VI Fonctions de la variable réelle - Fabien PUCCIfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2019/02/2019_PCSI_06...Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle Ainsi, l’utilisation de l’outil

Chapitre

VI

Fonctions de la variableréelle

Longtemps, les mathématiques se sont développées au service des autres sciences.La séparation des différentes sciences est d’ailleurs tardive, et nombreux ont été

les mathématiciens à avoir également été des physiciens de renommée, comme Newtonpar exemple. Les mathématiques ont d’abord été vues comme un outil :

— au service de la mécanique et de l’ingéniérie (Archimède ⌊1⌋)— au service de l’astronomie (géométrie grecque, Ptolémée ⌊2⌋, écoles indienne et

arabe)— au service de toute étude nécessitant d’être chiffrée pour obtenir des ordres de

grandeurs.

Du dernier point découle l’importance du développement du calcul numérique (cal-cul approché, en opposition au calcul algébrique). C’est ce point de vue qui est

à la base des procédés d’approximation (méthode de Newton de recherche d’un zéro,méthodes approchées de calcul d’intégrales), aboutissant notamment à la notion deconvergence (qui donne la validité de l’approximation à l’infini).

⌊1⌋. Archimède de Syracuse, né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort en cette même ville en 212av. J.-C., est un grand scientifique grec de Sicile (Grande-Grèce) de l’Antiquité, physicien, mathéma-ticien et ingénieur. Bien que peu de détails de sa vie soient connus, il est considéré comme l’un desprincipaux scientifiques de l’Antiquité classique. Parmi ses domaines d’étude en physique, on peutciter l’hydrostatique, la mécanique statique et l’explication du principe du levier. Il est crédité de laconception de plusieurs outils innovants, comme la vis d’Archimède.

Archimède est généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l’Antiquité et l’undes plus grands de tous les temps1. Il a utilisé la méthode d’exhaustion pour calculer l’aire sous un arcde parabole avec la somme d’une série infinie, et a donné un encadrement de Pi d’une remarquableprécision. Il a également introduit la spirale qui porte son nom, des formules pour les volumes dessurfaces de révolution et un système ingénieux pour l’expression de très grands nombres.

Archimède est mort pendant le siège de Syracuse où il a été tué par un soldat romain qui a agimalgré les ordres demandant de ne pas lui nuire.⌊2⌋. Claude Ptolémée, communément appelé Ptolémée (Ptolémaïs de Thébaïde (Haute-Égypte) vers

90 - Canope vers 168) est un astronome et astrologue grec qui vécut à Alexandrie (Égypte). Il estégalement l’un des précurseurs de la géographie. Sa vie est mal connue. Son cognomen Ptolemaeus

semble indiquer des origines gréco-égyptiennes, et son nomen Claudius une citoyenneté romaine.Ptolémée est l’auteur de plusieurs traités scientifiques, dont deux ont exercé une grande influence

sur les sciences occidentales et orientales. L’un est le traité d’astronomie, aujourd’hui connu sous lenom d’Almageste. L’autre est la Géographie, qui est une synthèse des connaissances géographiques dumonde gréco-romain.

L’œuvre de Ptolémée est la continuation d’une longue évolution de la science antique fondée surl’observation des astres, les nombres, le calcul et la mesure. Avec l’œuvre d’Aristote, c’est essentielle-ment à travers elle, transmise à la fois par les Arabes et les Byzantins, que l’Occident redécouvrirala science grecque au Moyen Âge et à la Renaissance, laissant leurs prédécesseurs dans l’obscurité.

1

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle

Ainsi, l’utilisation de l’outil est souvent à la base de sa définition, et a souventprécédé sa théorisation : les mathématiques ont évolué de façon empirique.

Dans ce chapitre nous donnons les outils permettant une étude efficace des fonctions.L’outil essentiel est bien entendu la dérivation, que nous abordons ici d’un point devue essentiellement pratique : l’objectif est de savoir dériver et étudier de façon efficacedes fonctions explicites.

Nous commencerons par quelques rappels sur les limites, limites à gauche et limites àdroite. Nous supposerons connues les différentes opérations classiques sur les limites,que nous établirons rigoureusement plus tard : somme, produit, quotient.

SommaireI Inégalités dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1 Relation d’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.4 Majorant et minorant - Maximum et minimum . . . . . . . 7

II Généralités sur les fonctions - Géométrie . . . . . . . . . . 8

II.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.2 Représentation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.3 Parité, imparité, périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.4 Fonctions et relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III Aspects topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

III.1 Limites : point de vue métrique . . . . . . . . . . . . . . . . 20III.2 Limites : point de vue topologique . . . . . . . . . . . . . . 24III.3 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.4 Limites à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.5 Propriétés algébriques des limites . . . . . . . . . . . . . . . 29III.6 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

La relation : « Est un grand O de. . . » . . . . . . . . . . . . 32La relation : « Est négligeable devant . . . » . . . . . . . . . 32

IV Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IV.1 Stabilité algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35IV.2 Bijectivité, réciproque d’une bijection . . . . . . . . . . . . 35

V Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

V.1 Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38V.2 Fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44V.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45V.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45V.5 Dérivées à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . 47V.6 Opérations et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

VI Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

VII Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

VII.1 Convexité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58VII.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61VII.3 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

F.PUCCI 2

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle I. INÉGALITÉS DANS R

VIII Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Exercices no 1 : Analyse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Khôlle du 5/11/2018 : Analyse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Khôlle du 5/11/2018 : Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Devoir en temps libre no 1 Analyse & Révisions . . . . . . . . . 68

Devoir surveillé no 1 Analyse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Correction Analyse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I Inégalités dans R

I.1 Relation d’ordre dans R

R est muni d’une relation d’ordre total 6 c.-à-d. qu’elle possède les propriétéssuivantes :

Réflexivité : ∀x ∈ R, x 6 x .

Antisymétrie : ∀ (x; y) ∈ R2, (x 6 y et y 6 x) =⇒ x = y .

Transitivité : ∀(x, y, z) ∈ R3, (x 6 y et y 6 z) =⇒ x 6 z .

Elle est totale : ∀ (x; y) ∈ R2, x 6 y ou y 6 x .

Proposition 1

Exercice 1 : Calculer et simplifier les nombres suivants ⌊3⌋

A= 1 +2

2 − 3

3 +4

5 − 32

.

B=√

3 −√

5 ×√

3 +√

5.

C=√

12 + 5√

75 − 7√

27.

D=1 −

√5

2 −√

5− 3 −

√5

4 −√

5.

E=(√

3 −√

5 −√

3 +√

5)2

Soient a, b, c et d des nombres réels.

1. a 6 b ⇐⇒ a + c 6 b + c 2. Si a 6 b et c 6 d alors a + c 6 b + d.

3. ∀c > 0, a 6 b ⇐⇒ ac6bc. 4. ∀c < 0, a 6 b ⇐⇒ ac>bc.

5. Si a et b sont non nuls de même signe alors a 6 b ⇐⇒ 1a>

1b.

Proposition 2 (Compatibilité des opérations avec la relation d’ordre)

Exercice 2 : Soient x 6 y éléments de [0 ; 1 [. Montrer quex

1 − x6

y

1 − y.

Exercice 3 : Résoudre dans R les inéquations suivantes :

⌊3⌋. ou l’inverse !

F.PUCCI 3


1. (3x + 1)26 2(3x + 1)(x + 1).

2.x − 1x + 3

> 2.

3.√

3x2 − 11x + 21 < 2x − 3

4.√

2 + x +√

3x − 5 > 7.

5.2x + 1x − 2

6x + 1x + 3

.

6.2x − 3x − 2

− 4x − 13x2 − 2x − 8

<6532

.

7. 2 < (2x − 3)26

254

.

I.2 Valeur absolue

La relation d’ordre permet de doter R d’une norme :

Soit x ∈ R.La valeur absolue de x est le nombre réel noté |x| défini par :

|x| =

{

x si x > 0,−x si x < 0.

Définition 1 (Valeur absolue)

Remarque : Un autre manière encore est d’écrire |x| = max (−x; x).

Ainsi doté,(

R, | |)

est un espace normé que l’on pourra munir d’une famille d’ouvertset de fermés ou plus simplement d’une topologie :

Soit a ∈ R et r ∈ R∗+.

— Bo (a; r) ={

x ∈ R / |x − a| < r}

est un ouvert contenant a .

— Bf (a; r) ={

x ∈ R / |x − a| 6 r}

est un fermé contenant a .

On y reviendra. . .

Une autre manière de définir ou de voir |x| est d’écrire |x| = d(O, M) où M est lepoint de l’axe réel d’abscisse x.

On dira alors que(

R, d)

est un espace métrique. De la même manière, on pourra alorsdoter R d’une topologie, dite métrique à l’aide d’ouverts et de fermés :

Soit a ∈ R et r ∈ R∗+.

— Bo (a; r) ={

x ∈ R / d (x; a) < r}

est un ouvert contenant a.

— Bf (a; r) ={

x ∈ R / d (x; a) 6 r}

est un fermé contenant a.

Remarque : Si tous les espaces normés peuvent être munis d’une distance en posant

d (x; y) = |x − y|,

toutes les distances ne dérivent pas d’une norme. Ceci nous amènerait un peu troploin hors-programme mais sachez qu’il n’y pas équivalence ou cherchez du côté desdistance p-adiques.

Exercice 4 : Résoudre, dans R, les équations et inéquations suivantes :

F.PUCCI 4


1 2−1−2

1

2

3

Figure VI.1 – x 7−→ |x|.

O r−r

|x| 6 r

|x| > r

Figure VI.2 – |x| 6 r et |x| > r.

1. |3x − 5| 6 7.2. |2x − 7| > 1.3. |x2 − x + 5| = |x − 1|.

4. |x + 2| + |2x − 1| + |x − 3| = 8.

5. 4x2 − 7|x| + 3 = 0.

Pour tous réels x et y, on a :∣∣∣|x| − |y|

∣∣∣ 6

∣∣∣x + y

∣∣∣ 6 |x| + |y|.

Avec égalité si, et seulement si ∃ λ ∈ R+ tel que x = λy.

Proposition 3 (Inégalité triangulaire)

Preuve: Voir la proposition (??) du chapitre (??) .

Exercice 5 :1. Soient x ∈ R tel que |x − 2| 6 1 et y ∈ R tel que −5 6 y 6 −4.

Encadrer x + y, x − y, xy etx

y.

2. Soit (x; y) ∈] − 1 ; 1 [2. Montrer que

∣∣∣∣∣

x + y

1 + xy

∣∣∣∣∣

< 1.

F.PUCCI 5


I.3 Intervalles de R

La relation d’ordre permet également de définir la notion d’intervalle.

En effet, qu’est-ce donc d’autre qu’un ensemble de valeurs à la fois inférieures etsupérieures à deux bornes :

Soit I une partie de R. On dit que I est un intervalle dans les quatre cas suivants :

— I = {x ∈ R / a < x < b} où (a; b) ∈(

R ∪ {±∞})2

et on note : . . I = ]a ; b [.

— I = {x ∈ R / a < x 6 b} où (a; b) ∈(

R∪ {±∞})

×R et on note : I = ]a ; b ].

— I = {x ∈ R / a 6 x < b} où (a; b) ∈ R×(

R∪{±∞})

et on note : I = [a ; b [.

— I = {x ∈ R / a 6 x 6 b} où (a; b) ∈ R × R et on note : . . . . . . . . . I = [a ; b ].

Définition 2 (Intervalles de R)

Muni de ces intervalles, R est ainsi muni d’une topologie qui permettrait déjà de définirla notion de limite, de continuité et de dérivabilité.

La proposition suivante, à l’aide de la valeur absolue, fait le lien entre les deux topo-logies naturelles de R : celle dérivant de sa norme et celle construite sur les intervallesprécédents. Les deux topologies sont donc équivalentes.

Soient a un réel quelconque et r un réel strictement positif. Alors :

— |x − a| 6 r est équivalent à x ∈ [a − r ; a + r ].

— |x − a| > r est équivalent à x ∈ ] − ∞ ; a − r ] ∪ [a + r ; +∞ [.

Proposition 4 (Intervalles et valeur absolue)

Ces propriétés sont encore vraies en remplaçant les inégalités larges par des inégalitésstrictes et les intervalles fermés par des intervalles ouverts.

Interprétation géométrique : L’ensemble Bf (a; r) ={

x ∈ R / |x − a| 6 r}

est laboule de centre a et de rayon r.

La réunion de toutes ces boules (ouvertes ou fermées) dote, comme on l’a dit, R d’unetopologie (métrique).

F.PUCCI 6


I.4 Majorant et minorant - Maximum et minimum

Soit A une partie de R, on dit que :

— A est majorée lorsque : ∃ M ∈ R, ∀x ∈ A, x 6 M .

— A est minorée lorsque : ∃ m ∈ R, ∀x ∈ A, m 6 x .

— A est bornée lorsque A est à la fois majorée et minorée .

— A admet un maximum lorsque : ∃ b ∈ A, ∀x ∈ A, x 6 b .

— A admet un minimum lorsque : ∃ a ∈ A, ∀x ∈ A, a 6 x .

Définition 3

Remarque : La partie A est bornée si, et seulement si ∃ M ∈ R+ tel que

∀x ∈ A, |x| 6 M.

— Si A est majorée par un majorant qui est dans A alors celui-ci est unique.On l’appelle LE maximum de A et on note β = max(A).

— Si A est minorée par un minorant qui est dans A alors celui-ci est unique.On l’appelle LE minimum de A et on note α = min(A).

Proposition 5 (Unicité des extrema)

Preuve: Simple utilisation de la dé�nition d'un majorant et de l'antisymétrie de

6 dans R.

Exercice 6 : Déterminer si les parties suivantes sont majorées, minorées, bornées,en donnant le cas échéant un exemple de majorant, de minorant, le maximum et leminimum.

1. A = R+

2. B = [0 ; 1 [

3. C = Z

4. D ={ 1

n, n ∈ N∗

}

.

F.PUCCI 7

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelleII. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS - GÉOMÉTRIE

II Généralités sur les fonctions - Géométrie

II.1 Définitions

Soit A une partie de R et f : A 7−→ R.On appelle domaine de définition de f , noté Df , l’ensemble

Df ={

x ∈ A / f(x) existe}

.

Si x ∈ Df et si y = f(x), on dit que :

— y est l’image de x par f ,

— x est un antécédent de y par f (pas forcément unique).

Définition 4

Toute étude d’une fonction f devra donc commencer, comme ce cours, par préciser ledomaine de définition de f .

Exemples 1 (Image directe) : Pour toute partie A ⊂ Df , on rappelle que :

f(A) ={

y ∈ R / ∃ x ∈ A, y = f(x)}

.

— L’image de R+ par la fonction exponentielle est [1 ; +∞ [.Celle de R− est ]0 ; 1 ].

— Par la fonction sin :

— l’image de πZ est {0},— l’image de [0 ; π ] est [0 ; 1 ],

— l’image de[

−π

2;π

2

]

est [−1 ; 1 ],

— et l’image de [0 ; 2π ] est aussi [−1 ; 1 ].

byy

×

α1α1

×

α2α2

×

α3α3 α4α4

Figure VI.3 – Une seule image mais plusieurs antécédents possibles.

F.PUCCI 8


Remarque : Soient A et B deux parties de R et f : A 7−→ R une fonction.

On dit que f est à valeurs dans B si toute valeur de f est élément de B c.-à-d.

∀x ∈ A, f(x) ∈ B ou encore si imf ⊂ B. ⌊4⌋

Exemple 2 : sin est à valeurs dans R mais sin(R) = [−1 ; 1 ] 6= R.

L’exponentielle est aussi à valeurs dans R voire R+ mais exp(R) =]0 ; +∞ [ 6= R+ ouR.

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle commun I.

— La somme de f et g est la fonction notée (f + g) définie pour tout x ∈ Ipar :

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

— Le produit de f et g est la fonction notée (f × g) définie pour tout x ∈ Ipar :

(f × g)(x) = f(x) × g(x).

— Si, de plus, g ne s’annule pas sur I. Le quotient de f par g est la fonction

notéef

gdéfinie pour tout x ∈ I par :

(

f

g

)

(x) =f(x)g(x)

.

Définition 5 (Somme, Produit, Quotient)

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur unintervalle J telles que f(I) ⊂ J .La composée de f par g est la fonction, notée g ◦ f , définie pour tout x ∈ I par :

(

g ◦ f)

(x) = g(

f(x))

.

Définition 6 (Composée)

ATTENTION La condition f(I) ⊂ J ou encore « f est à valeurs dans J » estparticulièrement importante.

On doit garantir que f(x) appartienne au domaine de définition de g pour tout x deI.

⌊4⌋. Mais en aucun cas, f n’est obligée d’être surjective dans cette définition.

F.PUCCI 9


x 7−→ 1 + e√

x

x√

2 − x

x 7−→ 1 + e√

x

x 7−→ x√

2 − x

x 7−→ 1

x 7−→ e√

x

x 7−→ x

x 7−→√

2 − x

x 7−→ ex

x 7−→ √x

x 7−→ √x

x 7−→ 2 − x

÷

×

+

◦

◦

Figure VI.4 – La fonction x 7−→ 1 + e√

x

x√

2 − xvue comme quotient,

sommes, produits et composées de fonctions.

Exemple 3 : L’ensemble de définition de la fonction x 7−→ 1 + e√

x

x√

2 − xest ]0 ; 2 [ .

Exercice 7 : Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes définiespar :

1. f(x) =√

−x2 + 5x − 6.

2. g(x) =1

cos(2x).

3. h(x) = ln(2x + 3).

4. k(x) =√

1 − x2.

Correction :

1. Df = [2 ; 3 ].

2. Dg =⋃

n∈Z

]π

4+ n

π

2;3π

4+ n

π

2

[

.

3. Dh =]

−32

; +∞[

.

4. Dk = [−1 ; 1 ].

ATTENTION

De même, que précédemment, on rappelle que la composition n’est pas dutout commutative.Pire, f ◦ g peut exister sans que g ◦ f n’ait de sens.Comparez, par exemple, les domaines de définitions de x 7−→ ln |x| etx 7−→ | ln x|.

II.2 Représentation d’une fonction

Dans le cas d’une fonction de R dans R, le graphe, tel que nous l’avons défini dans unchapitre antérieur, correspond au sous-ensemble de R2 constitué des éléments (x; f(x)),pour x ∈ Df .

F.PUCCI 10


Le graphe permet d’avoir une idée générale de la fonction étudiée. Un graphe précis(par approximations et interpolation à partir d’un grand nombre de points, obtenus parexemple par des expériences) permet d’obtenir facilement une première approximationde solutions de certaines équations ou inéquations.

Certaines opérations simples sur les fonctions se traduisent facilement sur le graphe,comme la composition à la source ou à l’arrivée par x 7−→ ax ou x 7−→ x − a.

Une autre opération se traduisant élégamment sur les graphes est la réciproque desfonctions bijectives (cf. proposition (28) ).

On se place dans un repère (O; −→ı ; −→ ) orthonormé même si un repère affine suffiraitpour nombre de propriétés. Entraînez-vous à trouver lesquelles.

Soit f une fonction de Df dans R. On appelle courbe représentative de f , et onnote Cf ou G, l’ensemble

Cf ={

(x; y) / (x ∈ Df ) ∧(

y = f(x))}

.

Définition 7

Soit f : R 7−→ R et a ∈ R. Le graphe de :

— x 7−→ f(x) + a se déduit du graphe de f par une translation de vecteur a~ .

— x 7−→ f(x − a) se déduit du graphe de f par une translation de vecteur a~ı .

— x 7−→ f(a − x) se déduit du graphe de f par une symétrie d’axe x =a

2.

— x 7−→ f(ax) se déduit du graphe de f par une dilatation horizontale de rapport1a

. ⌊5⌋

— x 7−→ af(x) se déduit du graphe de f par une dilatation verticale de rapport a .

Proposition 6 (Effet des transformations usuelles sur Cf)

bcMM

bcM ′M ′

a~

Cf

Cg

x

f(x)

g(x) = f(x) + a

bcMM

bcM ′M ′a~ı

x − a x

g(x) = f(x − a)

Cf Cg

Figure VI.5 – x 7−→ g(x) = f(x) + a et x 7−→ g(x) = f(x − a).

Exercice 8 : Á partir des courbes représentatives des fonctions x 7−→ x2 et x 7−→ 1x

tracer les courbes de f et g définies par :

⌊5⌋. a 6= 0 bien sûr !

F.PUCCI 11


x=

a 2

bcMM

bcM ′M ′

b

a − x x

g(x) = f(a − x)

Cf Cg

Figure VI.6 – x 7−→ g(x) = f(a − x).

bcMM

bcM ′M ′

ax

g(x) = f(ax)

x

bcNN

bcN ′N ′

ax′

g(x′) = f(ax′)

x′

Cf

Cg

bcMM

bcM ′M ′

x

f(x)

g(x) = af(x)

bcNN

bcN ′N ′

xf(x′)

g(x′) = af(x′)

Cf

Cg

Figure VI.7 – x 7−→ g(x) = f(ax) et x 7−→ g(x) = af(x).

f(x) = 3x2 − 30x + 16 et g(x) =3x − 16−x + 6

.

Exercice 9 : Soit f : x 7−→ (x − 1)2

2− 1.

1. Représenter la courbe représentative de f à partir de celle de x 7−→ x2.

2. Déterminer alors graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation

(x − 1)2

2− 1 6 −1

2.

Correction : Pour tra er le graphe de f à partir de la ourbe de x 7−→ x2, on e�e tue

su essivement :

1. une translation de ve teur ~ı,

2. une dilatation verti ale de rapport

12 ,

3. et une translation de ve teur −~.

Les solutions de l'inéquation

(x − 1)2

2− 1 6 −1

2sont alors l'ensemble des x ∈ [−1 ; 1 ] pour

lesquels la ourbe de x 7−→ x2est située en dessous de la droite d'équation y =

(

−12 + 1

)

×2 = 1.En omposant par la translation de ve teur ~ı, l'ensemble des solutions est don l'inter-

valle [0 ; 2 ].

F.PUCCI 12


II.3 Parité, imparité, périodicité

— Une fonction f est paire lorsque son domaine de définition Df est symétriquepar rapport à 0 que :

∀x ∈ Df , f(−x) = f(x).

— Une fonction f est impaire lorsque son domaine de définition Df est symé-trique par rapport à 0 que :

∀x ∈ Df , f(−x) = −f(x).

— Une fonction f est T -périodique (T > 0) lorsque :

∀x ∈ Df , x + T ∈ Df et f(x + T ) = f(x).

Définition 8

Le graphe d’une fonction impaire passe toujours par l’origine.

π

2π

3π

22π

5π

23π

7π

24π

9π

25π

11π

26π

13π

27π

15π

28π

17π

29π

19π

2−π

2−π

−3π

2−2π

−5π

2−3π

−7π

2−4π

−9π

2−5π

−11π

2−6π

−13π

2−7π

−15π

2−8π

−17π

2−9π

−19π

2−1

1

Figure VI.8 – x 7−→ cos x et x 7−→ sin x.

Exemples 4 :

— Les fonctions x 7−→ x2n, n ∈ Z, |x|, cos x, ch x sont paires.

— Les fonctions x 7−→ x2n+1, n ∈ Z, sin x, sh x et tan x sont impaires.

— cos et sin sont 2π-périodiques, tan est π -périodique.

— x 7−→ eix à valeurs dans C est 2π -périodique.

Compléments sur les fonctions périodiques :

— En pratique, pas besoin d’étudier une fonction périodique sur tout son domainede définition. Une étude sur une période suffit.

F.PUCCI 13


— Une fonction T -périodique est aussi kT -périodique pour k ∈ Z. On définitalors la période T comme le plus petit des réels strictement positif vérifiantf(x + T ) = f(x) c.-à-d.

T = min{

t ∈ R∗+ / ∀x ∈ Df , x + t ∈ Df et f(x + t) = f(x)

}

.

ATTENTION Il existe des fonctions périodiques n’admettant pas de périodeminimale, par exemple 1Q.

— Alors qu’une fonction peut être paire ou impaire sur un intervalle borné à condi-tion qu’il soit symétrique par rapport à O, l’invariance par translation du do-maine de définition d’une fonction périodique lui impose d’être nécessairementinfini.

Soient T > 0, f : I 7−→ R et g : I 7−→ R deux fonctions T -périodiques.

— Les fonctions f + g, f × g sont aussi T -périodiques, ainsi quef

gsi g ne

s’annule pas.

— Pour tout a > 0, la fonction x 7−→ f(ax) estT

a-périodique.

Théorème 7 (Opérations sur les fonctions périodiques)

Exemple 5 : Si a > 0, x 7−→ cos(ax) est2π

a-périodique et un domaine d’étude sera

[

0 ;π

a

]

par périodicité et parité.

π

2π

3π

22π

5π

23π

7π

24π

9π

25π

11π

26π

13π

27π

15π

2−π

2−π

−3π

2−2π

−5π

2−3π

−7π

2−4π

−9π

2−5π

−11π

2−6π

−13π

2−1

1

Figure VI.9 – x 7−→ cos 5x et x 7−→ sin x2 .

F.PUCCI 14


Exercice 10 : Écrire à l’aide des quantificateurs la négation des assertions sui-vantes :

1. f est impaire. 2. f est 3-périodique.

— Une fonction f est paire si, et seulement si sa courbe représentative Cf estsymétrique par rapport à l’axe des ordonnées .

— Une fonction f est impaire si, et seulement si sa courbe représentative Cf

est symétrique par rapport à l’origine du repère .

— Une fonction f est T -périodique si, et seulement si sa courbe représentativeCf est invariante par translation de vecteur T~ı .

Proposition 8 (Interprétation graphique de la parité)

Preuve: Montrons, par exemple, le premier point (les autres points se démontrent

de manière analogue).

Supposons f paire et notons G son graphe.

Si M (x; y) ∈ G alors y = f(x). Le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées

est

(−x; y) = (−x; f(x)) = (−x; f(−x)) ∈ G,

don G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Ré iproquement, supposons que G soit symétrique par rapport a (Oy).

Alors d'une part Df est symétrique par rapport à 0.

De plus si (x; y) ∈ G alors (−x; y) ∈ G .-à-d. y = f(−x) = f(x) et f est paire.

— Lorsqu’une fonction est paire ou impaire, on restreint son étude au domaineDf ∩ [0 ; +∞ [ et on complète la courbe par symétrie .

— Si la fonction est T -périodique, on restreint son étude à un segment delongueur T et on complète la courbe par translations de vecteur T~ı .

Méthode 1 (Restriction du domaine d’étude)

Exemple 6 : Par imparité et π-périodicité, un domaine d’étude minimal pour

x 7−→ tan x est[

0 ;π

2

[

.

Exercice 11 : Déterminer le domaine d’étude de la fonction f définie sur R par

f(x) =cos(2x)

cos2(x) + 1.

F.PUCCI 15


Correction : De =[

0 ;π

2

[

.

On obtient la ourbe représentative de f par une symétrie d'axe (Oy) et des translations deve teur π~ı.

II.4 Fonctions et relations d’ordre

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.

— La fonction f est croissante (resp. strictement croissante) sur I si :

∀ (x; y) ∈ I2, x 6 y =⇒ f(x) 6 f(y) (resp. f(x) < f(y)).

— La fonction f est décroissante (resp. strictement croissante) sur I si :

∀ (x; y) ∈ I2, x 6 y =⇒ f(x) > f(y) (resp. f(x) > f(y)).

— La fonction f est monotone sur I (resp. strictement monotone) sur I si fest soit croissante (resp. strictement croissante), soit décroissante (resp.strictement décroissante) sur I.

Définition 9 (Fonctions monotones)

Les fonctions croissantes sont donc, de ce point de vue, les fonctions rendant la compo-sition compatible avec la relation d’ordre de R. Mieux, elles partagent l’ensemble desfonctions monotones en deux classes d’équivalence : celles compatibles avec la relationd’ordre et les celles qui ene le sont pas.

On peut, bien sûr, caractériser la monotonie d’une fonction dérivable par le signe desa dérivée, mais c’est là un théorème et non une définition.

La définition (9) est générale et ne requiert pas la dérivabilité.

Exemples 7 :— La fonction cos est :

— décroissante sur tout intervalle de la forme[

2kπ ; (2k + 1)π[

, k ∈ Z ,

— croissante sur tout intervalle de la forme[

(2k + 1)π ; (2k + 2)π[

, k ∈ Z ,

— mais elle n’est pas monotone sur R.

— La fonction tan est strictement monotone sur tout intervalle de la forme]

−π

2+ kπ ;

π

2+ (k + 1)π

[

, k ∈ Z.


1. f est croissante sur [1 ; +∞ [.

F.PUCCI 16


2. f est strictement monotone sur R.

La composée de fonctions monotones est monotone et la règle des signes donnele sens de la monotonie.

Proposition 9 (Composée de fonctions monotones)

Preuve: Easy. . .

Remarque : On ne peut en revanche rien dire sur le produit ou une combinaisonlinéaire quelconque de deux fonctions monotones en général !

Par exemple x 7−→ x2 et x 7−→ x sont croissantes sur R+ mais pas x 7−→ x2 − x ⌊6⌋.

Exemple 8 : Pas besoin de dériver pur expliquer que la fonction x 7−→ x + ln x,somme de fonctions strictement croissantes, est strictement croissante sur R∗

+ pasplus que pour la fonction x 7−→ e

√x sur R+, composée de fonctions croissantes ou

encore x 7−→ √xex, produit de fonctions positives croissantes sur R+.

— Une fonction f est dite majorée lorsqu’il existe un réel M tel que :

∀x ∈ Df , f(x) 6 M.

Le réel M est alors appelé un majorant de f .

— Une fonction f est dite minorée lorsqu’il existe un réel m tel que :

∀x ∈ Df , f(x) > m.

Le réel m est alors appelé un minorant de f .

— Une fonction f est dite bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

Définition 10 (Fonction bornées)

Une fonction f est bornée si, et seulement si |f | : x 7−→ |f(x)| est majorée.

Proposition 10

Preuve: Supposons f bornée. Alors |f | est majorée par max(∣∣∣min

x∈If(x)

∣∣∣;∣∣∣max

x∈If(x)

∣∣∣

)

⌊6⌋. Pas plus que x 7−→ x2 − x est décroissante !

F.PUCCI 17


Ré iproquement si |f | est majorée par M ∈ R+ alors ∀x ∈ I, −M 6 f(x) 6 M et fest bornée.

Exemple 9 : La fonction f : x 7−→ 11 + x2

, définie sur R, y est bornée. Majorée par

1 et minorée par 0 .

1 2 3−1−2−3

1

Figure VI.10 – Courbe représentative d’une fonction bornée.

Soient f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I de R et x0 ∈ I.

— La fonction f admet un maximum global (resp. minimum global) en x0 si :

∀x ∈ I, f(x) 6 f(x0) (resp. f(x) > f(x0)).

On note alors f(x0) = maxx∈I

f(x) (resp. f(x0) = minx∈I

f(x)).

— La fonction f admet un maximum local (resp. minimum local) en x0 s’ilexiste un intervalle J ⊂ I contenant x0 tel que :

∀x ∈ J, f(x) 6 f(x0) (resp. f(x) > f(x0)).

On note alors f(x0) = maxx∈J

f(x) (resp. f(x0) = minx∈J

f(x)).

Définition 11 (Extrema globaux et locaux)

Il est clair que, dans le cadre de la définition,

maxx∈J

f(x)6maxx∈I

f(x) et minx∈J

f(x)>minx∈I

f(x).

Exemple 10 : Reprenons la fonction de exemple (9) définie par f(x) =1

1 + x2.

— f admet un maximum global en x0 = 0 qui est 1.

— f est minorée par 0 sans avoir de minimum global .Montrons le par l’absurde en supposant qu’il existe x0 ∈ R tel que ∀x ∈ R,f(x0) 6 f(x).Par symétrie, on peut supposer x0 ∈ R+ où f y est strictement décroissante.D’où, pour tout x ∈ R tel que x0 < x, on a f(x) < f(x0) et la contradiction.

F.PUCCI 18

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle III. ASPECTS TOPOLOGIQUES

Exercice 13 : Montrer que la fonction g définie sur R par g(x) = x3 − 3x admet unmaximum local en −1.

Correction : On a g(−1) = 2 et ∀x ∈ R, g(x) − g(−1) = x3 − 3x − 2

= (x + 1)2(x − 2).

Don , ∀x ∈ J =] − ∞ ; 2 ], g(x) > g(−1).


1. f est majorée par M .2. f est minorée.3. f est bornée sur I.

4. f n’admet pas de minimum global.

5. f n’admet pas de minimum local.

III Aspects topologiques

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction définie sur un sous-ensemble I deR.

On supposera que I est un intervalle, ou une union finie d’intervalles, et on notera Il’intervalle (ou union d’intervalles) fermé correspondant dans R ∪ {±∞} (en incluantles bornes).

On étudie la limite de f en un point a de I c.-à-d. en un point de son domaine ou uneborne.

Remarque : Plus généralement, si A est un sous-ensemble quelconque de R, on peutconsidérer la limite en un point a de l’adhérence A de A, défini comme étant le pluspetit fermé contenant A, ou de façon équivalente, l’ensemble des points x pouvantêtre approchés d’aussi près qu’on veut par des points de A (c.-à-d. tout voisinage dex rencontre A).

Lorsque a ∈ A, on dira que a est adhérent à A.

F.PUCCI 19


III.1 Limites : point de vue métrique

Soit a ∈ I ∩ R.

— Soit b ∈ R. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a si

∀ε ∈ R∗+, ∃ η(ε) ∈ R∗

+, ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η =⇒ |f(x) − b| 6 ε.

On note alors limx→a

f(x) = b.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a si :

∀A ∈ R, ∃ η(A) ∈ R∗+, ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η =⇒ f(x) > A.


f(x) = +∞.

— On dit que f(x) tend vers −∞ lorsque x tend vers a si :

∀A ∈ R, ∃ η(A) ∈ R∗+, ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η =⇒ f(x) 6 A.


f(x) = −∞.

Définition 12 (Limites en un point fini)

Décortiquons l’expression dans le cas d’une limite finie :

— ∀ε ∈ R∗+ : « Quelle que soit la marge d’erreur ε qu’on se donne, aussi petite

soit-elle . . . ».

— ∃ η(ε) ∈ R∗+ : « . . . il existe une petite boule de rayon η centrée en a, quitte à

prendre η très petit . . . ».

— ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η . . . : « . . . tel que si a est à la fois dans I et dans cette boule. . . ».

— . . . =⇒ |f(x) − b| 6 ε : alors f(a) est proche de b à ε près ».

Autrement dit : « Si x ∈ I est suffisamment proche de a, alors f(a) est aussi prochequ’on veut de b ».

Remarques :

— L’hypothèse a ∈ I est nécessaire pour pouvoir considérer des points aussi prochesque l’on veut de a.On dira que la limite de f est envisageable en a si cette hypothèse est satisfaite(sans considération d’existence ou non de la limite), et qu’elle ne l’est pas sia /∈ I.

— Dans le cas fini, l’inégalité est d’autant plus contraignante que ε est petit. Onpeut alors se contenter d’étudier le cas de valeurs de ε inférieures à une valeurε0 donnée.

— De même, dans le cas d’une limite ∞, la définition trouve sa pertinence lorsqueA devient grand ou petit (vers ±∞) mais il n’est pas nécessaire de le supposerstrictement positif ou négatif.

F.PUCCI 20


Soit f une fonction de la variable réelle à valeurs dans R.Si lim

x→af(x) = ∞ alors la courbe représentative de f admet une droite asymptote

d’équation x = a.

Corollaire 11 (Asymptote ⌊7⌋)

On peut remplacer une ou plusieurs des inégalités larges |x−a| 6 η et |f(x)−b| 6 εpar des inégalités strictes pour obtenir des définitions équivalentes.

Proposition 12

Preuve: Il su�t de onstater que

Bf

(

a; η2

)

⊂ Bo (a; η) ⊂ Bf (a; η)

et,

Bf

(

b; ε2

)

⊂ Bo (b; ε) ⊂ Bf (b; ε) .

Si a ∈ I et si f admet une limite en a, alors cette limite est nécessairement égaleà f(a) .

Proposition 13 (Limite en un point du domaine)

ATTENTION La proposition (13) ne dit absolument pas que toute fonction estcontinue en a mais seulement qu’une condition nécessaire à l’être dans le domaine estd’avoir une limite en a qui sera alors f(a).

Preuve: Posons ℓ la limite de f en a.

Le sou is vient que a n'a pas né essairement besoin d'appartenir à I mais seulement

à I pour être appro hé par des éléments de I. Lorsque a ∈ I, il n'y alors plus de

problème et la ondition |a − a| 6 η est toujours vraie don

|f(a) − ℓ| 6 |f(x) − f(a)| + |f(x) − ℓ| 6 ε.

Don ℓ = f(a).

⌊7⌋. De l’étymologie grecque construit à l’aide du préfixe privatif « a » et de « symptôsis » (ren-contre) : la droite qui ne se rencontre pas.

Remarque : L’utilisation du terme asymptote ne se limite pas aux droites. On parlera bientôt decourbes asymptotes.

F.PUCCI 21


Exemples 11 (Limites des fonctions de référence en 0) :

f(x) limx→0x>0

f(x) limx→0x<0

f(x)

1xn

n 6=0 +∞+∞ si n pair

−∞ si n impair

1√x +∞

non défini

ln x−∞

non défini

1xn

, n impair

1xn

, n pair

1√x

ln x

O

Figure VI.11 – Limites des fonctions de référence en 0

Conclusion, une fonction admet une limite en un point (intérieur) de I si, et seulementsi elle y est continue. ⌊8⌋

Nous voyons maintenant comment définir la limite d’une fonction en un point infini.La longueur de ces définitions est due au nombre de cas à étudier.

Dans toutes ces définitions également, on peut remplacer les inégalités larges par desinégalités strictes.

La seule inégalité que l’on n’a pas le droit de modifier est ε > 0.

⌊8⌋. En un point de I et non de I je le redis.

F.PUCCI 22


Soit I tel que +∞ ∈ I.

— Soit b ∈ R. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers +∞ si

∀ε ∈ R∗+, ∃ B(ε) ∈ R, ∀x ∈ I, x > B =⇒ |f(x) − b| 6 ε.

On note alors limx→+∞

f(x) = b.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x > B =⇒ f(x) > A.


f(x) = +∞.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers −∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x > B =⇒ f(x) 6 A.


f(x) = −∞.

Définition 13 (Limites en +∞)

De manière analogue, en −∞ :

Soit I tel que −∞ ∈ I.

— Soit b ∈ R. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers −∞ si

∀ε ∈ R∗+, ∃ B(ε) ∈ R, ∀x ∈ I, x 6 B =⇒ |f(x) − b| 6 ε.

On note alors limx→−∞

f(x) = b.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers −∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x 6 B =⇒ f(x) > A.


f(x) = +∞.

— On dit que f(x) tend vers −∞ lorsque x tend vers −∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x 6 B =⇒ f(x) 6 A.


f(x) = −∞.

Définition 14 (Limites en −∞)

Comme on peut le constater, la distinction entre un point fini et les deux infinis, àfaire à la source et à l’arrivée, amène à distinguer 9 cas différents dans la définitiondes limites. Pour les études pratiques, ce n’est pas gênant : il suffit de considérer le casqui nous concerne.

F.PUCCI 23


Pour des études plus théorique, notamment pour établir des propriétés générales, ilpeut être plus commode d’avoir une description plus uniforme, évitant d’avoir à dis-tinguer entre un grand nombre de cas. C’est là qu’entre en jeu la topologie. ⌊9⌋

Soit f une fonction de la variable réelle à valeurs dans R.Si lim

x→∞f(x) = b alors la courbe représentative de f admet une droite asymptote

d’équation y = b.

Corollaire 14 (Asymptote)

Soit f : I 7−→ R une fonction.Si f est croissante et non majorée alors lim

x→+∞f(x) = +∞.

Théorème 15 (Limite monotone)

Preuve: Soit f : I 7−→ R une fon tion.

Soit A ∈ R. Comme f est non majorée, il existe un élément x0 de I tel que f(x0) > A.

Or, f est roissante.

Don , ∀x ∈ I, x > x0 =⇒ f(x) > f(x0) > A et le résultat.

Remarque : On traduire le théorème précédent pour une fonction décroissante nonminorée.

III.2 Limites : point de vue topologique

Soit x ∈ R = R ∪ {±∞}.On appelle voisinage de x, noté V(x), toute partie V ⊂ R telle que x ∈ V et Vcontient un intervalle ouvert contenant x.

Définition 15 (Voisinage d’un point)

Globalement, retenez en première approximation qu’un voisinage de x est un intervalleouvert ou une réunion d’intervalles ouverts contenant x.

⌊9⌋. La topologie est une branche des mathématiques concernant l’étude des déformations spatialespar des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). La topologie s’inté-resse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites « continues ».Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peutêtre aussi bien nulle qu’infinie). Elle s’intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir uncertain nombre de résultats (existence ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment).

Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topolo-giques.

F.PUCCI 24


Exemples 12 (Limites des fonctions de référence en l’infini) :

f(x) limx→+∞

f(x) limx→−∞

f(x)

xn

n 6=0 +∞+∞ si n pair

−∞ si n impair

1xn

n 6=0 0 0√

x+∞

non défini

ln x+∞

non défini

ex

+∞ 0

1√x 0 non défini

sin xcos xtan x pas de limite pas de limite

1xn

, n impair1xn

, n pair

xn, n pair

xn, n impair√

x1√x

sin x

ln x

ex

O

Figure VI.12 – Limites des fonctions de référence en l’infini

On peut alors donner une définition globale à l’aide de la notion de voisinage et équi-valente de la limite d’une fonction en un point :

F.PUCCI 25


Soit a ∈ I (fini ou infini) et b ∈ R.Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f admet une limite b lorsque x tend vers a.

(ii) ∀ V ∈ V(b), ∃ U ∈ V(a), f(

U ∩ I)

⊂ V .

Théorème 16 (Définition topologique des limites)

La définition métrique s’est placée dans le cadre métrique pour l’ensemble de départet l’ensemble d’arrivée. La caractérisation topologique s’est placée dans le cadre topo-logique à la fois au départ et à l’arrivée.

On peut mélanger les deux. Ainsi, les points (i) et (ii) du théorème précédent sontaussi équivalents, dans le cas d’une limite finie en un point fini, à :

(i) ∀V ∈ V(b), ∃ η(V ) ∈ R∗+, ∀x ∈ I, |x − a| < η =⇒ f(x) ∈ V .

(ii) ∀ε ∈ R∗+, ∃ U ∈ V(a), ∀x ∈ I, x ∈ U =⇒ |f(x) − b| < ε.

Ici, comme plus haut, les inégalités sont indifféremment strictes ou larges, à part ε > 0.

Pour le reste, il suffit de remarquer que |x − a| < η équivaut à x ∈ B (a; η).

On passe alors du cas topologique au cas métrique en remarquant que tout voisinagede a contient une boule B (a; η), et du cas métrique au cas topologique en remarquantqu’une boule B (a; η) est un voisinage de a.

D’une manière générale,

Nous dirons qu’une fonction f admet une propriété P au voisinage d’un pointa ∈ I, s’il existe un voisinage V de a dans R ∪ {±∞} tel que la propriété P soitvérifiée par f sur l’ensemble V ∩ I.

Définition 16 (Propriété vraie dans un voisinage)

La notion de limite permet alors de « contrôler » une fonction au voisinage d’un point.Ainsi, on obtient par exemple :

Soit f une fonction admettant une limite finie en un point a de I.Alors, f est bornée au voisinage de a.

Proposition 17

Preuve: Dans un voisinage de a il su�t d'é rire

|f(x)| 6 |f(x) − f(a)| + |f(a)| . . .

F.PUCCI 26


III.3 Unicité de la limite

L’unicité de la limite d’une fonction provient d’une propriété topologique de R :

Soit (x; y) ∈ R2

tels que x 6= y.Alors il existe des voisinages U de x et V de y tels que U ∩ V = ∅.

Lemme 18 (Lemme de séparation)

Preuve: Soit d = |x − y| > 0.

Alors x ∈ B(

x; d3

)

, y ∈ B(

y; d3

)

et B(

x; d3

)

∩ B(

y; d3

)

= ∅.

Soit a ∈ I et f une fonction réelle.Sous réserve d’existence, la limite de f(x) lorsque x tend vers a est unique.

Théorème 19 (Unicité de la limite, cas réel)

Preuve: Par l'absurde en onsidérant ℓ < ℓ′et deux voisinages de l'une et l'autre

bien hoisis.

Notation : En cas d’existence de la limite en a, le théorème (19) permet de justifierla notation, maintenant non ambigüe, lim

x→af(x) = b de LA limite de f(x) lorsque x

tend vers a.

III.4 Limites à droite et à gauche

Soit J un intervalle (ou une réunion d’intervalles, ou plus généralement un sous-ensemble quelconque) tel que a ∈ I ∩ J . Si la mite (finie ou infinie) en a de la restrictionf|I∩J existe, on utilise la notation suivante :

limx→a

f|I∩J(x) = limx→ax∈J

f(x).

Dans cette notation, il est sous-entendu que x doit, bien sûr, être élément du domainede définition de f .

F.PUCCI 27


— La limite à gauche correspond au cas où J =] − ∞ ; a [. On utilise alors lanotation suivante :

limx→a−

f(x) = limx→a

x∈]−∞;a [

= limx→ax<a

f(x) = f(a − 0).

— La limite à droite correspond au cas où J =]a ; +∞ [. On utilise alors lanotation suivante :

limx→a+

f(x) = limx→a

x∈]a;+∞ [

= limx→ax>a

f(x) = f(a + 0).

Définition 17 (Limites à droite et à gauche)

Remarque : Le point a est exclus de J !

Exercice 15 : Que dire des limites suivantes en a ?

1. f : x 7−→ x

|x| en 0. 2. f : x 7−→ 1x

en 0.

3. f : x 7−→ ⌊x⌋ en n ∈ Z.

De même que plus haut, on peut dire que la limite limx→ax∈J

f(x) est envisageable ou non

suivant que x est dans I ∩ J .

On dira que la limite de f en a sur J est envisageable. Par abus, on dira égalementque f(a) est envisageable si f est définie en a. Cela correspond au cas particulier oùJ = {a}.

Soit a ∈ I. La fonction f admet une limite ℓ en a si, et seulement si parmi lesquantités f(a − 0), f(a) et f(a + 0), celles qui sont envisageables existent et sontégales à ℓ.

Théorème 20 (Caractérisation de la limite par limites à gauche et à droite)

D’une manière générale, limx→a

f(x) existe si, et seulement si

limx→ax<a

f(x) = limx→ax>a

f(x).

Exemple 13 :

— La fonction x 7−→ 1x2

a pour limite +∞ en 0 ⌊10⌋.

— La fonction x 7−→ 1x

n’a pas de limite en 0 mais limx→0x<0

1x

= −∞ et limx→0x>0

1x

= +∞.

⌊10⌋. Car la même limite à droite et à gauche.

F.PUCCI 28


1x

1x2

O

Limite à droite

Limite à gauche

Limite à gauche

Figure VI.13 – Limites à droite et à gauche d’une fonction

III.5 Propriétés algébriques des limites

Pour la suite du chapitre, on supposera connues les propriétés suivantes des limites.Ces propriétés seront démontrées ultérieurement :

— Les limites de sommes, produits, quotients, composées, et les formes indétermi-

nées 0 × ∞,00

,∞∞ , ∞ − ∞, 1∞, 00 et ∞0.

— La conservation des inégalités LARGES par passage à la limite.

— Le théorème d’encadrement, ou théorème des gendarmes, aussi appelé plus com-plètement théorème d’existence de la limite par encadrement, ce qui dit bien quelest le point essentiel de ce théorème.

F.PUCCI 29


Soient ℓ, ℓ′ ∈ R.

1. Pour les sommes de limites :

Si f a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞Si g a pour limite ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞alors f + g a pour limite ℓ+ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ Forme

Indéter.

2. Pour les produits de limites :

Si f a pour limite ℓ ℓ 6= 0 0 ∞Si g a pour limite ℓ′ ∞ ∞ ∞alors f × g a pour limite ℓ × ℓ′ ∞ ⌊11⌋ Forme

Indéter.∞ ⌊11⌋

3. Pour les quotients de limites :

Si f a pour limite ℓ ℓ > 0 ℓ > 0 0 ℓ ∞ ∞Si g a pour limite ℓ′ 6= 0 0+ 0− 0 ∞ ℓ′ ∞

alorsf

ga pour limite

ℓ

ℓ′ +∞ −∞ FormeIndéter.

0 ∞ ⌊11⌋ FormeIndéter.

Proposition 21 (Opérations sur les limites)

Remarque : On se rappellera que pour lever l’indétermination, on peut éventuellementtransformer l’expression algébrique donnée : développement, factorisation, quantitéconjuguée. . .

Exercice 16 : Calculer les limites suivantes :

1. limx→+∞

x2 − 1x

1 − x4. 2. lim

x→+∞

1x

2 −√

4 − 1x

.

Soient a, b, c ∈ R et f , g deux fonctions pour lesquelles on suppose limx→a

f(x) = b

et limx→b

g(x) = c.

Alors, sous réserve d’existence, la fonction composée g ◦ f vérifie :

limx→a

(

g ◦ f)

(x) = c.

Proposition 22 (Limite d’une fonction Composée)

⌊11⌋. Appliquer la règle des signes d’un produit.

F.PUCCI 30


Cette dernière propriété nous permet alors de justifier la recherche d’une limite parchangement de variable c.-à-d. on ne s’intéresse plus à la limite de (gof)(x) quandx → a , mais de g(X) quand X → b.

Exemple 14 : On cherche la limite de la fonction x 7−→ f(x) =ln2(x) + 2 ln(x)

ln2(x) + 1.

limx→0

ln2(x) + 2 ln(x)ln2(x) + 1

=↑

X = ln xlimx→0

X = −∞

limX→−∞

X2 + 2X

X2 + 1= 1.

Exercice 17 : Calculer les limites suivantes :

1. limx→1−

1 + x

1 − x

√

1 + x

1 − x. 2. lim

x→0arctan

(ex − 1

x

)

.

Soient a, b ∈ R.

— Si limx→a

f(x) = ±∞, alors Cf admet une asymptote verticale d’équation x = a.

— Si limx→±∞

f(x) = b, alors Cf admet une asymptote horizontale d’équation

y = b .

Proposition 23 (Étude des branches infinies)

III.6 Relations de comparaison

Soient deux fonctions f , g : I 7−→ R et un point a ∈ I.

Nous supposerons ici que f et g sont deux fonctions qui ne s’annulent pas sur unvoisinage de a privé de a : V(a) \ {a}.

Il s’agit ici de comparer les deux fonctions au voisinage de a.

Pour cela, formons leur rapportf(x)g(x)

et regardons ce qu’il se passe lorsque x → a.

Trois cas intéressants se présentent alors :

1.f(x)g(x)

est borné au voisinage de a.

On dira que f est dominée par g et on écrira :

f =x→a

O(g).

2.f(x)g(x)

tend vers 0 lorsque x tend vers a.

On dira que f est négligeable devant g et on écrira :

f =x→a

o(g).

F.PUCCI 31


3.f(x)g(x)

tend vers 1 lorsque x tend vers a.

On dira que f et g sont équivalentes et on écrira :

f ∼x→a

g.

La relation : « Est un grand O de. . . »

Soit a ∈ I et f et g deux fonctions définies sur l’intervalle I ⊂ R ne s’annulant pas surun voisinage de a privé de a.

On dira que la fonction f est un grand O de la fonction g au voisinage du point

a si, et seulement sif(x)g(x)

est borné au voisinage de a privé de a.

On note alors f(x) =x→a

O(

g(x))

.

Définition 18 (« Est un grand O de . . . »)

Par abus de langage, on notera O(g) toute fonction étant un grand O de g au voisinagede a.

Remarques :— Lorsque f = O(g), on dit aussi que « f est dominée par g ». Mais cette termino-

logie prête a confusion. . .

— La notation f = O(g) ne veut rien dire si l’on ne précise pas au voisinage de quelpoint on se trouve.

— Écrire f = O(1) au voisinage de a signifie que f est bornée au voisinage de a.

— S’il existe un réel positif M tel que |f(x)| 6 M |g(x)| dans un voisinage de aalors f = O(g).

Exemple 15 : f(x) = 3x5 − x4 + 2x alors :

{

f = O(x) au voisinage de 0.

f = O(x5) au voisinage de + ∞.

La relation : « Est négligeable devant . . . »

Soit a ∈ I et f et g deux fonctions définies sur l’intervalle I ⊂ R ne s’annulant pas surun voisinage de a privé de a.

On dira que la fonction f est négligeable devant la fonction g au voisinage du

point a si, et seulement si limx→ax 6=a

f(x)g(x)

= 0.

On note alors f(x) =x→a

o(

g(x))

ou parfois f(x) ≺≺ g(x).

Définition 19 (« Est négligeable devant . . . »)

F.PUCCI 32

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle IV. CONTINUITÉ

Par abus de langage, on notera o(g) toute fonction étant un petit o de g au voisinagede a.

Remarques :— La notation f = o(g) ne veut rien dire si l’on ne précise pas au voisinage de quel

point on se trouve.— Écrire f = o(1) au voisinage de a signifie que lim

x→af(x) = 0.

Exemple 16 : f(x) = 3x5 − x4 + 2x alors :

{

f = o(1) au voisinage de 0.

f = o(x6) au voisinage de + ∞.

Si au voisinage d’un point a on a f(x) = o(

g(x))

alors f(x) = O(

g(x))

.

Proposition 24 (Lien entre les relations de comparaison)

IV Continuité

définition.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

— On dit que f est continue en un point a ∈ I si limx→a

f(x) = f(a) .

— On dit que f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout pointde I.

Définition 20 (Fonction continue)

En accord avec le paragraphe (III.2), il est TRÈS important de remarque que lacontinuité d’une fonction sur un intervalle est une propriété locale.

Interprétation graphique : Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle estdéfinie sur cet intervalle et si sa courbe représentative se trace d’un »trait continu »,sans lever le crayon.

Remarque : Avec les notations du paragraphe (III.6), on dit alors que

f(x) − f(a) = o(1) au voisinage de a.

Exemple 17 (La fonction partie entière) : Une propriété de R ⌊12⌋est que :

∀ x ∈ R, ∃n ∈ Z tel que n 6 x < n + 1.

La fonction partie entière ⌊ ⌋ : R 7−→ Z est alors définie par :

⌊x⌋ = n.

F.PUCCI 33


1 2 3 4−1

1

2

3

x

f(x)

(Cf )

1 2 3 4−1

1

2

3

x

f(x)

(Cf )

Figure VI.14 – Exemples de fonctions continues et discontinues en

un point.

limx→n−

n∈Z

= n − 1 et limx→n+

n∈Z

= n.

1 2 3 4−1−2−1

−2

1

2

3

4

x

⌊x⌋

Figure VI.15 – La fonction partie entière

ATTENTION

Certaines fonctions n’ont même pas de limites en un point. Considérons lafonction f définie sur R∗ par

f(x) = sin(1

x

)

.

En 0, limx→0

1x

= ±∞. Comme la limite de sin(x) en l’infini n’existe pas, celle

de f(x) en 0 n’existe pas non plus.

⌊12⌋. On dit que R est archimédien !

F.PUCCI 34


1 2−1−2

−1

1

x

f(x)

Figure VI.16 – La fonction x 7−→ sin(

1x

)

n’a pas de limite en 0.

IV.1 Stabilité algébrique

Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I.

— Les fonctions (f + g) et f × g sont encore continues sur I.

— Supposons que g ne s’annule pas sur I. La fonctionf

gest encore continue

sur I.

Proposition 25 (Structure de l’ensemble des fonctions continues)

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction continue surun intervalle J telle que f(I) ⊂ J .Alors g ◦ f est encore continue sur I.

Proposition 26 (Composée de fonctions continues)

IV.2 Bijectivité, réciproque d’une bijection

Soit f une fonction définie sur I ⊂ R à valeurs dans J .On dit que f est bijective si, et seulement si tout élément de J admet un uniqueantécédent par f .On appelle alors bijection réciproque la fonction, notée f−1, qui à tout y ∈ Jassocie l’unique antécédent de y par f , de sorte que :

{

y = f(x)x ∈ I

⇐⇒{

f−1(y) = xy ∈ J

Définition 21 (Bijection)

F.PUCCI 35


Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de R.Alors :

(i) f réalise une bijection de I dans l’intervalle J = f(I) .

(ii) Son application réciproque f−1 est elle-même continue sur J et strictementmonotone et de même sens de variation que f .

Théorème 27 (de la bijection)

Feu le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement mono-tones !

On appelle homéomorphisme toute bijection continue entre deux espaces topolo-giques dont la bijection réciproque est continue.

Définition 22 (Homéomorphisme)

Le théorème (21) affirme donc que les fonctions continues strictement monotonessont des homéomorphismes de I sur f(I).

Les courbes représentatives Cf et Cf−1 sont symétriques par rapport à la premièrebissectrice d’équation y = x.

Proposition 28

Preuve: Notons G le graphe de f et G′ elui de f−1

.

Soit M (x; y) ∈ G. Alors y = f(x).

Le symétrique de M par rapport à la première bisse tri e est :

(y; x) = (f(x); x) =(

f(x); f−1(

(f(x)))

∈ G′.

Ré iproquement, si M (x; y) ∈ G′, y = f−1(x).

M est le symétrique par rapport à la première bisse tri e du point

(y; x) =(

f−1(x); x)

=(

f−1(x); f(

f−1(x)))

= (x; f(x)) ,

don d'un point de G.

Exemple 18 (Fondamental) : La fonction carrée f : x 7−→ x2 n’est pas bijectivesur R car, par exemple, f(1) = f(−1) = 1.

Considérons la restriction de f sur R+.

F.PUCCI 36


f est continue et strictement croissante sur R+ à valeurs dans R+. Le théorème dela bijection permet de conclure que f réalise une bijection de R+ sur R+.

Elle admet donc une bijection réciproque f−1 : R+ 7−→ R+ qui est la fonction racinecarrée : {

y = x2

x ∈ R+⇐⇒

{

x =√

yy ∈ R+

Grâce au théorème de la bijection, on en déduit que la fonction racine carrée estdéfinie et continue sur R+, et qu’elle est strictement croissante sur cet intervalle.

1 2 3 4

1

2

3

Figure VI.17 – x 7−→ √x et sa réciproque x 7−→ x2 sur R+.

Exercice 18 : Tracer la courbe de arctan = (tan)−1 à partir du graphe de tan sur]

−π

2;π

2

[

.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Pour montrer que f est bijective, onutilise l’une des deux méthodes suivantes :

On montre que f est continue et strictement monotone sur I.Alors, d’après le théorème de la bijection, f réalise une bijection de l’intervalle Isur l’intervalle J = f(I).

Méthode 2 (Montrer qu’une fonction est bijective)

Cette méthode est simple à appliquer car il suffit de justifier que f est continue sur Iet d’étudier ses variations pour montrer qu’elle est bijective.

Par contre, cette méthode ne donne pas l’expression de la bijection réciproque f−1 def .

Exercice 19 : Montrer que l’équation x3 + x+ 1 = 0 admet une unique solution sur[−1 ; 0 ].

F.PUCCI 37

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle V. DÉRIVABILITÉ

On montre que l’équation y = f(x) (d’inconnue x) possède une unique solutionqui est, par définition, x = f−1(y).

Méthode 3 (Montrer qu’une fonction est bijective)

Cette méthode, en général plus compliquée que la précédente, permet néanmoins d’ob-tenir l’expression de la bijection réciproque f−1 de f .

Exercice 20 : Montrer que la fonction g :] − 1 ; +∞ [ 7−→] − ∞ ; 1 [ définie par

g(x) =x − 1x + 1

est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.

V Dérivabilité

Une fonction peut être plus ou moins « régulière ». La régularité d’une fonction semesure à l’aide des propriétés de continuité et de dérivabilité.

Plus on peut dériver une fonction, plus celle-ci sera régulière. Intuitivement, plus unefonction est régulière, plus son graphe est lisse.

Dans ce paragraphe et sauf mention contraire, les fonctions étudiées seront systémati-quement des fonctions définies sur un intervalle ouvert de R et à valeurs réelles.

V.1 Taux d’accroissement

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I.On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre x et a :

f(x) − f(a)x − a

, x 6= a,

admet une limite finie quand x tend vers a.Dans ce cas, la limite est appelée nombre dérivé de f en a et est noté f ′(a) :

f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)x − a

, x 6= a.

Définition 23

Remarque : Avec les notations du paragraphe (III.6), on dit alors que

f(x) − f(a) = o(x − a) au voisinage de a.

Interprétation graphique :

Soit A (a; f(a)) un point de la courbe représentative, donnons nous un autre pointM (x; f(x)) avec x ∈ Df , un point variable « pas trop éloigné » de A.

On considère alors les droites (AM), sécantes en A et M à Cf .

F.PUCCI 38


Le taux d’accroissement désigne le coefficient directeur de la corde (AM).

Pour x fixé, un vecteur directeur de (AM) est−−→AM =

f(x) − f(a)

x − a

.

Le coefficient directeur de (AM) est donc :

f(x) − f(a)x − a

.

Par définition, le nombre dérivé en a, s’il existe, est donc le coefficient directeurde la tangente à la courbe en au point d’abscisse a et, par extension, une fonction fest dérivable en a si, et seulement si sa courbe représentative admet une tangente aupoint d’abscisse a. ⌊13⌋

Son équation est alors ⌊14⌋ :

(Ta) : y = f ′(a)(x − a) + f(a).

Si, pour tout x de I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I et la fonctionf ′ : x 7−→ f ′(x) est appelée la fonction dérivée de f sur I.

Remarque : Lorsque le taux d’accroissement tend vers ±∞, la courbe admet unedemi-tangente verticale en A.

⌊13⌋. si on peut la tracer !⌊14⌋. et à retenir.

bcAA

bc

bc

bcMM

bc

bc

bc

a

f(a)

x

f(x)

(Ta)

Cf

Figure VI.18 – Tangente à une courbe comme limite de ses sécantes.

F.PUCCI 39


Exemple 19 : La courbe de la racine carrée admet une demi-tangente verticale en0.

D’une manière générale, ce sera le cas pour toutes les réciproques de fonctions dontla dérivée s’annule en ce point (cf. proposition (35) ).

Remarques : La dérivation est une notion :

— locale et non ponctuelle. f doit être définie dans un voisinage de a.

— locale et non globale. Elle ne dépend que de la restriction de f à un voisinage dea quel qu’il soit et non de sa description globale.

Un peu de cinématique : On considère un objet en mouvement sur un axe. Onnote t la durée en secondes de son parcours, et x(t) la distance en mètres, parcourueaprès t secondes.

On note t0 et t1 = t0 +h deux instants : le quotientx(t1) − x(t0)

hest la vitesse moyenne

de l’objet entre les instants t0 et t1 = t0 + h.

Dans les conditions précédentes, la limite quand h se rapproche de 0 de la vitessemoyenne ⌊15⌋est appelée vitesse instantanée de l’objet à l’instant t0.

V (t0) = limt1→t0

x(t1) − x(t0)t1 − t0

= limh→0

x(t0 + h) − x(t0)h

(VI.1)

Définition 24

Deux manières de voir ce résultat :

— La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne lorsque l’écart entre lesdeux points de mesure tend vers 0.

— La vitesse instantanée est la dérivée première de la position. ⌊16⌋

Exemple 20 : On lâche un objet en chute libre. On note x(t) la distance parcourue(en m) après t secondes. On admet que la distance parcourue s’exprime en fonctiondu temps de parcours par

x(t) = 4, 9t2.

Calculer la vitesse instantanée de l’objet après une chute de t secondes.

Première méthode : On exprime la vitesse moyenne de l’objet entre les instants tet t + h :

v =x(t + h) − x(t)

h=

4, 9(t + h)2 − 4, 9t2

h

⌊15⌋. c’est à dire le nombre dérivé de x en t0

⌊16⌋. C’est quoi la dérivée seconde ?

F.PUCCI 40


En développant, réduisant et simplifiant, on obtient :

v =4, 9(t2 + 2th + h2) − 4, 9t2

h=

9, 8th + 4, 9h2

h= 9, 8t + 4, 9h

Lorsque h tend vers 0, ce quotient se rapproche de 9, 8t :limh→0

(9, 8t + 4, 9t) = 9, 8t.

Donc la vitesse instantanée de l’objet en chute libre est donnée par l’expression

v(t) = x′(t) = 9, 8t.

Deuxième méthode : On calcule la dérivée de la position :

v(t) = x′(t) =dx(t)

dt= 4, 9 × 2t = 9, 8t.

Après 5 secondes de chute libre, la vitesse est de 9, 8 × 5 = 49 m/s. (soit179,4 km/h).

Remarque : Les physiciens expriment volontiers une variation à l’aide du symbole ∆.Ils notent ainsi ∆t = t1 − t0 et ∆x = x1 − x0.

Pour une variation très petite, reprenant une notation introduite par Isaac Newton,on note alors dt et dx. On obtient ainsi la notation différentielle de la dérivée :

x′(t) =dx(t)

dt.

L’avantage de cette notation est de rendre bien visible la variable par rapport à laquelleon dérive. Ici, la position x(t) est dérivée par rapport au temps.

En mathématiques, et temps que l’on ne considérera que des fonctions d’une seule

variable, on note plus simplementdf(x)

dx= f ′(x).

Une fonction f : I 7−→ R est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I.

On appelle fonction dérivée de f sur I, que l’on note f ′(

oudf

dx

)

, la fonction qui

à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x :

f ′ : I R

x f ′(x).

Définition 25 (Fonction dérivée)

F.PUCCI 41


ATTENTION

Pour peu que f soit dérivable sur I, on peut prolonger la définition (23) àun intervalle J ⊂ I fermé mais alors, il n’est pas équivalent de dire que f estdérivable sur J et que la restriction de f est dérivable sur J .Ainsi, par exemple, si J = [0 ; 2 ] et J = [0 ; 1 ], la dérivabilité de f sur Jstipule la dérivabilité de f en 1 (donc la dérivabilité à la fois à gauche et àdroite), alors que la dérivabilité de la restriction de f à [0 ; 1 ] n’impose que ladérivabilité à gauche en 1.Remarquez que les problèmes ont toujours lieu en des bornes fermées de J ,qui ne sont pas des bornes de I. Ainsi, on pourrait contourner le problème ense restreignant à la dérivabilité sur des intervalles du type I ∩ U , où U est unintervalle ouvert de R.

Exercice 21 (Dérivée usuelle) : Retrouver les fonctions dérivées des fonctionsusuelles suivantes et préciser leur domaine de dérivabilité :

1. Les fonctions constantes.2. x 7−→ xn, n ∈ Z.3. x 7−→ √

x

4. x 7−→ exp(x).

5. x 7−→ cos(x) et x 7−→ sin(x)

Un peu d’histoire:— La notion de dérivée tire son origine dans l’étude des tangentes, et en particulier

de la pente des tangentes. Pierre de Fermat ⌊17⌋ le premier (en 1636) constate

que très souvent, la pente s’obtient en écrivantf(x + e) − f(a)

e, en « prenant »

e = 0 (il ne dispose pas encore de la notion de limite). Il appelle e un « infinimentpetit ».

— Newton, en 1669, introduit la notation (x, y, z), pour les dérivées des coordon-nées d’un point, qu’il appelle « fluxions » des « fluentes » (x, y, z), qu’il définitcomme les vitesses dont les fluentes sont augmentées graduellement et indéfini-ment.Sa notation est encore utilisée actuellement en physique.

— En 1674, Leibniz introduit la notation dx ; pour désigner une variation infinitési-male sur l’abscisse, et dy pour désigner une variation infinitésimale sur l’ordon-

née. Si y dépend de x,dx

dydésigne donc la variation infinitésimale de la fonction

y rapportée à la variation infinitésimale de x qui l’a provoquée : il s’agit bel etbien de la définition de Fermat, et rien de plus : pas de nouvelle théorie, justeune nouvelle notation, encore largement utilisée aujourd’hui, notamment sous laforme non quotientée (pensez aux intégrales !)

⌊17⌋. Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIème siècle, à Beaumont-de-Lomagne(département actuel de Tarn-et-Garonne), près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres(département actuel du Tarn), est un magistrat, polymathe et surtout mathématicien français, sur-nommé « le prince des amateurs ».

Il est aussi poète, habile latiniste et helléniste, et s’est intéressé aux sciences et en particulier àla physique. On lui doit notamment le principe de Fermat en optique.

Il est particulièrement connu pour avoir énoncé le dernier théorème de Fermat, dont la démons-tration n’a été établie que plus de 300 ans plus tard par le mathématicien britannique Andrew Wilesen 19944.

F.PUCCI 42


— À la fin du 18ème siècle, Joseph-Louis Lagrange ⌊18⌋ introduit la terminologie« dérivée » et la notation f ′.

— La formalisation rigoureuse est due à Karl Weierstrass ⌊19⌋ dans la deuxièmemoitié du 19ème siècle, s’appuyant sur une définition rigoureuse de la notionde limite et de continuité (dont il donne également pour la première fois unedéfinition rigoureuse et précise)

⌊18⌋. Joseph Louis, comte de Lagrange (en italien Giuseppe Lodovico ou aussi Giuseppe Luigi Dela Grange Tournier1), né à Turin en 1736 et mort à Paris en 1813, est un mathématicien, mécanicienet astronome italien naturalisé français. À l’âge de trente ans, il quitte le Piémont et va séjourner àBerlin pendant vingt-et-un ans. Ensuite, il s’installe pour ses vingt-six dernières années à Paris, où ilobtient la nationalité française sur l’instance d’Antoine Lavoisier.

Fondateur du calcul des variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, il démontrele théorème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la décomposition d’unentier en quatre carrés. On lui doit un cas particulier du théorème auquel on donnera son nom enthéorie des groupes, un autre sur les fractions continues, l’équation différentielle de Lagrange.

En physique, en précisant le principe de moindre action, avec le calcul des variations, vers 1756,il invente la fonction de Lagrange, qui vérifie les équations de Lagrange, puis développe la mécaniqueanalytique, vers 1788, pour laquelle il introduit les multiplicateurs de Lagrange. Il entreprend aussides recherches importantes sur le problème des trois corps en astronomie, un de ses résultats étant lamise en évidence des points de libration (dits points de Lagrange) (1772).

Il élabore le système métrique avec Lavoisier pendant la Révolution. Il est membre fondateurdu Bureau des longitudes (1795) avec, entre autres, Laplace et Cassini. Il participe à l’enseignementde mathématiques de l’École normale de l’an III avec Joseph Lakanal, de l’École polytechnique (dès1797) avec Monge et Fourcroy. Il a aussi été le fondateur de l’Académie de Turin (1758).

En mécanique des fluides, il introduit le concept de potentiel de vitesse en 1781, bien en avancesur son temps. Il démontre que le potentiel de vitesse existe pour tout écoulement de fluide réel, pourlequel la résultante des forces dérive d’un potentiel. Dans le même mémoire de 1781, il introduit enplus deux notions fondamentales : le concept de la fonction de courant, pour un fluide incompressible,et le calcul de la célérité d’une petite onde dans un canal peu profond. Rétrospectivement, cet ouvragemarque une étape décisive dans le développement de la mécanique des fluides moderne.

Lagrange a aussi œuvré dans le domaine de la théorie des probabilités.⌊19⌋. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, habituellement appelé Karl Weierstrass, orthographiéWeierstraß en allemand, né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (Westphalie), mort le 19 février 1897 àBerlin, était un mathématicien allemand, lauréat de la médaille Copley en 1895.

Karl Weierstrass est souvent cité comme le « père de l’analyse moderne ». Il consolida des travauxde Cauchy sur les nombres irrationnels et leur amena une nouvelle compréhension. Ses travaux lesplus connus portent sur les fonctions elliptiques.

C’est lui qui le premier rendit public un exemple de fonction continue nulle part dérivable.Weierstrass étudia la fiabilité de l’analyse, dont il propose une construction logique rigoureuse.

À cette époque, les démonstrations de l’analyse s’appuyaient sur des définitions ambiguës, d’où lanécessité de nouvelles définitions. Tandis que Bolzano avait développé une définition suffisammentrigoureuse des limites dès 1817 (et peut-être même auparavant), ses travaux restèrent quasi inconnusde la communauté mathématique pendant des années, et d’autres mathématiciens éminents, commeCauchy, n’avaient que de vagues définitions de la limite et de la continuité d’une fonction.

En 18611, Weierstrass définit la continuité comme suit :f est continue en x0 si, pour tout réel ε strictement positif, il existe un réel δ strictement positif

tel que, si x est à une distance de x0 strictement inférieure à δ, alors la valeur de la fonction f en xest à une distance strictement inférieure à ε de la valeur de la fonction f en x0.

∀ε > 0, ∃ δ > 0/|x − x0| < δ =⇒ |f(x) − f(x0)| 6 ε.

Weierstrass formula également une définition de la limite et de la dérivée « en (ε, δ) », telle qu’onl’enseigne généralement aujourd’hui.

F.PUCCI 43


V.2 Fonction monotone

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

— Si pour tout x ∈ I, f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) > 0), alors f est croissante (resp.strictement croissante) sur I.

— Si pour tout x ∈ I, f ′(x) 6 0 (resp. f ′(x) < 0), alors f est décroissante(resp. strictement croissante) sur I.

— Si pour tout x ∈ I, f ′(x) = 0 (resp. f ′(x) > 0), alors f est constante sur I.

Proposition 29 (Caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée)

Remarque : Si f ′ est positive (resp. négative) sur I et ne s’annule qu’en un nombrefini de points, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.

ATTENTION L’hypothèse « I est un intervalle » est indispensable ici. Le théorème est fauxsi I est un réunion d’intervalles.

Cf

I1 I2

Figure VI.19 – f est constante sur I1 et I2 mais n’est pas constante

sur I = I1 ∪ I2.

Cf

I1 I2

Figure VI.20 – f est croissante sur I1 et I2 donc f ′> 0 mais n’est

pas croissante sur I = I1 ∪ I2.

Avec ces nouvelles définitions, il put donner des démonstrations rigoureuses de plusieurs théorèmesqui reposent sur des propriétés des nombres réels jusqu’alors tenues pour intuitives, tels le théorèmedes valeurs intermédiaires, le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème de Borel-Lebesgue.

F.PUCCI 44


V.3 Extrema

Soit f dérivable sur un intervalle ouvert.Si f admet en x0 un extremum local alors f ′(x0) = 0.

Théorème 30 (Condition nécessaire d’extremum)

Preuve: Supposons que f présente un maximum lo al en x0, alors à gau he en x0

on a :

f(x) − f(x0)x − x0

> 0.

D'où par passage à la limite en x0, f ′(x0) > 0.

À droite en x0, on a :

f(x) − f(x0)x − x0

6 0.

D'où par passage à la limite en x0, f ′(x0) 6 0.

Par onséquent, f ′(x0) = 0.

La réciproque de ce théorème est fausse. Il suffit de considérer la fonction x 7−→ x3

dont la dérivée s’annule en 0 sans que 0 ne soit un extremum local.

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et x0 ∈ IOn dit que x0 est un point critique de f si f ′(x0) = 0.

Définition 26 (Point critique)

Ainsi, une CN pour que f présente un extremum local en x0 ∈ I est que x0 soit unpoint critique.

ATTENTION C’est évidemment faux si I n’est pas ouvert (cas d’un extremum surle bord).

V.4 Continuité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.

Théorème 31 (Continuité et dérivabilité)

Preuve: Soiet a, x ∈ I ave a 6= x.

F.PUCCI 45


f(x) =f(x) − f(a)

x − a× (x − a) + f(a).

Le membre de droite a bien une limite quand x tend vers a, qui est f(a). Ainsi f est

bien ontinue en a ∈ I, et don sur I.

Ce théorème explique simplement que la notion de dérivabilité est plus forte que cellede continuité comme l’était déjà la notion de continuité par rapport à celle de définition.On pourra donc trouver des fonctions continues sans qu’elles soient dérivable mais pasl’inverse.

ATTENTION La réciproque de ce théorème est fausse . Pour s’en rendre compte,on peut s’appuyer sur les représentations graphiques suivantes :

— Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est enun seul morceau .

— Si la fonction est dérivable sur un intervalle, sa représentation graphique admetune tangente en chacun de ses points .

1 2 3 4

1

2

3

x 7−→√

x.

1 2−1−2

1

2

3

x 7−→ |x|.

Figure VI.21 – Exemple de fonctions non dérivables en 0.

Comme explicité précédemment, les premiers exemples à avoir en tête sont la fonctionvaleur absolue et la racine carrée et globalement, l’image à avoir en tête est celle de lafonction VI.22.

a

bAA

Figure VI.22 – Point anguleux.

La fonction est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau.

F.PUCCI 46


Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au pointA deux demi-tangentes.

On dit que la courbe admet un point anguleux en a.

V.5 Dérivées à droite et à gauche

On note I le domaine de définition de f .

Soit x0 ∈ I.

— On dit que f est dérivable à droite en x0 si l’expressionf(x) − f(x0)

x − x0admet

une limite à droite lorsque x tend vers x0.On note alors :

f ′d(x0) = lim

x→x+

0

f(x) − f(x0)x − x0

= limh→0+

f(x0 + h) − f(x0)h

.

— On dit que f est dérivable à gauche en x0 si l’expressionf(x) − f(x0)

x − x0admet

une limite à gauche lorsque x tend vers x0.On note alors :

f ′g(x0) = lim

x→x−

0

f(x) − f(x0)x − x0

= limh→0−

f(x0 + h) − f(x0)h

.

Définition 27 (Dérivées à droite et à gauche)

Évidemment, la première condition pour que la dérivée à droite existe est que cettelimite ait un sens, donc que x0 ne soit pas la borne supérieure de I ou inférieure pourla limite à gauche.

Cela nous permet de revenir sur la dérivabilité sur un intervalle fermé :

Soit f définie sur un intervalle fermé [a ; b ].On dit que f est dérivable sur [a ; b ] si f est dérivable sur ]a ; b [, dérivable à droiteen a et dérivable à gauche en b.

Définition 28 (Dérivabilité sur un intervalle fermé)

Adaptation immédiate à des intervalles semi-ouverts.

Remarque : La dérivabilité à droite en x0 équivaut à la dérivabilité en x0 de larestriction de f à I ∩ [x0 ; +∞ [.

F.PUCCI 47


Soit x0 ∈ I, non égal à une des bornes de I.Alors f est dérivable en x0 si, et seulement si f est dérivable à gauche et à droiteen x0, et f ′

g(x0) = f ′d(x0).

Dans ce cas, f ′(x0) = f ′d(x0) = f ′

g(x0).

Proposition 32 (Caractérisation de la dérivabilité par f ′d et f ′

g)

Exercice 22 : Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :

1. x 7−→ | sin(x)|. 2. x 7−→ |x|3. 3. x 7−→ ⌊x⌋.

Exercice 23 : Soit f définie sur R par f(x) =

2 − x2 si x < 1;1x

si x > 1

Montrer que f est continue mais n’est pas dérivable en 1.

Donner une interprétation géométrique.

Exercice 24 : Mêmes questions que l’exercice précédent en 0 avec f définie sur R

par f(x) =

sin x

xsi x 6= 0;

f(0) = 1.

Exercice 25 : Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie surR+ par :

f(x) =√

x si 0 6 x 6 1 et f(x) = ax2 + bx + 1 si x > 1

soit dérivable sur R∗+.

F.PUCCI 48


V.6 Opérations et dérivabilité

Soient f , g deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et λ un réel.

(i) La combinaison linéaire λf +g est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

(

λf + g)′

(x) = λf ′(x) + g′(x).

(ii) Le produit fg est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

(iii) Supposons que g ne s’annule pas sur I. Le quotient1g

est encore dérivable

sur I et pour tout x ∈ I :(

1g

)′(x) = − g′(x)

g2(x).

(iv) Supposons que g ne s’annule pas sur I. Le quotientf

gest encore dérivable

sur I et pour tout x ∈ I :(

f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)g2(x)

.

Proposition 33 (Opérations sur les fonctions dérivables)

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable surun intervalle J tel que f(I) ⊂ J .Alors la fonction g ◦ f est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

(g ◦ f)′(x) = f ′(x) × g′(

f(x))

.

Proposition 34 (Composée de fonctions dérivables)

Exercice 26 : Étudier la dérivabilité de la fonction f définie par :

f(x) = ln(

x +√

x(1 − x))

.

Donner sa dérivée le cas échéant.

Exercice 27 : Donner la dérivée des fonctions définies par leur expressions suivanteet préciser le domaine de dérivabilité :

1. f(x) = cos(

x − 12x + 1

)

.

2. g(x) =1

cos x.

3. k(x) = tan 3x.

4. l(x) =sin x + cos x

1 + cos x.

F.PUCCI 49


5. e(x) =n∑

k=0

xk

k!. 6. f(x) =

x − 1x + 1

√

x − 1x + 1

.

7. a(x) = ln(

x +√

1 − x2)

.

Soit f une fonction bijective de I dans J .Si f est dérivable sur I et si f ′ ne s’annule pas sur I, alors f−1 est dérivable surJ et :

∀y ∈ J,(

f−1)′

(y) =1

f ′(

f−1(y)) .

Proposition 35 (Dérivée de l’application réciproque d’une bijection)

Preuve: Soit x0 dans I et y0 = f(x0). On a :

limy→y0

f−1(y) − f−1(y0)y − y0

=1

limy→y0

y − y0

f−1(y) − f−1(y0)

=1

limx→x0

f(x) − f(x0)x − x0

=1

f ′(x0)=

1

f ′(

(f−1(y0)) .

f−1est don dérivable en x0 quel onque de I don sur I tout entier.

Exemple 21 : f : R+ R+

x x2est bijective (comme vu plus haut) de réci-

proque = f−1 : R+ R+

x√

x.

f est dérivable (car polynomiale) et pour x ∈ R+, f ′(x) = 2x ne s’annulant que pourx = 0.

Ainsi, par le théorème de dérivabilité de la fonction réciproque théorème (35) ,f−1 est dérivable sur R+ \ {f(0)} = R+∗, et pour y ∈ R+,

(

f−1)′

(y) =1

f ′(

f−1(y)) =

12√

y.

On appelle Difféomorphisme toute bijection dérivable entre deux deux ouverts deR dont la bijection réciproque est dérivable.

Définition 29 (Difféomorphisme)

La proposition (35) affirme donc que les fonctions dérivables dont la dérivées nes’annule pas sur I sont des difféomorphismes sur I.

F.PUCCI 50


Exercice 28 : Définir la fonction arcsin x, fonction réciproque de sin sur un do-maine à préciser et donner l’expression de sa dérivée.

Soit f : I 7−→ R . On définit récursivement :

— f (0) = f

— ∀n ∈ N, si f (n) est dérivable, f (n+1) =(

f (n))′

.

Si, pour tout n ∈ N, la fonction f (n) existe, on dit que f est n fois dérivable sur Iet on appelle f (n) la dérivée nème de f sur I.

Définition 30 (Dérivée n-ième)

Remarque : Pour pouvoir définir la dérivée n-ième de f en x0, il faut pouvoir dériverf (n−1) en x0, et il faut donc que f (n−1) soit définie sur tout un voisinage de x0 et nonseulement en x0.

Une fonction f est dite de classe Cn sur un intervalle I si elle est n fois dérivablesur I et que f (n) est continue.

Définition 31 (Fonction de classe Cn)

Ainsi, une fonction est de classe C0 si elle est continue. Elle est de classe C1 si elle estdérivable (donc continue) et de dérivée continue, . . .

Remarquez que la dérivabilité ne suffit pas à obtenir la classe C1.

Exercice 29 : Étudier la classe de f : x 7−→ x2 sin(1

x

)

.

Notation : Soit I un intervalle et n ∈ N.

— On note Dn(I) l’ensemble des fonctions définies sur I et n fois dérivables sur I.

— On note Cn(I) l’ensemble des fonctions n fois dérivables sur I et de dérivée n-ièmecontinue.En particulier, D0(I) est l’ensemble de toutes les fonctions définies sur I, C0(I)est l’ensemble de toutes les fonctions continues sur I.

— Si f est de classe Cn sur I pour tout n ∈ N, donc si f est infiniment dérivable,on dit que f est de classe C∞ et on note C∞(I) leur ensemble.

Exemple 22 : L’exponentielle, les fonctions sinus, cosinus, les polynômes, les frac-tions rationnelles, le logarithme sur leur ensemble de définition sont de classe C∞.

Exercice 30 : Soit f : x 7−→ xn et k ∈ N.

Pour tout k 6 n, montrer que pour tout x ∈ R, f (k)(x) =n!

(n − k)!xn−k.

F.PUCCI 51


Exercice 31 : Soit f : R∗ 7−→ R la fonction définie par f(x) =1x

.

Montrer que, pour tout n ∈ N : ∀x ∈ R∗, f (n)(x) = (−1)n n!xn+1

.

Exercice 32 : Soit f : R 7−→ R la fonction définie par f(x) = sin x.

Montrer que, pour tout n ∈ N : ∀x ∈ R, f (n)(x) = sin(

x + nπ

2

)

.

Soient f et g deux fonctions de I dans R, et x0 ∈ I. Soit n ∈ N∗

Si f et g sont n fois dérivables en x0 alors fg aussi et :

(

fg)(n)

(x0) =n∑

k=0

n

k

f (k)(x0)g(n−k)(x0).

Théorème 36 (Formule de Leibniz)

Preuve: Ré urren e. . .

Exercice 33 : Donner la dérivée n-ième de x 7−→ xex.

Remarque : Il existe une formule explicite pour la dérivée d’ordre n d’une composition(formule de Faà di Bruno), mais cette formule est fort complexe.

Pour le plaisir, on énonce, sans démonstration :

(

f ◦ g)(n)

=∑

(m1, m2,..., mn)∈Nn

1m1+2m2+...+nmn=n

n!m1!m2! . . . mn!

n∏

k=1

(

f (k)

k!

)

× g(m1+m2+...mn) ◦ f.

F.PUCCI 52

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle VI. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

VI Comportement asymptotique

Le comportement à l’infini (comportement asymptotique) peut aussi aider à cernerl’allure de la courbe.

On définit pour cela la notion de droite asymptote : il s’agit d’une droite qui approched’aussi près que l’on veut une portion de la courbe lorsque l’on s’éloigne vers l’infinidans l’une des deux directions. Plus précisément :

On dit qu’une fonction f admet :

1. une asymptote verticale au voisinage de a d’équation x = a lorsquelimx→a

f(x) = ±∞.

2. une asymptote horizontale au voisinage de +∞ d’équation y = b lorsquelim

x→±∞f(x) = b.

3. plus généralement, une droite (D) d’équation y = ax + b, dite asymptoteoblique, au voisinage de ±∞ lorsque lim

x→±∞f(x) − (ax + b) = 0

Définition 32 (Asymptote)

Tant qu’on ne dispose pas de méthode plus sophistiquée, le principe est le suivant(pour une asymptote en +∞) :

1. Étudier la limite def(x)

xlorsque x tend vers +∞ :

— Si cette limite n’existe pas, ou si elle est infinie, la courbe de f n’a pasd’asymptote en +∞.

— Si cette limite est finie, de valeur a, on dit que la droite y = ax estdirection asymptotique de la courbe en +∞.

2. On étudie la limite de f(x) − ax :

— Si elle n’existe pas, ou si elle est infinie, la courbe de f n’a pas d’asymp-tote en +∞.

— Si cette limite est finie, de valeur b, alors la droite d’équation y = ax+best asymptote à la courbe de f en +∞.

Méthode 4 (Déterminer une droite asymptote (non verticale))

Nous verrons plus tard comment on peut obtenir a sans former le quotient, à l’aided’équivalents, ou même comment obtenir simultanément a et b à l’aide d’un « dévelop-pement limité ».

Exercice 34 :

1. Déterminer les asymptotes de la courbe de f : x 7−→ x3 − 2x2 + 1x2 + 1

.

2. Montrer que x 7−→ x + sin x admet une direction asymptotique en −∞ et +∞mais pas d’asymptote.

F.PUCCI 53

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle VII. CONVEXITÉ

VII Convexité

Enfin, l’allure de la courbe va dépendre fortement de « l’orientation de la courbure »,c.-à-d. de savoir si le « creux » de la courbe est orienté vers le haut ou vers le bas.

C’est ce qu’on appelle la convexité de la courbe. Intuitivement, si le creux de la courbeest orienté vers le haut, la pente de la tangente est de plus en plus forte, donc f estcroissante. Cela amène la définition suivante :

Soit I = [a, b] un intervalle de R. On note I l’intervalle I privé de ses bornes. Onconsidère dans cette leçon une fonction f : I −→ R.

La fonction f est dite convexe si ∀ (x, y) ∈ I2, ∀ λ ∈ [0, 1],

f(

λx + (1 − λ)y)

6 λ f(x) + (1 − λ) f(y).

Elle est dite concave si −f est convexe.

Définition 33 (Fonction convexe)

|

xx|

yy

X

Y

f(x)

f(y)

λ f(x) + (1 − λ) f(y)

f(

λ x + (1 − λ) y)

λ x + (1 − λ) y

Cf

Figure VI.23 – La courbe d’une fonction convexe est au-dessous de

ses cordes.

Exemples 23 :

— Les fonctions x 7−→ x2, x 7−→ |x| sont convexes.

— Toute combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes estconvexe.

— La limite simple d’une suite de fonctnios convexes est une fonction convexe.

— Le produit (x 7−→ x2 et x 7−→ x) et la composée (x 7−→ −x et x 7−→ x2) defonctions convexes ne sont pas nécessairement convexes.

— f est une fonction affine si et seulement si f et −f sont convexes.

Remarque : Si f : R −→ R, alors pour tout réel x, f |]−∞,x[ et f |[x,+∞[ convexes 6⇒ fconvexe sur R.

F.PUCCI 54


|

xx

f est convexe si et seulement si A = {(x, y) ∈ R2 | f(x) 6 y} est une partieconvexe de R2.

Théorème 37 (Épigrage)

Cf

A

Figure VI.24 – A est appelé épigraphe de f .

Preuve:"=⇒" : Soient M(x1, y1), N(x2, y2) ∈ A et T (x, y) ∈ [MN ]. Il existe λ ∈ [0, 1] tel

que x = λ x1 + (1 − λ) x2 et y = λ y1 + (1 − λ) y2. Alors :

f(x) = f(

λ x1 + (1 − λ) x2

)

6f onvexe

λ f(x1) + (1 − λ) f(x2)

6M,N∈A

λ y1 + (1 − λ) y2 = f(y).

"⇐=" : Soient M(x1, y2), N(x2, y2) ∈ A. Comme A est onvexe, [MN ] ⊂ A .-à-d. ∀λ ∈ [0, 1],on a :

f(

λx1 + (1 − λ)x2

)

6 λy1 + (1 − λ)y2 = λf(x1) + (1 − λ)f(x2).

Don f est onvexe.

F.PUCCI 55


Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f est convexe ;

(ii) Pour tout (x, y, z) ∈ I3 tel que x < y < z,

f(y) − f(x)y − x

6f(z) − f(x)

z − x6

f(z) − f(y)z − y

;

(iii) Pour tout x0 ∈ I, la fonction suivante est croissante :

ϕx0: I\{x0} −→ R

x 7−→ f(x) − f(x0)x − x0

.

Théorème 38 (Une fonction convexe est au-dessous de ses cordes)

Si l’on note X(

x, f(x))

, Y(

y, f(y))

et Z(

z, f(z))

,alors (ii) traduit le fait que la pente de la droite(XY ) est inférieure à celle de (XZ), elle-même infé-rieure à celle de (Y Z), comme le montre clairementl’illustration ci-contre :

X

Y

Z

Cf

Figure VI.25 – La courbe d’une fonction convexe est au-dessous de

ses cordes.

Preuve:(i) ⇒ (ii) : x < y < z et f est onvexe, don il existe λ ∈ ]0, 1[ tel que :

{

y = λ x + (1 − λ) zf(y) 6 λ f(x) + (1 − λ) f(z)

et

x =1λ

(

y − (1 − λ) z)

f(x) >1λ

(

f(y) − (1 − λ) f(z))

.

Comme 1 − λ 6= 0, on a :

f(y) − f(x)y − x

6λ f(x) + (1 − λ) f(z) − f(x)

λ x + (1 − λ) z − x=

f(z) − f(x)z − x

.

f(z) − f(x)z − x

6f(z) − 1

λ

(

f(y) − (1 − λ) f(z))

z − 1λ

(

y − (1 − λ) z) =

f(z) − f(y)z − y

.

Don

f(y) − f(x)y − x

6f(z) − f(x)

z − x6

f(z) − f(y)z − y

.

(ii) ⇒ (iii) : Soit (x, y, x0) ∈ I3. En séparant les as x0 < x < y, x < x0 < y et

x < y < x0, par hypothèse, on a immédiatement :

F.PUCCI 56


ϕx0(x) =

f(x) − f(x0)x − x0

6f(y) − f(x0)

y − x0= ϕx0

(y).

ϕx0est roissante sur I\{x0}.

(iii) ⇒ (i) : Soient (x, y) ∈ I2tel que x < y, λ ∈ ]0, 1[ et x0 = λ x+(1−λ) y ∈]xy[⊂ I.

D'après (iii), et en notant que x − x0 < 0, y − x0 > 0 et y − x > 0, on a :

ϕx0(x) 6 ϕx0

(y) ⇔ f(x) − f(x0)x − x0

6f(y) − f(x0)

y − x0

⇒ (y − x0)(

f(x) − f(x0))

> (x − x0)(

f(y) − f(x0))

⇔ λ(y − x)(

f(x) − f(x0))

> (λ − 1)(y − x)(

f(y) − f(x0))

⇔ λ f(x) + (1 − λ) f(y) > (λ − 1 − λ)(

− f(x0))

⇔ λ f(x) + (1 − λ) f(y) > f(x0) = f(λ x + (1 − λ) y)

.

Soit f : I 7−→ R une fonction convexe.

(i) Tous les extrema locaux de f de I sont des extrema globaux.

(ii) Si f possède deux minima locaux α et β de I, alors ces deux valeurs sontégales et f est constante sur [α, β].

Proposition 39 (Extrema d’une fonction convexe)

Preuve:(i) Soit α ∈ I un minimum lo al de f et soit Vα un voisinage de α tel que f(α) 6 f(x),

∀x ∈ Vα.

Soient x0 ∈ Vα \ {α} et x ∈ I tels que α < x0 < x. D'après 38, on a :

f(x0) − f(α)x0 − α

6f(x) − f(α)

x − αf(x0) − f(α)(x − α) 6 (f(x) − f(α))(x0 − α)

f(α)(x0 − x) 6 f(x)(x0 − α) − f(x0)(x − α)

f(α)(x0 − x) 6f(α)6f(x0)

f(x)(x0 − α) − f(α)(x − α)

f(α)(x0 − α) 6 f(x)(x0 − α).

Comme x0 − α > 0, on obtient f(α) 6 f(x) : α est un minimum global de f .

(ii) Clair.

Soit f : R 7−→ R une fonction convexe et majorée sur R. Alors f est constante.

Corollaire 40

F.PUCCI 57


Preuve: Supposons f non onstante .-à-d. ∃x, y ∈ R tels que x < y et f(x) 6= f(y).

� Si f(x) < f(y), omme f est onvexe, ∀z > y,f(z) − f(y)

z − y>

f(y) − f(x)y − x

︸︷︷︸

λ

ou

en ore f(z) > λ(z − y) + f(y). Comme f(y) > f(x), λ > 0 et limz→+∞

f(z) = +∞ e qui ontredit les hypothèses.

� Si f(x) > f(y), on montrerait de même que limz→−∞

f(z) = +∞.

f est don onstante.

VII.1 Convexité et dérivabilité

Si f : I −→ R est convexe, alors :

(i) f admet une dérivée à gauche f ′g et une dérivée à droite f ′

d en tout point deI.

(ii) f est continue sur I.

(iii) f ′g et f ′

d sont croissantes sur I.

Théorème 41 (Dérivée d’une fonction convexe)

Preuve:(i) Soit x0 ∈ I. Pour tous x ∈ ]a, x0[ et y ∈ ]x0, b[, le théorème (38) nous assure

que ϕx0est roissante et majorée sur ]a, x0[ par ϕx0

(y).Don la limite à gau he en x0 de ϕx0

existe et

limx→x0

−

ϕx0(x) = lim

x→x0−

f(x) − f(x0)x − x0

= f ′g(x0).

On pro ède de la même manière pour la dérivée à droite.

(ii) L'existen e des dérivées à droites et à gau he entraîne la ontinuité de f sur I.

(iii) Soit x0 ∈ I. Pour tous x ∈ ]a, x0[ et y ∈ ]x0, b[, on a :

f(x) − f(x0)x − x0

6f(y) − f(x0)

y − x0

f ′g(x0) 6 f ′

d(x0) (1)

En passant à la limite x → x0−et y → x0

+.

• Soit alors x1 ∈ I tel que x0 < x1. D'après le point (ii) du théorème (38) , pour

tout x ∈]x0, x1[, on a :

f(x) − f(x0)x − x0

6f(x1) − f(x0)

x1 − x06

f(x) − f(x1)x − x1

⇒ limx→x0

+

f(x) − f(x0)x − x0

6f(x1) − f(x0)

x1 − x06 lim

x→x1−

f(x) − f(x1)x − x1

⇔ f ′d(x0) 6

f(x1) − f(x0)x1 − x0

6 f ′g(x1). (2)

F.PUCCI 58


Ainsi, les inégalités (1) et (2) nous donnent f ′g(x0) 6 f ′

g(x1) .-à-d. f ′g est roissante

sur I. On pro ède de la même manière pour f ′d.

Remarques :1. f convexe sur I 6⇒ f continue sur I. Considérer par exemple la fonction f

définie sur [−1, 1] par f(−1) = f(1) = 2 et pour tout x ∈ ] − 1, 1[, f(x) = x2.L’implication est vraie si I est ouvert.

2. f convexe sur I 6⇒ f dérivable sur I. Considérer par exemple la valeurabsolue sur un intervalle ouvert contenant 0.

• •

Figure VI.26 – Convexité n’entraine ni continuité ni dérivabilité.

Soit f : I −→ R une fonction continue sur I et dérivable sur I.

f est convexe sur I si et seulement si f ′ est croissante sur I.

Théorème 42

Cf

Figure VI.27 – La courbe d’une fonction convexe est au-dessus de

ses tangentes.

Preuve: D'après le théorème (41) , si f est dérivable sur , on a f ′g = f ′

d = f ′et

f ′est roissante sur I.

Ré iproquement, soient x1, x2 ∈ I tels que x1 < x2 et x0 = λ x1 + (1 − λ) x2 ∈ ]x1, x2[ave λ ∈]0, 1[.D'après le théorème des a roissements �nis sur ]x1, x0[ et ]x0, x2[, il existe c1 ∈ ]x1, x0[et c2 ∈ ]x0, x2[ tels que :

f ′(c1) =f(x0) − f(x1)

x0 − x1et f ′(c2) =

f(x2) − f(x0)x2 − x0

.

Comme c1 < c2, la roissan e de f ′sur I entraîne :

F.PUCCI 59


f ′(c1) 6 f ′(c2)

⇔ f(x0) − f(x1)x0 − x1

6f(x2) − f(x0)

x2 − x0

⇒ λ(x2 − x1)(

f(x0) − f(x1))

6 (1 − λ)(x2 − x1)(

f(x2) − f(x0))

⇔ f(x0) = f(

λ x1 + (1 − λ) x2

)

6 λ f(x1) + (1 − λ) f(x2).

f est onvexe sur I.

Soit f : I −→ R une fonction continue sur I et dérivable sur I. On note Cf sacourbe représentative.

f est convexe sur I si et seulement si Cf est au-dessus de toutes ses tangentes.

Corollaire 43 (Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes)

Preuve: Soit x0 ∈ I. L'équation de la tangente en x0 à f est

(Tx0) : y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0).

La position Cf par rapport à (Tx0) est donnée par le signe de

g(x) = f(x) − f ′(x0)(x − x0) − f(x0).

g est dé�nie sur I et dérivable sur I ave g′(x) = f ′(x) − f ′(x0) et g(x0) = 0.

f est au-dessus de toutes ses tangentes

⇔{

g est dé roissante sur ]a, x0[g est roissante sur ]x0, a[

⇔{

g′ < 0 sur ]a, x0[g′ > 0 sur ]x0, a[

⇔{

∀ x 6 x0, f ′(x) 6 f ′(x0)∀ x0 6 x, f ′(x0) 6 f ′(x)

⇔ f ′est roissante sur I

⇔Thm 43

f est onvexe sur I.

Soit f : I −→ R est continue sur I et de classe C2 sur I. Alors f est convexe sur

I si et seulement si f ′′ est positive sur I.

Corollaire 44 (Caractérisatrion par la dérivée seconde)

Preuve: DerivableConvexe3 D'après le théorème 42, f onvexe sur I équivaut à f ′

roissante sur I.Comme f est C

2sur I, e i équivaut en ore à f ′′

> 0 sur I.

F.PUCCI 60


Exemple 24 : Γ : x 7−→ Γ(x) =∫ +∞

0e−ttx−1dt est convexe sur R∗

+.

VII.2 Extrema

Soient f : I −→ R une fonction dérivable et convexe sur I, et a ∈ I tel quef ′(a) = 0.Alors f admet un minimum en a.

Proposition 45

Preuve: Extrema D'après le corollaire (43) , f est au-dessus de toutes ses

tangentes. En parti ulier, au point a :

∀ x ∈ I, f(x) > f ′(a)(x − a) + f(a) = f(a).

Don f admet un minimum en a.

VII.3 Inégalités de convexité

Exemples 25 :— x 7−→ ex est convexe sur R et, en particulier, au-dessus de sa tangente en 0 :

∀ x ∈ R, ex> x + 1.

— x 7−→ sin(x) est concave sur[

0,π

2

]

:

∀ x ∈[

0,π

2

]

,2π

x

corde

6 sin(x) 6 xtangente

.

F.PUCCI 61


— Soient ϕ : I −→ R convexe et (λ1, x1), . . . , (λn, xn) ∈ R × I tels quen∑

i=1

λi = 1.

ϕ

(n∑

i=1

λi xi

)

6

n∑

i=1

λi ϕ(xi).

— Soient ϕ : R 7−→ R convexe et continue et f : [0, 1] 7−→ R une applicationcontinue.

ϕ(∫ 1

0f(t)dt

)

6

∫ 1

0ϕ(

f(t))

dt.

Proposition 46 (Inégalités de Jensen)

En particulier : ϕ(

x1 + . . . + xn

n

)

6ϕ(x1) + . . . + ϕ(xn)

n.

Preuve: On raisonne par ré urren e sur l'entier n > 2. Pour n = 2, 'est la dé�-

nition de la onvexité : ϕ(

λx1 + (1 − λ)x2

)

6 λϕ(x1) + (1 − λ)ϕ(x2).On suppose le résultat vrai jusqu'au rang n−1 et les ouples (λ1, x1), . . . , (λn, xn) ∈ R×I

hoisis tels que

n∑

i=1

λi = 1 :

ϕ

(n∑

i=1

λi xi

)

= ϕ

1 −n∑

i=3

λi

λ1 x1 + λ2 x2

1 −∑ni=3 λi

︸︷︷︸

=: y

+n∑

i=3

λi xi

6HRn

(

1 −n∑

i=3

λi

)

ϕ(y) +n∑

i=3

λi ϕ(xi).

Comme

λ1 + λ2

1 −∑ni=3 λi

= 1, on a aussi :

ϕ(y) 6λ1

1 −∑ni=3 λi

ϕ(x1) +λ2

1 −∑ni=3 λi

ϕ(x2).

D'où :

ϕ

(n∑

i=1

λi xi

)

6 λ1ϕ(x1) + λ2ϕ(x2) +n∑

i=3

λi ϕ(xi).

Exercice 35 : Soit la fonction f définie par f(x) =√

x2 + 3x − 2.1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f .2. Déterminer les limites de f aux bornes de Df .3. Étudier les variations de f sur Df .

4. Soient les droites (∆1) d’équation y = x +32

et (∆2) d’équation y = −x − 32

.

Montrer que (∆1) et (∆2) sont respectivement asymptotes à Cf en +∞ et −∞.

F.PUCCI 62

Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle VIII. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION

VIII Plan d’étude d’une fonction

Nous terminons en résumant les différentes étapes pour l’étude d’une fonction f :

1. On commence par déterminer le domaine de définition de f c.-à-d. on ne travaillepas sur quelque chose qui n’existe pas !

2. On restreint l’intervalle d’étude par parité ou périodicité si c’est le cas c.-à-d. onne travaille pas pour rien.

3. Avant de dériver, on justifie que f est continue et dérivable sur l’intervalle d’étudec.-à-d. On n’effectue aucune opération sans en avoir le droit. ⌊20⌋

4. On calcule et on factorise f ′.On détermine également les points d’annulation de la dérivée en résolvant afind’avoir les lieux des tangentes « horizontales ».

5. On détermine les limites de f au extrémités du domaine d’étude avant de lesétendre au domaine de définition tout entier par symétrie ou translation. etselon les cas ses extremum, des valeurs remarquables. . .

6. On dresse le tableau de variation de f en y reportant toutes les informationsobtenues.

7. On trace la courbe représentative de f , en utilisant les éventuelles symétries liéesà la parité ou la périodicité et en commençant par tracer les asymptotes et lestangentes qui donnent des informations précieuses.

Exercice 36 : Étudier la fonction f : x 7−→ cos x − cos2 x.

⌊20⌋. Il est parfois inutile de dériver, je le rappelle.

F.PUCCI 63

Thème: Analyse I PCSI - Exercices no 1:

Analyse I

Exercice 1 : Soit f la fonction définie sur R \ {2} par f(x) =x(x + 1)

x − 2.

Soit Cf sa courbe représentative.

1. (a) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

(b) Calculer la dérivée de f . En déduire ses variations.

(c) Dresser le tableau de variation de f .

2. (a) Justifier que Cf admet une asymptote oblique (D).À l’aide d’une division euclidienne déterminer l’équation de cette asymp-tote puis étudier leur position relative.

(b) Montrer que le point I, intersection des asymptotes de Cf , est un point desymétrie de Cf .

(c) Tracer (D) et Cf .

3. (a) En utilisant Cf , déterminer, suivant les valeurs de m, le nombre de solu-tions de l’équation :

cos(2u) + 2(1 − m) cos u + 4m + 1 = 0, avec u ∈ [0 ; 2π ].

F.PUCCI 64

Analyse I Khôlle du 5/11/2018 Programme

I Connaissances

— Démontrer l’inégalité triangulaire

— Démontrer l’invariance par translation du graphe d’une fonc-tion périodique

— Effet des transformations usuelles sur la courbe représenta-tive d’une fonction.

— Définition des limites, continuité et dérivabilité d’une fonc-tion en un point.

— Limites en un point fini ou infini des fonctions usuelles.

— Démontrer l’unicité d’une limite en cas d’existence.

— Exemples de fonctions non définies, discontinues ou non dé-rivables en un point du domaine.

— Existence et monotonie de la réciproque d’une fonction bijec-tive et monotone. Conséquences sur les représentations gra-phiques.

— Dérivabilité d’une fonction en un point et interprétation gra-phique.

— Lien entre dérivabilité et continuité d’une fonction.

— Dérivées à droite et à gauche d’une fonction. Exemples etinterprétation en terme de demi-tangente.

— Dérivée de la réciproque d’une fonction bijective et dérivable.

— Divers comportements asymptotiques d’une fonction.

— Les résultats sur les fonctions convexes sont hors-programme.

II Compétences

— Résoudre des inéquations dans R.

— Démontrer qu’une fonction est paire, impaire ou périodique.Conséquences géométriques et sur la réduction du domained’étude.

— Étudier une fonction.

— Trouver un maximum, minimum, majorant, minorant d’unefonction bornée.

— Démontrer l’existence d’un extremum local. Différence avecun extremum global.

— Trouver les limites de fonctions.

— Donner l’équation de la tangente à une courbe d’une fonctiondérivable.

— Dérivabilité d’une somme, d’un produit, d’un quotient oud’une composée de fonctions dérivables. Conditions d’exis-tence.

— Calculer les dérivées successives d’une fonction de classe Cn.

— Recherche des extrema locaux d’une fonction dérivable.

— Existence d’une asymptote oblique à une courbe.

F.PUCCI

Analyse I Khôlle du 5/11/2018 Exercices

I Restitution organisée de connaissances

I.1 Applications

Question 1 : (a) Démontrer l’inégalité triangulaire. Cas d’égalité.

Question 2 : (a) Montrer que le graphe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à0.

(b) Montrer que la fonction f : x 7−→ sin(x)1 + sin2(x)

est impaire. Préciser un

domaine d’étude minimal.

Question 3 : (a) Montrer que la réciproque d’une fonction bijective croissante est croissante.

(b) Donner le sens de variation de la réciproque de la fonction x 7−→ √x(

1+ex)

.Sur quel intervalle ?

Question 4 : Soient f et g deux fonctions définies sur R telles que limx→+∞

f(x) = limx→+∞

g(x) = −∞.

Montrer que limx→+∞

(fg)(x) = +∞.

Question 5 : (a) Montrer que le graphe d’une fonction f bijective et de sa réciproque sontsymétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

(b) Sur un même graphique, tracer le graphe de x 7−→ cos(x) et sa réciproquesur des domaines que l’on précisera.

Question 6 : (a) Soient f et g deux fonctions dérivables respectivement sur un intervalle Iet J contenant f(I).Montrer que g ◦ f est dérivable sur I et donner sa dérivée.

(b) Donner un domaine de dérivabilité de la fonction f définie par

f(x) = ln(

x +√

x(1 − x))

.

Question 7 : Montrer que, ∀x ∈[

0 ;π

2

]

,2π

x 6 sin x 6 x. Interprétation graphique.

Question 8 : (a) Soit f et g deux fonctions de classe Cn, énoncer et montrer la formule deLeibnitz.

(b) En déduire les dérivées successives de x 7−→ x2ex et x 7−→ xn−1 ln x.

II Exercices

Exercice 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x0 dans son intérieur.On suppose que lim

x→x0

f(x) = u > 0.

Démontrer qu’il existe t > 0 tel que si 0 < |x − x0| < t alors |f(x)| > u

2.

F.PUCCI

Analyse I Khôlle du 5/11/2018 Exercices

Exercice 2 : Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes

(a) limx→2

x2 − 4x2 − 3 x + 2

. (b) limx→0

3√

1 + x2 − 1x2

.

Exercice 3 : Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes

(a) limx→0

√1 + x −

√1 + x2

x. (b) lim

x→1

x − 1xn − 1

.

Exercice 4 : Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.

(a) limx→0+

x + 2x2 ln x

(b) limx→+∞

x3 − 2x2 + 3x ln x


(a) limx→−∞

2x + 1

ln(

x3 + 41 − x2

)

(b) limx→2+

(x − 2)2 ln(x3 − 8)


(a) limx→+∞

(x ln x − x ln(x + 2)) (b) limx→0+

(1 + x)ln x

Exercice 7 : Étudier la continuité de f la fonction réelle à valeurs réelles définie par

f(x) =sin x

xsi x 6= 0 et f(0) = 1.

Exercice 8 : On admet que pour tout x ∈ R, | sin x| 6 |x|.(a) Montrer que x 7→ sin x est continue en 0 puis sur R tout entier.

(b) En déduire que x 7→ cos x est continue sur R.

Exercice 9 : Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :

f1(x) = x2 cos1x

, si x 6= 0 ; f1(0) = 0;

f2(x) = sin(x) × sin(1

x

)

, si x 6= 0 ; f2(0) = 0;

Exercice 10 : Calculer les dérivées des fonctions :

(a) x 7→ ln

(

1 + sin(x)1 − sin(x)

)

. (b) x 7→ (x(x − 2))1/3.

Exercice 11 : Calculer les dérivées des fonctions :

(a) x 7→√

1 + x2 sin2 x. (b) x 7→ exp(1/x) + 1exp(1/x) − 1

.

F.PUCCI

Thème: Analyse & Révisions PCSI - Devoir en temps libre no 1

Analyse & Révisions

Pour les vacances et mesurer tout le travail et le chemins accomplis, voici unflorilège de questions relativement indépendantes que vous pourrez faire durantvotre temps libre.

Faites en un maximum et dans l’ordre que vous voulez !

Exercice 1 :1. Décrire et représenter l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que :

z

z − 2i∈ R.

2. Déterminer puis représenter graphiquement les racines 4-ièmes du nombre −1.

3. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z =(3 + i)(2 − 3i)

5 + 2i.

4. Calculer4∑

k=1

cos

(

kπ

9

)

.

5. Calculer 301 + 304 + 307 + . . . + 739 + 742.

6. Montrer, par récurrence, que, pour tout entier n > 1, l’entier n(n2 + 5) estdivisible par 6.

7. Calculer et simplifier∑

16i,j6n

min (i; j).

8. On pose Z =

12

(√6 − i

√2)

1 − i.

(a) Donner l’écriture algébrique de Z.

(b) Donner une écriture exponentielle de Z.

(c) Déduire des deux questions précédentes les valeurs exactes de cosπ

12et

sinπ

12.

9. Soit n ∈ N∗.

(a) Simplifier la sommen∑

k=1

(−1)k

2n

k

− (−1)k−1

2n

k − 1

.

(b) En déduire la valeur de la sommen∑

k=1

(−1)k

2n + 1

k

.

F.PUCCI 68

Thème: Analyse & Révisions PCSI - Devoir en temps libre no 1

Exercice 2 : On considère la fonction f définie par f(x) =2 sin(x) + 12 cos(x) + 1

.

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .

2. Étudier la parité et la périodicité de f .En déduire un intervalle d’étude intelligent pour la fonction f .

3. Calculer f(0), f(

π

6

)

, f(

−π

2

)

et f(13π

4

)

.

4. Déterminer les antécédents du réel 1 par la fonction f .

5. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations complet surl’intervalle d’étude choisi.

6. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative de f en sonpoint d’abscisse 0 ainsi que celle de sa tangente en son point d’abscisse

π

2.

7. Tracer une allure soignée de la courbe, ainsi que des deux tangentes calculéesà la question précédente.

Exercice 3 : On considère la fonction f : x 7−→ 2x2 + 14x2 − 1

.

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f .

2. Étudier la fonction f , et en dresser un tableau de variations complet.

3. En déduire si f est injective, et si elle est surjective.Déterminer deux ensembles A et B les plus grands possibles tels que f effectueune bijection de A vers B.

4. Déterminer en fonction de y le nombre de solutions de l’équation f(x) = y.Retrouver à l’aide de ce calcul les résultats de la question précédente.

5. Déterminer une expression de la réciproque de l’application f|A.

F.PUCCI 69

Thème: Analyse I PCSI - Devoir surveillé no 1

Analyse I

Exercice 1 (Métropole 2017) :

Partie A

On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

h(x) = xe−x.

1. Donner la limite de la fonction h en +∞.

2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[ et dresser sontableau de variations.

3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.

(a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[,on a :

h(x) = e−x − h′(x)

où h′ désigne la fonction dérivée de h.

(b) En déduire une primitive de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Partie B

On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f(x) = xe−x + ln(x + 1) et g(x) = ln(x + 1).

On note Cf et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dansun repère orthonormé.

Ces deux courbes sont tracées en annexe page 74. Cette annexe est àrendre avec la copie.

1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[, on appelle M lepoint de coordonnées (x ; f(x)) et N le point de coordonnées (x ; g(x)) : Met N sont donc les points d’abscisse x appartenant respectivement aux courbesCf et Cg.

(a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale etdonner cette distance maximale.

(b) Placer sur le graphique fourni en annexe page 74 les points M et N cor-respondant à la valeur maximale de MN .

2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[. On note Dλ le domaine duplan délimité par les courbes Cf et Cg et par les droites d’équations x = 0 etx = λ.

(a) Hachurer le domaine Dλ. correspondant à la valeur λ proposée sur le gra-phique en annexe page 74.

F.PUCCI 70


(b) On note Aλ l’aire du domaine Dλ, exprimée en unités d’aire. Démontrerque :

Aλ = 1 − λ + 1eλ

.

(c) Calculer la limite de Aλ lorsque λ tend vers +∞ et interpréter le résultat.

3. On considère l’algorithme suivant :

Variables :λ est un réel positifS est un réel strictement compris entre 0 et 1.

Initialisation :Saisir Sλ prend la valeur 0

Traitement :

Tant Que 1 − λ + 1eλ

< S faire

λ prend la valeur λ + 1Fin Tant Que

Sortie :Afficher λ

(a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0, 8 ?

(b) Quel est le rôle de cet algorithme ?

Problème 2 (Études autour d’une transformation complexe) :

Partie I : Étude d’une quantité complexe

1. Un exemple. On pose z =1

1 + i.

(a) Déterminer les parties réelle et imaginaire de z.

(b) Déterminer le module et l’argument de z.

Dans toute la suite on considère zθ =1

1 + eiθ.

2. Déterminer l’ensemble D des réels θ pour lesquels zθ est bien défini.

3. Inégalité triangulaire :

(a) Énoncer l’inégalité triangulaire dans l’ensemble des nombres complexes.

(b) Justifier que pour tout θ ∈ D, |zθ| >12

.

4. Calculer pour θ ∈ D les nombres Re (zθ) et Im (zθ).

Partie II : Étude d’une fonction trigonométrique Dans cette partie, on considère lafonction f d’une variable réelle θ définie par l’expression :

f(θ) =sin(θ)

1 + cos(θ).

F.PUCCI 71


5. Déterminer le domaine Df de définition de f .

6. Étudier la périodicité et la parité de f . Expliquer pourquoi le domaine d’étudepeut être restreint à I = [0 ; π [.

7. Justifier que f est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire le tableau devariation de f sur I.

8. Calculer les deux limites ci-dessous :

limθ→π−

sin(θ)θ − π

et limθ→π−

cos(θ) + 1θ − π

.

En déduire que :lim

θ→π−

f(θ) = +∞.

9. Le plan est rapporte à un repère orthonormé. On note Cf la courbe d’équationy = f(x) avec x ∈ Df .

(a) Déterminer l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse x = 0.

(b) Préciser les asymptotes à Cf .

(c) Tracer l’allure de Cf .

10. Étude de la réciproque.

(a) Justifier que la fonction f induit une bijection de ]−π ; π [ vers un intervalleJ à déterminer.On note g la fonction réciproque ainsi déterminée.

(b) Étudier la dérivabilité de g sur J .

Partie III : Conclusion

On considère l’application ϕ, définie pour tout z ∈ C \ {−1}, par ϕ(z) =1

1 + z. On

note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.

11. Montrer que ϕ définit une bijection de C \ {−1} vers C∗.

12. Justifier que ϕ induit une bijection de U \ {−1} vers{

Z ∈ C / Re (Z) =12

}

.

Dans le plan complexe, préciser la nature géométrique de ces deux ensembles.

Problème 3 (Étude d’une fonction réciproque) : Soit k ∈ R, l’objet de ceproblème est d’exprimer certaines solutions de l’équation :

x

ln x= k, d’inconnue x, (Ek)

à l’aide d’une fonction appelée fonction de Lambert.

Dans la suite, on désigne par f la fonction définie par f(x) =x

ln xet par g la fonction

définie par g(x) = xex.

Partie I : Étude de f

1. Donner le domaine de définition Df de f .

2. Justifier que f est dérivable sur Df puis calculer f ′.

F.PUCCI 72


3. Déterminer les limites aux bornes de Df .

4. Dresser le tableau de variations de f .

5. Justifier que f réalise une bijection de ]1 ; e ] vers [e ; +∞ [.

Dans la suite, on note f−1 : [e ; +∞ [ 7−→]1 ; e ] la réciproque de f .

6. Discuter en fonction de k du nombre de solutions de l’équation (Ek).

Partie II : Fonction W de Lambert

On a réalisé l’étude de la fonction g. C’est une fonction définie et dérivable sur Dg = R

dont le tableau de variations est le suivant :

x

g

−∞ −1 +∞

00−1

e−1

e

+∞+∞

7. Montrer l’existence d’une fonction W :[

−1e

; +∞[

7−→ [−1 ; +∞ [ telle que

pour tout y > −1e

:

W (y)eW (y) = y.

8. Justifier que W est continue sur[

−1e

; +∞[

puis étudier les variations de W . ⌊21⌋

9. Déterminer W(

−1e

)

, W (0), W (e) et limy→+∞

W (y).

10. Montrer que W est dérivable sur]

−1e

; +∞[

puis que pour tout y > −1e

, et

y 6= 0 :

W ′(y) =W (y)

y(

1 + W (y)) .

Partie III : Expression des solutions de (Ek) à l’aide de W

Soit k > e. L’objectif de cette dernière partie est d’exprimer une solution de (Ek) àl’aide de la fonction W .

11. Soit x > 0 un réel. Justifier l’existence d’un unique réel z ∈ R tel que x = e−z.

Établir quex

ln x= k équivaut à zez = −1

k.

12. En déduire une expression de f−1(k) à l’aide de W pour tout k > e.

⌊21⌋. La fonction W étudiée ici est appelée la fonction W de Lambert (il s’agit plus précisément d’unede ses déterminations).

La fonction de Lambert est une fonction usuelle qui apparaît dans des contextes variés, notammenten mécanique quantique.

F.PUCCI 73


ANNEXE À REMETTRE AVEC LA COPIE

1 2 3 4 5

1

2

λ

Cf

Cg

O

F.PUCCI 74

Thème: Analyse I PCSI - Correction

Analyse I

Exercice 1 (Métropole 2017) :

Partie A

1. Pour tout x, h(x) =x

ex=

1ex

x

.

Comme limx→=∞

(ex

x

)

= +∞ alors limx→+∞

h(x) = 0 .

2. h est dérivable sur R, comme produit et composée de fonctions dérivables et ona :

h′(x) = e−x + x × (−1)e−x = (1 − x)e−x.

Pour tout x > 0, e−x > 0 d’où h′(x) > 0 ⇐⇒ 1 − x > 0 ⇐⇒ x < 1.

Avec h(0) = 0 et h(1) = e−1 =1e, on en déduit le tableau de variation de h :

x

h

0 1 +∞

00

1e

1e 00

3. (a) Pour tout x > 0, e−x − h′(x) = e−x − (1 − x)e−x = xe−x = h(x) donc

h(x) = e−x − h′(x).

(b) Soit H une primitive de h. D’après la question précédente, on en déduit :

H(x) = −e−x − h(x) ⇐⇒ H(x) = −e−x − xe−x = −(x + 1)e−x.

Partie B

1. (a) M et N ont la même abscisse et f(x) > g(x) (car x + 1 > 1 doncln(x + 1) > 0).D’où MN = f(x) − g(x) = xe−x = h(x) :

MN = h(x) = xe−x.

(b) D’après l’étude des variations de h, MN est maximum pour x = 1.

F.PUCCI 75


1 2 3 4 5

1

2

λ

×

×

M

N

Cf

Cg

2. (a) Hachurons le domaine Dλ. correspondant à la valeur λ proposée sur legraphique. (voir ci-dessus)

(b) Aλ =∫ λ

0

(

f(x) − h(x))

dx =∫ λ

0h(x) dx = H(λ) − H(0) = −(λ + 1)e−λ − (−1)

= 1 − (λ + 1)e−λ = 1 − λ + 1eλ

.

:

(c) On a Aλ = 1 − λ

eλ+

1λ

.

Comme limλ→+∞

(1λ

)

= 0 et limλ→+∞

(

λ

eλ

)

= 0 (croissances comparées), on en

déduit :lim

λ→+∞Aλ = 1.

L’aire entre les deux courbes (pour 0 6 x) vaut 1.

3. (a) Pour S = 0, 8, à la calculatrice, on obtient :

λ 0 1 2 3

1 − λ + 1eλ

0 0, 264241118 0, 59399415 0, 800851727

L’algorithme affichera donc 3.

(b) L’algorithme calcule la plus petite valeur entière de λ pour laquelle Aλ > S.

Problème 2 (Études autour d’une transformation complexe) :

Partie I : Étude d’une quantité complexe

F.PUCCI 76


1. (a) z =1 − i

(1 + i)(1 − i)=

1 − i

2donc :

Re (z) =12

et Im (z) = −12

.

(b) Comme 1 + i =√

2eiπ4 , on a :

|z| =1√2

et arg ≡ −π

4[2π] .

2. Le nombre complexe zθ n’est pas défini si, et seulement si eiθ = −1 ⇐⇒ θ ≡ π [2π].

On a donc : D = R \{

π + 2kπ, k ∈ Z}

.

3. Inégalité triangulaire :

(a) cf. Cours.

(b) D’après l’inégalité triangulaire, on a :

∀ θ ∈ R,∣∣∣1 + eiθ

∣∣∣ 6 1 +

∣∣∣eiθ

∣∣∣ = 1 + 1 = 2.

En passant à l’inverse, on a :

∀ θ ∈ D, |zθ| >12

.

4. Il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué 1 + e−iθ :

zθ =1 + e−iθ

(1 + eiθ) (1 + e−iθ)=

1 + e−iθ

2(1 + cos θ)=

12

− isin θ

2(1 + cos θ).

On trouve donc, ∀θ ∈ D :

Re (zθ) =12

et Im (zθ) = − sin θ

2(1 + cos θ).

Partie II : Étude d’une fonction trigonométrique

5. Df = R \{

π + 2kπ, k ∈ Z}

= D.

6. La fonction f est 2π-périodique et impaire. On restreint donc le domaine d’étudeà I = [0 ; π [.On complètera alors la courbe par symétrie sur l’intervalle ] − π ; π [ puis sur Rpar translation de vecteur 2π~ı.

7. Sur D, comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul, f estdérivable et on a :

∀θ ∈ D, f ′(θ) =1

1 + cos θ> 0.

On en déduit le tableau de variation sur I :

F.PUCCI 77


x

f ′(θ)

f

0 π

+

00

8. Il suffit de reconnaitre des taux d’accroissement de fonctions dérivables en π. :

limθ→π−

sin θ

θ − π= lim

θ→π−

sin θ − sin π

θ − π= (sin)′ (π) = cos π = −1.

limθ→π−

cos θ + 1θ − π

= limθ→π−

cos θ − cos π

θ − π= (cos)′ (π) = − sin π = 0−.

D’où,

limθ→π−

f(θ) = limθ→π−

sin θ

θ − π× 1

limθ→π−

cos θ + 1θ − π

= +∞.

9. (a) L’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse x = 0 est (T0) : y =12

x.

(b) Les asymptotes à Cf sont les droites d’équation x = (2k + 1)π pour k ∈ Z.

(c)

π

2π

3π

22π

5π

23π

7π

24π

9π

25π

11π

26π

13π

27π

15π

28π

17π

29π

−π

2−π

−3π

2−2π

−5π

2−3π

−7π

2

y

θO

10. Étude de la réciproque.

(a) La fonction f est continue et strictement croissante sur l’intervalle ]−π ; π [.De plus lim

θ→π−

f(θ) = +∞ et limθ→−π+

f(θ) = −∞ par imparité.

Donc, d’après le théorème du même nom f induit une bijection de ]−π ; π [vers l’intervalle J = R.

(b) La fonction f est bijective, dérivable sur I et pour tout θ ∈ I, f ′(θ) 6= 0.Donc, d’après le théorème de la dérivabilité de la réciproque d’une fonctionbijective, la fonction g est dérivable sur J .

F.PUCCI 78


Partie III : Conclusion

11. Soit ω ∈ C. On a :

∀z ∈ C \ {−1}, ω = ϕ(z) ⇐⇒ ω =1

1 + z⇐⇒ (1 + z)ω = 1

⇐⇒ zω = 1 − ω,

si ω 6= 0, on peut diviser les deux memebres par ω,

⇐⇒ z =1 − ω

ω.

Donc, pour tout ω ∈ C∗, il existe donc une unique z ∈ C\{−1} tel que ω = ϕ(z)c.-à-d. ϕ induit une bijection de C \ {−1} vers C∗.

12. Soit ω ∈{

Z ∈ C / Re (Z) =12

}

. Il existe un unique y ∈ R tel que ω =12

+ iy.

Or d’après le résultat de la question (10a), il existe un unique θ ∈] − π ; π [ tel

que −2y = f(θ) ⇐⇒ y = −f(θ)2

ou encore avec la question (4) :

ω =12

− if(θ)

2=

12

− isin θ

2(1 + cos θ)=

11 + eiθ

= ϕ(

eiθ)

.

Il existe donc un unique z = eiθ ∈ U \ {−1} tel que ω = ϕ(z) c.-à-d. ϕ induit

une bijection de U \ {−1} vers{

Z ∈ C / Re (Z) =12

}

.

Dans le plan complexe :

— U \ {−1} s’identifie au cercle de centre O et de rayon 1 privé du point(−1; 0).

—{

Z ∈ C / Re (Z) =12

}

s’identifie a la droite d’équation x =12

.

Problème 3 (Étude d’une fonction réciproque) :

On considère l’équation :x

ln x= k, d’inconnue x. (Ek)

Partie I : Étude de f

1. f est définie si, et seulement si x > 0 et ln x 6= 0 d’où Df =]0 ; 1 [∪]1 ; +∞ [.

2. Comme quotient de dénominateur non nul de fonctions dérivables sur Df , f estdérivable sur Df et on a, ∀x ∈ Df :

f ′(x) =ln x − 1

(ln x)2 .

F.PUCCI 79


3.

limx→0+

f(x) = 0.

limx→1−

f(x) = −∞.

limx→1+

f(x) = +∞.

limx→+∞

f(x) = +∞.

Remarque : Comme limx→0+

f(x) = 0, on peut prolonger par continuité en 0 en

posant f(0) = 0.

4. Pour x ∈ Df , le signe de f ′(x) est donné par celui de ln x − 1.

x

f ′(x)

f

0 1 e +∞− − 0 +

00

−∞

+∞

ee

+∞+∞

5. La fonction f est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur ]1 ; e ].D’après le théorème de la bijection continue, elle réalise donc une bijection de]1 ; e ] vers f

(

]1 ; e ])

= [e ; +∞ [.

Remarque : Par le même raisonnement, on prouve aussi que f réalise une

bijection de [0 ; 1 [ vers f(

[0 ; 1 [)

=] − ∞ ; 0 ] ainsi que de [e ; +∞ [ vers

f(

[e ; +∞ [)

= [e ; +∞ [.

6. D’après le tableau de variations de f et la question précédente, on a :

— si k < 0, l’équation (Ek) admet une unique solution dans ]0 ; 1 [.

— si 0 6 k < e, l’équation (Ek) n’admet aucune solution.

— si k = e, l’équation (Ek) admet une unique solution e.

— si k > e, l’équation (Ek) admet deux solutions distinctes.

Partie II : Fonction W de Lambert

7. Pour montrer l’existence de W , il suffit simplement d’utiliser (encore) le théo-rème de la bijection sur [−1 ; +∞ [ où g y est continue et strictement monotone.Par définition de la réciproque d’une fonction bijective, on a alors :

∀y ∈ DW =]

−1e

; +∞[

, g(

W (y))

= y ⇐⇒ W (y)eW (y) = y. (VI.2)

8. Le même théorème que précédemment nous assure que W est continue sur[

−1e

; +∞[

de même sens de variations que g sur [−1 ; +∞ [.

F.PUCCI 80


9. D’après le tableau de variation de g on a :

W(

−1e

)

= −1 et limy→+∞

W (y) = +∞.

De plus comme g(0) = 0, on a W (0) = 0. De même, g(1) = e donne W (e) = 1.

10. La fonction W est la réciproque d’une fonction bijective dérivable dont la dérivéene s’annule pas ] − 1 ; +∞ [.D’après le théorème sur la dérivabilité de la fonction réciproque d’une fonction

bijective, W est dérivable sur]

−1e

; +∞[

et on a :

∀y > −1e

, W ′(y) =1

g′(

W (y))

or, g′(x) = ex + g(x),

=1

eW (y) + g(

W (y)) =

1eW (y) + y

D’après (VI.2), on a :

=1

eW (y) + W (y)eW (y)=

1eW (y)

× 11 + W (y)

D’après (VI.2) encore, si y 6= 0,1

eW (y)= e−W (y) =

W (y)y

:

=W (y)

y(

1 + W (y)) .

Partie III : Expression des solutions de (Ek) à l’aide de W

11. La fonction z 7−→ e−z réalise une bijection de R vers ]0 ; +∞ [ donc tout x > 0réel peut se mettre de manière unique sous la forme x = e−z avec z ∈ R.On a alors :

x est solution de (Ek) ⇐⇒ e−z

−z= k où z est défini par x = e−z

⇐⇒ z

e−z= −1

k

⇐⇒ zez = −1k

.

12. Si k > e, alors −1e6 −1

kc.-à-d. −1

k∈[

−1e

; +∞[

= DW et on peut alors com-

poser les deux derniers membres de l’équation précédente par W . On obtient :

z = W(

−1k

)

⇐⇒ x = e−W

(

−1k

)

.

Donc x = f−1(k) = e−W

(

−1k

)

= −k × W(

−1k

)

.

F.PUCCI 81

Index

Archimède, 1Asymptote, 21, 24, 31, 53Asymptotique

Branches infinies, 31Comportement, 53

Bijectiond’une fonction, 35dérivée de la réciproque, 50réciproque, 35

Boule, 6

Cinématique, 40Compatibilité

de la relation d’ordre, 3Composée

de fonctions, 9de fonctions continues, 35de fonctions dérivables, 49de fonctions monotones, 17

Continuité, 33Composée de fonctions continues, 35Structure, 35

Corde, 56Courbe représentative, 11

tangente à, 38

Dérivéen-ième, 51à droite et à gauche, 47des fonctions usuelles, 42d’une composée, 49d’une fonction convexe, 58de la fonction réciproque, 50seconde, 60Signe de la, 44

Dérivabilité, 38sur un intervalle fermé, 47

Développementlimité, 53

Difféomorphisme, 50Dilatation, 11Distance

p-adique, 4

Épigraphe, 55Extrema, 45

d’une fonction convexe, 57, 61

Fermé, 4Fonction

à valeurs dans, 9bornée, 17continue, 33convexe, 54croissante, 16décroissante, 16dérivée, 41

usuelle, 42dérivable

définition, 38de classe C∞, 51de classe Cn, 51impaire, 13monotone, 44périodique, 13, 14paire, 13partie entière, 34

Graphe, 38d’une fonction paire, impaire ou pério-

dique, 13de la réciproque, 11Effet d’une transformation sur, 11

Homéomorphisme, 36

Imparité, 13Inégalité, 3

de convexité, 61de Jensen, 62

Intervallede R, 6

Leibniz, 52Limite, 20

à droite, 27

82

Chapitre VI: INDEX INDEX

à gauche, 27d’une composée, 30Définition topologie, 26en l’infini, 23

en un point de◦I, 21

en un point fini, 20fonctions de référence, 22, 25Opérations sur, 30Propriétés des, 29Unicité de la, 27

Majorant, 7de fonction, 17

Maximum, 7global, 18local, 18

MéthodeDétermination du domaine d’étude, 15Déterminer une droite asymptote, 53Montrer qu’une fonction est bijective, 37,

38Minimum, 7

global, 18local, 18

Minorant, 7de fonction, 17

Newton, 1Norme, 4

O, 32o, 31, 32Opération

sur les fonctions dérivables, 49sur les fonctions périodiques, 14

Ouvert, 4

Périodedéfinition, 14

Périodicité, 13Parité, 13Point

anguleux, 47critique, 45

Produitde fonctions, 9

Propriétélocale, 33vraie dans un voisinage, 26

Relationd’ordre, 3

et fonctions, 16

de comparaison, 31Repère

affine, 11orthonormé, 11

Sommede fonctions, 9

Symétrie, 11

TangenteÉquation de la, 39d’une fonction convexe, 60

Taux d’accroissement, 38Théorème

de la limite monotone, 24de Bolzano-Weierstrass, 44de Borel-Lebesgue, 44de la bijection, 36des valeurs intermédiaires, 44

Topologie, 6, 19, 24, 26, 27dérivant d’une norme, 4métrique, 4

Transformationd’une courbe, 11

Translation, 11

Valeurabsolue

définition, 4Vitesse

instantanée, 40moyenne, 40

Voisinage, 24privé d’un point, 31

F.PUCCI 83

Chapitre VI: INDEX INDEX

F.PUCCI 84

Documents

VI Fonctions de la variable réelle - Fabien PUCCIfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2019/02/2019_PCSI_06...Chapitre VI: Fonctions de la variable réelle Ainsi, l’utilisation de l’outil