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CALCULO VECTORIAL (2026)ECUACIN DE LA VIBRACION DE UNA
CUERDARODRIGO JAVIER ORTIZ ROSEROINGENIERA MECNICA
SANGOLQUI, 21 DE ENERO DE 2015
DOCENTE: ING. RENE ESCOBARECUACION DE LA VIBRACION DE UNA
CUERDA.
Cmo surgi?
Fue Brook Taylor (1685-1731) quien en 1715 propuso, en su obra
Methodus incrementorum directa et inversa, el problema de la cuerda
vibrante. Se trata de determinar el movimiento de una cuerda
elstica as como el tiempo de vibracin de la misma si sta es tensada
mediante la aplicacin de cierta fuerza externa y luego se deja
libre. Ms precisamente: supongamos que tenemos una cuerda
perfectamente tensada, de longitud L, elstica, pinchada en el
origen de coordenadas (0,0) y en el punto (L, 0) y supongamos que
tiramos de sta hasta que alcance la forma de la funcin y = f(x),
donde por supuesto hemos asumido que f(0) = f(L) = 0 y f(x) es una
funcin continua. Si soltamos la cuerda y la dejamos oscilar
libremente, qu formas adoptar a lo largo del tiempo?Quines la
desarrollaron?
En 1727 Johann Bernoulli abord el problema como proceso lmite a
partir del movimiento de un nmero finito de cuentas de igual masa y
colocadas equidistantes en una cuerda sin masa (es decir, con una
masa despreciable en comparacin a la masa de las cuentas) muy tensa
para que la posicin de equilibrio sea una recta horizontal- y que
se desplaza en t=0 de su posicin de equilibrio. Este problema es
una versin discreta del problema de la cuerda vibrante y su solucin
pasaba por el establecimiento de cierta ecuacin en diferencias.
Johann cometi el mismo error que Taylor y, por tanto, no fue capaz
de deducir resultados generales. Fue su hijo Daniel Bernoulli
(1700-1782) quien por primera vez, y siguiendo el modelo del collar
de cuentas introducido por su padre, adquiri conciencia de la
existencia de un conjunto infinito de modos fundamentales de
vibracin. En particular, se percat de la existencia de soluciones
oscilatorias muy complejas a las que no se poda asignar una
frecuencia de vibracin concreta. Sin embargo, el primer matemtico
que proporcion un modelo razonable para el estudio del problema de
la cuerda vibrante y, en particular, el primero en deducir
correctamente y resolver la ecuacin de ondas, fue Jean le Rond
DAlembert (1717-1783), en 1746. l supo aprovechar la hiptesis de
Taylor sobre las fuerzas restauradoras que intervienen en el
problema conjuntamente con la segunda ley de Newton.
Cmo se resuelve?
La vibracin de una cuerda de longitud L queda descrita por la
ecuacin de ondas unidimensional:
Donde c es una constante que depende de las propiedades fsicas
de la cuerda y de su tensin. Resolviendo esta ecuacin separando
variables y aplicando las condiciones de contorno se obtienen las
soluciones bsicas siguientes:
Y sus frecuencias correspondientes, que quedan descritas por los
coeficientes que multiplican a t. Para L=1 y c=1 la representacin
de las primeras de estas funciones (n=1, 2, 3, 4, 5 y 6) es la
siguiente (se ha mantenido la relacin de frecuencias para mayor
fidelidad).Fuentes:Lopez, P. (2010) Vibracin de una cuerda. Fecha
de consulta: 22 de enero de 2015. URL:
http://euler.us.es/~plopez/vibracion-de-una-cuerda.htmGmez B. J.
Repetto C. E., Stia C. R., Welti R.(2007) Oscillations of a string
with concentrated masses. pags. 961-975
