VIII. Om komplexa tal och funktioner. Om komplexa tal och funktioner 3 (15) Exempel 1 Den kurva som ges av ekvationen s r( ) = 1 + cos kallas cardoiden (ungef ar detsamma som hj artliknande)

Analys 360En webbaserad analyskursGrundbok

VIII. Om komplexa tal ochfunktioner

Anders Kallen

MatematikCentrum

LTH

[email protected]

VIII. Om komplexa tal och funktioner 1 (15)

Introduktion

De komplexa talen brukar inforas genom att man infor i =√−1 som en losning till

ekvationen x2 + 1 = 0, och sedan komplexa tal som tal a + bi dar a, b ar reella tal. Detvar dock inte riktigt sa behovet av komplexa tal dok upp i historien: de behovdes da mansokte metoder att losa allmanna tredjegradsekvationer.

Vi ska inte folja upp den historiska traden har, utan istallet infora de komplexa talensom talpar (x, y) forsedda med en metod att multiplicera sadana. Med det synsattetblir anvandandet av komplexa tal for att losa problem som bara involverar reella tal ettkraftfullt hjalpmedel.

Om koordinatsystem i planet

Om vi vill beskriva punkter i ett plan i form av reella tal maste vi infora nagot att relaterapunkterna till. For detta behover vi forst en fixpunkt, vilken vi kallar origo och betecknarmed 0. Sedan behover vi ett satt att relatera en punkt till origo. Ett satt att gora dettaar att infora ett s.k. Cartesiskt koordinatsystem, i vilket vi lagger tva koordinataxlarvinkelrata mot varandra genom origo. En punkt anges m.a.p. detta koordinatsystem isina koordinater (x, y).

x

y(x, y)

~u

~u

Vi kan uttrycka detta som att vi kommer till punkten (x, y) franorigo genom att forflytta oss enligt vektorn (x, y). En sadan vek-tor betecknar vi ofta ~u (aven om vi med tiden garna utelamnarpilen) och vi sager da att vektorn ~u har koordinaterna (x, y) ochvi ritar den som en pil i talplanet.

Sadana forflyttningar kan vi addera genom att gora forflyttningarefter varandra. Vi uttrycker detta som att vi adderar tva vektorer~u1 = (x1, y1) och ~u2 = (x2, y2) till den nya vektorn

~u1 + ~u2 = (x1 + x2, y1 + y2).

Detta illustreras i figuren nedan, som ocksa visar att ~u1 + ~u2 =~u2 + ~u1.

~u1

~u2

~u2

~u1

~u1 + ~u2

Vidare kan vi multiplicera en vektor ~u = (x, y) med ett reellt tal a och fa en vektora~u = (ax, ay) som ar parallell med ~u, men ar |a| ganger sa lang. Om a > 0 har den sammariktning som ~u medan om a < 0 vander vi pa riktningen forutom langdkorrigeringen.

Men det finns andra satt att beskriva punkter i planet. Ett ofta anvant satt ar att anvandapolara koordinater, eftersom dessa i manga praktiska situationer ofta ar mer naturliga an


de Cartesiska koordinaterna som diskuterades ovan.

r cos θ

r sin θ(x, y)

θ

r

Referenssystemet for polara koordinater bestar av origo till-sammans med en strale fran origo (till oandligheten). Har videssa kan en godtycklig punkt beskrivas med hjalp av tvatal: hur langt r det ar fran origo till punkten, och vilkenvinkel θ motsvarande vektor har med referensstralen. Det-ta illusteras i vidstaende figur, i vilken vi ocksa lagt in ettCartesiskt koordinatsystem sadant att dess positiva x-axelsammanfaller med det polara koordinatsystemets strale.

Fran figuren ser vi att sambandet mellan de tva koordinat-systemen ar att om en punkt anges av (x, y) i det Cartesiskakoordinatsystemet och av (r, θ) i det polara koordinatsyste-met, sa galler att

x = r cos θ, y = r sin θ.

Anmarkning Vi ser att hjalpvinkelmetoden[1], som innebar att gora omskrivningen

a cosx+ b sinx = A sin(x+ φ),

bygger pa att vi infor polara koordinater for punkten (a, b). φ ar da vinkeln och A arradien.

Vi har sett hur vissa plana kurvor kan beskrivas i Cartesiska koordinater[2]. T.ex. beskrivsenhetscirkeln som x2 + y2 = 1 medan en rat linje har ekvationen ax+ by + c = 0. Men vikan ocksa skriva dessa i polara koordinater. Eftersom

r =√x2 + y2,

blir ekvationen for enhetscirkeln valdigt enkel, den ar helt enkelt r = 1. Ekvationen foren strale utgaende fran origo blir ocksa enkel, namligen θ = θ0.

Anmarkning Daremot blir ekvationen for en allman rat linje krangligare:

r(a cos θ + b sin θ) + c = 0 ⇔ r sin(θ + φ) + d = 0

dar d = c/√a2 + b2 och φ ar den polara vinkeln for (a, b). Geometriskt innebar detta

att d ar det kortaste avstandet fran linjen till origo, medan φ ar den vinkel somnormalvektorn till linjen har relativt koordinatsystemets referenslinje.

Vissa kurvor beskrivs garna i form av en ekvation dar radien bestams av vinkeln. Vi sagerda att kurvan anges pa polar form.


Exempel 1 Den kurva som ges av ekvationen

θ

1 +cos

θr(θ) = 1 + cos θ

kallas cardoiden (ungefar detsamma som hjartliknande).

I varje riktning ligger det en punkt pa denna. Som exempelfar vi for θ = 0 punkten (2, 0), for θ = ±π/2 far vi punkterna(0,±1) och for θ = π far vi origo. Vidare afr r(θ) en 2π-periodisk funktion.

En stunds eftertanke och provande visar att kurvan ser utsom i figuren till hoger. (Notera att den ar symmetrisk kringx-axeln – vad beror det pa?[3])

Det komplexa talplanet

Att infora komplexa tal ar egentligen samma sak som att infora en multiplikation avtalpar, namligen att (x1, y2) · (x2, y2) = (x1x2− y1y2, x1y2 +x2y1). Men det ar inte sa manbrukar gora. Istallet infor man komplexa tal sa att talet (x, y) svarar mot

z = x+ iy.

Detta innebar att vi skriver (1, 0) som talet 1 och (0, 1) som talet i. Da har vi ju(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi. Det innebar att de vanliga lagarna for addition ochmultiplikation[4] av tal galler, med det tillagget att i2 = (0, 1) ·(0, 1) = (−1, 0). Med andraord

i2 = −1.

Exempel 2 I R2 har vi additionen (1, 3) + (3, 4) = (4, 7). Motsvarande operation iC ar (1 + 3i) + (3 + 4i) = 4 + 7i.

I uttrycket z = x + iy kallas x for realdelen av z och betecknas Re z medan y kallasimaginardelen av z och betecknas Im z. For talet z = 4 + 7i galler alltsa att

Re z = 4, Im z = 7.

Anmarkning Notera att Im(4 + 7i) = 7, inte 7i. Im z ar ett reellt tal!

Multiplicerar vi nu tva komplexa tal sa har vi att

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + iy1x2 + ix1y2 + i2y1y2 = x1x2− y1y2 + i(x1y2 + x2y1),

vilket ar samma regel som diskuterades ovan.

For att forsta vad multiplikationen betyder geometriskt infor vi polara koordinater i detkomplexa talplanet. Vi borjar da med att skriva punkten (cos θ, sin θ) som det komplexatalet f(θ) = cos θ+ i sin θ. Det finns en naturlig beteckning for detta tal som grundar sigpa observationen att

f ′(θ) = − sin θ + i cos θ = i(cos θ + i sin θ) = if(θ).


Vi ser alltsa att f(θ) loser problemet

f ′(θ) = if(θ), f(0) = 1,

vilket borde betyda (i varje fall om i hade varit ett reellt tal) att f(θ) = eiθ. Vi infordarfor beteckningen/definitionen[5]

eiθ = cos θ + i sin θ.

Uttrycket ska alltsa vara en exponentialfunktion, och da vill vi att det ska galla att

ei(θ+φ) = eiθeiφ.

Att sa ar fallet foljer av additionsformlerna for sinus- och cosinusfunktionerna:

eiθeiφ = (cos θ+ i sin θ)(cosφ+ i sinφ) = cos θ cosφ−sin θ sinφ+ i(cos θ sinφ+sin θ cosφ).

Enligt namnda additionsformler kan det sista uttrycket skrivas

cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = ei(θ+φ).

Additionsformeln for eiθ ar darfor ekvivalent med additionsformlerna for sinus och cosinus.

Att skriva ett komplext tal i polara koordinater blir nu detsamma som att skriva

z = reiθ.

Talet r betecknas ocksa |z|, kallas absolutbeloppet av z och betyder alltsa langden av denvektor som definierar talet (d.v.s. avstandet fran origo till punkten). Vinkeln θ kallas forargumentet for z och betecknas arg z.

z

eiφz

φ

Mutiplicerar vi z med eiφ far vi talet

reiθeiφ = rei(θ+φ),

vilket innebar att

Att multiplicera ett tal med eiφ be-tyder geometriskt att vi roterar mot-svarande vektor vinkeln φ moturs.

Om vi istallet har z1 = r1eiθ1 , z2 = r2e

iθ2 sa ser vi att

z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2),

d.v.s produkten z1z2 ar det komplexa tal som har langden

|z1z2| = |z1||z2|

och argumentetarg(z1z2) = arg z1 + arg z2.


Imz

Re z

z

z

Har vi multiplikation vill vi kunna dividera. For att gora det inforvi forst konjugatet av ett tal z = x+ iy genom

z = x− iy.

Geometriskt innebar det att vi speglar vektorn z i den reellaaxeln. Konjugatet har den viktiga egenskapen att

zz = |z|2.

Skriver vi pa polar form ser vi att om z = reiθ, sa galler attz = re−iθ. Multiplicerar vi ihop dessa far vi att zz = r2 = |z|2.Vi kan nu losa ekvationen

az = b

dar a, b ar komplexa tal. For att gora detta multiplicerar vi ekvationen med a, vilket ger|a|2z = ab. Division med |a|2 ger sedan z. Det ar naturligt att beteckna losningen tillaz = b med z = b/a.

Exempel 3 For att berakna talet (1 + i)/(2 − i) forlanger vi med konjugatet tillnamnaren:

1 + i

2− i=

(1 + i)(2 + i)

(2− i)(2 + i)=

2− 1 + i(2 + 1)

22 + 12=

1

5+ i

3

5.

Lat oss avsluta avsnittet med en kommentar om att beskriva kurvor i planet pa polarform. I det komplexa talplanet far en sadan kurva parametriseringen

z(θ) = r(θ)eiθ.

Det ar nu latt att berakna dess derivata:

z′(θ) = r′(θ)eiθ + r(θ)ieiθ = (r′(θ) + ir(θ))eiθ.

Liksom tidigare ar det en vektor som pekar i tangentens riktning. Dess langd ges av

|z′(θ)| = |r′(θ) + ir(θ)| =√r′(θ)2 + r(θ)2.

Denna observation ar anvandbar nar vi langre fram ska berakna langden av kurvor somar givna pa polar form.

Polynom i komplexa variabler

Nar vi kan multiplicera godtyckliga komplexa tal kan vi ocksa bilda godtyckliga polynom

p(z) =n∑k=0

akzk

av komplexa tal. Dessa blir da funktioner C→ C och en intressant fraga ar om det alltidfinns losningar till ekvationen p(z) = w for givet w. Eftersom w ar givet kan vi plocka indet i den konstanta termen i polynomet och stalla den viktiga fragan


Har ett komplext polynom, som har ett gradtal som ar minstett, alltid ett nollstalle?

Svaret ar ja, ett pastaende som gar under namnet Algebrans fundamentalsats. Dess bevisar utanfor denna kurs[6].

En direkt konsekvens av algebrans fundamentalsats och faktorsatsen[7] (som fungerar likabra for komplexa polynom) ar att vi kan faktorisera ut nollstallen lika manga ganger somgradtalet pa polynomet. Varje n:te-gradspolynom har alltsa precis n nollstallen och vikan faktorisera det i n forstagradsfaktorer.

Att de facto hitta nollstallen till ett polynom ar dock vasentligen lika svart som i detreella fallet. Andragradspolynom loses dock ungefar som i det reella fallet: man kvadrat-kompletterar forst.

Exempel 4 For att losa ekvationen

z2 − (3− i)z − 10 +29

2= 0,

kvadratkompletterar vi forst uttrycket till (z− 3−i2

)2 = 12−16i. For att hitta z sattervi nu w = z − 3−i

2. Vi ska da losa ekvationen

w2 = 12− 16i.

Ett analytiskt satt att gora det pa ar att skriva w = x + iy med x och y reella. Dablir ekvationen

x2 − y2 + 2ixy = 12− 16i ⇔

{x2 − y2 = 12

2xy = −16.

Detta ar ett ekvationssystem som vi kan losa, men det finns ett trick som forenklarrakningarna nagot. Av ekvationen vet vi att

|w2| = |12− 16i| = 4|3− 4i| = 20 ⇔ x2 + y2 = 20.

Vi har darfor tre ekvationer:

x2 − y2 = 12, x2 + y2 = 20, xy = −8

och har ar det latt att losa ut x2 och y2 ur de forsta tva till x2 = 16, y2 = 4.Det enda vi behover anvanda den tredje ekvationen till ar att avgora vilka tecken vifar anvanda. Eftersom produkten xy ska vara negativ ska x och y har olika teckenoch vi far till slut att w = x + iy = ±(4 − 2i). Eftersom z = w + (3 − i)/2, farandragradsekvationen de tva losningarna

z1 =11

2− 5

2i, z2 = −5

2+

3

2i.

Anmarkning Det finns ett geometriskt satt att losa ekvationen z2 = w, som ledertill formeln

z = ±√rw + r

|w + r|, r = |w|.


Forklaringen ges i foljande figur:

Imz

Re z

wr

w + r

φφ

φ

Vi ser har att de tre talen origo, w och w + r bildar en likbent triangel och fran detser vi att de tre vinklarna som ar betecknade φ alla ar lika stora. Men argw = 2φ, saargumentet for en losning z pa ekvationen ska vara φ. Figuren visar darfor att taletw + r har ratt argument, det aterstar bara att korrigera langden sa att den blir ratt.Vilket ar vad som ar gjort i formeln ovan.

Exempel 5 Vi kan illustrera metoden i anmarkningen ovan genom att losa denkvadratkompletterade ekvationen fran foregaende exempel, z2 = 16− 12i. Med w =16 − 12i har vi att r = |w| = 20 och att w + r = 32 − 16i = 16(2 − i) = 4(4 − 3i),varfor |w + r| = 16

√5. Losningen ges darfor av

z = ±√

2032− 16i

16√

5= ±(4− 2i).

Ett annat satt att losa ekvationen z2 = w ar att bestamma losningen pa polar form.Detta kan goras tamligen enkelt for alla ekvationer pa formen zn = w dar n ar ettpositivt heltal[8]. Man loser en sadan ekvation, som kallas en binomisk ekvation, genomatt skriva w = aeib och z = reiθ och satta in det i ekvationen:

rneinθ = aeib ⇔

{rn = a

nθ = b+ 2kπ.

Detaljerna overlates at lasaren, men man ser att losningarna ligger pa en cirkel medradien a

1n och bildar en reguljar n-horning. Argumentet for ett av hornen ar b/n, och

de ovriga fas successivt genom rotation vinkeln 2π/n. I figuren har vi losningarna tillekvationen z8 = −1, vilka ar zk = ei(

π8+k π

4), k = 0, 1, . . . , 7, och vilka bildar en regelbunden

attahorning.

z0

z1z2

z3

z4

z5 z6

z7


En annan speciell situation som ar av intresse ar nar ett polynom p(z) ar sadant att alladess koefficienter ar reella. Da kan man namligen saga nagot om dess nollstallen, i varjefall de som inte ar reella: om ett komplext, icke-reellt, tal ar ett nollstalle till ett polynommed reella koefficienter galler att aven dess konjugat ar ett nollstalle.

Sats 1

Om p(z) har reella koefficienter och p(α) = 0, sa galler aven att p(α) = 0.

Bevis. 0 = p(α) = p(α) = p(α)[9]. �

Exempel 6 Polynomet

p(z) = z4 − 2z3 + 7z2 + 18z + 26

har nollstallet z = −1 + i. Eftersom koefficienterna ar reella har det darfor ocksanollstallet −1 − i och darmed de tva faktorerna (z − (−1 + i)) och (z − (−1 − i)).Vi kan darfor dela polynomet med

(z + 1− i)(z + 1 + i) = (z + 1)2 + 1 = z2 + 2z + 2.

Kvoten blir, efter polynomdivision,

q(z) = z2 − 4z + 13 = (z − 2)2 + 9,

och detta polynom har nollstallena 2 ± 3i. Vi ser darfor att de fyra nollstallena tillp(z) ar −1± i, 2± 3i.

En konsekvens av att det for ett reellt polynom galler att alla icke-reella nollstallen kom-mer i par med sitt konjugat, ar att det alltid gar att faktorisera ett reellt polynom i reellaforsta- och andragradsfaktorer, som foljande exempel illustrerar.

Exempel 7 Faktorisera polynomet x6 + 1 i andragradsfaktorer.

Polynomet har inga reella nollstallen, sa vi valjer att faktorisera det genom attbestamma alla komplexa nollstallen. Det innebar att losa den binomiska ekvatio-nen z6 = eiπ. Losningarna ar zk = eiπ/6+kπ/3, k = 0, . . . , 5, vilka kan skrivas±i, ±(

√32

+ i2)), ±(

√32

+ i2). Samlar vi ihop de som ar komplexkonjugat far vi

foljande andragradsfaktorer:

(z − i)(z + i) = z2 + 1,

(z − (

√3

2+i

2))(z − (

√3

2− i

2)) = (z −

√3

2)2 +

1

4= z2 −

√3z + 1

(z − (−√

3

2+i

2))(z − (−

√3

2− i

2)) = z2 +

√3z + 1.

Med andra ord:

x6 + 1 = (x2 + 1)(x2 +√

3x+ 1)(x2 −√

3x+ 1).


Den komplexa exponentialfunktionen

Om vi definierarez = exeiy, z = x+ iy,

dar x, y ar reella tal, sa far vi fran diskussionen ovan att det for alla z1, z2 ∈ C galler att

ez1+z2 = ez1ez2 .

Vi kallar den funktionen for den komplexa exponentialfunktionen. Den kan ses som enfunktion fran R2 → R2 om vi vill, men hellre som en funktion C→ C. Den har egenskapenatt den aldrig blir noll; for att den ska bli noll maste vi hitta ett x sadant att ex = 0, ochdet vet vi inte gar.

Med hjalp av den komplexa exponentialfunktionen kan vi ocksa definiera de trigonomet-riska funktionerna for alla komplexa tal. Vi har namligen for reella x att

cosx =eix + e−ix

2, sinx =

eix − e−ix

2i.

Dessa formler kallas Eulers formler och kan anvandas till mycket.

Exempel 8 Vi har att

cos3 x =

(eix + e−ix

2

)3

=1

8(e3ix + 3eix + 3e−ix + e−3ix) =

cos(3x)

4+

3 cosx

4.

Exempel 9 (Cosinussatsen) Denna kanda sats fran trigonometrin sager som be-kant att

c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ

θa

cb

dar a, b, c ar sidorna i en triangel och θ vinkelnmellan a och b.

For att bevisa satsen lagger vi en reell tallinjegenom sidan a med origo i skarningen mellan si-dorna a och b. Da representeras sidan a av detkomplexa talet a och sidan b av det komplexa ta-let beiθ. Foljaktligen representeras sidan c av taleta− beiθ. Men da foljer att

c2 = |a− beiθ|2 = (a− beiθ)(a− beiθ) = (a− beiθ)(a− be−iθ) =

a2 − ab(eiθ + e−iθ) + b2eiθe−iθ = a2 − 2ab cos θ + b2.

Darmed har vi bevisat cosinussatsen.

Den allmanna definitionen av de trigonometriska funktioner for komplexa z blir nu

cos z =eiz + e−iz

2, sin z =

eiz − e−iz

2i.


Satter vi har z = ix, ser vi att

cos(ix) = cosh(x), sin(ix) = i sinh(x),

dar

coshx =ex + e−x

2, sinhx =

ex − e−x

2

kallas de hyperboliska funktionerna[10].

Nu fragar sig kanske en van av ordning, vilken ar relationen mellan ez och potensserien

f(z) =∞∑k=0

zk

k!?

Forsta fragan ar om denna verkligen definierar en komplexvard funktion. Det gor den,och beviset ar exakt detsamma som for den reella potensserien (man raknar med absol-utbelopp, vilket overfor problemet pa ett reellt problem). Vidare, om vi satter z = ix harfar vi

f(ix) = 1 + ix+(ix)2

2!+

(ix)3

3!+

(ix)4

4!+

(ix)5

5!+

(ix)6

6!+ . . .

= 1 + ix− x2

2!− ix

3

3!+x4

4!+ i

x5

5!− x

6

6!+ . . . = 1− x

2

2!+x4

4!− x

6

6!+ . . .+ i(x− x

3

3!+x5

5!+ . . .)

= cosx+ i sinx = eix.

Sa vi har alltsa att f(z) = ez da z = ix. Men det galler for alla komplexa tal z. Dettaberor pa att det galler att

f(z + w) = f(z)f(w),

alltsa den fundamentala rakneregeln for exponentialfunktionen. Vi vet att det galler forreella z, w, och eftersom det vasentligen handlar om att manipulera potensserier mastedet naturligtvis galla aven for komplexa tal.

Om interferens och staende vagor

I detta avsnitt sticker vi emellan med en illustration pa vad nytta man kan ha av komplexatal nar man studerar vagrorelser.

Antag att en tongenerator sitter i origo och ger ifran sig en ton som kan beskrivas avfunktionen A sin(ωt). Antag att detta ljud ror sig langs en linje med hastigheten v. Detman hor i punkten x vid tiden t kommer da att ha genererats i origo t1 = x/v sekundertidigare, vilket betyder att det man hor i punkten x vid olika tidpunkter t beskrivs avfunktionen

A sin(ω(t− x

v)).

Antag nu att vi har tva hogtalare som bada hors i en punkt p. De sander ut samma ton,men med olika amplitud, och ligger pa avstanden x1 respektive x2 fran punkten p.


Det man hor i punkten p ar da summan

A1 sin(ω(t− x1v

)) + A2 sin(ω(t− x2v

)).

Vi ska nu se hur man bestammer vilken ton det ar. Av beteckningsmassiga skal infor vibeteckningarna

α1 = −ωx1v

och α2 = −ωx2v

sa att det ar summanA1 sin(ωt+ α1) + A2 sin(ωt+ α2)

vi vill berakna.

A1

A2

A

α1

α

α2

∆α

∆α = α2 − α1

Betrakta nu figuren till hoger. Det vi har dar aren identitet

A1eiα1 + A2e

iα2 = Aeiα.

Om vi multiplicerar den identiteten med eiωt,d.v.s. roterar vektorerna med vinkelhastighetenω, sa far vi en ekvation

A1ei(ωt+α1) + A2e

i(ωt+α2) = Aei(ωt+α)

vars imaginardel innebar att

A1 sin(ωt+α1)+A2 sin(ωt+α2) = A sin(ωt+α).

For att bestamma A beraknar vi langderna ikvadrat av de tva leden:

A2 = |A1eiα1+A2e

iα2|2 = (A1eiα1+A2e

iα2)(A1e−iα1+A2e

−iα2)

= A21 + A2

2 + A1A2(ei(α1−α2) + ei(α2−α1)) = A2

1 + A22 + 2A1A2 cos(α2 − α1).

Detta ar vasentligen cosinussatsen, och att den ska anvandas kan man alternativt se direktur figuren ovan.

Vi ser alltsa att amplituden beror av avstandet mellan de tva ljudkallorna, alltsa vilkenpunkt vi star i, i form av

cos(α2 − α1) = cos(ω

v(x2 − x1)).


Speciellt ser vi att amplituden ar som storst, A1 + A2 i punkter dar cos(α2 − α1) = 1,alltsa da

ω

v(x2 − x1) = 2πk.

Menω

v=

2π

λdar λ ar avstandet mellan tva vagtoppar, sa vi ser att detta villkor ar att vagskillnadenar

x2 − x1 = kλ,

for nagot heltal k. Pa samma satt ser vi att amplituden ar som minst, |A1 − A2| davagskillnaden ar

x2 − x1 =λ

2+ kλ.

Detta illustreras i figuren ovan. Till vanster ser vi hur tva sinusvagor som ar i fas adderas,medan vi till hoger ser hur tva sinusvagor som ar helt ur fas resulterar i en vag medminimal amplitud (gront och blatt ar vagorna som adderas, rott ar den resulterandevagen).

Lat oss nu modifiera problemet lite, och lata vara tva hogtalare vara vanda mot varandraoch att det ar en fasskillnad pa φ mellan dem. Vagorna gar da at olika hall, sa det vi hori en punkt p mellan hogtalarna ar det som ges av

A1 sin(ω(t− x

v)) + A2 sin(ω(t+

x

v) + φ).

Med hjalp av formeln ovan kan detta skrivas A sin(ωt+ α) dar nu

A2 = A21 + A2

2 + 2A1A2 cos(4πx

λ+ π).

Amplituden ar som minst da

4πx

λ+ φ = π + 2πk ⇔ x =

λ

4− φ λ

4π+ k

λ

2

for nagot heltal k. Avstandet mellan tva punkter med amplitudminima ar darfor ∆x =λ/2. I figuren nedan ser vi hur svangningen ser ut i en punkt da A1 = A2 vid sju olikatidpunkter, av vilka en svarar mot att vagen ar helt horisontell.

x


Eftersom minimipunkternas lagen beror pa faskonstanten φ ar detta av speciellt intresseda man endast har en svangningskalla och vager reflekteras tillbaka samma vag som denkom.

Om hela vagen reflekteras kommer da den reflekterade vagen att ha samma amplitudsom den infallande vagen och vi ska berakna

A1 sin(ω(t− x

v)) + A1 sin(ω(t+

x

v) + φ) = 2A1 cos(

2π

λx+

φ

2) sin(ωt+

φ

2).

Likheten foljer av prostaferesekvationen. Har ar hogerledet en produkt av en funktionsom beror av tiden och en som beror av laget, vilket betyder att vi har en stationar,eller staende, vag, for vilka max och min hela tiden sker i samma punkter. Punkter darsvangningen alltid ar noll kallas noder medan punkter dar svangningen ar maximal kallasbukar

Tatare

material

Tunnare

material

Fran experiment vet vi att det brukar uppkom-ma antingen en nod eller en buk i en gransyta.Lat oss bestamma vilken fasforskjutning som geupphov till en nod i gransytan. Vi satter denna iorigo, vilket betyder att vi ska ha cos(φ/2) = 0,alltsa φ = π + k2π. I reflektionspunkten ar denreflekterade vagen alltsa fasforskjuten π radia-ner i forhallande till den inkommande vagen.Detta intraffar typiskt vid reflektion mot etttatare material. Med en buk i gransytan skaden staende vagens amplitud vara maximal igransytan, vilket vi ser ar da φ = k2π, dvs ingenfasforskjutning. Detta intraffar typiskt vid reflektion mot ett tunnare material.

Problemet med att definiera komplexa logaritmer

Lat oss nu betrakta ekvationen z2 = w igen, dar w ar ett givet komplext tal. Vi har dasett att denna ekvation har tva losningar

z1 =√reiθ/2 och z2 =

√reiθ/2+π = −z1, 0 ≤ θ < 2π,

dar w = reiθ. Om w ar ett positivt reellt tal, alltsa θ = 0, sa blir z1 =√w och z2 = −

√w.

Det kan nu kannas naturligt att tro att vi kan definiera en funkton√w for godtyckliga

komplexa tal w genom att saga att√w = z1.


w =√r

w = −√r

r

z = reiθ

θ

w = reiθ/2Naturligtvis kan vi gora det, men den funktion vi farblir inte kontinuerlig i hela det komplexa talplanet.T.ex galler enligt denna definition att

√1 = 1, och vi

man ser latt att om ε > 0, sa galler att√

1 + iε → 1da ε → 0. Detta darfor att argumentet for 1 + ε garmot noll da ε→ 0.

Daremot galler att√

1− iε → −1. Vi har namligenatt 1 − iε har ett argument θε som gar mot 2π daε → 0, vilket betyder att z1 = eiθε → eiπ = −1 daε→ 0.

Vi kan alltsa inte pa detta satt definiera en kontinuerlig funktion√

: C → C. Men omvi skar bort den positiva reella axeln och definierar rotfunktionen

√pa resten, far vi en

kontinuerlig funktion dar den ar definierad. Priset ar att vi kan inte dra roten ur positivatal!

Men vi maste inte skara bort just den positiva reella axeln, vi kan skara bort vilken stralesom utgar fran origo som vi vill och definiera en rotfunktion pa resten. Nar man gorsadana val sager man att man valjer gren av rot-funktionen.[11] Det gor att man kan inteutan vidare skriva ut ett uttryck som

√3− 4i – det ar i allmanhet inte klart vad man

menar med det.

Skriv inte√z for ett icke-reellt, komplext, tal z, om du inte

ar valdigt tydlig med vad du menar!

Samma problem har vi nar vi forsoker definiera en logaritmfunktion av komplexa tal. Ensadan ska vara losningen pa ekvationen

ez = w.

Igen kan det verka ga bra fran borjan: skriv w = reiθ = eln r+iθ med 0 ≤ θ < 2π.Ekvationen loses da av alla tal

zk = ln r + i(θ + 2kπ) = ln |z|+ i(arg z + 2kπ),

dar k ar ett heltal. Det finns alltsa oandligt manga losningar.

Anmarkning Vi hade samma problem i den reella analysen nar vi skulle bestammainverser till de trigonometriska funktionerna. Da loste vi problemet genom att valjaut en del av funktionen att ta inversen till och med vars hjalp vi kan bestamma allalosningar till motsvarande ekvationer. Det som tillkommer har ar vasentligen sammaproblem som diskuterades for rotfunktionen ovan.

Lat oss bestamma oss for att vi tar k = 0. Om vi, liksom ovan, narmar oss den positivareella axeln fran ovan, sa galler att z → ln r, medan om vi narmar oss den nerifran sagaller att z → ln r + 2πi.

Vi har alltsa samma problem som ovan, och losningen blir samma som ovan: vi kan baradefiniera logaritmfunktionen i planet minus en strale. Om man valjer att skara bort denpositiva reella axeln kan vi inte berakna logaritmen av positiva tal, sa man skar ofta bortden negativa reella axeln istallet: och kan da inte berakna logaritmen av negativa reella


tal. Olika val av strale att skara bort leder till olika logaritmfunktioner. Eller grenar avlogaritmfunktionen, som man sager.

Den har diskussionen fortsatts i den komplexa analysen[12], men budskapet ar att att maninte utan vidare kan berakna logaritmen av t.ex. negativa, reella, tal. Resultatet beror avvilken gren av logaritmen man valjer att arbeta med.

Noteringar

1. Se kapitlet Om de trigonometriska funktionerna

2. Se kapitlet Om de trigonometriska funktionerna

3. Pa att r(−θ) = r(θ).

4. Dvs de kommutativa lagarna x+ y = y + x, xy = yx, de associativa lagarna(x+ y) + z = x+ (y + z), (xy)z = x(yz) och den distributiva lagen x(y + z) = xy + xz.

5. Ett annat argument kommer langre fram.

6. Se dock kapitlet Ett bevis for algebrans fundamentalsats for ett intuitivt enkelt bevis.

7. Se t.ex. kapitlet Analys av polynomfunktioner

8. Faktum ar att det gar lika bra om n ar ett negativt heltal, eftersom vi da skriver omekvationen som z−n = 1/w

9. Skriv ut beviset ordentligt med p(z) = a0 + a1z + . . .+ anzn, sa ser du vad som hander i de

olika likheterna.

10. For mer om dessa funktioner, se kapitlet Om trigonometriska och hyperboliska funktioner.

11. Man kan alternativt tanka pa rot-funktionen som en flervard funktion, men vi later dennadiskussion tillhora den komplexa analysen.

12. Se t.ex. artikeln Vad ar Riemannytor och vad ar de bra till?

Documents

VIII. Om komplexa tal och funktioner. Om komplexa tal och funktioner 3 (15) Exempel 1 Den kurva som ges av ekvationen s r( ) = 1 + cos kallas cardoiden (ungef ar detsamma som hj artliknande)