Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Jana Klicnarová

Katedra aplikované matematiky a informatikyJihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta

2010

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriální hodnocení variant (VHV)

Jak jsme již zmiňovali, VHV obecně neposkytuje jedno jedinéřešení a výsledné řešení je ovlivněno volbou vah a použitoumetodou. V této části se budeme podrobněji zabývat jednotlivýmimetodami VHV a metodami volby vah.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Ordinální a kardinální informace

Metody vícekriteriální optimalizace (resp. metody volby vah) se lišímj. tím, zda nám dávají ordinální či kardinální informace o pořadíjednotlivých variant (resp. důležitosti jednotlivých kritérií) a zdapro své použití potřebují ordinální či kardinální informaceo jednotlivých variantách vůči jednotlivým kritériím (resp.o preferenci jednotlivých kritérií zadavatelem).

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Ordinální a kardinální informace

Ordinální a kardinální informace

Ordinální informace nám pouze udává pořadí. Je-li výsledkemvícekriteriální optimalizace ordinální uspořádání jednotlivýchvariant, dozvíme se, jaká varianta se jeví jako nejlepší, která jakodruhá nejlepší. Ale ordinální informace neudává, o kolik je prvnívarianta lepší než druhá. Abychom mohli říci, o kolik je prvnívarianta lepší než druhá, k tomu potřebujeme právě kardinálníinformaci.Právě tak, pokud máme pouze ordinální informaci o jednotlivýchvariantách z hlediska nějakého kritéria, známe pořadí variantz hlediska tohoto kritéria, ale už nevíme, o kolik je první variantalepší než druhá (k tomu bychom opět potřebovali kardinálníinformaci). A tedy máme-li pouze ordinální informaci, nemají smyslaritmetické operace.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody volby vah

Co jsou to váhy?

Váhy číselně odlišují jednotlivá kritéria z hlediska jejichvýznamnosti, čím je kritérium pro zadavatele důležitější, tím většíváhu má přidělenu. Požaduje se, aby váhy byly nezáporná číslaa často navíc, aby byly tzv. normované, tzn. aby jejich součet byl1.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody volby vah

Stanovení vah

Volba vah je subjektivní. Vzhledem k tomu, že analýzu provádímepro nějakého zadavatele, je zapotřebí volbu vah předevšímkonzultovat se zadavatelem. Mnohdy je vhodné provést volbu vahve více krocích – nejprve prodiskutovat se zadavatelem jeho postojk jednotlivým kritériím, poté na tomto základě navrhnout váhy.Dále tyto váhy znovu prokonzultovat se zadavatelem a popř. jeupravit.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Základní metody stanovení vah

Metoda stejné důležitosti

V případě, že nemůžeme od zadavatele získat žádnou informacio preferenci jednotlivých kritérií, nebo zadavatel se sám nedokážerozhodnout, které ze zadaných kritérií je pro něho důležitější nežjiné, nezbude nám, než všem kritériím přiřadit stejnou váhu.A protože součet vah má být roven 1, bude váha každého kritéria1n , kde n udává počet kritérií.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Základní metody stanovení vah

Metoda pořadí

Jedná se o metodu, která je založena na ordinální informacio preferenci jednotlivých kritérií. Pro využití této metodypotřebujeme znát od zadavatele pořadí, v němž preferuje jednotlivákritéria. Potom už stačí přiřadit jednotlivým kritériím body, a tosestupně dle pořadí, přičemž nejdůležitější kritérium má tolik bodů,kolik máme kritérií, druhé nejdůležitější o bod méně, atd. Tudíž,nejméně preferované kritérium má jeden bod. Na závěr sečtemepřidělené body a tímto součtem všechny přidělené body vydělíme,čímž získáme váhy jednotlivých kritérií. Touto normalizacídosáhneme toho, že součet vah bude 1.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Základní metody stanovení vah

Metoda bodovací

Metoda bodovací je obdobná jako metoda pořadí, ale na rozdíl odmetody pořadí vyžaduje (a tedy ve výsledku i udává) kardinálníinformaci o preferencích jednotlivých kritérií. Tato metodapožaduje od zadavatele, aby každému kritériu přiřadil nějaký početbodů, podle toho, jak moc toto kritérium preferuje (čím více bodů,tím silnější preference). Potom se opět sečte počet přidělenýchbodů a váhy získáme podělením přidělených bodů jejich součtem.Při této metodě se někdy udává horní hranice udělených bodů(např. 10 či 100), jindy se to nechává na zadavateli. Alternativou,která se ale jeví jako dosti těžko použitelná, je alokace 100 bodůmezi všechna kritéria.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Základní metody stanovení vah

Fullerova metoda

Fullerova metoda je ve své podstatě bodovací metoda a užívá sepředevším v situacích, kdy pro velký počet kritérií je pro zadavateleobtížné obodovat jednotlivá kritéria. Pro použití této metodypostačí zadavateli, když dokáže rozhodnout o důležitosti kritériívždy pouze mezi dvěma (přičemž může říci, že dvě kritéria jsou proněho stejně důležitá). Princip této metody spočívá v tom, žezadavateli jsou postupně předkládány dvojice jednotlivých kritérií(tak, aby mu každá možná dvojice byla předložena právě jednou),zadavatel z této dvojice určí to kritérium, které je pro něhodůležitější (v případě, že jsou obě stejně důležitá, může přiřaditnapříklad půl body) a tomu přidělí bod. Na závěr se sečte početbodů přidělený jednotlivým kritériím a normalizací získáme váhy.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Základní metody stanovení vah

Fullerova metoda – modifikace

Jedna z možných modifikací této metody je, každému kritériunavýšit počet získaných bodů o jeden bod a teprve potom provéstnormalizaci. Je to proto, aby kritérium, které nezískalo žádný bodmělo nenulovou váhu.

Poznámka

V případě, že zadavatel má jasno v pořadí kritérií a použije semodifikace Fullerovy metody, získáme stejné výsledky jako přimetodě pořadí.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody úprav zadaných dat

Jak uvidíme nadále, většina metod požaduje, aby kriteriální maticeobsahovala číselné hodnoty (které mohou mít buď ordinální nebokardinální charakter). Ovšem v praktických úlohách leckdy zadanéhodnoty nejsou číselné.

Číselné hodnoty bývají typicky kardinální informace o variantě –požadovaný plat, vzdálenost, doba trvání, počet zákazníků atd.a někdy ordinální – varianty jsou z hlediska některého kritériaseřazeny podle preference apod.Ovšem někdy se vyskytuje hodnocení varianty podle kritéria, kterénemá ani ordinální ani kardinální charakter, viz úvod do statistiky.Jedním z příkladů je bivalentní kritérium – např. možnost připojenína internet – ano-ne, další možností je slovní ohodnocení variantypodle kritéria, apod.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody úprav zadaných dat – chybějící hodnoty

Dalším problémem, se kterým se setkáváme při vícekriteriálníoptimalizaci, jsou chybějící hodnoty. Například nemáme informaceo nějaké variantě podle nějakého kritéria. Zde je zapotřebí rozlišitdva základní případy, a to situaci, kdy nám informace chybí„omylemÿ, tj. informace nebyla nalezena pravděpodobně z důvodu,že dodavatel dat nepokládal tuto informaci za nutnou (napříkladrozměr nějakého zařízení). A situaci, kdy informace chybí záměrně– dodavatel dat se rozhodl tuto informaci zatajit (například vodnísloupec u stanů prodávaných v supermarketech).

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce

Někdy máme v zadání kritéria minimalizační i maximalizačnía zvolená metoda vyžaduje všechna kritéria stejného druhu, resp.všechna kritéria maximalizační. Stojíme tedy před problémem, jakpřevést minimalizační kritérium na maximalizační, popř. naopak.Možností je několik, ovšem vždy je zapotřebí vzít v potaz charakterkritéria a metodu, kterou chceme použít.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce

Pravděpodobně nejsnazší možností je použít převrácenou hodnotukritéria. Máme-li funkci f (x) maximalizovat, potom je to totéž(pokud funkce nenabývá nulové hodnoty) jako minimalizovatfunkci 1

f (x) . Ovšem převrácená hodnota často mívá problematickouekonomickou interpretaci a pro některé metody je naprostonevhodná. Podobnou možností je použít transformaci minj rijrij(minj rij rozumíme minimální dosaženou hodnotu v daném kritériu(tedy optimum)). Výhodou této transformace je, že mámezaručeno, je takto transformované hodnoty jsou menší nebo rovnéjedné, přičemž hodnota jedna je optimální. (Všimněme si, že tutometodu nelze použít, pokud některá varianta nabývá v danémkritériu hodnoty 0.)

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce

Jinou možností, jak převést minimalizační kritérium namaximalizační, je transformace pomocí operátoru −, tedy použitíopačné hodnoty. Opět je zřejmé, že pokud máme funkci f (x)minimalizovat, pak je to totéž jako maximalizovat funkci −f (x).Možností tedy je, každé hodnotě přiřadit její opačnou hodnotu.Tato operace má však několik nevýhod. Jednak velmi často mámevšechna čísla v kriteriální matici nezáporná, a touto operacívyrobíme v kriteriální matici sloupec nekladných hodnot. Druhounepříjemností je, že v mnoha využívaných metodách se normujeoptimem, jímž po této transformaci nezřídka bývá nulová hodnota.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce

Proto se velmi často využívá modifikace této transformace, a to, žese kriteriální hodnota odečítá od nějaké před stanovené konstanty.Typicky touto konstantou bývá bazální (tedy maximální) variantav tomto kritériu. Transformace je tedy

maxjrij − rij .

Tato volba má obecně velmi dobrou ekonomickou interpretaci.(Představme si, že máme jako kritérium dobu strávenou na cestědo práce a toto kritérium je pro nás minimalizační. Najdeme-limaximální hodnotu tohoto kritéria a přepočteme-li všechnyhodnoty tak, že od této maximální hodnoty odečteme dobustrávenou na cestě do práce při dané variantě, potom nám výslednáčísla udávají úsporu času oproti nejhorší alternativě.)

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody úprav zadaných dat – stejný typ účelové funkce

Avšak právě volba této transformace může následně u mnohýchmetod vést k porušení požadavku na invarianci vůči přidanédominované variantě. Tento problém odstraníme, pokud předtransformací použijeme konjuktivní metodu. Tj. stanovíme simaximální (nejhorší přípustnou) hodnotu transformovanéhokritéria, pokud některá varianta tuto podmínku nesplňuje,vyřadíme ji z hodnocení, a poté transformujeme kritérium vůčitakto zvolené hodnotě. Tedy nové hodnoty stanovíme jako dj − rij ,kde dj je právě zvolená maximální hodnota tohoto kritéria.(Například si řekneme, že nechceme do práce cestovat déle než 40minut. Pokud se v hodnocení objeví varianta, v níž cesta do prácetrvá déle, potom tuto variantu vyřadíme. A dobu cesty do prácetransformuje tak, že vždy spočteme, jaká je úspora času při cestědo práce v dané variantě oproti 40 minutám (40− rij).)

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Úprava kriteriální matice

Podobně jako si před použitím metod vícekriteriální optimalizaceupravujeme kriteriální matici do požadovaného tvaru, stejně simůžeme před použitím těchto metod upravit i počet zvažovanýchvariant. (Tj. redukovat počet řádků kriteriální matice.) Jako prvnímožnost se nabízí vyřazení dominovaných variant (dominovanévarianty nemohou být zvoleny jako optimální a redukce maticenám usnadní práci a učiní naši práci přehlednější).

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Úprava kriteriální matice – disjunktivní a konjuktivní metody

K další redukci kriteriální matice můžeme přistoupit využitím tzv.disjunktivních a konjuktivních metod. Obě tyto metody spočívajív tom, že si nastavíme u všech kritérií (popř. u některýchzvolených) tzv. aspirační úrovně, podle nichž následně rozdělímevarianty na akceptovatelné a neakcepovatelné. V případěmaximalizačního kritéria je jeho asipační úroveň minimálníhodnota, jaké bychom chtěli, aby kritérium dosahovalo, ale vpřípadě minimalizačního kritéria je aspirační úrovní maximálníhodnota, které může kritérium ještě dosahovat. Jedná se tedyo takové hodnoty, které pokládáme v nejhorším případě zapřípustné (tedy o horších hodnotách již nechceme uvažovat).

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Konjunktivní metoda

Konjunktivní metoda spočívá v tom, že si zvolíme jen ty varianty,které splňují všechny nastavené podmínky (aspirační úrovně), tj. vevšech (popř. ve všech vybraných) kritériích jsou tyto varianty lepšínebo stejné než je zvolená aspirační úroveň. Ostatní variantyvyřadíme.

Disjunktivní metoda

Disjunktivní metoda uvažuje akceptovatelné všechny varianty, kteréalespoň v jednom (popř. alespoň v jednom z vybraných) kritériu jelepší nebo stejná než aspirační úroveň.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

PříkladUvažujme mladý pár, který si vybírá, do kterého města se mánastěhovat. Města chce posuzovat podle následujích kritérií:KULTURA, SPORT, DOPRAVA, VZDĚLÁVÁNÍ, SOCIÁLNÍ PÉČE,ZDRAVOTNICTVÍ, MOŽNOST ZAMĚSTNÁNÍ, NÁJEM. Požadují, abyve městě, do kterého se budou stěhovat, byl alespoň kulturní dům,mateřská škola, základní škola a poliklinika. Provedou první předvýběr zevšech měst – metodou konjunktivní – požadují, aby v zadaných třechkritériích byli splněny minimálně tyto požadavky. Obce, jež některýz těchto požadavků nesplňují rovnou vyřadí z analýzy. Dále tato rodinapožaduje, aby v obci byla pro oba možnost zaměstnání nebo byladopravní dostupnost do okresního města do 30 minut. Tedy metodoudisjunktivní vyřadí ty obce, kde nemají ani možnost práce ani dostupnostido okresního města do 30 minut.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Lexikografická metoda – princip

Lexikografická metoda vystačí pouze s ordinálními informacemio hodnocení jednotlivých variant dle jednotlivých kritériía ordinálními váhami. Jejím výstupem je také pouze ordinálníinformace o preferenci jednotlivých variant.Postup je takový, že najdeme nejdůležitější kritérium a podletohoto seřadíme jednotlivé varianty. V případě stejného ohodnocenídvou variant (či více) podle tohoto kritéria, seřadím tyto variantypodle druhého nejdůležitějšího kritéria, atd.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Lexikografická metoda – výhody a nevýhody

Tato metoda splňuje všechny požadavky kladené na metodyvícekriteriálního hodnocení variant a je velmi jednoduchá propoužití. Ovšem, tato metoda pro určení pořadí zohledňuje (až napřípady shody) pouze hodnoty v nejdůležitějším kritériu a vůbecnezohledňuje hodnoty v ostatních kritériích. Může se tedy stát, žezvolíme jako optimální variantu, která bude v nejdůležitějšímkritériu nepatrně lepší, ale ve všech ostatních kritériích mnohemhorší než jiná.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Metoda pořadí – úvod

K metodě pořadí postačuje znalost pouze ordinálních informacícho hodnocení jednotlivých variant podle jednotlivých kritérií. Tatometoda již obecně zohledňuje hodnoty všech variant podle všechkritérií. Využívá tedy již celou kriteriální matici (lexikografickáčasto využívá pouze jeden sloupec z kriteriální matice). Zároveňtaké splňuje všechny požadavky kladené na metody VHV. Jejínevýhodou je, že poskytuje (a také využívá) pouze ordinálníinformace. Máme-li tedy k dispozici kardinální hodnocení, ztrácímeinformaci.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Metoda pořadí – výpočet

Tato metoda vyžaduje od zadavatele, aby pro každé kritériumsestavil pořadí variant. Na základě tohoto pořadí se stejnýchzpůsobem jako se určovali váhy metodou pořadí najdou prvkykriteriální matice. Dále se vyrobí vážená kriteriální matice Z,jejímiž prvky budou prvky původní matice vynásobenéodpovídajícími vahami, tj. zij = vi rij . Pro každou variantu sesečtou prvky na odpovídajícím řádku vážené kriteriální matice(pi =

∑j zij) a pořadí jednotlivých variant je určeno hodnotami

těchto součtů, přičemž, čím větší součet, tím lepší varianta. Zaoptimální variantu se tedy volí ta, jejíž hodnota pi je maximální.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Bodovací metoda – úvod

Bodovací metoda je obdobná metodě pořadí (viz metody stanovenívah), jen využívá kardinální informace o preferencích jednotlivýchvariant dle jednotlivých kritérií a výsledkem je také kardinálníinformace o preferenci jednotlivých kritérií.

Také tato metoda splňuje všechny požadavky kladené na metodyvícekriteriálního hodnocení variant (za předpokladu, že zadavatelrozděluje body ve všech kritériích stejným způsobem). Nevýhodouovšem je poměrně velké a často zbytečné zatížení zadavatele(Pokud například zadal dobu dojezdnosti do zaměstnání, znovu poněm požadujeme, aby tuto dojezdnost obodoval.) Na druhoustranu, výhodou přebodování je, že ve finále budeme pracovats jeho užitkovou funkcí.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Bodovací metoda – postup

Postup bodovací metody je velmi obdobný postupu při metoděpořadí. Nejprve vyzveme zadavatele, aby každou variantu obodovalz hlediska každé varianty body – např. 0− 10.Tím získáme novou kriteriální matici. Tu můžeme znormovat tak,že body přidělené dané variantě podle daného kritéria podělímesoučtem všech bodů přidělených všem variantám podle tohotokritéria. S touto maticí již zacházíme stejně, jako s kriteriální maticív metodě pořadí. To znamená, pronásobíme tuto matici váhami,a poté sečteme vážené body udělené jednotlivým variantám.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

Metoda váženého součtu (WSA)

Tato metoda je v principu bodovací metodu, kde právě z výšeuvedených důvodů (zbytečné zatížení zadavatele), provedemepřevedení na body sami. Tj. zadané hodnoty z normalizujemepodle zadaného vzorce:

si j =ri j

maxj rij −minj rij.

Výhodou této metody je její relativní jednoduchost a získáníordinální informace. Nevýhodou je, že tato metoda není invariantnívůči přidaným neoptimálním hodnotám. Tento nedostatek můžemeodstranit použitím konjuktivních a disjunktivních metod předsamotnou optimalizací.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody

Metody vícekriteriálního hodnocení variant

TOPSIS, ELECTRE aj.

Existuje mnoho metod vícekriteriálního hodnocení variant, některéjsou výpočetně jednoduché, některé složitější. Několiknejvyuživanějších metod je implementováno např. v SANNě.SANNA je excelovské makro, které slouží právě k vícekriteriálnímuhodnocení variant a bylo vyvinuto na katedře Ekonometrie Fakultyinformatiky a statistiky Vysoké školy ekonomické v Praze. Kestažení je například na nb.vse.cz j̃ablon.

Jana Klicnarová JU

Vícekriteriální hodnocení variant – metody