VIBRACION LIBRE NO AMORTIGUADA

Presentado a: Ingeniera Sofía Andrade

Presentado por:

Paola Osorio - 40111051 GRUPO: 4

Jorge Solano - 40111177 GRUPO: 2

ANALISIS ESTRUCTURAL II

PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD DE LA SALLE

BOGOTÁ

01/09/2015

OBJETIVOS:

Aplicar analíticamente los conceptos vistos en clase con todo lo concerniente a la

vibración libre no amortiguada y ver como es la profundización de dichos conceptos

dentro de un contexto más aplicativo.

Identificar con facilidad las diferentes variables que se presentan y correlacionarlas de tal

manera que su comportamiento y afectación dentro de los desplazamientos analizados

permitan recordar las alteraciones y características de lo que representan.

Aplicar los conceptos base anteriormente trabajados para la resolución de problemas que

complementan lo estudiado en este tema.

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MARCO TEORICO:

La vibración libre se da cuando se aplica desplazamiento o velocidad inicial pero no una fuerza, el caso no amortiguado no disipa energía, por esta razón el movimiento es infinito.

Una vez asumidos los conceptos de vibración no amortiguada, se define la siguiente viga doblemente empotrada a la cual se analizara su comportamiento de desplazamiento por carga en determinados periodos de tiempo.

Figura 1.

Dados los siguientes datos:

V 0=3m/ s

E del Material: Acero 200000 MPa =200x10*9 Pa

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ρ=7800Kg /m3

Se desea graficar el desplazamiento X(t) con la siguiente relación:

X ( t )=V 0

ω∗sin (ωt )+X 0∗cos (ωt )

Como X 0= 0 entonces:

X ( t )=V 0

ω∗sin (ωt ) ec.1

Para lo cual se debe hallar la velocidad angular, que está dada por:

ωn=√ Km

Antes de determinar las variables que se presentan en el ejercicio se debe hallar el volumen del elemento como se muestra en la siguiente tabla:

AREAS (m2) Y i(m) Ai Y (m3)A1= 0.35* 0.015 0.00525 0.3925 0.002060A2=0.10∗0.37 0.037 0.20 0.0074A3=0.35∗0.015 0.00525 0.0075 0.000039

∑ A=0.0475 ∑ 0.0095Tabla 1.Datos para hallar volumen de la viga y la inercia.

Y=0.0095m 30.0475

=0.2m

Así se tiene que:

I x=( b∗h3

12+b∗h∗∆1

2)+( b∗h3

12+b∗h∗∆2

2)+( b∗h3

12+b∗h∗∆3

2)

I x=( 0.35∗0.015312+0.35∗0.015∗0.192)+( 0.10∗0.37312

+0.10∗0.37∗02)+( 0.35∗0.015312+0.35∗0.015∗0.192)

4

I x=1.896×10−4m4+4.22×10−4m4+1.896×10−4m4

I x=8.012×10−4m4

Una vez obtenida el área total de la sección se multiplica por su longitud para obtener su volumen:

A∗Long .=∀

∀=0.0475 (m2)∗2.5 (m ) ∀=0.11875m3

Como se sabe que:

ρ=m∀

Se procede a despejar la masa de la anterior relación:

- Si se sabe que:

ρacero=7800Kg

m3

∀=0.11875m3

Entonces:

m=∀∗ρ

m=0.11875m3∗7800 Kg

m3

m ≈926,25Kg

La siguiente incógnita es la rigidez del elemento, la cual se trabaja de la siguiente manera:

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Tabla 2. UA – Caminos, 4º: Obras de Hormigón.

Así que:

K= PV

,donde larigidez para laviga analizadaesta dada por :K :192EI

P L3

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De tal manera que la rigidez y la velocidad angular quedan expresadas como sigue, asumiendo una carga unitaria que repose sobre la viga:

Rigidez: K=192EI

P L3 ; donde la carga P=1N

K=192∗200∗109 Pa∗8.012×10−4m4

1N∗(2.5m)3=1.23×1010

Nm

W=√ 1.23×1010Nm

926.25Kg = 3644

1s

Obtenemos de la ecuación (1):

X ( t )= 33644

∗sin (3644 t )

Cuya gráfica arroja los siguientes resultados:

Viga con una carga Puntual P=1N

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Periodo T= 2∗π √ mk

Periodo T= 2∗π √ 926.25

1.23×1010Nm

=0.00172m=1.72mm

Viga con una carga puntual P=10 N

Periodo T= 2∗π √ 926.25

1.23×109Nm

=0.0054m=5.45mm

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CONCLUSIONES:

En las estructuras de un solo grado de libertad se establece un movimiento no amortiguado con vibración libre.

La rigidez: k de la viga doblemente empotrada aumenta cuando se incrementa la sección transversal de dicho elemento, es por esto que el momento de inercia influye directamente en el comportamiento estructural, de ahí que se debe tener en cuenta el eje débil y el eje fuerte en la realización de los cálculos.

La vibración a la que está sometida a la viga con la posición respecto a un instante de tiempo t, sigue una oscilación sinodal, esto indicaría un movimiento constante porque no hay disipación de energía.

Al aumentar la carga puntual sobre la viga 10 veces, el periodo natural aumenta de 0.27mm a 2.7 mm, se hace más largo, la estructura se hace mas flexible.

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BIBLOGRAFIA:

- http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/25612/1/Estructuras%20Met%C3%A1licas%20- %20Material%20apoyo.pdf

- https://www.engineersedge.com/beam_bending/beam_bending18.htm - http://www.clag.org.uk/beam.html - https://books.google.com.co/books?id=6TlVAQAAQBAJ&pg=SA1-PA122&lpg=SA1-

PA122&dq=192+ei/l%5E3&source=bl&ots=mXXQcI68zh&sig=r6whbjgNMEbmZl0OAe9iFwRVmgU&hl=es&sa=X&ved=0CCIQ6AEwAWoVChMI8MjEz-_UxwIVhIENCh1kMACa#v=onepage&q=192%20ei%2Fl%5E3&f=false

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