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VII.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS FINITOShttp://libros.redsauce.net/
VII.1.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL
Los problemas de conducción transitoria estudiados se limitan a configuraciones especiales como
son la placa, el cilindro y esfera, con diversas situaciones de contorno. Estas formas se han escogido
para asegurarnos de que la temperatura del sólido depende sólo de una coordenada espacial y del
tiempo. En ciertas aplicaciones el hecho de despreciar el efecto de borde (que es a lo que equivalen las
simplificaciones anteriores de conducción unidimensional), puede afectar a los resultados, por lo que
en muchos casos prácticos no puede hacerse una simplificación de este tipo y habrá que considerar la
conducción transitoria en función de más de una dimensión espacial.
Bajo ciertas condiciones, la solución de los problemas de conducción transitoria en dos o tres di-
mensiones se puede obtener por superposición de las soluciones de problemas unidimensionales; apli-
cando este método de superposición al problema de conducción transitoria en una barra larga rectan-
gular, cuya sección transversal tiene por dimensiones, A en la dirección de las x, B en la de las y y ser
indefinida en la dirección de las z, la conducción tendrá sólo lugar en las direcciones de las x y las y,
por lo que se ha reducido el problema a un caso bidimensional y transitorio.
Si se calienta la barra de forma que inicialmente la distribución de temperaturas es, T = f(x,y), y
en el instante, t = 0, la barra entra en contacto con un fluido convector, o con un foco térmico, a una
temperatura, TF = 0, (o a cualquier otra, constante), con un coeficiente de convección hC constante en
todas las superficies, la ecuación diferencial a resolver es:
∂2T∂x2 + ∂
2T∂y2 = 1
α ∂T∂t
con las condiciones de contorno:
Para: t = 0 ; T = f (x, y)
Para: t > 0 ⇒ en: x = 0, y en: x = A ⇒ dT
dx = ±
hC Tk
en: y = 0, y en: y = B ⇒ dTdy
= ±hC T
k
VII.-137
Se toma el signo
(+) en x = 0, y en y = 0(-) en x = A , y en y = B
Si la función de distribución de temperatura inicial, T = f(x,y), es tal que se puede descomponer en
forma de producto de otras dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una de las variables
espaciales independientes, la condición inicial puede sustituirse por:
Para: t = 0 , T = f ( x, y) = f1( x ) f2( y )
y si ésto es posible, la solución de la ecuación
∂2T∂x2 + ∂
2T∂y2 = 1
α ∂T∂t , con las condiciones indicadas, se
puede expresar como el producto de dos soluciones transitorias unidimensionales.
Si representamos la solución que se busca, T(x, y, t), por el producto: T = Tx ( x, t ) Ty ( y, t ) siendo
Tx(x, t) función de x y del tiempo t, y Ty(y, t) función de y y de t.
Al sustituir: T = Tx(x, t) Ty(y, t) en la ecuación diferencial de partida se obtiene:
Ty
∂2Tx∂x 2 + Tx
∂2Ty
∂y 2 = 1α
(Ty∂Tx∂t + Tx
∂Ty
∂t )
Ty ( 1
α ∂Tx∂t -
∂ 2Tx∂x2 ) + Tx ( 1
α ∂Ty
∂t - ∂ 2Ty
∂x2 ) = 0
y las condiciones de contorno e inicial, se transforman en:
Para: t = 0 ; T = Tx Ty = f1( x ) f2 ( y )
Para: t > 0 ⇒ en: x = 0 y en: x = A , Ty
dTxdx
= ±hC Tx Ty
k
en: y = 0 y en: y = B , Tx dTy
dy = ±
hC Tx Ty
k
El examen de las ecuaciones anteriores pone de manifiesto que se satisfacen, si Tx(x,t) y Ty(y,t),
son las soluciones de los dos problemas unidimensionales siguientes:
∂2Tx∂x 2 = 1
α ∂Tx∂t ;
Para: t = 0 ; Tx = f1(x)
Para: t > 0 en: x = 0 ⇒
dTxdx =
hC Txk
en: y = A ⇒ dTxdx = -
hC Txk
∂2Ty
∂x2 = 1α
∂Ty
∂t ;
Para: t = 0 ; Ty= f2(x)
Para: t > 0 en: y = 0 ⇒
dTy
dy =
hC Ty
k
en: y = B ⇒ dTy
dy = -
hC Ty
k
Se observa que la solución del problema de conducción transitoria bidimensional se puede obtener
como el producto de las soluciones de dos problemas unidimensionales, más sencillos, de las ecuacio-
nes anteriores, siempre que la distribución inicial de la temperatura sea susceptible de expresarse en
forma del producto:
T = f ( x, y ) = f1( x) f2 ( y ), para: t = 0
VII.-138
Estas ecuaciones para placa plana finita son idénticas a las que regulan la conducción transitoria
de calor en la placa plana infinita. Por tanto, la solución al problema de conducción transitoria del ca-
lor en la barra rectangular se obtiene como el producto de las soluciones para dos placas infinitas
cuya intersección forma la barra en cuestión.
En el caso de la barra rectangular calentada inicialmente a una temperatura uniforme, se pueden
utilizar directamente tanto las soluciones analíticas, como los resultados gráficos de Heysler para pla-
ca plana, que se encuentre inicialmente a una temperatura uniforme. Los números de Biot y de
Fourier para cada una de las dos placas que forman la barra serán distintos, a menos que dicha barra
sea de sección transversal cuadrada.
El principio de superposición por producto que se acaba de exponer en la conducción transitoria bi-
dimensional en una barra rectangular se puede hacer extensivo a otros tipos de configuraciones. Así,
para un paralelepípedo de dimensiones finitas la solución se puede obtener como el producto de las so-
luciones de tres placas infinitas, y para el cilindro circular como el producto de las soluciones para
una placa infinita y para un cilindro circular de longitud infinita.
Este principio de superposición es sólo aplicable a aquellos casos en los que la distribución de tem-
peratura inicial se pueda descomponer en producto de varias funciones, cada una de las cuales sólo
depende de una de las variables espaciales independientes.
Los ejemplos que hemos abordado pueden aplicarse tanto a procesos con condición de contorno iso-
térmica, como de convección. El empleo de gráficos para determinar las soluciones de problemas en
régimen transitorio monodimensional, se puede ampliar a casos bi y tridimensionales; el método con-
siste en la utilización de datos obtenidos para casos monodimensionales y combinarlos adecuadamen-
te en forma de productos.
Fig VII.1.- Cilindro de longitud finita
Si, por ejemplo, se desea determinar la temperatura en el punto P del cilindro de longitud finita
que se muestra en la Fig VII.1, dicho punto vendrá localizado por dos coordenadas (x,r), siendo x una
coordenada axial medida desde el centro del cilindro y r su posición radial. La condición inicial y las
condiciones de contorno son las mismas que se aplican en el caso de gráficos monodimensionales co-
rrespondientes a procesos transitorios. El cilindro se puede suponer se encuentra inicialmente, t = 0, a
una temperatura uniforme T0; en ese instante, toda la superficie se pone en contacto con un fluido,
que es el medio exterior, el cual se encuentra a una temperatura ambiental constante TF.
El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie del cilindro y el fluido hC,
se puede suponer de valor constante. Por tratarse de un cilindro de longitud finita, la distribución de
temperaturas en régimen bidimensional se puede considerar como el producto de las soluciones unidi-
mensionales correspondientes a un cilindro infinito y a una placa infinita, siempre que la distribución
inicial de temperaturas se pueda descomponer en dos factores, cada uno de los cuales depende de una
VII.-139
sola coordenada espacial, es decir:
ΦΦ0
= Φ p ( r , x, t )
Φ0 = C(r ) P( x ) =
T( r , x , t ) - TFT0 - TF
en la que los símbolos C(r) y P(x) son las temperaturas adimensionales que corresponden, respectiva-
mente, al cilindro infinito y a la placa infinita:
C( r ) = Φ( r , t )
Φ 0cilindro ; P( x ) = Φ( x, t )
Φ0placa
La solución para C(r) se obtiene de los gráficos de temperaturas correspondientes al cilindro,
mientras que la solución de P(x) se obtiene de los gráficos de tem-
peraturas correspondientes a la placa plana infinita. Mediante
un procedimiento análogo al citado para el cilindro finito, se pue-
den obtener soluciones para otras geometrías bi o tridimensiona-
les, como el paralelepípedo representado en la Fig VII.2, intersec-
ción de tres placas infinitas. En las gráficas que se presentan en
las Fig VII.3 y 4, se hace un resumen de las soluciones mediante
gráficos, con la simbología siguiente:
S( x ) = Φ( x, t )
Φ0 ( sólido semi ∞ ) ; P( x ) = Φ ( x , t )
Φ0 ( placa ∞ ) ; C( r ) = Φ( r , t )
Φ0 ( cilindro ∞ )
La ampliación de los gráficos monodimensionales a problemas con geometrías bi y tridimensiona-
les permite resolver, en consecuencia, una diversidad sorprendentemente grande de problemas de
transmisión de calor en régimen transitorio.
Calor evacuado al exterior.- Para hallar el calor total, se puede utilizar una expresión debida a
Langston, de la forma:
Q = Θ ρ c pV (T0 - TF )
en la que Θ es la fracción de energía disipada Θ =
Q(t)Q0
, que se puede aplicar en la forma:
a) Intersección de placa infinita y cilindro infinito, (cilindro):
Θ = Θ placa + Θcilindro (1 - Θ placa ) = Θ placa + Θcilindro - Θ placaΘcilindro
b) Intersección de 3 placas infinitas, (prisma):
Θ = Θ placa (1)+ Θ placa (2) (1 - Θ placa (1) ) + Θ placa (3) (1 - Θ placa (1) )(1 - Θ placa (2) )
Estas soluciones no son válidas cuando la temperatura inicial del cuerpo no sea uniforme, o cuan-
do la temperatura TF del fluido no sea la misma en toda la superficie de contacto del cuerpo.
VII.-140
Fig VII.2.- Paralelepípedo finito
SISTEMAS BIDIMENSIONALES
a) Placa semiinfinita
Φp(x1,x2) Φ0
= P(x1) S(x2)
b) Barra rectangular infinita
Φp(x1,x2) Φ0
= P(x1) P(x2)
c) Un cuarto de sólido infinito
Φp(x1,x2)
Φ0 = S(x1) S(x2)
d) Cilindro semiinfinito
Φp(x,r) Φ0
= S(x) C(r)
e) Cilindro finito
Φp(x,r) Φ0
= P(x) C(r)
SISTEMAS TRIDIMENSIONALES
a) Barra rectangular semiinfinita
Φp(x1,x2,x3) Φ0
= S(x1) P(x2) P(x3)
b) Paralelepípedo rectangular
Φp(x1,x2,x3) Φ0
= P(x1) P(x2) P(x3)
c) Un cuarto de placa infinita
Φp(x1,x2,x3)
Φ0 = S(x1) S(x2) P(x3)
d) Un octavo de placa infinita
Φp(x1,x2,x3)
Φ0 = S(x1) S(x2) S(x3)
Fig VII.3.- Soluciones en forma de productos a los problemas de conducción en régimen transitorio
VII.-141
VII.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN DOS Y TRES DIMENSIONES, CON CONDICIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA.
a) Rectángulo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de con-torno isotérmica
t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b
t > 0 ; T = 0 ; x = 0 ; x = a ; y = 0 ; y = b
Φ (x, y, t)Φ0
= 8π 2
n=1
∞
∑m=1
∞
∑ e-σ 2 α t sen(λn x) sen(ηn y)( 2n+1) ( 2m+1) = 8
n=1
∞
∑m=1
∞
∑ e-σ 2 α t sen(λn x) sen(ηn y)( a λn ) (b ηm )
σ 2= λn
2 + ηm2 ; λn = ( 2n+1) π
a ; ηm= ( 2m+1) πb
........................................................................................................................................................b) Paralelepípedo con temperatura inicial uniforme T0 , y condición de contorno isotérmica t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c
t > 0 ; T = 0 ; x = 0 ; x = a ; y = 0 ; y = b ; z = 0 ; z = c
Φ (x, y, z, t)Φ 0
= 64 n=1
∞
∑m=1
∞
∑p=1
∞
∑ e-σ 2α t sen(λn x) sen(ηn y) sen(γ p z)
λn ηm γ p
........................................................................................................................................................c) Cilindro finito con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno isotérmica
t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ H
t > 0 ; T = 0 ; r = R ; z = 0 ; z = H
Φ (r, z, t)Φ0
= 8π R
n=1
∞
∑ m=1
∞
∑ J0 (λnr) sen ( 2m + 1
H π z) e- σ 2 α t
λn ( 2m + 1) J1( λn R )
J0 ( λn R) = 0; σ 2 = λn
2 + { ( 2m+1) πH }2
........................................................................................................................................................
VII.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN DOS Y TRES DIMENSIONES, CON CONDICIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN
a) Rectángulo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección.
t = 0 ; Φ = Φ0 = T0 - TF ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b
t > 0 ; x = y = 0 ⇒ ∂Φ
∂x = ∂Φ
∂y = 0 ; x = a ⇒ ∂Φ
∂x = - A Φ
y = b ; ∂Φ∂y = - B Φ
Φ (x, y, t)Φ0
= 4 A B n=1
∞
∑ m=1
∞
∑ cos (λn x) cos (ηm y) e- σ 2 α t {a (λn
2 + A 2 ) + A} {b (ηm2 + B2 ) + B} cos (λn a) cos (ηmb)
con λn y µm raices de: λntg (λna ) =
hCxk = A
µmtg ( µmb) = hCy
k = B
; σ 2 = λn
2 + µm2
........................................................................................................................................................
b) Paralelepípedo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección.
t = 0 ; Φ = Φ0 = T0 - TF ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c
VII.-142
σ 2= λn
2 + ηm2 + γ p
2 ; λn = ( 2n+1) πa
; ηm = ( 2m+1) πb
; γ p= ( 2 p+1) π
c
t > 0 ; x = y = z = 0 ; ∂Φ∂x = ∂Φ
∂y = ∂Φ∂z = 0 ;
x = a ; ∂Φ∂x
= - A Φ
y = b ; ∂Φ∂y = - B Φ
z = c ; ∂Φ∂z
= - C Φ
Φ ( x, y, z, t )Φ0
= 8 A B C n=1
∞
∑ m=1
∞
∑ p=1
∞
∑cos (λn x ) cos (ηm y ) cos ( γ pz ) e- σ 2 α t
{ a (λn2 + A2 ) + A } { b (ηm
2 + B2 ) + B} { c (γ p2 + C 2 ) + C} cos ( λna ) cos (ηmb) cos (γ pc )
con λn , µm y γ p raices de:
λn tg( λna ) = hCxk = A
µm tg( µmb) = hCy
k = B
γ p tg(γ pc ) = hCz
k = C
; σ 2 = λn2 + µm
2 + γ p2
........................................................................................................................................................c) Cilindro finito con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección
t = 0 ; Φ = Φ0 = T0 - TF ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ H
t > 0 ; r = R ; ∂Φ
∂r = - A Φ
z = 0 ⇒ ∂Φ∂z
= 0 ; z = H ⇒ ∂Φ∂z
= - B Φ
Φ ( r, z , t )Φ0
= 4 A BR
n=1
∞
∑ m=1
∞
∑ J0( λnr ) cos (ηmz) e- σ 2α t ( λn
2 + A 2 ) J0 ( λn R ) {H (ηm2 + B2 ) + B} cos (ηmH )
con λn y ηm raices de:
A J0 ( λn R ) = λn J1 ( λn R )ηm tg (ηm H ) = B
; σ 2 = λn
2 + ηm2
........................................................................................................................................................d) Tubo finito con temperatura Φ0 en la base superior y en la base inferior, convec-ción en la superficie lateral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior.
t = 0 ; Φ = Φ0 = T0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; Re ≤ r ≤ Ri
t > 0 ; r = Ri ;
∂Φ∂r 〉r = Ri
= a1 Φ = hCk Φ
r = Re ; ∂Φ∂r
〉r = Re= 0
Φ = 0 ; z = 0 ; z = L
Φ (r, z, t)Φ0
= 2n=1
∞
∑λn
2 {λn J0' (λn Ri) + a1 J0 (λn Ri )}2 N0 (λn r)
{λn J0' (λn Ri ) + a1 J0 (λn Ri )}2 - (λn
2 + a12 ) J0
2 (λn Re ) x
x
m=0
∞
∑sen (η z)
2m+1 e- σ 2α t Ri
Re
∫ r Φ0{J0 (λn r) Y0' (λn Re) - J0
' (λn Re) Y0 (λnr)} dr
N0 ( λn r ) = J0 (λnr ) Y0' (λn Re ) - J0
' (λn Re ) Y0 (λnr )
con λn y η raices de: η = ( 2m + 1) π
L
{ λnY0 ( λn Ri ) + a1Y0 ( λn Ri )} J0
' (λn Re ){λn J0 ( λn Ri ) + a1J0 (λn Ri )} Y0
' ( λn Re )} = 1
; σ 2 = λn
2 + η2
........................................................................................................................................................e) Tubo finito con temperatura Φ0 en la base superior y en la base inferior, convección en la superficie
lateral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior.
t = 0 ; Φ = Φ0 = T0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; Re ≤ r ≤ Ri
t > 0 ; r = Re ; ∂Φ
∂r 〉r = Re= a1 Φ = hC
k Φ
r = Ri ; ∂Φ∂r
〉r = Ri= 0
Φ = 0 ; z = 0 ; z = L
VII.-143
Φ (r, z, t)Φ0
= 2 π n=1
∞
∑λn
2 {λn J0' ( λn Re ) + a1 J0 ( λn Re )}2 N0 ( λn r )
{ λn J0' (λn Re ) + a1 J0 (λn Re )}2 + (λn
2 + a12 ) J0
2 ( λn Re ) x
x
m=0
∞
∑sen (η z )
2m+1 e- σ 2α t Ri
Re
∫ r Φ0 { J0 ( λn r ) Y0' ( λn Re ) - J0
' ( λn Re ) Y0 ( λn r )} dr
N0 ( λn r ) = J0 (λnr ) Y0' (λn Re ) - J0
' (λn Re ) Y0 (λnr )
con λn y η raices de: η = ( 2m + 1) π
L
{ λnY0 ( λn Ri ) + a1Y0 ( λn Ri )} J0
' (λn Re ){λn J0 ( λn Ri ) + a1J0 (λn Ri )} Y0
' ( λn Re )} = 1
; σ 2 = λn
2 + η2
........................................................................................................................................................
f) Tubo finito con temperatura Φ0 en la base superior y en la base inferior, con convección en la superfi-cie lateral exterior y en la superficie lateral interior.
t = 0 ; Φ = Φ0 = T0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; Re ≤ r ≤ Ri
t > 0 : r = Re ; ∂Φ
∂r〉r = Re
= a1Φ = hCe
k Φ
r = Ri ; ∂Φ∂r〉r = Ri
= b1Φ = hCi
k Φ
Φ = 0 ; z = 0 ; z = L
Φ (r, z, t)Φ0
= 2 π n=1
∞
∑λn
2 {λn J0' (λn Re ) + b1 J0 (λn Re )}2 N0(λn r)
(λn2 + b1
2 ){λn J0' (λn R0 ) + b1 J0 (λn R0 )}2 - (λn
2 + a12 ) {λn J0
' (λn Re ) + a1 J0(λn Re)}2 x
x
m=0
∞
∑sen (η z)
2m+1 e- σ 2α tRi
Re
∫ r Φ0[J0 (λnr) {λn Y0' (λn R0 ) - b1 Y0 (λn Ri)} − Y0 (λnr ) {λn J0
' (λn R0 ) - b1 J0(λn Ri )}] dr
N0 ( λn r ) = J0 (λnr ) Y0' (λn Re ) - J0
' (λn Re ) Y0 (λnr )
con λn y η raices de: η = ( 2m + 1) π
L
{λnY0
' (λnRi ) - b1Y0 ( λn Ri )} {λn J0' (λn Re ) + a1J0 ( λn Re )}
{λnY0' (λnRe ) + a1Y0 (λn Re )} {λnJ0
' (λn Ri ) - b1J0 (λnRi )} = 1
; σ 2 = λn2 + η2
........................................................................................................................................................
VII.4.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO CON GENERACIÓN DE CALOR E.
a) Rectángulo con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.
t = 0 ; T = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b
t > 0 : x = 0 ⇒ T = 0 ; y = 0 ⇒ T = 0
x = a ⇒ T = 0 ; y = b ⇒ T = 0
; E = Cte
T( x, y, t) = 4 E
π 2k n=1
∞
∑m=1
∞
∑ sen ( λn x ) sen (µm y ) ( 1 - e- σ 2 α t ) n m σ 2
n = 1, 3 , 5, ... ; m = 1, 3 , 5, ... ; λn = π n
a ; µm = π mb ; σ 2= λn
2 + µm2
........................................................................................................................................................b) Paralelepípedo con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.
∇ 2T = 1
α ∂T∂t - E
k
t = 0 ; T = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c
t > 0 : x = 0 ⇒ T = 0 ; y = 0 ⇒ T = 0 ; z = 0 ⇒ T = 0
x = a ⇒ T = 0 ; y = b ⇒ T = 0 ; z = c ⇒ T = 0
; E = Cte
T( x, y, z, t) = 8 E
π 3k n=1
∞
∑m=1
∞
∑p=1
∞
∑ sen ( λn x ) sen ( µm y ) sen (ηp z ) ( 1 - e- σ 2 α t )
n m p σ 2
VII.-144
n = m = p = 1, 3, 5 , ... ; λn = π n
a ; µm = π mb ; η p=
π pc ; σ 2 = λn
2 + µm2 + η p
2
........................................................................................................................................................
c) Cilindro finito con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.
∂2T∂r 2 + 1
r ∂T∂r + ∂
2T∂z 2 = 1
α ∂T∂t - E
k t = 0 ; T = 0 ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ L
t > 0 : r = R ⇒ T = 0
z = 0 ⇒ T = 0 ; z = L ⇒ T = 0
; E = Cte
T(r, z, t) = 4 E
π R k n=1
∞
∑m=1
∞
∑ J0 (λnr ) sen ( µm z ) (1 - e- σ 2 α t ) n λn σ 2 ; n = 1, 3, 5, ...
con λn raices de: J0 (λn R) = 0, y µm de: µm= π m
L........................................................................................................................................................
d) Esfera con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.
Condiciones de contorno:
t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ r ≤ R t > 0 ; r = R ; Φ 0 = 0 ; E = Cte
Φ ( r , t ) = 2 E
k n=1
∞
∑sen (λnr )
λn3 r
(1 - e- λn2 α t ) (-1)n ; λn = π n
R........................................................................................................................................................
e) Rectángulo con generación de calor E; condición de contorno de convección
∂2Φ∂x 2 + ∂
2Φ∂y 2 = 1
α ∂Φ∂t - E
k
t = 0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b
t > 0 : x = 0 ; y = 0 ; ∂Φ
∂x 〉x = 0 = 0 ; ∂Φ∂y 〉 y = 0 = 0
x = a ; ∂Φ∂x
〉x = a = - hCxk
Φ ; y = b ; ∂Φ∂y
〉 y = b= - hCy
k Φ
Φ ( x , y, t ) = 4 E
hCxk
hCy
kk
n=1
∞
∑ m=1
∞
∑cos (λn x ) cos (µm y ) (1 - e- σ 2α t )
{ a (λn2 +
hCx2
k2 ) + hCxk } {b ( µm
2 + hCy
2
k 2 ) + hCy
k } cos (λna ) cos ( µmb)
con λn y µm raices de: λn tg (λna ) =
hCxk
µmtg (µmb) = hCy
k
; σ 2 = λn
2 + µm2
........................................................................................................................................................f) Paralelepípedo con generación de calor E; condición de contorno de convección.
∂2Φ∂x 2 + ∂
2Φ∂y 2 + ∂
2Φ∂z 2 = 1
α ∂Φ∂t - E
k
t = 0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c
t > 0 :
x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; ∂Φ∂x 〉x = 0 = 0 ; ∂Φ
∂y 〉 y = 0 = 0 ; ∂Φ∂z 〉z = 0 = 0
x = a ; ∂Φ∂x 〉x = a = -
hCxk Φ = - A Φ
y = b ; ∂Φ∂y
〉 y = b = - hCy
k Φ = - B Φ
z = c ; ∂Φ∂z
〉z = c = - hCzk
Φ = - C Φ
Φ (x, y, z, t) =
8 E0 A B Ck
n=1
∞
∑m=1
∞
∑p=1
∞
∑ cos ( λnx ) cos ( µm y ) cos (η p z) ( 1 - e- σ 2 α t )
{ a ( λn2 +A 2 ) + A } {b ( µm
2 + B2 ) + B } {c(η p2+C 2 ) + C } cos ( λn a) cos (µmb ) cos (η pc )
VII.-145
con λn , µm y η p raices de:
λn tg(λna ) = hCxk
µm tg( µmb) = hCy
k
η p tg(η pc ) = hCzk
; σ 2 = λn2 + µm
2 + η p2 ; n = m = p = 1, 3, 5, ...
........................................................................................................................................................g) Cilindro finito con generación de calor E; condición de contorno de convección.
∂2Φ∂r 2 + 1r ∂Φ
∂r + ∂2Φ∂z 2 = 1
α ∂Φ∂t - E
k
t = 0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ L
t > 0 : r = R ; ∂Φ
∂r = - hC
k Φ = - A Φ
z = 0 ; ∂Φ∂r = 0 ; z = L ; ∂Φ
∂r = - hCzk Φ = - B Φ
Φ ( r , z , t ) = 4 E A B
k R n=1
∞
∑ m=1
∞
∑ J0 (λnr ) cos (µm z)
{ L ( µm2 + B2 ) + B} σ 2( λn
2 + A2 ) J0 (λn R) cos (µmL ) ( 1 - e- λn
2α t )
con λn y µm raices de: J0 (λn R )J1(λn R )
= λn RBi
= λnA
µmtg ( µm L ) = B
........................................................................................................................................................
VII.-146
