unitdi unitàà di di misuramisura


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Se si sbaglianole unità

di misura…


MULTIPLI E SOTTOMULTIPLIMULTIPLI E SOTTOMULTIPLI

petapeta-- (P)(P) 10101515 1.000.000.000.000.0001.000.000.000.000.000teratera-- (T)(T) 10101212 1.000.000.000.0001.000.000.000.000gigagiga-- (G)(G) 101099 1.000.000.0001.000.000.000megamega-- (M)(M) 101066 1.000.0001.000.000chilochilo-- (k)(k) 101033 1.0001.000

decideci-- (d)(d) 1010--11 0,10,1centicenti-- (c)(c) 1010--22 0,010,01millimilli-- (m)(m) 1010--33 0,0010,001micromicro-- ((µµ) ) 1010--66 0,000 0010,000 001nanonano-- (n)(n) 1010--99 0,000 000 0010,000 000 001picopico-- (p)(p) 1010--1212 0,000 000 000 0010,000 000 000 001femtofemto-- (f)(f) 1010--1515 0,000 000 000 000 0010,000 000 000 000 001

mul

tipli

mul

tipli

sotto

mul

tipli

sotto

mul

tipli


57800 g = 5,78 • 104 g = 5,78 • (101•103) g = 57,8 kg

57.8 kg = 57,8 • 103 g = 5,78 • 104 g

0.0047 g = 4.7 • 10-3 g = 4.7 mg

0.00047 g = 4.7 • 10-4 g = 4.7 • (102 • 10-6) g = 470 µg

OrdiniOrdini di di grandezzagrandezzaPer Per esprimereesprimere brevementebrevemente grandezzegrandezze fisichefisiche grandigrandi o o piccolepiccole::

numeronumero a 1,2,3 a 1,2,3 cifrecifre + + unitunitàà di di misuramisura con con multiplo/sottomultiplomultiplo/sottomultiplo (di 3 in 3)(di 3 in 3)

confrontareconfrontare grandezzegrandezze““infinitamenteinfinitamente”” grandigrandi o o piccolepiccole::OrdineOrdine di di grandezzagrandezza = = potenzapotenza di 10 pidi 10 piùù vicinavicinaal al numeronumero consideratoconsiderato

Es.

Atomo di idrogeno:raggio atomo: 10-10 m raggio nucleo: 10-15 m

10-10 m /10-15 m = 105

L’atomo di idrogeno è 100000 voltepiù grande del suo nucleo!

Es.


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OrdiniOrdini di di grandezzagrandezza: : esempiesempi di di lunghezzelunghezze

Alcune lunghezze valore in m- dist. del corpo celeste più lontano 1025 m (10000 miliardi di miliardi di km)

- distanza della stella più vicina 3.9 • 1016 m (40000 miliardi di km)

- anno-luce 9.46 • 1015 m (9000 miliardi di km)

- distanza Terra-Sole 1.49 • 1011 m = 149 Gm (150 milioni di km)

- distanza Terra-Luna 3.8 • 108 m = 380 Mm (400000 km)

- raggio della Terra 6.38 • 106 m = 6.38 Mm (6000 km)

- altezza del Monte Bianco 4.8 • 103 m = 4.8 km (5 km)

- altezza di un uomo 1.7 • 100 m = 1.7 m - spessore di un foglio di carta 10-4 m = 100 µm (1/10 di mm)

- dimensioni di un globulo rosso 10-5 m = 10 µm (1/100 di mm)

- dimensioni di un virus 10-8 m = 10 nm (100 angstrom)

- dimensioni di un atomo 10-10 m (1 angstrom)

- dimensioni di un nucleo atomico 10-15 m (1/100000 di angstrom = 1 fermi)


OrdiniOrdini di di grandezzagrandezza: : esempiesempi di tempidi tempi

Alcuni tempi valore in s

- stima dell’età dell’Universo 4.7 • 1017 s (15 miliardi di anni)

- comparsa dell’uomo sulla Terra 1013 s (300000 anni)

- era cristiana 6.3 • 1010 s (2000 anni)

- anno solare 3.15 • 107 s- giorno solare 8.64 • 104 s- intervallo tra due battiti cardiaci 8 • 10-1 s (8/10 di sec.)

- periodo di vibraz. voce basso 5 • 10-2 s (2/100 di sec.)

- periodo di vibraz. voce soprano 5 • 10-5 s (50 milionesimi di sec.)

- periodo vib. onde radio (FM 100 MHz) 10-8 s (10 miliardesimi di sec.)

- periodo di vib. raggi X 10-18 s (1 miliardesimo di miliardesimo di sec.)


OrdiniOrdini di di grandezzagrandezza: : esempiesempi di tempidi tempi

Alcuni tempi valore in s

- stima dell’età dell’Universo 4.7 • 1017 s (15 miliardi di anni)

- comparsa dell’uomo sulla Terra 1013 s (300000 anni)

- era cristiana 6.3 • 1010 s (2000 anni)

- anno solare 3.15 • 107 s- giorno solare 8.64 • 104 s- intervallo tra due battiti cardiaci 8 • 10-1 s (8/10 di sec.)

- periodo di vibraz. voce basso 5 • 10-2 s (2/100 di sec.)

- periodo di vibraz. voce soprano 5 • 10-5 s (50 milionesimi di sec.)

- periodo vib. onde radio (FM 100 MHz) 10-8 s (10 miliardesimi di sec.)

- periodo di vib. raggi X 10-18 s (1 miliardesimo di miliardesimo di sec.)


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Alcune masse valore in kg- massa dell’Universo (stima) 1055 kg- massa del Sole 1.98 • 1030 kg (2000 miliardi di miliardi di miliardi di kg)

- massa della Terra 5.98 • 1024 kg (6 milioni di miliardi di miliardi di kg)

- massa di un uomo 7 • 101 kg (70 kg)

- massa di un globulo rosso 10-16 kg (100 milionesimi di miliardesimo di g)

- massa del protone 1.67 • 10-27 kg (1.6 milionesimi di miliardesimo di

- massa dell’elettrone 9.1 • 10-31 kg miliardesimo di g)

OrdiniOrdini di di grandezzagrandezza: : esempiesempi di massedi masse


GRANDEZZE SCALARI

caratterizzate da 1 solo numero(≡ rapporto fra grandezza e sua unità di misura)

esempi esempi massa m = 73,8 kgtempo t = 32,3 sdensità d = m/V = 4,72 g cm–3


GRANDEZZE VETTORIALI

caratterizzate da 33 dati

direzione

modulo verso

punto di applicazione

v→v

modulo v, | v | direzioneverso

→

→

(lettera v in grassetto )

esempi spostamento svelocità v accelerazione a

s = 16,4 m v=32,7 m s–1

a = 9,8 m s–2


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ComponentiComponenti e modulo e modulo di un di un vettorevettore

y

xO

vyv

αvx

Un vettore è univocamente descrittonel piano 2dim dalle sue 2 componentinello spazio 3dim dalle sue 3 componenti

(v. Matematica: Sistemi di riferimento e Funzioni trigonometriche)

vx = |v|•cos(α)vy = |v|•sen(α)

|v|2 = vx2 + vy

2 modulo= |v|2•[sen2(α) + cos2(α)] = |v|2•1


SommaSomma di di vettorivettoriy

xO

v1y v1

v1x v2x

v2yv2

v3x

v3y v3 v3 = v1 + v2

Metodo grafico: diagonale del parallelogrammo costruito sui vettori di partenza

Componenti: somma delle componenti dei vettori di partenza v3x = v1x + v2x

v3y = v1y + v2y


DifferenzaDifferenza di di vettorivettori

x

y

O

v1yv1

v1x v2x

v2y v2

v3x

v3yv3

v3 = v1 - v2

v1 = v3 + v2

Metodo grafico: “altra” diagonale del parallelogrammo costruito sui vettori di partenza

Componenti: somma delle componenti dei vettori di partenza v3x = v1x - v2x

v3y = v1y - v2y


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““MoltiplicazioniMoltiplicazioni”” di di vettorivettori

Oltre alla somma e alla differenza si possono definire 2 altre operazioni tra vettori,

chiamate prodottima non corrispondenti

alla consueta idea di moltiplicazione.

Prodotto scalare di 2 vettori: il risultato è uno scalarescalare, non più un vettore

Prodotto vettoriale di 2 vettori: il risultato è ancora un vettorevettore


ProdottoProdotto scalarescalare

v1 • v2 = v1 v2 cos φ→ →

φ

v1→

v2→

φ = 0° v1 • v2 = v1v2 cos φ = v1v2 → →

v2→

v1→

φ = 90° v1 • v2 = v1v2 cos φ = 0→ →

v2→

v1→

φ = 180° v1 • v2 = v1v2 cos φ = – v1v2→ →v1

→

→

v1 • v2 = v1x v2x + v1y v2y→→

v2

+1

-1

0

il risu

ltato

è un num

ero,

non un ve

ttore

!


ProdottoProdotto vettorialevettoriale|v1 ∧ v2| = v1 v2 sen φ→ →

φ = 0° |v1 ∧ v2|= v1v2 sen φ = 0→ →

v2→

v1→

φ = 90° |v1 ∧ v2|= v1v2 sen φ = v1v2→ →

v1→

v2→

φ = 180° |v1 ∧ v2|= v1v2 sen φ = 0 → →v1→

→v2

0

0

+1

il risu

ltato

è un vetto

re,

non un n

umer

o!

direzione ⊥ ai 2 vettoriverso di avanzamento di una vitesovrapponendo v1 a v2 (e non viceversa!)(pollice mano destra)

φv2→

v1→

v3φ

v1→

v2→

v3

v3


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MOMENTO DI UNA FORZAMOMENTO DI UNA FORZA

M = OA M = OA ΛΛ F = r F = r ΛΛ F F

dimensioni [M] = [forza] [L] dimensioni [M] = [forza] [L] unitunitàà di misura S.I.: di misura S.I.: Newton x m (Newton x m (NmNm) )

•• modulo: F r sen modulo: F r sen ФФ = F b= F b•• direzione: direzione: ┴┴ rr e e FF•• verso: avanzamento vite da verso: avanzamento vite da rr a a FF

FF

OO

MMΦΦ

AA

rrbb

esempio: OA= r = 2 cm; F = 1000 N; esempio: OA= r = 2 cm; F = 1000 N; ФФ =63=63°°modulo= 1000 N modulo= 1000 N xx 0,02 m 0,02 m xx sen 63sen 63°° = 17,82 = 17,82 NmNm

x

y

z


VersoreVersore

ϑ

nn→

F

∆S

Fn

v|v|

→

n = →

modulo = 1direzione v→

verso v→

Def. di pressione:

componente di una forzaperpendicolare a una superficie

Fn = F cosϑ = F • n (prodotto scalare)

Es.

E’ un metodo comodo per tener conto di una direzione precisasenza alterare – grazie al modulo unitario del versore –

il valore numerico della grandezza in esame.

→


GrandezzeGrandezze scalariscalari e e vettorialivettoriali

Grandezze scalari1 informazione:•modulo = numero (risultato misura)

Grandezze vettoriali4 informazioni:•modulo = numero (risultato misura) •direzione•verso•punto di applicazione

Per Per unauna descrizionedescrizione completacompleta del del fenomenofenomeno sonosononecessarinecessari e e sufficientisufficienti

direzione

moduloverso

punto di applicazione

v

Massa = 10 kg Es.

Spostamento = 10 km in direzione nord-sudverso nord partendo da Pavia

Es.


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dispense su internetdispense su internetwww.unipv.it/www.unipv.it/webgirowebgiro

elio girolettielio giroletti ..UniversitUniversitàà degli Studi di Pavia degli Studi di Pavia dip. Fisica nucleare e teoricadip. Fisica nucleare e teorica

[email protected]@unipv.it -- 038298.7905038298.7905

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