vežbe br. 7 - SMK

СПЕЦИЈАЛНЕ МЕТАЛНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ - ГРАЂЕВИНАРСТВО НОВИ САД 2015

1

VEŽBE 7 - STABILNOST - Nastavak (Radna verzija)

7.1 IZVIJANJE STUBOVA

Ova tema se detaljno obrađuje u sklopu predmeta Metalne konstrukcije 1, pa se ovde ukratko navodi iz dva

razloga. Prvi je preglednost teme izvijanja realnih pravih štapova koji se javljaju u konstrukcijama, jer je

primećeno slabije poznavanje ove tematike kod studenata četvrte godine, do te mere da imaju poteškoća u

razgraničavanju pojmova različitih formi izvijanja. Drugi razlog je što su ovde date oznake koje koristi Evrokod,

a koje nisu bile razmatrane u MK1. Suština je i pored izmenjenih oznaka identična.

Postoje tri vrste GLOBALNOG izvijanja stubova koji su opterećeni samo normalnom silom pritiska, i to su:

TORZIONO IZVIJANJE

- centrično opterećeni stubovi

- dvostruko simetrični

- težište se poklapa sa C-centrom smicanja

- da bi bilo merodavno, mora se raditi o otvorenim profilima

FLEKSIONO IZVIJANJE (SAVIJANJEM)

- oko slabije ose

TORZIONO FLEKSIONO IZVIJANJE

- kod elemenata gde se T i C ne poklapaju.

Uvek će doći do izvijanja u modu (obliku izvijanja) koji ima najmanju kritičnu silu od ova tri. Za valjane profile

ovo je najčešće fleksiono izvijanje.

7.1.2 Torziono i torziono fleksiono izvijanje

Ove dve vrste izvijanja su ređe kod valjanih profila, a češće se sreću kod hladno oblikovanih (tankozidnih)

profila, pa se stoga njihov tretman detalljnije obrađuje u Evrokod 1993-1-3. Kritične sile su date formulama

ispod

elastična krtitična sila za torziono izvijanje

elastična kritična sila za fleksiono-torziono

izvijanje preseka simetričnog samo oko y-y

ose. Preseci koji su dvoosno simetrični, imaju

Ncr,TF = Ncr,T. y0 i z0 su koordinate centra

smicanja u odnosu na težište. k se može


2

usvojiti 1,0 za nepoznate uslove ograničenja deplanacije na osloncima.

relativna vitkost se računa po istoj formuli, a χ se uzima kao za z-z osu.

7.2. IZVIJANJE GREDA

I ako ne postoji aksijalna sila u gredi, već samo moment savijanja, postoji mogućnost GLOBALNOG izvijanja

takve grede. Samo u ovom slučaju se ne govori o kritičnoj sili, već o kritičnom momentu. Ova vrsta izvijanja se

naziva BOČNO TORZIONO IZVIJANJE. Ova vrsta izvijanja NE POSTOJI, tj neće se javiti:

- kada je nosač opterećen oko slabije ose

- kada su obezbeđeni bliski ili kontinualni bočni oslonci ili ukrućenja

- kada je presek zatvoren (primera radi pravougaona kutija ima reda veličina 10x manju vitkost na bočno-torziono izvijanje nego HEB profil iste površine)

Mcr za idealni slučaj – uniformna krivina grede i oslonci nepomerljivi

vertikalno ni bočno, niti dopuštaju uvrtanje, ali dopuštaju ostale

stepene slobode

Mcr sa uvođenjem različitog stepena uklješenja u osnovi i

neuniformne krivine

Mcr prema EC3, sa različitim tipovima

oslanjanja, oblicima M dijagrama,

početne krivine i nivoom na kome se

unosi opterećenje

IT - torziona konstanta preseka

Iw - sektorski moment inercije ("warping constant", dat u delu TORZIJA)

L - dužina grede

kw - parametar ograničenja deplanacije, kada su nesigurni uslovi oslanjanja usvojiti 1,0 (na strani sigurnosti)

zg- rastojanje po z osi između centra smicanja i tačke u kojoj se nanosi opterećenje. zg je pozitivno za

destabilišuće opterećenje


3

C1 - faktor ekvivalnentnog uniformnog momenta, zavisi od oblika dijagrama momenta

C2 - faktor koji se odnosi na nivo opterećenja i zavisi od oblika momentnog dijagrama (pogledati NCCI SN003)

k - koeficijent dužine izvijanja

g- faktor koji obuhvata početnu krivinu štapa, može se usvojiti konzervativno kao 1,0 ili izračunati prema

7.3 ALUMINIJUM-EC 1999

Treba obratiti pažnju da su pobrojani oblici izvijanja stuba u delu 7.1 oblici kada su stubovi centrično

opterećeni. Ovo uglavnom neće biti slučaj sem kod pendel stubova. U većini slučajeva u stubu će se javiti i

normalna sila i momenta savijanja, tako da će sem kod zatvorenih preseka stubova bočno torziono izvijanje

biti merodavno. Pošto aluminijumski nosači mogu imati zvezdasti oblik preseka (radijalno simetrični otvoreni

preseci) to se javlja mogućnost i od čisto torziono ili torziono fleksionog izvijanja, no ovo je ređe slučaj. U

daljem tekstu, prvo će biti obrađeno borčno torziono izvijanje bez prisustva normalne sile (grede), a potom i

stabilitetna analiza interakcije normalne sile i momenta savijanja, što je nastavak teme od prethodnih vežbi. s

tim što je u ovom slučaju normalna sila pritskujuća, što nije bio slučaj u prethodnim vežbama.


4

7.3.1 BOČNO TORZIONO IZVIJANJE PREMA EC 1999-1-1

Kao što je u tački 7.2 navedeno, postoje situacije kada se bočno torziono izvijanje ne može javiti. EC9

propisuje kako treba dimenzionisati lateralne oslonce u klauzuli 6.3.3, dela 1999-1-1. Treba napomenuti da

ako jedan štap sprega služi kao lateralni oslonac za nekoliko greda, kao što je često slučaj kod konstrukcija

krovova, taj štap treba biti dimenzionisan na redukovanu sumu sila opet prema 6.3.3.

Proračunska otpornost na bočno torziono izvijanje nepridržane grede, ili njenog segmenta, treba da se uzme

kao manje od:

gde se donji izraz koristi za presek sa poprečnim šavom. Oznake su identične onim korištenim u dosadašnjim

vežbama, a spisak svih se nalazi na samom početku dokumenta EC 1999-1-1. Praktično ceo postupak je

paralelan onom za izvijanje usled normalne sile,sa razlikom proračuna Mcr umesto Ncr. Tako je:

Sem kod preseka sa poprečnim šavovima

(videti klauzulu 6.3.3.3. i primer sa sledećih vežbi).


5


6


7

Parametar C1 zavisi od oblika dijagrama momenta savijanja, i vrednosti iz tabela gore su dobijene sledećom

formulom:

kwt je bezdimenzionalni torzioni parametar, dok je μcr je relativni bezdimenzionalni kritični moment.

kw se uzima da je 1,0 sem ako posebni uslovi sprečene deplanacije na krajevima nisu obezbeđeni, i u tom

slučaju se uzima 0,5. kz je vrednost analogna dužini izvijanja kod pritisnutih štapova, i data je u tabelama gore

zavisno od statičkog sistema grede.

za je koordinata tačke u kojoj se nanosi opterećenje u odnosu na težište

zs je koordinata centra smicanja u odnosu na težište

zg =za-zs (pozitivno za opterećenje iznad centra smicanja, i negativno za opterećenje ispod C)

Ϛ j je jednako 0,0 ako je presek dvostruko simetričan, dok je Ϛg jednako 0,0 ako sila prolazi kroz centar

smicanja.

Za prostu gredu konstantnog simetričnog poprečnog preseka otperećenu konstantnim momentom savijanja:

Postoji i uprošćeni postupak određivanja relativne vitkosti bez računanja kritičnog momenta, međutim samo

za odrećene oblike preseka. Taj postupak i parametri X i Y su dati u aneksu I. Formule su sledeće:


8

7.3.2. Stabilnost stuba sa momentima na krajevima i/ili poprečnim opterećenjem

Da bi se razumelo kako koristiti formule za ovako opterećene elemente (na eng. beam-column) biće prikazano

izvođenje formula. Izvođenje je bazirano na elastičnoj teoriji tako da se naponi mogu prikazati dobro

poznatom formulom:

gde je y(x) ugib usled zbira momenta prvog reda M(x) i dodatnog momenta savijanja N x y(x) (II reda). Ovi

naponi su prikazani na slici ispod.

Suštinska pretpostavka je da su ugibi pri lomu jednaki ugibima pri samom kritičnom opterećenju Nb=χNo, gde

je No=Af0 i χ redukcioni faktor za fleksiono izvijanje.

Ova pretpostavka je dosta gruba, međutim veoma dobro se slaže sa dosta komplikovanijim teorijama i

testovima. Razlog ovome je što kada je N veliko, onda je M(x) malo, tako da je pretpostavljena deformaciona

linija veoma tačna. Sa druge strane, ako je M(x) veliko, onda je N x y(x) malo, pa oblik deformacione linije nije

veoma važan.

Kriterijum loma za silu Nb se smatra tako da je na krajnjem pritisnutom vlaknu dostignut napon f0, u preseku

gde je y=ymax. Onda je

odakle je


9

Deformaciona linija za izvijanje elastičnog stuba pri pritisku je sinusna kriva:

Sada naponi mogu biti zapisani kao:

Ako sada umesto napona uvrstimo f0 i podelimo izraz sa f0, i uvedemo sledeće oznake:

Rezultat je sledeća interakciona formula:

Ova formula važi u najopterećenijem preseku, koje nije po pravilu na sredini stuba, jer moment može biti veći

u drugim presecima. U svim ostalim presecima, leva strana jednačine mora biti manja od 1,0.

Kako je Nb=χNo, izraz se može prevesti u:

ili u:

**

gde smo ostatak izvukli u obliku


10

Tako se u izrazu ** u slučaju da je posmatrani presek na sredini stuba (x=lcr/2) i ωx = 1, imenilac pretvara u

otpornost na izvijanje χNo =Nb . Ako je presek na kraju stuba, onda je ωx = 1/χ i imenilac je nosivost pri tečenju

N0.

U ovim sitacijama praktično je uvesti skraćene oznake za članove u formuli interakcije:

Ove vrednosti su za konzolu prikazane na slici gore, a za prostu gredu će biti prikazane na slici dalje u tekstu.

7.3.2.1

Za bočno torziono izvijanje sa silom pritiska štapova otvorenog preseka, sa jednom ili dve ose simetrije,

formula koja treba biti zadovoljena je sledeća:

***

gde su oznake iste kao za fleksiono izvijanje osim

My,Ed - moment prvog reda za stub sa zglobovima na svojim krajevima u bočno ukrućenim konstrukcijama.

Kod bočno neukrućenih konstrukcija ovo je moment drugog reda.

My,b,Rd je moment otpornosti iz tačke 7.3.1 u odnosu na osu y-y

Mz,Rd je moment otpornosti bez umanjenja usled kriterijuma stabilnosti


11

Eksponenti su :

ηc = 0,8 ili η0χz ali ηc ≥ 0,8

γc = γ0

ξc = 0,8 ili ξ0χz ali ξc ≥ 0,8

γ0, η0, ξ0 su dati u prethodnim vežbama.

7.3.2.2

Kod elemenata koji imaju lokalizovane šavove, princip je isti kao i za izvijanje usled normalne sile, samo što

postoji i ωxLT,haz i λLT,haz , gde LT označava lateralno-torziono izvijanje (bočno torziono).

sem kada su šavovi blizu oslonaca kada se može olakšati na

7.3.2.3

Nakon izvođenja prikazanog na početku ovog poglavlja, može se izvesti i položaj preseka gde koji će biti

kritičan u slučaju da je štap opterećen samo krajnjim momentima. To se izvodi tako što se pronađe u kojoj

tački će izvod uticaja (udela u ukupnom naponu) normalne sile i momenta savijanja biti jednak nuli. Dobije se:

Ovako je moguće pronaći jedinstveni presek koji treba proveriti, tj koji je kritičan i njegovom proverom

zapravo dokazujemo otpornost celog stuba.

U slučaju da postoji i poprečno opterećenje ne može se direktno odrediti kritičan presek, već je potrebno

proveriti različite preseke prema formuli interakcije (***), a gde je xs mereno od tačke kontrafleksije (slika

druga na sledećoj strani).


12

Još jednom, formule su u ovom slučaju:


13

7.4 PRESECI SA OJAČANIM DELOVIMA (UNUTRAŠNJA I IVIČNA OJAČANJA)

Kao što je naglašeno u prvim vežbama, jedna od osnovnih prednosti aluminijuma nad čelikom je mogućnost

oblikovanja preseka koja je gotovo neograničena. Ova činjenica dovodi do osmišljavanja i proizvodnje

optimalnih preseka koji će, kao i kod linijskih konstrukcija, kriterijum stabilnosti predupređivati optimalnim

izborom ukrćenja, a ne jednostavnim povećanjem dimeznija.

Tako su često limovi većih dužina ekstrudiranih preseka ukrućeni ojačanjima, pre nego usvojeni većih debljina.

Evrokod 1999-1-1 i 1999-1-4 daju opšti proračun stabilnosti pritisnutih delova preseka sa ojačanjima,

međutim ovi se najčešće koriste za projektovanje novih preseka. Kod provere preseka sa ojačanjima,

sampresek je najčešće i ukrućenim jednostavnim oblicima ukruta, ili se komplikovanije ukrute mogu

aproksimirati konzervativno nekim jednostavnim, pravougaonim površinama ekvivalentnih ukrućenja.

Stoga će se na ovim vežbama objasniti samo direktni postupak dat u Evrokodu 1999-1-1 u tački 6.1.4.3 koji

objašanjava klasifikaciju ukrućenih preseka sa ivičnim i sa jednim ili dva unutrašnja ukrućenja. Obširniji

postupak, opšti, kojim su obuhvaćeni i aluminijumski limovi (trapezni na primer) dat je u EC 1999-1-4, a

razumljivo i koncizno objašenjenje ovih uputa dato je u već pomenutoj lekciji TALAT 2301.

Kada je deo preseka, nadalje lim, ukrućen rebrom ili ukrutom jednake debljine t, i koja se nalazi samo sa jedne

strane lima, ekvivalentna vitkost β tog dela preseka je

gde je η dato izrazima ispod, ili se čita sa grafika koji su takođe dati dalje u tekstu. Na ovim slikama i

formulama, debljina c rebra (ukrute) se meri od unutrašnje površine lima.

ukruta na kraju konzolnog lima, slika a)

jedna središnja unutrašnja ukruta, slika b)

dve unutrašnje ukrute u trećinama dužine lima, slika c)

Sa ovako dobijenim β određuje se klasa preseka isto kao i za neukrućene delove preseka.


14

Documents

vežbe br. 7 - SMK