Vigas y Marcos-segundo Tema

7/24/2019 Vigas y Marcos-segundo Tema

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VIGAS Y MARCOS

Conceptos fundamentales

a.

Diagrama de Cuerpo Libre

Una de las herramientas ms tiles a la disposicin del analista, es el Diagrama deCuerpo Libre: es un croquis de una componente estructural con todas las fuerzas que actan

sobre ella. Puede ser de toda una estructura o puede ser una parte de una estructura msgrande. En la Fig. 1-b. se muestra un diagrama de cuerpo libre para toda la estructura;mientras que Fig. 1-c, si el cuerpo se corta a lo largo de la lnea a-a (Fig. 1-a), un diagramade cuerpo libre de cada seccin debe indicar los esfuerzos internos que actan sobre la carade corte (Fig. 1-c).

La seleccin juiciosa de diagrama de cuerpo libre y el anlisis subsecuente de cadacomponente estructural, es fundamental al campo del anlisis estructural.b. Ecuaciones bsicas de equilibrio.

Como sabemos, una estructura esta en equilibrio cuando esta inicialmente en reposo y

continua as cuando se sujeta a la accin de un conjunto de fuerzas.Para un cuerpo general tridimensional:Fx=0; Fy=0; Fz=0Mx=0; My=0; Mz=0

Para un cuerpo bidimensional:

(c)

MaMa

Ma

VV

MM

y

x

oM

o

RB


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Conjuntos Alternos de Ecuaciones de Equilibrio:

Fx 0 ;MA=0; MB=0 Donde la recta AB no debe serperpendicular al eje x.

Fy 0 ;MA=0; MB=0 Donde la recta AB no debe ser perpendicular al eje y.MA=0; MB=0; MC=0 Donde los puntos A, B y C no deben estar a lo largo de una

lnea recta.

Casos especiales de equilibrio para cuerpos bidimensionales:1- Fuerzas concurrentes.

2- Fuerzas Paralelas

z

F1

F3

F2

Mz 0


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b. Determinacin e indeterminacin esttica en vigas y marcos:

La clasificacin esttica de la estructura depende de la cantidad de componentes reactivasdesconocidas y del arreglo de las componentes reactivas. Para encontrar las incgnitascontamos con 3 ecuaciones de equilibrio esttico por tanto:

Si N Incgnitas = N de ecuaciones (3) La estructura es estticamente Determinadasiempre y cuando la reacciones no sean concurrentes ni paralelas.

Si N Incgnitas > N de ecuaciones (3) hay ms incgnitas que ecuaciones paradeterminarlas y la estructura se clasifica estticamente Indeterminadas.

Si N Incgnitas < N de ecuaciones (3) hay menos incgnitas que ecuaciones, y laestructura se clasifica como Inestable.

Si N Incgnitas (3) la estructura no es necesariamente estable. Cuando lascomponentes reactivas no estn adecuadamente arregladas para asegurar la estabilidad, sedice que la estructura es Geomtricamente Inestable.

Ejemplos:

# ESTRUCTURACOMPONENTESREACTIVAS(INCGNITAS)

CLASIFICACIN

1 3 # inc = 3, determinadas estable.

2 4 # inc > 3; Indeterminada, estable

3 2 # inc < 3; Inestable

4 5 # inc > 3; Indeterminada, estable

5 3 # inc = 3, Geomtricamente Inestable.

6 3 # inc = 3, Geomtricamente Inestable.


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Grados de indeterminacin:

Se define como la diferencia entre el nmero de fuerzas desconocidas y el nmerodisponible de ecuaciones de equilibrio, para obtener estas incgnitas. A estas fuerzasadicionales se les llama Redundantes. As por ejemplo para el ejemplo anterior # 2

tenemos:GDI = NI -NE# Incgnitas = 4; # de ecuaciones = 3 4-3 = 1, es Indeterminada en Primer Grado.

Estructuras con condiciones especiales de construccin:

Algunas estructuras estn formadas por varios cuerpos rgidos, parcialmente unidos entre sde algn modo, por bielas, rodillos, o articulaciones, y en cada caso, estos detalles puedentransmitir solo un cierto tipo de fuerza, de una parte de la estructura a la otra.

Estas condiciones especiales de construccin, pueden reducir el nmero de incgnitas, ypor ello, el Grado de Indeterminacin. La ms comn de estas condiciones es un pasador oarticulacin interno.Casos de articulaciones:

En este caso,El Nmero de ecuaciones de condicin = n-1

Donde, n = nmeros de miembros

Otra forma de clasificacin de estructuras.

Para una estructura coplanar:

El Nmero de Ecuaciones de Equilibrio (NEC) = 3

la estructura puede clasificarse trazando diagramas de cuerpo libre de todos losmiembros o de partes seleccionadas de sus miembros y luego comparamos el N total deFuerzas y Momentos desconocidos, con el NEC (Nmero Total de Ecuaciones deequilibrio).

para cada parte tenemos: 3 ecuaciones de equilibrio.Si n = n total de partesy r = componentes reactivas (F y M)

r = 3 n ; Estticamente Determinadar > 3 n ; Estticamente Indeterminada

Veamos algunos ejemplos:


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r = 20 incgnitasn = 3 partes

3 n = 3(3) = 9 Ecuaciones de Equilibrior > 3 n; 20 > 9 Estructura Indeterminada en 11

r = 15n = 33 n = 3 (3) = 9

r > 3 nr > 3n15 > 9 Estticamente Indeterminada, en 6


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Esta es una estructura abierta. Es decir, no tiene circuitos cerrados, como la anterior. Porconsiguiente, si solo contamos las reacciones y las comparamos con las 3 ecuaciones deequilibrio, sin cortar, nos dara la misma respuesta.

# incgnitas = 9 Estticamente Indeterminada, en 6

# ecuaciones = 3Otro ejemplo:

n = 1 parter = 3 incgnitas

3n = 3(1) = 3 ecuaciones de equilibrio

r = 3n3 = 3 Estticamente Determinada.

d. Grados de libertad:Son el nmero de desplazamientos desconocidos que existen en los nudos. Los grados delibertad de una estructura, son el nmero mnimo de parmetros necesarios, para describir

de manera nica, la figura deformada de la estructura.Los parmetros pueden ser ciertos desplazamientos y rotaciones en diversos puntos de laestructura.


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Consideremos el perfil deformado de un miembro de un marco bidimensional:

Observe que ocurren 6 desplazamientos: en cada extremo del miembro, tenemosdesplazamientos independientes, en las 2 direcciones cartesianas y 1 rotacin.

Si el miembro es parte de un marco rgido, entonces los 3 desplazamientos en los extremosde los miembros que se ensamblan en la junta sern iguales. De modo que el nmero degrados de libertad, para un marco rgido estable bidimensional, se puede obtener de lasiguiente manera:

NGL = nmero de grados de libertadNJ= nmero de juntas

NR = nmero de componentes reactivas (representa el nmero de reacciones requeridasparar restringir movimientos del cuerpo rgido)

Donde NR 3 (para un marco rgido estable bidimensional).

Nota:

Los desplazamientos en las juntas, pueden estar restringidos por los soportes, o debido asuposiciones, basadas en el comportamiento de la estructura.

debe ajustarse segn las suposiciones que se hacen para cadaestructura.NGL = 3 NJ - NR

A


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Ejemplos:1)

NGDL = 3 (4)4 = 12 -4 = 8 (esta ecuacin debe ajustarse, segn la suposicin, de que enuna viga, solo se consideran las deformaciones por flexin, entonces, no se consideran losdesplazamientos lineales a lo largo del eje de la viga. Los cuales son causados por unafuerza axial)

NGL = 83 desplazamientos en x despreciados, en 1,2 y3.

NGL = 5 : 1, 2, 3, 4, y1

2) Se observa que en un marco, se toman en cuenta los 3 desplazamientos, en los extremosde sus miembros.

NGDL = 3(6)7 = 11 grados de libertad.


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3)

NDGL = 3 (7)6 = 21 -6 = 15 grados de libertad.

4)

NGDL = 3 (11) -12 = 21 grados de libertad.

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e. Fuerza cortante y momento flector en vigas y marcos.

Como sabemos las vigas soportan cargas en varios puntos a lo largo de su longitud, lascuales pueden producir: fuerza cortante, momento flector, y fuerza axial.

Los marcos son estructuras que contienen miembros sometidos a varias fuerzas y al igualque en las vigas, las fuerzas pueden producir fuerza cortante, momento flector y fuerzaaxial.

Si se desean las fuerzas interiores en un punto especifico de una viga, o de un miembro deun marco, es necesario cortar la estructura en ese punto, y determinar las fuerzas que debenaplicarse en la superficie del corte, para equilibrar los diagramas de cuerpo libre queresulten. Consideremos, por ejemplo, la siguiente viga:

Si nos interesan las fuerzas internas en el punto D, hacemos un corte en este punto y seaplican las ecuaciones de equilibrio a la porcin ABD, o a la porcin DC.

Estas fuerzas interiores que aparecen en la seccin de corte se les denominan:F = Fuerza AxialV = Fuerza CortanteM = Momento Flector

Convencin de signos:

Debe adoptarse una convencin de signos con respecto a las fuerzas interiores. Hay 2enfoques que se usan; sin embargo, son totalmente equivalentes:

Primer enfoque: se consideran actuando las fuerzas a cada lado de una seccin cortada enun punto dado.

Segundo enfoque: se observan las fuerzas que actan sobre un elemento infinitesimal en elpunto elegido.


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En los siguientes esquemas se muestran los 2 enfoques:

PARA LAS FUERZAS AXIALES:

Tienden a producir un esfuerzo de traccin en la seccin.


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PARA LA FUERZA CORTANTE:

Tienden a empujar la parte de la izquierda hacia arriba con respecto a la derecha.

PARA EL MOMENTO FLECTOR:

Tienden a producir traccin en las fibras inferiores de la viga.

Muchas vigas son horizontales, y se pueden aplicar este criterio sin confusin. Cuando unabarra no es horizontal, hay que elegir un lado como lado inferior, y aplicar el criterio comocorresponde.


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Relaciones entre Carga, fuerza Cortante y Momento Flector.

Estas relaciones proporcionan un mtodo para trazar los diagramas de fuerza cortante ymomento flector. Consideremos la siguiente viga;

la cual esta sometida a una carga transversal distribuida de intensidad variable (x); yahemos introducido una convencin de signos para la Fuerza Cortante y el Momento Flector,y ahora aadimos a esto, la convencin de que una Carga hacia abajo es positiva, y que xse incrementa de izquierda a derecha. Si tomamos un elemento de la viga, de longitud dx :

Sobre la cara izquierda aparecen el cortante V (x) y el momento M(x), estas funcionesdependen de x; sin embargo por conveniencia, le llamamos V y M, respectivamente. En lacara derecha, indicamos un incremento para el cortante y el momento.Tenemos:

Fy = 0

V = dx + V+dV dV = - dx

La pendiente en el diagrama de cortante en cualquier punto es igual a la intensidad de lacarga (con signo contrario) en ese punto.

dV/dx = -

dx

(x)

(x) = W = dx

c

(a)


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Integrando la ecuacin anterior a lo largo de la viga para obtener una ecuacin referente alas fuerzas cortantes que actan en 2 secciones transversales diferentes:

bdv = - bdx

Mc= 0 : M + dM + dx (dx/2) = M + Vdx

dM + dx/2 = Vdx (como el elemento es pequeo el termino (dx)2es despreciable)

dM = V dx (c)

La pendiente en el diagrama de momento en cualquier punto es igual al valor del Cortanteen ese punto.

Observamos que cuando dM/dx = 0, el Cortante es igual a cero y el Momento es mximo.Si integramos la ec. (c), entre las secciones a y b:

bdM = - bV dx

Esta ecuacin se puede usar aun cuando hay cargas concentradas entre a y b; pero nocuando hay momentos concentrados entre a y b, ya que esto ocasiona en cambio brusco enel Momento flector, y el lado izquierdo de la ecuacin. bdM = -

bV dx ; no puede

integrarse a travs de una discontinuidad.

De esttica recordamos:

Las fuerzas concentradas: afectan bruscamente el diagrama de Fuerza Cortante (V)Los momentos concentrados: afectan bruscamente el diagrama de Momento Flector (M):

M Hace subir el diagrama de momento en ese punto.

M Hace bajar el diagrama de momentos en ese punto.

VbVa= rea bajo el diagrama de la intensidad de carga (con signo contrario)entre estos dos puntos.

dM/dx = V

Mb-Ma= rea bajo el diagrama de Cortante entre los puntos a y b.

a a

(b)

0

a a

d

a a


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Ejemplo:

MA= 0 12 RC= 24 (4)

RC = 8 KipFX=0 RAX=0

MC= 0 12 RAY= 24 (8)RAY = 16 Kip

Cortante:VB-VA= -(8)(3)= -24VB= -24 +VA VB= - 8 KipVC-VB= 0 VC=VB= - 8 Kip

Relacin de triangulox/16 = 8/24 x = 5.33 p

Otra forma de hallar xdV/dx = -3

016 dV = -3 x

0dx

0-16 = -3 x x = 5.33 pMomento:MD-MA= (16)(5.33) = 42.64 kip-p MA= 0 ; MD= 42.64 kip-pMB-MD= -1/2 (8)(2.67)= -10.68 Kip-pMB = -10.68 K-p + MD=-10.68+42.64 = 31.96 KippMC-MB=-(8)(4) = -32 Kip-p MC = -32+ MB=-32+31.96 0

Deformada de la estructura

Al hacer un bosquejo de la deformada de la estructura, despus de dibujar los diagramas deCortante y de Momento, ayuda a desarrollar una apreciacin de la forma en que lasestructuras responden a las cargas.

Es muy til ser capaz de hacer un croquis de la deformacin general de una estructura deuna manera cualitativa. Esto se lleva a cabo usando el diagrama de momento, en conjuntocon la convencin de signos para el momento.

El momento positivo esta asociado con la curvatura delmiembro que es cncava.

3 kip/p

x

16 0


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El momento negativo esta asociado con la curvatura convexa.

Los puntos de momento cero se consideran como puntos de inflexin, y en estos puntos lacurvatura cambia de cncava a convexa.

Otro punto importante al hacer un croquis de la estructura deformada, consiste en observaruna concordancia con las condiciones de frontera.

Para el ejemplo anterior tenemos:

Se observa, que el momento positivo, est relacionado con la curvatura cncava.


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Ejemplo:

MA= 0 3 RB =10.5 (2.10)

RB= 7.35 KNMB= 0 3 RA =10.5 (0.9)RA= 3.15 KN

Para el Cortante:VB-VA= -2.5(3)= - 7.5 KN

VB = -7.5 + VA= -7.5+3.115 = -4.35 KN

x/3.15 = 3/7.5x = 1.26 mVC= -3 + VB= -3+3Vc = 0

Para el Momento:MA= 0 (apoyo simple)MD- MA= A1= (1.26)(3.15)= 1.98 KN-m MD= 1.98 KN-mMB-MD= A2= - 1/2 (1.74)(4.35) = - 3.78 KN-m, MB = - 3.78 + MD= -3.78+1.98MB= -1.8 KN-m

MC-MB= A3= 1/2 (3)(1.2) = 1.8 KN-m, MC = 1.8 + MB= 1.81.8 = 0MC=0

= 2.5 KN/m

10.5 KN

2.10 m


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Transformacin ortogonal de cargas concentradas y distribuidas:

En algunas ocasiones, requerimos expresar las cargas concentradas y las cargas distribuidasdescritas, con respecto a un conjunto de ejes perpendiculares (ortogonales), en trminos deotro conjunto de ejes (ortogonales).

Para cargas concentradas:

Para obtener las fuerzas locales, se expresan las fuerzas globales en trminos de suscomponentes locales, y luego se suman las componentes de cada una de las fuerzasglobales en una direccin local dada:

Para Cargas distribuidas:

Una carga distribuida, esta expresada como una fuerza por unidad de longitud, en unadireccin coordenada particular. Si se desea obtener la fuerza por unidad de longitud, en

otra direccin coordenada, se debe considerar no solo como se transforma la fuerza, sinotambin la longitud sobre la que acta dicha fuerza.

As, por ejemplo, considere la carga uniforme expresada en (KN/ m) de distanciahorizontal: Queremos determinar la carga distribuida equivalente que acte normal almiembro, y a lo largo del miembro.

+


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Carga por unidad de distancia horizontal:

W = (l)W= W cos() (Componente Perpendicular al miembro)WA= W sen() (Componente Axial, a lo largo del miembro)

N= W/ l ; A= WA/l

(KN/m


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De modo similar:

W= W sen()WA= W cos()

(A) = WA / l

(N) = W / l

(KN/m)

W = L

(N)(A)

(L)

l


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Si la carga distribuida es una fuerza por unidad de longitud del miembro; en este caso latransformacin a fuerzas normales y axiales es como sigue:Observe que no cambia la longitud, sobre la que acta la carga.

W = LWA= W sen ()WN=W cos ()

wA= WA/ L

wN= WN/ L

Reemplazando en las ecuaciones se obtiene que:

A= sen ()

N= cos ()

Este tipo de distribucin de carga es tpico de las cargas muertas, en donde se conoce elpeso del material por unidad de longitud.

L

W


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Ejemplo 1: Dibuje los diagramas de V y M.

Se observa que la viga inclinada est sometida a cargas verticales uniformementedistribuidas, debidas a su propio peso. Se debe descomponer la intensidad de carga en suscomponentes perpendicular y paralela al eje de la viga.

Calculo de las reaccionesMA=0

8 RB= (10)(10)(4) RB= 50 KN

MB=08 RAy= (10)(10)(4) RAy= 50 KN

FX= 0 RAx= 0

N= (10) cos (36.87) = 8 KN/mA= (10) sen (36.87) = 6 KN/m

RA(A) = RB(A) = 50 sen (36.87) = 30 KRA(N) = RB(N) = 50 cos (36.87) = 40 K

W = 10(10)

= 10 KN/m4 m

RAx RAy

RB

= 10KN/m

(A)

(N)

36.87

36.87

RB

RB(N

RA

RB(A)

RA(N)

RA(A)A

N


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x

xV


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Ejemplo 2: Dibuje los diagramas de V y de M.

tan () = 30/40 = 36.87

Calculo de las reacciones:

MA=080 RBy= (2)(40)(20) RBy= 20 Kip

MB=080 RA= (2)(40)(60) RA= 60 Kip

FX= 0 RBx= 0

Calculo de la carga distribuida, sobre el miembro:

WN= (2)(40) cos(36.87) = 64 Kip N= 64/50=1.28 Kip/p

WA= (2)(40) sen(36.87) = 48 Kip N= 48/50=0.96 Kip/p

W = 2x40

RA

RBx

20 p

RBy

36.87

W = 80 Kip

WAWN


25/26

RA(A) = 60 sen (36.87) = 36 KRA(N) = 60 cos (36.87) = 48 K

RB(A) = 20 sen (36.87) = 12 KRB(N) = 20 cos (36.87) = 16 K

800 Kip-p

16 K

12 K12 K

16 K


26/26

48

V

M

V

M

900 K-p

x

x

x

C

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