Teorija konstrukcija 2 - DKZI, vežbe – Marko Marinković 5

VIII DVOČAS 3. SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primer 3.1 Odrediti kružne frekvencije slobodnih oscilacija proste grede sa jednom, dve i tri koncentrisane mase. Ukupna masa grede je 𝑚 , odnosno raspodeljene mase 𝜇 = 𝑚 𝑙⁄ . Dobijene rezultate uporediti sa tačnim vrednostima dobijenim za slučaj kontinualno raspoređene mase. Rešenje:

Kontinualno raspoređene mase:

𝜔1 =𝜋2

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

=9.8696

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

𝜔2 =4𝜋2

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

=39.4784

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

𝜔3 =9𝜋2

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

=88.8264

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

Diskretno raspoređene mase

a) Jedna koncentrisana masa

𝐸𝐼𝛿11 =𝑙3

24

𝑚4

𝛿11 −1

𝜔2 = 0 → 𝜔1 =9.7980

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

Greška Δ=0.73%

b) Dve koncentrisane mase

det �𝐃𝑀 −1

𝜔2 𝐄� = 𝟎

𝐸𝐼𝛿11 = 𝐸𝐼𝛿22 =8𝑙3

486 𝐸𝐼𝛿12 =

7𝑙3

486

𝛼 =486𝑙3

𝐸𝐼𝑚 3⁄

1𝜔2

det �8 − 𝛼 7

7 8 − 𝛼� = 0

6 Teorija konstrukcija 2 - DKZI, vežbe – Marko Marinković

(15 − 𝛼)(1 − 𝛼) = 0 → � 𝛼1 = 15𝛼2 = 1

𝜔1 =9.8590

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

Greska 𝛥 = 0.11% 𝜔2 =38.1838

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

Greška 𝛥 = 3.28%

Drugi način

Simetrične oscilacije Antimetrične oscilacije

𝐸𝐼𝛿11 =5 𝑙3

162 𝐸𝐼𝛿11 =

𝑙3

486

𝜔1 =9.8590

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

𝜔2 =38.1838

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

c) Tri koncentrisane mase

Simetrične oscilacije

𝐸𝐼𝛿11 =𝑙3

48=

4𝑙3

192 𝐸𝐼𝛿12 =

5.5𝑙3

192 𝐸𝐼𝛿22 =

𝑙3

24=

8𝑙3

192

𝛼 =8 ∙ 192 ∙ 𝐸𝐼

𝑚𝑙31

𝜔2

�

𝑚4

𝛿11 −1

𝜔2𝑚8

𝛿12

𝑚4

𝛿21𝑚8

𝛿22 −1

𝜔2

� = �2 ∙ 4 − 𝛼 5.52 ∙ 5.5 8 − 𝛼�

18

1192

𝑚𝑙3

𝐸𝐼= 0

𝛼2 − 16𝛼 + 3.5 = 0 → � 𝛼1 = 15.7782𝛼2 = 0.2218

𝜔1 =9.8666

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

(𝛥 = 0.03%) 𝜔3 =83.2168

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

(𝛥 = 6.32%)

Antimetrične oscilacije 𝐸𝐼𝛿11 = 𝑙3

384

𝜔2 =38.1918

𝑙2 �𝐸𝐼𝜇

(𝛥 = 0.73%)

Analiza grešaka

Δ(%) jedna masa dve mase tri mase Tačna vrednost ω1 0.73% 0.11% 0.03% 9.8696 ω2 - 3.28% 0.73% 39.4784 ω3 - - 6.32% 88.8264

Teorija konstrukcija 2 - DKZI, vežbe – Marko Marinković 7 Primer 3.2

Odrediti kružnu frekvenciju sistema.

Prvi postupak:

𝐸𝐼𝛿11 = 16.6666 → 𝜔1 = �1

𝑚𝛿11= 0.2449�𝐸𝐼

𝑚

Drugi postupak:

𝐸𝐼𝛿11 = 6.0 𝐸𝐼𝛿12 = 8.0 𝐸𝐼𝛿22 = 10.6666

�

6.0 𝑚𝐸𝐼

−1

𝜔28.0 𝑚

𝐸𝐼8.0 𝑚

𝐸𝐼10.6666 𝑚

𝐸𝐼−

1𝜔2

� = 0

𝛼=

1𝜔2

𝐸𝐼𝑚�⎯⎯⎯⎯� �6.0 − 𝛼 8.0

8.0 10.6666 − 𝛼� = 0

𝛼(𝛼 − 16.6666) = 0 → 𝛼1 = 0𝛼2 = 16.6666 → 𝜔1 = 0.2449�𝐸𝐼

𝑚

Primer 3.4

Odrediti sve kružne frekvencije i glavne oblike oscilovanja sistema. Proveriti ortogonalnost glavnih oblika oscilovanja.

8 Teorija konstrukcija 2 - DKZI, vežbe – Marko Marinković

�𝐃𝐌 −1

𝜔2 𝐄� 𝐀 = ��𝑚1𝛿11 𝑚2𝛿12𝑚1𝛿21 𝑚2𝛿22

� − �

1ω2 0

01

ω2

�� �𝐴1𝐴2

� = 𝟎

𝛿𝑖𝑗 = �𝑀𝑖𝑀𝑗

𝐸𝐼𝑑𝑠

𝑠 𝐸𝐼𝛿11 = 12.31 𝐸𝐼𝛿12 = 14.01 𝐸𝐼𝛿22 = 31.87

𝛼 =𝐸𝐼𝜔2 → �1.5 ∙ 12.31 − 𝛼 2.5 ∙ 14.01

1.5 ∙ 14.01 2.5 ∙ 31.87 − 𝛼� = 0

𝛼2 − 98.14𝛼 + 735.1485 = 0 → 𝛼1 = 89.9689𝛼2 = 8.1711 → 𝜔1 = 14.9097

𝜔2 = 49.4737

Određivanje glavnih oblika oscilovanja

�𝑚1𝛿11 −1

ω𝑖2� A1 + 𝑚2𝛿12A2 = 0

𝑚1𝛿12A1 + �𝑚2𝛿22 −1

ω𝑖2� A2 = 0

Prvi glavni oblik oscilovanja 𝜔𝑖 = 𝜔1 = 14.9097

−71.5039A1 + 35.025A2 = 021.015A1 − 10.2939A2 = 0 𝐴1 = 1.0 → 𝐴2 = 2.0415 → 𝐀1 = � 1.0

2.0415�

Drugi glavni oblik oscilovanja 𝜔𝑖 = 𝜔2 = 49.4737

10.2939A1 + 35.025A2 = 021.015A1 + 71.5039A2 = 0 𝐴2 = 1.0 → 𝐴1 = −3.4025 → 𝐀2 = �−3.4025

1.0 �

Provera ortogonalnosti glavnih oblika oscilovanja:

𝐀1𝑇𝐌 𝐀2 = 1.5 ∙ 1.0 ∙ (−3.4025) + 2.5 ∙ 2.0415 ∙ 1.0 = 0.0

Teorija konstrukcija 2 - DKZI, vežbe – Marko Marinković 9 Primeri za vežbanje

1. Odrediti broj stepeni slobode dinamičkog sistema