Embed Size (px)
Citation preview
1 | P a g e
VII.A.2. - MULŢIMEA NUMERELOR REALE • Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect • Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; aproximări • Exemple de numere iraţionale; mulţimea numerelor reale, ℝ; modulul unui număr real: definiţie,
proprietăţi; compararea şi ordonarea numerelor reale; reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări; ℕℤℚℝ
• Reguli de calcul cu radicali: scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical,
√𝒂 ∙ √𝒃 = √𝒂𝒃, unde a 0 , b 0 si √𝒂: √𝒃 = √𝒂: 𝒃, unde a 0 , b 0
• Operaţii cu numere reale (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere, raţionalizarea
numitorului de forma 𝒂√𝒃 ) • Media aritmetică a n numere reale, n 2 ; media geometrică a două numere reale pozitive
2 | P a g e
3 | P a g e
4 | P a g e
5 | P a g e
6 | P a g e
7 | P a g e
8 | P a g e
9 | P a g e
10 | P a g e
11 | P a g e
12 | P a g e
13 | P a g e
14 | P a g e
FISA DE LUCRU
1. ababa ++−+ 5387 =
2. ( ) ( )32 37 abab −− =
3. ( )48ab− : ( )35ab =
4. ( )222ab− =
5. 24x : 2xy=
6. (-2xy2)2 =
7. ( 753 2 ++ xx )+( 62 −x )=
8. (10x+7y) – ( 4 x-10y) =
9. (x+1) ( x - 1) =
10. 3x – 5x + 7x -2 +8 x – 10 y - 6=
11. 2x2 : x + x + 3 =
12. =−−+− baba 50272522
13. x ( x – 3) – x 2 + 2x ( x + 1) =
14. ( 2a – 5) (2a + 5) =
15. (21x3 – 14x2 +7x) : (-7x) + (x – 1)(x + 2) =
16. 2(x – y + 3) – 3(y – x + 1) + (+2y – 3x) =
17. (x + 2)(x – 3)-(x-6)(x+7) =
18. (8x4 – 40x3 + 28x2) : (4x2 ) – 2(x + 2) =
19. =−+−+− )5
25(5)
2
422(2)
3
13(3 xxx
20. (x + 2)(x2- x + 3) - (x + 1)(x2 + 2x - 5)=
21. a) Arătaţi că pentru orice n , + 23n Q.
b) Arătaţi că pentru orice n , + 35n Q.
22. Arătaţi că + 52008...321 Q.
23. Arătaţi că numărul 62003...654 + nu este număr raţional.
24. Stabiliţi dacă numărul
a = ( )19791()19782...()31977{)21978()11979 −−−−− este pozitiv.
25. Aflaţi x, y, z Q din egalitatea: 32)53()532()32( +=−++−−− zyx
26. Să se arate că numărul 22362531028 −+−+−=p număr natural.
27. Determinaţi numerele întregi a şi b ştiind că 961123 −=+ ba .
28. Să se determine x Z ,astfel încât :
a) ( )
−
−+−+−
32
2138196252
xZ.
15 | P a g e
b) 1
582135614
+
++−−
x
xZ
29. Să se calculeze media aritmetică , media armonică.
a= 549 − ; b= 954 + ; c=
2
1521583115831
−−−+ .
(media armonică a mai multor numere este inversul mediei aritmetice a inverselor numerelor , de ex . pentru trei
numere a , b , c : m
cba
h 111
3
++
= ).
30. Fie expresia E=ba
ba
−
+
2
2 unde 54953 −+−=a şi 741117 −−−=b .
Demonstraţi că EN.
31. Arătaţi că 303020201212 +++++ < 15.
32. a) Dacă x, y *
+R , arătaţi că 2222
22 yxyx++ .
b) Arătaţi că Nnnnnn
+
++
+++
++
,2
)1(
2
)1(...
2
32
2
21 222222
.
33. Demonstraţi că :
a) ++
+
Ryxyx
yx
xy,,
2.
b) Dacă n }1{* −N atunci nnnn
nn+++
−+−
−++
++
+...21
)1(212
)1(...
625
6
223
2.
34. Determinaţi numerele reale a şi b pentru care
2
4222ba
ba+
=−+− .
35. Să se găsească valorile reale ale lui x şi y pentru care
.28
196196yx
yx+
=−+−
36. Determinaşi numerele reale aşi b care verifică egalitatea
.3248562425 +++=++ baba
37. Calculaţi:
a) ( )3
2 3− = e) ( )3
5−
− = i) ( )3
7 8− = n) ( )2
7 6−
+ =
b) ( )2
12 7− = f) ( )2
2 11−
− = j) ( )2
13 15− = o) ( )2
8 9−
− =
16 | P a g e
c) ( )3
7 10+ = g) ( )1
102 37− = k) ( )3
2 3+ = p) ( )0
27 36− =
d) ( )3
3 5−
+ = h) ( )0
20 12− = m) ( )3
3−
− = r) ( )1
12 13−
− =
38. Efectuaţi:
I. a) ( )4
4 5− ( )6
4 5− = e) ( )9
13− ( )11
13− =
b) ( )4
3 4+ ( )2
3 4−
+ = f)
7
1
14
−
−
2
1
14
−
−
=
c)
6
1
11
−
−
6
1
11
−
= g) ( )9
6−
+ ( )4
6+ ( )3
6+ =
d) ( )16− ( )4
16− ( )5
16−
− = h) ( )10
8+ ( )6
8−
+ =
i) ( )10
5 12− ( )2
5 12− = j) ( )10
8 26+ ( )16
8 26+ =
II. a) ( )14
15− : ( )6
15− = e) ( )8
50− : ( )7
50− =
b) ( )4
11 14+ : ( )2
11 14−
+ = f) ( )3
2 21−
− : ( )2
2 21− =
c) ( )3
7 10−
+ : ( )6
7 10+ = g) ( )9
3 7+ : ( )4
3 7−
+ : ( )14
3 7−
+ =
d) ( )6
6 5− : ( )5
6 5−
− = h) ( )10
22−
+ : ( )11
22+ =
i) ( )17 21+ : ( )2
17 21+ = j) ( )22 3+ : ( )3
22 3−
+ =
III. a) ( )5
4
6 −
= c) ( )0
4
8 −
= e) ( )3
7
4 5−
−
=
b) ( )2
8
7 6−
+
= d) ( )5
2
11−
= f) ( )
23
2−
− +
=
39. Calculaţi:
2 3 57 11 2 =
2 3 43 13 23 =
2 3 15 3 24 3+ + = 2 2 30 3 17 2 4 3+ + + =
2 3 5 3 14 3− − = 11 7 9 11 14 7 5 11− − − =
17 | P a g e
21 3 5 9 = 45 12 5 3 =
1
2 5=
1
7 57=
2
5 13=
1
19=
5
11 3=
−
1
2 11 3 3=
−
2
17 2=
+
1
5 17 2 2=
+
40. Calculaţi:
a) 7y+3y-4y;
b) -12x+7+15x+2;
c) 2 2 3 4 12 5 18x x x x+ − + ;
d) 3 8 27 2 32x y x y− + + ;
e) 7x + 5y -2x -6y ;
f) 7a – (2b – 8a) + (2a – b);
g) 7b – (2a – 8b) + (2b – a) ;
h) 5x(2x+3x);
i) 2(3x-1)-3(2x-1);
j) 3x(x – 4) – x( x + 1) – 2x2;
k) (2x+8x-10x):3;
l) (24x 2 – 18x 3 +12x) : 6 ∙x ;
m) 3𝑎𝑏 − 2𝑎2𝑏2 −3
4𝑎𝑏 +
2
3𝑎2𝑏2 − 2
1
4𝑎𝑏 + 0, (3)𝑎2𝑏2;
n) [3(𝑥 − 𝑦)-5(−𝑥 + 𝑦)-3]∙ (−2) − 16(𝑦 − 𝑥);
o) (x+2 )(x-5) +x ( 3- x );
p) (2x+3)(2x-3)-x2
;
q) 12x2y: (-3x2y) + 4, x≠ 0, 𝑦 ≠ 0;
r) ( ) ( )xxxx −− 22 3:412
, x≠ 0;
s) ( ) ( )xxxx −− 22 5:315
, x≠ 0;
t) (15𝑥 + 3):(5𝑥 + 1);
u) (3√2𝑥)2: (2𝑥)2;
v) (−2
3𝑥𝑦2)−2 ∙
4
9𝑥2𝑦4;
41. Dacă E(𝑥)=1—2𝑥 atunci calculaţi 1−𝑥
2+
3
2 E(𝑥).
42. Arătaţi că numărul ( ) xxxxxx :: 9432 este număr natural pentru x număr real diferit de zero.
43. Arătaţi că numărul N= ( ) ( )25354 : xxxx este natural, pentru orice număr x întreg nenul.
18 | P a g e
44. Arătaţi că numărul N= ( ) ( )44953 : xxxxx este natural, pentru orice număr x întreg nenul.
45. 5√5 + 2√5 =
46. 4√3 + 12√3 =
47. 2√2 + 9√2 =
48. 6√3 + 10√3 =
49. √5 + √5 =
50. 3√7 + 8√7 =
51. 15√5 - 12√5 =
52. 6√3 + 5√3 =
53. 2√2 - √2 =
54. 16√3 - 10√3 =
55. 55√5 - 25√5 =
56. - 4√3 - 7√3 =
57. - 8√7 - 9√7 =
58. - √2 - √2 − √2 =
59. -√3 + 9√3 =
60. 4√5 - 3√3 + √3 - 4√5 =
61. 7√2 - 6√2 + 8√8 =
62. - 6√7 + 2√3 + 6√7 =
63. 3√3 + 4√2 - 3√3 =
64. - 6√5 + ( - 2√5) =
65. – (2√3 ) – (- 4 √3 ) =
66. 2√7 + 3√3 - 6√7 =
67. - 9√2 + ( - 5√2) – (- 14√2) =
68. √27 - √75 =
69. 2√32 - 6√18 + 32√2 + 18√2 =
70. 3 + 3√7 + 3 -3√7 =
71. 8√3 - 5√5 + √3 - √5 - 9√3 + 6√5 + √8 =
72. 4√3 − ( 9√3 + 10√3) =
73. 2√6 + (- 4√6 - 10√6) =
74. 3√5 - √5 - √5 - √5 =
75. – (- 2√3) + (- 8√3) – (+ √27) + 13√3 =
76. - ( 10 √2 +10√2 - √2 + √3 + √4 - 19√2 - √3) + 2 =
77. √11 + 0,5 +( -√11) + 1,5 =
78. 51
2 - 5√2 -
7
2 + 6√2 - √2 =
79. √1 + √4 + √9 + √16 + √25 - √225
