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VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

LIBRO DE ACTAS

Editado por:

Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas

C/ H. Carvajal, 5. 23740 Andújar (Jaén) España

www.fespm.es

ISBN: 978-84-945722-3-4

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COMUNICACIONES BREVES 1401-1500

4 VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA. LIBRO DE ACTAS.

ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.402

O PENSAMENTO ALGÉBRICO NO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA DOS

ANOS INICIAIS DO MUNICÍPIO DE SOBRAL

José Roberto de Campos Lima - Etienne Lautenschlager

[email protected] – [email protected]

SMESP/Brasil, DRE São Miguel/Brasil

Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática

Modalidade: CB

Nível educativo: Sem especificar

Palavras chave: Anos Iniciais, Currículo, Pensamento Algébrico, Álgebra

Resumo Este estudo tem como objetivo analisar alguns elementos do Currículo de Matemática dos

Anos Iniciais, do município de Sobral (Ceará-Brasil) no que se refere a Álgebra e ao

desenvolvimento do pensamento algébrico. Justifica-se pelo destaque alcançado do

município dentre os demais municípios brasileiros, no Índice de Desenvolvimento da

Educação Básica (IDEB) que serve de balizador de políticas públicas voltadas a Educação,

na medida em que indica a proficiência na Língua Materna, em Matemática e o fluxo escolar.

Trata-se de pesquisa qualitativa que apresenta uma análise documental sobre como o

pensamento algébrico ou a álgebra está sendo abordada no currículo prescrito para os anos

iniciais do ensino fundamental (crianças de 6 a 10 anos). A relevância desse estudo reside

no fato de que a partir deste currículo serão estabelecidas formações continuadas,

desenvolvimento de materiais curriculares para uma possível internacionalização do

município, participando do PISA. Na análise, observamos que se definem objetivos voltados

a álgebra a partir do 1º ano, porém, podemos notar que surgem voltados ao trabalho

somente com a aritmética nos primeiros anos com habilidades voltados ao desenvolvimento

do pensamento algébrico, destarte nossas conclusões apontam que objetivos da álgebra

devam estar associados aos diferentes eixos do currículo de matemática.

Introdução

Sobral é um município que se localiza no Estado do Ceará (Brasil) situado na Região

Noroeste do Ceará, a 230 km da capital Fortaleza, por via rodoviária. Tal municipio vem se

destacando na imprensa brasileira, uma vez que o Município saltou da 55ª posição no Ideb1

1Índice de Desenvolvimento da Educação Básica que tem por finalidade medir a qualidade do ensino fundamental, por

meio de avaliações de Língua Portuguesa e de Matemática, no 5º e 9º ano, além de considerar o fluxo escolar (evasão e

reprovação). As avaliações que integram o IDEB são censitárias e medem a proficiência dos estudantes das redes

estaduais, municipais

mailto:[email protected]



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de 2009, para o 1º lugar do Brasil, com Ideb 8,8, no último resultado divulgado. A educação

de Sobral foi avaliada como a melhor Rede Pública de Educação do Brasil, segundo o Ideb

2015. No ano de 2011, por exemplo, o município de Sobral, registrou um índice de 82% de

estudantes do 5º ano proficientes em Matemática, sendo 47% em nível avançado. Já em 2015,

apenas 4 anos, registrou um aumento para 95%, o que nos chama atenção para o fato de que

79% estão em nível avançado, o que significa que estão além da expectativa esperada para o

ano.

Pelo fato do município de Sobral, em termos de currículo prescrito, não possuir um

consolidado, os educadores trabalhavam a partir do livro didático, isto é, o livro didático era

a principal ferramenta dos professores e alunos, se constituindo como o principal referencial

educativo e curricular. Destacamos que a maioria dos livros didáticos foi concebida tendo

por referencial as orientações dos PCN2, que não possui indicativo do estudo de álgebra nos

anos iniciais do ensino fundamental, citando em seu texto que

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é

especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos

serão ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá

diferentes funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas

aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de

equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com

fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a “sintaxe” (regras para

resolução) de uma equação. (BRASIL, 1997, p. 39)

Assim, percebemos que nos PCN não há uma abordagem voltada ao desenvolvimento do

pensamento algébrico como hoje apontado pela literatura, e sim, numa situação de pré-

álgebra que segundo Ameron (2002) é entendida como zona de transição entre a aritmética e

a álgebra.

Em 2012, é instituído o Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC), pela

portaria nº 867 da União, e em conjunto é publicado o documento de referência “Elementos

conceituais e metodológicos para definição dos direitos de aprendizagem e desenvolvimento

do Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º anos) do Ensino Fundamental” que em seu conteúdo

traz o Pensamento Algébrico como eixo estruturante da Matemática já no processo de

2 Os Parâmetros Curriculares Nacionais — PCN — são referências para os Ensinos Fundamental e Médio do

Brasil. O objetivo dos PCN é garantir a todas as crianças e jovens brasileiros, mesmo em locais com

condições socioeconômicas desfavoráveis, o direito de usufruir do conjunto de conhecimentos reconhecidos

como necessários para o exercício da cidadania.


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alfabetização. Ainda por consequência, surge a Avaliação Nacional da Alfabetização - ANA,

e em sua Matriz de Avaliação de Referência, apresenta como eixo estruturante dos objetivos

de aprendizagem de Matemática, o eixo Numérico e Algébrico.

Em meio a discussões sobre a implantação no Brasil da Base Nacional Curricular Comum

(BNCC), a instituição do PNAIC, a implantação da ANA, e todos os estudos realizados, o

município de Sobral elaborou e iniciou a implementação de seu currículo de Matemática, que

tem como eixos centrais: Números e Álgebra, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e

Tratamento da Informação. Sendo objeto de nosso estudo neste artigo alguns aspectos

apresentados no eixo Números e Álgebra, mais ainda voltado ao conteúdo de Álgebra que

será abordado nos anos iniciais do Ensino Fundamental (crianças de 6 a 10 anos).

Para isso apresentamos a seguir, algumas considerações teóricas e metodológicas da

pesquisa.

Algumas considerações sobre Álgebra ou Pensamento Algébrico

Pesquisadores como Carraher, Schliemann, Brizuela e Earnest (2006) demonstram a

viabilidade de se trabalhar com a álgebra nos anos iniciais.

Corroborando com as ideias anteriormente apresentadas, Kaput (1995, 1999), Carraher &

Blanton (2007), Lew (2004) apontam para a necessidade iniciarmos os estudos sobre a

álgebra o quanto antes na fase escolar.

Canavarro (2007) salienta que a “Álgebra escolar tem estado associada à manipulação dos

símbolos e à reprodução de regras operatórias, tantas vezes aplicadas mecanicamente e sem

compreensão, parecendo os símbolos terem adquirido um estatuto de primazia per si”

(CANAVARRO, 2007, p. 88)

Lins e Gimenez (2001) reforçam esta ideia de que “é preciso começar mais cedo o trabalho

com álgebra, e de modo que esta e a aritmética desenvolvam-se juntas, uma implicada no

desenvolvimento da outra” (p.10).

Segundo Lew (2004, p. 96) o pensamento algébrico apresenta em sua estrutura alguns

elementos como: Generalização, Abstração, Pensamento Analítico, Pensamento Dinâmico,

Modelação e Organização. Sendo que a generalização temos os seguintes objetivos:

reconhecimento de um padrão e relação entre série de números e figuras, resolução de

problemas usando padrão conhecido e resolução de problemas usando estratégias de


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simplificação, sendo estes possíveis de serem adquiridos respeitando a complexidade em

qualquer ano escolar.

Complementando a ideia anteriormente apresentada, o pensamento algébrico, segundo

Fiorentini, Miguel e Miorim (1993, p. 88) pode expressar-se por meio “da linguagem natural,

através da linguagem aritmética, através da linguagem geométrica ou através da criação de

uma linguagem específica para esse fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, de

natureza estritamente simbólica”, estas linguagens são importantes para o desenvolvimento

do processo de alfabetização e letramento que ocorre nos anos iniciais do ensino

fundamental.

Ampliando nosso olhar se pensarmos como ocorre o desenvolvimento do pensamento

algébrico, Blanton e Kaput (2005) o definem como: um processo no qual os alunos

generalizam ideias matemáticas de um conjunto particular de exemplos, estabelecem

generalizações por meio do discurso de argumentação, e expressam-nas, cada vez mais, em

caminhos formais e apropriados à sua idade (p.413).

Para Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005, p. 5) o pensamento algébrico é desenvolvido

de forma gradual, antes mesmo do desenvolvimento da linguagem simbólica, determinando

assim alguns caracterizadores, que são:

- estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões

geométricos;

perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação problema;

produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação problema;

produzir vários significados para uma expressão numérica;

interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas

expressões numéricas;

transformar uma expressão aritmética em outra mais simples;

desenvolver algum processo de generalização;

perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias;

desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se

matematicamente.

Podemos assim dizer, que pensar algebricamente, é um atributo cognitivo, com

características necessárias para o desenvolvimento da álgebra, mas que perpassa pelas demais

áreas da Matemática, assim se caracterizando um importante elemento a ser desenvolvido,

para uma melhor compreensão deste componente curricular.


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Algumas considerações sobre a Pesquisa Documental

Para este estudo realizamos uma análise documental no contexto da metodologia qualitativa.

Achamos importante destacar as características que Bogdan e Biklen (1994, p. 47-50) dão a

uma investigação qualitativa:

1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,

constituindo o investigador o instrumento principal;

2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] A palavra escrita assume particular

importância na abordagem qualitativa, tanto para o registro dos dados como para a

disseminação dos resultados;

3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que

simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo focasse no

modo como as definições (as definições que os professores têm dos alunos, as

definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se formam;

4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma

indutiva;

5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os

investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que lhes

permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do informador.

Também destacamos que a análise documental utiliza fontes primárias de largo espectro,

vinculadas a objetos situados no plano das políticas educacionais, sistemas de ensino,

instituições educativas, educação na imprensa, história das disciplinas escolares (e

acadêmicas), história do currículo, entre outros campos investigativos bastante profícuos

(Corsetti, 2006)

Assim, nesse nosso estudo analisaremos o documento do município de Sobral que expressa

o currículo de Matemática, elaborado para ser implementado em 2017.

A relevância deste estudo está em percebermos como o estudo da Álgebra ou do Pensamento

Algébrico está sendo apresentado aos professores para que seja praticado em sala de aula.

Desta forma, “a análise documental favorece a observação do processo de maturação ou de

evolução de indivíduos, grupos, conceitos, conhecimentos, comportamentos, mentalidades,

práticas, entre outros” (Cellard, 2008, apud Sá-Silva, Almeida & Guindani, 2009, p. 2), que

é o objetivo de nosso estudo.


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Pensamento Algébrico no Anos Iniciais do Currículo do Município de Sobral

Para iniciar o de 2017, após um processo de elaboração que envolveu toda comunidade

escolar, o município de Sobral, elaborou seu currículo e iniciou sua implantação e

implementação, como já citado anteriormente o currículo prescrito proposto apresenta em

sua estrutura o eixo Números e Álgebra, eixo este que é tratado desde os primeiros anos

iniciais do ensino fundamental.

No eixo Números e Álgebra alguns aspectos foram destacados para que sejam trabalhados

pelos professores com seus alunos. Em um quadro geral que apresenta o resumo do currículo

proposto para Matemática no que se refere a Álgebra um dos tópicos é Padrões e Cálculos

Algébricos, que apresenta como subitem reconhecer padrões e resolver problemas com

cálculo algébrico, que se enquadra entre os elementos que estruturam o pensamento

algébrico conforme apresentado por Lew (2004, p.96).

Nos documentos curriculares do município de Sobral (Ceará-Brasil), observamos que nos

anos iniciais do ensino fundamental é esperado que o aluno consiga identificar as

regularidades e os padrões na expressões numéricas. Vejamos as orientações que constam

em tal documento:

Álgebra: A proposta para o trabalho com Álgebra se dá pela observação e busca de

regularidades em sequências numéricas e geométricas; construção do conceito de

variável; identificação e determinação de generalizações; compreensão e utilização

da linguagem simbólica para representar a dependência entre algum par de

grandezas. Trata-se, dessa maneira, de inverter o processo tradicional de ensino da

álgebra que apresenta, inicialmente, as incógnitas e então utilizá-las na tradução de

situações problema para a linguagem formal (p.30)

Este recorte do documento nos remete a estrutura apresentada por Lew (2004) nos objetivos

da Generalização como já citado. Kaput (1995) corrobora com a necessidade do trabalho e

do desenvolvimento do pensamento algébrico por meio de generalizações ampliando a

complexidade gradativamente até se alcançar o formalismo algébrico. O currículo de Sobral

apresenta esta perspectiva, iniciando pelos Anos Inicias do Ensino Fundamental, no trabalho

conjunto com Números, ou podemos dizer, com a Aritmética, até os Anos Finais

desenvolvendo o formalismo.

Número e Álgebra são desenvolvidos juntos, uma vez que cada um enriquece o

estudo do outro. Os estudantes aplicam o sentido de número e estratégias para


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contagem e representação de números. Exploram a magnitude e propriedades dos

números e aplicam uma variedade de estratégias para cálculo e interpretam a

conexão entre as operações. Reconhecem padrões e entendem os conceitos de

variável e função. Constroem sua compreensão do sistema numérico para descrever

relações e formular generalizações. Reconhecem equivalência e resolvem equações

e desigualdades. Aplicam suas habilidades numéricas e algébricas para realizar

investigações, resolver problemas e comunicar seu raciocínio.(p.20)

O documento curricular em estudo, apresenta forte ligação nos Anos Iniciais, e reforça a ideia

do trabalho como o próprio denominação do eixo (Números e Álgebra) se apresenta. Ainda

podemos notar que as habilidades propostas no subeixo “Reconhecer padrões e resolver

problemas com cálculo algébrico” se aproximam dos caracterizadores apresentados por

Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005)

Identificar padrões numéricos formados pelo processo de contagem

Identificar padrões numéricos formados por uma sequência

Identificar padrões e regularidades nos fatos fundamentais da adição e subtração

Identificar padrões e regularidades nos fatos fundamentais da multiplicação e

divisão

Identificar padrões e regularidades nas expressões numéricas. (p. 52)

Sendo assim, podemos perceber que o currículo em fase de implementação no município de

Sobral, está acompanhando os resultados das pesquisas sobre o desenvolvimento do

pensamento algébrico, o que demonstra uma preocupação com a evolução do conhecimento.

Considerações

Nesse artigo, apresentamos algumas considerações sobre o avanço expressivo da rede pública

do Município de Sobral, nos anos iniciais do Ensino Fundamental (1º ao 5º ano) de acordo

com o Ideb que é um índice criado para aferir a qualidade do ensino no Brasil. Para tanto

fizemos uma breve apresentação de algumas compreensões do que alguns autores entendem

por pensamento algébrico e analisamos alguns trechos do documento curricular do município

de Sobral (Ceará-Brasil) à luz desses pesquisadores. Observamos no currículo de matemática

do município cearense uma proposta para que os alunos menores comecem a pensar

algebricamente desde os primeiros anos da escolarização, estando em consonância com as

pesquisas realizadas na área da Educação Matemática. Evidenciamos a necessidade da

ampliação de estudos que investiguem o ensino matemática nos anos iniciais, do ponto de

vista da álgebra, o ensino de números, operações e suas propriedades, uma vez que, a

aprendizagem algébrica debe ser vista como um processo.


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Referências Bibliográficas

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transition from arithmetic to algebra. Freudenthal Instituut:Utrecht.

Blanton, M., & KAPUT, J. (2005) Characterizing a classroom practice that promotes

algebraic reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 412–446, 36(5),.

Bodgan, R.; BIKLEN, S.(1994) Características da Iinvestigação Qualitativa. In:

Investigação qualitativa em educação: uma introdução à teoria e aos métodos. p.47-

51,Porto: Porto Editora.

Canavarro, A. P. (2007) O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos

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Corsetti, B. Análise documental no contexto da metodologia qualitativa. UNIrevista, vol.

1, n° 1: 32-46 (janeiro 2006). Disponível em:

<http://www.unirevista.unisinos.br/_pdf/ART%2005%20BCorsetti.pdf> Acesso em: 21 de

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Fiorentini, D.; Fernandes, F. L. P. & Cristovão, E. M. (2005) Um estudo das potencialidades

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Fiorentini, D., Miorim, M. Â. M. Â., & Miguel, A. (1993). A contribuição para repensar... a

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Kaput, J. J. (1995). A Research Base Supporting Long Term Algebra Reform?. In Annual

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Lins & Gimenez (2001). Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. São Paulo:

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Sá-Silva, J. R.; Almeida, C. D. & Guindani, J. F. (2009) Pesquisa documental: pistas

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Schliemann, A.D.; Carraher, D. W. & Brizuela, B. M. (2007) Bringing out the algebraic

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Lawrence Erlbaum Associates,.

Sobral(2017). Currículo de Matemática, pp 1-100, Sobral: SMES

http://www.unirevista.unisinos.br/_pdf/ART%2005%20BCorsetti.pdf


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CB-1403

HACIA UN DIÁLOGO ENTRE TEORÍAS RELACIONADAS CON LA

NOCION DE OBSTÁCULO EPISTEMOLÓGICO EN EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

Gloria Inés Neira|Sanabria

[email protected]; [email protected]

Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia

Núcleo Temático: Investigación en Educación Matemática

Modalidad: CB Nivel: 5

Resumen: ¿Es un obstáculo epistemológico un error, una mala comprensión, una

incomprensión, o sencillamente una cierta forma de conocer que funciona en algunos

dominios restringidos pero se revela inadecuada en otros? Se presentan diferentes

tendencias, teorías y enfoques relacionados con la noción de obstáculo epistemológico,

nociones como conflictos, errores, dificultades, mis-concepciones, de origen epistemológico,

semiótico, cultural, didáctico…El concepto de “obstáculo epistemológico” concebido como

esquemas de pensamiento culturalmente adquiridos, creencias no cuestionadas acerca de la

naturaleza de las matemáticas, emerge en la educación matemática como una manera de

explicar las dificultades de comprensión que no dependen solamente de falta de experiencia

con las matemáticas, ni de falta de habilidades o destrezas, sino también del simbolismo,

del lenguaje, de la semiótica, de la naturaleza de los conceptos matemáticos mismos y de

la cultura en la cual estos han sido desarrollados,

Palabras claves: obstáculo epistemológico, conflictos semióticos, concepciones.

INTRODUCCION

El término obstáculo epistemológico fue construido por el físico y filósofo francés Gastón

Bachelard, quien postuló que la naturaleza no nos es dada y nuestras mentes nunca son

vírgenes en frente de la realidad, pues sea lo que sea que veamos, digamos u observemos está

direccionado por lo que ya conocemos, pensamos, creemos o queremos ver. (1938/2004: 15).

No dio una definición explícita de obstáculo epistemológico, y ninguno de los ejemplos

dados por Bachelard se aplica a las matemáticas, como él mismo lo advirtió.

Se conciben los obstáculos epistemológicos como formas de comprensión basadas en algo

inconsciente, esquemas de pensamiento culturalmente adquiridos, creencias no cuestionadas

acerca de la naturaleza de las matemáticas y se formulan varias preguntas: ¿Sobre qué bases

podemos afirmar que el pensamiento de los estudiantes sufre obstáculos epistemológicos?

¿Es un obstáculo epistemológico un error, una mala comprensión, una incomprensión, o




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sencillamente una cierta forma de conocer que funciona en algunos dominios restringidos

pero se revela inadecuada en otros? ¿O es una actitud de la mente que permite tomar

opiniones por hechos, y unos pocos casos de evidencia por leyes generales?

Bachelard construye esta epistemología en 1938 y es hasta el año 1976 que Brousseau la

incorpora a la investigación en educación matemática. Se describe brevemente el tránsito de

esta noción hacia el campo específico de la investigación en educación matemática, que se

tarda alrededor de 38 años.

Aproximación desde la educación matemática: Brousseau vio en la noción de obstáculo el

medio de cambiar el estatuto del error mostrando que: el error y fracaso no tienen el papel

simplificado que queremos a veces hacerles jugar, no es solamente el efecto de la ignorancia,

de la incertidumbre, del azar, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tuvo su interés,

su éxito, pero que ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de ese tipo no

son erráticos e imprevisibles, ellos se constituyen en obstáculos. Tanto en el funcionamiento

del profesor como en el del alumno, el error es constitutivo de sentido del conocimiento

adquirido.»

A partir del debate que desató la incorporación del concepto a la educación matemática, se

empezó a creer que sí tenía sentido hablar de obstáculos epistemológicos en matemáticas, y

que ellos podían ser la explicación para eso que a diario se detectaba como obstaculizante en

los aprendizajes de los estudiantes.

Sierpinska (1994) identificó comprensión, que no es independiente del desarrollo, ni del

lenguaje en el cual se comunica, ni tampoco de la cultura en la cual ella se socializa, con

superación de obstáculos. El primer supuesto que enuncia de los obstáculos epistemológicos

es que de un nivel de conocimiento y comprensión a otro hay necesidad de integración y

reorganización. Afirma que la cognición no es un proceso acumulativo, pues las nuevas

comprensiones pueden solamente ser parcialmente construidas sobre caminos de desarrollo

previos. El otro supuesto de la filosofía de los obstáculos epistemológicos que enuncia, es

que no podemos hacer metafísica de la comprensión científica, lo cual significa que los

obstáculos epistemológicos son inevitables: su superación requiere una reconstrucción de

comprensiones fundamentales.


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Propone su ya conocida lista de cinco grupos de obstáculos epistemológicos relativos a la

noción de límite, de los que se concluye que aquello que está en la base de cualquier clase de

obstáculos epistemológicos, es su aparición y su resistencia en la historia de los conceptos

considerados, tal como había sido postulado por Bachelard y por Brousseau en su conocida

“arqueología de los obstáculos epistemológicos”, así como la observación de concepciones

análogas en los alumnos. Los obstáculos se presentan entonces en el camino del cambio del

pensamiento común al pensamiento científico; es decir en la transición de una clase de

racionalidad a otra clase de racionalidad.

Considerando otros discursos asociados a la noción de obstáculo epistemológico, citamos a

Michele Artigue (1995) quien utiliza el término «concepción. Esta noción responde a dos

necesidades distintas: Por un lado pone en evidencia la pluralidad de los puntos de vista

posibles sobre un mismo objeto matemático, diferencia las representaciones y modos de

tratamiento que les son asociados a ellas, y pone en evidencia su adaptación más o menos

buena a la resolución de tal o cual clase de problemas. Por otra parte, ayuda al didacta a

luchar contra la ilusión de transparencia de la comunicación didáctica propiciada por los

modelos empiristas del aprendizaje, y le permitirle diferenciar el saber que el profesor va a

transmitir y los conocimientos efectivamente construidos por el alumno. La palabra

concepción establece una distinción entre el objeto matemático que es único y las

significaciones variadas que le pueden asociar los estudiantes, a medida que su conocimiento

va evolucionando hacia un estatus superior.

La identificación y caracterización de las concepciones que los estudiantes construyen, a

medida que avanzan en el estudio de las matemáticas, es un tema que ha despertado el interés

de los investigadores en didáctica de las matemáticas porque, como ha señalado Delgado

(1998), son conocimientos que, en algunos casos, se constituyen en obstáculos para el

aprendizaje, en torno a los cuales se reagrupan los errores recurrentes.

Otra tendencia asociada es la mirada dirigida hacia la noción de error. Hay una pluralidad de

aproximaciones teóricas discursivas acerca de las causas de los errores de los estudiantes en

el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Según Rico (1998:75) se concibe el error como

parte constituyente de la adquisición del conocimiento: las organizaciones insuficientes o


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deficientes, las hipótesis tentativas, las conceptualizaciones incompletas son parte del acceso

al conocimiento y forman parte del modo de conocer. Considera que si los errores son

elementos usuales en nuestro camino hacia el conocimiento verdadero, en el proceso de

construcción de los conceptos matemáticos van a aparecer de forma sistemática errores y el

proceso de construcción deberá incluir su diagnóstico, detección, corrección y superación,

mediante actividades que promuevan el ejercicio de la crítica sobre las propias producciones.

Rico (1998:84) enfatiza algunas características como que los errores son sorprendentes,

extremadamente persistentes y resistentes a cambiar por sí mismos ya que puede requerirse

una reorganización fundamental del conocimiento de los alumnos. Pueden ser sistemáticos o

por azar. Los primeros son mucho más frecuentes y se toman como síntomas que apuntan

hacia un método o comprensión equivocada subyacente, que el estudiante considera como

correcto. Los errores por azar reflejan falta de atención y lapsus ocasionales, que tienen

relativamente poca importancia. No aparecen por azar sino que surgen en un marco

conceptual consistente, basado sobre conocimientos adquiridos previamente, Cualquier

teoría de instrucción debe modificar la tendencia a condenar los errores culpabilizando a los

estudiantes de los mismos, Todo proceso de instrucción es potencialmente generador de

errores, y al cometer un error, el alumno expresa el carácter incompleto de su conocimiento

y permite a los compañeros o al profesor ayudarle a completar el conocimiento y llevarlo a

la comprensión

En la perspectiva de la teoría de la objetivación cultural, se tiene que considerar entonces a

Radford (2007), quien desde una aproximación histórico-cultural al pensamiento matemático

sostiene que aquello que conocemos y el modo con el cual llegamos al conocimiento debe

enmarcarse no sólo por medio de aquello que hacemos ahora y cómo lo hacemos, sino

también por una inteligencia histórica que reposa en prácticas sociales, instituciones,

lenguaje, artefactos, libros, monumentos,... El conocimiento y el conocer son ambos

sostenidos por esta inteligencia histórica que hemos heredado de las generaciones pasadas.

Aquello que hace que un obstáculo sea epistemológico es su presunta naturaleza no cultural,

no didáctica, no onto- genética: lo es por su propia naturaleza epistémica intrínseca. Según

lo cual Radford (2007), interpreta que la naturaleza epistémica de la cultura está excluida

desde el inicio. Se pregunta qué tan fuerte puede ser el vínculo del obstáculo epistemológico


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y los factores sociales, y se atreve a concluir que no puede ser tan fuerte, pues si lo fuera la

idea de obstáculo epistemológico resultaría destruida y la tipología de obstáculos (onto-

genético, didáctico, cultural y epistemológico) ya no tendría sentido.

Afirma que si el término “obstáculo epistemológico” refiere un tipo de conocimiento parcial,

puesto en alguna parte del recorrido del desarrollo conceptual, un conocimiento que sirve

para resolver ciertos problemas, pero que comienza a ser causa de errores en el momento en

que es aplicado por fuera de ese tipo de problemas, entonces para él la cuestión fundamental

a tratar concierne a la explicación de la naturaleza del camino, que se supone es recorrido por

todos nosotros durante el desarrollo conceptual, prescindiendo de nuestro encuadramiento

temporal y cultural. Privilegia la construcción social, histórica y cultural del conocimiento y

por tanto los obstáculos los concibe en tanto culturales o didácticos. Según esta mirada socio-

cultural se debe, a partir de las perspectivas culturales explicar el trabajo de los alumnos: cuál

es el valor social que hace que uno cambie una cosa por otra, cuáles son las cosas que

permitieron ese desenvolvimiento.

Por otra parte, Godino (2003, 2010 Seminario Doctoral)) en el E.O.S (Enfoque

Ontosemiótico de la instrucción matemática) habla de conflictos semióticos y los define

como: “Cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una misma

expresión por dos sujetos (personas o instituciones) en interacción comunicativa”.

Los conflictos semióticos se consideran como explicaciones potenciales de las dificultades y

limitaciones de los aprendizajes matemáticos. Aclara que si la disparidad se produce entre

significados institucionales hablamos de conflictos semióticos de tipo epistémico, mientras

que si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un

mismo sujeto los designamos como conflictos semióticos de tipo cognitivo, en tanto que

cuando la disparidad se produce entre las prácticas (discursivas y operativas) de dos sujetos

diferentes en interacción comunicativa (alumno-alumno o alumno-profesor) hablaremos de

conflictos (semióticos) interaccionales. Conciben conflicto como una noción más general que

la de Obstáculo, y algo más específica que la de “error” o “dificultad”, enfatizando que la

idea de conflicto sugiere un origen (semiótico) de tales errores o dificultades, y dota a tales

nociones de un sentido pragmático mediado por la actividad y la práctica.


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Godino, Batanero y Font (2003) afirman que se habla de error cuando el alumno realiza una

práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la

institución matemática escolar, mientras que el término dificultad indica el mayor o menor

grado de éxito de los alumnos ante una tarea o tema de estudio. A veces el error no se produce

por una falta de conocimiento, sino porque el alumno usa un conocimiento que es válido en

algunas circunstancias, pero no en otras en las cuales se aplica indebidamente. Afirman que

cuando el error se produce porque el alumno usa un conocimiento, que es válido en algunas

circunstancias, en contextos donde no se puede aplicar se dice que existe un obstáculo. Esta

mirada del EOS es la que me tiende un puente, me posibilita un tránsito entre el discurso de

la escuela didáctica francesa clásica de corte esencialmente cognitivo y nuevos discursos más

dinámicos más fluidos, que la permean de cultura y socialización en la interacción humana.

Finalmente afirman que la noción de obstáculo se puede interpretar en términos de

“conflictos de significados”. “Siempre que podemos decir que hay un obstáculo, existe un

conflicto de significados. Pero no a la inversa, o sea no todo conflicto semiótico es un

obstáculo, en el sentido de Brousseau. La noción de conflicto semiótico y sus tipos puede ser

más flexible al aplicarse en situaciones menos exigentes que la de obstáculo (según la concibe

Brousseau), y además aporta una posible explicación: disparidad de significados”.

De otro lado, D’Amore (2007) explica los conflictos cognitivos en términos de imágenes:

un estudiante ha podido en el transcurso del tiempo, adquirir un concepto y haberse hecho

una imagen, imagen misma que pudo haber sido reforzada en el tiempo a través de pruebas,

experiencias repetidas, pero entonces ella se revela inadecuada respecto a otra del mismo

concepto… se crea así un conflicto entre la imagen que tenía el estudiante y que la creía

válida, in cuestionada (verdadera), y la nueva, que generalmente amplía los limites o

profundiza la aplicabilidad del concepto. Asocia la misconcepcion o concepto errado

afirmando que para alcanzar la construcción de un concepto es necesario pasar por una

misconcepción momentánea. Algunas imágenes pueden ser misconcepciones,

interpretaciones erradas de informaciones recibidas. Por tanto, el conflicto cognitivo es un

conflicto interno, a causa de la no congruencia entre dos conceptos, o entre dos imágenes o

entre una imagen y un concepto. Concluye que la carrera escolar de un individuo en las

matemáticas, se construye por el paso o tránsito de miss concepciones a concepciones


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correctas, luego la miss concepción es una concepción momentánea no correcta, en espera

de consolidarse cognitivamente más elaborada, ellas no pueden ser eliminadas, ni son un

daño ni un error, parecen ser un momento necesario y delicado hacia el concepto correcto.

Hacia una conceptualización propia de obstáculo

De este panorama presentado: obstáculo epistemológico, concepciones, obstáculos

culturales, obstáculos didácticos, conflictos semióticos epistémicos, cognitivos e

interaccionales, misconcepciones podemos ver que, reconociendo sus diferencias

sustanciales, han existido en la literatura distintos modos de enunciar esas “dificultades”,

errores, caídas, tropiezos que los maestros detectamos en nuestros estudiantes en las aulas de

clase, en todos los niveles de escolaridad, en toda clase de instituciones, de diferentes

maneras, y que se ha focalizado el interés de los investigadores en indagar lo que subyace a

tales dificultades con el afán de proponer categorías de análisis para explicarlas

potencialmente.

Y ¿por qué es importante presentar ese panorama de tendencias, de discursos, de miradas y

de perspectivas? Por un lado, para resaltar la importancia de la problemática, por otro para

caracterizar las tendencias y perspectivas actuales alrededor de los obstáculos y conflictos.

Se va a entender aquí la noción de obstáculo como un conocimiento y no una ausencia de

conocimiento; como un conocimiento y no como un error; Un conocimiento que funciona

bien en algunos contextos, pero que al ser aplicado en otros produce “errores”. Se conciben

los errores como los síntomas, los indicadores de la posible existencia de obstáculos. Aquí la

palabra error no se entiende como juicio calificador, como la palabra que juzga un

comportamiento, conducta o respuesta errónea del estudiante, sino como aquella conducta

que no sigue las reglas institucionales. Se reconoce en los errores que cometen los estudiantes

creatividad, comprensiones divergentes de las preguntas formuladas. Son la fuente de

indagación más importante, pues los obstáculos pueden inferirse de los errores en las

prácticas y de la dificultad experimentada por los que participan en ellas.

Si la conducta errática se repite sistemáticamente se le buscará la etiología en algo que no se

reduce a la habilidad motora incipiente. Esa conducta, error, equivocación, violación de la

regla institucional, es un síntoma de que ahí hay un obstáculo que no depende de falta de


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habilidades: Vendrá entonces la caracterización, para precisar su naturaleza. Una dificultad

concreta que se presenta en un tema y que se revela en los errores que se cometen, en las

dudas, en la perplejidad, puede deberse a que no se tienen los conocimientos necesarios, o

puede deberse a que los conocimientos que sí se tienen dificultan el trabajo. A diferencia

del conocimiento que falta, el conocimiento que sí está pero que provoca dificultades y

conflictos, dudas, errores son síntomas de conocimientos previos que no tienen o que sí tienen

pero entorpecen, dificultan el conocimiento.

A manera de conclusión

En la conceptualización de obstáculos planteamos como supuesto una contraposición entre

el conocimiento ausente (ignorancias) y el presente pero dificultante que son los obstáculos.

Los obstáculos epistemológicos no son obstáculos para una correcta o incorrecta

comprensión: ellos son obstáculos para un cambio conceptual, paradigmático. Así que

podemos introducir a los estudiantes en una nueva situación o problema y esperar que

emerjan toda clase de dificultades, malas comprensiones y obstáculos y precisamente esta es

una de nuestras principales tareas como profesores, ayudar a los estudiantes a superarlos, a

objetivar y ser conscientes de las diferencias, entonces los estudiantes quizá puedan hacer

sus propias reorganizaciones. La razón por la cual los formadores de profesores, los

educadores matemáticos de cualquier nivel de enseñanza deben interesarse por estas teorías

es porque el patrón del desarrollo conceptual de la niñez a la adolescencia parece ser

recapitulado cada vez que un estudiante se embarca en el proyecto de comprensión de algo

nuevo o en la construcción de un nuevo concepto. Es entonces cuando los discursos

asociados a la noción de obstáculo epistemológico pueden emerger y devenir en campos

didácticos al provocar y analizar prácticas, formas de participación, preguntas,

recapitulaciones una y otra vez en esa dinámica de interacciones que es la educación.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Artigué, M. La Enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos,

cognoscitivos y didácticos. En "Ingeniería Didáctica en Educación Matemática", Grupo

Editorial Iberoamérica. Bogotá. 1995. Una Empresa Docente. Pedro Gómez, editor.

Bachelard, G. La Formación del espíritu científico. Siglo XXI editores, vigésimo quinta

edición en español, 2004. (Obra original publicada en francés en 1938).


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Brousseau (1976) La problématique et l’enseignement des Mathématiques, XXVIIIème

Rencontre de la CIEAEM, Louvain la Neuve

Godino J. D., Batanero, C. y Font, V. (2003). Fundamentos de la Enseñanza y el Aprendizaje

de las Matemáticas para Maestros. Granada: Universidad de Granada

Radford, L., D’Amore B. y Bagni, G. Obstáculos Epistemológicos y Perspectiva Socio-

cultural de la matemática. Cuadernos del seminario en educación, Universidad Nacional de

Colombia, Bogotá, 2007

Rico, L. Errores en el aprendizaje de las matemáticas. En Educacion Matematica. “Una

Empresa Docente” J. Kilpatrick, L. Rico y P. Gómez (eds). Colombia, 1998

Sierpinska, A. Understanding in Mathematics. Studies in Mathematics Education Series. The

Falmer Press, Great Britain, 1994


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CB-1404

ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL ÁLGEBRA ESCOLAR, EL

CÁLCULO DIFERENCIAL Y EL CASO DEL LÍMITE



Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Universidad Autónoma de Colombia

Bogotá, Colombia

Núcleo Temático: Formación del Profesorado

Modalidad: CB

Nivel: 5

Palabras Clave: álgebra, cálculo, límite, función

Resumen:

Al iniciar los cursos de cálculo, se debe concebir la función como un objeto, como una

entidad sujeta a las operaciones que otros procedimientos efectúen sobre ella, cuando lo que

se concebía en cursos de álgebra, por ejemplo, era una noción de función presentada como

un procedimiento aplicado a ciertos objetos llamados números; ahora ese mismo concepto,

deviene en objeto al ser operado bajo otros procesos como el límite, la continuidad, la

diferenciación…, es decir, se convierte en el objeto sobre el cual se predica; no en vano se

considera concepto fundamental de la llamada matemática moderna. Cuando el

pensamiento numérico estático se combina con el pensamiento variacional, los términos

aún reflejan los procesos de cálculo aritmético y no se han objetivado como

transformaciones de un sistema analítico. Abordaremos en este escrito si el álgebra de

octavo y noveno grados es solo aritmética genérica o generalizada sin pretensiones

adicionales, o si las tiene, qué es lo que pretende.

Introducción:

El análisis del comportamiento de las funciones es uno de los rasgos que caracterizan al

pensamiento variacional. Para que los alumnos logren un acercamiento a esta forma de

pensamiento es necesario que enriquezcan la idea algebraica de función como

correspondencia entre dos valores, y que comiencen a visualizar una situación dinámica.

Según Cantoral y Farfán (2000), sabiendo que el significado y el sentido acerca de la

variación se establecen a partir de situaciones problemáticas cuyos escenarios son los

referidos a fenómenos de variación y cambio, se propicia el desarrollo de acercamientos




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didácticos que favorezcan la construcción de significados, tanto de los conceptos como de

los procesos, basados siempre en ideas variacionales.

La propuesta básica que plantean es, para el nivel que corresponda, el desarrollo de los

contenidos del currículo relacionados con las variables, las funciones y el cálculo desde un

enfoque variacional, considerando el estudio de la variación como una especie de eje rector

del que se desprenda el contenido temático. A través de experiencias con profesores en

servicio en la educación media y superior y con sus estudiantes, Cantoral, Farfán y sus co-

investigadores han constatado que, en caso de que se logren incorporar elementos visuales

como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, los estudiantes suele manejar

la función no sólo como objeto, lo que ya es un gran logro, sino que además pueden transitar

entre los contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad;

en otras palabras, en caso de tener un dominio del contexto geométrico/visual tanto en la

algoritmia, la intuición, así como en la argumentación, se hará más posible entonces el

tránsito entre las diversas representaciones

Desarrollo:

Para la transformación sintáctica de expresiones a lápiz es más sencilla y rápida la notación

del álgebra escolar con variables uniliterales y omisión de los símbolos de multiplicación y

elevación a potencias. ¿Cuándo y para qué se empieza a utilizar la transformación sintáctica

de expresiones algebraicas? Ahí es muy clara la importancia de pensar en la conversión y en

el tratamiento según Raymond Duval (1992): primero se hace la conversión del registro

verbal natural al registro algebraico escolar, y luego, un tratamiento de la representación

semiótica algebraica internamente en el registro algebraico escolar. En el tratamiento de una

representación algebraica no se necesita pensar en lo que representa, sino pensar en las reglas

y en sus restricciones para no equivocarse. Solo al final se vuelve a hacer una conversión al

lenguaje natural.

Se consideran el álgebra y el cálculo como dos sistemas conceptuales diferentes, con registros

semióticos para diferentes sistemas: diferente semántica, sintaxis casi igual. Como se señaló

arriba, una diferencia en la sintaxis del cálculo (pero no del álgebra) es el uso del redondelito

de la función compuesta. Una diferencia en la semántica es la interpretación de la x como


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función idéntica, que ciertamente no es del álgebra, dominio simbólico escolar que sirve para

representar regularidades que se repiten en patrones y que se asocia con el pensamiento

variacional, categorizado para sistemas algebraicos y analíticos. En el cálculo los tópicos más

importantes que se suelen estudiar son el de razón o tasa de cambio, los límites, las derivadas,

la continuidad, las integrales, nociones que giran alrededor del concepto de límite.

Desde nuestro punto de vista, el caso del área y del perímetro del círculo en los primeros

grados de básica secundaria son ya casos del límite como proceso, aunque no estén aún

axiomatizados o formalizados a la manera de Weierstrass. El obstáculo es la formalización:

¿por qué se pone valor absoluto y no se dice explícitamente que “x es distinto de xo y que

está en una vecindad de longitud dos delta (2) alrededor de xo”? Puede ser mucho más claro

decir esto que decirle al estudiante algo así como “cero es menor que equis menos equis-sub-

cero valor absoluto es menor que delta” y escribir:

“0 < |x – xo| < ”.

Se está poniendo el obstáculo en donde no es: en tratar de resumir dos desigualdades en una

sola, suponiendo que el estudiante sí es consciente de que xo puede ser cualquier número

positivo o negativo, pero fijo, y que x es ahora variable, pero dentro de esa “vecindad

perforada”. ¿Podemos suponerlo?

Desde este marco conceptual, así como la longitud de la circunferencia, el área del círculo y

otros problemas de cuadratura involucran ya el concepto de límite en el sentido que se

quisiera lo manejara el estudiante de cálculo. Lo mismo puede decirse respecto a los

decimales infinitos: ¿será que 0,9 periódico es igual a 1 o diferente de 1? Ahí está presente

el concepto de límite como nosotros lo vamos a entender : sin absolutamente ninguna

preparación sobre sucesiones, series, límites y desigualdades, sin construcción de los

números reales ni conciencia de su completitud, etc.

Para caracterizar lo que llamamos “el caso del límite”, es necesario citar la aproximación

geométrica que tradicionalmente se presenta. “La tangente es el límite de la secante (o de

las secantes)”, se dice en el tratamiento tradicional. Hay que plantear el límite de la secante

como la tangente, pues eso se hace en los cursos: se traslada el problema al terreno

geométrico, pero ese es otro tipo de límite, que no tiene ε ni δ; es bueno para mostrar que el

profesor está usando una noción de límite que no es la que se define con ε ni δ, y también


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para llamar la atención sobre otro punto poco explicitado: el profesor utiliza la palabra

tangente en dos sentidos: uno, con el significado del final de décimo grado, cuando se habla

de las funciones trigonométricas, y otro, en el sentido de la primera parte del décimo grado,

cuando se habla de la tangente a las gráficas; luego, ahí el que está poniendo un obstáculo

didáctico es el profesor. Está tendiendo una trampa que distingue dos usos que el enunciador

sabe que son diferentes, pero el estudiante no. El profesor debería decir: “la tangente del

ángulo que forma la recta tangente con el eje horizontal”. El concepto de pendiente como

inclinación puede medirse por el ángulo, por el seno del ángulo o por la tangente del ángulo,

y esto es más coherente que tratar de definirla como razón de dos variaciones y/x. ¿Dónde

está la tangente?

En las expresiones simbólicas que involucran el símbolo de infinito, como Lim x = ; x

, suele haber una inconsciencia en los estudiantes, pero también en el profesor, quien usa

igual sintaxis y vocabulario cuando dice que “la x que tiende a infinito es una variable y la

otra x es una función”. Precisamente ahí hay un ejemplo de ese paso del álgebra al cálculo:

en el álgebra, la x representa variables en el sentido de incógnitas para averiguar o de números

genéricos, pero en el cálculo representa la función idéntica.

En Euclides ya se habla de límite y hay una diferencia entre segmento finito, semirrecta y

recta indefinidamente larga. Para los profesores de educación media y de universidad,

“cálculo” es lo que aparece en los textos sobre cálculo. La conceptualización básica involucra

el estudio de los límites, las derivadas, las integrales… y el caso del límite lo conforman

todas aquellas situaciones que requieren aproximaciones y vecindades; el mismo profesor en

su lenguaje utiliza expresiones como “acercarse más y más”, “acercarse tanto como se

quiera”, “tender hacia”, “infinitamente cercanas”, que involucran entidades como lo

infinito y lo infinitesimal. Esquematizando, tenemos:

Álgebra Cálculo Geometría

Analítica

Análisis

Como tratamientos

en un registro

simbólico para la

Como tratamientos

en un registro

Como conversiones

entre dos registros

simbólicos de

Como sistema

conceptual cuyos

elementos son las


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aritmética

generalizada

simbólico para el

análisis

ecuaciones y

gráficas

funciones reales de

valor real

Hay tres operadores sobre funciones que son los que caracterizan el trabajo analítico que se

suele hacer en el cálculo: el límite (L), la derivada (D) y la integral ( ).

El siguiente cuadro muestra en la primera columna cada operador analítico por sí solo y el

mismo aplicado a su argumento, (que es una función reificada como objeto, como aparece

en la segunda columna); en la tercera columna, el valor de esa función cuando se aplica a su

propio argumento genérico (que es un número real); luego el argumento aparte (que es un

número real todavía no determinado) y un caso particular de un número real.

Operador Argumento del op. Valor Argumento Caso particular

L L(f) f f(x) x 1

D D(g) g g(y) y 2/7

(h) h h(z) z π

Tres elementos fundamentales: “Procepts, reification, APOS theory”)

Tall y Vinner (1981, citados por Vasco, 2009) y Fischbein3 propusieron dos tipos de nociones

intermedias entre las nociones vagas y los conceptos científicos (en inglés los llamaron

“concept image” y “procept”).

“Concept image” (“imagen conceptual”). Para comparar el concepto con la imagen

conceptual, Vasco propone pensar como ejemplo en el concepto de curva en geometría

diferencial; el concepto matemático de curva difícilmente puede separarse de la imagen

conceptual de una línea curva, aunque dicho concepto se refiere a una función que proyecta

un intervalo de R en un espacio de dos o más dimensiones, no a la imagen del intervalo bajo

la función, que es la que mantenemos indisociablemente ligada a la curva. La imagen

conceptual es un conglomerado de todas las estructuras, imágenes, procedimientos y

3 Los autores se remiten a una idea de Fischbein, Tirosh y Hess de 1979 sobre las intuiciones del infinito y a

una ponencia de Vinner y Hershkowitz de 1980 en el PME IV.


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relaciones asociadas con el concepto, y muchas de sus regiones pueden estar muy alejadas y

aun contradecir la definición formal del concepto ya institucionalizada.

La palabra inglesa “procept” se podría traducir directamente por “procepto”, en el sentido

de concepto procedimental, pues se relaciona más con los procesos, procedimientos o

algoritmos que con los objetos o las relaciones, pero oscila de uno a otro. Por ejemplo, el

estudiante de primaria y secundaria suele rechazar la distinción entre adición y suma, pues

no conceptualiza propiamente la operación binaria de adición, sino que la confunde con la

manera como hace las sumas, sin distinguir la operación del resultado, ni éstos del algoritmo

que aprendió (por ejemplo el algoritmo usual para sumar varios numerales decimales

dispuestos en columna). En símbolos, a+b puede significar sumar a con b, o el resultado de

ese proceso.

Otro ejemplo es el del concepto de igualdad. Un estudiante normal, aún “exitoso”, puede

pasarse todo el bachillerato sin configurar el concepto de igualdad como relación de

equivalencia entre expresiones simbólicas que se refieren al mismo objeto y que permite la

sustitución de la una por la otra. Le basta el procepto de igualdad, que condensa el proceso

de obtener un resultado y la relación estática de igualdad. Este procepto le permite leer el

símbolo “=” como “da”, aunque se pierda la propiedad simétrica. Va a creer, por ejemplo,

que la ecuación “0 = x2 – 1” está “mal escrita”. Pero la idea de Tall (1992), es que esa

oscilación o confusión entre proceso y concepto no es rechazable, más aún, es una

ambigüedad muy conveniente en el pensamiento de orden superior y los expertos también la

utilizan sin darse cuenta de que a veces se refieren al proceso y a veces al producto conceptual

de ese proceso.

Las palabras reificación o cosificación, según Vasco, son dos traducciones del inglés

reification, que se extendió en la educación matemática con los primeros trabajos de Anna

Sfard. En latín, “res” significa “cosa”, y “hacer de algo –que no es cosa– una cosa”, se puede

decir cosificación o reificación.

La noción inicial de cosificación o reificación es la de formar mentalmente un objeto de lo

que era un proceso, una acción, una operación o una relación. Por eso se encuentra a veces

la palabra objetivación. Como toda palabra terminada en “-ción”, cosificación, reificación u

objetivación a veces se refiere a la operación mental y a veces al resultado de esa operación.


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Vasco enumera algunas pistas sobre la ocurrencia de la reificación de un nuevo producto

mental:

Separarlo de y contrastarlo con otras cosas, objetos, elementos o componentes.

Operar sobre el nuevo producto.

Nombrarlo con un sintagma nominal.

Atribuirle predicados unarios o monádicos.

Relacionarlo con otros y atribuirle predicados binarios, ternarios, etc.

La propuesta inicial de Anna Sfard, afirma Vasco, era que el progreso en la conceptualización

matemática con frecuencia consistía en cambiar de una manera de concebir un proceso o

procedimiento como algo activo, que ocurre en el tiempo, a una consolidación y detención

del mismo como un nuevo objeto o cosa sobre la cual se empieza a actuar. Para el caso del

análisis, se podría pensar en que el estudiante toma las expresiones del álgebra de bachillerato

solo como instrucciones para calcular un resultado; por ejemplo, entendería el término “x2 –

1” como “eleve el número al cuadrado y quítele uno”. Es una comprensión limitada, porque

no permite pasar a la función respectiva, pero es correcta. Por eso puede tener éxito en

aprobar dos años de álgebra sin construir el concepto de función, pues ese concepto requiere

una reificación del procedimiento de calcular el resultado. Si no se reifican las funciones

como objetos, no puede construirse un sistema analítico en el que los elementos u objetos

sean las funciones reales de valor real. Aquí podría estar la diferencia entre el álgebra de

bachillerato y el análisis real.

En este caso Vasco (2009) plantea que la reificación es muy cercana al paso del procepto de

Tall, Vinner y Fischbein al concepto respectivo. Así lo ha utilizado Ed Dubinsky en

experimentos de enseñanza de la teoría de grupos. Pero no es el único caso. Por ejemplo, las

relaciones simbolizadas por los signos “<” y “>”, que los estudiantes leen menor y mayor,

suelen quedarse en una comparación entre dos números y no pasan a configurar un sistema

de relaciones con sus propiedades, su composición, su inversión, etc., pues esas relaciones

no han sido reificadas, cosificadas u objetivadas. No se puede trabajar con un sistema cuyos


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elementos sean las relaciones si los estudiantes no las reifican, es decir, si no las vuelven

cosas u objetos mentales.

Aquí también puede haber una barrera para el paso al análisis desde el álgebra de bachillerato

y el estudio de pre-cálculo y cálculo con funciones como instrucciones o como relaciones,

sin reificarlas. Mientras no se logre la reificación, el estudiante no puede pasar a los sistemas

analíticos, cuyos elementos son las funciones como operaciones unarias reificadas. Tanto los

estudiantes como muchos de sus profesores siguen pensando que el sistema simbólico que

aprendieron en el álgebra de bachillerato representa lo mismo cuando se usa en el cálculo,

pues en ambas asignaturas basta saber operar con algunas reglas que se refieren solo a los

símbolos, sin tener que pensar en los conceptos.

Conclusiones

A través de estas consideraciones se pretende aportar herramientas teóricas y metodológicas

para la enseñanza y aprendizaje del cálculo diferencial escolar en estudiantes universitarios,

que han de servir también, por supuesto, para todo aquel que esté transitando del álgebra

escolar al cálculo diferencial escolar, y dotar de elementos de profundización, sustentación y

fundamentación epistemológica y metodológica a la investigación sobre obstáculos,

conflictos y dificultades que se presentan al iniciar el estudio del cálculo diferencial escolar.

Así mismo, se esperan impactos a partir del uso de los resultados de investigación en lo

institucional, en relación con la investigación en didáctica de las matemáticas y en la

formación de profesores de matemáticas, con las comunidades de investigadores y con las

políticas educativas.

Referencias Bibliográficas:

Cantoral, R. y Farfán, R. (2000). Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al

análisis. En: El futuro del Cálculo Infinitesimal, ICME-8; Sevilla. México: Grupo Editorial

Iberoamérica.

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M., del original en francés: Graphiques et equations. L’Articulation de deux registres, 1988.

Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, p.p. 125-139). México: Cinvestav-IPN.

Neira, G. (2000). El paso del álgebra al cálculo: punto fundamental para lograr una

comprensión significativa en matemáticas. Revista Ingeniería (Universidad Distrital

Francisco José de Caldas), n. 1, 87-92.


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Tall, D. y Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with

particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-

169.

Tall, D. (1992). The transition to advanced mathematical thinking: functions, limits, infinity

and proof. En: Grouws, D. (Ed.), Handbook or research on Mathematics teaching and

learning (p.p. 495-510). New York: MacMillan.

Vasco, C. E. (1995). History of mathematics as a tool for teaching mathematics for

understanding. En: Perkins, D.; Schwartz, J.; Maxwell, M. y Stone, M. (Eds.). Software goes

to school. Teaching for understanding with new technologies (p.p. 54-69). New

York/Oxford: Oxford University Press.

Vasco, C. E. (2009). Acerca de “concept-image, procept, reification”. En: Seminario de

investigación del DIE-UD. Bogotá: DIE-Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE EL ÁLGEBRA ESCOLAR, EL

CÁLCULO DIFERENCIAL Y EL CASO DEL LÍMITE



Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Universidad Autónoma de Colombia

Bogotá, Colombia

Núcleo Temático: Formación del Profesorado

Modalidad: CB

Nivel: 5

Palabras Clave: álgebra, cálculo, límite, función

ANEXOS

Tensiones disciplinares y de aprehensión cognitiva

Hay múltiples tensiones entre el análisis real, el cálculo escolar, la geometría escolar, la

geometría analítica escolar, el álgebra abstracta, el álgebra de bachillerato, la aritmética de

los reales, la aritmética de los racionales, la aritmética de los enteros, la aritmética de los

naturales, entre lo discreto y lo continuo (y en la mitad, lo denso), entre lo finito y el infinito

actual (y en la mitad, el infinito potencial).

Hay algunos aspectos en los que la notación del cálculo parece ser la misma del álgebra

escolar, pero no lo es, como se ve, ante todo, por la ausencia de la composición; por el




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entendimiento del exponente menos uno (–1) como recíproco, no como inverso de la función;

por el uso del apóstrofe para la derivada; por la manera de entender las igualdades que

empiezan por “y =…” como funciones; por la yuxtaposición de letras –sin indicar

multiplicación– en los nombres de las funciones (como “lnx”). La idea es documentar que se

trata de un registro semiótico diferente para un sistema conceptual diferente.

Tenemos la conjetura de que la notación para la geometría analítica de décimo grado no es

la misma que la del álgebra escolar ni la del cálculo. En geometría analítica, los términos “no

significan nada”; sólo las igualdades –que también llamamos “ecuaciones”– significan algo,

aunque en ellas no se trata de averiguar una raíz o un conjunto solución (o conjunto de

soluciones). No importa que las gráficas cartesianas determinadas por esas ecuaciones sean

funcionales o no. No se usa la composición ni la derivada. Podría, pues, haber otra transición

del álgebra escolar a la geometría analítica y otra al cálculo, pero en este trabajo nos interesa

la que va del álgebra al cálculo, entre otras cosas, porque en el cálculo de la universidad, la

geometría analítica es una unidad más o una herramienta para las llamadas “funciones

trascendentes”.

La principal operación binaria analítica es la composición de funciones, operación que no

figura en el álgebra de bachillerato. Los elementos u objetos del análisis no son los números

racionales y reales, sino las funciones reales de valor real. En noveno grado los estudiantes

nunca vieron una “o” pequeña entre dos términos algebraicos como 2x y x2, pues no

representaban dos funciones: la que duplica, d(_), y la que eleva al cuadrado, c(_), sino los

números resultantes. En cálculo habría que escribir cod(x) o doc(x), que no es lo mismo. Los

objetos del cálculo son, pues, muy diferentes de los objetos de la aritmética generalizada.

Respecto a la relación continuo-discreto (al interior de la aritmética, del álgebra y del

cálculo), en la mitad hay una zona gris: lo denso, o la densidad. En lo discreto están los

conjuntos finitos, los números naturales y los enteros; luego se llega a los racionales positivos

Q+, que son densos, y de allí se llega a los racionales Q. Luego se trata de capturar el continuo

(línea, región) a través de lo discreto y lo denso.

Generalmente se viene trabajando en el álgebra de bachillerato con ciertas funciones muy

limitadas: la función cuadrado, la función cubo, las funciones lineales y las funciones afines

o de gráfica lineal (que se confunden frecuentemente con las lineales). No se consideran las

funciones constantes como funciones, sino como constantes. La función idéntica no se utiliza


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como función, tal vez “porque no hace nada”. La x se considera como incógnita, como

variable o como indeterminada, pero no como función (representa la función idéntica en los

reales).

No es conveniente confundir la función, tomada como operación o transformación, que es un

objeto activo, con su grafo, que es un objeto pasivo propio de la teoría de conjuntos. Se

perdería el aspecto activo de la función y no se podría hablar de la diferencia entre el conjunto

de salida y el dominio, ni de la diferencia entre el conjunto de llegada y el recorrido, rango o

codominio. No habría diferencia entre función parcial y función totalmente definida, ni entre

función en (“into”) y función sobre o sobreyectiva (“onto”). Menos conveniente todavía es

confundir la función con su gráfica cartesiana. La una es un elemento u objeto analítico, y la

otra es un elemento u objeto geométrico.

Para entrar en el mundo del cálculo es necesario enriquecer la visión de los estudiantes sobre

la noción de igualdad y desarrollar nuevos métodos para probar igualdades. En este punto,

es interesante notar que una reconstrucción similar de la noción de igualdad fue puesta en

evidencia por la investigación didáctica, en la transición del pensamiento numérico al

pensamiento algebraico. Tal como se ve en Neira (2000), en el álgebra, para demostrar que

dos expresiones son iguales, se razona por equivalencia: se transforma la escritura a(x) =

b(x) en una sucesión de escrituras ai(x)=bi(x) hasta obtener dos expresiones idénticas. Lo mismo

se hace en el tratamiento de las ecuaciones y de las inecuaciones. Mientras que en el

cálculo, se hace un encaje con la proposición ∀ ε >0, la-b /< ε , Lo cual ha de llevar a

comprender que para demostrar que en la vecindad de un punto a, f(x) < g(x), no hay que

resolver la inecuación, sino encontrar un intervalo de centro a donde tal desigualdad se

pueda garantizar, mediante aproximaciones y estimaciones. Se pasa de razonamientos por

equivalencias sucesivas a razonamientos por condiciones suficientes.

La entrada en el mundo del cálculo obliga también a los estudiantes a reconstruir objetos

matemáticos ya familiares pero en otros mundos: la noción de tangente nos proporciona un

caso prototípico de tal reconstrucción. En la enseñanza bachillerato, los alumnos encuentran

primero esta noción en el contexto del círculo. La tangente es un objeto geométrico que posee

propiedades específicas: • no corta al círculo, • Lo toca en solo un punto, • en el punto de

contacto es perpendicular al radio.


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Todas estas propiedades son globales y no tienen nada que ver con la idea de dirección

común. Además, para ayudar a los alumnos a darse cuenta del carácter abstracto de los

objetos geométricos, los profesores subrayan que incluso si perceptivamente el círculo y la

tangente parecen coincidir localmente, en realidad tienen solo un punto común. Esta

concepción geométrica se puede generalizar aplicándose a otras curvas, por ejemplo

parábolas, y conduce a la concepción algebraica de la noción de tangente como recta que

tiene una intersección doble con la curva, que resulta operativa con las curvas algebraicas.

Claramente, no hay una filiación directa entre esta tangente y la definida en cálculo,

caracterizada por una propiedad local: la recta con que la curva tiende a confundirse

localmente (aproximación afín al orden uno) y cuya pendiente está dada por el valor de la

derivada de la función asociada.

Ampliando las conclusiones:

Se espera plantear propuestas didácticas para superar los obstáculos caracterizados y para

desarrollar prácticas escolares que conduzcan a una transición más continua del conocimiento

superando las rupturas y los obstáculos; una mayor sustentación teórica y metodológica en

el área de matemáticas del ciclo básico de ingeniería para la evaluación de las prácticas

docentes de los profesores de matemáticas y una ampliación de la base teórica y

metodológica de los investigadores, grupos de investigación, formadores de profesores,

profesores en ejercicio en la línea de investigación concerniente a la formación de profesores

de matemáticas que tengan en cuenta estas consideraciones.

Los acercamientos descritos anteriormente han de permitir obtener algunos resultados

prometedores para la formación y profesionalización de la práctica, pues cada concepto del

cálculo que se desea enseñar suele apoyarse en nociones más elementales y se resiste al

aprendizaje si no se antecede por un sólido entendimiento y articulación de las nociones y

los conceptos previos, lo cual es necesario pero no suficiente: lo evidenciamos todos los días

en las aulas de clase, y en los “errores” persistentes en los exámenes y evaluaciones.

Se espera haber señalado varios elementos de análisis en dirección a elaborar reflexiones de

orden epistemológico y didáctico en cuanto a comprender, interpretar y quizá aportar en la

solución, de una manera más amplia, de las dificultades y obstáculos detectados en la

comprensión del cálculo diferencial. El trabajo empírico, la recolección y análisis de datos,

nos confirmará las bondades y también las limitaciones de este acercamiento.


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CB-1.405

LEITURA, HISTÓRIAS E APRENDIZAGEM MATEMÁTICA COM A

ARITMÉTICA DA EMÍLIA NA SALA DE AULA

Jeania Soares Lima Vitória – Jonson Ney Dias da Silva – Taise Sousa Santana

[email protected] – [email protected]– [email protected]

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Brasil.

Grupo de Articulação, Investigação e Pesquisa em Educação Matemática- GAIPEM

Núcleo temático: As matemáticas e a sua integração com outras áreas (VI)

Modalidad: P

Nivel educativo: Educação Primária

Palabras clave: Conceitos matemáticos, leitura, Educação Matemática.

Resumo O texto apresentado refere-se a reflexões geradas a partir de uma experiência com leitura

na aula de matemática como atividade de fixação. Nessa atividade foram exploradas

situações que contribuem na construção do conhecimento matemático, como também no

resgate de conteúdos já estudados. Os alunos dos 6º ano do ensino fundamental II, do

Educandário Padre Gilberto, construíram a partir da leitura de uma história, trabalhos

envolvendo a história dos números, valor posicional, ordem e classe, número reduzido e

ampliado, números consecutivos, numeração romana, discussão sobre o número zero, sua

criação e relação de paridade. As atividades tiveram como foco, revisar conteúdos

estudados durante a unidade, antes da realização de uma atividade avaliativa.

1. Introdução

Estimular o gosto e a prática da leitura é um dos grandes objetivos da família e

também da escola. Muitas vezes, tanto em casa quanto na escola faltam iniciativas que

favoreçam a aprendizagem. Por isso é necessário elaborar projetos e metodologias que

despertem nos alunos interesse, que os estimulem e desenvolvam habilidades de pensamento.

Sem dúvida a leitura e a Matemática, juntas na sala de aula, podem ser um forte apelo ao

lúdico e um envolvente desafio para o aluno. Isso permite que ele desenvolva capacidades de

interpretar, analisar, sintetizar e descrever tudo aquilo que sente e observa no seu cotidiano

escolar. A comunicação ajudará no desenvolvimento matemático, favorecendo a

compreensão dos conteúdos na vida dos alunos e, facilitando que se tornem leitores assíduos.

mailto:%[email protected]




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Para aprender a ler, as crianças devem ver formas de empregar a leitura para ampliar

os seus objetivos e interesses. Se a linguagem escrita tem significado para as crianças, elas

aprenderão da maneira que aprenderam a usar a linguagem falada. As histórias são

importantes e de grande ajuda especialmente porque as crianças aprendem muito sobre leitura

com os autores. Através desta reflexão, observa-se que é necessária a integração entre a

leitura e a Matemática. E o trabalho pedagógico na forma de projeto, promove a

interdisciplinaridade, a contextualização dos conteúdos e a participação motivada dos alunos

de modo efetivo e coletivo. Contribui também para o bom desenvolvimento do trabalho em

grupo, fazendo com que os alunos entendam a sua importância, cumpram suas tarefas e

aproveitem as contribuições dos colegas na construção dos conhecimentos e na reflexão

pessoal. Durante todo o processo de desenvolvimento de um projeto que visa uma forma de

estimular a leitura, tem-se por consequência um novo olhar para a metodologia do ensino de

qualquer área do conhecimento. Entre eles devemos estabelecer um ambiente em que o aluno

crie uma união cognitiva e significativa entre a leitura e a linguagem oral e escrita, junto com

ideias de um senso comum entre a matemática e as suas representações simbólicas.

A leitura e a escrita são meios de expressão, comunicação e organização do

pensamento, num movimento constante de construir, atribuir e compartilhar significados. Por

intermédio da leitura e escrita, ao mesmo tempo em que o indivíduo tem acesso ao

conhecimento elaborado pela humanidade, pose contribuir para esse mesmo acervo.

A escola é o lugar por excelência em que os alunos têm acesso a esse acervo.Essa

atividade propõe estimular a leitura, a criatividade e o interesse por livros relacionados com

a Matemática, facilitando a compreensão dos conteúdos propostos em sala de aula, levando

o aluno a levantar hipóteses, criar e resolver problemas, estimulando o raciocínio por meio

do lúdico.

Para aprender a ler, as crianças devem ver formas de empregar a leitura para ampliar

os seus objetivos e interesses. Se a linguagem escrita tem significado para as crianças, elas

aprenderão da mesma maneira que aprenderam a usar a linguagem falada. As histórias são

importantes e de grande ajuda especialmente porque as crianças aprendem muito sobre leitura

com os autores, mas também são importantes as placas, os rótulos e os outros casos de escrita

que a cercam em seus ambientes. As crianças devem ser bem aceitas nos clubes de


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alfabetização para que possam receber todos os tipos de demonstração e colaboração de que

precisam para tornarem-se leitores também. (SMITH: 1999, p. 125).

Através desta reflexão, observa-se que é necessária a integração entre a leitura e a

Matemática. E o trabalho pedagógico na forma de projeto, promove a interdisciplinaridade,

a contextualização dos conteúdos e a participação motivada dos alunos de modo efetivo e

coletivo. Contribui também para o bom desenvolvimento do trabalho em grupo, fazendo com

que os alunos entendam a sua importância, cumpram suas tarefas e aproveitem as

contribuições dos colegas na construção dos conhecimentos e na reflexão pessoal.

2. A Leitura e a aprendizagem

A leitura é importante em todos os níveis. Assim, deve ser iniciada no período de

alfabetização e continuar no decorrer da vida acadêmica, estendendo-se para a vida pessoal.

Ela se constitui como forma de interação das pessoas de qualquer área do conhecimento. O

ato de ler constitui uma atividade essencial a qualquer área do conhecimento. Está

intimamente ligada ao sucesso do ser que aprende. Permite ampliar uma visão de mundo,

através de argumentações e conhecimento adquirido. Possibilita a aquisição de diferentes

pontos de vista e alargamento de experiências. Por esse motivo, se torna necessário a

formação de leitores que possam trabalhar esse material. A leitura possibilita ao aluno ter o

conhecimento de fundamentos matemáticos numa outra linguagem onde, naturalmente, os

conceitos, procedimentos e representações matemáticas, foram identificados. Através da

leitura o aluno é chamado a pensar como matemático, não só na formulação de questões e

conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados

e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor.

O professor tem a liberdade de escolher as obras didáticas para seus alunos em função

do conhecimento que tem dos livros, da escola e dos alunos. Pode ainda usar de materiais

impressos para o ensino de sua disciplina: dicionário, revistas, jornais, etc... e, até mesmo,

elaborar seus próprios textos, incentivando assim as muitas formas de ler. O livro constitui o

mediador na comunicação escrita entre o professor e o aluno. Através dele, se valoriza um

ensino informativo e teórico.

Por esse motivo, se torna necessário a formação de leitores que possam trabalhar esse

material. A leitura possibilita ao aluno ter o conhecimento de fundamentos matemáticos


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numa outra linguagem onde, naturalmente, os conceitos, procedimentos e representações

matemáticas, foram identificados.

Através da leitura o aluno é chamado a pensar como matemático, não só na

formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na

apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor.

3. A experiência

A atividade de leitura na aula de matemática foi desenvolvida, tendo como principal

objetivo provocar a busca de alternativas para o ensino e a aprendizagem de matemática,

através do uso de histórias que continham conceitos matemáticos e através desta revisar

conteúdos estudados e que seriam cobrados na avaliação parcial I. Este material pode ser

explorado como recurso metodológico, sendo capaz de enriquecer o processo, priorizando

no aluno sua autonomia e criticidade, acreditando que este pode ser o grande responsável

pela sua aprendizagem, desenvolvimento de suas habilidades e pela construção do seu

próprio conhecimento.

Além de identificar conceitos e conteúdos matemáticos específicos, no processo de

leitura, considera-se que o papel do professor envolve o planejamento, a operacionalização e

a avaliação das atividades propostas com o uso da leitura, na perspectiva das competências e

habilidades que envolvem a leitura e escrita para o exercício da cidadania.

Porém, os desafios matemáticos exigem do professor o desenvolvimento de situações

de aprendizagens diferenciadas, estimulando o aluno a ser capaz de pensar logicamente,

relacionando ideias, argumentando em seu grupo de estudos e estimulando sua curiosidade.

Em sala de aula, atividades que requeiram do aluno a comunicação ajudam-no a esclarecer,

refinar e organizar seus pensamentos, fazendo com que se aproprie de conhecimentos

específicos como de habilidades essenciais para aprender qualquer conteúdo em qualquer

tempo.

Enquanto o aluno adquire os procedimentos de comunicação e os conhecimentos

matemáticos, é natural que se desenvolva a linguagem matemática. Trocando experiências

em grupo, comunicando suas descobertas e dúvidas ,ouvindo, lendo e analisando as ideias

dos outros, o aluno interioriza os conceitos e os significados envolvidos nessa linguagem e

relaciona-os com suas próprias ideias.


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A atividade proposta teve as seguintes etapas:

• Leitura compartilhada do capítulo II do texto: Aritmética da Emília. “Os artistas da

Aritmética” de Monteiro Lobato;

Discussão do texto;

• Divisão da turma em grupos de três alunos;

• Identificação e reconhecimento dos conceitos e propriedades matemáticas contidas no

texto.

• No grupo, em sala de aula, ocorreu um debate com a discussão sobre os conteúdos

retirados do texto.

• Distribuição de fichas contendo perguntas;

• Resolução das questões recebidas;

• Apresentação das respostas de cada grupo;

• Correção participada das respostas;

• Exibição do vídeo: A história dos números.

• Relatório do vídeo.

• Discussão sobre o número zero. (Sua criação, importância, suas condições para ser

considerado um número par). (REIS, 2016)

4. Considerações Finais

Os alunos do 6ºano do Ensino Fundamental do Educandário Padre Gilberto, durante

as aulas de matemática realizaram atividades envolvendo conteúdos matemáticos

envolvendo assuntos do bloco “Números e operações” , participaram de bate-papo sobre a

história dos números e a importância da criação de um sistema numérico para humanidade.

O planejamento desta atividade ocorreu devido à necessidade de se fazer algo

inovador e também mostrar para o aluno que a leitura é importante em qualquer disciplina e

desmistificar que o estudo da matemática está focado apenas nos algoritmos. E deu certo,

pois durante as atividades foi possível ter um ótimo aproveitamento e envolvimento dos

alunos, além disso, reafirmar que a leitura deve ser utilizada na área da educação matemática,

bem como em todas as áreas do conhecimento.

Com o desenvolvimento desta atividade foi oportunizado aos alunos a interação com

diferentes formas do aprender a matemática, além de promover a motivação e o gosto por


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esta ciência que, às vezes, é tão temida e desprezada pelos alunos. Ao finalizar a atividade

eles demonstraram muita satisfação e surpresa, pois para eles o ensino da matemática está

focado apenas em números, contas e perceberam que a matemática esta presente nas

literaturas ,despertando assim o prazer pelo estudo da matemática.

Referências

Lobato, M. (2016); Os artistas da Aritmética, 7-14. En: Lobato, M. Aritmética da Emília, pp 7-14.

http://www.miniweb.com.br/cantinho/infantil/38/Estorias_miniweb/lobato/Aritmetica_Da_Emilia.p

df/ Consultado 23/03/2016

Reis, J. C. dos.(2016) Perguntas sobre o número zero. Revista da ORM/ SC nº 13, 55-61.

Smith, F. (1999). Leitura significativa 3. Ed. Porto Alegre: Editora Artes Médicas Sul Ltda.

http://www.miniweb.com.br/cantinho/infantil/38/Estorias_miniweb/lobato/Aritmetica_Da_Emilia.pdf/

http://www.miniweb.com.br/cantinho/infantil/38/Estorias_miniweb/lobato/Aritmetica_Da_Emilia.pdf/


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Anexos

Imagens ilustrativas da Literatura de Monteiro Lobato utilizada na experiencia.

Extrato de parte do material produzido pelos estudantes durante a atividade.

Extrato de parte do material produzido pelos estudantes sobre a atividade.


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CB-1.407

A ÁLGEBRA E O PENSAMENTO ALGÉBRICO NOS DIREITOS DE

APRENDIZAGEM DOS CICLOS INTERDISCIPLINAR E AUTORAL DA REDE

MUNICIPAL DE ENSINO DE SÃO PAULO. TITULO DO TRABALHO

José Roberto de Campos Lima – Bárbara Lutaif Bianchini


SMESP/Brasil – PUCSP/Brasil


Modalidade: CB

Nível educativo: Sem especificar

Palavras chave: Pensamento Algébrico, Direitos de Aprendizagem, Ensino Fundamental,

Álgebra

Resumo Neste artigo apresentamos uma análise do documento "Direitos de Aprendizagem dos Ciclos

Interdisciplinar e Autoral " com o objetivo de verificar como a Álgebra ou Pensamento

Algébrico são abordados. Este documento não é prescritivo e se refere a discussões sobre a

Matemática e suas subáreas voltadas as crianças ou jovens de 9 a 14 anos, que corresponde

do 4° ao 9º ano da educação básica brasileira. Assim sendo, este estudo tem sua relevância,

pois o mesmo é considerado material de estudo de todos os professores Rede Municipal de

Ensino de São Paulo. A pesquisa realizada é qualitativa, de cunho documental sobre as

concepções de Álgebra ou Pensamento Algébrico abordados no documento. Podemos

verificar que na perspectiva dos Direitos de Aprendizagem, em seu conteúdo, a Álgebra ou

o Pensamento Algébrico é apresentado como um eixo estruturante da organização do

conteúdo de Matemática, dando uma abordagem á Álgebra mais voltada ao desenvolvimento

do Pensamento Algébrico no Ciclo Interdisciplinar e mais voltada ao conteúdo no Ciclo

Autoral. O conhecimento do conteúdo deste documento é importante para o desenvolvimento

de formação inicial e continuada de professores, de materiais curriculares e definição de

objetivos de aprendizagem para cada ano ou ciclo.

Introdução

No Brasil, muitas têm sido as discussões sobre currículo voltadas a educação básica, que

atende estudantes até 17 anos. Em meio a estas o município de São Paulo, também

acompanhou e promoveu, no ano de 2013, o “Programa de Reorganização Curricular e

Administrativa, Ampliação e Fortalecimento da Rede Municipal de Ensino de São Paulo”.

O referido programa organiza o Ensino Fundamental (voltado aos estudantes de 6 a 14 anos)




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por ciclos de aprendizagem, sendo eles: ciclo de alfabetização (6 a 8 anos), ciclo

interdisciplinar (9 a 11 anos) e ciclo autoral (12 a 14 anos).

Neste processo de reorganização, ocorreram discussões para elaboração de novos

documentos curriculares dentro de uma perspectiva de um currículo crítico emancipatório.

O currículo do ciclo de alfabetização se baseia no texto de referência de um programa de

governo denominado Pacto Nacional de Alfabetização na Idade Certa - PNAIC, que tem por

meta alfabetizar todas as crianças do ensino fundamental até os 8 anos de idade. O referido

texto foi produzido pelo Ministério da Educação e publicado em 2012, intitulado “Elementos

conceituais e metodológicos para definição dos direitos de aprendizagem e desenvolvimento

do Ciclo de Alfabetização (1º, 2º e 3º anos), traz em seu conteúdo direitos de aprendizagem

voltados a área da Matemática, e objetivos de aprendizagem organizados por eixos

estruturantes, sendo eles: Números, Geometria, Pensamento Algébrico, Tratamento da

Informação e Grandezas e Medidas.

Assim, o município de São Paulo, dando continuidade ao documento publicado pelo governo

federal, e considerando sua organização por ciclos, publicaram no ano de 2016, o documento

“Direitos de Aprendizagem dos Ciclos Interdisciplinar e Autoral – Matemática” que integra

a Coleção Componentes Curriculares em Diálogos Interdisciplinares a Caminho da Autoria,

Este documento traz em seu um panorama da área da Matemática, os Direitos de

Aprendizagem em Matemática e os eixos estruturantes que nortearam as discussões, que de

modo semelhante ao do governo federal foram denominados: números e operações,

Pensamento Algébrico/Álgebra, Espaço e Forma (Geometria), Grandezas e Medidas e

Pensamento Estatístico e Probabilístico.

Neste nosso trabalho, olharemos apenas para os direitos de aprendizagem em Matemática e

o eixo Pensamento Algébrico/Álgebra, apresentando neste um recorte do estudo que, numa

perspectiva teórica, verifica as abordagens com relação ao tema do eixo escolhido.

Considerando este um documento de referência para a rede municipal, norteador dos

currículos praticados pelos professores, esta análise é importante para contrastar com as

pesquisas existentes.

Ao observamos o documento e ele tratar como eixo estruturante, da área de Matemática no

currículo escolar, o Pensamento Algébrico/Álgebra, nos levanta o questionamento de quando


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do que está sendo considerado Pensamento Algébrico e do que se considera Álgebra, uma

vez que se apresentam num mesmo eixo estruturante, mas separados entre si.

Neste artigo, chamamos de eixo estruturante as subdivisões ou subáreas da Matemática, tais

como Geometria, Números, entre outras, aglutinadoras de conteúdos e de indicações para o

desenvolvimento da Matemática no currículo escolar.

A seguir, apresentaremos algumas considerações sobre a metodologia de pesquisa

empregada e também sobre as ideias de pensamento algébrico ou álgebra que nortearão nossa

análise do documento.

Alguns apontamentos sobre a metodologia de pesquisa.

Neste trabalho realizamos uma pesquisa qualitativa, de análise documental. A escolha de

uma pesquisa qualitativa se dá uma vez que segundo Godoy (1995)

Considerando que a abordagem qualitativa, enquanto exercício de

pesquisa, não se apresenta como uma proposta rigidamente

estruturada, ela permite que a imaginação e a criatividade levem os

investigadores a propor trabalhos que explorem novos enfoques.

(p.23)

Assim, entendemos também “que a pesquisa documental é centro da pesquisa quando um

documento (ou um tipo de documento, como relatórios anuais e balanços sociais) é ponto

fulcral do objetivo de pesquisa do artigo”. Sendo neste caso, nossa escolha por analisarmos

um documento que ainda não sofreu nenhuma intervenção ou análise externa, que é fonte

primária, de onde pode-se obter evidências que confirmam ou não a hipótese levantada pela

pesquisa.

Este tipo de pesquisa, a documental, “bem como outros tipos de pesquisa, propõe-se a

produzir novos conhecimentos, criar novas formas de compreender os fenômenos e dar a

conhecer a forma como estes têm sido desenvolvidos”(Kripka, Scheller & Bonotto, 2015,

p.244) e deve contemplar três aspectos importantes, segundo Godoy (1995) são eles: a

escolha, o acesso e a análise dos documentos (p.23).

Estabelecemos alguns critérios para nortear a análise deste documento. São os seguintes:

a) a concepção de pensamento algébrico ou álgebra contemplada no documento;


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b) os indicativos realizados pelo documento para pensamento algébrico ou álgebra para

o currículo praticado pelo professor.

Com base nestas premissas, analisamos o documento com vistas a compreender seu conteúdo

no intuito de promover novos olhares, avanços, novas perspectivas para uma possível

compreensão e transposição para o currículo escolar.

Algumas ideias sobre Pensamento Algébrico ou Álgebra.

Segundo Lins e Gimenez (2001), quando falamos sobre pensar algebricamente, ainda não há

consenso, ocorre o oposto quando falamos de coisas da álgebra, sendo citados: equações,

cálculo literal, funções (sem entrar na discussão de se gráfico faz ou não parte da álgebra).

Nesta perspectiva, as pesquisas apontam algumas ideias sobre o pensamento algébrico, sendo

necessárias para uma organização curricular que contemple a educação algébrica.

Corroborando com o que citamos acima temos Kaput (1995, apud Ribeiro & Cury 2015), diz

com relação a álgebra “não há só uma Álgebra, já que se pode pensar nela como um conjunto

de conteúdos e métodos culturalmente compartilhados, tais como [...] frações, polinômios,

fatoração, teoria dos anéis, álgebra linear, etc.”(p.6) ou também pode se apresentar como

abstração, generalização, reconhecimento de padrões que estão mais voltados aos aspectos

cognitivos, ou seja, ao pensamento.

Ainda para Kaput (1995 apud Ponte, Branco & Matos, 2009) trabalhar de forma a

desenvolver o pensamento algébrico, por meio da generalização, formalização gradativa da

generalização, deve anteceder ao formalismo algébrico. Ele, Kaput (1999, Ponte, J.P; Branco,

N. & Matos, A, 2009) ainda nos aponta cinco características do pensamento algébrico, que

estão interligadas, são elas:

a generalização e formalização de padrões e restrições;

a manipulação de formalismos guiada sintaticamente;

o estudo de estruturas abstratas; o estudo de funções, relações e de variação

conjunta de duas variáveis; e

a utilização de múltiplas linguagens na modelação matemática e no controle

de fenômenos (p. 9)

Ao tratarmos de um currículo escolar de Matemática é necessário que o desenvolvimento do

pensamento algébrico ocorra de forma gradual pelos anos que o compõe, assim, temos


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Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) que nos explicam que o desenvolvimento do

pensamento algébrico pode ocorrer deste modo, sem a necessidade de se introduzir os

símbolos algébricos avançando para o formalismo , como já citado em Kaput (1999, Ponte,

J.P; Branco, N. & Matos, A, 2009), para que isso ocorra apontam aspectos considerados

importantes, chamados por eles como caracterizadores do pensamento algébrico:

estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões

geométricos;

perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema;

produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema;

produzir vários significados para uma expressão numérica;

interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas

expressões numéricas;

transformar uma expressão aritmética em outra mais simples;

desenvolver algum processo de generalização;

perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias;

desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se

matematicamente. (p.5)

Desta forma, nossa análise partirá do conceito de que quando nos referirmos a Álgebra,

estaremos estabelecendo conteúdos Matemáticos a serem desenvolvidos no currículo escolar

e o pensamento algébrico, o aspecto cognitivo que permeia todo o trabalho do

desenvolvimento da educação algébrica, partindo do reconhecimento de padrões e

generalizações em diversos contextos, ao formalismo algébrico.

Aspectos da Álgebra ou Pensamento Algébrico nos Direitos de Aprendizagem do Ciclo

Interdisciplinar e Autoral.

O documento “Direitos de Aprendizagem para os Ciclos Interdisciplinar e Autoral –

Matemática” nos traz duas partes importantes para análise:

a) Direitos de Aprendizagem;

b) Eixos estruturantes;

No que diz respeito aos direitos de aprendizagem, temos que em seu conteúdo “parte do

trabalho de letramento e aprendizagem matemática tem nas regularidades o suporte teórico


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para o desenvolvimento do conceito de número, de espaço e forma, do pensamento

algébrico”. Assim, devem ser garantidos a todos os alunos dos ciclos interdisciplinar e autoral

(estudantes dos 9 aos 14 anos) cinco direitos fundamentais, são eles: caminhos próprios,

reconhecimento de regularidades, linguagem simbólica, investigação crítica e criativa e

ludicidades, jogos e brincadeiras.

Já nos direitos podemos perceber que se pensarmos em educação algébrica, merecem

destaque o direito ao reconhecimento de regularidades e a linguagem simbólica, que como

podemos notar no que falam Kaput (1995, 1999); Lins e Gimenez (2010) e Fiorentini,

Fernandes e Cristóvão (2005) a importancia destes aspectos.

O próprio documento (São Paulo, 2016) nos evidencia que o eixo estruturador Pensamento

Algébrico/Álgebra, que é um dos eixos indicados para a organização do currículo da

Matemática escolar no Município de São Paulo, como se trata do ciclo interdisciplinar e

autoral (9 a 14 anos), temos a ideia de que nos fala Kaput (1999), onde nas crianças se

desenvolve na perspectiva do pensamento algébrico, sem a necessidade do formalismo,

avançando para o formalismo até alcançar os anos finais (jovens de 14 anos),

No Ciclo Interdisciplinar, com a ampliação dos campos numéricos e a apresentação

da proporcionalidade de maneira mais formal, ainda que sob a forma de

equivalência de frações, por exemplo, o desenvolvimento do pensamento algébrico

torna-se mais ativo e direcionado à álgebra. O reconhecimento e a escrita das

primeiras sentenças matemáticas são habilidades deste ciclo de aprendizagem.

No Ciclo Autoral há a ampliação do conceito de proporcionalidade e os primeiros

passos na direção da compreensão da relação entre grandezas; a resolução de

equações e inequações e o estabelecimento de relações entre a Álgebra e a

Geometria.( p. 69)

Resumidamente podemos dizer que o trabalho do pensamento algébrico e da álgebra em seu

aspecto mais formal tende, segundo São Paulo (2016)

A utilização dos primeiros símbolos algébricos deverá ser expressa gradativamente

durante o Ciclo Interdisciplinar e com mais propriedade ao final desse ciclo. A

generalização é aprofundada, por meio de expressões e sentenças algébricas, no

Ciclo Autoral. (p.70 )

Ainda do que trata os autores referidos nesta pesquisa, fica ainda mais claro esta perspectiva A Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências

que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar,

prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento

do raciocínio lógico.(p.56)

Como diz Kaput (1999) temos várias álgebras sendo uma delas a apresentada no documento,

contemplando o que já vimos citado.


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A álgebra não é apenas um instrumento técnico-formal que facilita a resolução de

problemas, mas uma forma específica de leitura do mundo, pois além de compor

um conjunto de procedimentos envolvendo símbolos – muitas vezes em forma de

letras – o pensamento algébrico consiste em atividades de generalização e

proporciona variedade de ferramentas para representar as relações matemáticas,

padrões e regras.(p.68)

No documento São Paulo (2016), o pensamento algébrico é abordado, como descrito, em três

dimensões:

a) O reconhecimento de padrões e regularidades;

b) O estabelecimento de relações entre grandezas variáveis;

c) A generalização.

Estas dimensões se enquadram nos caracterizadores do pensamento algébrico de acordo com

Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005)

Na dimensão generalização, antes mesmo da utilização de uma linguagem algébrica simbólica,

desenvolve-se o processo do pensamento algébrico por meio do trabalho com: as

relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; a percepção e a expressão

de estruturas aritméticas de uma situação-problema; a produção de mais de um modelo aritmético

para uma mesma situação-problema ou, reciprocamente, com a produção de vários significados para

uma mesma expressão numérica; a interpretação de uma igualdade como equivalência entre duas

grandezas ou entre duas expressões numéricas; a transformação de uma expressão aritmética em outra

mais simples; o desenvolvimento e a criação de uma linguagem concisa para expressar-se

matematicamente; a busca de valores desconhecidos.

A dimensão reconhecimento de padrões e regularidades inicia-se com o estabelecimento de critérios

para agrupar, classificar, categorizar e ordenar, para que possa realizar o reconhecimento e a produção

de padrões e suas consequentes regularidades. A explicitação de tais regularidades ocorre,

inicialmente, pela descrição das estruturas presentes nelas em um processo que evolui para a dimensão

do pensamento algébrico.(p.69)

Nesta análise, vimos que o documento contempla pesquisas desenvolvidas sobre o

pensamento algébrico e álgebra corroborando em muitos aspectos com o que os autores

trazidos neste recorte contemplam.

Considerações Finais

Este trabalho integra o projeto de Educação Algébrica na Educação Básica do

GPEA- Grupo de Pesquisas em Educação Algébrica, que realiza pesquisas voltadas ao

desenvolvimento do pensamento algébrico partindo da concepção de que o mesmo ocorre de

forma gradual desde e educação infantil até o ensino superior.

O documento “Direitos de Aprendizagem do Ciclo Interdisciplinar e Autoral-

Matemática” se torna um instrumento para o desenvolvimento de uma formação continuada

dos professores no intuito de melhor desenvolver o currículo praticado em sala de aula.


ISBN 978-84-945722-3-4

Compreender as concepções envolvidas, as perspectivas de desenvolvimento do

eixo Pensamento Algébrico/Álgebra são importantes para a elaboração e escolha de

atividades a serem desenvolvidas com os estudantes, para o desenvolvimento de

metodologias e escolhas didáticas.

Um documento oficial desencadeia ações ligadas a uma política pública educacional

que influencia toda uma rede, por isso, quanto mais seu conteúdo for estudado e

compreendido, assim como qualquer documento curricular, será muito importante para se

garantir a qualidade de um sistema educacional.

A própria segunda versão da Base Nacional Curricular Comum - BNCC (2016, p.

253) diz que, “são os objetivos da unidade de conhecimento da Álgebra que contribuem para

dar corpo e relacionar conceitos que, à primeira vista, parecem conhecimentos isolados”,

assim mostrando ser de suma importância verificar quais as concepções que estão garantidas

em um documento curricular para transformá-lo em prática docente e garantir a melhoria do

ensino e da aprendizagem em Matemática.

Toda pesquisa, estudo realizado, de natureza qualitativa tem o intuito de conduzir-

nos a reflexões críticas que promovam assim, uma evolução do conhecimento.

Referências bibliográficas

Brasil (2016). Base Nacional Curricular Comum. 2ª versão. Brasília:MEC

Fiorentini, D.; Fernandes, F. L. P. & Cristovão, E. M. (2005) Um estudo das potencialidades

pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico.

In: Seminário Luso-Brasileiro de Investigações Matemáticas no Currículo e na Formação de

Professores. Lisboa, pp 1-20.

Godoy, A.S. (1995) Pesquisa Qualitativa. Tipos Fundamentais. RAE.35, 3,.20-29. São Paulo.

Kripka,R.; Sheller, M & Bonotto, D.L.(2015) Pesquisa Documental: considerações sobre

conceito e características na Pesquisa Qualitativa. Atas CIAIQ. 243-247.

Lins & Gimenez (2001). Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. São Paulo:

Papirus

Ribeiro & Cury (2015), Álgebra para a formação do Professor: Explorando conceitos de

equação e função. São Paulo: Editora Autêntica

Ponte, J.P; Branco, N. & Matos, A. Álgebra no Ensino Básico. Portugal: ME-DGIDC


ISBN 978-84-945722-3-4

São Paulo (2016). Direitos de Aprendizagem dos Ciclos Interdisciplinar e Autoral –

Matemática. São Paulo: SME


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CB-1.408

UN CASO DE ANÁLISIS DE ESPACIO DE TRABAJO MATEMÁTICO DE

REFERENCIA

Andrea Pizarro Canales y Gonzalo Soto Cárdenas

[email protected], [email protected]

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Chile.

Modalidad CB

Básico-Preparatorio

Investigación en educación Matemática

Espacio de Trabajo Matemático, circulación, génesis, geometría.

Este trabajo nos muestra parte de los resultados del estudio del Espacio de Trabajo

matemático (ETM) de referencia de Chile, para quinto básico en torno a los triángulos. En

nuestro país, a partir del año 2012, existe un nuevo Marco Curricular, decreto que informa

los objetivos de aprendizajes (OA) que se deben abordar en cada curso. A partir de ellos se

elaboran los programas de estudio.

Este trabajo se centra en el análisis de uno de los OA y una de las actividades sugeridas

para su tratamiento. Se ha utilizado el marco teórico de ETM para comparar los potenciales

componentes, génesis y planos movilizados por el OA y la actividad.

Los resultados indican que el OA presenta una circulación que moviliza todos los

componentes teóricos y cognitivos del modelo, y que la actividad despliega una secuencia

de cuatro circulaciones. Estos análisis nos muestran por un lado, los distintos paradigmas

de las propuestas y por otro lado se evidencian que existen distintos enfoques para la

elaboración del ETM de referencia.

A partir de la década de los noventa en Chile se inicia una reforma educacional que focaliza

y declara como eje central el desarrollo de habilidades, conocimientos y actitudes,

evidenciándose en la formulación de Objetivos de Aprendizaje (OA)

Son objetivos que definen los aprendizajes terminales esperables para una asignatura determinada para

cada año escolar. Los Objetivos de Aprendizaje se refieren a habilidades, actitudes y conocimientos que

buscan favorecer el desarrollo integral de los estudiantes… se busca contribuir a la formación integral

del estudiante desde cada una de las áreas de aprendizaje involucradas. (Mineduc, p.22, 2012)


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Este trabajo analiza comparativamente un OA especifico (18) correspondiente al Marco

Curricular, con actividades genéricas sugeridas del Programa de Estudio para el desarrollo

del OA seleccionado en el nivel de quinto de preparatoria. Se consideran los elementos

anteriores ya que se constituyen como los lineamientos básicos mínimos para la acción

docente en la enseñanza de la matemática, y que son las bases para el trabajo que cada

profesor desempeña en el aula.

Marco de Referencia

Esta investigación considera como enfoque teórico el Espacio de Trabajo Matemático (ETM)

desarrollado por Kuzniak (2011) que amplía la noción del Espacio de Trabajo Geométrico

(ETG) creado por Houdement y Kuzniak, (1999,2006).

El ETM se define como un ambiente organizado para permitir el trabajo de las personas que

resuelven tareas matemáticas. Corresponde a un proceso complejo y progresivo en el que se

articulan todos los elementos matemáticos para el desarrollo del pensamiento. Es decir, son

todos los elementos que, desde el punto de vista didáctico, se movilizan con el fin de facilitar

el trabajo del individuo en la resolución de situaciones problemáticas. Existen tres tipos de

ETM: ETM personal, ETM idóneo y ETM de referencia. Este último diseñado por cada

institución educativa de cada país, en nuestro caso el Ministerio de Educación.

Para organizar el estudio del concepto de Espacio de Trabajo matemático se reconocen seis

componentes (ver figura 1, presentada más adelante) organizados en dos niveles o planos

horizontales no jerarquizados: uno de naturaleza epistemológica y otro de naturaleza

cognitiva. El primero, tiene relación con los contenidos matemáticos del ámbito estudiado,

donde se sitúan el espacio real y local que corresponde a una cualidad material que está en

representación de algo. Los artefactos emergen como objetos destinados a dar sustento a la

actividad matemática en la ejecución de un cierto tipo de tarea (material o simbólico); y el

sistema referencial teórico está constituido por definiciones, propiedades y relaciones.

El segundo plano, de naturaleza cognitiva, se refiere al pensamiento del sujeto quien resuelve

tareas matemáticas (Kuzniak y Richard, 2014), donde se ubican el proceso de visualización

(Duval, 2004), es decir, la conexión entre lo que se percibe y la imagen construida

mentalmente. La construcción como proceso orientado por el uso de herramientas materiales

(regla, compás, software…) y/o conceptuales (construir, medir, contar…) (Anastasiadis y


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Nikolantonakis, 2016), para elaborar una representación, y la prueba como el proceso donde

se generan argumentaciones para la resolución de la tarea. Existen dos tipos de pruebas: las

pragmáticas, que requieren de la acción sobre los objetos para justificar afirmaciones y las

intelectuales, que recurren a la formulación de propiedades y relaciones entre los objetos en

cuestión. (Balacheff, 2000).

A las relaciones bidireccionales entre los componentes de ambos planos horizontales,

Kuzniak (2011) señala el surgimiento de las génesis Instrumental [Ins], Semiótica [Sem] y

Discursiva [Dis]. Además, plantea el surgimiento de tres planos verticales, [Sem-Ins], [Ins-

Dis], [Sem-Dis] según las génesis que los delimitan, como muestra la figura 1 y se especifica

en la tabla 1, presentada más adelante.

Figura 1: Diagrama General del Espacio de Trabajo Matemático Fuente:(Kuzniak, 2014)

Kuzniak y Nechache (2015) plantean que para que el trabajo geométrico sea considerado

completo, debe existir una circulación a través de los tres planos verticales previamente

mencionados. Se considera Circulación a la movilización interna del ETM en una tarea

matemática, es decir, la articulación de los componentes y los procesos. Por lo tanto para

llevar a cabo los análisis de la tarea seleccionada, la teoría presenta la siguiente simbología

para representar por medio de diagramaciones las circulaciones del ETM.

Símbolo Significado

Plano [Sem-Ins] Implica la Circulación completa de los elementos y procesos

asociados a la génesis Semiótica e Instrumental.


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Plano [Ins-Dis]

Implica la Circulación completa de los elementos y procesos

asociados a la génesis Instrumental y Discursiva.

Plano

[Sem-Dis]

Implica la Circulación completa de los elementos y procesos

asociados a la génesis Semiótica y Discursiva.

Tabla 1: Simbología diagramación de las circulaciones en el ETM Kuzniak y Nechache (2015)

Cabe señalar entonces, que dada las características del modelo ETM, se utilizarán estos

mismos elementos teóricos, como unidades de análisis para la caracterización del ETMg para

el OA 18 y la actividad vinculada a este OA.

Análisis del Espacio de Trabajo Matemático del OA 18 de quinto de preparatoria.

Se ha seleccionado el OA 18 que corresponde al primer objetivo de aprendizaje que trabaja

el concepto de triángulo de manera formal para el área de geometría, el cual declara:

“Demostrar que comprenden el concepto de congruencia, usando la traslación, la reflexión y

la rotación en cuadrículas y mediante software geométrico” (Mineduc, 2013, p.91).

A continuación, se presentan algunos extractos del OA 18 para ejemplificar los planos

encontrados:

1) Está presente el plano [ins-dis], ya que, “Demostrar que comprenden el concepto de

congruencia…”, implica la existencia del proceso de argumentación a partir del verbo

“demostrar” que para este caso corresponde a constatar, estando presente por lo tanto, la

génesis discursiva. Por otro lado, el uso de “… la reflexión, traslación y rotación…” dan

cuenta de la construcción en cuadrículas y software geométrico, es decir, el uso de estos

artefactos constituyen la génesis instrumental.

2) “Demostrar que comprenden…” permite dar cuenta del plano [sem-dis], ya que esto

implica que los estudiantes deben argumentar, lo cual permite identificar la génesis

discursiva; y las congruencias de triángulos constituyen la génesis semiótica.


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3) El plano [sem-ins], se evidencia por medio de “…la traslación, la reflexión y la rotación

en cuadrículas y mediante software geométrico”, de lo que se desprende que tendrá que

construir las transformaciones isométricas.

De lo anterior se evidencia que existe una potencial circulación completa del objetivo de

aprendizaje 18. Ya que identificamos los siguientes planos: a) semiótico-instrumental [sem-

ins], b) instrumental discursivo [ins-dis] y c) semiótico discursivo [sem-dis] y por lo tanto

los planos cognitivo y epistemológico están presentes. Esto se expresa en el siguiente

diagrama 1:

Diagrama 1

Análisis de la actividad de triángulos propuesta para el OA 18

Este objetivo tiene sólo una actividad vinculada al tratamiento de los triángulos, la cual está

dividida en tres tareas declaradas, sin embargo, son cuatro las tareas que hay que realizar. A

continuación, se muestra la actividad 1: (Mineduc, p. 97,2013)

Actividad 1: Comprueban congruencia de lados en triángulos trasladados. Por ejemplo, en

el triángulo de vértices A, B y C dibujado en una cuadrícula

Trasladan el triángulo 4 unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba

a) Llaman A’, B’ y C’ a los vértices trasladados

b) Completan en los triángulos ABC y A’B’C’:

1) La medida de los lados AB y A’B’ es

2) La medida de los lados BC y B’C’ es

3) La medida de los lados AC y A’C’ es

Contestan la siguiente pregunta:

c) ¿Qué concluye respecto de la longitud de los lados de los triángulos ABC y

A’B’C’?


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Esta actividad presenta cuatro circulaciones distintas. La primera se extrae de la consigna,

la cual solicita trasladar el triángulo ABC y donde se identifican los siguientes componentes:

el espacio real y local corresponde al registro figural de triángulos en la cuadrícula,

visualizándose la traslación del triángulo, el artefacto puede ser la cuadrícula y cualquier

herramienta de dibujo, para la construcción del triángulo trasladado, y el referencial es la

traslación.

Como se describe previamente, el trabajo de las traslaciones se realiza a partir de cuadrículas,

por lo que los artefactos funcionan como herramientas para la construcción del triángulo

trasladado, presentándose simultáneamente la génesis semiótica y la génesis instrumental.

En el siguiente cuadro se presenta la potencialidad referida a la secuencia de cada tarea y la

circulación de la actividad completa:

Secuencia Actividad 1

Diagrama 2: tarea 1

Diagrama 3: tarea 2

Diagrama 4: tarea 3

Diagrama 5: tarea 4

Circulación actividad 1

Diagrama 6

Tabla 2: secuencia de las circulaciones presentes para actividad 1 en el OA 18

Así, la circulación de los componentes (diagrama 2, de la tabla 2) moviliza de manera

simultánea el plano epistemológico y el plano [Sem-Ins].

Para la tarea dos, luego de realizar la traslación, en el punto a) se solicita nombrar los vértices

del nuevo triángulo, el cual conforma el espacio real y local junto a la visualización de éste,


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en donde el referencial cambia al concepto de traslación. Al solicitar únicamente nombrar los

vértices, se identifica el semiplano semiótico-referencial (diagrama 3), dado por la génesis

semiótica asociada a la representación de los vértices del triángulo A’B’C’.

Nombrados los vértices en la tarea 3, los estudiantes deberían medir las longitudes de los

segmentos de cada triángulo. Por lo tanto se repiten los componentes y la circulación para

los puntos 1), 2) y 3) (que en este caso corresponde a la tarea tres. Así se observa la presencia

de la génesis semiótica, identificando al triángulo ABC y su trasladado A’B’C’ en la

cuadrícula como el espacio real y local, y la visualización asociada a la medida de los lados

de los triángulos. Por otro lado, la génesis instrumental aparece por medio del uso de una

herramienta de medición para el proceso de construcción, asociado al referencial

correspondiente a la medición de segmentos. De lo anterior, en el diagrama 4 se observan los

planos semiótico - instrumental y el plano epistemológico.

Por último, para la tarea cuatro (el punto c) se solicita a los estudiantes que concluyan a

partir de la longitud de los lados de ambos triángulos, siendo posible identificar la génesis

instrumental, donde los triángulos dibujados en la cuadrícula conforman el espacio real y

local, visualizando la congruencia de los lados. Finalmente se observa que la génesis

discursiva está dada por el referencial, es decir, congruencia de lados de triángulos y la prueba

por medio de la argumentación de la congruencia de los lados de los triángulos.

Dado lo anterior es posible observar (diagrama 5) la presencia del plano semiótico-

discursivo, ya que en esta última instancia no se presenta el proceso de construcción. Por lo

tanto, en relación al punto b) la tarea cambia de la movilización de la génesis instrumental a

la génesis discursiva.

De lo anterior se desprende que, durante la realización de cada uno de los puntos de la

actividad 1, se activan los distintos componentes, que al considerarlos en su totalidad logran

una circulación completa del ETMg, presente en el diagrama 6.

Conclusión:

Si relacionamos el OA 18 con la secuencia de tareas, se observa que en ambos casos existe

una circulación completa. No obstante, el referencial abordado por el OA 18 (congruencia de

triángulos) no es el que se desarrolla en la actividad 1. Primero, porque de las cuatro


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circulaciones presentes, solo en el en el punto c) se aborda la congruencia. Y segundo porque

se trabaja únicamente el concepto de congruencia de segmentos. Esto se debe principalmente

al tipo de pregunta presentada en esta actividad específicamente en el punto c), donde se

pide concluir en relación a la medida de las longitudes de los segmentos. Por consiguiente,

el trabajo entre lo que declara el OA y lo que se realiza en la actividad apunta al trabajo de

congruencia de dos objetos distintos, lo cual podría significar un obstáculo en cuanto a la

transposición didáctica y por ende al tratamiento que el docente pueda realizar dentro de las

aulas chilenas.

Por otro lado, la naturaleza de la demostración presentada en el OA 18 está restringida a

generar argumentaciones basadas en la experiencia del estudiante sobre la acción en el objeto

matemático, es decir, una prueba pragmática.

Referencias

Anastasiadis, M. y Nikolantonakis K. (2016). The mathematical working space in the case

of area and perimeter: Concepts’ definitions and mesasurement- calculation

processes. Quinto simposio ETM Espacio de Trabajo Matemático. Grecia.

Balacheff, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas.

https://www.hal.archives-ouvertes.fr/hal-00520133 Consultado 14/08/2015.

Duval, R. (2005). Les conditions cognitives de l’apprentissage de la géométrie Annales de

Didactique et de sciences cognitives. 10, 5-54.

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Houdement, C. y Kuzniak, A. (2006). Paradigmes géométriques et enseignement de la

géométrie. Annales de didactique et de sciences cognitives. 11, 175-193. IREM de

Strasbourg.

Houdement, C. y Kuzniak, A. (1999). Géométrie et paradigmes géométriques. Petit x. 51, p.

5-21. IREM de Grenoble.

Kuzniak, A. y Nechache, A. (2015). Using the geometric working spaces in order to plan the

teaching of geometry.http://www.irem.univ-paris-

diderot.fr/~kuzniak/publi/ETM_FR/Cerme.pdf Consultado 21/04/2016.

Kuzniak, A. y Richard, P. (2014) Espacios de trabajo matemático. Puntos de vista y

perspectivas. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa.

Tomo 1. p.5-15

Kuzniak, A. (2011). L'espace de Travail Mathématique et ses genèses. Annales de didactique

et de sciences cognitives. 16, p. 9-24.

Ministerio de Educación (2012). Bases Curriculares Educación Básica. Santiago. Chile

Ministerio de Educación (2013). Matemática: Programa de Estudio Quinto Año Básico.

Santiago. Chile.

http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/~kuzniak/publi/ETM_FR/Cerme.pdf

http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/~kuzniak/publi/ETM_FR/Cerme.pdf


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CB-1.411

EDUCAÇÃO FINANCEIRA SOB A PERSPECTIVA DA ENGENHARIA

DIDÁTICA

Antonio Marco Campos Carrara – Chang Kuo Rodrigues


Universidade do Grande Rio - Brasil


Modalidad: Investigación en Educación Matemática.

Nivel educativo: Medio o Secundario

Palabras clave: Educação Matemática; Educação Financeira Escolar; Engenharia Didática.

Resumen Este trabalho faz parte do Grupo de Investigações no Ensino de Ciências e Matemática com

base no CNPq e segue a vertente de mestrado profissional do Programa de Pós-Graduação

em Ensino das Ciências da Universidade do Grande Rio. É uma pesquisa sob a égide da

educação financeira escolar no ensino fundamental, contando com a participação de 35

alunos de idade entre 14 e 15 anos de uma escola pública localizada no estado do Rio de

Janeiro, cujo objetivo principal é fornecer aos alunos situações problemas de cunho

financeiro, para que saibam tomar decisões acertadas, sobretudo, como meio de refletir a

respeito de uma vida financeira equilibrada. A base teórica que subsidiou

metodologicamente esta pesquisa seguiu os pressupostos da Engenharia Didática, quando,

nessa oportunidade, suas fases foram fundamentais para a concretização da mesma, isto é,

envolvendo os primeiros passos que iniciam a pesquisa, conhecida também como a fase

preliminar. Na segunda fase, análise a priori e construção, quando é possível construir as

atividades de acordo com as variáveis da pesquisa devidamente identificadas. Na terceira

fase, a da experimentação, quando efetivamente as tarefas são direcionadas aos

participantes e, por fim, na quarta fase, análise a posteriori e validação da hipótese, quando

há o confronto entre as fases: análise a priori e a posteriori, permitindo assim, a discussão

dos resultados.

Introdução

Muito se tem discutido, atualmente, sobre estratégias e metodologias de ensino

eficazes na formação do estudante do ensino básico. Debate-se muito, também nesse sentido,

o atual currículo escolar, sua eficácia nos dias de hoje e em alternativas que o tornem mais

próximo da realidade vivida pelo futuro cidadão que hoje se encontra na escola. O papel da

escola é “simples”: educar.

Educar no mundo capitalista pode admitir duas óticas muito semelhantes, mas com

sensíveis diferenças. Pela ótica da classe social dominante, educar pode ser visto como

preparar indivíduos (produzir mão-de-obra) que possuam determinadas habilidades técnicas

e ideológicas, que possam vender a sua força de trabalho em troca de uma compensação


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financeira. Já sob o prisma da classe trabalhadora, a educação representa oportunidade de

emancipação, do acesso à cultura, de ascensão profissional, social e financeira por meio das

compensações remuneratórias da venda da sua mão-de-obra.

Assim, “a educação e a formação humana terão como sujeito definidor as

necessidades, as demandas do processo de acumulação de capital sob as diferentes formas

históricas de sociabilidade que assumem”. (FRIGOTTO, 1999, p.30)

Apesar de a grande massa popular brasileira desconhecer a maioria das regras

presentes no mundo financeiro, tais como o cálculo de juros, diferenças entre tipos de contas

bancárias e suas tarifas ou entre empréstimos e financiamentos, isto não a impede de atuar

nesse sistema. Ela atua, mesmo que de forma figurativa, passível a ceder a qualquer

propaganda de empréstimo fácil ou às sedutoras propostas pagamento mínimo e

parcelamentos de suas faturas do cartão de crédito, inconsciente das altas taxas de juros

cobradas pelo aluguel desse capital.

Figura 1: Nível de educação financeira por idade no Brasil

Disponível em: <http://noticias.serasaexperian.com.br/blog/2013/05/13/renda-mais-alta-

n%C3%A3o-melhora-comportamento-financeiro-do-brasileiro-revela-indicador-in%C3%A9dito-

de-educa%C3%A7%C3%A3o-financeira-da-serasa-experian-11/> Acesso em: 20 dez. 2016

Segundo uma pesquisa do SERASA EXPERIAN, uma empresa brasileira de análise

e informações para decisões de crédito, o brasileiro só obtém uma ligeira melhora nos

costumes relacionados à Educação Financeira com o passar dos anos, independentemente do

seu nível de escolaridade (Figura 01). Na pesquisa, o órgão pontuou em uma escala de zero

a dez os costumes dos brasileiros em relação ao consumo, à tomada de decisão e à saúde

financeira. Certamente, vivendo em uma sociedade capitalista, portanto baseada no uso do

capital para o consumo. Assim, o dinheiro está presente em tudo e é diretamente relacionado


ISBN 978-84-945722-3-4

com tudo que é consumido, mas apesar disso o uso do dinheiro não é um assunto tratado na

escola.

No fim do século passado, Baudrillard (1981) já falava sobre a sociedade do consumo

como uma sociedade caracterizada pelo rápido crescimento das despesas individuais e

despesas assumidas por terceiros.

Para Bauman (2007), outra característica dessa sociedade remete a tomada de decisão

no momento do consumo, às pressões impostas pela sociedade e a necessidade do indivíduo

consumidor se sentir pertencente a esse grupo social. “Verifica-se uma instabilidade dos

desejos aliada a uma insaciabilidade das necessidades, pela consequente tendência ao

consumo instantâneo, bem como a rápida obsolescência dos objetos consumidos.”

(BAUMAN, 2007, p.45)

Propor a inserção de temas ligados aos costumes a questões orçamentárias, tributárias

e monetárias na escola é prover uma oportunidade ao estudante de aprender com a pesquisa.

Para Fiori e Bernardi (2014, p.69) a “Matemática é a ferramenta ideal para resolver

problemas desse tipo, pois ela empodera os sujeitos com ferramentas que lhes permitam

questionar seu entorno, quebrando o vínculo com a ideologia da certeza e construindo uma

Matemática próxima às realidades”. Assim, seus conhecimentos, em particular os

conhecimentos adquiridos com a Educação Financeira, podem ser utilizados como meios

para transformar a realidade do aluno por ter recebido uma orientação formal na escola.

Estudos sobre a Educação Financeira no Brasil

No ano de 2010, com a finalidade de promover a educação financeira e previdenciária,

foi instituída a Estratégia Nacional de Educação Financeira (ENEF) no Brasil, com o objetivo

de apoiar ações educativas que auxiliem na tomada de decisões conscientes em relação ao

consumo por parte da população, proporcionando-lhe autonomia.

Mesmo com a existência de estratégias adotadas pelo governo brasileiro na

implementação da Educação Financeira no ensino básico, elas ainda são muito recentes e as

ações ainda caminham a passos lentos. Apesar disso, estudos sobre Educação Financeira

movimentam o meio acadêmico no que tange à produção de material sobre o tema, o que

promove a reflexão entre pesquisadores em encontros científicos como congressos e

seminários e que chega às salas de aula por meio dos produtos educacionais.

Mas a Educação Financeira também precisa ser ensinada na escola. Além de discutir

as tomadas de decisões financeiras, ela proporciona conexões com temas como ética,

questões ambientais e sociais, desperdício e sustentabilidade. Dessa forma, podemos

contribuir com a formação de um indivíduo mais reflexivo. (CAMPOS, 2011, p.169)

Desse modo, a fim de dar contribuição na produção de conhecimentos na área da

Educação Matemática, descreveremos nesse artigo procedimentos metodológicos adotados

durante a execução de uma pesquisa científica qualitativa, cuja metodologia de pesquisa se

norteará à luz da Engenharia Didática, seguindo suas 4 fases descritas logo a seguir.

A Engenharia Didática

De origem francesa, a Engenharia Didática é por atuar na área da Didática da

Matemática. No Brasil, as suas influências chegaram no final da década de 1990. A partir

dos estudos de Brousseau a respeito dos fenômenos didáticos que ocorrem na sala de aula,

Michèle Artigue introduz o termo e, no início da década de 1980, passa a pertencer à área da


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Didática da Matemática, tem inspiração no trabalho do engenheiro, cuja produção exige

sólido conhecimento científico, básico e essencial, mas também exige enfrentamento de

problemas práticos para os quais não existe teoria prévia — momentos em que é preciso

elaborar soluções (CARNEIRO, 2007).

Educadores matemáticos brasileiros com as mesmas preocupações apresentadas nesta

pesquisa, também utilizam essa ferramenta como metodologia de pesquisa, visto que ela

aproveita a experiência do professor aliada ao seu conhecimento do tema a ser explorado.

Apesar de sua complexidade, ela possibilita que o trabalho não ocorra de modo engessado,

permitindo que o pesquisador tenha autonomia para executar sua pesquisa com certa

flexibilidade.

Basicamente, as quatro fases metodológicas da Engenharia Didática são as seguintes:

I - a fase das análises preliminares: fase a qual se refere à construção de um quadro

teórico ao qual serão fundamentados os pressupostos teóricos utilizados pelo pesquisador,

tempo este em que é feita a revisão da literatura, de acordo com os critérios previamente

delimitados no contexto do tema;

II - a fase da concepção das ideias e análise a priori: fase na qual são definidas as

variáveis macro e micro didáticas, as que dizem respeito à organização global da engenharia,

tais como o ambiente da pesquisa e outras variáveis cujas escolhas vão além do poder do

pesquisador e as variáveis em que o pesquisador tem total poder de escolha, por exemplo,

aquelas que dizem respeito ao planejamento de uma aula, respectivamente; diante das

variáveis, elaborar as estratégias (sequências didáticas) que permitirão as ações na fase

seguinte;

III - a fase da experimentação: é a fase da execução prática da pesquisa, ou seja, a ida

a campo para aplicação da sequência didática e os registros de observações realizadas durante

a mesma (ARTIGUE, 1988), sendo, inclusive, a fase em que o pesquisador poderá intervir

diante dos questionamentos dos alunos participantes;

IV - a fase de análise a posteriori e validação é o momento em que há uma discussão

de tudo o que aconteceu na pesquisa. Valida-se nesse instante a hipótese, a partir do confronto

entre os resultados obtidos nas fases a priori e a posteriori. Além disso, apoiam-se nos

resultados obtidos durante a pesquisa, “mas também nas produções dos alunos em sala de

aula ou fora dela. Esses dados são geralmente completados por dados obtidos pela utilização

de metodologias externas: questionários, entrevistas individuais ou em pequenos grupos,

realizados em diversos momentos do ensino ou a partir dele” (ARTIGUE, 1988, p.10).

Outra característica das pesquisas norteadas pela Engenharia Didática é que cada uma

dessas fases pode ser retomada e aprofundada durante a pesquisa caso o pesquisador sinta

necessidade.

Detalhamento da sequência didática

Após uma revisão sistemática da literatura em busca de artigos, dissertações e teses

que discorriam sobre o tema Educação Financeira nos últimos 5 anos, usando como palavras-

chave os termos “educação básica”, “planejamento” e “tecnologia”, iniciou-se a pesquisa em

campo.

Nesse estudo, dados sobre registros do ensino de Educação Financeira foram

buscados não só nos planos de cursos e na proposta político-pedagógica da escola em que foi

executada a pesquisa, mas também na matriz curricular oficial de todas as escolas públicas

do estado do Rio de Janeiro que se encontra disponível para consulta na internet. Em ambos


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os casos, os resultados foram negativos para Educação Financeira. Foram encontrados apenas

registros de temas referentes à Matemática Financeira, tais como juro simples e juro

composto.

Nessa direção, uma sequência didática dividida em 8 aulas semanais foi elaborada

para aplicação com cerca de 30 adolescentes. Os temas arrazoados variaram desde o simples

cálculo de porcentagem, passando por elaboração de orçamentos domésticos até discussão

sobre taxas e tributos.

Quadro 1 - Resultados das atividades propostas

Atividades propostas: Resultados obtidos:

Exibição de vídeo e leitura de um

texto sobre a história do dinheiro.

Positivamente alguns alunos relacionaram o

conteúdo da aula com conteúdos já estudados nas

aulas de história (escambo, sal como moeda de

troca).

Aplicação de questionário

preliminar a fim de reconhecer o

perfil dos participantes

A maioria dos alunos desconhecia os termos nem

as regras financeiras básicas que estarão inseridos

assim que entrarem no mercado de trabalho.

Diferenciar custo do pagamento a

vista com desconto ou a prazo com

acréscimo.

A maioria dos alunos desconhecia a prática de

bonificação com desconto que geralmente é

concedida no comércio brasileiro nos pagamentos

à vista.

Cálculo de porcentagem. Apresentaram dificuldade nos cálculos.

Conhecer, calcular e verificar o

peso dos impostos nas famílias

brasileiras.

Alguns achavam erroneamente que ainda não

pagavam impostos;

Todos ficaram impressionados com a quantidade

de impostos existentes no Brasil e com a alta

taxação;

Todos concluíram que o retorno dos impostos por

meio dos serviços públicos para a população é

precário e culparam a corrupção dos governantes;

Pesquisaram na internet e descobriram por si

mesmos que a carga tributária no Brasil chega a

35% do PIB (Produto Interno Bruto).

Alíquotas dos impostos brasileiros

de acordo com os produtos

Os alunos questionaram-se sobre o porquê dos

impostos sobre bebidas alcoólicas, derivados do

tabaco e artigos importados (acima de 80%) eram

expressivamente mais altos que feijão, arroz,

absorvente higiênico (abaixo de 20%).

Concluíram que produtos de primeira necessidade

recebem menor taxação que produtos de uso

eletivo.

Entender o que são juros Todos acharam abusivos os juros pagos pelo uso

dos créditos rotativos de cartões de crédito e de

cheque especial em comparação com os juros

devolvidos pelos bancos aos poupadores.


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Diferenciar empréstimo e

financiamento.

Os alunos simularam, usando calculadoras e

smartphones, as compras de imóveis e veículos

nas modalidades à vista, com financiamento ou

buscando empréstimo direto com os bancos. A

maioria concluiu que é mais lucrativo se planejar

para depois fazer a compra.

Tipos de contas bancárias A maioria só conhecia conta poupança.

Produtos bancários: cheque-

especial e de cartão de crédito,

plano de previdência privado etc.

A maioria não sabia o que eram produtos

bancários;

Ninguém sabia o que era cheque-especial;

A maioria conhecia o funcionamento básico dos

cartões de crédito, mas desconhecia as altíssimas

taxas cobradas no crédito rotativo;

No fim, todos refletiram que para usufruírem bem

dessas comodidades, bastava equilibrarem as

contas gastando menos do que ganham

(planejamento).

Elaborar um orçamento doméstico Simulando serem chefes de família no futuro,

encontraram certa dificuldade para conseguirem

equilibrarem as contas baseando-se no salário

mínimo da época. Concluíram que tinham que

reduzir gastos.

A quem compete o ensino de

educação financeira: à escola ou à

família?

Organizados em grupos, os alunos concluíram que

é importante o tema ser abordado na escola por um

especialista, mas que também é importante

discutir o assunto em família, pois passam muito

mais tempo em casa. Fonte: Acervo próprio

Assim, os dados da pesquisa, a sequência didática, vídeos, textos, atividades

executadas em sala de aula e os comentários dos alunos foram disponibilizados gratuitamente

na internet no site O Portal CARO da Educação Financeira para que qualquer pessoa

interessada no assunto possa acessar, tirar suas dúvidas e fazer perguntas sobre a pesquisa e

sobre o tema Educação Financeira.

O Portal CARO da Educação Financeira

Com a finalidade de promover a aprendizagem, o debate e a reflexão, a fim de

estender os questionamentos pós-aplicação dos encontros com os alunos no âmbito digital,

escolhemos esse meio para expor todo o trabalho executado durante a pesquisa.

Figura 2: Página inicial


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Disponível em: <<http://amccarrara.wixsite.com/financeira>> Acesso em: 09 mar. 2017

O protótipo do site está disponível para acesso em

<http://amccarrara.wixsite.com/financeira>. Tem como característica básica uma linguagem

adequada à faixa etária dos adolescentes. É dotado de visual moderno e objetivo, fazendo

uma breve apresentação do site e contendo material relacionado à Educação Financeira desde

textos curtos, vídeos, links, até às publicações de trabalhos acadêmicos importantes dessa

área.

A navegação é bem intuitiva e o site conta com poucas abas facilmente relacionáveis

ao que se procura. A aba Home é a página de entrada para o site, possuindo no seu corpo

uma descrição sobre o motivo do site estar no ar, o que significa Educação Financeira e a sua

relação com a Matemática escolar.

Na aba Vídeos e Textos encontram-se, como o próprio nome sugere, textos e vídeos

de acesso livre catalogados no corpo do próprio site e que, portanto, podem ser assistidos ali

mesmo. Entre eles há publicações de órgãos importantes como o Caderno de Educação

Financeira do Banco Central do Brasil, reportagens e documentários sobre a atual sociedade

do consumo, sobre orçamento familiar e vídeos-aula sobre os juros em Matemática

Financeira.

Além disso, há uma área para que se possa fazer um comparativo entre os valores de

empréstimos e financiamentos com duas calculadoras desenvolvidas em Java (figura 3). A

primeira utiliza o método tradicional estudado na Matemática Financeira escolar e a segunda

utiliza a mesma metodologia de financiamento aprovada pelo Banco Central do Brasil.


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Figura 3: Calculadoras disponíveis no Portal

Disponível em: <http://amccarrara.wixsite.com/financeira/para-o-aluno> Acesso em: 09 mar. 2017

A terceira aba do site, a aba O Professor, remete à experiência vivenciada em sala de

aula durante a pesquisa. Assim, é neste local que o professor encontrará a sequência didática

executada nessa pesquisa disponível para download e adaptável à realidade vivida em cada

escola. Não obstante, a aba Links é uma extensão da anterior, a qual o visitante encontra links

para algumas das principais publicações da área, links úteis na preparação de aulas e

sugestões de leitura voltada não só para o público adolescente, mas também para pais,

professores e pesquisadores.

Finalmente a aba Fale Conosco é o canal para que o visitante entre em contato direto

com o pesquisador via e-mail ou pelo canal de discussões e publicações via blog, permitindo

a interação com as principais redes sociais da atualidade.

Considerações Finais

Neste trabalho procuramos mostrar a possibilidade de um diferente enfoque nas aulas

de Matemática com o intuído de favorecer ao participante no que diz respeito à Educação

Financeira.

Procuramos mostrar as possibilidades do desenvolvimento do tema utilizando

ferramentas tecnológicas sob uma perspectiva da Engenharia Didática para divulgar tudo o

que foi construído dentro e fora de sala de aula.

Esperamos que outros profissionais possam ver nessa pesquisa uma referência e uma

possibilidade para um trabalho continuado que visa a construção do conhecimento de um

cidadão melhor preparado para exercer plenamente sua cidadania.

Referências bibliográficas

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CB-1.414

REPERTORIO DE COORDENADAS TEÓRICO-CONCEPTUALES DE

REFERENCIA (RCT-CR) EN LAS TESIS DEL PRIMER DOCTORADO EN

EDUCACIÒN MATEMÀTICA DE VENEZUELA Fredy Enrique González

[email protected]

Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Núcleo de Investigación en Educación Matemática “Dr. Emilio Medina” - Venezuela

Núcleo temático: Historia Social de la Educación Matemática

Modalidad: CB

Nivel Educativo: 7. No específico.

Palabras clave: hasta cuatro

Palabras Clave: Producción Doctoral, Campo Científico, Evolucionismo Conceptual.

Resumen El único programa de Doctorado en Educación Matemática existente en Venezuela, a la

fecha (2017), funciona en el Instituto Pedagógico de Maracay; fue autorizado por el Consejo

Nacional de Universidades el 6-12-2012; en 2016 egresaron los dos primeros doctores

graduados en este programa y se cuenta con trece proyectos de tesis doctorales aprobados,

los cuales deberán estar culminados a más tardar en 2018. En esta comunicación se examina

el repertorio de coordenadas teórico-conceptuales de referencia de estas investigaciones

con la finalidad de dilucidar cuáles son las temáticas abordadas, sobre cuáles perspectivas

teóricas se fundamentan y cuáles estrategias metodológicas fueron puestas en juego para

llevar a cabo los respectivos estudios. Se trata de un estudio exploratorio de carácter

descriptivo con el que se espera develar las influencias teóricas, conceptuales y

metodológicas de la Educación Matemática internacional sobre la investigación que en este

campo se realiza en Venezuela.

Introducción

La importancia de las referencias en los reportes de investigación así como también en otros

trabajos académicos ha sido ampliamente reconocida (Fernández, 2009; Muñoz-Alonso

López, 2006); ellas remiten a los datos que permiten ubicar las fuentes utilizadas por los

autores y de las cuales se han nutrido para sustentar los argumentos que desarrollan en su

producción científica. Hernández San Miguel (2013), citando a Rosa Sancho , señala que las

referencias cumplen diversas funciones, entre ellas se pueden mencionar las siguientes:

reconocer el aporte de quienes han sido pioneros en el ámbito donde se ubica el asunto de

interés indagatorio de la investigación que se reporta en el trabajo donde se incluye la

mailto:direcció[email protected]


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referencia; vincular el trabajo en curso con las investigaciones previas relacionadas;

contribuir al desarrollo del campo de estudios mediante la ampliación de las nociones y

estrategias metodológicas que hayan sido puestas en juego en trabajos, vinculados con el

actual, que hayan sido realizados con anterioridad; y, especialmente, mostrar evidencias de

que se han estudiado los trabajos previos vinculados con el que se está exponiendo en el

trabajo que incluye la referencia. Así que, este aspecto de la presentación escrita de los

reportes de investigación y trabajos académicos de variada naturaleza, como lo son los

trabajos de grado de maestría y las tesis doctorales, es un asunto de trascendental importancia.

Para la presentación de las referencias se han desarrollado diferentes estilos (Normas ISO;

Normas de la American Psycological Association; APA; Normas de la Asociación

Estadounidense de Lenguas Modernas, Modern Language Association of America, MLA);

algunos son específicos para ciertas disciplinas o ámbitos de actuación profesional; en todo

caso, la finalidad de todos ellos es facilitar al lector interesado, la localización de las fuentes

que han sido utilizadas por el autor del trabajo donde se incluye la referencia; a continuación

se mencionan algunos de los de los más conocidos estilos de presentación de las referencias

en trabajos académicos. En el caso venezolano, uno de los manuales de estilo para la

presentación de referencias más utilizados es el popularmente conocido “Manual de la

UPEL” desarrollado por la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL, 2006),

Sin embargo, el proceso de selección de los autores, medios, etc., que permitan documentar

un trabajo de investigación va mucho más allá de los aspectos formales. En particular, el

asunto relativo a las referencias en todo estudio científico tiene un impacto notable en la

legitimidad del abordaje del tema que se estudia lo cual es una muestra de lo sensible que es,

y por lo tanto no puede ser descuidado por los investigadores ya sean éstos experimentados

o novatos.

Tomando en cuenta las múltiples discrepancias existentes en cuanto a los criterios para

evaluar de la calidad y la robustez de las referencias que se usan en un trabajo en Educación

Matemática (González y Villegas, 2009; González, 2015); González (2013) ha propuesto un

conjunto de Elementos para la Construcción del Repertorio de Coordenadas Teórico-

Conceptuales de Referencia de una Investigación en Educación Matemática (RCT-CR-EM),


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el cual será puesto a prueba en este trabajo, aplicándolo al examen de las referencias

utilizadas en los proyectos de tesis doctorales aprobados en el Doctorado en Educación

Matemática de la UPEL Maracay, hasta ahora el único en este ámbito disciplinario existente

en Venezuela.

En la elaboración de un RCT-CR-EM correspondiente a una investigación en Educación

Matemática, se toman en cuenta los siguientes aspectos, considerados clave para estos

estudios: (a) Año de publicación (actualidad y vigencia); (b) Representatividad autoral

(inclusión de trabajos de los autores de referencia en el campo); (c) Distribución Geográfica

(presencia de trabajos generados en los países donde la disciplina tiene mayor desarrollo; no

es el país de donde proviene la fuente, sino que el estudio se refiera al país; por ejemplo, un

estudio hecho en España pero publicado en Paradigma no representa a Venezuela sino al país

ibérico); (d) Diversidad Idiomática (representación de los principales idiomas en los que está

escrita la literatura propia de la disciplina); (e) Variabilidad Textual (fuentes electrónicas e

impresas, principalmente, artículos de revistas, Trabajos de Grado de Maestría, TGrM, Tesis

Doctorales,TD, Libros, Capítulos de Libros, Literatura Gris, Memorias de Eventos, etc.); (f)

Sustentabilidad Teórica (teorías pertinentes dentro del campo de la Educación Matemática y

Teorías Generales de Apoyo); (g) Idoneidad Conceptual (Inclusión de Conceptos, generales

o específicos de la Educación Matemática o de otras disciplinas, que contribuyen a una mejor

comprensión del asunto de interés indagatorio).

Componentes de un RCT-CR-EM

En el trabajo aquí reportado se proponen algunos de los criterios que han de ser tenidos en

cuenta en el proceso de Construcción del Repertorio de Coordenadas Teórico Conceptuales

de Referencia de una investigación en el campo de la EM (RTCR-EM); así, en relación con

el año de publicación de las fuentes referenciales se distinguen las nociones de Actualidad y

Vigencia; con respecto al idioma en que están escritas se plantea la necesidad de considerar,

no sólo aquellos que corresponden a la lengua materna del investigador, sino también las que

están expuestas en las lenguas usadas en las publicaciones propias de la corriente principal

de la producción científica en EM.


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Por otra parte, dada la amplitud que ha alcanzado la EM, como campo de ejercicio profesional

de los interesados en los pormenores de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la

Matemática, se considera importante que en el RCT-CR-EM estén representados los ámbitos

geográficos donde se asientan las principales corrientes teóricas de la EM internacional

(Godino, 1991).

El RCT-CR-EM, también debe exhibir una adecuada representatividad en cuanto al formato

de las fuentes consultadas, las cuales han de incluir trabajos de grado de maestría, tesis

doctorales, tanto nacionales como extranjeras; artículos de revistas de EM, latinoamericanas

y de otros continentes, libros y/o capítulos de libros, especialmente incluidos en los

handbooks que, con cierta periodicidad, son publicados por importantes editores

internacionales; fuentes en formato electrónico también deben ser incluidas, teniendo la

precaución de que ofrezcan una garantía de calidad académica.

Otro aspecto es la exhibición de los autores relevantes para el asunto de interés indagatorio

desenvuelto en la investigación, es decir, las personas que tienen más influencia en la

comunidad disciplinaria, lo cual se expresa en la autoría de artículos, libros y otros tipos de

fuentes, su presencia en congresos y su invitación a desarrollar estancias académicas entre

otras actividades; por tanto, en el RCT-CR-EM deben estar presentes los Actores de

Referencia más destacados en el estudio del asunto de interés al que se refiere la investigación

vinculado con tal repertorio; y también los Escenarios de Difusión” tales como el COVEM

(para el caso venezolano), las RELMES, los CIAEM´S, los CIBEM´S, o los ICME´S; por

ello, es importante que entre las fuentes consultadas haya presencia de trabajos expuestos en

estos eventos.

Metodología

Corpus. Este estudio tuvo como material de análisis el listado de las referencias de trece

Proyectos de Tesis Doctoral de cursantes (identificados por las iniciales de su primer nombre

y su primer apellido) del Doctorado en Educación de la UPEL Maracay (DEM)

pertenecientes a las cohortes Primera (7; AN, AM, BA, CH, EV, JP, MH) y Segunda (6; AS,

LG, MB, SM, VP, YP).


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Procedimiento. Para el tratamiento se procedió a: 1) Organización de las referencias en

matrices ad hoc, cuyas columnas están identificadas con los diferentes componentes que

constituyen el RCT-CR EM; 2) Conteo de frecuencias y cálculo de porcentajes relativos a

cada uno de los componentes; 3) Cálculo de indicadores referidos a cada componente; 4)

Definición de criterios de interpretación; 5) Formulación de interpretaciones.

Análisis de la Información

En total fueron contadas 836 referencias; distribuidas así: AM (175); LG (85); BA (76); JP

(76); MH (72); AS (63); VP (53); EV (44); CH (40); MB (39); SM (39); YP (38); AN (36).

Representatividad autoral. Fueron considerados los primeros autores de las referencias de

autoría personal; así fueron identificados 217 primeros autores venezolanos y 169 primeros

autores extranjeros. Los autores venezolanos con más de cinco citaciones están: Fredy

González (42), Nelly León (11), Martha Iglesias (9), José Ortiz (9), David Mora (7), Yolanda

Serres (7), Martín Andonegui (5), Mario Arrieche (5) y Hugo Parra (5), quienes acumulan

95 (43,78%) de la autoría venezolana personal individual total (217). De los 169 primeros

autores extranjeros, 31 tienen tres o más citaciones; el más citado es Luis Rico (28), seguido

de Juan D. Godino (17), Pedro Gómez (11), Guy Brousseau (8), y Salvador Llinares (8);

estos cinco autores representan el 42,60% del total de primeras autorías; es de hacer notar

que todos estos autores son europeos (aunque Pedro Gómez, siendo natural de Colombia,

desarrolla su trabajo en el contexto de la línea de investigación liderada por Luis Rico en la

Universidad de Granada, España);

Distribución Geográfica. Las 836 referencias están distribuidas entre 31 países; 15 de los

cuales tienen 5 o más menciones, acumulando 786 (94,02%); de las otras (50) referencias,

38 se distribuyen entre los 16 países restantes y de 12 de ellas no se pudo identificar el origen.

Los 15 países que acumulan el 94,02% (786) del total de las referencias (836) se distribuyen

así: América Latina: 7 (400); Europa: 7 (314), y Estados Unidos (72). De las 400 referencias

latinoamericanas, 161 (40,25%) corresponden a Venezuela, las cuales representan el 19,26%

del total de referencias; así que Venezuela es el país latinoamericano más representado,

seguido de México con 97 (24,25%; 11,60%), y Brasil que aporta 51 referencias (12,75%;

6,10%). De las 314 referencias europeas, 237 (75,48%) corresponden a España, las cuales


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representan el 28,35% del total de referencias; así que España es el país europeo más

representado, seguido de Francia con 23 (7,32%; 2,75%), y Holanda que aporta 20

referencias (6,37%; 2,39%). Por su parte, Estados Unidos (USA) aporta 72 referencias, es

decir, 8,61% del total de las referencias (836).

Diversidad Idiomática. El idioma predominante es el español con 648 (77,51%) del total de

referencias, seguido por inglés 138 (16,51%) y portugués 42 (5,02%)

Variabilidad Textual. Esta se refiere a las modalidades de fuentes utilizadas; las 836

referencias se distribuyen entre las siguientes modalidades: Artículo en Revista Extranjera:

277; Libro: 174; Capítulo de libro : 92; Extenso en Memoria de Evento: 90; Artículo en

Revista Venezolana: 53; Documento Expedido por organismo oficial: 37; Tesis Doctoral

Extranjera: 31; Tesis Doctoral Venezolana: 12; Trabajo de Grado de maestría extranjero: 10;

Capítulo de handbook: 9; Trabajo de Grado de Maestría Venezolano: 7; Trabajo de grado de

especialización venezolano: 6; Documento en Línea: 4; ICMI Study: 4; Manual UPEL: 4;

Diccionarios: 3; Documento Institucional: 3; Material Didáctico en Línea: 3; Trabajo de

Ascenso: 3; Trabajo no publicado venezolano: 3; Leyes: 2; Trabajo de grado de Licenciatura

venezolano: 2; Artículo en Línea, Artículo de Prensa, Constitución Nacional, Entrada de

Blog, Reglamento; Trabajo de Grado de Diplomado Venezolano, y Trabajo de grado de

Licenciatura extranjero, 1 cada uno.

Las revistas venezolanas consultadas fueron 16; estas consultas remiten a 53 de la 836

referencias; esto significa que apenas 6,34% de las consultas realizadas correspondieron a

artículos publicados en revistas nacionales. La revista venezolana más consultada es

Paradigma, con 13 (24,53%) de las 53 consultas, seguida por Enseñanza de la Matemática,

revista de la ASOVEMAT que se encuentra inactiva, (12 de 53 consultas) y Sapiens (5 de

53).

De las consultas en revistas venezolanas, no considerando el aporte extremo de AN, se

aprecia que VP es quien presenta mayor número de consultas a revistas venezolanas en

relación con el total de sus referencias (8 de 53; 15,09%), seguida de AN (8 de 36; 10,53%),

SM (4 de 39; 10,26%), CH (4 de 40; 10%), y MH (6 de 72; 8,33%); sin embargo, el aporte


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global a las referencias mediante consultas a revista venezolanas, salvo el caso extremo de

AM, no alcanza ni siquiera el 1%, destacándose los casos de EV, AS y JP, quienes

consultaron apenas un artículo venezolano entre el total de sus respectivas referencias; esto

significa que estos tres doctorantes refirieron sólo tres artículos de revistas nacionales entre

sus 183 referencias (1,64%); así que las revistas de Venezuela, prácticamente, no tienen

visibilidad alguna entre estos doctorantes, salvo el caso de la Revista Paradigma que acumula

casi la cuarta parte de todas las referencias de revistas de este país.

Las 144 revistas extranjeras consultadas aportan 272 (32,54%) del total de referencias

(836); entre ellas sólo 11 presentan 5 consultas o más, destacándose la revista Educación

Matemática (México), con 14 (5,15% de las 272 consultas a revistas extranjeras; 1,67% del

total de 836 referencias); seguida por; Educational Studies in Mathematics, 10 (3,68%,

1,20%); PNA, 10 (3,68%, 1,20%); RELIME, 8 (2,94%, 0,96%); Journal for Research in

Mathematics Education, 7 (2,57%, 0,84%); UNIÓN, 7 (2,57%, 0,84%); Enseñanza de las

Ciencias, 6 (2,21%; 0,72%); Números, 6 (2,21%; 0,72%); Revista Iberoamericana de

Educación, 6 (2,21%; 0,72%); Cuadernos de Investigación y Formación en Educación

Matemática, 5 (1,84%, 0,60%); y Recherches en didactique des Mathématiques, 5 (1,84%,

0,60%). 34 de las revistas extranjeras, presentan 2 (18), 3(11) o 4 (5) consultas. Llama la

atención que (68,75%) de las 144 revistas extranjeras tienen sólo una consulta; es decir,

fueron usadas solo una vez por uno de los doctorantes.

Referencias bibliográficas

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análisis histórico-epistemológico del concepto de salud con implicaciones para la enseñanza

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Saiz, Irma Elena; Acuña, Nelci Noemí. s/f). Aportes para la enseñanza para el nivel medio.

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Toulmin, S. 1977). La comprensión humana. Madrid: Editorial Alianza Universidad )

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Vera, Antonio; Fernández, Otilia y Bravo de Nava, Esperanza. 2015). Teoría evolucionista

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Consulta: 20/05/2017. 22:31.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.418

EL GEOGEBRA EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA

GEOMETRÍA

Elizabeth Milagro Advíncula Clemente – Augusta Rosa Osorio Gonzales


Pontificia Universidad Católica del Perú - Perú

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Universitario

Palabras clave: enseñanza, aprendizaje, Geometría, GeoGebra

Resumo En este trabajo presentaremos una experiencia que es resultado de nuestro interés por

acercar a los estudiantes a la exploración de los objetos geométricos y sus propiedades, de

manera intuitiva y dinámica. Mostraremos como incorporamos el GeoGebra en la enseñanza

y el aprendizaje de la geometría en el curso Matemática para Educación Primaria, con

estudiantes universitarios que cursaban el tercer ciclo. Presentaremos algunas situaciones

relacionadas con triángulos y cuadriláteros. Entre los resultados podemos mencionar que

los estudiantes lograron reconocer propiedades propias de cada objeto geométrico,

observaron invariantes geométricos al manipular figuras que fueron construidas respetando

sus propiedades geométricas, y verificaron conjeturas que les permitieron resolver las

situaciones propuestas. Finalmente, podemos decir que el uso del GeoGebra promueve el

pensamiento geométrico en cuanto los estudiantes logran apropiarse de este como

herramienta dentro de un proceso de génesis instrumental.

Introducción

En el presente artículo compartiremos una experiencia con estudiantes universitarios que

siguen la carrera de Educación Primaria en la Pontificia Universidad Católica del Perú. En

nuestras clases del curso Matemática para Educación Primaria observamos que nuestros

estudiantes presentan muchas dificultades para resolver problemas relacionados con

contenidos matemáticos, en particular con contenidos geométricos. Entre las dificultades

identificadas se encuentran: dificultades para reconocer las propiedades propias de cada

objeto geométrico, dificultades para usar las fórmulas adecuadas y dificultades para realizar

construcciones geométricas usando instrumentos de dibujo como regla y compás.

Ante la problemática mencionada y conscientes de que nuestros estudiantes requieren

desarrollar competencias matemáticas y didácticas que les permita tener una práctica docente




ISBN 978-84-945722-3-4

exitosa al trabajar con diferentes contenidos matemáticos, nos propusimos acercarlos a estos

contenidos de manera dinámica y flexible. Para ello decidimos incorporar el GeoGebra en el

desarrollo de nuestras actividades, ya que consideramos que el potencial de arrastre que

ofrece este software permite modificar las figuras construidas de manera casi inmediata y

esto facilita el descubrimiento de las propiedades que caracterizan a cada objeto geométrico,

la generalización de propiedades, así como la elaboración de conjeturas que pueden ser

verificadas o refutadas con ayuda de las herramientas del software, logrando de esta manera

la comprensión de los conceptos y propiedades geométricos involucrados.

Enfoque teórico

El marco en el que nos basamos para diseñar nuestras actividades es el enfoque instrumental

de Rabardel (1995). Consideramos este enfoque porque nos permite analizar la relación que

se establece entre un sujeto (estudiante) y un objeto (objeto geométrico) mediado por el uso

de un artefacto (GeoGebra), que al convertirse en un instrumento para el sujeto en un proceso

de génesis instrumental, este logra resolver la tarea propuesta.

Para Rabardel (1995), un instrumento está formado por un artefacto y por esquemas de

utilización que resultan de la interacción del sujeto con dicho artefacto. En esta interacción

el sujeto construye esquemas mentales asimilando esquemas ya existentes o elaborando

nuevos esquemas para llevar a cabo acciones que le permitan resolver la tarea propuesta. La

génesis instrumental donde ocurre la transformación de un artefacto en un instrumento, tiene

dos componentes: la instrumentalización y la instrumentación. En la instrumentalización, el

sujeto aprende a usar de manera eficaz el artefacto y puede asignarle nuevas funciones; es

decir, se apropia de las propiedades que necesita del artefacto para resolver el problema

propuesto. En la instrumentación, el sujeto crea esquemas de utilización que le permita

resolver las tareas propuestas. Para el autor, en la combinación de estos dos procesos se

reorganizan los esquemas de uso y el sujeto se apropia del instrumento y lo usa de manera

eficiente para dar solución a las tareas propuestas.

Asimismo, Artigue (2002) señala que los ambientes tecnológicos utilizados estratégicamente

son de gran utilidad ya que permite que los estudiantes comprueben sus resultados, refuercen

conceptos, y elaboren conjeturas e inferencias sobre las propiedades de los objetos

matemáticos construidos.

Actividades y hallazgos


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Las actividades diseñadas fueron aplicadas con un grupo de 12 estudiantes de la carrera de

Educación Primaria que cursaban el tercer ciclo, con edades entre 18 y 20 años. Estos

estudiantes manifestaron que resolver problemas relacionados con contenidos geométricos

era algo difícil y complicado para ellos.

En esta parte mostramos dos situaciones problema, una relacionada con el circuncentro de

un triángulo y otra con el rombo. También presentamos las respuestas dadas por dos

estudiantes, ya que esto nos permitirá describir las acciones que realizan estos estudiantes

cuando resuelven problemas relacionados con las nociones geométricas: circuncentro y

rombo, utilizando el GeoGebra.

A continuación presentamos la situación problema 1.

Situación 1

En la localidad de Raúl recientemente se han construido tres edificios, ubicados como se

muestra en la siguiente figura. Como parte de las nuevas obras de la localidad, el próximo

mes se iniciará la construcción de un supermercado con la condición que quede ubicado a la

misma distancia de los tres edificios recién construidos.

Figura 1. Ubicación de los edificios.

Responda lo siguiente:

a) ¿Es posible construir un supermercado que cumpla con la condición dada? Si es posible,

diga dónde se tendría que ubicar dicho supermercado. Justifique su respuesta.

b) ¿La ubicación del supermercado es única? Si la ubicación no es única, indique todas las

alternativas posibles.


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A continuación mostramos las respuestas dadas por dos estudiantes al resolver la situación

1.

Respuesta del estudiante 1

El estudiante 1 ha realizado la siguiente construcción en GeoGebra.

Figura 2. Respuesta del estudiante 1 a la situación 1.

Las respuestas de este estudiante a las dos preguntas propuestas fueron las siguientes:

a) El supermercado se debe construir en el circuncentro del triángulo que se forma con los

tres edificios porque la distancia es la misma.

b) Hay una sola ubicación para el supermercado porque el triángulo formado solo tiene un

circuncentro.

Observamos que el estudiante 1 movilizó sus esquemas preexistentes sobre la mediatriz de

un segmento y el circuncentro de un triángulo pues decidió trazar solo dos mediatrices y

determinar el punto de intersección entre dichas rectas. Podemos decir que este estudiante

estaba instrumentado en relación a la noción de mediatriz de un segmento y circuncentro de

un triángulo pues movilizó la propiedad de equidistancia que presenta el circuncentro

respecto de los vértices de un triángulo usando de manera óptima las herramientas del

GeoGebra.




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a) El supermercado se debe construir en el baricentro del triángulo formado con los tres

edificios porque es el centro de la figura.

b) Hay una sola posibilidad que cumple porque hay un solo centro.

Observamos que el estudiante 2 usa las herramientas del GeoGebra sin ninguna dificultad,

pero para realizar una construcción incorrecta pues construye el baricentro del triángulo

formado. Podemos decir que este estudiante tiene dificultades con las nociones relacionadas

con los puntos notables de un triángulo pues confunde las propiedades del baricentro con las

del circuncentro. Además, podemos señalar que este estudiante no se apropia de las

herramientas del GeoGebra para verificar su conjetura sobre el baricentro como respuesta a

la situacion propuesta, ya que no comprueba si el punto hallado equidista de los vértices del

triángulo.

En general, sobre las respuestas dadas a esta situación por los estudiantes del grupo con el

que trabajamos, podemos decir que 6 de ellos dieron respuestas similares a la del estudiante

1 y el resto, similares a la del estudiante 2. En términos de Rabardel (1995), podemos señalar

que la mitad de estudiantes no desarrolla esquemas mentales relacionados con la noción

circuncentro que le permitan resolver la tarea propuesta pues confunde las propiedades del

circuncentro con las del baricentro.

A continuación presentamos la situación problema 2.

Situación 2


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José tiene un jardín muy grande en su casa y ha decidido convertirlo en un huerto. Por el

momento tiene un árbol de plátano y un árbol de manzana, ubicados a 4 m de distancia uno

del otro. José desea sembrar un árbol de lúcuma y colocar un caño de agua en una de las

paredes, la cual se indica en la siguiente figura, de modo que los tres árboles y el caño formen

un rombo.

Figura 4. Ubicación de los árboles en el jardín.

Responda lo siguiente:

a) ¿Es posible ubicar un árbol de lúcuma y un caño de agua de modo que cumplan la

condición dada? Si es posible, indique dónde deben ubicarse estos elementos. Justifique

su respuesta.

b) ¿Cuántas alternativas tenemos para ubicar un árbol de lúcuma y un caño de agua con la

condición dada? Indique todas las alternativas posibles.

A continuación mostramos las respuestas dadas por dos estudiantes al resolver la situación

2.




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a) Si es posible. El caño se ubicaría sobre la pared y la lúcuma a 4 metros de la manzana y

el plátano.

b) Solo una alternativa.

Observamos que el estudiante 1 movilizó la noción de mediatriz relativa a un segmento al

trazar la mediatriz relativa al segmento que une el árbol de manzana con el de plátano.

También, observamos que movilizó esquemas mentales relacionados con las nociones de

rombo e intersección de rectas, ya que consideró a la mediatriz trazada inicalmente como la

recta que contiene a una de las diagonales del rombo que se desea formar y determinó la

ubicación del caño en la interseccion de esta mediatriz con la recta que representa a la pared

donde debería ubicarse el caño. Asimismo, observamos que el estudiante movilizó

nuevamente la noción de rombo al trazar una circuneferencia con centro en el punto que

representa al árbol de plátano y que pasa por el punto donde se ubicó el caño, y luego

determinar el punto de interesección entre dicha circunferencia y la mediatriz trazada

inicialmente; obteniendo de esta manera la ubicación del árbol de lúcuma.

Finalmente, podemos decir que el estudiante 1 logró convertir el artefacto GeoGebra en un

instrumento que le permitió determinar una alternativa para la ubicación de los vértices del

rombo que se deseaba formar, usando de manera óptima las herramientas necesarias de este

software y los esquemas mentales elaborados en relación a la noción de circuncentro. Cabe

resaltar que a pesar de evidenciar una instrumentalización en relacion a la noción de rombo


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usando el GeoGebra, este estudiante solo logró dar una solución para el problema propuesto

en el que consideró que al segmento que une el árbol de manzana con el árbol de platano

como una de las diagonales del rombo.





a) Sí, deben ubicarse en las esquinas de los vértices que faltan para formar un rombo.

b) 2 alternativas.

Observamos que el estudiante 2 movilizó la noción de rombo al trazar una circunferencia con

centro en la ubicación del árbol de manzana y radio el segmento que une el árbol de manzana

con el de plátano, considerando de esta manera a este segmento como uno de los lados del

rombo. Este estudiante, también, movilizó la noción de rombo al intersecar la circunferencia

trazada anteriormente con la recta que representa a la pared donde se debe ubicar el caño y

determinar de esta manera la posición de dicho caño. Además, movilizó esquemas

relacionados con la noción de mediatriz de un segmento al trazar la mediatriz relativa a la

diagonal cuyos extremos son el árbol de manzana y el árbol de plátano. Asimismo, movilizó

la noción de rombo para determinar la ubicación del árbol de lúcuma en la intersección de la

circunferencia con centro en el árbol de plátano y radio el segmento que une el árbol de

plátano con el árbol de manzana.


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Finalmente, podemos decir que el estudiante 2 logró convertir el artefacto GeoGebra en un

instrumento que le permitió encontrar una alternativa para la ubicación de los vértices del

rombo que se deseaba formar, usando de manera óptima las herramientas del GeoGebra y

los esquemas mentales elaborados en relación a la noción de rombo, mediatriz de un

segmento e intersección de rectas con circunferencias. Sin embargo, a pesar de evidenciar

una instrumentalización en relación a la noción de rombo usando el GeoGebra, este

estudiante solo logró dar una solución para el problema propuesto en la que consideró al

segmento que une el árbol de manzana con el árbol de platano como uno de los lados del

rombo.

En general, sobre las respuestas dadas por los estudiantes del grupo con el que trabajamos,

podemos decir que la mitad de estudiantes solo presentó una de las soluciones mostradas

anteriormente para el problema propuesto, algunos estudiantes no lograron resolver la tarea

propuesta y ningún estudiante logró dar las tres soluciones posibles.

Conclusiones

Durante el desarrollo de las actividades observamos cómo los estudiantes hacen uso de las

herramientas del GeoGebra y los integran a sus esquemas de uso preexistentes o elaboran

nuevos esquemas relacionados con las nociones de mediatriz, circuncentro, rombo,

intersección de rectas e intersección entre rectas y circunferencias, para resolver las

situaciones propuestas. Por ello, podemos decir que el enfoque instrumental de Rabardel

(1995) permite describir y analizar la evolución de la relación entre el estudiante y el artefacto

GeoGebra, hasta que este último se convierte en un instrumento para el estudiante y le

permite realizar las tareas propuestas.

Finalmente, podemos afirmar que las herramientas del GeoGebra facilitaron la realización

de las construcciones geométricas involucradas y esto permitió promover el desarrollo del

pensamiento geométrico en los estudiantes.


Rabardel, P. (2011). Los hombres y las tecnologías: Visión cognitiva de los instrumentos

contemporáneos. (Trad. por M. Acosta). Colombia: Universidad Industrial de Santander.

Artigue, M. (2002). Tecnología y enseñanza de las matemáticas: desarrollo y aportes de la

aproximación instrumental. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación

Matemática, 6(8), 13-33. .


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-1.425

TAREFAS MATEMÁTICAS FORA DA SALA DE AULA: UM ESTUDO COM

ALUNOS DO ENSINO ELEMENTAR

Fatima Fernandes1 – Isabel Vale2 – Pedro Palhares3

[email protected] – [email protected] – [email protected]

Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo1,2

Instituto de Educação da Universidade do Minho, Portugal3

Núcleo temático: A matemática e a sua integração com outras áreas

Modalidad: CB

Nivel Educativo: Nivel educativo primario (6 a 11 años)

Palavras chave: Conexões matemáticas, Tarefas matemáticas, Contextos não formais,

Aprendizagem fora da sala de aula

Resumo Vários estudos sugerem a importância de se articular a matemática com outras áreas e com

a realidade dos alunos, para que a aprendizagem faça sentido e seja duradoura. Outros

sugerem que as tarefas matemáticas implementadas fora da sala de aula são motivadoras,

favorecem a comunicação, a socialização e a atividade física, e ajudam no desempenho

académico, desenvolvimento pessoal, social e emocional dos alunos. Assim,

tendo por base estes princípios, desenvolveu-se uma investigação mais ampla sobre a

importância dos trilhos no ensino e aprendizagem da matemática onde se construíram e

realizaram, com alunos de 8 e 9 anos, três trilhos cujas tarefas matemáticas envolveram

conteúdos distintos com o meio envolvente. Nesta comunicação mostramos as

potencialidades de algumas dessas tarefas relativamente à matemática e ao estudo do meio;

e a reação e desempenho dos alunos na realização de tarefas em que há articulação dessas

duas áreas curriculares. Os alunos reconheceram e valorizaram a articulação de conteúdos

de áreas diferentes numa mesma tarefa ou trilho. Contudo, o contexto ao ar livre e a

oportunidade de trabalhar em grupo com menos restrições do que na sala de aula parecem

pesar mais na apreciação positiva destas experiências de aprendizagem.

Introdução

As tarefas matemáticas podem contribuir para aprendizagens eficazes se forem variadas,

relevantes, acessíveis para os estudantes, se ocorrerem num ambiente social favorável e se

implicarem envolvimento mental, emocional e físico (Mason & Johnston-Wilder, 2006).

Devem surgir em contextos diversificados, incluindo os não formais, que possibilitem

articular a matemática com outros domínios do saber e a realidade, para que façam sentido





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para os alunos e lhes permitam perspetivar o conhecimento como um todo articulado e

coerente (NCTM, 2014).

Tendo por base estes princípios, construíram-se e implementaram-se trilhos matemáticos em

espaços extraescolares para crianças do nível de escolaridade elementar.

Neste trabalho, depois do enquadramento teórico e da metodologia, focam-se as

potencialidades de duas tarefas de acordo com o programa de matemática e estudo do meio,

apresentam-se algumas evidências do desempenho dos alunos e destacam-se algumas

apreciações dos alunos face a experiências de aprendizagem que permitem esta articulação

em contextos não formais de aprendizagem.

A aprendizagem da matemática em contextos não formais de aprendizagem

A aprendizagem da matemática pode ocorrer em momentos e locais diversificados, como os

contextos não formais, os quais podem contribuir de forma significativa para a expansão das

aprendizagens realizadas em sala de aula (Kenderov, et al., 2009). As valências destes

contextos proporcionam experiências de interação entre indivíduos e entre estes e o meio

ambiente, podendo estimular a “disposição produtiva” para aprender e ajudar a reconhecer a

utilidade e a pertinência da matemática e a encará-la como uma área do conhecimento

acessível a todos (Dooley, Dunphy , & Shiel, 2014). Essas valências podem ser usadas para

contextualizar e realizar tarefas matemáticas, que são os veículos para a aprendizagem desta

área curricular (Mason & Johnston-Wilder, 2006).

Um tipo de experiências passível de se realizar nesses contextos é o trilho matemático, que

Cross (1997) define como uma sequência de paragens nas quais os participantes estudam

matemática no meio envolvente. Estas situações de aprendizagem permitem explorar a

matemática formal ou informal e contribuir para a melhoria da educação matemática nas

escolas (Shoaf, Pollak, & Schneider, 2004). Constituem um conjunto de tarefas que, em

contextos reais, requerem a aplicação de conhecimentos, o desenvolvimento de capacidades

como a resolução de problemas, a comunicação e podem potenciar o estabelecimento de

conexões (Richardson, 2004).

As conexões matemáticas


ISBN 978-84-945722-3-4

A matemática integra um sistema de áreas do conhecimento que se complementam e quando

é vista desta forma é compreendida de forma mais profunda e duradoura e é reconhecida

como útil. Assim, os estudantes devem ter oportunidade de aprender matemática enquadrada

em contextos diversificados e associadas a outras áreas curriculares ou assuntos do

quotidiano (NCTM, 2014). Estas relações ou conexões podem referir-se a situações, ideias,

conceitos ou a processos dentro da matemática, entre tópicos matemáticos e situações da

realidade ou entre a matemática e outras áreas curriculares (Boavida, Paiva, Cebola, Vale, &

Pimentel, 2008). As conexões podem servir para introduzir novos conteúdos matemáticos,

para praticar ou desenvolver determinadas capacidades de uma forma motivadora e

facilitadora da construção de conhecimento, como por exemplo através da exploração de

padrões (Vale & Pimentel, 2011). As conexões nem sempre são óbvias para os alunos, pelo

que as tarefas, exemplos e explicações podem ajudar a perceber que há possíveis relações

entre conteúdos e que o pensamento matemático pode ser usado em diversos contextos

(NCTM, 2014).

Metodologia

Este trabalho integra uma investigação mais abrangente, de natureza qualitativa

interpretativa, com design de estudo de caso, que incluiu a conceção e implementação de três

trilhos matemáticos em contextos não formais com alunos de 8 e 9 anos (3º ano).

As tarefas dos trilhos foram construídas em torno de elementos dos contextos e estavam de

acordo com os programas curriculares de matemática e de estudo do meio (Anexo 1).

Privilegiou-se a diversidade a nível do grau de abertura e de desafio, embora não se

incluíssem situações que exigissem muito tempo para a resolução.

As tarefas foram realizadas em grupos de três elementos. Cada aluno recebeu material de

escrita e um guião constituído, em média, por 15 tarefas e 30 questões. Cada tarefa era quase

sempre enquadrada em elementos do contexto e era seguida por uma pista que permitia

descobrir o local da próxima tarefa.

Os dados para a investigação foram recolhidos através das produções dos alunos (resoluções

das tarefas) notas de campo, entrevistas e registos fotográficos e áudio.


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Os trilhos realizaram-se em contextos não formais distintos. O Trilho da Quinta realizou-se

numa zona rural, numa quinta pedagógica; o Trilho das Lagoas decorreu num local com

estatuto de área protegida; e o Trilho das Vilas realizou-se numa zona urbana.

Na semana seguinte à realização de cada trilho, os grupos foram entrevistados no sentido da

fazerem uma apreciação da experiência que tiveram. Embora tenham sido formuladas

questões sobre vários assuntos, neste trabalho focamos apenas alguns. Partindo de duas das

tarefas associadas de imediato pelos alunos a outras áreas, analisam-se as evidências do

desempenho dos mesmos na aplicação de conteúdos e/ou capacidades matemáticas e de

estudo do meio. Focamos, também, de forma resumida os conteúdos não matemáticos

explorados nos trilhos que permaneceram na memória dos alunos pelo menos até à entrevista.

Revelamos, ainda, algumas reações dos alunos à realização de tarefas que envolvem

simultaneamente conteúdos de matemática e de estudo do meio.

Algumas tarefas

Tarefa 8 do Trilho das Lagoas

As questões desta tarefa (Figura 1) baseiam-se na informação de um cartaz (Figura 2) afixado

num posto de observação, no qual se destaca a fauna e a flora do local.

Figura 1. Questões da tarefa 8 do Trilho das Lagoas

No âmbito da matemática, este conjunto de questões solicita a resolução de um problema de

padrão, a compreensão de múltiplos de um número natural e o agrupamento de elementos

em conjuntos. Para responder corretamente era necessário saber distinguir anfíbios, aves e

mamíferos e identificar algumas características.

1. Um dos mamíferos deste cartaz tem uma longa cauda com anéis de duas cores

diferentes. Se a cauda tivesse mais duas listas negras e se o padrão se mantivesse,

quantas listas (anéis) das duas cores teria no total? 2. Neste cartaz estão representadas três classes de animais vertebrados. Escreve um

único número que seja múltiplo do número de anfíbios, do número de aves e do número de mamíferos que constam no cartaz.

3. Duas amigas pensaram em critérios para agrupar os animais deste cartaz. Uma queria

agrupa-los em animais com pelo e animais com penas. A outra queria agrupá-los em animais com mais de duas patas e em animais com menos de duas patas. Será que

cada uma agrupava todos os animais nos seus conjuntos?


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A primeira questão não se revelou complexa,

contudo alguns grupos, como o da aluna LL (Figura

2), deduziram de forma errada que o animal

(Geneta), visível na parte superior da Figura 1,

teria 22 aneis, 12 negros e 10 brancos. Pensaram

que, como entre cada dois negros havia sempre um

branco, se continassem o padrão só acrescentariam

um branco entre os dois “novos” pretos. Não

consideraram, portanto, que a cauda do animal

terminava com um anel preto, pelo que seria seguido

de um branco.

A substituição de cartazes entre a fase da formulação das questões e a da implementação e a consequente alteração dos

animais, interferiu na resolução da questão 2. Esta questão solicitava um número que fosse simultanemente múltiplo do

número de anfíbios, do número de aves e do número de mamíferos. Neste novo cartaz havia 14 aves, o que deixou os alunos

logo preocupados. Por isso, sugeriu-se que escrevessem apenas um número que fosse simultaneamente múltiplo do número

de anfíbios e mamíferos, ou seja de

três e cinco. Embora a aluna LL

tenha elaborado uma pequena lista

dos múltiplos desses dois números

(Figura 3), verificou-se que a

maioria dos grupos pensou de

imediato no produto de três por

cinco. A substituição do cartaz

também teve influência na

resolução da questão três, porque

deixou de haver animais com menos

de uma pata, como confirma a resposta da

Figura 3. Embora este aspetos não esteja refletido na resolução aqui apresentada, percebeu-se que a maioria dos alunos

manifestou dificuladade em perceber que o dois não está incluindo no maior que dois nem no menor que dois. Uma grande

parte inclui-o no maior que dois. Relativamente aos dois conjuntos, um de animais com pelo e outro com penas, a

resolução mostra que a aluna reconhece que ficavam exluidos os animais com pele nua.

Tarefa 3 do Trilho das Vilas

Esta tarefa envolve dois elementos existentes na fachada da Torre de S. Paulo que outrora

integrou as muralhas da vila: um painel de azulejos que retrata um acontecimento histórico

datado de 1140 que originou o nome de uma localidade deste concelho, e as marcas das

maiores cheias do século passado que o rio atingiu nesta torre. Nesta tarefa os alunos teriam

que responder a um conjunto de questões (Figura 4).

Figura 3. Resolução da tarefa 8 do Trilho das

Figura 2. Grupo 1 a resolver a tarefa 8 no posto

de observação


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1. Observa o painel e responde às seguintes questões:

1.1. Há quantos anos se deu esse acontecimento?

1.2. Descobre um processo rápido para contar todos os azulejos do painel.

2. Nessa fachada há três marcas que assinalam a altura que as três maiores cheias

atingiram nesta torre. Observa-as atentamente e responde às questões:

2.1. Quantos anos de diferença há entre a cheia mais antiga e a mais recente?

2.2. Que altura atingiu a maior cheia? Figura 4. Questões da tarefa 3 do Trilho das Vilas

No que diz respeito a conteúdos matemáticos, a tarefa requer a subtração, a multiplicação, a

adição, o cálculo de áreas e a determinação de comprimentos. Os alunos não revelaram

dificuldades, apresentando resoluções idênticas às que se encontram na Figura 5.

Na questão 1.1 não houve dúvidas de que um século correspondia a uma medida de tempo

de 100 anos. Pela resolução do aluno NG e pelos registos efetuados aquando da observação,

percebeu-se que, para identificar o século, os alunos vêem quantas centenas há no número

relativo ao ano e adicionam-lhe uma unidade.

Na questão 1.2, todos os grupos multiplicaram o número de azulejos do comprimento pelo

número de azulejos da largura. Dois alunos de grupos diferentes ainda iniciaram a contagem,

mas os colegas logo criticaram por não ser uma forma rápida, como era solicitado. Ao

contrário da resolução do aluno MR, alguns não consideraram seis pequenos azulejos que,

dois a dois, prolongavam três brasões na parte superior do painel.

A questão 2.1 não suscitou dúvidas,

embora um grupo tenha

determinado a diferença de altura e

não de idade. Para alguns grupos a

questão 2.2 revelou-se difícil de

executar por não conseguirem suster

a fita métrica na vertical e

determinar a altura de uma só vez.

Uns rapidamente perceberam que

podiam medir de forma parcelar,

como mostra o registo da Figura 5.

Outros apressaram-se a pedir ajuda

a quem passava na rua (Figura 6).

Nesta tarefa os alunos discutiram espontaneamente a

dimensão das cheias, concluindo que em todas elas

ficariam submersos, após compararem a altura deles com

as marcas.

Figura 5. Resolução da tarefa 3 do trilho das Vilas

Figura 6. Alunos a resolver a tarefa 3 do Trilho das

Vilas


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Reações dos alunos à integração de áreas curriculares

A primeira vez que abordamos o assunto da integração das duas áreas disciplinares nestas

tarefas com os alunos foi nas entrevistas realizadas na semana seguinte a cada trilho.

Perante a questão “As tarefas envolviam assuntos de outras áreas ou disciplinas além da

matemática? Se sim, quais?” os alunos responderam afirmativamente, sem hesitar.

Apresentam-se na Figura 7 alguns tópicos não matemáticos mencionados.

Como se pode

observar, muitos

tópicos

identificados

pelos alunos são concordantes com os que estavam envolvidos nas tarefas matemáticas que lhes foram propostas (Anexo

1).

Das respostas obtidas quando propusemos que os alunos fizessem uma apreciação geral da

participação nos três trilhos, selecionamos as que se seguem:

MC (G1): É fabuloso, porque assim não temos que estar tanto tempo a fazer uma coisa e depois outra.

Podemos fazer muitas coisas [conteúdos diferentes] ao mesmo tempo e ligar tudo é muito mais

divertido. Parece que é mais leve e não é necessário tanto esforço.

ST(G2): Eu gostei muito do trilho das Lagoas porque tinha que entrar naquelas casinhas para ficar a

conhecer muitos animais que havia ali, mas que eu não conhecia.

LG(G2): Eu gostei do da quinta…ao mesmo tempo que estávamos a fazer as tarefas víamos as coisas

que se não fossemos naquele trilho não podíamos ter oportunidade de ver. É divertido porque

estamos a trabalhar duas áreas que no futuro nos vão fazer falta.

BP(G2): Eu gostei do trilho das vilas. Gostei de poder andar à volta das coisas, dos monumentos, para

descobrir e poder resolver [as tarefas].

LM (G4): Eu gostei muito de fazer as tarefas lá fora, na natureza. Eu adoro estudar na natureza. É

muito divertido trabalhar assim com os colegas em grupo e ver a paisagem.

Em suma, pode afirmar-se que os alunos reconheceram uma grande parte dos conteúdos de

estudo do meio envolvidos nas tarefas dos três trilhos e essas ideias ou aprendizagens ainda

estavam presentes uma semana após o trilho. Houve, ainda alunos, que conseguiram pensar

não só nas áreas curriculares na atualidade, mas também na sua utilidade no futuro, como

constatou Smith e Fuentes (2012). Os alunos gostaram de trabalhar áreas distintas em

simultâneo, justificando, com o facto de parecer que sentem que facilita a aprendizagem,

tornando-a menos “penosa”. Contudo, revelaram que estar perante as situações reais ao ar

Trilho Tópicos de estudo do meio mencionados

Trilho da

Quinta

Desenho, distritos, décadas, séculos, gado bovino, Língua Portuguesa (leitura e

a escrita), regime alimentar do sapo, a utilidade das plantas, pegada ecológica,

abelhas, bandeiras dos países, raças dos animais, reutilização dos materiais.

Trilho das

Lagoas Plantas e animais do local.

Trilho das

Vilas

História da Vila, origem do nome de uma freguesia(Cabração), os arcos da

ponte soterrados, origem dos nomes da cadeia, os merlões da torre, a categoria

de vila de uma freguesia do concelho.

Figura 7. Tópicos de outras áreas mencionados pelos alunos


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livre, explorar, aprender coisas novas e poderem discutir as ideias com os colegas são aspetos

que contribuem para gostarem ainda mais destas experiências.

Considerações finais

Nas situações de ensino e aprendizagem aqui apresentadas privilegiaram-se as conexões da

matemática com estudo do meio e com elementos reais dos contextos onde se realizaram.

Embora essas conexões nunca tivessem sido referidas aos alunos, na fase das entrevistas, eles

demonstraram que não lhes passaram despercebidas e que haviam interiorizado muita da

informação que constava nos guiões relativa aos elementos do contexto em torno dos quais

se formularam as tarefas. Como referem Kenderov et al, 2009) os contextos fora da sala de

aula constituem recursos de excelência para a consolidação e amplificação das

aprendizagens.

Estes alunos mobilizaram naturalmente e com facilidade os conhecimentos adquiridos

noutras áreas curriculares para resolver as tarefas matemáticas propostas. Este tipo de

experiências parece ter permitido aos participantes perspetivar o conhecimento como um

todo articulado e coerente e parecem ter contribuído para uma aprendizagem duradoura como

sugere o NCTM (2014), pois no final do ano letivo ainda mencionavam assuntos trabalhados

nos dois primeiros trilhos. Além de valorizarem a articulação de conteúdos, mostraram um

forte apreço pelo facto de as tarefas permitirem concretizar as situações, aprender mais sobre

a sua localidade e beneficiar do privilégio de estar ao ar livre, podendo apreciar a paisagem,

deslocar-se para recolher dados e discutir as ideias em grupo, sem as restrições impostas na

sala de aula. As apreciações positivas e a vontade manifestada por continuar a fazer trilhos

deste tipo transparecem a motivação e a “disposição produtiva” (Dooley, Dunphy , & Shiel,

2014) pela aprendizagem da matemática e de outras áreas curriculares fora da sala de aula.

Referências

Boavida, A., Paiva, A., Cebola, G., Vale, I., & Pimentel, T. (2008). A experiência Matemática

no Ensino Básico: Programa de Formação Contínua em Matemática para professores

do 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico. Lisboa: ME-DGIDC.

Cross, R. (1997). Developing Maths Trails. Mathematics Teaching, 158, 38-39.

Dooley, T., Dunphy, E., & Shiel, G. (2014). Mathematics in Early Childhood and Primary

Education (3-8 years)-Teaching and Learning: Research Report No. 18. Dublin: NCCA

Obtido de:

http://ncca.ie/en/Publications/Reports/NCCA_Research_Report_18.pdf


ISBN 978-84-945722-3-4

Kenderov, P., Rejali, A., Bartoluni Bussi, M., Pandelieva, V., Richter, K., Maschietto, M.,

&Taylor, P. (2009). Challenges Beyond the Classroom - Sources and Organizational

Issues. In E. Barbeau & P. Taylor (Eds.), Challenging mathematics in and beyond the

classroom. New ICMI Study Series 12 (pp. 53-96): Springer.

Mason, J., & Johnston-Wilder, S. (2006). Designing and using mathematical tasks. London:

Tarquin

NCTM. (2014). Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. Reston, VA:

NCTM.

Richardson, K. (2004). Designing math trails for the elementary school. Teaching Children

Mathematics, 11, 8-14.

Shoaf, M., Pollak, H., Schneider, J. (2004). Math trails. Lexinton: COMAP

Smith, K. & Fuentes, S. (2012). A mathematics and science trail. Australian Primary

Mathematics Classroom 17(2), 19-23.

Vale, I., & Pimentel, T. (2011). Padrões e conexões matemáticas no ensino básico.

Educação e Matemática, 110,33-38.

Anexo 1

Principais conteúdos de matemática e de estudo do meio envolvidos nos trilhos

Trilho Principais conteúdos matemáticos Conteúdos de Estudo do meio

Trilho

Quinta

Adição, subtração, multiplicação e

divisão;

Frações: numerador e denominador,

frações que representam o mesmo

número, ordenar e subtrair frações)

Numeração romana,

Os múltiplos e os divisores de um

número,

O milhar, a dezena e centena de milhar,

o milhão, a decomposição de um

número, a simetria de reflexão, a

estimativa e as figuras geométricas.

Medidas de tempo

Atividades agrícolas (produção

de vinho, pomar, hortas)

Qualidade e preservação

ambiental

Utilidade dos animais (sapos e

abelhas) e plantas

Morfologia e alimentação dos

animais (rãs, sapos e outros)

Raças autóctones do gado

bovino e de galinhas

Trilho

Lagoas

Meias voltas, quartos de volta e volta

inteira

Dezena e centena de milhar

Figuras e sólidos geométricos

Estimativas

Múltiplo de um número

Conjuntos

Materiais opacos e

transparentes

Características da fauna local

(anfíbios, mamíferos, répteis,

peixes e aves)


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Amplitude, máximo e mínimo

Gráfico de barras, variável e moda

Resolução de problemas

Medidas de tempo


divisão;

Características de algumas

espécies da flora autóctone

Qualidade e preservação

ambiental

Trilho

das

Vilas

Medidas de comprimento, áreas, tempo,

massa e capacidade.

Estimativas, resolução de problemas,

Figuras e sólidos geométricos, raio e

diâmetro.


divisão;

Cultura e passado do meio local

Flutuação

Itinerários

O século como unidade de

tempo


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CB-1.427

DE LO GEOMÉTRICO A LO FUNCIONAL: APORTES DE LAS TECNOLOGÍAS

DIGITALES EN EL JUEGO DE MARCOS DE TRABAJO DE LA NOCIÓN DE

FUNCIÓN

Leonard Sánchez Vera

[email protected]

UNEFM–Venezuela / LDAR - Universidad Paris Diderot, Francia

Núcleo temático: (I) Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades

y niveles educativos.

Nivel : Terciario o bachillerato

Modalidad : Comunicación breve (CB)

Resumen

La noción de función ocupa un lugar central en los programas de enseñanza de la

matemática en diferentes países, pudiendo ser estudiada: i) desde diferentes puntos de vista:

puntual, local y global (Vandebrouck, 2011); ii) en diferentes marcos (o dominios) de trabajo

matemático (Douady, 1986); y en el cual, iii) pueden ser movilizados diferentes registros de

representación semiótica (Duval, 2001) al interior de un marco o dominio específico. En

esta comunicación se presentan cuatro rótulos para el estudio de la noción de función en un

marco geométrico, diseñadas en un software de geometría dinámica (SGD) y que favorecen

el estudio del concepto de función como co-variación entre magnitudes geométricas. Se

plantean las hipótesis que el medio de geometría dinámica permiten: el estudio de la noción

de función desde los diferentes puntos de vista gracias a los registros de representación

movilizados en las diferentes ventanas del SGD y, favorece la articulación – o juego – entre

los marcos geométrico y funcional para el estudio de la noción de función. Se presentará los

resultados de una experimentación de uno de los rótulos para la introducción de la noción

de funciones afines en clase de tercero de colegio en Francia (alumnos de 14 años).

Palabras claves: funciones, marcos, registros

Introducción

En esta conferencia presentaremos primeramente los aportes teóricos, derivados de la

investigación en didáctica de las matemáticas, que sostienen nuestra propuesta de



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incorporación de las tecnologías digitales, y en particular un SGD, en el enseñanza y

aprendizaje de la noción de función en el bachillerato.

Seguidamente destacaremos el papel que juega el SGD GeoGebra en el estudio de la noción

de funciones: constante, afín, cuadrática, cúbica y polinómica a partir del la co-variación

entre magnitudes geométricas (en un marco geométrico) y su eventual pasaje a un marco

funcional en unos “rótulos” diseñados en un ambiente de geometría dinámica para tal fin.

En la última parte presentamos los resultados de la puesta en escena de la utilización de uno

de los rótulos en una clase de refuerzo sobre el estudio de las funciones lineales y afines en

alumnos de tercero (3º - grado 11) a nivel de colegio en la ciudad de León en la región Rhône

Alpes al sur – este de Francia.

Aportes de la investigación en didáctica de las matemáticas al estudio de la noción de

función

Una noción matemática adquiere un doble matiz y puede ser estudiada como objeto

matemático en si mismo o como una herramienta para solucionar problemas. Es bajo este

principio que Régine Douady (Douady, 1986) introduce en didáctica de las matemáticas la

dialéctica “herramienta – objeto” para referirse, en el contexto de resolución de problemas

en el marco de las situaciones de acción, formulación y validación desde la Teoría de

Situaciones Didácticas (TSD) (Brousseau, 1998), a este doble papel jugado por las nociones

matemáticas: papel de herramienta y objeto. Es así como por ejemplo, podemos estudiar la

noción de función en didáctica de las matemáticas como objeto matemático, distinguiendo

sus propiedades descontextualizadas, pero también como una herramienta que funciona y

que se somete a la prueba en la resolución de múltiples problemas aplicados no ligados al

área del conocimiento matemático, como por ejemplo, los problemas de optimización en el

área de las ingenierías.

En el mismo orden de puesta en funcionamiento de conocimientos matemáticos en la

resolución de situaciones fundamentales (en el sentido de la TSD), e inspirada en el trabajo

real del matemático como sujeto epistémico resolviendo problemas, (Douady, 1986)

introduce la noción de “marco” y de “juego de marcos” en didáctica de las matemáticas

como una visión dinámica donde el resolutor de problemas tiene la necesidad de pasearse de

un área de trabajo a otra, terminando por enriquecer ambas áreas; así:


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“un marco está constituido de objetos de una rama de las matemáticas, de relaciones

entre esos objetos, de sus formulaciones eventuales diversas y de las imágenes mentales

asociadas a estos objetos y esas relaciones. Nosotros concebimos la noción de marco

como una noción dinámica. El cambio de marco es un medio de obtener formulaciones

diferentes de un problema que sin ser necesariamente equivalentes, permiten un nuevo

acceso a las dificultades encontradas y la puesta en obra de herramientas y

técnicas…La traducción de un marco en otro termina frecuentemente en resultados no

previstos, a técnicas nuevas, a la creación de objetos matemáticos nuevo, en definitiva

al enriquecimiento del marco de origen y a los marcos auxiliares de trabajo” (Douady,

1986)

Retomando los aportes de Douady, (Robert, 2008) considera un “marco” como un dominio

de trabajo en la cual funciona una noción dada, éste dominio no siendo el único dominio de

intervención de la noción en general. Así, (Brousseau, 2001) establece que lo que Douady

establece por “marco” no es más que el reagrupamiento derivada de la actividad del

matemático, pero de las más amplias y estables del universo de los matemáticos. Para

(Brousseau, 2001) este vasto dominio de trabajo está constituido por los marcos más

antiguos: numéricos, algebraico, geométrico, gráficos y de los más recientes: el funcional, el

topológico y el informático.

Sin embargo, el carácter de marco es otorgado por el funcionamiento de la noción matemática

en un dominio de trabajo específico. Así, tal como lo señala (Rogalsky, 2001), aunque el

objeto matemático función pertenece naturalmente a múltiples marcos tales como: en marco

del análisis, el marco conjuntista, el marco algebraico el marco geométrico y los marcos de

análisis funcionales y numéricos; pudiéramos considerar un marco llamado “marco

funcional” si empleamos funciones convexas o cóncavas dentro del estudio de un marco más

amplio denominado, por ejemplo, marco de la convexidad.

Por otra parte (Duval, 1993) introduce la idea de representaciones en didáctica de las

matemáticas a la idea de las diferentes formas de escritura de una noción desde un punto de

vista semiótico. Con la idea de diferenciar un “marco” (en el sentido de Douady) de un

registro de representación (Duval, 2001) establece que al interior de un mismo marco pueden

coexistir múltiples registros y que, en una situación que implique un juego de marcos, muy

frecuentemente este cambio de marcos se acompaña de un cambio de registros.

Para (Perrin-Glorian, 2001) cuando se introduce la noción de función en un nivel escolar

dado uno entra en un nuevo dominio entre el álgebra y el análisis, uno construye objetos de


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un nuevo marco y que nosotros aquí llamamos marco funcional. En este marco la función

tiene diversos registros de representación semiótica: registro simbólico ligados a la escrituras

en el marco algebraico, registro gráfico y registro de tablas.

Otro aspecto importante en el estudio de una noción en el marco del análisis es la distinción

entre las dialécticas global / local / puntual del estudio de la noción de función (Vandebrouck,

2011). Así, para el estudio de la noción de función en un marco funcional, debe considerarse

si la propiedades estudiadas conciernen a un punto (propiedad puntual), una vecindad de

puntos (propiedad local), o a un intervalo – incluso en el conjunto de los números enteros

(propiedad global).

Rol de las tecnologías digitales en la enseñanza de la noción de función

Según (Rogalsky, 2001) diversos estudios que han seguido los trabajos de Douady han

sugerido que el trabajo matemático en un solo marco o en un solo registro (en el sentido de

Duval) no es favorable para los aprendizajes.

Partimos de la hipótesis que las tecnologías digitales, y más particularmente los programas

de geometría dinámica pudiesen favorecer el pasaje o el juego de marcos donde interviene

una noción matemática, como por ejemplo la noción de función. Esta noción asume el papel

de herramienta para la resolución de problemas pero adquiere el estatus de objeto matemático

una vez se descontextualice de la situación.

Proponemos la utilización de rótulos diseñados en GeoGebra y que permiten el estudio de la

noción de función desde un marco geométrico (al que llamamos marco de origen) y

promovería un eventual juego (o pasaje) al marco funcional (al que llamamos marco destino).

El programa GeoGebra favorecería la articulación de al menos dos registros de

representación semiótica permitidos por la presentación, en una misma ventana, del registros

algebraicos (vista algebraica), gráficos (vista geométrica) y numérico (vista hoja de cálculo).

Mostramos en la siguiente figura ejemplos de algunos rótulos:


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Figura 1a Figura 1b Figura 1c

Figura 1. Diferentes tipos de rótulos diseñados en geometría dinámica

Los rótulos diseñados en un contexto dado y en un marco geométrico permiten la emergencia

de diversas relaciones funcionales como co-variación entre magnitudes geométricas, por

ejemplo, entre la longitud de un segmento dado y que puede ser controlado por medio de un

deslizador y el área de la figura que este deslizador genera. El área, el perímetro o el volumen

siendo una función dependiente de la longitud del deslizador, puede ser modelizada por

medio de una función constante, lineal o afín, cuadrática o cúbica (en el caso del volumen).

Así por ejemplo, en el rótulo mostrado en la figura 1a) las áreas de los triángulos azul y verde

son variables dependientes (y por lo tanto función) de la longitud del segmento FM

determinado por el punto M móvil (controlado por el deslizador) se desplaza a lo largo del

segmento FG (representado como x). La base de los dos triángulos siendo la misma y

constante dichas áreas pueden ser modelizadas por una función lineal y afín respectivamente.

En rótulo de la figura 1b), siendo el punto E un punto que se desplaza libremente sobre el

segmento DC, las áreas del cuadrado DEMI y el triángulo ABM se hacen dependientes de la

longitud del segmento DC; el área del cuadrado es modelizada por una función cuadrada y

el área de triángulo es modelizada por una función afín. En el rótulo de la figura 1c), al

tratarse de la construcción de una caja de base triangular, a partir de cortes a los lados,

intervienen nuevas dimensiones: largo, ancho y altura, por lo que es natural pensar en

modelizar y tratar óptimamente el volumen de esta caja representada por una función

polinómica de grado tres.


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Experimentación sobre la puesta en escena de un rótulo en GD para la enseñanza de la

noción de función lineal y afín

Contexto de experimentación

Hemos llevado a cabo la experimentación con alumnos de tercero de colegio en la ciudad de

León en Francia. Se trata de una clase sobre la noción de función lineal y afín. Los alumnos

disponían del conocimiento de la noción de función lineal y afín ya que habían sido

introducidos a estas nociones en clase ordinaria (sin tecnología). El interés de esta actividad

para la docente encargada de este curso, llevada a cabo en sala informática, era establecer la

diferencia desde el punto de vista de la representación algebraica de ambas funciones. Los

alumnos trabajaron en binomios colocados frente al ordenador con el archivo .ggb contentivo

de la actividad previamente instalado.

Tarea propuesta

Se trata de una tarea de exploración en un ambiente de geometría dinámica (Laborde, Clarou,

& Caponni, 2001; Restrepo, 2008). Para la resolución de la tarea los alumnos deben

movilizar la noción de área de superficies planas y la noción de función, consideradas a priori

disponibles por lo alumnos de tercero.

En la figura siguiente mostramos el enunciado de la tarea:

Activité 2 : La couverture du CD

Pour créer une couverture de CD, nous avons réalisé un

modèle comme nous le montrons ci-dessous :

Le polygone ABDE est un carré de côté de 12 cm, M

est un point du segment [FG] qui bouge librement sur

le segment de telle manière que se forment les triangles

MED (colorié en bleu) et MAB (colorié en vert). Si

nous voulons choisir un modèle de couverture définitif

avec lequel nous utilisons la plus petite quantité

d’encre de couleur dans chaque impression :

Figura 2. Tarea dada a los alumnos


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Archivo GeoGebra dado a los alumnos

Como se trata de una tarea de exploración, los alumnos debían explorar el siguiente archivo

dado en GeoGebra. Los alumnos debían desplazar el punto M móvil sobre el segmento FG y

conjeturar, a partir de la articulación entre las vistas algebraicas y hoja de cálculo en

GeoGebra, que el área de la superficie (triángulo) verde aumentaba o disminuía en función

del valor del segmento FM.

Figura 3. Archivo GeoGebra dado a los alumnos

La pareja de pares ordenados mostrados en la vista gráfica dos de la misma ventana permitía

identificar, y por tanto conjeturar, que el área del triángulo azul está modelizada por una

función afín y el área del triángulo verde está modelizada por una función lineal.

Seguidamente, los alumnos debían pasar al registro algebraico o simbólico (propio de la

noción de función) al representar como x la longitud del segmento FM, por lo que el

segmento MG toma el valor de la expresión: (12 –x).

Producciones de los alumnos e interacciones orales alumno – alumno durante la

realización de la actividad

Hemos grabado y transcrito las interacciones durante el desarrollo de la actividad de algunos

binomios resolviendo la tarea frente al ordenador. Al mismo tiempo hemos recogido sus

producciones (respuestas a la ficha entregada al inicio de la actividad).

A continuación mostramos algunos extractos de la respuestas reflejadas en la ficha:


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Figura 4. Respuesta a la primera parte de la actividad (Alexia et Badria)

Figura 4. Respuesta a la primera parte de la actividad (Meryeme et Ishimme)

Análisis de la actividad de los alumnos con rótulo en geometría dinámica

Hemos constatado que el medio GeoGebra favorece el pasaje (o el juego de marcos) entre

los marcos geométrico y funcional en el estudio de las funciones lineales y afines. La

adaptación que hemos hecho permite estudiar la modelización funcional en términos de co-

variación entre magnitudes, es decir, en un contexto de modelización geométrica. La

situación permite también diferenciar la función lineal, afín y constante. A pesar que en el

discurso de los binomios (que no presentamos acá por razones de espacio) no hemos

escuchado expresiones como : « hay dependencia de co-variaciones », « o esta magnitud

depende de ésta otra », podemos decir que la situación con GeoGebra influencia la actividad

procedimental de los alumnos trabajando en binomio. Algunas ayudas de tipo procedimental

ofrecidas por la profesora durante la actividad pueden modificar la actividad de los alumnos.

Hemos así verificado una recha entre la actividad esperada a priori y la actividad efectiva


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desarrollada por los alumnos, así como la necesaria intervención de la profesora para la

prosecución de la actividad.

Referencias Bibliográficas

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques (La pensée Sauvage). Grenoble.

Brousseau, G. (2001). Cadres, jeu de cadres et théorie des situations. En IREM (Ed.), Actes

de la Journée en hommage de Regine Douady (pp. 107-110). Paris.

Douady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil - objet. Recherches en Didactique des

Mathématiques, 7(2), 5-31.

Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la

pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 5.

Duval, R. (2001). Comment décrire et analyser l’activité mathématique? Cadres et registres.

En IREM de Paris (Ed.), Actes de la Journée en hommage de Regine Douady (pp. 83-

106). Paris.

Laborde, C., Clarou, P., & Caponni, B. (2001). Géométrie avec cabri. Scénarios pour le lycée

(CNDP). Grenoble: CNDP de l’académie de Grenoble.

Perrin-Glorian, M. J. (2001). Millieu, cadres et registres. En IREM (Ed.), Actes de la Journée

en hommage de Regine Douady (pp. 63-72). Paris.

Restrepo, A. (2008). Genèse instrumentale du déplacement en géométrie dynamique chez les

élèves de 6ème. Thèse de doctorat. Université Joseph Fourier.

Robert, A. (2008). La double approche didactique et ergonomique pour l’analyse des

pratiques d’enseignants des mathématiques. En F. Vandebrouck (Ed.), La classe de

mathématiques: activités des èléves et pratiques des enseignants (Octarès, pp. 59-68).

Toulouse.

Rogalsky, M. (2001). Les changement de cadre dans la pratique des mathématiques. En

IREM (Ed.), Actes de la Journée en hommage de Regine Douady (pp. 13-30). Paris.

Vandebrouck, F. (2011). Points de vue et domaines de travail pour l’étude des fonctions.

Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 16, 149-185.

Nom : Classe :

Activité 2 : La couverture du CD4 Temps : 50 min

Pour créer une couverture de CD, nous avons réalisé un modèle comme nous le

montrons ci-dessous :

4 Attention ! Il faut enregistrer ton travail avec GeoGebra sur mes documents sur le nom de

couverture.


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Le polygone ABDE est un carré de côté de 12 cm,

M est un point du segment [FG] qui bouge

librement sur le segment de telle manière que se

forment les triangles MED (colorié en bleu) et MAB

(colorié en vert). Si nous voulons choisir un modèle

de couverture définitif avec lequel nous utilisons la

plus petite quantité d’écran dans chaque

impression :

Partie1 :

a) En observant la figure sur GeoGebra (couverture du CD) et en changeant [𝐹𝑀],

nous allons commencer par compléter la table des valeurs avec les valeurs

possibles de [𝐹𝑀 ]et l’aire du triangle bleu MED.

𝒙 = [𝑭𝑴]

Aire Bleu

b) Entrez les coordonnées des points de la table des valeurs en utilisant le tableur de

GeoGebra. Les coordonnes de points montres dans la vue graphique

représentent-ils une fonction? Si oui, quel type de fonction : ___________________

c) Quelle est l’expression de la fonction? _____________________

d) Quelle est la valeur maximale de l’aire du triangle bleu possible ?___________ Pour

quelle valeur de x nous l’obtenons ? x = _____.

e) Entre quelles valeurs varie l’aire du triangle bleu ? [ ____ ; ____ ]

Partie 2 :

a) Compléter la table des valeurs avec les valeurs possibles de [𝐹𝑀] et l’aire du

triangle vert MAB.

x= [𝐹𝑀 ]

Aire Vert

b) Entrez les coordonnées des points de la table des valeurs en utilisant le tableur de

GeoGebra. Les coordonnes de points montres dans la vue graphique

représentent-ils une fonction? Si oui, quel type de fonction : ___________________


ISBN 978-84-945722-3-4

c) Quelle est l’expression de la fonction? _____________________

d) Quelle est la valeur maximale de l’aire du triangle vert possible ?___________ Pour

quelle valeur de x nous l’obtenons ? x = _____.

e) Pour quelle valeur de x nous avons besoin de moins quantité d’écran vert

possible ?

f) Entre quelles valeurs varie l’aire du triangle vert ? [ ____ ;____ ]

Partie 3 :

a) Compléter la table des valeurs avec les valeurs possibles de𝑥, l’aire du triangle

bleu MED, l’aire du triangle vert MAB et la somme des aires des deux triangles.

x= [𝐹𝑀 ]

Aire Bleu

Aire Vert

Aire

𝑩𝒍𝒖𝒆 + 𝑽𝒆𝒓𝒕

b) Est-ce quíl y a une valeur de 𝑥 dans laquelle les aires des triangles bleu et verts

sont égaux? Cést possible voir l´égalité dans la représentation graphique des

fonctions ?

Dès la partie 1 et 2 précédents vous avez obtenu les résultats suivants :

Expression de la fonction dáire du triangle bleu ?_________________

Expression de la fonction dáire du triangle vert ?__________________

Alors,

c) Quel es l’expression de la somme de deux fonctions dáires ? ______________

Que signifie ce résultat ?

d) Pour quelle valeur de 𝑥 nous avons besoin du moins d’écran bleu et vert pour

couvrir les aires des triangles ? Justifiez sa réponse.


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CB-1.431

VAMOS A TENER ALGO MÁS QUE PALABRAS

Tere Valdecantos Dema

[email protected]

S.I.P.E.P. Entre dos aguas Algeciras España

Núcleo temático: Comunicación y divulgación matemática

Modalidad: CB

Nivel educativo: Todos los niveles

Palabras clave: citas, matemáticas, exposición, actividades

Resumo En 2015 realicé un trabajo con mis estudiantes: en el segundo trimestre tenían que elaborar

un cartel con alguna frase relacionada con las matemáticas o dicha por una persona

relacionada con la disciplina. En el tercer trimestre debían realizar una labor de

investigación para ver el origen de la frase, contrastar su veracidad y buscarle una

aplicación didáctica. En 2016 presentamos esta actividad a los premios internacionales

Ciencia en Acción quedando finalistas. De este trabajo surge la exposición Vamos a tener

algo más que palabras donde resumo todo el trabajo de 10 de las frases que surgieron en la

actividad. Esta exposición la he cedido a la S.A.E.M. Thales para que la preste de forma

gratuita entre los/as socios/as de la F.E.S.P.M.

El propósito de la exposición no es decorativo: todos los paneles llevan una aplicación

didáctica y además he elaborado unas láminas de actividades. El resultado tanto en Ciencia

en Acción como en las demás actividades que hemos hecho es muy bueno porque hay

actividades para todos los niveles.

Segundo trimestre 2015/16

Esta historia empieza en 2015, como actividad extraescolar que uniera lengua y matemáticas.

Para mi alumnado fue muy sencillo buscar en internet “frases matemáticas” y luego elaborar

su cartulina.


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Una parte de la exposición realizada en el SIPEP

Tercer trimestre 2015/16

Pero claro, eso no podía ser todo. En matemáticas hay que tener espíritu crítico, así que en el

tercer trimestre tuvieron que verificar la frase. Fue un trabajo muchísimo más complicado

que el del segundo trimestre porque tuvimos que buscar en páginas en francés, italiano,

inglés… pero creo que muchísimo más productivo. Además tuvieron que diseñar una


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actividad puramente matemática que tuviera que ver o bien con la frase o bien con la persona

a la que se le atribuía.

Estudiantes justificando su frase de Pitágoras con la cuerda de 12 nudos.

Tanto mis estudiantes como yo estábamos muy contentos/as con el resultado, así que

mandamos los vídeos al concurso Ciencia en Acción.

La exposición

¡Y fuimos finalistas! En octubre de 2017 era la final en Algeciras (España) y las cartulinas

estaban bastante deterioradas, así que el S.I.P.E.P. Entre dos aguas me autorizó a elaborar 10

paneles en loneta para tener una exposición permanente del trabajo realizado y poder ir a la

final de forma digna.

A partir de ahí viene el trabajo de seleccionar 10 frases entre todas las que tenía, hacer una

foto de la cartulina (para que estuviera el trabajo del estudiante) y poner en palabras todo lo

hecho durante seis meses.

Por orden alfabético:

Ada Byron

A veces los símbolos de operaciones coinciden con los de los resultados. Es una traducción

mía muy libre de one main reason why the separate nature of the science of operations has

been little felt, and in general little dwelt on, is the shifting meaning of many of the symbols

used in mathematical notation. First, the symbols of operation are frequently also the


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symbols of the results of operations, una frase de Ada Byron en los papeles Menabrea.

Realemente la frase que selecionó el estudiante no la pudimos contrastar, así que tuvo que

hacer la aplicación didáctica sobre símbolos matemáticos que inducen a confusión.

Arquímedes

Por supuesto Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo. Frase que aparece en la Sinagoga

o Colección matemática (año 340) del matemático Pappus de Alejandría, atribuyéndosela al

genial Arquímedes. Como aplicación explicábamos la ley de la palanca con un cascanueces

Einstein

Aparecieron muchas frases, pero elegí Todo debe simplificarse lo máximo posible pero no

más. Escogí esta cita porque da mucho juego con simplificaciones incorrectas; el origen más

aproximado que he encontrado es: It can scarcely be denied that the supreme goal of all theory is

to make the irreducible basic elements as simple and as few as possible without having to surrender

the adequate representation of a single datum of experience

Fourier

El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos

(L'étude approfondie de la nature la plus féconde des découvertes mathématiques) aparece

en su libro Théorie analytique de la chaleur. Como aplicación didáctica, uniendo naturaleza

y matemáticas: la sucesión de Fibonacci

Galileo

La más célebre: Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo.

Realmente aparece algo parecido en el capítulo 6 de Il Saggiatore (1623). Como aplicación

didáctica dar una posible forma de comunicación con un extraterrestre

Hipatia

Aunque claramente la frase no podía ser suya porque nada dejaron sus asesinos me pareció

adecuado meter la frase que le atribuye Hubbard en su novela: Defiende tu derecho a pensar

porque incluso pensar de forma errónea es mejor que no pensar. La aplicación didáctica se

basa en la película Ágora


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Gauss

Escogí Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos

que tienen el valor de profundizar en ella porque es un fragmento de una carta que Gauss

escribe a Germain al enterarse de que era una mujer. En esa carta se admira de que ella

hubiera podido, con todas las dificultades que en esa época ponían a las mujeres, llegara a

tan altos niveles. Ya aproveché y trabajamos los primos de Germain

Leonardo da Vinci

No hay certeza en la ciencia si no se puede aplicar una de las ciencias matemáticas. Otra

frase que no aparece escrita por él, sino en la recopilación anónima que se hace en el Tratado

de la pintura sobre 1550 cuando Leonardo llevaba unos 30 años muerto. Una buena ocasión

para trabajar la razón aurea e incidir en que el hombre de Vitruvio no lo es.

Pitágoras

Estamos en el mismo caso que Hypatia: frases que sean suyas…. Pero mis estudiantes

encontraron cientos. Escogí Todos nuestros crímenes son errores de cálculo porque era la

cartulina mejor. Como aplicación didáctica hicimos el ángulo recto con la cuerda de doce

nudos.

Von Neumann

Si la gente piensa que las matemáticas no son simples es porque no se dan cuenta de lo

complicada que es la vida. Lo dijo en el I Encuentro Nacional de la Sociedad de

Computación en 1947. La frase me gusta porque es lo opuesto de lo que sienten mis

estudiantes. Entonces les propongo que piensen en la cuarta dimension usando la física y

luego usando las matemáticas.

Conclusión

Al ser la final en el mismo sitio donde está mi instituo, pude llevar a los/a estudiantes que

estaban empezando el curso este año. Aprendieron a explicar matemáticas a las personas

que visitaban todos los stand y, aunque no ganamos, creo que es una experiencia que no

olvidarán jamás.


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Buscando el número de oro


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Explicando la ley de la palanca


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Tocando las matemáticas


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Libro

Babbage Charles (1989) Science and Reforms: Selected works of Charles Babbage

Cambridge University Press editado por Anthony Hymann

Fourier, J (1822) Théorie analytique de la chaleur

Sceaux: Jacques Gabay 1988

Hubbard, E (1916) Little Journeys to the homes of great teachers

Artículo en revista

Spencer, H (1933) On the Method of Theoretical Physics (Conferencia de Herbert Spencer)

publicada por Oxford Clarendon Press, 15

Información extraída de una página web

Proyecto Guttenberg: Little Journeys To The Homes Of Great Teachers.

http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/gutbook/lookup?num=18936 Consultado

28/04/2017

Wikiquote: Carl Friedrich Gauss

http://en.wikiquote.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss Consultado 28/04/2017

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