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hoangminh
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Sea la función f(x) continua en el intervalo [a,b], donde a y b son números reales y sea S el área bajo la curva de dicha función, como se indica en la siguiente figura:
Para calcular el área (S) bajo la curva f(x), desde la recta vertical x = a hasta la recta vertical x = b, podemos dividir la región en rectángulos de base igual a Δx y altura f(xi); por lo tanto, el área de cada rectágulo (Ai) se obtiene multiplicando la
altura f(xi) con la base Δx así:
Ai = f(xi)*Δx
Sumando todos las rectángulos obtendremos el área S; Esta sumatoria es llamada sumatoria de Remann (Rn), como se muestra en al siguiente figura:
Sea n el número de rectángulos que se utilizan, entonces, el valor de Δx se obtiene dividiendo el intervalo [a,b] con el número de rectángulos así:
Δx = b−an
Lógicamente, mientras dividamos el área en más rectángulos, más preciso es el cálculo del área, por lo tanto,
S=∑i=1
n
f ( x i )∗¿ Δx ¿
Como la base Δx es constante, aplicando las propiedades de las sumatoria se obtiene:
S=Δx∑i=1
n
f ( x i)
Las alturas f(xi) se calculan así:
La primera altura se calcula en x = a, osea, f(a).
La siguiente altura se calcula en x1, osea, f(x1), donde x1 = a + Δx.
La que sigue se calcula en x2, osea, f(x2), donde x2 = a + 2Δx.
La que sigue se calcula en x3, osea, f(x3), donde x3 = a + 3Δx y así sucesivamente.
En general xi = a + nΔX, por lo tanto, f(xi) = f(a + nΔX).
La última altura se calcula con x = b, osea, f(b)
Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, lógicamente, mientras más rectángulos más precisos son los cálculos obtenidos, entonces:
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y llamemos Δx = h, como se muestra en la siguiente figura:
S= lim ¿n→∞∑i=1
n
f (x i)∗h
Como se estudió en la demostración de la derivada de una función, cuando el número de rectángulos (n) tiende a infinito, h tiende a cero; en este punto h se
convierte en un diferencial de x (dx), entonces:
S= lim ¿n→∞∑i=1
n
f (x i)∗dx
La expresión del miembro derecho de la igualdad es conocida como la integral de la función desde a hasta b y se denota como:
∫a
b
f (x )dx
Por lo tanto se pude calcular S con integrales, así::
S=∫a
b
f (x )dx
Aplicando con el Teorema Fundamental del Cálculo obtenemos:
∫a
b
f (x )dx=F (b )−F (a)
Donde F (b ) y F (a) son las antiderivadas de la función evaluadas en b y en a. Por lo tanto:
S = F (b )−F (a)
A manera de ejemplo tomemos la función y = x2 y calculemos su áres en el intervalo [0,1] como se muestra en la siguiente figura
En esta oportunidad utilizaremos 8 rectángulos, entonces, n = 8Cada rectángulo tiene 2 alturas, una cuando es tangente a la curva por la
izquierda del rectángulo y otra cuando es tangente a la curva por la derecha del rectángulo como se muestra en la siguiente figura:
Debemos calcular los dos valores del área total y promediarlos.
Comencemos calculando la base de cada rectángulo Δx, entonces, el intervalo es [0,1] y el número de rectángulos que se utilizarán es 8, por lo tanto se obtiene
a = 0, b= 1 y n = 8, entonces,
Δx = b−an = =
1−08 = =
18
Ahora calculemos las alturas:
f(a) = F(0) = 02 = 0
f(x1) = f(a+Δx) = f(0+18 ) = f(
18) = (18)2 = 164
f(x2) = f(a+2Δx) = f(0+(2*18)) = f (
28) =f ( 14 ) = (14 )2 = 116
f(x3) = f(a+3Δx) = f(0+(3*18)) = f(
38) = (38)2 = 964
f(x4) = f(a+4Δx) = f(0+(4*18)) = f(
48 ) = f(12) = (12)
2 = 14
f(x5) = f(a+5Δx) = f(0+(5*18)) = f(
58) = (58)2 = 2564
f(x6) = f(a+6Δx) = f(0+(6*18)) = f (
68) = f(34 ) = (34 )2 = 916
f(x7) = f(a+7Δx) = f(0+(7*18)) = f (
78) = (78)2 = 4964
f(b) = f(1) = 12 = 1Primero calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda,
entonces,
S I=Δ x∑i=1
n
f (xi) = Δx∑i=1
8
f (xi) = Δx (f(a)+f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5)+f(x6)+f(x7))
Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:
SI = 18 * (0+
164 +
116 +
964 +
14 +
2564 +
916 +
4964 ) =
18 *
3516 =
35128 U2
Ahora calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda, entonces,
SD = Δ x∑i=1
n
f (xi) = Δx∑i=1
8
f (xi) = Δx (f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5)+f(x6)+f(x7)+f(b))
Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:
S = 18 * (
164 +
116 +
964 +
14 +
2564 +
916 +
4964 + 1) =
18 *
5116 =
51128 U2
Por último promediando SI con SD obtenemos:
S = S i+Sd2 =
35128
+ 511282
= 861282
= 43128 U2
Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, entonces:
S=∫a
b
f (x )dx=F (b )−F(a)
Aplicando las antiderivadas de la función evaluadas en b y en a
S = ∫0
1
x2dx = x3
3 ]10 =
(1)3
3 - (0)3
3 = 13 U2
Comparando las dos respuestas, el error obtenido en el primer cálculo fue de:
%E = (Sf−Si)Sf
∗100
( 13− 43128
)
13
∗100 =
−138413
∗100 = −3384
∗100=−100128
%=−2532 % = −0,78%
Quiere decir esto, que la primera respuesta estuvo por encima del valor real en un 0,78%
Sean la funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a,b], donde a y b son números reales y se debe cumplir que f(x) ≥ g(x) en todo el intervalo. Sea S el
área entre la curva de dichas función, como se indica en la siguiente figura:
Para calcular el área (S) entre las curvas f(x) y g(x), desde la recta vertical x = a hasta la recta vertical x = b, podemos dividir la región en rectángulos de base igual
a Δx y altura f(xi); por lo tanto, el área de cada rectágulo (Ai) se obtiene multiplicando la altura f(xi) con la base Δx así:
Ai = (f(xi)-g(xi))*Δx
Sea n el número de rectángulos que se utilizan, entonces, el valor de Δx se obtiene dividiendo el intervalo [a,b] con el número de rectángulos así:
Δx = b−an
Lógicamente, mientras dividamos el área en más rectángulos, más preciso es el cálculo del área, por lo tanto,
S=∑i=1
n
( f (x i )−g(x ))∗Δx
Como la base Δx es constante, aplicando las propiedades de las sumatoria se obtiene:
S=Δx∑i=1
n
f ( x i)−g (x)
Las alturas f(xi) se calculan así:
La primera altura se calcula en x = a, osea, f(a).
La siguiente altura se calcula en x1, osea, f(x1), donde x1 = a + Δx.
La que sigue se calcula en x2, osea, f(x2), donde x2 = a + 2Δx.
La que sigue se calcula en x3, osea, f(x3), donde x3 = a + 3Δx y así sucesivamente.
En general xi = a + nΔX, por lo tanto, f(xi) = f(a + nΔX).
La última altura se calcula con x = b, osea, f(b)
Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, lógicamente, mientras más rectángulos más precisos son los cálculos obtenidos, entonces:
Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b] y llamemos Δx = h, como se realizó en la demostración del área bajo la curva, entonces:
S= lim ¿n→∞∑i=1
n
( f ( x i )−g (xi ))∗h
Como se estudió en la demostración de la derivada de una función, cuando el número de rectángulos (n) tiende a infinito, h tiende a cero; en este punto h se
convierte en un diferencial de x (dx), entonces:
S=lim ¿n→∞∑i=1
n
( f ( x i )−g (xi ))∗dx
Por lo tanto se pude calcular S con integrales, así::
S=∫a
b
( f ( x )−g ( x ))dx
Sea la función h ( xi )= f (xi )−g(xi) ,entonces
Aplicando con el Teorema Fundamental del Cálculo obtenemos:
S=∫a
b
( f ( x )−g ( x ))dx=∫a
b
h (x )dx=H (b )−H (a)
Donde H (b ) y H (a) son las antiderivadas de la función resultante evaluadas en b y en a. Por lo tanto:
S = H (b )−H (a)
A manera de ejemplo tomemos las funciones yT = f(x) = 2x - x2 y yB = g(x) = x2, como se muestra en la siguiente figura y calculemos el área entre las curvas en el
intervalo [0,1]
En esta oportunidad utilizaremos 6 rectángulos, entonces, n = 6Cada rectángulo tiene 2 alturas, una cuando es tangente a las curva por la
izquierda del rectángulo y otra cuando es tangente a la curva por la derecha del rectángulo.
Debemos calcular los dos valores del área total y promediarlos.
Comencemos calculando la base de cada rectángulo Δx, entonces, el intervalo es [0,1] y el número de rectángulos que se utilizarán es 8, por lo tanto se obtiene
a = 0, b= 1 y n = 6, entonces,
Δx = b−an = =
1−06 = =
16
Ahora calculemos las alturas:
Sea la función h ( xi )=f (xi )−g(xi) = 2x – x2 – x2 = 2x – 2x2,entonces
h (a) = f(0) = 2(0) – 2(0)2 = 0
h(x1) = h(a+Δx) = h(0+16 ) = h(
16) = 2(
16) – 2(
16)2 =
26− 236
=1036 = 518
h(x2) = h(a+2Δx) = h(0+(2*16)) = h(
26) =f ( 13 ) = 2( 1
3) – 2( 1
3)2 =
23−29=49
h(x3) = h(a+3Δx) = h(0+(3*16)) = h(
36) = f(12) = 2( 1
2) – 2( 1
2)2 =
22 –
24 = 12
h(x4) = h(a+4Δx) = h(0+(4*18)) = h(
46 ) = f(23) = 2( 2
3) – 2( 2
3)2 =
43 –
89 = 49
h(x5) = h(a+5Δx) = h(0+(5*16)) = h(
56) = 2( 5
6) – 2( 5
6)2 =
106 –
5036 = 1036 = 518
h(b) = h(1) = 2(1) – 2(1)2 = 0
Primero calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda, entonces,
S I=Δ x∑i=1
n
h(xi) = Δx∑i=1
8
h(xi) = Δ x (h(a)+h(x1)+h(x2)+h(x3)+h(x4)+h(x5))
Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:
SI = 16 * (0+
518 +
49 +
12 +
49 +
518) =
16 *
3518 =
35108 U2
Ahora calculemos el área con las alturas tangentes a la curva por la izquierda, entonces,
SD = Δ x∑i=1
n
h(xi) = Δx∑i=1
8
h(xi) =
Δx∗¿ (h(x1)+h(x2)+h(x3)+h(x4)+hf(x5)+h(b))
Reemplazando los valores correspondientes obtenemos:
SD = 16 * (
518 +
49 +
12 +
49 +
518+0) =
16 *
3518 =
35108 U2
Por último como obtuvimos el mismo resultado, SI con SD obtenemos:
S = 35108 U2
Ahora calculemos S cuando n tiende a infinitos rectángulos, entonces:
S=∫a
b
( f ( x )−g ( x ))dx=∫a
b
h(x)dx=H (b )−H (a)
Aplicando las antiderivadas de la función evaluadas en b y en a
S = ∫0
1
(2x –2 x2¿)¿dx = ( 2x2
2−2x
3
3)]10 = (1)2−
2 (1)3
3−¿ (0)2+¿
2(0)3
3=¿
13 U2
Comparando las dos respuestas, el error obtenido en el primer cálculo fue de:
%E = (Sf−Si)Sf
∗100
( 13− 35108
)
13
∗100 =
−810813
∗100 = −827
∗100=−8027
%=¿ −2 ,96%
Quiere decir esto, que la primera respuesta estuvo por encima del valor real en un 2,96% debido a que se utilizaron pocos rectángulos.