VI Proprietati Ale Unei Functii Derivabile

Clasa a XI-a ANALIZA - 1 Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile

Fie functia , unde interval sau reuniune de intervale .

Definitie punct de maxim localpunct de maxim local :

- Un punct se numeste punct de maxim local al functiei f daca exista o vecinatate a lui , in care functia are valori mai mici decat in , adica :

, .

- Daca este un punct de maxim local al lui f , atunci numarul se numeste maximmaxim al lui

, iar punctul de pe grafic se numeste punct de maxim local al graficului .

Definitie punct de minim localpunct de minim local :

- Un punct se numeste punct de minim local al functiei daca exista o vecinatate a lui , in care functia are valori mai mari decat in , adica :

, .

- Daca este un punct de minim local al lui , atunci numarul se numeste minimminim al lui , iar punctul de pe grafic se numeste punct de minim local al graficului .

Definitie extreme locale ale functieiextreme locale ale functiei :

- Un punct de minim local sau maxim local pentru o functie se numeste punct de punct de extrem local extrem local al functiei .

- Valorile functiei in punctele sale de extrem , maximele si minimele functiei se numesc extremele locale ale functieiextremele locale ale functiei .

- Punctele de maxim si de minim local ale graficului se numesc puncte de extrem localpuncte de extrem local ale graficului .

Proprietatile functiilor derivabile


Definitie punct de maxim absolutpunct de maxim absolut :

- Un punct se numeste punct de maxim absolut al functiei daca :

, .

- Observatii : 1). Sa remarcam ca este punct de maxim absolut pentru daca

valorile functiei pe domeniul de definitie sunt cel mult egale cu valoarea functiei in .

2). Evident , orice punct de maxim absolut este si punct de maxim local dar , in general , nu si reciproc .

3). O functie poate avea mai multe puncte de maxim absolut .

Definitie punct de minim absolutpunct de minim absolut :

- Un punct se numeste punct de minim absolut al functiei daca :

, .

- Observatii : 1). Sa remarcam ca este punct de minim absolut pentru daca

valorile functiei pe domeniul de definitie sunt cel putin egale cu valoarea functiei in .

2). Orice punct de minim absolut este si punct de minim local ,dar , in general , nu si reciproc .

3). O functie poate avea mai multe puncte de minim absolut .

Definitie punct de minim absolutpunct de minim absolut :

- Un punct de maxim absolut sau de minim absolut se numeste punct de extrem absolut .



Un rezultat remarcabil pentru o functie derivabila intr-un punct de extrem este formulat in :

Teorema lui FERMATFERMAT :

- Fie , un interval iar un punct de extrem din interiorul intervalului ;

- Daca functia este derivabila in , atunci .

Observatie :

- Din ,rezulta ca tangenta la grafic in punctul este paralela cu axa

- Teorema lui FERMAT spune ca : graficul unei functii derivabile are tangenta paralela cu axa in punctele sale de extrem ( demaxim sau de minim ) care nu coincid cu extremitatile graficului .

Observatii ce decurg din FERMATFERMAT:

1). Teorema lui FERMAT are un caracter local , vizand comportarea functiei in vecinatatea uni punct fixat .

2). Daca punctul n-ar fi din interiorul intervalului , atunci concluzia teoremei lui

Fermat nu mai este adevarata .

3). Reciproca teoremei lui Fermat , in general , nu este adevarata , adica derivata unei functii se poate anula intr-un punct , fara ca acesta sa fie punct de extrem .

4). Un punct poate fi punct de extrem pentru fara sa existe .

Definitie puncte criticepuncte critice :



- Daca este o functie derivabila pe un interval deschis , atunci zerourile derivatei

sunt numite puncte critice ale lui pe .

- Puncte critice sunt solutiile ecuatiei .

Consecinta a teoremei lui FERMATa teoremei lui FERMAT :

- Teorema lui FERMAT afirma ca punctele de extrem local ale unei functii derivabila

sunt printre punctele critice , adica punctele de extrem local ale lui sunt printre solutiile ecuatiei :

Important determinarea punctelor de extremdeterminarea punctelor de extrem :

- In practica , pentru determinarea punctelor de extrem ale unei functii f derivabile pe un interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise , se procedeaza astfel :

1). Se rezolva mai intai ecuatia 00' xf , afland puncetele critice ;

2). Punctele de extrem se afla , conform teoremei lui Fermat , printre punctele critice .

3). Stabilim care dintre punctele critice sunt si puncte de extrem astfel :

i). determinam semnul functiei

sau :

ii). Daca x0 este punct critic pt. functia f , si functia este de doua derivabila in

punctul x0 astfel incat 00' xf si 00

'' xf .

Atunci : - daca 00'' xf ;

- daca

4). Daca si

atunci punctul nu este

punct de extrem pentru functia .



Definitie functie ROLLEfunctie ROLLE :

- Fie functia , ;

- Daca : 1). este continua pe intervalul inchis ;

2). este derivabila pe intervalul deschis .

Atunci functia este o functie ROLLE .

Teorema lui ROLLElui ROLLE :

- Fie functia , , o functie Rolle ;

- functia are valori egale la capetele intervalului , ;

Atunci exista cel putin un punct bac ; astfel incat .

Corolar :


- Daca , ( sunt radacini pentru )

Atunci exista cel putin un punct bac ; astfel incat .



Interpretarea geometrica ROLLE ROLLE:

- Teorema lui Rolle are o interpretare geometrica simpla .

- Din rezulta ca tangenta la graficul functiei in punctul este paralela cu

axa .

- Concluzie : Daca cerintele teoremei lui Rolle sunt indeplinite , atunci pe graficul functiei

exista cel putin un punct in care tangenta este paralela cu axa .

Observatii :

1). Teorema lui Rolle este o teorema de existenta .

2). Toate cele trei cerinte din teorema lui Rolle sunt esentiale pentru ca teorema sa fie adevarata

Daca una din cele trei ipoteze nu se verifica , atunci concluzia teoremei nu mai are loc .

3). Nu trebuie sa traga concluzia ca derivata unei functii nu se anuleaza in nici un punct daca acea functie nu satisface una din conditiile teoremei lui Rolle .



O aplicatie importanta a teoremei lui Rolle o reprezinta sirul lui Rolle asociat unei ecuatii de forma 0xf , unde functie derivabila , cu ajutorul caruia se poate determina numarul radacinilor reale ale ecuatiei precum si intervalele in care aceste radacini sunt situate .

Lema :

- Fie o functie derivabila pe un interval ;

- Intre doua radacini , zerouri , consecutive ale derivatei se afla cel mult o radacina a

ecuatiei 0xf .

- Zerourile derivatei separa zerourile functiei .

Teorema sirul lui ROLLEsirul lui ROLLE :

- Fie o functie derivabila pe un interval ;

- Daca , sunt doua radacini consecutive ale lui , adica :

si intre si nu exista alte radacini ale lui

- Atunci in intervalul exista cel mult o radacina a ecuatiei 0xf .

Etapele formarii sirului lui ROLLEsirului lui ROLLE :



I. Se fixeaza intervalul de studiu al ecuatiei 0xf , functia fiind presupusa derivabila .

II. Se rezolva ecuatia si se considera radacinile reale ale acestei ecuatii , situate in

, in ordine crescatoare .

III. Se calculeaza valorile functiei in aceste puncte , la care se adauga limitele lui , notate

, la capetele din stanga si respectiv din dreapta ale intervalului . Se obtine un sir de valori

asociat functiei , sau echivalent functiei ecuatiei 0xf , anume :

IV. Sirul lui Rolle este sirul semnelor acestor valori ( poate figura si valoarea zero ) .

V. Se refera la concluziile privind numarul de radacini reale ale ecuatiei si intervalele in care acestea sunt plasate .

Distingem urmatoarele cazuri :

1). Daca in sirul lui Rolle apar doua semne alaturate identice , adica pentru :

sa avem fie , fie

atunci in intervalul nu exista radacini reale ale ecuatiei 0xf .

2). Daca in sirul lui Rolle apar doua semne alaturate diferite , de exemplu :

,

atunci conform definitiei si proprietatii lui Darboux pe care o au functiile continue , exista cel mult si

respectiv cel putin o radacina in intervalul , adica ecuatia 0xf are excat o radacina in

intervalul .

3). Daca in sirul lui Rolle apare zero , de exemplu , atunci este radacina

multipla a ecuatiei 0xf , iar in intervalele , ecuatia nu mai are

radacini .

Concluzia sirului lui ROLLEsirului lui ROLLE :



Numarand schimbarile de semn si zerourile se determina numarul de radacini reale , fara a determina ordinele de multiplicitate ale acestora , ale ecuatiei considerate si intervalel in care sunt situate aceste radacini .

Aceasta teorema este o generalizare simpla a toremei lui Rolle in care functia nu mai ia valori egale la capetele ale intervalului considerat .

Mai precis are loc urmatoarea teorema :

Teorema lui LAGRANGE lui LAGRANGE :


- Atunci exista un punct din intevalul deschis , pentru care :

Observatie :

- Teorema lui LAGRANGE se numeste prima teorema a cresterilor finite sau prima teorema de medie .

Consecinta 1 a teoremei lui Lagrange a teoremei lui Lagrange : Proprietatile functiilor derivabile


Daca o functie are derivata nula pe un interval , atunci ea este constanta pe acest interval .

Consecinta 2 a teoremei lui Lagrange a teoremei lui Lagrange :

Daca doua functii au derivatele egale pe un interval , atunci ele difera printr-o constanta pe acel interval .

Un alt rezultat important pentru o functie derivabila pe un interval este furnizat de semnul derivatei .

Aceasta va fi uitilizat pentru determinarea intervalelor de monotonie .Mai precis are loc urmatorul :

Corolar :

- Fie REf : , E interval , o functie derivabila .

Daca :

1). , , atunci este crescatoare pe ;

2). 0' xf , , atunci este descrescatoare pe ;

sau :

1’). Daca , , atunci este strict crescatoare pe ;

2’). Daca , Ex , atunci este strict descrescatoare pe .



Determinarea intervalelor de monotonieintervalelor de monotonie :

Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei functii derivabile , nu neaparat interval din R se procedeaza astfel :

a). se calculeaza derivata f ' a functiei f ;

b). se rezolva , in , ecuatia , , aflandu-se punctele critice ;

c). se determina intervalele in care pastreaza acelasi semn ;

d). tinand seama de corolarul de mai sus se stabilesc intervalele de monotonie .

Observatie :

- Utilizand monotonia unei functii , putem stabili punctele de minim sau maxim local pentru o functie derivabila .

A patra consecinta a teoremei lui LAGRANGE este derivata unei functii intr-un punct .

Urmatorul rezultat este important pentru ca permite sa decidem daca o functie este derivabila intr-un punct .

Conditia suficienta ca acest lucru sa se intample este dat de :

Corolar :

- Fie , interval si .

Daca :1). f este continua in x0 ;

2). este derivabila pe ;

3). Exista ,



atunci f are derivata in x0 si lxf 0'

.

- Daca , atunci este derivabila in si lxf 0'

.

Observatie :

1). Acest corolar , pe care il denumim corolarul teoremei lui Lagrange , pntru studiul derivabilitatii unei functii intr-un punct , permite sa calculam derivatele laterale intr-un punct .

2). Corolarul lui Lagrange da o conditie suficienta pentru existenta derivatei unei functii intr-un punct . Conditia nu este si necesara .

3). Daca una din conditiile corolarului nu-i verificata , concluzia nu este numaidecat adevarata .

4). In conditiile corolarului , daca este derivabila in , va rezulta ca derivata este

continua in .

Teorema lui CAUCHY lui CAUCHY :

- Fie , doua functii cu proprietatile :

1). sunt continue pe intervalul inchis ;

2). sunt derivabile pe intervalul deschis ;

3). , ;

Atunci si exista cel putin un punct astfel incat sa avem :

formula lui Cauchy



Teorema lui DARBOUX lui DARBOUX :

- Daca este o functie derivabila pe un interval , atunci derivata f ' are proprietatea lui

Darboux pe , adica , si sau

exista astfel incat .

Corolar :

1). Fie o functie derivabila . Daca f ' ia valori de semne contrare in doua puncte



, atunci derivata se anuleaza cel putin intr-un punct cuprins intre si .

2). Daca derivata a functiei nu se anuleaza pe un interval , atunci derivata

pastreaza acelasi semn pe .

Am vazut ca pentru a elimina nedeterminarile in cazul limitelor de functii am apelat la scrieri convenabile , artificii de calcul , pentru a pune in evidenta structuri ale caror limite sunt cunoscute .

Scopul regulilor lui l’Hospital este de a ne ajuta sa calculam , sa scapam de nedeterminarile rezultate , in cazul limitelor de functii .

Scopul acestui paragraf este de a calcula limita unui raport de functii cu ajutorul limitei raportului derivatelor lor , desigur in anumite conditii precizate de cele doua teoreme l’Hospital .



Prima teorema a lui l’Hospital cazul cazul :

- Fie doua functii cu proprietatile :

1). derivabile pe ;

2). ;

3). , ;

4). exista .

Atunci exista limita si mai mult :

=

limita raportului este egala cu limita raportului derivatelor .

A doua teorema a lui l’Hospital cazul cazul :

- Fie doua functii cu proprietatile :

1). derivabile pe ;

2). ;

3). , , ;

4). exista .



Atunci exista limita si mai mult are loc egalitatea :

=

limita raportului este egala cu limita raportului derivatelor .

Important :

1). Si celelalte cazuri de nedeterminare :

sunt reductibile la cazurile

2). Primele doua nedeterminari prin transformari , iar ultimele trei , luand logaritmul functiilor corespunzatoare .

3). Reciproca teoremei lui l’Hospital este falsa : adica daca are limita in , nu rezulta

ca si are limita in .

4). In calculul limitelor de functii se recomanda combinarea metodelor elementare cu regula lui l’Hospital .

5). Regula lui l’Hospital se poate aplica de mai multe ori :

=

Observatii :

1). Functia exponentiala creste mult mai repede decat orice functie polinomiala , pentru valori mari ale argumentului :

2). Orice functie polinomiala creste mult mai repede decat functia logaritmica , pentru valori



mari ale argumentului :

Nedeterminare cazul cazul :

- Pentru calculul limitei produsului in punctul cu

iar

exista doua posibilitati de rescriere a prodului :

1). Daca pentru , atunci scriem :

si cand s-a redus cazul la .

2). Daca pentru , atunci avem scrierea :

cu si deci s-a redus cazul la .

Observatie : Se prefera unul sau celalalt caz dupa cum aplicarea regulii lui l’Hospital conduce mai rapid la rezultat .

Nedeterminare cazul cazul :

- Avem de calculat :

unde sau

- Si acest caz se poate reduce in doua moduri la cazurile studiate pana acum daca uzitam scrierile :



1). cand se obtine cazul

sau :

2). cand pentru avem cazul .

Daca aici , atunci pentru avem cazul de nedeterminare .

Nedeterminare cazurile cazurile :

- Suntem in situatia de a calcula :

in ipoteza , .

Pentru a calcula limita functiei pentru se utilizeaza egalitatea :



Am vazut ca semnul primei derivate da informatii asupra monotoniei functiei , iar zerourile primei derivate sunt eventuale puncte de extrem .Aceste informatii si altele le utilizam in trasarea graficului unei functii , numai ca , in destule cazuri , sunt necesare si informatii suplimentare , care sa le intregeasca pe cele furnizate de prima derivata .

Asa de pilda o functie derivabila poate fi strict crescatoare in doua moduri . Analog si in cazul functiei derivabile strict descrescatoare .

Aceste informatii suplimentare le vom determina folosind derivata a II-a cu ajutorul careia vom determina intervalele de concavitate si convexitate ale functiei folosind teoremele de mai jos :

Teorema functie convexaconvexa si concavaconcava :

- Fie Rbaf ,: , de doua ori derivabila pe ba, .

1). Daca 0" xf , , atunci functia este convexa pe intervalul .

2). Daca 0" xf , , atunci functia este concava pe intervalul ba, .

Observatii :

1). Este valabila si afirmatia reciproca si anume :

Daca este de doua ori derivabila pe si este convexa , sau

concava , atunci 0" xf , sau .

2). Semnul celei de-a doua derivate permite sa gasim intervalele de convexitate si concavitate pentru o functie .

Determinarea intervalelor de convexitateconvexitate si concavitate concavitate :

Pentru determinarea intervalelor de convexitate si concavitate recomandam parcurgerea etapelor :

1). Se calculeaza ;



2). Se rezolva ecuatia ;

3). Cu ajutorul radacinilor derivatei a doua se determina intervalele pe care derivata a doua pastreaza acelasi semn .

4). Daca pe un interval , atunci este convexa pe acel interval iar

daca pe un interval , atunci este concava pe acel interval .

Teorema punct de inflexiune punct de inflexiune :

- Fie si un punct din intervalul .

- Daca este de doua ori derivabila intr-o vecinatate a lui si daca exista doua numere

astfel incat :

1). ;

2). ;

3). pe si

pe

sau

pe si

pe

Atunci este punct de inflexiune pentru .

- Punctul se numeste punct de inflexiune al graficului .

Observatii privind punctele de inflexiunepunctele de inflexiune :

1). Conditia nu implica automat

punct de inflexiune .



2). Conditia ca sa fie continua in este importanta .

3). Daca nu are derivata ( finita sau infinita ) in atunci nu este punct de inflexiune

pentru .

Determinarea punctelor de extrempunctelor de extrem :

S-a discutat la Cap. 6.2 / pag. 4 .

O problema importanta in trasarea graficelor functiilor este determinarea asimptotelor .

Prin asimptota se intelege o dreapta ( orizontala , oblica sau verticala ) fata de care graficul functiei “se apropie oricat de mult “ .

Se disting urmatoarele tipuri de asimptote :

Definitia asimptotei ORIZONTALEORIZONTALE :

- Fie , , unde contine un interval de forma .

1) Daca :

nxfx

lim , finit

atunci dreapta este asimptota orizontala spre pentru functia .

2). Daca :

, finit

atunci dreapta este asimptota orizontala spre pentru functia .

Observatii privind asimptotele ORIZONTALEORIZONTALE :



1). Daca functia nu este definita in sau atunci nu are sens sa discutam existenta asimptotelor orizontale .

2). Denumirea de orizontala pentru asimptota provine din aceea ca dreapta

sau

este paralela cu axa .

3). Daca limitele functiei date nu sunt finite atunci putem trece sa studiem existenta asimptotelor oblice . Rezulta concluzia : o functie nu poate admite atat asimptote orizontale cat si oblice !!!

4). Atentie : daca o functie nu admite asimptote orizontale nu rezulta neaparat ca admite asimptote oblice . Conditia ca functia sa admita asimptote oblice va fii ilustrata in cele ce urmeaza .

Definitia asimptotei OBLICEOBLICE spre :

- Fie , , unde contine un interval de forma .

- Se spune ca dreapta :

este asimptota oblica la ramura spre a functiei , daca distanta dintre dreapta si grafic ,

masurata pe verticala , tinde catre zero cand tinde catre , adica daca :

.

Definitia asimptotei OBLICEOBLICE spre :

- Fie , , unde contine un interval de forma , .


este asimptota oblica la ramura spre a functiei , daca distanta dintre dreapta si grafic ,

masurata pe verticala , tinde catre zero cand tinde catre , adica daca :

.



Teorema :

1). Dreapta este asimptota oblica la ramura spre a functiei , daca si

numai daca , finite , unde :

, cu conditia

si

2). Dreapta este asimptota oblica la ramura spre a functiei , daca

si

numai daca , finite , unde :

, cu conditia

si

Observatii :

1). Practic pentru a determina asimptota oblica la pentru se procedeaza astfel :

se calculeaza

- daca este finit , atunci se calculeaza limita

- daca si este finit , atunci dreapta reprezinta asimptota oblica spre a

lui .

2). Analog pentru determinarea asimptotei oblice spre a lui .

3). Daca cel putin una din cele doua limite nu exista sau este infinita , curba nu are

asimptota oblica la .

4). In general , asimptotele oblice la si ( in cazul in care exista ) sunt diferite .



Fie , , punct de acumulare pentru .

Definitia asimptotei VERTICALEVERTICALE la stanga :


este asimptota verticala la stanga a lui daca :

sau .

- Dreapta , intr-un reper cartezian , este o dreapta paralela cu , deci verticala .

Definitia asimptotei VERTICALEVERTICALE la dreapta :


este asimptota verticala la dreapta a lui daca :

sau .

Definitia asimptotei VERTICALEVERTICALE :




este asimptota verticala a lui daca ea este asimptota verticala atat la stanga cat si la dreapta sau numai lateral .

Observatii :

- Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca sa fie definita in .

- Functia nu are asimptota verticala pe , daca punctul este de continuitate pentru

( ) .

Exercitiul nr. 1 :

Sa se determine extremele functiilor urmatoare :

1). ; 2). ;

3). ; 4). ;

5). ; 6).

.

Exercitiul nr. 2 :

Sa se determine punctele critice pentru functiile urmatoare , fiind multimea punctelor unde este derivabila :

1). ; 2).

;

3). ; 4). ;

5). ; 6). .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se determine intervalele de monotonie pt functiile urmatoare , fiind domeniul maxim de definitie :



1). ; 2). ;

3). ; 4). ;

5). ; 6). ;

7). ; 8). ;

9). ; 10).. ;

11). ; 12).

;

13). ; 14). .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se afle extremele locale ale functiilor elementare urmatoare pe domeniul lor de definitie :

1). ; 2). ;

3). ; 4). ;

5). ; 6). ;

7). ; 8).

;

9). ; 10). ;

11). ; 12). ;

13). ; 14). ;

15). ; 16). ;



17). ; 18). ;

19). .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se stabileasca intervalele de monotonie pentru functiile urmatoare :

1). ; 2). ;

3). ; 4).

;

5). ; 6). ;

7). ; 8). ;

9). ; 10). ;

11). ; 12). ;

Exercitiul nr. 6 :

Sa se stabileasca intervalele de monotonie pentru functiile urmatoare :

1). ; 2). ;

3). ; 4). ;

5). ; 6). ;

7). ; 8). ;

9). ; 10). ;

11). ; 12). ;



13). ; 14). ;

15). ; 16). .

Exercitiul nr. 7 :

Fie , , . Sa se determine pt.

care functia este monoton crescatoare pe .

Exercitiul nr. 8 :

Fie , . Sa se determine astfel incat

sa fie monoton descrescatoare pe .

Exercitiul nr. 9 :

Fie , functia definita prin oricare ar fi

.

Sa se arate ca punctul este punct de minim al functiei relativ la multimea .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se arate ca functia , definita prin oricare ar fi este strict crescatoare pe .

Exercitiul nr. 11 :

Sa se arate ca urmatoarele functii sunt strict crescatoare pe :a). oricare ar fi ;b). oricare ar fi ;

c). oricare ar fi .

Exercitiul nr. 12 :



Fie functia definita prin oricare ar fi :a). Sa se arate ca functia este strict crescatoare pe ;

b). Sa se arate ca ecuatia are o singura solutie si ca ;

c). Sa se arate ca exista un punct astfel incat

.

Exercitiul nr. 13 :

Se da functia definita prin oricare

ar fi , unde este un parametru real . Sa se determine valorile parametrului pentru care functia este descrescatoare pe .

Exercitiul nr. 14 :

Sa se determine valorile parametrului real pentru care functia definita

prin oricare ar fi este crescatoare pe .

Exercitiul nr. 15 :

Se considera functia , .

a). Sa se stabileasca monotonia si punctele de extrem ale functiei .b). Sa se determine punctele de intersectie ale graficului functiei cu dreapta de ecuatie

.

Exercitiul nr. 16 :




a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei .b). Sa se stabileasca intervalele de monotonie si punctele de extrem ale functiei .

Exercitiul nr. 17 :


Sa se determine si astfel incat functia sa admita un extrem egal cu in punctul de abscisa .

Exercitiul nr. 18 :

Se considera functia , , ,

.

Exercitiul nr. 19 :


a). Calculati limitele functiei spre si ;b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei ;c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei . Alcatuiti tabelul de variatie al

functiei .

Exercitiul nr. 20 :

Se considera functia , , parametrii

reali , care indeplinesc simultan urmatoarele conditii : graficul trece prin punctele si

iar .

a). Sa se determine functia ;

b). Pentru , , , sa se stabileasca monotonia functiei obtinute ;

c). Sa se precizeze numarul de solutii reale ale ecuatiei .

Exercitiul nr. 21 :

Se considera expresia : .

a). Sa se determine domeniul functiei definita prin legea .



b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei ;c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei .

Exercitiul nr. 22 :


a). Sa se determine domeniul functiei definita prin legea ;b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei ;c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei ;d). Sa se precizeze daca exista puncte de extrem global .

Exercitiul nr. 23 :

Se considera functiile ,

, .

a). Sa se stabileasca monotonia functiilor si g ;b). Determinati numarul de solutii reale ale ecuatiei .

Exercitiul nr. 24 :

Se considera functiile , , .

a). Sa se demonstreze ca , pentru orice , functia are un singur punct de minim ;

b). Sa se precizeze punctul de minim si minimul .

Exercitiul nr. 25 :

Se considera functia , :

a). Sa se arate ca derivata functiei este o functie crescatoare ;b). Sa se stabileasca monotonia si punctele de extrem alefunctiei ;c). Rezolvati inecuatia .

Exercitiul nr. 26 :

Folosind teorema lui Lagrange , demonstrati inegalitatile :



1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). , ;

7). ;

8). .

Exercitiul nr. 27 :

Aplicand functiei , , formula lui Lagrange in intervalul

,

, sa se demonstreze : .

Exercitiul nr. 28 :

a). Se considera functia , . Aplicand teorema lui Lagrange functiei pe intervalul , , sa se arate ca oricare ar fi are loc relatia :

.

b). Sa se arate ca functia , este monoton

descrescatoare .

Exercitiul nr. 29 :

Sa se demonstreze ca au loc urmatoarele inegalitati :

1). , ; 2). , ;



3). , ; 4). , ;

5). , , . 6). , ;

7). , ; 8). ,

;

9). , ; 10). ,

;

11). , ; 12). , ;

13). , , ; 14). ,

;

15). , ; 16). , ;

17). , ;

18). , ;

19). , ; 20). ,

.

Exercitiul nr. 30 :

Sa se arate ca pebtru orice numar real , este adevarata relatia :

.

Exercitiul nr. 30 :


Sa se demonstreze ca pentru orice , , este adevarata inegalitatea .



Exercitiul nr. 31 :

Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiilor si intervalele in care se gasesc acestea :

a). ; b).

;

c). ; d). .

Exercitiul nr. 32 :

Folosind metoda sirului lui Rolle sa se discute numarul de solutii reale ale ecuatiilor urmatoare dupa valorile parametrului real :

a). ; b). ; c).

;

d). ; e). ; f).

.

Exercitiul nr. 33 :

Sa se discute dupa valorile parametrului real nr. solutiilor reale ale ecuatiilor :

a). ; b). .

Exercitiul nr. 34 :

Sa se determine numarul de solutii reale ale ecuatiilor :

a). ; b). ;

Exercitiul nr. 35 :



Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiei :

si sa se separe radacinile .

Exercitiul nr. 36 :

Sa se discute valorile parametrului real numarul de solutii reale ale ecuatiilor :

a). ; b).

;

c). ; d).

;

e). ; f).

;

g). .

Exercitiul nr. 37 :

Sa se precizeze numarul radacinilor reale ale ecuatiei

dupa valorile parametrului real .

Exercitiul nr. 38 :

Se considera functia , . Sa sedetermine

parametrul real astfel incat graficul functiei sa taie axa in maximum de puncte

posibile .

Exercitiul nr. 39 :

Se considera functia , ,

parametru real , .

a). Sa se arate ca pentru orice , , functia are doua puncte de extrem .



b). Pentru , reprezentati grafic functia obtinuta .

Aratati , cu ajutorul sirului lui Rolle ca ecuatia are o singura radacina reala .

Exercitiul nr. 40 :

Sa se arate ca ecuatiile : ,

nu pot avea toate radacinile reale .

Exercitiul nr. 41 :

Fie ecuatia : , , ,

.Sa se arate ca ecuatia are o solutie unica in intervalul .

Exercitiul nr. 42 : Se considera functia cu legea de corespondenta :

.

Sa se studieze cu ajutorul sirului lui Rolle radacinile ecuatiei .

Exercitiul nr. 43 :

Se consider functia , .

a). Sa se studieze monotonia si punctele de extrem ale functiei .b). Sa se stabileasca convexitatea – concavitatea si punctele de inflexiune ale functiei .

Exercitiul nr. 44 :


a). Sa se precizeze domeniul maxim de definitie si domeniul de derivabilitate al functiei definite prin expresia .

b). Sa se stabileasca intervalele de convexitate (concavitate ), punctele de inflexiune ale f-tiei



Exercitiul nr. 45 :


a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei .b). Sa se precizeze intervalele de monotonie si numarul punctelor de extrem ale functiei .c). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei .

Exercitiul nr. 46 :


a). Sa se calculeze limitele la capetele domeniului de definitie .b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei .c). Sa se precizeze monotonia si punctele de extrem ale functiei .d). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei .

Exercitiul nr. 47 : Se considera functia , interval deschis , derivabila de doua ori pe .

a). Enuntati teorema lui Rolle .b). Sa se arate ca intre doua puncte succesive de extrem exista cel putin un zerou al derivatei .

c). Pentru functia , , sa se determine

punctele de extrem si de inflexiune .

Exercitiul nr. 48 :

Fie .

a). Sa se stabileasca domeniul maxim de definitie al functiei data prin legea .b). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei .

Exercitiul nr. 49 :


a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei b). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei .c). Determinati numarul punctelor de inflexiune .


Documents

VI Proprietati Ale Unei Functii Derivabile