Upload
phungdiep
View
222
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Tugas Akhir
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Disusun untuk Memenuhi Tugas Akhir
Mata Kuliah Pengantar Dasar Matematika
Dosen : Siti Zahra Harahap, M.Pd.
Oleh :
Kelompok 2
Aprilya Prawidya 0305162138
Dela Fitria 0305163181
Lika Malika 0305161051
Lovieanta Arriza 0305161057
Melida Andriani Nasution 0305163167
Siti Nurkholizah 0305161056
Vega Esti Handayani 0305162092
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan karunia Nya sehingga kami diberikan waktu dan
kesempatan untuk menyelesaikan tugas akhir Pengantar Dasar Matematika
dengan judul “BARISAN DAN DERET ARITMATIKA”.
Tugas akhir ini diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengantar
Dasar Matematika program studi Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah
dan Keguruan UIN Sumatera Utara - Medan. Kami menulis tugas ini untuk
membantu mahasiswa dalam menjawab dan memecahkan masalah mengenai
Barisan dan Deret Aritmatika.
Terima kasih kami ucapkan kepada semua pihak terutama Ibu Siti Zahra
Harahap, M.Pd. selaku dosen pengampu mata kuliah Pengantar Dasar
Matematika, dan termasuk juga teman-teman yang telah berpartisipasi dalam
mencari bahan-bahan untuk menyusun tugas ini sehingga memungkinkan
terselesaikan, meskipun banyak terdapat kekurangan.
Akhir kata, kami berharap mudah-mudahan tugas akhir ini dapat
memberikan sumbangan pikiran dan bermanfaat khususnya bagi kami dan
umumnya bagi pembaca. Kami menyadari bahwa tugas ini masih jauh dari
sempurna, mengingat keterbatasan kemampuan dan pengetahuan kami. Oleh
karena itu dengan terbuka dan senang hati kami menerima kritik dan saran dari
semua pihak.
Medan, Desember 2016
Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ........................................................................................ i
DAFTAR ISI........................................................................................................ ii
BAB I PEMBAHASAN
A. Latihan 6.1 Halaman 182...................................................................... 1
B. Latihan Bab 6 Halaman 208................................................................. 4
BAB II PENUTUP
A. Kesimpulan...........................................................................................14
B. Saran.....................................................................................................14
ii
BAB I
PEMBAHASAN
A. Latihan 6.1 Halaman 182
1. Tulislah bentuk penjumlahan-penjumlahan berikut dalam notasi sigma:
a. 2 + 6 + 10 + 14 + 18
b. 2 + 4 + 8 + 16 + 32
c. 1 +3 + 9 + 27
Penyelesaian
a. 2 = disebut suku pertama
6 = disebut suku ke-2
10 = disebut suku ke-3
14 = disebut suku ke-4
18 = disebut suku ke-5
Ternyata suku-suku di atas mengikuti pola tertentu. Perhatikan polanya:
Suku ke-1 = 2 = 4 . (1) - 2
Suku ke-2 = 6 = 4 . (2) - 2
Suku ke-3 = 10 = 4 . (3) - 2
Suku ke-4 = 14 = 4 . (4) - 2
Suku ke-5 = 18 = 4 . (5) - 2
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola jumlah 5 bilangan
tersebut adalah 4 . k - 2, dimana k ∈ {1,2,3,4,5 }. Maka penulisan
penjumlahan bilangan diatas adalah:
∑k =1
5
(4 . k−2)
b. 2 = disebut suku pertama
4 = disebut suku ke-2
8 = disebut suku ke-3
16 = disebut suku ke-4
1
32 = disebut suku ke-5
Ternyata suku-suku di atas mengikuti pola tertentu. Perhatikan polanya:
Suku ke-1 = 2 = 21
Suku ke-2 = 4 = 22
Suku ke-3 = 8 = 23
Suku ke-4 = 16 = 24
Suku ke-5 = 32 = 25
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola jumlah 5 bilangan
tersebut adalah 2k, dimana k ∈ {1,2,3,4,5 }. Maka penulisan penjumlahan
bilangan diatas adalah:
∑k =1
5
2k
c. 1 = disebut suku pertama
3 = disebut suku ke-2
9 = disebut suku ke-3
27 = disebut suku ke-4
Ternyata suku-suku di atas mengikuti pola tertentu. Perhatikan polanya:
Suku ke-1 = 1 = 30
Suku ke-2 = 3 = 31
Suku ke-3 = 9 = 32
Suku ke-4 = 27 = 33
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa pola jumlah 4 bilangan
tersebut adalah 3k , dimana k ∈ {0 ,1,2,3 }. Maka penulisan penjumlahan
bilangan diatas adalah:
∑k =1
4
3k
2. Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan:
2
a .∑k=1
6
(2 k2¿+3)¿
b .∑k=1
5
(3 k−4)
c .∑k=1
(k 2¿+2 k )¿
Penyelesaian
a .∑k=1
6
(2 k2¿+3)¿
2 .(1)2+3=5
2 .(2)2+3=11
2 .(3)2+3=21
2 .(4 )2+3=35
2 .(5)2+3=53
2 .(6)2+3=75
Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :
5 + 11 + 21 + 35 + 53 + 75
b .∑k=1
5
(3 k−4)
3 . (1 )−4=−1
3 . (2 )−4=2
3 . (3 )−4=5
3 . (4 )−4=8
3 . (5 )−4=11
Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :
-1 + 2 + 5 + 8 + 11
c .∑k=1
(k 2¿+2 k )¿
12+2 (1 )=3
3
22+2 (2 )=8
32+2 (3 )=15
42+2 (4 )=24
52+2 (5 )=35
Jadi Barisannya adalah :
3 + 8 + 15 + 24 + 35 + … + … + …
B. Latihan Bab 6 Halaman 208
1. Tuliskan n suku barisan aritmatika jika diketahui:
a. a1 = 3, b = 4, n = 5
b. a1 = 17, b = -2, n = 6
c. a3 = 8, a4 = 11, n = 5
d. a2 = 0, a5 = -6, n = 6
e. a3 = 7, a6 = 13, n = 7
Penyelesaian
a. U 1 = 3
U 2 = U 1+4
= 3+4
= 7
U 3 = U1+2(4)
= 3+2(4)
= 11
U 4 = U 1+3(4)
= 3+3(4)
= 15
U 5 = U 1+4 (4)
= 3+4(4)
= 19
4
Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :
3 + 7 + 11 + 15 + 19
b. U 1 = 17
U 2 = U 1+(−2)
= 17+(−2)
= 15
U 3 = U1+2(−2)
= 17+2(−2)
= 13
U 4 = U 1+3(−2)
= 17+3 (−2)
= 11
U 5 = U1+4 (−2)
= 17+4(−2)
= 9
U 6 = U 1+5(−2)
= 17+5 (−2)
= 7
Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :
17 + 15 + 13 + 11 + 9 + 7
c. U 3 = 8
U 4 = 11
b= U4 - U3 = 11 - 8 = 3
U2 = U 3−b
= 8−3
= 5
U 1 = U 2−b
= 5−3
= 2
5
U 5 = U 1+(n−1 )b
= 2+ (5−1 )3
= 2+( 4 ) 3
= 14
Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :
2 + 5 + 8 + 11 + 14
d. a2=a+b
a5=a+4b
a+b=0a+4 b=−6
−¿
−3b=6
b=−2
a+b=0
a+(−2)=0
a=2
U 1 = a=2
U 2 = a+b=2+ (−2 )=0
U 3 = a+2b=2+2 (−2 )=−2
U 4 = a+3b=2+3 (−2 )=−4
U 5 = a+4b=2+4 (−2 )=−6
U 6 = a+5b=2+5 (−2 )=−8
Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :
2 + 0 + (-2) + (-4) + (-6)+(-8)
e. U3=a+2 b
U6=a+5 b
a+2b=7a+5b=13
−¿
6
−3b=−6
b=2
a+2b=7
a+2(2)=7
a=7−4
a=3
U 1 = a=3
U 2 = a+b=3+2=5
U 3 = a+2b=3+2 (2 )=7
U 4 = a+3b=3+3 (2 )=9
U 5 = a+4b=3+4 (2 )=11
U 6 = a+5b=3+5 (2 )=13
U 7 = a+6 b=3+5 (2 )=15
Jadi Barisan Aritmatikanya adalah :
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
2. Tentukan nilai x jika 3 x−1 , 1−2 x dan 2 x−5 merupakan suku-suku
berurutan dari barisan aritmatika!
Penyelesaian
3 x−1⏟U 1
, 1−2x⏟U2
, 2 x−5⏟U 3
Nilai x
U2−U 1=U 3−U 2
(1−2 x )−(3 x−1 )= (2 x−5 )−(1−2 x )
2−5 x=4 x−6
2+6=4 x+5 x
8=9 x
x=89
3. Tentukan nilai x dan y
3 x− y ,2 x+ y , 4 x+3 , dan3 x+3 y,
Merupakan suku suku berurutan dari suatu barisan aritmatika.
Penyelesaian
7
3 x− y⏟U 1
, 2 x+ y⏟U 2
, 4 x+3⏟U 3
, 3 x+3 y⏟U 4
U2−U 1=U 4−U3
2 x+ y−(3 x− y )=3 x+3 y−(4 x+3)
2 y−x=3 y−x−3
− y=−3
y=3
U 2−U 1=U 3−U 2
2 x+ y−(3 x− y )=4 x+3−(2 x+ y )
2 y−x=2 x− y+3
2. (3 )−x=2 x−(3)+3
6−x=2 x
x=2
Jadi nilai x dan y adalah {2 ,3 }
4. Tunjukan jika a , b , c dan x , y , z merupakan dua barisan aritmatika, maka
a+x , b+ y , c+z merupakan barisan aritmatika.
Penyelesaian
Barisan I ¿a , b , c
Barisan II¿ x , y , z
Barisan III¿a+x , b+ y , c+ z
Misal : a=2 , b=4 , c=6
x=3 , y=6 , z=9
Barisan III¿2+3 , 4+6 , 6+9
¿5 ,10 ,15
Jadi jika beda pada barisan I "p" dijumlahkan dengan beda barisan II
"q", maka hasilnya beda pada barisan III.
5. Berapakali jam berdentang selama 24 jam jika jam tersebut hanya
berdentang tiap jam, dan berdentang satu kali pada pukul 1, dua kali pada
pukul 2, tiga kali pada pukul 3 dan seterusnya.
Penyelesaian
8
Diketahui :
n=24
U 1=1
U 2=2
U 3=3
b=U 2−U 1=2−1=1
Ditanya :
S24=…?
Jawab :
Sn=n2 (2 a+(n−1 )b )
S24=242 (2 .(1)+ (24−1 )1 )
S24=12 (2+23 )
S24=12 (25 )
S24=300
Jadi selama waktu 24 jam berdentang sebanyak 300 kali.
6. Suatu benda padat jatuh secara vertikal 16 meter selama detik pertama, 48
meter pada detik kedua, 80 meter selama detik ketiga dan seterusnya,
seberapa jauh benda tersebut jatuh pada detik ketujuh, dan berapa jarak yang
ditempuh benda tersebut selama tujuh detik pertama?
Penyelesaian
Diketahui :
U1=16
U2=48
U3=80
Ditanya :
U 7=…?, S7=…?
Jawab :
9
U 1=16
b=U 2−U 1
b=48−16
b=32
U7=a+6 b
U 7=16+6(32)
U7=16+192
U7=208
S7=n2[2 a+6 b]
S7=72[2 .(16)+6 .(32)]
S7=72[32+192]
S7=72[224]
S7=784
7. Sita mendapat nilai 64 pada tes pertama dan mendapat 7 poin lebih tinggi
pada tiap tes berikutnya. Berapakah nilainya pada tes kelima? Dan
berapakah nilai rata-rata dari lima tes tersebut?
Penyelesaian
Diketahui :
U1=64
b=7
Ditanya :
U 5=…?
Nilai rata-rata = ...?
Jawab :
U 5=a+4b
10
U 5=64+4(7)
U5=64+28
U 5=92
Nilai rata-rata:
Sn=n2[2 a+4 b]
S5=52[2.(64)+4 .(7)]
S5=52[128+28]
S5=52[156]
S5=390
Jadi nilai rata-ratanya ¿S5
5=390
5=78
8. Sebuah mesin seharga Rp5.800.000,- mengalami penyusutan sebesar 15%
pada tahun pertama, 13,5% pada tahun kedua, 12% pada tahun ketiga dan
seterusnya. Berapa rupiahkah nilai mesin tersebut pada tahun kesembilan
setelah mengalami penyusutan?
Penyelesaian
Harga = Rp5.800.000,-
U1=5.800 .000 x15 %
U1=5.800 .000−870.000
U1=4.930 .000
b=15 %−13,5 %=1,5 %
b=5.800 .000 x 1,5 %
b=87.000
U1=4.930 .000
U9=a+8 b
U 9=4.930 .000+8(−87.000)
U9=4.930 .000−696.000
11
U9=4.234 .000
9. Tentukan tiga angka yang disisipkan antara 3 dan 15 sehingga menjadi
barisan aritmatika!
Penyelesaian
Diketahui :
x=3 , y=15 , n=5
Ditanya :
3 angka yang disisipkan antara 3 dan 15 = ...?
Jawab :
b= y−xn−1
=15−35−1
=124
=3
Barisan Aritmatika : 3 , 6 , 9 ,12 , 15
Jadi 3 angka yang disisipkan adalah : 6 ,9 , dan 12
10. Tentukan lima angka yang disisipkan antara 3 dan 15 sehingga menjadi
barisan aritmatika!
Penyelesaian
Diketahui :
x=3 , y=15 , n=7
Ditanya :
5 angka yang disisipkan antara 3 dan 15 = ...?
Jawab :
b= y−xn−1
=15−37−1
=126
=2
Barisan Aritmatika : 3 , 5 ,7 ,9 , 11 ,13 ,15
Jadi 5 angka yang disisipkan adalah : 5, 7 , 9 , 11dan13
11. Sisipkan 4 angka antara 10 dan -10 sehingga menjadi barisan aritmatika!
12
Penyelesaian
Diketahui :
x=10 , y=−10 , n=6
Ditanya :
4 angka yang disisipkan antara 10 dan -10 = ...?
Jawab :
b= y−xn−1
=−10−106−1
=−205
=4
Barisan Aritmatika : 10 ,6 ,2,−2 ,−6 ,−10
Jadi 4 angka yang disisipkan adalah : 6 ,2 ,−2 , dan−6
12. Sisipkan 6 angka antara 18 dan 7,5 sehingga menjadi barisan aritmatika!
Penyelesaian
Diketahui :
x=18 , y=7,5 , n=8
Ditanya :
6 angka yang disisipkan antara 18 dan 7,5 = ...?
Jawab :
b= y−xn−1
=7,5−188−1
=−10,57
=−1,5
Barisan Aritmatika : 18 , 16.5 ,15 , 13.5 ,12 , 10.5 ,9 ,7.5
Jadi 6 angka yang disisipkan adalah : 16.5 ,15 ,13.5 ,12 ,10.5 , dan 9
BAB II
13
PENUTUP
A. Kesimpulan
Notasi Sigma digunakan untuk menyingkat penjumlahan dengan menggunaan
huruf kapital Yunani Ʃ. Notasi sigma akan banyak dijumpai penggunaannya
dalam bagian matematika yang lain misalnya dalam mata kuliah Statistik untuk
menghitung rumus rata-rata (mean) dan simpangan baku atau ragam, kolerasi dan
lain-lain. Juga dalam hitung keuangan sebagaian menggunakan notasi sigma
untuk mengitung bunga majemuk maupun anuitas.
Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan satu bilangan tertentu yang
bisa ditambahkan pada suku keberapa pun untuk mendapatkan suku berikutnya.
Dengan demikian jika U1 ,U 2 ,U 3 ,…,U n ,… merupakan barisan aritmatika dengan
selisih (beda) antar suku sama, (common diference) yaitu b. Bentuk umum barisan
aritmatika seperti berikut : U1, U2, U3, ...... , Un-1 atau a, a + b, a + 2b,……, a +
(n-1) b
Keterangan :
U1 = a = suku pertama
Un - Un-1 = beda = b
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku / urutan suku
Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n =
1,2,3,……
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah
suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un.
Maka: Sn = 1/2 n (a + Un).
B. Saran
Semoga dengan selesainya tugas ini, diharapkan agar para pembaca khususnya
mahasiswa UINSU Medan dapat lebih mengetahui dan memahami tentang
Barisan dan Deret Aritmatika. Kami selaku penulis memohon kritik dan saran dari
para pembaca menegenai tugas kami demi kesempurnaan kedepannya.
14