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Instituto Tecnológico de Aeronáutica MPD-42 1 VIBRAÇÕES MECÂNICAS

VIBRAÇÕES MECÂNICAS - mec.ita.brarfaria/MPD42_02.pdf · Instituto Tecnológico de Aeronáutica MPD-42 5 SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE VIBRAÇÃO FORÇADA: f(t) ≠0 movimento

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 1

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 2

SISTEMAS DISCRETOS

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 3

SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE:

VIBRAÇÃO FORÇADA

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 4

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Solução da equação de equilíbrio:

PROBLEMA DE VIBRAÇÃO LIVRE

solução da equação homogênea associada

PROBLEMA DE VIBRAÇÃO FORÇADA

solução particular

SOLUÇÃO GERAL

solução homogênea + solução particular

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 5

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

VIBRAÇÃO FORÇADA: f(t) ≠ 0

movimento é devido às condições iniciais e excitação do sistema

+

=

particular

solução

homogênea

solução

geral

solução

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 6

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADESolução da equação de equilíbrio:

0)()(2)( 2 =++ tytyty hnhnh ωζω &&&

a) solução da equação homogênea associada

b) solução particular

)()()(2)( 22 tftytyty npnpnp ωωζω =++ &&&

c) solução geral

)()()( tytyty hp +=condições

iniciais

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 7

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEClassificação quanto ao tipo de excitação:

)()()(2)( 22 tftytyty nnn ωωζω =++ &&&

0)( =tf

0)( ≠tf

vibração livre

• amortecida

• não amortecida

vibração forçada

• periódica

• transiente

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 8

CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS

(quanto ao tipo de excitação)

excitação determinística

• transiente

• periódica

excitação aleatória

• harmônica

• periódica

• periódica complexa

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 9

Solução da equação de equilíbrio: exemplo sistema amortecido com excitação constante

0)()()()( FtFtkytyctym ==++ &&&

k

FAtytyty nnnn

0222 )()(2)( ωωωζω ==++ &&&

equação de equilíbrio

solução homogênea( ) ( )[ ]tCtCety dd

th

n ωωζω sincos)( 21 += −

solução particularAtyp =)(

condições iniciais0)0( ;0)0( == yy &

c

k

mF0

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 10

Solução da equação de equilíbrio: exemplo sistema amortecido com excitação constante

solução geral:

condições iniciais 0)0( ;0)0( == yy &

aplicando as condições iniciais:

0 )0( 1 =+= CAy

0)0( 21 =+−= CCy dn ωζω&

( ) ( )

−−+= − ttAeAty dd

tn ωζ

ζωζω sin1

cos )(2

( ) ( )[ ]tCtCeAty ddtn ωωζω sincos)( 21 ++= −

AC −=1

ACCd

n

2121 ζ

ζωωζ

−−==

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 11

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

0.00.20.6

exemplo: sistema amortecido com excitação constante

valores de ζ

ωnt

y(t)A

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 12

SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE:

EXCITAÇÃO HARMÔNICA

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 13

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

VIBRAÇÃO FORÇADA: f(t) harmônica

excitação determinística

periódica harmônica

c

k

mF(t)

)cos()( tAtf ω=

)cos()()( tkAtkftF ω==

)()()(2)( 22 tftytyty nnn ωωζω =++ &&&

)()()()( tFtkytyctym =++ &&&

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 14

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

VIBRAÇÃO FORÇADA: f(t) harmônica

Solução homogênea: vibração livre• solução amortecida (desaparece com o tempo)• parte transiente da solução

Solução particular: excitação harmônica• persiste com o tempo• solução de estado estacionário

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 15

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

a resposta de estado estacionário de um sistema linear a uma excitação harmônica de freq üência ω é tamb ém harmônica e de mesma freq üência ω

SISTEMA)cos()( tAtf ω= )cos()( φω −= tCtyp

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 16

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

)cos()()()(2)( 222 tAtftytyty nnnn ωωωωζω ==++ &&&

)sin()cos()(

)cos()sin( )(

)sin()cos()(

22

12

21

21

tCtCty

tCtCty

tCtCty

p

p

p

ωωωω

ωωωωω

−−=

+−=

+=

&&

&

assumir resposta particular da forma:

substituir para obter C1 e C2

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 17

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular( )

( )( ) )cos()(sin)cos(

)cos()(sin2

)(sin)cos(

221

2

21

212

tAtCtC

tCtC

tCtC

nn

n

ωωωωωωωωζω

ωωω

=++

++−+++−

( )( )( ) )cos()cos()(sin2

)(sin)cos( 2

21

2122

tAtCtC

tCtC

nn

n

ωωωωωζωωωωω

=+−+

++−

agrupar termos em cos(ωt) e sin(ωt)

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 18

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular( )( )

( ) )cos()cos()(sin2

)(sin)cos( 2

21

2122

tAtCtC

tCtC

nn

n

ωωωωωζωωωωω

=+−+

++−

( )[ ]( )[ ] )cos()(sin 2

)cos( 2 2

222

1

2122

tAtCC

tCC

nnn

nn

ωωωωωωζωωωζωωω

=−+−+

++−

( )( ) 0 2

2

222

1

221

22

=−+−

=+−

CC

ACC

nn

nnn

ωωωζωωωζωωω

igualando termos em cos(ωt) e sin(ωt)

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 19

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

=

−−−

02

2 2

2

1

22

22 A

C

Cn

nn

nn ωωωωζωωζωωω

resolvendo

( )( ) ( )

( )( ) ( )2222

2

2

2222

222

1

2

2

2

ωζωωωωζωω

ωζωωωωωω

nn

nn

nn

nn

AC

AC

+−=

+−−=

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 20

AC

nn

n22

2

2

2

2

1

21

1

+

=

ωωζ

ωω

ωω

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

AC

nn

n22

2

22

21

2

+

=

ωωζ

ωω

ωωζ

adimensionalizando os parâmetros:

seja:22

2

2

2

2

21

1

)cos(

+

=

nn

n

ωωζ

ωω

ωω

φ 22

2

2

21

2

)(sin

+

=

nn

n

ωωζ

ωω

ωωζ

φ

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 21

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

usando as definições de sin(φ) e cos(φ):

22

2

21

21

)cos(

+

=

nn

AC

ωωζ

ωω

φ22

2

22

21

)(sin

+

=

nn

AC

ωωζ

ωω

φ

solução: )sin()cos()( 21 tCtCty p ωω +=

22

2

2

21

)(sin)(sin)cos()cos()(

+

+=

nn

p

tAtAty

ωωζ

ωω

ωφωφsubstituindo:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 22

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

usando: )cos()sin()sin()cos()cos( φωωφωφ −=+ ttt

)cos(

21

)(22

2

2

φω

ωωζ

ωω

+

= tA

ty

nn

p

onde a fase φ é dada por:

solução:

−=

2

2

1

2

atan

n

n

ωωωωζ

φ

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 23

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

22

2

2

21

)(

+

=

nn

AY

ωωζ

ωω

ω

magnitude : fase :

−=

2

2

1

2

atan)(

n

n

ωωωωζ

ωφ

solução : )cos()()( φωω −= tYtyp

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 24

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação forçada harmônica – solu ção particular

análise via vetores complexos

lembrando que: )sin()cos( tjte tj ωωω +=

então:{ }{ }tj

tj

emIt

eRetω

ω

ωω

)sin(

)cos(

==

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 25

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

SISTEMA)cos()( ttf ω= )(tyc

SISTEMA)sin()( ttf ω= )(tys

SISTEMA)sin()cos()( tjttf ωω += )()( tjyty sc +

linearidade

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 26

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

)cos()()(2)( 22 ttytyty ncncnc ωωωζω =++ &&&

seja yc(t) a solução particular para f(t) = cos(ωt)

)(sin)()(2)( 22 ttytyty nsnsns ωωωζω =++ &&&

seja ys(t) a solução particular para f(t) = sin(ωt)

como o sistema é linear, a solução particular para f(t) = cos (ωt) + j sin(ωt) é dada por yc(t)+ j ys(t)

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 27

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

como o sistema é linear, a solução particular para f(t) = cos(ωt) + j sin(ωt) é dada por yc(t)+ j ys(t)

a solução particular para f(t) = cos(ωt) é dada pela parte real da solução para f(t) = e jωt

a solução particular para f(t) = sin(ωt) é dada pela parte imaginária da solução para f(t) = e jωt

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 28

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

1) obter a solução particular para f(t) = Ae jωt

tjnpnpnp Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&

2) reter a parte real da solução

deve-se notar que, como a excitação é um número complexo, a resposta do sistema também é um número complexo; assim, yp(t) é um número complexo

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 29

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

1) obter a solução particular para f(t) = Ae jωt

tjnpnpnp Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&

assumindo yp(t) da forma:

tjp

tjp

tjp

ejYty

ejYjty

ejYty

ω

ω

ω

ωω

ωω

ω

)( )(

)( )(

)()(

2−=

=

=

&&

&

substituir para obter Y(jω)

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 30

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

tjnpnpnp Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&

tjn

tjn

tjn

tj AeejYejYjejY ωωωω ωωωωωζωωω 222 )()(2)( =++−

tjn

tjnn AeejYj ωω ωωωωζωω 222 )( ]2[ =++−

AjYj nnn222 )( ]2[ ωωωωζωω =++−

agrupar termos em e jωt

substituir yp(t) = Y(jω) e jωt

equação para Y(jω)

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 31

ωζωωωωω

nn

n

j

AjY

2)(

22

2

+−=

+

=

nn

j

AjY

ωωζ

ωω

ω21

)(

2

2

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

AjYj nnn222 )( ]2[ ωωωζωωω =+−

resolver para Y(jω)

adimensionalizar

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 32

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

Função resposta em freqüência

A

jYjG

)()(

ωω = )()( ωω jAGjY =

SISTEMA)( ωjF )( )()( ωωω jFjGjY =

)( ωjG

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 33

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – vetores complexos

tjp ejYty ωω )()( =

onde: Y(jω) é um número complexo de módulo |Y(jω)| e fase −φ, isto é : Y(jω) = |Y(jω)| e−jφ

( )φωω −= tjp ejYty )()(

{ } )cos()()(Re φωω −= tjYtypa parte real de yp(t) é:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 34

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Função resposta em freqüência

Excitação harmônica – vetores complexos

tjtjp ejAGejYty ωω ωω )()()( ==

φωω jejGjG −= )()( ( )φωω −= tjp ejGAty )()(

+

=

nn

j

jG

ωωζ

ωω

ω21

1)(

2

2função resposta em freqüência:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 35

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Função resposta em freqüência

magnitude da função resposta em freqüência

22

2

2

21

1)(

+

=

nn

jG

ωωζ

ωω

ω

fase da função resposta em freqüência

−=

2

2

1

2

atan

n

n

ωωωωζ

φ* nota:

( ))(

)()(

ωφ jGfase

bfaseafaseb

afase

−=

−=

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 36

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – vetores complexos

• os resultados obtidos para a solução particular usando o método clássico e os vetores complexos são idênticos

• o trabalho algébrico envolvido na análise via vetores complexos é bem mais simples

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 37

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.501.00

|G(jω)|

ω /ωn

valores de ζ

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 38

0 1 2 3

0.000.100.150.250.501.00

G(jω)

ω /ωn

valores de ζ

FASE DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIAπ

3π / 2

π / 2

π / 4

ζ = 0

ζ = 0

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 39

FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

• para valores muito baixos de ω, a magnitude é igual a um e a fase nula (solução quase-estática –termos inerciais desprezíveis)

• para valores muito altos de ω, a magnitude tende a zero e a fase a 180o (o sistema não responde à excitação)

• para valores de ω próximos a ωn, a fase é próxima de 90o e, para amortecimento baixo, a magnitude apresenta um pico

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 40

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – exemplo

c

k

mF(t)=Acos(ωt)

condições iniciais nulas:

0)0(

0)0(

==

y

y

&

8.0/

2.0

==

nωωζ

considere:

Determine a resposta do sistema para as condições dadas

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 41

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – exemplo

1) solução homogênea:

( ))()cos()( 21 tsinCtCety ddt

hn ωωζω += −1<ζ

2) solução particular:

8.0/ =nωωo 6.41 7266.0

0761.2)(

==

=

rad

jG

φ

ω

)7266.0cos(0761.2)cos()()( −=−= tAtjGAtyp ωφωω

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 42

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica – exemplo

3) solução geral:( ) )7266.0cos(0761.2)(sin)cos()( 21 −++= − tAtCtCety dd

tn ωωωζω

0)7266.0cos(0761.2)0( 1 =+= ACy

aplicando as condições de contorno:

0)7266.0sin(0761.2)0( 21 =++−= ωωζω ACCy dn&

AC 5518.11 −=

d

n

ndd

n A.CACCωω

ωωζ

ωω

ωωζ

−=−= 37921)7266.0(sin0761.2 112

( )( )212

1

18.0379212.0

ζ−−= A.CC AC 4429.12 −=

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 43

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – exemplo

ttttttt nnn

nnnn

dd ωω

ωωωωωζω

ωωω 8.0 e 9798.01 2 ===−==

• a solução homogênea é não nula apesar das condições iniciais serem nulas

• pode-se plotar y(t) em função de ωnt

( )( )

)7266.08.0cos(0761.2

)9798.0(sin4429.1)9798.0cos(5518.1

)7266.0cos(0761.2)(sin)cos()(2.0

21

−++−−=

−++=−

tA

ttAe

tAtCtCety

n

nnt

ddt

n

n

ωωω

ωωωω

ζω

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 44

-2

-1

0

1

2

3

2010 30

Excitação harmônica – exemplo

y(t)/A

ωnt

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 45

-2

-1

0

1

2

3 geralhomogeneaparticular

2010 30

Excitação harmônica – exemplo

y(t)/A

ωnt

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 46

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Determinação do valor máximo de | G(jω)|

22

2

2

21

1

+

nn ωωζ

ωωmaximizar

22

2

2

21

+

nn ωωζ

ωωminimizar

( ) ( )[ ] 021 222 =+− ppdp

d ζpn

=ωω

( )( ) ( )( ) 0222212 2 =+−− ζζppp

( ) 021 22 =+−− ζp 221 ζ−=p 221 ζωω −=

n

r

seja:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 47

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Determinação do valor máximo de | G(jω)|

221 ζωω −=

n

r

22

2

2max

21

1)()(

+

==

n

r

n

r

rjGjG

ωωζ

ωω

ωω

valor máximo

• o máximo do módulo da função resposta em freqüência ocorre para uma freqüência ωr menor que a freqüência natural do sistema, ωn

substituir o valor de ωr

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 48

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Determinação do valor máximo de | G(jω)|

• para valores pequenos de ζ, |G(jω)|max=1/2ζ; por exemplo, se ζ = 0.02, |G(jω)|max= 25

• para valores de ζ > 1/ 2 o módulo da função resposta em freqüência não apresenta picos (valor máximo ocorre para ω /ωn = 0)

Substituindo o valor de ωr: 2max

212

1)(

ζζω

−=jG

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 49

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.501.00

|G(jω)|

ω /ωn

valores de ζ

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 50

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Pontos de meia potência

para valores baixos de ζ: ζζζω

2

1

212

1)(

2max≅

−== QjG

• a potência de um sinal é proporcional ao quadrado de sua amplitude

• portanto, os pontos de meia potência, ω2 e ω1, são definidos de modo que:

2)(

QjG i =ω

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 51

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Pontos de meia potência

2)(

QjG i =ω ζ

ωωζ

ωω

ω22

1

221

1)(

22

2

2

==

+

= QjG

n

i

n

i

i

in

i p=ωω ( ) ( ) 2222 821 ζζ =+− ii pp ( ) 08142 2224 =−+−− ζζ ii pp

( ) ( ) ζζζζ 41681442 222221

22 =≅−−−=− pp

( ) ( ) ( ) ( ) ζ42

2 12121212

21

22 =+−=+−=− pp

pppppppp

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 52

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

Pontos de meia potência

( ) ( ) ξ42

2 1212 ≅+− pp

pp

para ζ baixo: ( )nr ωωωω ≅≅+

212

( ) ( )1

221212 ≅+=+ pp

nωωω

substituindo: ( ) ζ4 2 12 ≅− pp

portanto: ζ212 ≅− pp ou: ζω

ωω212 ≅−

n

aplicação: estimativa de amortecimento a partir de resposta em freqüência

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 53

0.5 0.75 1 1.25 1.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Pontos de meia potência - exemploQ

2/Q

nωω /nω

ω1

nωω2

|G(jω)|

nωω∆

ζ2

110≅=Q

do gráfico:

ζω

ω21.0 ≅=∆

n

05.0=ζ

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 54

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – ressonância

Hipóteses:

• sistema não amortecido

• freqüência de excitação igual à freqüência natural

• a solução obtida anteriormente não se aplica ao problema acima porque a magnitude seria infinita

• o problema requer um tratamento especial

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 55

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – ressonância

)cos()()(2)( 22 tAtytyty nnn ωωωζω =++ &&&

nωωζ

== 0

)cos()()( 22 tAtyty nnn ωωω =+&&

a solução particular da equação do movimento é:

)sin(2

)( ttA

ty nnp ωω=

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 56

0 5 10 15 20-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – ressonância

y(t)/A

ωnt

ωnt/2)sin(

2)( tt

Aty nnp ωω=

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 57

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – ressonância• a amplitude do movimento cresce linearmente com o tempo

• como a excitação é cossenoidal e a resposta senoidal, há uma defasagem de 90o entre excitação e resposta (força externa em fase com a velocidade)

• um sistema pode passar por uma ressonância desde que a excitação nessa freqüência não perdure muito tempo

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 58

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

k c

y(t)M−m

ωtl

m HIPÓTESES

• o movimento da massa M−m só é possível na vertical

• a massa desbalanceada mgira com velocidade angular ω (braço é l)

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 59

ωtl

m

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

y(t)

y(t)+lsin(ωt)Fx

Fy

y(t)M−m

Fx Fy

Fx

força aplicada pelo apoio

ky yc&

( ))()()()(

)sin()(2

2

tymMtkytycF

Ftltydt

dm

y

y

&&& −=−−−

=+ ω

Equilíbrio de forças na direção vertical

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 60

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

( ))()()()(

)sin()(2

2

tymMtkytcyF

Ftltydt

dm

y

y

&&−=−−−

=+ ω ( )y

y

FtkytyctymM

tltymF

−=++−

−=

)()()()(

)sin()( 2

&&&&

&& ωω

( ))sin()()()()()( 2 tltymtkytyctymM ωω−−=++− &&&&&

)sin()()()( 2 tmltkytyctyM ωω=++ &&&

Equilíbrio de forças na direção vertical

• problema de excitação harmônica com amplitude da força dependendo de ω2

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 61

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

( )tjemltmltkytyctyM ωωωω 22 Im)sin()()()( ==++ &&&

tjelM

mty

M

kty

M

cty ωω 2)()()( =++ &&&

tjnn el

M

mtytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&

adimensionalizar

tjp ejYty ωω )()( =assumir solução particular:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 62

tjp

tjp

tjp

ejYty

ejYjty

ejYty

ω

ω

ω

ωω

ωω

ω

)( )(

)( )(

)()(

2−=

=

=

&&

&

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

tjnn el

M

mtytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&

substituir

( ) tjtjnn el

M

mejYj ωω ωωωωζωω 222 )( 2 =++−

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 63

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

( ) tjtjnn el

M

mejYj ωω ωωωωζωω 222 )( 2 =++−

ωζωωωωω

nn jM

mljY

2)(

22

2

+−=

adimensionalizando

+

=

nn

n

jM

mljY

ωωζ

ωω

ωω

ω21

)(

2

2

2

2

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 64

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

22

2

2

2

2

21

)(

+

=

nn

n

ml

jYM

ωωζ

ωω

ωω

ω

amplitude adimensional do movimento:

−=

2

2

1

2

atan

n

n

ωωωωζ

φ

fase:

resposta do sistema:

)sin()()( φωω −= tjYty

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 65

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.501.00

amplitude adimensional do movimento:

ω /ωn

valores de ζ

Μ |Y(jω)|

ml

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 66

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE

Excitação harmônica – massa desbalanceada

• amplitude nula quando ω tende a zero

• amplitude adimensional tende a 1 quando ωtende a infinito (centro de massa do sistema não se move)

• os picos de amplitude ocorrem para freqüências maiores que ωn

• a equação da fase é idêntica a do sistema sujeito a excitação harmônica

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 67

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

k c

y(t)m

HIPÓTESES

• o movimento da massa msó é possível na vertical

• a base se desloca com movimento harmônico x(t) de freqüência angular ω

x(t)

movimento da base: )Re()cos()( tjAetAtx ωω ==

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 68

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

m

y(t)

)( xyk − )( xyc && −

equação de equilíbrio:

( ) ( ))()()()()( txtyktxtyctym −−−−= &&&&

)()()()()( tkxtxctkytyctym +=++ &&&&

adimensionalizando : )()()()()( txm

ktx

m

cty

m

kty

m

cty +=++ &&&&

)()(2)()(2)( 22 txtxtytyty nnnn ωζωωζω +=++ &&&&

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 69

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

)()(2)()(2)( 22 txtxtytyty nnnn ωζωωζω +=++ &&&&

tj

tj

Aejtx

Aetxω

ω

ω==

)(

)(

&

assumir solução particular:

tjp

tjp

tjp

ejYty

ejYjty

ejYty

ω

ω

ω

ωω

ωω

ω

)( )(

)( )(

)()(

2−=

=

=

&&

&

substituir

( ) ( ) tjnn

tjnn AejejYj ωω ωωζωωωωζωω 2)( 2 222 +=++−

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 70

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

( ) ( ) tjnn

tjnn AejejYj ωω ωωζωωωωζωω 2)( 2 222 +=++−

Aj

jjY

nn

nn 2

2)(

22

2

ωζωωωωζωωω

+−+=

+

+

=

nn

n

j

j

A

jY

ωωζ

ωω

ωωζ

ω

21

21)(

2

2

adimensionalizar

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 71

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

forma adequada para determinação da fase:

22

2

2

2

2

2

2

21

21 21

21

21)(

+

−−

+

=

+

+

=

nn

nnn

nn

n

jj

j

j

A

jY

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

ωωζ

ωω

ωωζ

ω

22

2

2

2

22

2

2

21

2 21)(

+

+−

=

nn

nnnn

j

A

jY

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ωωζ

ωω

ω

+

= 2

2

2

3

21

2

atan

nn

n

ωωζ

ωω

ωωζ

φ

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 72

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

22

2

2

2

21

21)(

+

+

=

nn

n

A

jY

ωωζ

ωω

ωωζ

ω

+

= 2

2

2

3

21

2

atan

nn

n

ωωζ

ωω

ωωζ

φ

resposta do sistema:

)cos()()( φωω −= tjYty

magnitude: fase:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 73

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.501.00

magnitude (transmissibilidade)

ω /ωn

valores de ζ

|Y(jω)|A

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 74

0 1 2 3

0.000.100.150.250.501.00

fase

ω /ωn

valores de ζ

Y(jω)

π

3π / 2

π / 2

π / 4

ζ = 0

ζ = 0

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 75

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

• amplitude igual a 1 quando ω tende a zero

• amplitude tende a 0 quando ω tende a infinito (base se move mas a massa não)

• os picos de amplitude ocorrem para freqüências menores que ωn

• redução da amplitude ocorre para ω/ωn> 2 (a redução da amplitude para ω/ωn> 2 é mais rápida se o amortecimento é menor)

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 76

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

Isolamento de vibrações -aplicações

• isolamento de instrumentação sensível à vibração

• isolamento de máquinas de usinagem de alta precisão

• isolamento de sistemas de medição

k c

y(t)m

x(t)

Base sujeita a vibração

Sistema isolado

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 77

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEExcitação harmônica do suporte

Isolamento de vibrações - conceito

• a freqüência de excitação deve estar bem acima da freqüência natural do sistema de isolamento; o isolamento deve ser projetado de modo que ω/ωnseja alto

• o amortecimento deve ser baixo

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 78

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

k c

y(t)m

F(t)=kAejωt Problema:

• deseja-se calcular a força transmitida para a base para uma excitação harmônica

• as forças da mola e amortecedor não podem ser somadas algebricamente pois não estão em fase

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 79

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

tjkAetFtkytyctym ω==++ )()()()( &&&Equação de equilíbrio:

Adimensionalizando: tjnnn Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&

Resolvendo:

( ) )( )( )(

)( )( )(

)( )()(

2)(2

)(

)(

tyejGAjty

tyjejGAjty

ejGAejYty

tj

tj

tjtj

ωωω

ωωω

ωω

φω

φω

φωω

−==

==

==

&&

&

• as funções G(jω) e φ foram obtidas anteriormente

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 80

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

NOTA:( ) ( ) 1sincos

2sin

2cos2

−=+=

=

+

=

ππ

ππ

π

π

je

jje

j

j

π

π

ωωωω

j

j

etytyty

etytyjty

)( )( )(

)( )( )(22

2

=−===

&&

&

• a velocidade está defasada de π / 2 em relação ao deslocamento

• a aceleração está defasada de π em relação ao deslocamento

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 81

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

Equilíbrio:

Re

Im

Ftr /m2ζωn y(t)

y(t)

ωn y(t)2

ωn y(t)2

ωn Aejωt2

Representação gráfica do equilíbrio:

tjnnn Aetytyty ωωωζω 22 )()(2)( =++ &&&

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 82

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

Amplitude da força transmitida:

soma vetorial da força da mola e do amortecedor

2)( )(π

ωj

etyty =&)( )( tyty ω=&

222 )()2( yym

Fnn

tr ωζω += &

2

2222 21)() 2(

+=+=

nnnn

tr yyym

F

ωζωωωωζω

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 83

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

Amplitude da força transmitida:

)()( ωjGAty =

22

2

2

2

21

21

+

+

=

nn

ntr

Ak

F

ωωζ

ωω

ωωζ

2

2 21

+=

nn

tr ym

F

ωζωω

22

1)(

+=

ntr m

kjGmAF

ωζωω

22

1)(

+=

n

tr jGAk

F

ωζωω

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 84

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

• F0=Ak é a amplitude da força aplicada F(t) = Akejωt

• a força aplicada pode ser amplificada ou reduzida

• a equação da amplitude da força transmitida em função da freqüência é a mesma obtida para o problema de vibração harmônica do suporte

Função de transmissibilidade22

2

2

2

0

21

21

+

+

=

nn

ntr

F

F

ωωζ

ωω

ωωζ

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 85

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.501.00

magnitude (transmissibilidade)

ω /ωn

valores de ζ

Ftr

F0

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 86

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

Isolamento de vibrações - aplicações

• isolamento de forças geradas por motores, massas desbalanceadas, etc.

• exemplo: motores automotivos e aeronáuticos

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 87

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEFunção de transmissibilidade

Isolamento de vibrações - conceito

• a freqüência de excitação deve estar bem acima da freqüência natural do sistema de isolamento; o isolamento deve ser projetado de modo que ω/ωnseja alto

• o amortecimento deve ser baixo

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 88

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração

Acelerômetro sísmico

• m é a massa de prova

• x é o movimento da base (referencial inercial)

• y é o movimento da massa de prova (referencial inercial)

• z é o movimento relativo da massa

k

c

m

x(t)

y(t)

z(t)

)()()( txtytz −=

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 89

m

y(t)

)( xyk −

)( xyc && −

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração

Equilíbrio de forças:

)()()( txtytz −=

onde y(t) é medido em relação a um referencial inercial; usando z(t):

( ) 0)()()()( =+++ tkztzctxtzm &&&&&

)()()()( txmtkztzctzm &&&&& −=++

( ) ( ))()()()()( txtyktxtyctym −−−−= &&&&

)()()(2)( 2 txtztztz nn &&&&& −=++ ωζω

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 90

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração

assumindo vibração harmônica da base:tjeXtx ω

0)( =

assumindo: tjejZtz ωω )()( =

substituindo:

resolvendo:

)()()(2)( 2 txtztztz nn &&&&& −=++ ωζω

tjnn eXtztztz ωωωζω 2

02 )()(2)( =++ &&&

( ) tjtjnn eXejZj ωω ωωωωζωω 2

022 )(2 =++−

ωζωωωωω

nn jX

jZ

2

)(22

2

0 +−=

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 91

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração

amplitude de z(t): fase de z(t):

ωζωωωωω

nn jX

jZ

2

)(22

2

0 +−=

nn

n

jX

jZ

ωωζ

ωω

ωω

ω

21

)(

2

2

2

2

0 +−=

=

+

=2

2

22

2

2

2

2

0

|)(|

21

|)(|

n

nn

n jGX

jZ

ωωω

ωωζ

ωω

ωω

ω

−=

2

2

1

2

atan

n

n

ωωωωζ

φ

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 92

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.500.70

Amplitude do deslocamento da massa de prova

|Z(jω)|

ω /ωn

valores de ζ

X0

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 93

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração – deslocamento: vibrômetro

• num instrumento deseja-se sensibilidade constante, portanto a medida da amplitude do deslocamento exige que ω/ωn >> 1

• nessa condição, a massa de prova não se move em relação ao referencial inercial

• a freqüência natural do instrumento deve ser muito mais baixa que a do sinal que se quer medir

• o amortecimento alto favorece a medição

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 94

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração

amplitude da aceleração:tjeXtx ω

0)( =tjeXtx ωω 0

2)( −=&&

02)( Xtx ω=&&

)(1

21

1)(

222

2

2

2

02

ωω

ωωζ

ωω

ωω

ωjG

X

jZ

n

nn

n =

+

=

• a sensibilidade à aceleração depende do inverso do quadrado da freqüência natural do instrumento

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 95

10-2 10-1 1000

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.500.70|Z(jω)|

ω /ωn

valores de ζ

ω2X0

Amplitude da aceleração da massa de prova

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 96

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEMedida de vibração – aceleração: acelerômetro

• a medida da amplitude da aceleração exige que ω/ωn << 1; a freqüência natural do instrumento deve ser muito mais alta que a do sinal que se quer medir

• o amortecimento alto favorece a medição

• o sinal z(t) num acelerômetro é tipicamente medido por um cristal piezelétrico

• o sinal de aceleração pode ser eletricamente integrado para se obter velocidade e deslocamento

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 97

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

Amortecimento estrutural:

• dissipação de energia devido à histerese do material

• válido para oscilação harmônica apenas

• proporcional ao deslocamento e em fase com a velocidade

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 98

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

loop de histerese

área = energia dissipada por ciclo

x(t)

F(t) histerese:

• a energia armazenada durante o carregamento não é completamente restituída durante o descarregamento

• perda por ciclo proporcional ao quadrado da amplitude

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

X

2 XEciclo α=∆

−X

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 99

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

fator de amortecimento equivalente:

c

k

mF(t)=Akcos(ωt)

x(t)• sistema sujeito a excitação harmônica

• resolvendo:

)(cos

)cos( )( )(

φωφωω

−=−=

tX

tjGAtx

)( ωjGAX =

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 100

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo (duração do ciclo = 2π/ω)

∫∫ ==∆ωπ /2

0

dtdt

dxFFdxE

ciclo

ciclo

)cos( )( )( φωω −= tjGAtx )sin( )( )( φωωω −−= tjGAtx&

)cos( )( tkAtF ω=

[ ][ ]∫ −−=∆ωπ

φωωωω/2

0

)sin()( )cos( dttjGAtAkEciclosubstituindo:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 101

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo

[ ][ ]

−−=

−−=∆

ωπ

ωπ

φωωωω

φωωωω

/2

0

2

/2

0

)sin( )cos()(

)sin()( )cos(

dtttjGkA

dttjGAtAkEciclo

[ ]

ωφπφω

φωφωωφωω

ωπ

ωπωπ

)sin( )sin( )(cos

)sin()cos()cos()sin( )cos( )sin( )cos(

/2

0

2

/2

0

/2

0

−=−=

−=−

∫∫

dtt

dttttdttt

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 102

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo

−−=−−=∆ ∫ ωφπωωφωωωω

ωπ )sin()( )sin( )cos()( 2

/2

0

2 jGkAdtttjGkAEciclo

πωωωζφπω 222 )(2)(sin)( jGkAjGkAE

nciclo ==∆

)(2

21

2

)(sin22

2

2

ωωωζ

ωωζ

ωω

ωωζ

φ jGn

nn

n =

+

=

substituindo:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 103

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

fator de amortecimento equivalente: energia dissipada por ciclo

πωωωζωπω

ωωζ 22

2

22 )(2)(2 jGkAjGkAEn

nn

ciclo ==∆222

2

)(

/

/2

XjGA

mk

mc

n

n

=

=

=

ω

ωζω

πω 2kX

m

km

cEciclo =∆ 2 XcEciclo πω=∆

dissipação em um ciclo de histerese: 2 XEciclo α=∆

igualando: πωα c=πωα=eqc

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 104

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

fator de amortecimento equivalente:

πωα=eqc (válido para carregamento

harmônico)

equação do movimento com fator de amortecimento equivalente:

tjAketkxtxctxm )()()( ω=++ &&&

tjAketkxtxtxm )()()( ω

πωα =++ &&&resulta:

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 105

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

tjAketkxtxtxm )()()( ω

πωα =++ &&&

assumindo solução de estado estacionário harmônica:

tjejXtx )()( ωω= )( )( )( txjejXjtx tj ωωω ω ==&

( )

tj

tj

Aketkxtxjtxm

Aketkxtxjtxm

)()()(

)()( )(

ω

ω

πα

ωπωα

=++

=++

&&

&&

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 106

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural

tjAketkxtxjtxm )()()( ω

πα =++&&

DEFINIÇÃO:kπ

αγ = Fator de amortecimento estrutural: fator de perda

( ) tjAketxjktxm )(1)( ωγ =++&&substituindo:

DEFINIÇÃO: ( )γjk +1 Rigidez complexa ou amortecimento complexo

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 107

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural – fator de perda

Definição amortecimento estrutural: k

c

k

c

k

ωππω

παγ ===

Definição fator de perda:

U

Eciclo

πη

2

∆=energia dissipada por ciclo

U é a energia potencial máxima

η é a razão entre a energia dissipada por radiano pela energia potencial máxima

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 108

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural – fator de perda

da definição fator de perda:

k

c

kX

Xc

U

Eciclo ω

π

πωπ

η =

=∆=

2

2

21

22 k

cωγη ==

γ é o fator de perda para amortecimento estrutural, isto é, a razão entre a energia dissipada por radiano pela energia potencial máxima

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MPD-42 109

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural - Solução

( ) tjAketxjktxm )(1)( ωγ =++&&

assumindo solução de estado estacionário harmônica:

tjejXtx )()( ωω= tjejXtx 2 )( )( ωωω−=&&

substituindo:

adimensionalizando

( ) tjnn eAtxjtx 22 )(1)( ωωγω =++&&

( )( ) tjn

tjn eAejXj 2 22 )( 1 ωω ωωγωω =++−

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 110

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural - Solução

( )( ) tjn

tjn eAejXj 2 22 )( 1 ωω ωωγωω =++−

( ) Aj

jXn

n

γωωωω

++−=

1)(

22

2

( ) Aj

jXn γωω

ω+−

= 2/1

1)(

2

2

2

2

1

1)(

γωω

ω

+

=

n

jX

−=

2

2

1atan))((

n

jXFase

ωω

γω

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 111

tj

n

Aej

tx ω

γωω +−

=

2

2

1

1)(

SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADEAmortecimento estrutural - Solução

• o pico ocorre sempre para ω = ωn, com Q=1/γ

•a magnitude não tende a um quando ω tende a zero

• a analogia entre amortecimento viscoso e amortecimento estrutural só é válida para excitação harmônica

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 112

0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

0.000.100.150.250.501.00

MÓDULO DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA

|X(jω)|

ω /ωn

valores de γ

A

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MPD-42 113

0 1 2 3

0.000.100.150.250.501.00

X(jω)

ω /ωn

valores de γ

FASE DA FUNÇÃO RESPOSTA EM FREQÜÊNCIAπ

3π / 2

π / 2

π / 4

γ = 0

γ = 0

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MPD-42 114

EXERCÍCIOSO sistema da figura representa uma primeira aproxim ação de uma construção onde as colunas não têm massa e o telhado é rígido. Obtenha a equação diferencial do movimento horizontal de vibração.

M

EI EIH

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MPD-42 115

EXERCÍCIOSUm cilindro de massa m e com momento de inércia J rola sem deslizar mas é refreado pela mola k como indica a figura. Determine a freqüência natural de vibração.

k

R

m, J θ

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MPD-42 116

EXERCÍCIOSEstabelecer a equação diferencial de movimento para o sistema da figura onde a barra rígida não tem massa . Determine: (a) o coeficiente de amortecimento críti co e (b) a freqüência natural de vibração amortecida.

a

L

kc

m

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MPD-42 117

EXERCÍCIOSA figura representa um diagrama simplificado de um veículo montado sobre molas sobre uma estrada acidentada. Determine a equação de vibração e a velocidade mais desfavorável.

L

vt

m

k

g

y = A sin(2πvt/L)