Upload
alek89phatnom
View
828
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Пример 8:За финализирање на еден комплексен производ во едно претпријатие, група работници го потрошиле следново работно време:
Да се пресмета просечното работно време.
Број на работнициПотрошено работно време во часови и
минути
5 3ч и 30мин – 4ч и 29мин
7 4ч и 30мин – 5ч и 29мин
9 5ч и 30мин – 6ч и 29мин
Пример 8 (решение):
Просечното работно време потребно за изработка на овој производ изнесува 5 часа и 3,1 минути.
Број на работници
fi
Потрошено работно време во часови и минути
xi
Во минути
xi
Средина на класов
интервалfi/xi
5 3ч и 30мин – 4ч и 29мин 210 – 269 239,5 0,0208768
7 4ч и 30мин – 5ч и 29мин 270 – 329 299,5 0,0233722
9 5ч и 30мин – 6ч и 29мин 330 – 389 359,5 0,0250348
Σ 21 0,0692839
минути 3,1 и часа 5 минути 303,10
минути 10,3030692839,0
21
1
1
=
===∑
∑
=
=k
i i
i
k
ii
h
xf
fM
МедијанаМедијаната претставува позициона средна вредност која статистичката серија подредена по големина ја дели на два еднакви делови.
2
1)(
+= NчленM e
Групирани податоци(интервални класи)
if
fN
LMeM
i
e ⋅−
+=∑2
1
Пример 9:Успехот на студентите на испитот се оценува со следните оцени: одличен (А), многу добар (Б), добар (В), доволен (Г) и недоволен (Д). Резултатите од успешно положениот испит по предметот Статистика за бизнис и економија за 25 студенти е прикажан во табелата.
Одредете ја медијалната оцена.
Б В А А Б Б Б В В В В А А
Б Б В В В Г Г А Г Б Б А
Пример 9 (решение):
Медијалната оцена по предметот Статистика за бизнис и економија изнесува Б (многу добар).
Г Г Г В В В В В В В В Б Б Б Б Б Б Б Б А А А А А А
132
26
2
1)( ==+= NчленM e
КвартилиМедијаната покрива само 50% од сите вредности на белегот, односно не ги опфаќа неговите крајни вредности.Овој недостаток на медијаната може да се ублажи со делење на серијата на четири еднакви делови, квартили: Q1, Q2 – медијана и Q3.
Вредности на белегот подредени во статистичка серија
25% 50% 25%
Q1 Q2 Q3
Подмедијална
вредностМедијална вредност
Надмедијална вредност
if
fN
LMeM
i
e ⋅−
+=∑2
1if
fN
LQQ
i
⋅−
+=∑
1
411 i
f
fN
LQQ
i
⋅−
+=∑3
43
13
Пример 10:Неактивното население во Р. Македонија според возраста е прикажано во следната табела:
Да се одреди вредноста на медијаната, првиот и третиот квартил. Дадете толкување за добиените големини.
Возраст Број на жители (во илјади)
15 – 24 362
25 – 49 252
50 - 64 504
65 и повеќе 694
Пример 10 (решение):Возраст
Број на жители (во илјади)
Кумуланта
15 – 24 362 362
25 – 49 252 614
50 - 64 504 1118
65 - 89 694 1812
Вкупно 1812
9062
1812
2
1)( ==+= NчленM e
4534
1812
4
1)(1 ==+= NчленQ
13594
18123
4
)1(3)(3 =⋅=+= N
членQ
67,33
24252
3624
1812
25
4
1
11
=
=⋅−
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LQQ
i
11,58
14504
6142
1812
50
21
=
=⋅−
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LMeM
i
e
18,73
24694
11184
18123
65
43
3
13
=
=⋅−⋅
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LQQ
i
25% од неактивното населението има просечна возраст од 33,67 години, 50% има просечна возраст од 58,11 години и 25 % од населението има просечна возраст од 73,18 години.
Пример 11:Врз основа на податоците од табелата:
Определете ги медијаната, првиот и третиот квартил.Определете ја медијаната врз основа на графички приказ.
Број на изработени производи
Број на работници
10 – 20 11
20 – 30 36
30 – 40 27
40 – 50 16
50 - 60 10
Пример 11 (решение):Број на изработени
производиБрој на
работнициКумуланта
10 – 20 11 11
20 – 30 36 47
30 – 40 27 74
40 – 50 16 90
50 - 60 10 100
Вкупно 100
5,504
101
2
1)( ==+= NчленM e
25,254
101
4
1)(1 ==+= NчленQ
75,754
1013
4
)1(3)(3 =⋅=+= N
членQ
89,23
1036
114
100
10
4
1
11
=
=⋅−
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LQQ
i
1,31
1027
472
100
30
21
=
=⋅−
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LMeM
i
e
63,40
1016
7441003
40
43
3
13
=
=⋅−⋅
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LQQ
i
25% од работниците просечно изработува по 23,89 производи, 50% изработува просечно по 31,1 производ и 25 % од работниците просечно изработуваат по 40,63 производи.
Пример 11 (решение):
25,25)(1 =членQ
5,50)( =членM e
10 20 30 40 50 60 70X – горна граница накласовиот интервал
0
10
30
50
90
70
110
Y – кумулирани фреквенции
75,75)(3 =членQ
Q1 Me Q3
Кумуланта - огива
Модус (фреквенциона, доминантна, мода, модална или типична вредност на белегот)
Модусот е позициона средна вредност. Тој претставува вредност или модалитет на белегот кој најчесто се појавува во статистичката серија или има најголема фреквенција.
Групирани податоци(интервални класи)
iffff
ffLM ⋅
−+−−+=
)()( 3212
1210
Пример 12:Бројот на живородени деца спрема возраста на мајката во Р. Македонија е прикажан во следната табела:
Најдете ја вредноста на модусот и објаснете го неговото значење.
Возраст на мајката Број на живородени деца
15 – 19 2436
20 -24 12613
25 – 29 15183
30 – 34 10046
35 – 39 4001
40 – (54) 815
Пример 12 (решение):
Најчеста возраст на мајката при раѓање на дете е 26,67 години.
Возраст на мајката Број на живородени деца
15 – 19 2436
20 -24 12613
25 – 29 15183
30 – 34 10046
35 – 39 4001
40 – (54) 815
0M
67,26
5)1004615183()1261315183(
126131518325
)()(
1
3212
1210
=
=⋅−+−
−+=
=⋅−+−
−+= iffff
ffLM
2f
1f
3f
Мерки на дисперзијаСредната вредност не е доволен показател. Помеѓу единиците постојат разлики и во нивото на белегот. Тие разлики претставуваат варијабилитет.
Мерките на дисперзија го утврдуваат варијабилитетот во набљудуваната појава.
Вредности на белегот
Централна вредност на белегот
Отстапување од централната вредност на белегот
Мерки на дисперзијаСредната вредност на белегот ја изразува законитата тенденција на групирање на вредностите на белегот окулу една типична вредност на белегот.
Но помеѓу единиците на некоја маса постојат разлики во нивото на белегот кои се нарекуваат варијабилитет.
Серија X 5 20 36 64 105 130 185 255 M=100
Серија Y70
83 85 89 108 109 126 130 M=100
Сериите имаат иста аритметичка средина, но серијата X има поголем варијабилитет (вредностите на серијата варират од 5 – 255).
Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.
minmax xxiv −=
Разлика помеѓу најмалата и најголемата вредност на белегот во серијата.
Недостаток: Се пресметува врз основа на само две вредности (екстремните вредности).
13 QQiq −=
За да се отстрани влијанието на екстремните вредности врз износот на интервалот на варијација. Разлика помеѓу третиот и првиот квартил.
НедостатокНе се пресметува од сите податоци на серијата.Ги исклучува 25% од податоците со највисоки и 25% од податоците со најниски вредности.
ИНТЕРВАЛ НА ВАРИЈАЦИЈА
ИНТЕРКВАРТИЛНА РАЗЛИКА
Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.
N
MxSO
N
ii∑
=
−= 1
податоци иНегрупиран
Се изразува апсолутното отстапување на вредностите на белегот од нивната аритметичка средина.
Недостаток: Не е прилагодено за понатамошна математичка обработка.
СРЕДНО АПСОЛУТНО ОТСТАПУВАЊЕ
∑
∑
=
=−
= k
ii
k
iii
f
MxfSO
1
1
податоци Групирани
Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.
Збир на квадратните отстапувања на вредностите на белегот од аритметичката средина поделен со бројот на единиците.
Недостаток: Се изразува во квадратни отстапувања (квадрати на единиците на мерките на соодветниот белег).
СРЕДНО КВАДРАТНО ОТСТАПУВАЊЕ (ВАРИЈАНСА)
( )N
MxN
ii∑
=
−= 1
2
2
податоци иНегрупиран
σ
( )
∑
∑
=
=
−= k
ii
k
iii
f
Mxf
1
1
2
2
податоци Групирани
σ
Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.
Квадратен корен од варијансата. Се добива просечниот варијабилитет.
СТАНДАРДНА ДЕВИЈАЦИЈА 2σσ =
Релативни мерки на дисперзијаБидејќи апсолутните мерки се искажуваат во различни единици, истите не можат да се компарираат.За споредување на варијабилитетот на фреквенции чии белези се искажуваат во различни единици мерки или ист белег во повеќе распореди на фреквенции се користат релативните мерки на дисперзија.
100⋅=M
Cvσ
Процентуален однос на стандардната девијација и аритметичката средина.
КОЕФИЦИЕНТ НА ВАРИЈАЦИЈА
КОЕФИЦИЕНТ НА ИНТЕРКВАРТИЛНА ВАРИЈАЦИЈА за споредување на диспрезијата на повеќе маси или
примероци
10013
13 ⋅+−
QQCQ
НОРМАЛИЗИРАНО СТАНДАРДИЗИРАНО ОТСТАПУВАЊЕ σ
MxZ i −
=
Мерка на одалеченост на поодделните вредности на белегот од аритметичката средина на серијата искажана преку бројот на стандардните девијации.
Пример 13:Во примерок од 50 телефонски повикувања времетраењето го има следниот распоред:
Пресметајте го:a) Средното апсолутно отстапување;б) Варијансата;в) Стандардната девијација;г) Коефициентот на варијација.
Должина на разговорите во минути
Број на разговори
0 – 2 20
2 – 4 15
4 – 6 10
6 – 8 5
Пример 13 (решение):
( )4
50
200 )
1
1
2
2 ==−
=∑
∑
=
=k
ii
k
iii
f
Mxfб σ
Должина на разговорите во
минути (xi)
Број на разговори
(fi)
Средина на групен
интервал (xi)xifi xi-M fixi-M (xi-M)2fi
0 – 2 20 1 20 2 40 80
2 – 4 15 3 45 0 0 0
4 – 6 10 5 50 2 20 40
6 – 8 5 7 35 4 20 80
Вкупно 50 150 80 200
6,150
80
350
150
f
xM )
1
1
1i
k
1ii
==−
=
===
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
k
ii
k
iii
k
i
i
f
MxfSO
fa
24) 2 === σσв
%67,661003
2
100 )
=⋅=
=⋅=M
Cг v
σ
Должината на разговорите во просек отстапува за 66,67% во однос на аритметичката средина.
Пример 14:Врз основа на податоцитe за распоредот на 100 работници според бројот на изработени производи да се определи:a) Интервал на варијација;б) Интерквартилната разлика;в) Средно апсолутно отстапување;г) Варијанса;д) Стандардна девијација;ѓ) Коефициент на варијација;е) Коефициент на интерквартилна варијација.
Број на производи Број на работници
10 – 20 11
20 – 30 36
30 – 40 27
40 – 50 16
50 - 60 10
Пример 14 (решение):
Број на производи
xi
Број на работници
fi
Кумуланта
10 – 20 11 11
20 – 30 36 47
30 – 40 27 74
40 – 50 16 90
50 - 60 10 100
Вкупно 100
501060 ) minmax =−=−= xxiа v
735,16
89,23625,40
) 13
==−=
=−= QQiб q
89,23
1036
114
100
20
4
1
11
=
=⋅−
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LQQ
i
625,40
1016
7441003
40
43
3
13
=
=⋅−⋅
+=
=⋅−
+=∑
if
fN
LQQ
i
25,254
101
4
1)(1 ==+= NчленQ
75,754
1013
4
)1(3)(3 =⋅=+= N
членQ
Q1
Q3
Пример 14 (решение):Број на
производи
xi
Број на работници
fi
Средина на кл. инт.
xi
xififixi-M
(xi-M)2fi
10 – 20 11 15 165 196 3485,24
20 – 30 36 25 900 281 2190,24
30 – 40 27 35 945 59 130,68
40 – 50 16 45 720 195 2381,44
50 - 60 10 55 550 222 4928,4
Вкупно 100 3280 953 13116
( )
16,131100
13116
)
1
1
2
2
==
=−
=∑
∑
=
=k
ii
k
iii
f
Mxfг σ
53,9100
953
в)
1
1
==
=−
=∑
∑
=
=k
ii
k
iii
f
MxfSO8,32
100
3280
f
xM
1i
k
1ii
===∑
∑
=
=k
i
if
Пример 14 (решение):Број на
производи
xi
Број на работници
fi
Средина на кл. инт.
xi
xififixi-M
(xi-M)2fi
10 – 20 11 15 165 196 3485,24
20 – 30 36 25 900 281 2190,24
30 – 40 27 35 945 59 130,68
40 – 50 16 45 720 195 2381,44
50 - 60 10 55 550 222 4928,4
Вкупно 100 3280 953 13116
259,0
89,23625,40
89,23625,40
C )13
13Q
=
=+−=
QQе
%92,341008,32
45,11
100C ) v
=⋅=
=⋅=M
ѓσ45,1116,131 ) 2 === σσд