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Deformaciones por Flexion en Vigas
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METODO DE DOBLE INTEGRACION
x
y
Eje deformado
de la viga
Eje inicial de la viga
sin deformar
Seccin de la viga
sin deformar
Giro de la
seccin
Flecha de la
seccin
A una distancia x del origen o, la seccin de estudio de la viga, por efecto de las cargas que actan sobre ella, experimenta dos tipos de deformaciones:
: Giro de la seccin o deformacin angular y: Flecha de la seccin, tambin denominado desplazamiento lineal
En la seccin de estudio, en su configuracin deformada:
Tg = dy = (por ser pequeo) dx
Luego: = dy d = d2y dx dx dx2
d
Se cumple:
dx d
1 = d 1 = d2y dx dx2
Pero de la teora de flexin de vigas:
1 = M EI d2y = M EI dx2
Esta ecuacin se denomina, ecuacin
diferencial del eje deformado de la viga
o simplemente: elstica
EI d2y = M dx2
Al producto EI, se le llama rigidez a la deformacin por flexin. Ecuacin diferencial con variables separables, la solucin es:
Primera integracin :
EI dy = Mdx + C1 ; como dy = dx dx
EI = Mdx + C1 Ecuacin de giros
Segunda integracin :
EIy = Mdxdx + C1x + C2 Ecuacin de la elstica
Las constantes C1 y C2 , se obtienen de la condicin de bordes o
extremos de la viga
Ejemplos: P
B
B A
Elstica o
deformada
yB 0 B 0
A = 0 yA = 0
A B
A B q
Elstica o
deformada
A 0 yA = 0
B 0 yB = 0
P
q P
Elstica
o flecha
A B
A = 0 yA = 0
B = 0 yB = 0
Elstica o
deformada
P
A B C
q
A = 0 yA = 0
Bi 0 Bd 0 yB 0
c 0 yc = 0
E = 2 * 105 Kg/cm2
Eiy = M = -12 + 2 (t.m)
EIy` = -12x + 2 + C1 (t.m2)
EIy = -6x2 + 3 + C1x + C2 (t.m3) 3 Para x=2, yB = 0 : -6(2)
2 + 2C1 + C2 = 0
Para x=8, yc = 0 : -6(8)2 + (63)/3 + 8C1 + C2 = 0
Resolviendo: C1 = 48 y C2 = -72
(x - 2)2 12x + 48 = 0 x2 4x + 4 -12x + 48 = 0 x2 16x + 52 = 0
x` = 16 162 4(1)(52) 2
x = 8 3,464 x = 4,536 m EIy = 27,713
11
2 m 6 m
Para la viga mostrada, calcular la flecha mxima en el tramo BC
2t 2t
A C B
x
12 t.m
Ymax = 27,713
EI
IEN = 1 (30 * 103 + 10 * 303) 600(5)2
3
IEN = 85000 cm4
Ymax = 27,713 * 109 = 1,63 cm
85000 * 2 * 105
10 10 10cm
10cm
30
15
EN
P P
2P
A B C D E
2 m 3 3 2
P P
2P
A B C D E
2P 2P
2 m 3 3 2
- -
+ +
P
P
P
P
-
+
-
2P 2P
P
Iz = 24 * 363 = 93312 cm4
12
Q = 24 * 18 * 9 = 3888 cm3
= 2P * 102 * 18 600 P 15552 Kg 93312
= P * 3888 60 P 34560 Kg 93312 * 24
EIy = 2P - Px (Kg.m)
EIy = - P x2 + P 2 + C1 2
EIy = - P x3 + P 3 + C1x + C2 6 3
36
24
18
EN
Cuando x = 2 yB = 0 - P * 8 + 2C1 + C2 = 0 6
x = 5 yc = 0 yc = - 25 P + 9P + C1 = 0 2
C1 = 25 18 P C1 = 7 P 2 2
- 4 P + 7P + C2 = 0 C2 = - 17 P 3 3
EIy = - P x3 + P 3 + 7 Px - 17 P 6 3 2 3
x = 0 yA = - 17 * P
3 EI
x = 5 EIyc = - 125 P + 27 P + 35 P 17 P 6 3 2 3
EIyc = (-125 + 54 + 70 - 34) P yc= - 35 * P
6 6 EI
ymax = - 35 * P
6 EI
35 * P * 106 1
6 EI
P 1 * 6 * 2,4 * 105 * 93312 35 * 106
P 3839,12 Kg
Problema
R1 = 100 N
R2 = 200 N x
y A
C B
Y
X
300 N
2 m 1 m
EI d2y = M = ( 100x 300 < x 2 >) N.m dx2
EI dy = ( 50 x2 150 < x 2 >2 + C1) N.m2
dx
EIy = 50 x3 50 < x - 2>3 + C1x + C2 N.m3
3
1. En A, para X = 0, la ordenada Y = 0. Sustituyendo estos valores en la
ecuacin se obtiene C2 = 0. recordemos que < x 2 >3 no existe para
valores de X menores que 2, que haran negativo el parntesis.
2. En el otro apoyo para X = 3, la ordenada tambin es nula. Conocido C2 = 0 y
sustituyendo en la expresin, se obtiene
0 = 50 (3)3 50 (3 2)3 + 3C1 o C1 = - 133 N.m2
3
3. Determinadas las constantes de integracin y sustituidos sus valores ,
se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de la ordenada de la
elstica en su forma convencional
Tramo AB (0 x 2)
EI dy = (50 x2 133) N.m2
dx
EIy = 50 x3 133x N.m2
3
Tramo BC (2 x 3)
EI dy = [50 x2 150 (x 2)2 133] N.m2
dx
EIy = 50 x3 50 (x 2)3 133x N.m3
3
50 x2 133 = 0 o x = 1,63 m
EIymax = - 145 N.m3
Expresando E en N/m2 e I en m4, se obtiene y en m.
Por ejemplo, si:
E = 10 * 109 N/m2 e I = 1,5 * 106 mm4 = 1,5 * 10-6 m4
El valor de y es:
(10 * 109) (1,5 * 10-6)y = -145
y = -9,67 * 10-3 m = - 9,67 mm
600 N
A B C
R1 = 500 N
1 m 3 m 2 m 2 m
R2 = 1300 N
X
Y
E
600 N
A B C
D R1 = 500 N
1 m 3 m 2 m 2 m
R2 = 1300 N
X
Y
E
400 N/m
400 N/m
400 N/m
Problema
A
B C
D E
Y
X
400 N/m
R1 = 500 N R2 = 1300 N
1 m 3 m 2 m 2 m
EI d2y = M = 500x 400 < x 1>2 + 400 < x 4 >2 + 1300 < x 6> N.m dx2 2 2
EI dy = 250x2 200 < x 1 >3 + 200 < x 4 >3 + 650 < x 6 >2 + C1 N.m2
dx 3 3
EIy = 250x3 50 < x 1 >4 + 50 < x 4 >4 + 650 < x 6 >3 + C1x + C2 N.m3
3 3 3 3
600 N
0 = 250 (6)3 50 (5)4 + 50 (2)4 + 6 C1 o C1 = - 1308 N.m2
3 3 3
EIy = 250 (3)3 50 (2)4 1308 (3) = - 1941 N.m3
3 3
EIy = 250 (8)3 50 (7)4 + 50 (4)4 + 650 (2)3 1308 (8) = - 1814 N.m3
3 3 3 3
Problema : Calcular las reacciones en los apoyos. Considere EI = cte
400 N
A B C
Rc RA
2 m 1 m
Mc
EI d2y = Mc + Rcx 400 < x 2 > dx2
EI dy = Mcx + Rcx2 200 2 + C1
dx 2
EIy = Mcx2 + Rcx
3 200 < x 2 >3 + C2 2 6 3 = 0
= 0
Mc + 3 Rc 400(1) = 0
Mc (3)2 + Rc (3)
3 200 (1)3 = 0 2 6 3
Rc = 193 N y Mc = 179 N.m
RA = 207 N
Problema: Calcular las reacciones en los apoyos . Considere EI = cte
A B
900 N/m
1 m 3 m
MA
MB
Y
X
EI d2y = MA + RAx 900 < x 1 >2
dx2 2
EI dy = MAx + RAx2 150 < x 1 >3 + C1
dx 2
EIy = MAx2 + RAx
3 150 < x 1 >4 + C2 2 6 4
= 0
= 0
RA RB
4MA + (4)2 RA /2 150 (3)
3 = 0
(4)2MA + (4)3 RA /6 150 (3)
4 = 0
RA = 949 N y MA = - 886 N.m
(F)Y = 0 : RB + 949 900 (3) = 0 RB = 1751 N
(M)B = 0 : -886 + 949(4) 900(3)(1.5) - MB = 0 MB = -1140 N.m
Problema: Calcular las reacciones en los apoyos y dibujar DFC y DMF
RC
MA
RA
3 m 1 m 1 m
36 t/m 12 t
A B C D
+
-
+
+
- -
78,82
0,81 m
2,19 m
29,18
12
57,28 12
29 17,18
EIy = - MA + RAx 36 x2 + 36 < x 3 >2 + Rc < x 4 >
2 2
EIy = - MAx + RAx2 6x3 + 6 < x 3 >3 + Rc < x 4 >2 + C1
2 2
EIy = - MAx2 + RAx
3 3x4 + 3 < x 3 >4 + Rc 3 + C1x + C2 2 6 2 2 6
X = 0 yA = 0 C1 = 0 ; yA = 0 C2 = 0
X = 4 yC = 0: - 8 MA + 32 RA 384 + 3 = 0
- 24 MA + 32 RA = 1147,5
- 3 MA + 4 RA = 143,44
(M)c = 0: - MA + 4 RA ( 36 * 3 )(2,5) + 12 = 0 - MA + 4 RA = 258
3 MA 4 RA = -143,44
2 MA = 114,56 MA = 57,28 RA = 78,82
RC = 41,18