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VIII SMAT - Simpósio de Matemáticada FCT-UNESP
ÍNDICE
A Circunferência S¹ Como Um Espaço Quociente 1
A Convergência Fraca* E Os Métodos Numéricos De Integração 3
Aplicação Das Transformadas De Fourier E Wavelet Na Compressão De ArquivosDe Som
5
Aplicação Do Método Dos Mínimos Quadrados E Dos Modelos De Malthus EVerhulst No Estudo Da Dinâmica Populacional Da Cidade De Presidente Prudente
7
Construção Da Transformação Z Multidimensional Para O Método Lambda 9
Desenvolvimento De Uma Interface Gráfica Com O Matlab Para Solução DeProblemas De Minimização
12
Ensino De Frações Por Meio De Metodologias Diferenciadas 15
Escoamento Incompressível Bidimensional Entre Placas Paralelas Com O Uso DoMétodo Núcleo-Conformação
17
Espectro Do Laplaciano Discreto Multidimensional 19
Feira Da Matemática: Atividades Diferenciadas Na Aprendizagem Dos Alunos 22
Grassmanniana Como Uma Variedade Homogênea 24
Interdisciplinaridade: Uma Prática Diferenciada No Ensino De Matemática 26
Localização De Zeros De Polinômios: Teorema De Schur-Cohn 29
Matemática E Física Na Escola Pública Como Extensão Universitária 31
O Método Tr-Bdf2 No Problema Modelo Do Hwnp 34
Os Laboratórios De Informática Das Escolas Estaduais De Presidente Prudente NoContexto Do Programa Acessa Escola
38
O Teorema De Engel 41
Potenciação Com O Auxílio De Jogo Da Velha Matemático 43
Projeto Fox: Um Game Voltado Para Mediação Do Ensino Da Matemática 46
Resolução De Equação 2ºgrau Pela Forma Geométrica 48
Simulação Numérica Utilizando O Modelo Algébrico Ptt 51
Teorema De Eneström-Kakeya: Estudo De Um Resultado Clássico Sobre Os ZerosDe Polinômios
53
Uma Experiência Inovadora Sobre A Probabilidade Da União De Eventos 55
Um Estudo Sobre A Cinética Das Reações Químicas Através De EquaçõesDiferenciais
59
Um Resultado Clássico Sobre Zeros De Polinômios: Limitante Superior De Cauchy 62
VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
A CIRCUNFERÊNCIA S1 COMO UM ESPAÇO QUOCIENTE
Eloisa Badaró Ioki1, Ronan Antonio dos Reis
2
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
Resumo: O presente trabalho tem como objetivo principal estudar os espaços quocientes, bem como,
demonstrar que a circunferência S1 pode ser visto como um espaço quociente. Tais espaços aparecem em
diversas áreas da Matemática como, por exemplo, em Geometria e Topologia, Topologia Algébrica e entre
outras áreas.
Palavras-Chave: Topologia, Espaço Quociente, Homeomorfismo.
1. INTRODUÇÃO1
Para o desenvolvimento desse trabalho, foi
feito um estudo de alguns conceitos e
resultados de topologia e em especial sobre os
espaços quocientes. Esse é um tópico
importante em topologia e, que aparece em
várias áreas da ciência, como em matemática,
física e entre outros. Aqui, demonstramos
alguns resultados que nos possibilitam
identificar alguns espaços topológicos. Como
uma aplicação desses resultados, vimos que a
circunferência S1 é homeomorfa a um espaço
quociente. Para isso, utilizamos técnicas e
resultados de topologia e álgebra.
A seguir, apresentamos as definições e
resultados necessários para o desenvolvimento
deste trabalho.
2. DESENVOLVIMENTO2
Definição 1: Uma topologia num conjunto X
é uma coleção de subconjuntos abertos de X
satisfazendo as seguintes condições:
1) X e o conjunto vazio Ø estão em .
2) Uniões arbitrárias de elementos em estão
em .
3) Interseções finitas de elementos em estão
em .
Definição 2: Sejam X com uma topologia X e
Y com uma topologia Y. Uma aplicação
1 Aluna do Curso de Matemática da FCT/UNESP
2 Orientador
f: X→Y é contínua se, para todo V∈Y em Y,
f-1
(V) ∈ X.
Observação 1: Denotamos por f-1
(V) a
imagem inversa de V por f, ou seja, o conjunto
dos elementos de x∈X tais que f(x)∈V.
Proposição 1: Sejam X, Y e Z espaços
topológicos e sejam f:X→Y e g:Y→Z funções
contínuas. Então, a composta g○f:X→Z é
contínua.
Definição 3: Sejam X e Y espaços topológicos
Uma aplicação f:X→Y é um homeomorfismo
se f é uma bijeção contínua com inversa
f-1
:Y→X.
Proposição 2: Sejam X um espaço topológico,
Y um conjunto não vazio e a aplicação f:X→Y
sobrejetora. Então, o conjunto f dos
subconjuntos V de Y tais que f-1
(V) aberto em
X, é uma topologia em Y, chamada topologia
quociente induzida por f em Y. E, a aplicação f
é contínua com respeito a topologia f.
Definição 4: Seja X um espaço topológico.
Uma aplicação f:X→Y é dita uma aplicação
quociente se f é sobrejetora e Y tem a
topologia quociente induzida por f.
Exemplo 1: Sejam X um espaço topológico e
~ uma relação de equivalência em X. Seja X/~
o conjunto quociente, ou seja, o conjunto das
classes de equivalência [x] de x ∈ X.
Naturalmente, temos bem definido a
sobrejeção canônica ᴫ : X → X/~ dada por
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Naturalmente, temos bem definido a
sobrejeção canônica ᴫ : X → X/~ dada por
ᴫ(x) = [x]. Assim, a aplicação ᴫ é uma
aplicação quociente.
Proposição 3: Se f:X→Y é uma aplicação
sobrejetora e contínua, e se f é uma aplicação
aberta (f(U) é aberto em Y se U é aberto em X),
então f é uma aplicação quociente.
3. RESULTADOS
Teorema 1: Sejam f : X → Y uma aplicação
quociente e ~ uma relação de equivalência em
X tal que x~y se, e somente se, f(x) = f(y).
Então, X/~ é homeomorfo a Y.
Figura 1: Diagrama das Aplicações
Demonstração: Consideremos a aplicação
quociente ᴫ : X → X/~ dada por ᴫ(x) = [x] e
defina a aplicação 𝑓 : X/~ → Y por 𝑓 ([x]) =
f(x). Então, 𝑓 está bem definida, pois se [x] =
[y], então x~y, o que por hipótese implica que
f(x) = f(y) e, portanto, 𝑓 ([x]) = 𝑓 ([y]).
Claramente, temos que 𝑓 ○ ᴫ = f. Como f e ᴫ
são aplicações quocientes, então segue que 𝑓 é
contínua. Para mostrar que 𝑓 é um
homeomorfismo, basta mostrar que 𝑓 é
injetora, sobrejetora e 𝑓 -1 é contínua. Sejam [x]
e [y] em X/~ tais que 𝑓 ([x]) = 𝑓 ([y]). Isso,
implica que f(x) = f(y) o que equivale a dizer
que x~y, ou seja, [x] = [y] e, portanto, 𝑓 é
injetora. A sobrejetividade de 𝑓 é de fácil
verificação. E, quanto a continuidade da
inversa 𝑓 −1: Y→X/~, basta observar que ᴫ =
𝑓 −1○ f e utilizar o fato que ᴫ e f são aplicações
quocientes.
Exemplo 2: Para uma aplicação do resultado
anterior, consideremos R com a topologia
usual e a circunferência S1 ={(x1,x2) em R
2|
x2
1 + x2
2 =1} com a topologia induzida pela
topologia usual de C. Então, S1 é homeomorfo
a R/~, onde ~ é relação de equivalência dada
por a~b se, e somente se, a-b é um número
inteiro. De fato, seja a aplicação f:R→S1 dada
por f(x) = cos(2ᴫx) + isen(2ᴫx), onde i2 = -1,
que é sobrejetora e contínua. Temos que f é
uma aplicação quociente, pois é uma aplicação
aberta. A relação de equivalência ~ em R é tal
que a~b se, e somente se, f(a) = f(b). Então,
pelo Teorema 1, segue que o espaço R/~ é
homeomorfa a S1.
4. CONCLUSÃO
Através do estudo de alguns tópicos de
Topologia, em especial, dos espaços
quocientes, vimos resultados que nos
possibilitam a identificar certos espaços
topológicos. Como uma aplicação desses
resultados, vimos a circunferência S1 como um
espaço quociente.
REFERÊNCIAS
[l] Lima, E.L.: Espaços Métricos. 5.ed. Rio de
Janeiro. IMPA, 2013.
[2] Lima, E. L.: Elementos de Topologia Geral.
Rio de Janeiro. AO LIVRO TÉCNICO S.A.,
1970.
[3] Munkres, J.R.: Topology A First Curse.
Rentice-Hall, 1975
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
1 Bolsista de Iniciação Científica do CNPq.
A CONVERGÊNCIA FRACA* E OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE INTEGRAÇÃO
Bruno V. M. Macedo1, Prof. Dr. Suetônio A. Meira
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Resumo: Neste trabalho é apresentado o conceito de convergência fraca* para sequências de funcionais lineares limitados sobre espaços normados, conciliando tal conceito com métodos numéricos de integração de funções contínuas (reais de variável real). Como veremos, normalmente a convergência de um método numérico se resume a convergência fraca* de uma sequência de funcionais lineares limitados, definidos sobre o espaço das funções contínuas. Também é apresentado um teorema, do qual resulta uma condição necessária e suficiente para que um método numérico de integração seja convergente.
Palavras-Chave: Funcional, Limitado, Banach.
INTRODUÇÃO Como sabemos, dada uma função contínua �: ��, �� → ℝ, através do Teorema Fundamental do Cálculo, conseguimos calcular de maneira simples a integral desta função, conhecida uma de suas primitivas. No entanto, nem sempre conhecemos a primitiva de uma função contínua. Existem vários métodos numéricos para calcular a integral de funções contínuas, neste trabalho mostraremos como o conceito de convergencia fraca* pode ajudar a determinar a eficiência destes métodos. METODOLOGIA A princípio, é necessário definir o conceito de convergência fraca* para uma sequência de funcionais lineares limitados sobre um espaço normado. Definição. Seja �� uma sequência de funcionais lineares limitados sobre o espaço normado �, dizemos que �� converge de maneira fraca*, se existe � ∈ �′, tal que,
��� → �� ∀� ∈ �.
Dizemos então que, � é o limite fraco* e
denotamos essa convergência por �� �∗�� �.
A seguir, apresentamos um teorema que será fortemente usado para determinar uma condição necessária e suficiente para que um método numérico de integração seja convergente. Teorema 1. Seja � um espaço de Banach, uma sequência �� de funcionais lineares limitados converge de maneira fraca* se, e somente se, (i) Existe � ∈ ℝ tal que ‖��‖ ≤ � para
qualquer � ∈ ℕ. (ii) A sequência ��� é de Cauchy para todo � em um subconjunto total � ⊂ �. A maioria dos métodos numéricos para obter valores aproximados para a integral de uma função contínua �: ��, �� → ℝ, consiste em escolher alguns pontos no intervalo ��, �� e fazer uma combinação linear com os valores que a função atinge nesses pontos. Os coeficientes dessa combinação linear e os pontos do intervalo ��, �� dependem do método, mas não da função �, já que é importante que o método consiga obter aproximações para o valor da integral de qualquer função contínua. O teorema anterior é uma forte ferramenta para determinar se um método númerico de integração obtém valores cada vez mais
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
aproximados para a integral de uma função contínua, à medida que aumentamos o número de pontos escolhidos no intervalo ��, ��. Vejamos como um método numérico de integração pode ser descrito através da Análise Funcional. Consideremos o espaço vetorial das funções contínuas ���, ��, com a norma:
‖�‖ = max$∈�%,&�|�( |. Consideremos o funcional integral, �: ���, �� →ℝ, tal que,
�� = ) �( *(&
%.
É evidente que o funcional � é linear, além disso, temos que,
|�� | ≤ ) |�( |*(&
%≤ � − � ‖�‖.
Logo � é um funcional linear limitado, isto é � ∈ �′. A seguir, descrevemos a configuração geral de um método numérico de integração: Para cada número � ∈ ℕ são escolhidos � + 1 pontos, (.� , (/� , . . . , (�� sobre o intervalo ��, ��, de modo que, � = (.� < (/� < ⋯ < (�2/� < (�� = �.
São escolhidos também � + 1 números reais 3.� , 3/� , . . . , 3�� . Consideremos o funcional ��: ���, �� → ℝ, definido por,
��� = 435� �6(5� 7�
58/.1
Este procedimento define um método numérico de integração, onde ��� é uma aproximação para a integral �� . É fácil mostrar que, o funcional �� é linear, limitado, e que, além disso,
‖��‖ = 4935� 9�
58/.
Desta forma, um método de integração deste tipo gera uma sequência �� de funcionais lineares limitados, onde a escolha dos (:� ′; e dos 3:� ′; devem ser feitas de modo que,
��� → �� ∀� ∈ �
ou seja, �� �∗�� �.
Definição. Dizemos que, o método numérico de integração definido em (1) é convergente se,
�� �∗�� �.
RESULTADOS Como o conjunto dos polinômios é denso em ���, ��, a partir do Teorema 1, concluímos que: Corolário. O método numérico para integração definido em (1) é convergente se, e somente se, (i) Existe � ∈ ℝ, tal que, ∑ 935� 9�58. ≤ � para todo � ∈ ℕ. (ii) ���5 → ��5 para as funções �5: ��, �� → ℝ, = ∈ ℕ ∪ ?0A, definidas por,
�.( = 1 �5( = (5 , = ∈ ℕ.2
CONCLUSÃO Para que o método numérico de integração descrito em (1) seja convergente, basta que este método seja convergente para as funções em (2) e verifique (i). Como conhecemos a integral das funções em (2), não é difícil fazer com que o método numérico de integração satisfaça (ii), além disso, se em tal método tivermos todos os 35� ′; não negativos, (i) também será satisfeita (ver referência bibliográfica [1], páginas 278-280).
Referências
[1] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications, Whiley Classics Library, John Whiley & Sons, 1989.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
APLICAÇÃO DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER E WAVELET
NA COMPRESSÃO DE ARQUIVOS DE SOM
Renata Nagima Imada Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Eniuce Menezes Departamento de Estatística, UEM
Av. Colombo, 5790
87020-900, Maringá, PR
Resumo: O processamento de sinais é um assunto cada vez mais atual e está tornando-se
indispensável, pois sinais estão presentes no dia a dia do ser humano. Neste trabalho, é abordada uma
das aplicações da Transformada Rápida de Fourier (FFT) e da Transformada Wavelet (TW) na utilização em sinais de áudio: compactação de som. As análises foram feitas através do software
Matlab, baseadas na teoria de Transformada de Fourier e Wavelets. O sinal foi decomposto,
compactado por ambas transformadas e reconstruído pelas respectivas transformadas inversas. Por fim, a comparação entre os dois métodos foi realizada via Erro Médio Quadrático (EMQ) para
diferentes taxas de compressão.
Palavras-Chave: Transformada de Fourier, Wavelets, Compressão de som.
INTRODUÇÃO
Sinais estão presentes em diversas situações do
dia a dia do ser humano. Um sinal pode ser
definido como uma função que carrega uma
informação. A forma mais comum é a
comunicação por sinal de voz [2]. O
desenvolvimento das ciências, principalmente
as computacionais, aponta para uma tendência
onde o processamento dos sinais torna-se cada
vez mais presente e indispensável [1].
Devido à atual capacidade de gerar grande
quantidade de dados, a compactação dos
mesmos é uma tarefa importante. Dessa
forma, nesse trabalho, um conjunto de teorias
que se mostram eficazes para realizar o
processamento de sinais de áudio/som, em
especial da fala, é utilizado. A Transformada
de Fourier decompõe um sinal no domínio do
tempo para o domínio das frequências, em que
a função (sinal) é escrita como combinação
linear das funções seno e cosseno. Enquanto
que a Transformada Wavelet tem a vantagem
de ser capaz de decompor sinais tanto no
domínio da frequência, quanto no domínio do
tempo, através de funções wavelets.
Um dos problemas no processamento de sinais
é o armazenamento e transmissão dos sinais,
de maneira que preserve-os sem alterar sua
forma. No presente trabalho, pretende-se
mostrar uma aplicação da FFT e da TW na
compressão de áudio, pois quanto menor é um
arquivo, mais informações podem ser
armazenadas num mesmo espaço de memória
e transmitidas mais rapidamente.
METODOLOGIA
Para realizar a compressão dos sinais de áudio
(trechos de músicas) no formato ".wav", foram
feitas implementações no software Matlab.
Primeiramente, é necessário carregar o arquivo
de áudio no Matlab, tornando-o um vetor, para
depois aplicar a FFT ou a TW. Em seguida,
pode-se comprimir o sinal por meio de uma
mesma função para os dois casos, em que se
obtém um número fixo de coeficientes não-
nulos, que pode ser escolhido a priori,
dependendo da taxa de compressão desejada.
É importante ressaltar que, no caso das
wavelets, o sinal pode ser decomposto em
multirresolução até restar apenas um
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
coeficiente, para então comprimir o sinal. A
TW foi aplicada a partir da Daubechies com 4
coeficientes.
Depois de comprimido, o sinal é reconstruído
por meio das transformadas inversas, porém,
com número reduzido de componentes.
Por fim, o sinal é transformado novamente no
formato ".wav" para que seja possível verificar
se houve perda de inteligibilidade do som.
Através da implementação realizada também
foi possível constatar a existência da diferença
entre o sinal original e o comprimido, ou seja,
é gerado um som para o sinal dessa diferença.
RESULTADOS
Foram feitos testes com dois arquivos de som,
que denominaremos como Teste 1 e Teste 2,
sendo que o primeiro apresenta fala humana
(canto) e o segundo são sons de instrumentos
musicais, sem fala.
Como meio de comparação entre os dois
métodos adotados, Fourier e Wavelets,
utilizou-se o Erro Médio Quadrático (EMQ),
que quanto menor, melhor será o desempenho
do método. As Tabelas 1 e 2 mostram o EMQ
relativo a cada um dos testes com suas
respectivas taxas de compressão e o método
utilizado.
Tabela 1: EMQ relativo ao Teste 1
Taxa de
compressão
EMQ -
Fourier
EMQ -
Wavelets
70% 0,0000217 0,0000109
80% 0,0000453 0,0000256
90% 0,0000946 0,0000697
95% 0,0001576 0,0001421
Tabela 2: EMQ relativo ao Teste 2
Taxa de
compressão
EMQ -
Fourier
EMQ -
Wavelets
70% 0,0000021 0,0000023
80% 0,0000059 0,0000096
90% 0,0000347 0,0000848
95% 0,0001774 0,0004822
Em todos os casos não houve perda da
compreensão do som ou do que está sendo
cantado, porém, conforme a taxa de
compressão vai aumentando, o sinal perde
informações e, consequentemente, perde
qualidade.
Através dos resultados obtidos, percebe-se que
a TW apresentou melhor desempenho no Teste
1, pois analisando as tabelas, percebe-se que o
EMQ é menor se comparado com a
Transformada de Fourier. Enquanto que no
Teste 2, quem melhor se aplica é a FFT.
Quando a taxa de compressão é maior no Teste
1 ou menor no Teste 2, não é percebida muita
diferença no resultado dos dois métodos, tanto
pelo EMQ quanto pelo áudio dos sons.
Além disso, ouvindo os sons também é
possível perceber a diferença entre os dois
métodos e concluir qual das transformadas
produz resultados mais satisfatórios
Sendo assim, a eficiência dos métodos
propostos é mostrada.
CONCLUSÃO
A partir dos testes realizados por meio de
implementações no software Matlab, é
possível comprovar a funcionalidade das FFT
e TW para compressão de arquivos de som,
assim, o objetivo do trabalho foi atingido.
Pode-se dizer que ambas transformadas
apresentam desempenho satisfatório e são
ferramentas importantes no processamento de
sinais.
É importante ressaltar que os resultados
obtidos nesse trabalho poderiam ser melhores
se os algoritmos fossem aprimorados e a
metodologia fosse refinada.
REFERÊNCIAS
[1] AMARAL, M. P., et al. Transformada
Wavelet aplicada a sinais humanos. IV
Semana de Atividades Científicas da
AEDB - Associação Educacional Dom
Bosco. Resende, 2006.
[2] MELLO, C. A. Processamento Digital de
Sinais. Centro de Informática -
Universidade Federal de Pernambuco.
Recife, 2012.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Aplicação do Método dos Mínimos Quadrados e dos Modelos de Malthus e Ve-
rhulst no estudo da dinâmica populacional da cidade de Presidente Prudente
Rafael G. Castanha, Bruno F. de J. Oliveira, Crislaine M. da Silva, Joyce A. D. Dobler Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
[email protected] [email protected]
Resumo: Este trabalho apresenta um estudo da dinâmica populacional da cidade de Presidente Prudente,
segundo modelos de crescimento populacional, os modelos de Malthus e Verhulst, juntamente com a
aproximação via Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Os dados populacionais de 1970 a 2000 foram
obtidos através da Fundação Seade. Para a validação do melhor modelo o dado referente ao ano de 2010,
disponível no IBGE, foi utilizado. Os modelos matemáticos presentes neste estudo apresentaram bons
resultados com uma pequena margem de erro, sendo que dentre os três métodos, o que melhor modelou o
crescimento populacional do município em função do tempo foi o crescimento logístico de Verhulst.
Palavras-Chave: MMQ, Modelo de Verhulst, Modelo de Malthus, crescimento populacional.
Introdução: Esta pesquisa apresenta um
estudo da dinâmica populacional humana da
cidade de Presidente Prudente – SP utilizando
três modelos matemáticos: o Método dos
Mínimos Quadrados (MMQ) através da
aproximação por uma função afim, o modelo
de Malthus, , e o modelo de Verhuslt, , cujos
parâmetros foram determinados pelo Método
dos Mínimos Quadrados. Para a sua realização
foram coletados dados reais que representam a
população anual de Presidente Prudente
referentes ao período de 1970 a 2000 e ao ano
de 2010, na Fundação Sistema Estadual de
Análise de Dados (SEADE) do Estado de São
Paulo e no Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE), respectivamente. O
trabalho tem por objetivo comparar as
projeções dos modelos MMQ, Malthus e
Verhulst para determinar qual deles melhor se
aproxima destes dados e a partir deste realizar
estimativas para os anos posteriores. Neste
contexto, acredita-se que os resultados deste
trabalho possam ser úteis para o
desenvolvimento futuro do município em
questões como planejamento urbano, mercado
de trabalho, entre outros.
Metodologia: A seguir será abordada a
aplicação do MMQ, do Modelo de Malthus e
do Modelo de Verhulst, no problema de
dinâmica populacional de Presidente Prudente.
Portanto, decidiu-se utilizar uma função afim
para se obter a linearização. Através dos dados
reais da demografia prudentina referente ao
período de 1970 a 2000 e ao ano de 2010,
coletados na base de dados da Fundação
SEADE e no IBGE. Dessa maneira foi
possível descrever a população de em função
do tempo através da construção de gráficos.
Posteriormente foi realizada uma comparação
entre a população real e a população estimada
através dos modelos, verificando qual deles
obteve a melhor aproximação aos dados reais.
E em seguida foi realizada uma previsão do
número de habitantes da cidade para os anos
seguintes utilizando o modelo mais adequado.
Resultados: A fim de encontrar o melhor
ajuste para o conjunto de dados da população
real, notou-se que uma boa aproximação é
dada por uma reta. Portanto, decidiu-se utilizar
uma função afim do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 para se
obter o ajuste via MMQ (Figura 1) e esta
função é dada por:
𝐹(𝑥) = −5344622 + 2767𝑥 (1)
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Figura 1: Aproximação da população via
MMQ.
Figura 2: Aproximação da população via
Modelo de Malthus.
Os dados estimados via modelo de Malthus
foram comparados com os dados reais (Figura
2). Lembrando que a população como função
do tempo é a solução do problema de valor
inicial (Equação (2)) onde k é a taxa (relativa)
de crescimento populacional
{
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃
𝑃(𝑡0) = 𝑃0 (2)
Resolvendo o problema de valor inicial
pode-se determinar k, de tal forma que k
será dado por k = 0,019 e o Modelo de
Malthus que descreve a população em
função do tempo (Figura 2) será dado por:
𝑃(𝑡) = 105192𝑒0.019𝑡 (3)
Em relação ao modelo de Verhuslt, a
população como função do tempo é a solução
do problema inicial (Equação (4)), dado por:
{
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃(𝑃𝑀 − 𝑃)
𝑃(𝑡0) = 𝑃0
(4)
Resolvendo o problema acima obtemos a
seguinte solução que descreve a população em
função do tempo (Figura 3):
𝑃(𝑡) =2.6384 x 1010
105192 + 145622𝑒−0,0477(𝑡−1970) (5)
Figura 3: Aproximação da população via
Modelo de Verhulst.
Conclusão: A simulação da demografia da
cidade para um intervalo de tempo anual entre
o período apresentado através do MMQ e o
modelo de Verhulst apresentaram bons
resultados com taxas de erro máximo de
1.729% e 1.269% respectivamente, enquanto
que o modelo de Malthus apresentou erro
máximo de 6.28% acima do real. Tendo em
vista que a população do município no ano de
2010, disponibilizada pelo IBGE é de 207610
habitantes, os três métodos apresentaram erros
de 4.862%, 10.57% e 0.544%,
respectivamente. Sendo assim, o método que
melhor modelou o crescimento populacional
foi o modelo de Verhulst.
Referências
[1] W. E. BOYCE, R. C. DIPRIMA,
“Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno”, 8. ed.,
Rio de Janeiro, LTC Editora, 2006.
[2] IBGE. Disponível em
<http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/pop
ulacao/censo2010/caracteristicas_da_populaca
o/default_caracteristicas_da_populacao.shtm>.
Acesso em: 09 jun. 2013.
[3] FUNDAÇÃO SEADE, Sistema de
população. Disponível em:
<http://www.seade.gov.br/produtos/500anos/in
dex.php?tip=esta >. Acesso em: 9 jun. 2013.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
CONSTRUÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO Z MULTIDIMENSIONAL PARA O
MÉTODO LAMBDA
Crislaine Menezes da Silva1
Programa de Mestrado em Matemática Aplicada e Computacional - PósMac, FCT, UNESP
19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected]
Daniele Barroca Marra Alves Departamento de Cartografia, FCT, UNESP
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: [email protected]
Eniuce Menezes de Souza Departamento de Estatística, UEM
87020-900, Maringa, PR
E-mail: [email protected]
Resumo: Alta precisão no posicionamento GNSS (Global Navigation Satellite System) é baseada na
observável fase da onda portadora, que pode atingir acurácia centimétrica. Esta acurácia só ocorre
quando as ambiguidades da fase da onda portadora são resolvidas corretamente como valores
inteiros. As ambiguidades da fase da onda portadora são os números de ciclos inteiros entre as
antenas do satélite e do receptor, na primeira época de dados. Elas são inseridas como parâmetro na
equação de observação da fase da onda portadora. A solução correta das ambiguidades como
valores inteiros é um desafio, além de ser uma peça fundamental nos métodos de posicionamento
que utilizam a fase da onda portadora. Um método que visa estimar as ambiguidades inteiras, muito
utilizado pela comunidade civil e científica internacional, é o método LAMBDA (Least-squares
AMBiguity Decorrelation Adjustment). Este método aplica uma decorrelação nas ambiguidades,
antes de estimá-las, utilizando uma matriz de transformação Z das ambiguidades. O objetivo deste
trabalho é mostrar a construção desta transformação para casos multidimensionais. Para isto, será
utilizada a transformação de Gauss multidimensional. Para validar a construção desta transformação
um exemplo numérico é apresentado.
Palavras-Chave: Método LAMBDA, Tranformação Z, Ambiguidade.
1 Bolsista de Mestrado da FAPESP.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
1. Introdução O método LAMBDA foi proposto por [2] e
visa estimar as ambiguidades inteiras na medi-
da de fase da onda portadora. A estimação das
ambiguidades inteiras consiste em minimizar a
seguinte equação, de acordo com [1]:
1
ˆˆ ˆm )(in
T
aa
a a Q a a , (1)
onde a é a solução float das ambiguidades, a
é o vetor das ambiguidades inteiras e 1
aQ é a
inversa da MVC de a . Que resulta na estima-
tiva inteira do vetor de ambiguidades a
. Na
minimização da equação acima, é que a com-
plexidade das ambiguidades inteiras se mani-
festa.
Este método estima as ambiguidades inteiras
através de uma decorrelação nas ambiguida-
des, que é realizada através de uma reparame-
trização. A reparametrização é feita da seguin-
te forma, segundo [1]:
ˆˆ
ˆˆ
,
T
T
T
z a
T
z Z az Z aQ Z Q Z
a Z z
onde Z é uma transformação das ambiguidades
admissível. Com isso, podemos reescrever (1),
como sendo:
1ˆ ˆminT
zz
z z Q z z . (2)
As condições necessárias e suficientes para Z
são:
a) Preservar o volume;
b) Reduzir o produto das variâncias;
c) Ter todos os elementos como inteiros.
2. A construção da transformação
Z
A construção da transformação Z multidimen-
sional será dividida em 3 etapas, que satisfa-
zem as condições acima: a escolha de uma
transformação de Gauss triangular superior ou
inferior, a determinação dos elementos da
transformação que satisfaça b, e o arredonda-
mento dos elementos de Z para o inteiro mais
próximo.
A primeira etapa consiste na escolha da trans-
formação de Gauss. Neste trabalho será esco-
lhido, sem perda de generalidade, a transfor-
mação de Gauss triangular inferior.
21
1 2
1 0 ... 01 ... 0
... ... ... ...... 1
n
n n
zZ
z z
(3)
Na segunda etapa, os elementos ijz serão esco-
lhidos, de forma a minimizar as variâncias
entre as ambiguidades. De (2), podemos escre-
ver os elementos da diagonal de zQ , segundo
[3]:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(1,1) (1,1)
(i,i) 2 ( , ),a
T T
i ii i i i
z
z a
Q
Z Q Z ZQ Q Q i
Q
i
onde i 2,...,n ,
1 2 ( 1)
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
... ,
(1,1) (1,2) ... (1, 1)(2,1) (2,2) ... (2, i 1)
,... ... ... ...
( 1,1) (i 1,1) ... ( 1, i 1)
(i,1) (i, 2) ... (i, i 1) .
i i i i i
a a a
a a aii
a a a
i a a a
Z Z Z Z
Q Q Q iQ Q Q
Q
Q i Q Q i
Q Q Q Q
Portanto, a condição de minimização para a
determinação dos coeficientes ijz pode ser
escrita como [3],
ˆ2 ..
ˆ,. ,
(i,i) 2 ( , ).min T T
i ii i i i azi n
Z Q Z Z Q Q iQ i
(4)
Desta forma, utilizando (4), pode-se obter os
coeficientes ijz da solução do sistema de equa-
ções lineares, conforme [3]:
ˆ (i, i)2 ,T T
ii i i
i
z Qd
ZZd
(5)
para i=2,...,n. Então, a solução de (5) é:
,ii
ii
QZ
Q (6)
para i=2,...,n. Agora, consegue-se determinar
os coeficientes ijz . Para que a matriz Z seja
uma transformação das ambiguidades admissí-
vel, resta garantir que todos os seus coeficien-
tes são números inteiros. Com isso, chega-se a
terceira etapa. A terceira etapa consiste no
arredondamento para o inteiro mais próximo
dos coeficientes ijz . Assim, em vez de (3) tem-
se:
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21
1 2
1 0 ... 0[ ] 1 ... 0
... ... ... ...[ ] [ ] ... 1n n
zZ
z z
, (7)
onde [.] representa o arredondamento para o
inteiro mais próximo.
3. Simulação
Para validar o método de construção da trans-
formação Z, será utilizado aqui um exemplo
proposto por [1]. Neste exemplo, a MVC das
ambiguidades é dada como:
ˆ
6.290 5.978 0.5445.978 6.292 2.3400.544 2.340 6.288
aQ
.
Utilizando primeiramente uma transformação
de Gauss triangular superior, obtêm-se a ma-
triz de transformação Z, e a MVC:
ˆ
1 1 02 3 1
3 3 1
0.626 0.230 0.0820.230 4.476 0.334 .0.082 0.334 1.146
z
Z
Q
Empregando essa metodologia (matriz triangu-
lar superior) são obtidos resultados idênticos
aos apresentados em [1]. O que valida o méto-
do de construção da transformação aqui apre-
sentado. Se for utilizado primeiramente a
transformação de Gauss triangular inferior será
obtida uma matriz de transformação Z diferen-
te da apresentada em [1], mas no final a mes-
ma ambiguidade a
será determinada.
4. Conclusão
Uma forma para construção da transformação
Z multidimensional é apresentada. Na prática,
para estimar as ambiguidades inteiras, temos
matrizes de dimensão no mínimo três, sendo o
método aqui apresentado, uma forma eficiente
de construir a transformação Z e que pode ser
usado recursivamente. Maiores detalhes, e a
contrução da transformação Z, em uma dimen-
são maior, serão apresentados no trabalho fi-
nal.
Referências
[l] JONGE, P. de ; TIBERIUS, C. C. J. M.,
The LAMBDA method for integer
ambiguity estimation: implementation
aspects, T.U.Delft - internal report, Delft,
1996
[2] TEUNISSEN, P. J. G., Least-squares
estimation of the integer GPS ambiguities.
In: IAG GENERAL MEETING, 1993,
Beijing, China. Proceedings... Beijing:
IAG, 1993.
[3] LI, Z., Y. GAO, Construction of high
dimensional ambiguity transformations for
the LAMBDA method. In: Proceedings
KIS97 ,Banff, Canada, 1997.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
DESENVOLVIMENTO DE UMA INTERFACE GRÁFICA COM O MATLAB
PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MINIMIZAÇÃO
Adriano Sueke Takata
Programa de Mestrado em Matemática aplicada e Computacional-Pós-Mac, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Aylton Pagamisse Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Resumo: Minimizar ou maximizar funções são procedimentos importantes na modelagem de
inúmeros problemas. Com o intuito de auxiliar a resolução desses problemas numericamente,
implementamos nesse trabalho uma interface gráfica usando a ferramenta GUIDE do MATLAB alguns
métodos numéricos para encontrar ponto de mínimo ou ponto de máximo de funções. Esses métodos de
otimização são divididos em duas grandes classes: Métodos Unidimensionais e Métodos Multidimensionais
e, além disso, em cada classe ainda são consideradas algumas subdivisões como métodos restritos e métodos
não restritos (irrestritos) e entre essas duas divisões são considerados os que usam derivadas e os que não
usam derivadas. Nesse trabalho apresentamos os métodos irrestritos com e sem o uso de derivadas e a
interface gráfica desenvolvida, fornecendo aos usuários uma ferramenta bastante útil e fácil de ser utilizada.
Palavras-Chave: Métodos de Otimização , MATLAB, GUIDE.
1. Introdução
Problemas de Otimização aparecem com
frequência em diversas áreas. Por exemplo, em
Economia, há um objetivo claro de maximizar
os lucros de uma empresa e minimizar o custo
de produzir um dado nível de produção. Outro
exemplo é na Medicina onde se deseja obter o
menor erro funcional para o problema inverso
de tomografia por impedância elétrica, dentre
outros. Então estamos sempre buscando os
pontos de máximos e mínimos das funções.
Os métodos apresentados dividem-se em duas
partes: Métodos Unidimensionais e os
Métodos Multidimensionais.
Desse modo, utilizando o MATLAB e sua
ferramenta GUIDE, o desenvolvimento de
uma interface gráfica com o usuário (GUI),
possibilita a outras pessoas a utilização dos
métodos apresentados de modo fácil e
intuitivo.
2. Métodos de Otimização
Antes de apresentar os métodos de otimização,
veremos algumas definições:
Definição 1. Um problema de programação
matemática (ou, problema de otimização)
apresenta o seguinte modelo geral:
Otimizar: ( ), nf x x
Sujeito a: ( ) ; 1,...,i ig x a i m
( ) ; 1,...,j jh x b j n .
onde ig e jh são restrições do problema.
Definição 2. Um conjunto S é convexo se para
quaisquer dois pontos Ax e Bx S é sempre
válido que os pontos da reta
(1 ) ,A Bx x com [0,1] também
pertencem a S.
Definição 3. Dizemos que a função é convexa
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se dados Ax e Bx S então
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )A B A Bf x x f x f x ,
[0,1]
Definição 4. Dizemos que a função é
estritamente quase convexa se dados Ax e
Bx S , tal que ( ) ( )A Bf x f x então
( (1 ) ) max{ ( ), ( )} (0,1)A B A Bf x x f x f x .
2.1. Problemas Irrestritos
Os problemas geralmente são resolvidos de
forma iterativa, empregando métodos
determinístico ou estocástico. Os métodos
determinísticos fazem a seguinte atualização
do novo ponto 1k k kx x d , onde kx é o
ponto atual é o passo na direção kd . A
direção de busca é que torna os métodos
diferentes.
Conhecido o ponto corrente kx e a direção de
busca kd , é necessário determinar qual é o
tamanho do passo . Assim a função a ser
otimizada é agora dependente de apenas uma
variável, isto é,
( , , ) ( )k kf f x d .
Métodos Unidimensionais
Seja : uma função quase convexa. Os
métodos que não utilizam derivadas são
construídos da seguinte maneira. Seja
1 1, [ , ]k k a b . Se ( ) ( )k k ,
1k ka a e 1k kb , caso contrário 1k ka e
1k kb b . Seque-se com esse processo até o
intervalo de incerteza ficar do tamanho
desejado, faça a média e encontrará o valor de x .
O que diferencia um método de outro é a
construção dos k e do k . Para mais detalhe
ver [1] e [2].
No método da Busca Dicotômica escolhemos
um 0 e tomamos:
;2
k kk
a b
.
2
k kk
a b
No Método da Seção Áurea tem-se
0.618 e tomamos:
(1 )( );k k k ka b a ( ).k k k ka b a
No Método de Fibonacci utilizamos a
sequência de Fibonacci até nF onde,
1 1
1
( ),n n
b aF F
l
e tomamos:
1
1 1
( ); ( ).n k n kk k k k k k k k
n k n k
F Fa b a a b a
F F
No Método de Newton o objetivo é minimizar
a função ( )f x . Então construímos uma função
quadrática ( )q x tal que seja igual a
( )f x expandida na série de Taylor em torno de
kx e truncada após a primeira derivada, para
encontrar o ponto de mínimo temos que ter
1'( ) 0kq x . Assim obtemos:
1
'( ).
''( )
kk k
k
xx x
x
3. Interface Gráfica
Os métodos apresentados foram programados
no MATLAB, além disso, foi criada a interface
gráfica com o usuário através do GUIDE.
O GUIDE é uma ferramenta do MATLAB que
auxilia no processo de criação de GUIs
(Graphical User Interface).
Geralmente cria-se GUIs se o aplicativo
desenvolvido será utilizado por outras pessoas
ou se o método será utilizado várias vezes,
fornecendo uma forma mais fácil e intuitiva.
Para entender um pouco mais de como
construir uma GUI ver [3] e [4].
Na figura 1 temos a imagem da GUI
desenvolvida.
Figura 1: A Interface gráfica construída através
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do GUIDE.
A GUI construída é bem simples, onde
dividimos em Métodos Unidimensionais e
Métodos Bidimensionais (Multidimensionais).
Temos caixas de texto editáveis, onde o
usuário possa digitar os dados do problema
como função, valor inicial do intervalo, valor
final do intervalo, tolerância e o número
máximo de iterações. Após o preenchimento
destes dados basta clicar no botão Resolver
que programa selecionado executa a solução
do problema desejado utilizando o método
selecionado, fornecendo os seguintes
resultados: valor da função no ponto mínimo,
valor do ponto, o número de iterações e o
gráfico da função.
Exemplo 1. Minimizar a função 2( ) 2f x x x para [ 3,5]x .
Figura 2: Interface gráfica mostrando a
solução do exemplo 1 usando o Método de
Newton.
Figura 3: Interface gráfica mostrando a
solução do exemplo 1 usando o Método de
Fibonacci.
A Figura 2 e a Figura 3 mostram o uso da GUI
construída para solucionar o exemplo 1,
usando o método de Newton e o método de
Fibonacci respectivamente, e os resultados
numéricos obtidos.
Exemplo 2. Minimizar a função 2( ) 5 6f x x x para [ 3,5]x . Na Figura
4 mostra a solução na GUI.
Figura 4. Interface gráfica mostrando a
solução do exemplo 2 usando o Método da
Seção Áurea.
4. Conclusão
Os métodos de otimização são eficientes para
resolver muitos problemas e a construção da
interface gráfica, possibilita que outros
usuários possam usar os métodos de
otimização apresentados de modo simples e
intuitivo.
Referências
[l] Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C.
M. Shetty: Nonlinear Programming:
Theory and Algorithms; Printed: John
Wiley e Sons, 3rd
ed. 2006.
[2] Luenberger D.G. Linear and nonlinear
programming; Springer, 3rd
ed. 2006.
[3] Duane Hanselman, Bruce Littlefield:
MATLAB 6: curso completo; São Paulo:
Prentice Hall, 2003.
[4]www.mathworks.com/help/pdf_doc/matlab
/buildgui.pdf
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ENSINO DE FRAÇÕES POR MEIO DE METODOLOGIAS
DIFERENCIADAS
Ana Laura da Silva Neves, Jéssica Ventura da Silva, Luana Cristine de Souza Vieira,
Rodrigo Henrique de Oliveira, Profa. Dra. Maria Raquel Miotto Morelatti, Profa Ms. Regina
Célia Ramos
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
[email protected] [email protected] [email protected] [email protected]
Resumo: Neste trabalho analisamos uma intervenção sobre o conteúdo de frações, realizada
nos 6os
anos do Ensino Fundamental da Escola Estadual Florivaldo Leal, no âmbito do Subprojeto de
Matemática do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID/CAPES), do Curso de
Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP de Presidente Prudente. Partindo da constatação de que
o ensino e a compreensão do conceito de fração são complexos, elaboramos uma metodologia
diferenciada, na qual utilizamos materiais manipuláveis como os discos de frações e o software
educacional “Fraciomia”, para promover uma aprendizagem mais significativa do conteúdo abordado.
Palavras-Chave: Ensino e Aprendizagem de Frações, aprendizagem significativa.
Introdução
O Programa Institucional de Bolsa de
Iniciação a Docência (PIBID) visa inserir o
licenciando no cotidiano da escola básica e
promover o desenvolvimento metodologias e
práticas docentes de caráter inovador, que
buscam valorizar o espaço da escola pública
como campo de experiência para a construção
do conhecimento tanto para a formação dos
futuros professores quanto dos alunos da
educação básica.
Tendo em vista os problemas de
aprendizagem dos alunos da escola parceira, o
subprojeto de matemática do PIBID do Curso
de Licenciatura em Matemática da
FCT/UNESP propõe o desenvolvimento de
metodologias e estratégias de ensino, nas quais
os alunos possam ser incentivados a aprender
matemática, atribuindo sentido aos conceitos
matemáticos abordados.
Para Goméz-Granell (2003), uma das
maiores dificuldades no ensino de matemática
está ligada ao seu caráter de abstração. Para a
autora, a linguagem matemática deve ser
trabalhada na escola levando-se em conta tanto
os aspectos semânticos da linguagem (do
significado dos símbolos) bem como os
sintáticos (conhecimento de como operar com
os símbolos). Acreditamos que uma
possibilidade para isso seja a vivência de
propostas pedagógicas, fundamentadas em
teorias que considerem o aluno como sujeito
ativo na construção de conhecimentos
matemático, que utilizem diferentes recursos e
materiais pedagógicos e que proporcionem
experiências relacionadas ao cotidiano dos
alunos.
O uso de material concreto pode contribuir
para o aluno atribuir sentido a aprendizagem
se o professor inserí-lo em uma aula
investigativa, na qual os alunos são levados a
questionar, levantar hipóteses, testá-las e
validá-las. Por outro lado, o uso de recursos
computacionais, se utilizado em uma
abordagem na qual o aluno, ao interagir com o
computador, possa também vivenciar tais
ações torna a aprendizagem mais prazerosa e
significativa e contribui para o
desenvolvimento do pensamento matemático
e sua capaciade crítica.
Segundo os Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1997) de matemática do
eniso fundmental II, o computador pode ser
usado nas aulas de Matemática com as
seguintes finalidades:
• como fonte de informação, poderoso recurso
para alimentar o processo de ensino e
aprendizagem;
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
• como auxiliar no processo de construção de
conhecimento;
• como meio para desenvolver autonomia pelo
uso de softwares que possibilitem pensar,
refletir e criar soluções;
• como ferramenta para realizar determinadas
atividades — uso de planilhas eletrônicas,
processadores de texto, banco de dados etc.
Assim, as experiências escolares com o
computador nos mostram que seu uso efetivo
pode proporcionar uma nova relação
professor-aluno, marcada por maior
proximidade, interação e colaboração, assim o
ensino torna-se mais rico e mais significativo
ao aluno em um ambiente propício para
formalizar os conceitos trabalhados.
Tendo consciência de que o ensino e a
aprendizagem de frações na escola básica tem
se mostrado um difícil processo, decidimos
desenvolver com alunos dos 6º anos do Ensino
Fundamental da escola parceira do projeto
PIBID algumas atividades que pudessem
contribuir para a aprendizagem significativa
desse conceito, pautadas no uso de material
manipulável e de softwar educacional.
Desenvolvimento e Análise
A primeira atividade realizada tinha como
objetivo levar os alunos a compreender os
conceitos: fração parte-todo, denominador e
numerador. Assim resolvemos utilizar como
material concreto os “discos fracionários”,
compostos de um disco inteiro e discos
parcionados em partes iguais, de duas até dez.
Em cada sala, os alunos foram divididos em
em quatro grupos, pois acreditamos que o
trabalho torna-se mais proveitoso e cada grupo
foi acompanhado por um bolsista. Propusemos
aos alunos um roteiro com alguns problemas,
por exemplo: Três amigos precisam repartir
um bolo onde todos tenham a mesma
quantidade, ajude-os a resolver essa situação.
Tais problemas levaram os alunos a pensar
juntos em busca da solução. Para tanto
puderam explorar o material concreto
disponbilizado, pudemos questioná-los, levá-
los a levantar hipóteses, podendo depois
realizar a formalização dos conceitos
envolvidos.
A segunda atividade tinha como objetivo
trabalhar as operações de soma e subtração
entre frações, utilizando quando necessário o
cálculo do Mínimo Múltiplo Comum.
Utilizamos nesta atividade um software do
Banco Internacional de Objetos Educacionais
– BIOE chamado Fraciomia.
A atividade aconteceu na sala de
informática onde os alunos sentaram em
duplas e por meio do objeto educacional
puderam explorar os conceitos abordados. O
software exigia que os alunos preparassem
uma receita escolhida. Para tanto, utilizavam
frações, para adquirirem a quantidade certa de
cada ingrediente da receita. Os ingredientes se
encontravam cada um num frasco guardado
em um depósito, nos quais nem sempre as
quantidades eram suficientes. Isso fez com que
os alunos percebessem que iriam retirar a
quantidade possível e ainda retirar a
quantidade que falta de um novo frasco, sendo
que a quantidade de cada frasco representada
por uma fração. A atividade terminava quando
os alunos conseguissem todos os ingredientes
na quantidade certa da receita e os misturava
em um caldeirão.
Considerações Fianis
Podemos dizer que, ao realizarmos essas
atividades, os alunos obtiveram uma
aprendizagem mais significativa, adquirindo
os conceitos envolvidos, alcançando também o
interesse dos mesmos em aprender matemática
e, ao mesmo tempo que puderam vivenciar
uma ação na qual foram os protagonistas na
construção do conhecimento.
Referências Bibliográficas [1] GOMÉZ-GRANELL, Carmen. A
aquisição da linguagem matemática: símbolo e significado. In: TEBEROSKY, Ana;
TOLCHINSKY, L. (Org.). Além da
alfabetização: a aprendizagem fonológica,
ortográfica, textual e matemática. São Paulo:
Ática, 2003. cap.11. p. 257-282.
[2] BRASIL. Secretaria de Educação
Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC;
SEF, 1997.
16 de 63
ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL BIDIMENSIONAL ENTRE PLACAS
PARALELAS COM O USO DO MÉTODO NÚCLEO-CONFORMAÇÃO1
Irineu L. Palhares Junior2, Cassio M. OishiDepartamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Resumo: Uma dificuldade na solução de escoamentos viscoelásticos complexos ocorre quando
instabilidades numéricas surgem na simulação, resultantes de um colapso ("breakdown") dos esquemas numéricos aplicados na solução da equação constitutiva para fluidos não-newtonianos. Essa dificuldade é conhecida na literatura como o Problema de Alto Número de Weissenberg ou "High Weissenberg Number Problem" (HWNP). Uma forma de evitar essas instabilidades é a aplicação de manipulações algébricas no tensor conformação A , reformulando sua equação constitutiva. Desta forma, neste trabalho vamos analisar a transformação Núcleo-conformação K , que é uma função inversível, diferenciável e contínua, utilizada sobre o tensor A , que é simétrico e definido positivo. Primeiramente, vamos reescrever a equação constitutiva do modelo Oldroyd-B em termos de K (A) . Após isso, no contexto do método "Marker-and-Cell", as equações de Navier-Stokes e a equação do tensor conformação acrescida desta transformação serão resolvidas via método de projeção. Finalmente, as técnicas numéricas serão testadas na solução de escoamentos incompressíveis bidimensionais.
Palavras-Chave: Núcelo-conformação, Problema de Alto Número de Weissenberg.
IntroduçãoDesde o início dos anos 1970 o Problema de Alto Número de Weissenberg tem atormentado estudiosos em reologia computacional. Esta dificuldade manifesta-se por meio de instabilidades numéricas acarretadas pelo uso de altos valores para o número de Weissenberg ( Wi ), um parâmetro adimensional usado no estudo de escoamentos viscoelásticos. Quando tomamos um valor para Wi maior que um determinado valor limite Wicrit , denominado de valor crítico de Wi , os esquemas numéricos entram em colapso, resultando em instabilidades numéricas e na não convergência da solução.Uma estratégia que vem sendo desenvolvida é o uso de manipulações algébricas sobre o tensor conformação A , que é simétrico e definido positivo. Assim, neste trabalho apresentamos uma destas técnicas conhecida como núcleo-conformação, proposta por
Afonso et al. [1] e verificamos a eficiência deste método por meio de teste numérico em um escoamento bidimensional entre placas paralelas “poiseuille flow”.
MetodologiaAs equações que descrevem um escoamento bidimensional incompressível de um fluido qualquer na forma adimensional, equações de Navier-Stokes, juntamente com a equação constitutiva do modelo Oldroyd-B, são dadas, respectivamente, por:
d udt
+(u .∇)u=−∇ p+β
R e∇
2u+∇ .τ ,
∇ u=0e
τ∇=2
(1−β)
Wi R eD−
1Wi
τ , (1)
onde u é o campo de velocidade, τ o tensor polimérico, p a pressão, D é a
1 VII Simpósio de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia.2 Bolsista de Iniciação Científica da FAPESP.
17 de 63
taxa de deformação, definida como
D=12(∇ u+∇ uT ) ,
β é a razão entre a viscosidade do solvente
pela viscosidade total, Wi=λUL
, onde
λ é o tempo de relaxação, U e L representam escolhas apropriadas de escalas de velocidade e comprimento,
respectivamente, e R e=ULν é o número de
Reynolds, onde ν é a viscosidade cinemática. Podemos escrever a equação (1) em termos do tensor conformação A , pela relação linear:
τ=(1−β)
R eWi(A−I ) ,
que resulta em:
A∇
=1
Wi( I−A) . (2)
Aproveitando-se da propriedade fundamental de A , simétrico e definido positivo, podemos decompor A como:A=O ΛOT ,
onde O é a matriz unitária dos autovetores e Λ é a matriz diagonal dos autovalores.Assim, definimos a função núcleo como:K (A)=O K (Λ)OT ,
onde K é uma função contínua, inversível e diferenciável. Através de algumas manipulações algébricas sobre a equação (2) em conjunto com a função núcleo, construímos a seguinte equação evolutiva para K:
D KDt
=ΩK−KΩ+2B+1
WiH ,
onde Ω é uma matriz antissimétrica, B=O DBO
T e H=O DHOT , com
DB e DH matrizes diagonais. Desta forma, neste trabalho faremos duas escolhas apropriadas para a função núcleo, K=ln A
e K=A12 , função logaritmica e raiz
quadrada, ambas satisfazendo as condições necessárias para K , contínua, inversível e diferenciável.
ResultadosO teste apresentado a seguir foi realizado para o escoamento entre placas paralelas, com
dimensão 5x1 , passo temporal dt=10−3
, passo espacial dx=dy=0.1 , R e=0.1 e Wi=1 .
Por tratar-se de resultados preliminares, este trabalho faz apenas uma verificação do método núcleo-conformação mediante a comparação dos resultados com a solução exata deste problema que é conhecida.
A seguir apresentamos o gráfico da componente u da velocidade, variando com
y , para a solução exata, com a função logaritmica, função raiz quadrada e sem o uso da função núcleo, representadas no gráfico, respectivamente, por 'exata', 'log conformação', 'square root' e 'std'.
Conclusão
Como se pode observar na Figura 1, a inclusão desta função não degradou a solução. Além do mais, conforme declarado pelos autores em [1] e confirmado por meio de seus resultados, este método permite-nos estender o valor de
Wicrit para além do valor suportado para simulações sem o uso de manipulações sobre o tensor conformação.
Referências
[1] AFONSO, A.; OLIVEIRA, O. J.; PINHO, F. T.; ALVES, M. A. The log-conformation tensor approach in the finite-volume method framework. J. Non-Newtonian Fluid Mech., v. 157, p. 55-65, Set. 2005.
Figura 1: Variação da componente u da
velocidade com relação a direção y para Wi=1.
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Espectro do Laplaciano Discreto Multidimensional
Prof. Dr. Roberto de A. PradoDepto. de Matematica e Computacao, FCT - UNESP,
19060-900, Presidente Prudente - SP
E-mail: [email protected]
Area: Fısica-Matematica
Resumo: O presente trabalho tem como objetivo estudar o espectro do Laplaciano discreto mul-tidimensional h, sendo este definido sobre o espaco de Hilbert `2(Zd), para dimensao d ≥ 1. Taloperador e tambem conhecido como o Hamiltoniano de Schrodinger livre d-dimensional. Fisica-mente, seu espectro representa a energia de uma particula livre. Atraves da transformada de Fou-rier, mostra-se que h e unitariamente equivalente a um operador de multiplicacao por uma funcaoreal e que seu espectro e absolutamente contınuo puro descrito por σ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].
Palavras-chave: Espectro, Laplaciano discreto, Operador de Schrodinger livre.
1 Introducao
Na Matematica, assim como na Mecanica Quantica, existem varias ferramentas que proporcio-nam um conjunto de resultados e a teoria espectral de operadores auto-adjuntos e uma delas[1]. Neste trabalho consideramos o Laplaciano discreto multidimensional h, atuando, para di-
mensao d ≥ 1, sobre o espaco de Hilbert `2(Zd) ={u : Zd → C :
∑n∈Zd |u(n)|2 <∞
}, o qual
e definido por
(hu) (n) = −∑
k∈Zd,|k|=1
u(n+ k), n ∈ Zd, (1)
onde k = (k1, ..., kd) com |k| = |k1|+...+|kd|. Este operador aparece na construcao do modelo deAnderson discreto d-dimensional, estudado em [2]. Atraves da transformada de Fourier, mostra-se na secao 3 que h e unitariamente equivalente a um operador de multiplicacao por uma funcaoreal e, por resultados da secao 2, conclui-se que h e auto-adjunto e limitado, e que seu espectroe absolutamente contınuo puro dado por σ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].
2 Definicoes e Preliminares
Nesta secao definimos alguns conceitos e apresentamos alguns resultados preliminares, que seraoimportantes para o desenvolvimento desse trabalho (veja [1]).
Definicao 1. Seja T : H → H operador linear sobre o espaco de Hilbert H. O conjuntoresolvente de T e ρ(T ) =
{λ ∈ C; Rλ(T ) = (T − λI)−1existe e e limitado
}. O espectro de T e
o conjunto σ(T ) = C\ρ(T ).
Sejam T : H → H um operador auto-adjunto sobre um espaco de Hilbert H separavel eµξ = µTξ a medida espectral de T associada a ξ ∈ H. Denotamos por ` a medida de Lebesgue.
Definicao 2. O subespaco absolutamente contınuo de T e definido por Hac(T ) := {ξ ∈ H : µξ � `},onde µξ � ` indica que a medida µξ e absolutamente contınua com respeito a `.
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Temos que Hac(T ) e um subespaco fechado de H. Denotemos por P Tac a projecao ortogonalsobre Hac(T ) e definimos a restricao auto-adjunta Tac = TP Tac.
Definicao 3. O espectro absolutamente contınuo de T e definido por σac (T ) = σ (Tac).
Definicao 4. Um operador linear U : H1 → H2 e unitario se 〈Uξ, Uη〉 = 〈ξ, η〉 , ∀ξ, η ∈ H1
e Im(U) = H2. Existindo um operador unitario U : H1 → H2, entao esses espacos sao ditosunitariamente equivalentes. Neste caso, dois operadores lineares Tj : Hj → Hj , j = 1, 2, saounitariamente equivalentes se H2 = UH1 e T2 = UT1U
∗.
Teorema 1. Sejam U : H1 → H2 um operador unitario e T1, T2 operadores lineares unitaria-mente equivalentes. Entao
1. T1 e auto-adjunto e limitado se, e somente se, T2 e auto-adjunto e limitado.2. σ(T1) = σ(T2).
Demonstracao. 1. Suponha T1 auto-adjunto e limitado. Para todo ξ, η ∈ H2 tem-se
〈T2ξ, η〉 = 〈UT1U∗ξ, η〉 = 〈T1U∗ξ, U∗η〉 = 〈U∗ξ, T1U∗η〉 = 〈ξ, T2η〉 .
Segue do Teorema de Hellinger-Toeplitz [1] que T2 e auto-adjunto e limitado. De modo analogomostra-se a outra implicacao.
2. Por hipotese T2 = UT1U∗, o que implica T2 − zI = U (T1 − zI)U∗, ∀z ∈ C. Se z ∈ ρ(T1)
entao Rz (T1) existe e e limitado. Como U e U−1 = U∗ sao limitados, e temos que
Rz (T2) = (T2 − zI)−1 = (U∗)−1 (T1 − zI)−1 U−1 = URz (T1)U∗,
segue que Rz (T2) existe e e limitado, ou seja, z ∈ ρ(T2). Assim ρ(T1) ⊂ ρ(T2). Analo-gamente, mostra-se que ρ(T2) ⊂ ρ(T1). Portanto ρ(T1) = ρ(T2) e pela definicao 1 obtemosσ(T1) = σ(T2).
Definicao 5. Seja φ : Rd → C uma funcao mensuravel. Define-se o operador de multi-plicacao por φ como sendo o operador Mφ : domMφ → L2
(Rd)
dado por Mφψ = φψ comψ ∈ domMφ :=
{ψ ∈ L2
(Rd)
: φψ ∈ L2(Rd)}
.
Proposicao 1. Se φ : Rd → R e mensuravel, entao Mφ e auto-adjunto e limitado.
Demonstracao. Para todo ψ,ϕ ∈ L2(Rd) tem-se
〈ϕ,Mφψ〉 =
∫Rd
ϕ(t)φ(t)ψ(t)dt =
∫Rd
φ(t)ϕ(t)ψ(t)dt =⟨Mφϕ,ψ
⟩= 〈Mφϕ,ψ〉 .
Pelo Teorema de Hellinger-Toeplitz [1] segue que Mφ e auto-adjunto e limitado.
Proposicao 2. Seja E ⊂ Rd um conjunto de Borel com `(E) > 0 e φ : E → R uma funcaomensuravel. Considere o operador de multiplicacao Mφ em L2(E). Se `(A) = 0 implica`(φ−1(A)) = 0 (para todo A pertencente a σ-algebra de Borel A), entao o espectro σ(Mφ) epuramente absolutamente contınuo.
Demonstracao. Para cada conjunto de Borel A ⊂ R denote por χA o projetor espectral sobreA. Se ψ ∈ L2(E), tem-se
µψ (A) = 〈ψ, χA (Mφ)ψ〉 =
∫EχA (φ(x)) |ψ(x)|2 dx =
∫φ−1(A)
|ψ(x)|2 dx.
Logo, se `(A) = 0 ⇒ `(φ−1(A)) = 0, entao µψ(A) = 0. Portanto, µψ � ` e σ(Mφ) e absoluta-mente contınuo puro.
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3 Resultado
Seja h o operador definido na introducao por (1). Baseando-se em [2], mostremos que h possuiespectro absolutamente contınuo puro e que σ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].
Usando a transformada de Fourier vamos mostrar que h e unitariamente equivalente a umoperador de multiplicacao por uma funcao real. De fato, considere a transformada de Fourier
F : L2(
[0, 2π)d)→ `2(Zd),
(Fg) (n) =1√
(2π)d
∫[0,2π)d
g(x)e−ix.ndx,
que e um operador unitario com inversa dada por(F−1u
)(x) = l.i.m 1√
(2π)d
∑n∈Zd
|n|≤N
u(n)eix.n,
em que x.n = x1n1 + ...+ xdnd e l.i.m denota o limite N →∞ em `2(Zd). Temos que
(h (Fg)) (n) = −∑k∈Zd
|k|=1
1√(2π)d
∫[0,2π)d
g(x)e−ix.(n+k)dx
= − 1√(2π)d
∫[0,2π)d
g(x)e−ix.n∑k∈Zd
|k|=1
e−ix.kdx
= − 1√(2π)d
∫[0,2π)d
g(x)e−ix.nd∑j=1
2 cos(xj)dx = (Fψ) (n),
onde ψ(x) = −2∑d
j=1 cos(xj)g(x). Portanto, F−1hF = Mφ com φ(x) = −2∑d
j=1 cos(xj).
Assim, h e unitariamente equivalente ao operador de multiplicacao Mφ em L2(
[0, 2π)d)
na
variavel x = (x1, ..., xd). Pela Proposicao 1 e pelo Teorema 1 tem-se que h e auto-adjunto elimitado, com σ(h) = σ (Mφ). Como φ : Rd → R e contınua, entao σ (Mφ) = Imφ = [−2d, 2d](veja [1]). Alem disso, φ satisfaz `(A) = 0 ⇒ `(φ−1(A)) = 0, donde pela Proposicao 2 obtemosσ (Mφ) = σac (Mφ) = [−2d, 2d]. Potanto, h tem espectro absolutamente contınuo puro eσ(h) = σac(h) = [−2d, 2d].
4 Conclusao
Conforme o caso estudado apenas a energia cinetica esta presente na partıcula, a qual naosofre influencia de forca exterior que geraria uma energia potencial. O espectro puramenteabsolutamente contınuo de h representa a energia de uma particula livre.
Referencias
[1] DE OLIVEIRA, C. R.: Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics; Birkhauser,Basel, v. 54, Progress in Mathematical Physics (2008).
[2] STOLZ, G.: An Introduction to the mathematics of Anderson Localization. Entropy andthe quantum II, Contemp. Math. 552, Amer. Math. Soc., Providence, Rl, 71-108 (2011).
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
FEIRA DA MATEMÁTICA: ATIVIDADES DIFERENCIADAS NA
APRENDIZAGEM DOS ALUNOS
Lucas Scarini Ferrari, Natália Aparecida Sylvestrino Pereira, Profª Drª Maria Raquel
Miotto Morellati, Profª Mrª Regina Célia Ramos
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Resumo: O subprojeto PIBID/CAPES (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência) do
curso de Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP iniciado no ano de 2010 é desenvolvido por um grupo
de 10 bolsistas em parceria com a Escola Estadual Florivaldo Leal do Município de Presidente Prudente, visa
a formação de professores tanto quanto uma melhoria na aprendizagem por parte dos alunos, portanto este
trabalho vem apresentar uma atividade idealizada a partir do Dia Nacional da Matemática, denominada
Semana da Matemática, onde bolsistas e alunos trabalharam em conjunto preparando atividades
diferenciadas que os próprios apresentariam para a escola inteira em um período letivo liberado pela direção
da escola, de forma a mostrar que todos alunos aprendem mesmo fora da sala de aula e a beleza da
disciplina, além de as atividades propostas o aluno dificilmente teria a possibilidade de alcançá-las dentro da
própria escola.
Palavras-Chave: Semana da Matemática, Atividades diferenciadas.
Introdução
Este trabalho pertence ao Subprojeto de
Matemática do Programa Institucional de
Bolsa de Iniciação a Docência
(PIBID/CAPES) do curso de Licenciatura em
Matemática da FCT/UNESP de Presidente
Prudente, desenvolvido por um grupo de 10
bolsitas, coordenado por Dra. Maria Raquel
Miotto Morellati e contando com o auxílio de
Ms. Regina Célia Ramos ambas do
Departamento de Matemática e Computação
em parceria com a Escola Estadual Florivaldo
Leal, localizada na região central de Presidente
Prudente atendendo cerca de 1000 alunos,
sendo que o projeto atinge acerca de 480,
desde o Ensino Fundamental ao Ensino Médio.
Uma forte característica advinda do ano de
2011 no subprojeto PIBID foi que a
Matemática não apenas deve ser ensinada
dentro de sala de aula, assim, considerando o
interesse que os alunos demonstravam por
atividades práticas que nem sempre poderiam
serem realizadas dentro da sala de aula, pela
falta de tempo ou pelo professor ter um plano
e um currículo mínimo a cumprir, foram
iniciadas o estudo e a reflexão sobre possíveis
atividades a serem realizadas extraclasse
durante o período de intervalo deles ou algum
tempo que a direção liberasse.
Importante ressaltar que estas atividades
realizadas não eram obrigatórias aos alunos,
eles eram apenas convidados.
Segundo Nérici (1979) defende que estas
atividades extraclasses sejam integradas dentro
do planejamento das atividades escolares
normais passariam a fazer parte do currículo,
normalmente, tornando a vida escolar mais
dinâmica, mais rica e mais sugestiva, por meio
do máximo de oportunidades educativas
proporcionadas aos alunos.
Podemos então perceber que as atividades
extraclasses atraiam alunos em que dentro da
sala de aula eram tratados como ignorantes ou
displicentes, aqueles que possuíam grandes
dificuldades, mas que fora da aula tentavam e
aprendiam significativamente, além disso,
podemos relatar que muitos destes após as
atividades mudaram seu comportamento
dentro da sala de aula, o que realmente
afirmava sua vontade de aprender, e que a
Matemática pode efetivamente ser aprendida
fora de aula, tanto quanto numa forma mais
dinâmica, diferentemente da usual.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Uma atividade realmente significativa e
diferente realizada pelos bolsistas tratou-se no
Dia Nacional de Matemática no ano de 2012.
Devido à maioria de alunos, inclusive de
professores, não conhecerem a data,
realizamos atividades em que consistiam
principalmente no resgate histórico da
Matemática do nosso país, sem perder o foco
de realmente os alunos aprenderem, adquirem
alguns conceitos matemáticos, e para este ano
pensamos em dar continuidade nesta atividade,
mas com objetivos diferentes, afinal Lorenzato
(2009) relata que a formação de professores
deve envolver reflexão, pesquisa, ação,
descoberta, organização e construção teórica, e
não apenas aprendizagem de técnicas e
receitas pedagógicas que podem ser utilizadas
numa sala de aula. Assim, a melhoria do
ensino de Matemática envolve um processo de
diversificação metodológica, exigindo novas
competências do professor, tais como: ser
capaz de ensinar a pensar; saber comunicar-se;
saber pesquisar; ter raciocínio lógico; saber
organizar o seu próprio trabalho; ser
autônomo; saber articular o conhecimento com
a prática e essa diversificação metodológica
que queriamos alcançar.
Buscávamos que os alunos participassem mais
das atividades realizadas, não como todos, mas
que o máximo possível, assim surgiu a ideia de
que os bolsistas levariam atividades para cada
classe que acompanhava, para que os alunos
aprendessem e logo após os mesmos
prepararassem apresentações perante toda a
escola, ressaltando a parceria importante com
a direção da escola que liberou um tempo após
o intervalo dos alunos para a realização das
atividades.
Metodologia
As atividades diferenciadas realizadas foram
de encontro as ideias de materiais, conteúdos e
formas que a realidade dos alunos não
conseguissem alcançar dentro da escola. Assim
realizamos atividades como a multiplicação
chinesa, pirâmide fractal, teodolito, tangram,
mágica matemática, torre de hanói, onde nem
os professores de Matemática da escola tinham
conhecimento. Tais atividades ocorreram da
seguinte maneira: primeiramente os bolsistas
escolheram temas pertinentes e condizentes
com o nível de aprendizado da classe, após a
escolha, cada bolsista trabalhou os conteúdos
relacionados com cada classe e depois coube
aos alunos preparar a metodologia e os
materias para que fossem apresentadas nos
dias da feira.
A atividade da pirâmide, despertou grande
interesse dos alunos do 3º ano do ensino
médio, pois o estudo da geometria Fractal
ainda é muito novo, porém de uma beleza e
curiosidade incrível. Foi trabalhado as
regularidades dos fractais, seu processo
iterativo e também apresentado suas formas no
cotidiano do aluno. Logo após a explicação, os
alunos montaram uma pirâmide fractal, que foi
exposta, além de apresentar a história e os
conceitos envolvidos.
O teodolito foi uma atividade que envolveu os
alunos do 2º ano do ensino médio, foi muito
interessante, pois pudemos explorar o espaço
físico da escola, tomando como objeto de me-
dida a caixa d’água, árvore e a quadra. Como
já havia sido trabalhado pela professora o con-
teúdo de trigonometria no triângulo retângulo,
foi mais rápido o entendimento do uso do apa-
relho. Com o auxílio dos bolsistas, os alunos
construíram o teodolito e depois saíram pelo
espaço escolar para medir a altura da caixa
d’água por exemplo. No dia da feira, eles ensi-
naram os demais alunos a utilizar o teodolito e
calcular a altura de determinado objeto através
da distância entre o aluno e o objeto e um ân-
gulo.
Estas foram algumas, entre várias outras ativi-
dades propostas aos alunos, que proporciona-
ram-lhes autonomia e liderança perante aos
demais alunos da escola
Referências
[1] LORENZATO, S. O laboratório de
ensino de matemática na formação de
professores. 2. ed.rev. Campinas:
Autores Associados, 2009. (Coleção
formação de professores).
[2] NÉRICI, I. G. Atividades extraclasse
no ensino de 1º, 2º e 3º graus. 3. ed. Rio
de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 1979.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Grassmanniana como uma Variedade Homogênea
Rafael Paulino Silva1 Ronan Antonio dos Reis
2 Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
Resumo: A variedade de Grassmann, ou Grassmanniana ( )kG n é definida como sendo o conjunto
de todos os susbespaços k-dimensionais no espaço euclidiano Rn. Estes espaços aparecem e tem
sido de grande importância em diversas áreas da matemática, como por exemplo, em Geometria
Diferencial, Variedades Diferenciáveis, Teoria de Grupos de Lie, entre outras. O objetivo principal
deste trabalho é identificar ( )kG n com uma variedade homogênea, que é um espaço quociente de
um grupo de Lie com uma certa estrutura de variedade diferenciável.
Palavras-Chave: Grupos de Lie, Ação Transitiva, Grassmanniana.
1. Introdução1 Para o desenvolvimento deste trabalho, foi
feito um estudo de conceitos e resultados
relacionados da Teoria de Grupos de Lie, tais
como, ações diferenciáveis em grupos de lie,
em que destacamos aquelas que são
transitivas, as quais nos possibilitam
identificar certos espaços como quocientes de
grupos de Lie. Este trabalho tem como
objetivo principal demonstrar que a
grassmanniana ( )kG n pode ser vista como
uma variedade homogênea. Para isto,
utilizamos resultados e técnicas da Teoria de
Grupos de Lie, Topologia e Análise. A seguir,
apresentamos as definições e resultados que
precisamos para o desenvolvimento deste
trabalho.
2. Desenvolvimento2 Definição 1: Um grupo de Lie é uma
variedade diferenciável G com uma estrutura
de grupo tais que as aplicações :p G G G× →
1 Aluno do Curso de Pós-Graduação em Matemática da
FCT/UNESP 2 Orientador
definida por ( )1 2 1 2,p g g g g= e :i G G→ por
( ) 1i g g −= são diferenciáveis (de classe C∞
).
Definição 2: Um grupo de Lie G age em uma
variedade diferenciável M , se existe uma
aplicação diferenciável :a G M M× → ,
denotada por ( ),a g p gp= , satisfazendo as
seguintes condições:
( )
( )( ) ( )1 2 1 2
, onde é o elemento neutro de i ep p e G
ii g g p g g p
=
=
Neste caso, a é chamada ação de G em M .
Definição 3: Uma ação a é transitiva, ou age
transitivamente em M através de a , se
Gp M= , para todo p M∈ , onde
{ }|Gp gp g G= ∈ .
Definição 4: Seja 0p M∈ e
:a G M M× → uma ação de um grupo de Lie
G em uma variedade diferenciável M . O
grupo de isotropia do ponto 0p M∈ é o
conjunto
{ }0 0 0|pG g G gp p= ∈ =
Proposição 1: O subgrupo de isotropia 0pG é
fechado.
Definição 5: Sejam M e N variedades
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
diferenciáveis. Uma aplicação :f M N→ é
um difeomorfismo se f é uma bijeção
diferenciável com inversa 1f − diferenciável.
3. Resultados
Teorema 1: Seja H um subgrupo fechado de
um grupo de Lie G , e { }/ |G H gH g G= ∈ o
conjunto de classes laterais à esquerda módulo
H . Seja : /G G Hπ → a projeção canônica
( )g gHπ = . Então, /G H tem uma única
estrutura de variedade diferenciável tal que,
( )i π é diferenciável ( C∞ )
( )ii Para todo ponto gH de /G H existe uma
vizinhança de gH em /G H e uma aplicação
diferenciável : /W G H Gτ ⊂ → tal que
Widπ τ =� .
Definição: Variedades da forma /G H com
estrutura diferenciável dada no teorema acima,
são chamadas de variedades homogêneas.
Teorema 2: Seja :a G M M× → uma ação
transitiva de um grupo de Lie G na variedade
M . Seja 0p M∈ e H o subgrupo de isotropia
em 0p . Então, /G H é difeomorfo a M.
Demonstração: Definimos a aplicação
: /G H Mϕ → dada por
( ) ( )0 0,gH a g p gpϕ = = . Então ϕ é um
difeomorfismo. Utilizando que a ação é
transitiva segue que ϕ é sobrejetora. Para ver
a injetividade, sejam 1g H , 2 /g H G H∈ tais
que ( ) ( )1 2g H g Hϕ ϕ= . Então, 1 0 2 0g p g p= ,
ou seja, 1
1 2g g H− ∈ , o que equivale a dizer que
1 2g H g H= . E, portanto, ϕ é uma bijeção. A
diferenciabilidade da aplicação ϕ pode ser
demonstrada utilizando os seguintes fatos: ( )i
A aplicação : /f G H M→ é diferenciável se,
e só se, :f G Mπ →� é diferenciável, onde π
é a aplicação da Definição 6. ( )ii E, que a
derivada gHdϕ é não singular, para todo g G∈ .
Exemplo : Este exemplo é uma aplicação do
resultado anterior. Vejamos que a
grassmanniana ( )kG n pode ser vista como
uma variedade homogênea. Para isto,
observamos que o grupo ( )O n das matrizes
reais n n× ortogonais tem estrutura de grupo
de Lie. Assim, definimos a ação
( ) ( ) ( ): k ka O n G n G n× →
dada por ( ) { }, |a A W AW Ax x W= = ∈ . Esta
ação está bem definida e é transitiva. O grupo
de isotropia dessa ação é dado por
( ) ( )0
0| e ( )
0P
AG M O n A O k B O n k
B
= = ∈ ∈ ∈ −
. Então pelo Teorema 2, a Grassmanianna é
difeomorfa a ( )
0P
O n
G, que é uma variedade
homogênea.
3. Conclusão
Neste trabalho foi estudado resultados que
possibilitam identificar certos espaços como
quocientes de grupos de Lie, em que vimos
que a grassmanniana ( )kG n é identificada a
uma variedade homogênea.
4. Referências
[1] Lima, E. L.: Variedades Diferenciáveis, Impa. Rio de Janeiro. 2007.
[2] Carmo, M. P.: Notas de Um Curso de
Grupos de Lie. Impa. Rio de Janeiro. 1974.
[3] San Martin, L. A. B. Notas de Grupos de
Lie. Unicamp, 2011.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
INTERDISCIPLINARIDADE: UMA PRÁTICA DIFERENCIADA NO
ENSINO DE MATEMÁTICA
Alex Ribeiro Batista, Luiz Fernando Carvalho, Tiago Ferreira Lopes Machado,
Profa. Dra. Maria Raquel Miotto Morelatti, Profa. Ms. Regina Célia Ramos
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
[email protected]; [email protected]; [email protected];
Resumo: Este trabalho foi desenvolvido no âmbito do Subprojeto de Matemática do
Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID) do curso de Licenciatura em
Matemática da FCT/UNESP de Presidente Prudente, desenvolvido em parceria com a Escola Estadual
Florivaldo Leal. O mesmo tem por objetivo relatar uma intervenção interdisciplinar desenvolvida por
três alunos, sendo dois bolsistas do curso de licenciatura em Matemática e um colaborador do curso de
Licenciatura/Bacharelado em Geografia, em um 9° ano, envolvendo as disciplinas de Matemática e
Geografia, abordando, principalmente, conceitos de teoria dos conjuntos no campo da matemática
juntamente com conceitos de cartografia, estatística e regiões no espaço geográfico. Palavras-Chave: Conjuntos, Cartografia, Interdisciplinaridade.
Introdução
A facilidade do acesso às novas
tecnologias torna-se necessária a discussão
sobre o papel do ensino tradicional como
“transmissor” de informações, uma vez que
o aluno tem acesso a informações em
diferentes contexto e lugares. Surge, então, a
necessidade de repensar o papel do professor
e de sua abordagem pedagógica, da
transmissão de informações para a criação
de ambientes de aprendizagem no qual o
aluno possa construir conhecimentos por
meio da interação com as tecnologias.
Especificamente com relação à Matemática
observamos uma grande dificuldade de
superar o modelo de ensino tradicional, pois
isso exige a mudança de paradigma, que
classifica esta disciplina como algo de difícil
aprendizado. Nesse sentido, as propostas
metodológicas de caráter inovador devem
ser desenvolvidas para despertar o interesse
dos alunos e alcançar os objetivos da
aprendizagem.
A temática interdisciplinariedade tem
como propósito promover a interação entre
aluno, professor e cotidiano e propõe que
um tema seja abordado em diferentes
disciplinas. Numa sala de aula interdisciplinar a
autoridade é conquistada, enquanto na
outra é simplemente outorgada. Numa
sala de aula interdisciplinar a obrigação
é alternada pela satisfação; arrogância,
pela humildade; a solidão, pela
cooperação; a especialização, pela
generalidade, o grupo homogêneo, pelo
heterogêneo; a reprodução, pela
produção do conhecimento.
(FAZENDA, 1994, p.86)
Sendo assim, foi desenvolvida uma
intervenção de caráter interdisciplinar, na
qual se objetivou a união de Matemática e
Geografia para se trabalhar o conteúdo de
conjuntos, previsto na proposta curricular do
estado de São Paulo.
Metodologia
No âmbito do subprojeto
PIBID/CAPES de Matemática da
FCT/UNESP foi realizada uma atividade
interdisciplinar, que contemplou a teoria dos
conjuntos no campo da matemática
juntamente com conceitos de cartografia,
estatística e regiões no espaço geográfico.
Para tanto foram utilizados dois mapas
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
temáticos, sendo um das mesorregiões e
outro das regiões administrativas do Estado
de São Paulo:
A princípio foram abordados, pelo
aluno colaborador, alguns conceitos
históricos do pensamento geográfico,
buscando algumas características
epistemológicas científicas e filosóficas, tais
como as taxonomias, observações e
descrições detalhadas das regiões e em
escalas menores os lugares, incluindo e
abrangendo diversos objetos presentes no
espaço, tais como as paisagens.
A fim de ressaltar a história das
demarcações das primeiras regiões, o aluno
colaborador citou como referência Vidal de
La Blache, que com essas conjunturas
metodológicas citadas acima estabeleceu
duas distintas direções, a Geografia regional,
e a Geografia das civilizações,
caracterizando por sua vez as demarcações
das primeiras regiões. Foi também
esclarecido à turma que no Brasil (início e
meados do Século XX) houve diversas
classificações, mas somente em 1940 é que
o IBGE começou a oficializar através do
Estado, as classificações das regiões,
possuindo duas escalas, tendo as
macrorregiões (N, NE, CENTRAL, SE,
LESTE e OESTE) e as microrregiões. Foi
citado que o Estado de São Paulo (Corte
espacial, demonstrada aos alunos), possui 60
microrregiões e 15 mesorregiões
geográficas, servindo como exemplos a
região de Presidente Prudente, que possui 17
municípios e da Grande São Paulo, sendo
composta por 39 municípios.
Para finalizar os conceitos
cartográficos, foram colocadas noções de
longitude e latitude como característica de
fundamental importância para a localização.
Foi feito neste momento uma
contextualização com a noção de Plano
Cartesiano.
Em outro momento da intervenção os
bolsistas instigaram os alunos da turma a
pensarem em conjuntos quaisquer, para isso
foi utilizado o quadro negro para organizar
as ideias. Feito isso, foi utilizado o mapa
das regiões administrativas a fim de
formalizar o conceito de conjuntos, tomando
os estados brasileiros como elementos
pertencentes ao conjunto finito Brasil. O
mesmo processo foi feito com o mapa das
mesorregiões do Estado de São Paulo,
porém neste foi tomado às mesorregiões
como elementos pertencentes ao conjunto
Estado de São Paulo. Ainda nesse âmbito foi
dada a ideia de elementos não pertencentes a
um conjunto qualquer, foi dado como
exemplo o elemento Londres, a partir dai os
alunos visualizaram que este elemento não
pertencia ao conjunto Brasil.
Após uma breve explicação sobre
interseção e união de conjuntos no quadro
negro, foi proposto aos alunos uma dinâmica
que tinha por objetivo mostrar o diagrama
de Venn – Euler. Esta dinâmica se passou da
seguinte maneira:
foi desenhado no quadro negro um
diagrama de Venn - Euler composto por três
circunferências de modo que cada uma delas
representasse uma das três cidades: São
Paulo (SP), Recife (PE) e Rio de Janeiro
(RJ);
Um aluno por vez deveria assinar na
circunferência correspondente a(s) cidade(s)
que gostaria de viajar;
A partir desta dinâmica, os alunos
compreenderam os conceitos de interseção e
de conjuntos. Puderam notar que os alunos
(elementos do conjunto) que queriam visitar
Rio de Janeiro e São Paulo pertenciam à
intersecção dos conjuntos São Paulo e Rio
de Janeiro.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Fig. 1. Alunos da escola realizando a atividade
Resultados
Concordamos que
“Uma sala de aula
interdisciplinar difere da comum
desde a organização do espaço
arquitetônico à organização do
tempo”. (FAZENDA,1994,
p.86).
Com isso, notamos que os objetivos
foram alcançados nesta prática
interdisciplinar, uma vez que a maioria dos
alunos participaram ativamente da
intervenção. Além disso, a atividade foi
significativa quanto ao aprendizado, uma
vez que em aulas posteriores percebemos
que os alunos associavam os exemplos e
conceitos usados na intervenção para
resolverem exercícios sobre conjuntos
propostos pela professora.
Esta atividade também teve grande
valia para nossa formação docente, pois
aprendemos na prática a utilizar a
interdisciplinaridade, que se mostra uma
eficaz metodologia de ensino e aprendizado.
Referências
HESPANHOL, Rosangela Medeiros. Divisões
regionais do Estado de São In: AULA
EXPOSITIVA DE REGIÃO E
REGIONALIZAÇÃO DA FCT/UNESP, 2012,
Presidente Prudente. Arquivo Eletrônico.
Acesso em 12/09/2013.
IBGE histórico: regiões.Dados disponíveis
em:<http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/default_dtb_int.shtm>
MOREIRA, Ruy. O pensamento Geográfico:
Las matrizes clássicas obrigatórias. 2 ª ed. São
Paulo,1989. v. 1
FAZENDA, Ivani. Interdisciplinaridade:
História, Teoria e Pesquisa. 3. ed. Campinas
SP: Papirus, 1994.
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LOCALIZAÇÃO DE ZEROS DE POLINÔMIOS: TEOREMA DE SCHUR-
COHN1
Evanize R. Castro2, Vanessa Botta Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
[email protected], [email protected]
Resumo: Os resultados referentes ao comportamento de zeros de polinômios são muito utilizados em
diversas áreas da matemática, como na estabilidade de métodos numéricos para a solução de equaçõesdiferenciais ordinárias. A estabilidade é uma característica de polinômios cujos zeros encontram-se no discounitário centrado na origem. Um resultado importante nesta área é o Teorema de Schur-Cohn, que determinaa quantidade de zeros dentro do círculo unitário, ou seja, na região ∣z∣<1 . Através de estudos envolvendo
o resultado citado anteriormente e experimentos numéricos realizados no software Mathematica, obtemoscondições para que todos os zeros de um polinômio de terceiro grau estejam no disco unitário.
Palavras-Chave: Zeros, Disco Unitário, Teorema de Schur-Cohn.
São muitas áreas da Matemática que utilizamresultados relacionados ao comportamento dezeros de polinômios para analisardeterminados problemas. Por exemplo, noestudo da estabilidade de métodos numéricospara a solução de equações diferenciaisordinárias, são importantes os resultados quedeterminam a quantidade de zeros que umpolinômio possui no disco unitário centrado naorigem.No presente trabalho vamos apresentarresultados obtidos através de estudosprovenientes de um teorema clássico quedetermina a quantidade de zeros de umpolinômio no disco unitário. Para odesenvolvimento deste utilizamos umpolinômio do terceiro grau. Além disso, foramefetuados experimentos numéricos com oauxílio do software Mathematica o qual possuiamplos recursos de gerações de gráficos comferramentas de interatividade e animação e,também, permite a publicação dos programaspelos usuários no site da WolframDemonstration.A seguir será enunciado tal teoremaTeorema 1.1. (Schur-Cohn) Se para todopolinômio
P ( z )=a0+a1 z+⋯+an z n
todos determinantes da matriz
∆k=[a0 0 ⋯ 0 an an−1 ⋯ an− k+1
a1 a0 ⋯ 0 0 an ⋯ an−k +2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ak −1 ak−2 ⋯ a0 0 0 ⋯ an
an 0 ⋯ 0 a0 a1 ⋯ ak −1
an−1 an ⋯ 0 0 a0 ⋯ ak−2
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
an− k+1 an−k +2 ⋯ an 0 0 ⋯ a0
]k=1,2 ,⋯, n , são diferentes de zero, então
P ( z ) não possui zeros no círculo unitário
∣z∣=1 e p zeros no interior deste círculo,
sendo p o número de variações de sinal na
sequência 1 , ∆1 , ∆2 ,⋯, ∆n.Para um polinômio de terceiro grau, ou seja,
P ( z )=a0+a1 z+a2 z2+a3 z3 , obtemos que
para todos os seus zeros estarem no círculounitário deve ocorrer o seguinte caso
1 , ∆1<0 , ∆2>0 e ∆3<0 ,
pois desta maneira teremos p=3 , isto é, três
zeros na região ∣z∣<1 . Como podemos
verificar no exemplo a seguir
1 VIII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.
2 Bolsista de Iniciação Científica da FAPESP.
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Figura 1: Localização dos zeros de
P ( z )=3 z3+7 z 2
+6.2 z+2 .
Observe que os determinantes de P ( z )possuem os valores ∆1=−5<0 , ∆2=3,82>0 e
∆3=−0,582<0 , satisfazendo a condição
apresentada anteriormente. Logo, todos oszeros do polinômio P ( z )=3 z3
+7 z 2+6.2 z+2
estão no interior do círculo unitário.Além da condição anteriormente citada,obtemos que para todos zeros do polinômioestarem no círculo unitário as seguintescondições em relação aos seus coeficientesdevem ser satisfeitas
a0<a3
e ainda,
a2>2 a0
2 a32+a3
2−a0
4−a1
2 a32
−a02+2a0 a1a3
.
Para exemplificar este resultado temos opolinômio P ( z )=10 z3
−2,5 z2−1,5 z+5 , cujo
gráfico pode ser verificado a seguir.
Figura 2: Localização dos zeros de
P ( z )=10 z3−2,5 z2
−1,5 z+5 .
Observe que os coeficientes do polinômio
P ( z )=10 z3−2,5 z2
−1,5 z+5 satisfazem as
condições, pois a0=5<10=a3
e
a2=−2.5>2 a0
2a32+a3
2−a0
4−a1
2 a32
−a02+2 a0 a1 a3
=−24,28 .
Segundo os resultados obtidos, para opolinômio de terceiro grau possuir todos osseus zeros no interior do círculo unitáriocentrado na origem temos que as condiçõesanteriormente citadas devem ser satisfeitas,sendo estas condições provenientes doTeorema 1.1.
Referências
[l] Marden, M. Geometry of Polynomials.Providence: American MathematicalSociety. 1966.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
MATEMÁTICA E FÍSICA NA ESCOLA PÚBLICA COMO EXTENSÃO
UNIVERSITÁRIA1
Isabela Marinho Menezes2, Thomaz Augusto Ferreira Assis3, Jhonatan Cabrera Piazentin4,
Amanda Todescato Luz5
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
{isa_marinho3, thoaugusto, jhonatan_g8}@hotmail.com, [email protected]
Professor Doutor José Roberto Nogueira Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Resumo: Este trabalho descreve os relatos de experiências de um projeto de extensão universitária
desenvolvido em escolas públicas no município de Presidente Prudente. Em 13 anos de projeto, já
participaram mais de 1.950 jovens e adolescentes e o mesmo tem a finalidade de prepará-los para as
olimpíadas científicas, desenvolver o raciocínio lógico matemático, despertar novos talentos e incentivar a
desbravar o mundo da matemática, levando ao interesse de estudar Astronomia, Astronáutica entre outros.
Aos alunos proporcionou chances e oportunidades de complementar seu aprendizado em diversas disciplinas,
principalmente em Matemática, Física e Português melhorando a sua formação como cidadão. Aos monitores
(discentes) proporcionou a oportunidade de vivenciar o cotidiano da sala de aula enriquecendo a formação
acadêmica.
Palavras-Chave: Matemática, Educação, Escola Pública.
1 VIII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.
2 Bolsista de Projeto de Extensão Universitária de BAAE II.
3 Bolsista de Projeto de Extensão Universitária de BAAE II.
4 Bolsista de Projeto de Extensão Universitária de BAAE II.
5 Bolsista de Projeto de Extensão Universitária de BAAE I.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
O Projeto vem sendo desenvolvido desde 2000
junto a Escola Estadual Profº Hugo Miele,
com um grupo de 150 crianças e adolescentes.
Entre eles frequentam crianças que moram em
lar de adoção, adolescentes surdo e
adolescentes com deficit de atenção. Começou
em outra escola tendo além de estudos,
atividades culturais. O projeto acontece de
acordo com as datas de realização das
Olimpíadas: 1º semestre Astronomia,
Astronáutica e Foguetes; 2º semestre
Matemática e Física. Na atual escola, o projeto
prepara os alunos para Olimpíada de
Astronomia e Astronáutica (OBA), Olimpíada
Internacional de Matemática (Canguru sem
fronteiras), Olimpíada Brasileira de
Matemática (OBM), Olimpíada Brasileira de
Matemática de Escolas Públicas (OBMEP),
Olimpíada Paulista de Matemática (OPM),
Olimpíada Brasileira de Física (OBF),
Olimpíada Brasileira de Física das Escolas
Públicas (OBFEP) e trabalha com a
dificuldade dos alunos.
Tem-se como objetivo desmistificar o ensino
da Matemática, Física e Português junto a
alunos da escola pública através de grupos de
estudos, possibilitando o desenvolvimento do
raciocínio lógico dos jovens e adolescentes
através de problemáticas (envolvendo lógica) e
outras atividades que lhes permitem trabalhar
em grupo (experimentos de astronomia e
astronáutica). Além disso, para que o aluno se
torne atuante e tenha argumentos pra entender
a matemática e física, que para o mesmo é
abstrata.
O método utilizado para desenvolver o
trabalho é dentro da escola, através de um
encontro semanal fora do período de aula e
duas vezes por semana na FCT/UNESP no
período vespertino. As atividades são
realizadas em grupos, individuais, de forma
pratica e com realização de passeios
educativos. Utilização do material de acesso
livre do “Programa de Iniciação Científica Jr.
(PIC) – OBMEP” e dos livros “ Círculos
Matemáticos - A Experiência Russa”, “Banco
de Questões 2013 - OBMEP”, “Formulação e
resolução de problemas de matemática” e
“Puzzles de Matemática”. Estas aulas são
ministradas por discentes do curso de
Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP
sob a orientação do coordenador do projeto.
Todos os alunos interessados podem participar.
O projeto não prejudica o rendimento escolar,
ao contrário, complementa os estudos.
Os resultados obtidos foram proporcionar aos
alunos chances e oportunidades de
complementar seu aprendizado em diversas
disciplinas, principalmente em matemática,
física e português melhorando a sua formação
como cidadão através de outras atividades.
A Figura 1 mostra alguns alunos do projeto
assistindo à um vídeo antes de iniciarem os
estudos na escola.
Figura 1: Alunos do projeto
Vários participantes do projeto ganharam
medalhas nas diversas olimpíadas que
participaram. Além disso, alunos que já
participaram deste projeto, atualmente
estudam em Universidades Estaduais e
Federais e outros usufruem os benefícios de
serem medalhistas da OBMEP. Aos monitores
(discentes) proporcionou a oportunidade de
vivenciar o cotidiano da sala de aula
enriquecendo a formação acadêmica.
Referências
[l] FOMIN, D. et al. Círculos Matemáticos:
A Experiência Russa. 1. ed. Rio de Janeiro:
IMPA, 2010.
[2] POLYA, G. Arte de resolver problemas.
2. reimpr. Rio de Janeiro: Interciência,
1995.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
[3] DANTE, L. R. Didática da resolução de
problemas de matemática. 11. ed. São
Paulo: Ática, 1998.
[4] BOLT, B. Puzzles de matemática. 1. ed.
Lisboa: Terramar, 1996.
[5] ____. Banco de Questões 2013.
Disponível em: <
http://www.obmep.org.br/bq/bq2013.pdf>.
Acessado em: 27 de setembro de 2013.
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VIII SMAT Presidente Prudente - SP, 21 a 24 de outubro de 2013
O Metodo TR-BDF2 no Problema Modelo do HWNP1
Camila Goncalves Costa2
Pos Graduacao em Matematica Aplicada e Computacional, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente-SP
Messias Meneguette JuniorDepartamento de Matematica, Estatıstica e Computacao, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente-SP
Resumo: Este trabalho expoe um estudo feito sobre o problema modelo do HWNP (Pro-
blema do Alto Numero de Weissenberg) em duas dimensoes. O HWNP tem sido um grande
obstaculo computacional na dinamica dos fluidos. Como o proprio nome indica, seu nıvel de
dificuldade aumenta quando elevamos o valor do numero de Weissenberg no termo fonte da
equacao constitutiva. Nao tratamos aqui diretamente das equacoes constitutivas, mas do seu
problema modelo. O estudo deste problema modelo tem o objetivo de facilitar o estudo numerico
do problema original do HWNP, pois a instabilidade presente no problema modelo e analoga do
problema original. Esta instabilidade e caracterizada por stiffness.
Palavras-Chave: Stiffness, TR-BDF2, HWNP.
INTRODUCAODesde a decada de 1970 o Problema
do Alto Numero de Weissenberg (HWNP,do ingles High Weissenberg Number Pro-blem) tem sido um grande obstaculo com-putacional na dinamica dos fluidos.
O termo “HWNP” tem referencia naobservacao empırica de que os metodosnumericos nao sao eficientes quando onumero de Weissenberg ultrapassa certovalor crıtico. O problema ocorre em mode-los viscoelasticos onde o campo de tensaotem um papel importante.
Denotando o campo velocidade poru(x, y, t), a equacao constitutiva escritacomo uma equacao de evolucao para o ten-sor conformacao σ(x, y, t) e dada por
∂σ
∂t+ (u.∇)σ − (∇u)σ − σ(∇u)T =
g(σ)
WiP (σ),
(1)
onde P (σ) e um polinomio e g(σ) e umafuncao escalar. Em [1], [5] e [6] a teoriafoi desenvolvida para o caso em uma di-
mensao (1D). Neste trabalho estendemosesta teoria para o caso 2D.
Nao trabalhamos diretamente com es-sas equacoes, mas com seu problema mo-delo. Estudamos um metodo muito efi-ciente ja conhecido que contorna o pro-blema do crescimento multiplicativo e pro-pomos um metodo implıcito L-estavel notermo fonte da equacao modelo utilizadoum metodo de alta resolucao.
METODOLOGIAFazendo uma sequencia de simpli-
ficacoes do modelo original do HWNP,Fattal [5] propoe um problema modelopara esta equacao. Trata-se de umaequacao linear, que estendemos para duasdimensoes em φ = φ(x, y, t), com (x, y) ∈[(0, L)× (0, L)]:
∂φ
∂t+ a(x, y)
∂φ
∂x+ b(x, y)
∂φ
∂y− c(x, y)φ = − 1
Wiφ,
(2)
com a(x, y), b(x, y), c(x, y) > 0, condicao
1VIII Simposio de Matematica da Faculdade de Ciencias e Tecnologia2Mestre em Matematica Aplicada e Computacional com auxılio da FAPESP
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inicial φ(x, y, 0) = 1 e condicao de fronteiraφ(0, 0, t) = 1.
Assim, podemos estudar as instabili-dades do problema (2), que e mais facil deabordar, e considerar que a equacao cons-titutiva possua o mesmo comportamento.
Esta equacao modela um campo φ quee conveccionado para a direita com veloci-dades a(x, y) e b(x, y) na direcao x e y res-pectivamente, e cresce exponencialmentea uma taxa de c(x, y) −Wi−1. Os coefi-cientes a(x, y) e b(x, y) representam o ve-tor velocidade u = (u, v) na equacao (1),e c(x, y) o crescimento positivo da taxac(x, y)−Wi−1.
Observe que a taxa c(x, y)−Wi−1 nadamais e que o coeficiente de φ no termofonte quando escrevemos a equacao (2) daseguinte forma:
∂φ
∂t+ a(x, y)
∂φ
∂x+ b(x, y)
∂φ
∂y=
(c(x, y)− 1
Wi
)φ.
(3)
Ja que podemos utilizar a equacaomais simples (3) para estudar a equacaomais elaborada (1) e esta conserva amesma instabilidade da segunda, precisa-mos encontrar formas numericas para re-solver o problema com precisao. Assim,veremos a seguir uma forma de eliminar abarreira da instabilidade.
O HWNP geralmente dificulta a con-vergencia do metodo, pois e falho em apro-ximar perfis exponenciais, conforme Hul-sen em [6]. Para ultrapassar os obstaculosimpostos pelo problema e possıvel tentarduas alternativas. A mais interessante efazer uma mudanca de variaveis em es-calas logarıtmicas. Para isto e necessarioque o campo de tensao τ(x, y, t) seja es-tritamente positivo, porem nao podemosgarantir que esta propriedade seja satis-feita.
Nos modelos viscoelasticos, Fattal eKupferman [5] afirmam que o tensorconformacao σ(x, y, t) e uma quantidadefısica, relacionada a tensao, que preservaa positividade e e simetrica definida posi-tiva. Esse tensor tem uma representacao
logarıtmica bem definida dada por
ψ(x, y, t) = log(σ(x, y, t)). (4)
Assim, podemos garantir que o HWNPseja resolvido ao passo que podemos apro-ximar ψ(x, y, t).
A transformacao logarıtmica remove ainstabilidade que causa o maior obstaculocomputacional: a falha no crescimentomultiplicativo da solucao. Ela foi pro-posta por Fattal [5] e e chamada de Repre-sentacao por Conformacao Logarıtmica(LCR, do ingles Log-Conformation Repre-sentation).
Essa falha no crescimento multipli-cativo da solucao nao pode ser carac-terizada como uma instabilidade, mase uma forma de caracterizacao de stiff-ness. Resumidamente, um problema stiffe aquele cuja solucao possui um cresci-mento/decrescimento muito brusco.
O metodo implıcito que propomospara usar no termo fonte juntamente como metodo de alta resolucao, tambem podeajudar na falha do crescimento multipli-cativo. Apesar de nao ter tanto sucessonumerico como o LCR, o metodo implıcitoTR-BDF2 acima citado tambem e efi-ciente no problema que e uma caracte-rizacao de stiffness. Alem de ser efici-ente na aproximacao do crescimento mul-tiplicativo, o metodo TR-BDF2 traz umanova opcao de variedade de metodos, poispode ser usado somente no termo fonte,estando aberta a possibilidade de utilizaroutros metodos menos eficientes na EDP(equacao diferencial parcial) homogenea.
O metodo TR-BDF2 foi desenvolvidopor Klaus-Jurgen Bathe (ver referencia[4]) e e um metodo Runge-Kutta dedois passos que combina o metodo dosTrapezios em ∆t/2 com o metodo BDF(do ingles backward differentiation formu-las) de segunda ordem, onde utilizamos oresultado do primeiro passo como outronıvel de tempo. Para a EDO ut = ψ(u), ometodo TR-BDF2 e dado por
u∗∗i,j = u∗i,j + ∆t4
[ψ(u∗i,j) + ψ(u∗∗i,j)],un+1i,j = 1
3[4u∗∗i,j − u∗i,j + ∆tψ(un+1
i,j )],(5)
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em que u∗i,j e a solucao da EDP ho-mogenea, onde pode ser utilizado qualquermetodo numerico.
RESULTADO E CONCLUSAO
Nossos resultados numericos nos mos-traram que independente do metodo uti-lizado na EDP homogenea, o metodo TR-BDF2 controla bem o crescimento mul-tiplicativo da solucao. O problema destiffness se encontra justamente no termofonte da equacao modelo do HWNP, equando utilizamos o metodo TR-BDF2 notermo fonte controlamos o problema daequacao inteira.
Na figura (1) observamos a solucao doproblema para varios valores de Wi. Asolucao analıtica em 2 dimensoes aindanao esta disponıvel na literatura, entaocomparamos o perfil da solucao numerica2D com a solucao exata em 1D.
Para esta solucao, utilizamos o metodoseparador de Godunov (ver referencia [7],capıtulo 17), onde aplicamos um metodode alta resolucao no subproblema daequacao diferencial (equacao de adveccaohomogenea) e no termo fonte aplicamos ometodo TR-BDF2.
Figura 1: Comparacao dos perfis diagonais dassolucoes numericas do problema modelo doHWNP, levando em conta os metodos para EDOaplicados no termo fonte
Quando tratamos o termo fonte com ometodo implıcito TR-BDF2, o metodo dealta resolucao e ate o metodo Upwind con-trolam bem o crescimento multiplicativo.Porem isto nao acontece quando tratamoso termo fonte com o metodo explıcito deEuler progressivo. Tanto o metodo dealta resolucao quanto o metodo Upwindnao controlam corretamente o crescimentomultiplicativo da solucao quando utiliza-mos um metodo explıcito no termo fonte.
Para o metodo LCR nao utilizamoso metodo de alta resolucao. Poderıamosdeixar este estudo como sugestao de tra-balho futuro.
Neste problema o metodo implıcitoTR-BDF2 obteve exito porque trata-se deum problema cuja solucao e nao periodica.Isso se deve ao fato de o metodo TR-BDF2ser L - estavel, ou seja, ele fornece amor-tecimento adequado para manter a estabi-lidade em solucoes nao periodicas. Entao,por este motivo o metodo implıcito citadoconsegue ultrapassar as barreiras que oproblema de stiffness impoe.
Se utilizassemos neste problema porexemplo o metodo dos Trapezios, que e ummetodo implıcito A- estavel, terıamos a fa-lha permanente no crescimento multipli-cativo. Isto acontece porque os metodosimplıcitos que sao A - estaveis contem suaregiao de estabilidade no semi plano es-querdo do domınio, nao amortecendo ade-quadamente a regiao de instabilidade, queaqui e caraterizada por stiffness.
Referencias
[1] Afonso, A. M., Pinho, F. T.,Alves, M. A., “The Kernel-Conformation Constitutive Laws”.J. Non-Newtonian Fluid Mechanics,167-168: 30-37, 2012.
[2] Costa, C. G., “Leis de Con-servacao Hiperbolicas 2D com TermoFonte Stiff”. Dissertacao de Mes-trado, UNESP - Presidente Pru-dente/SP, 2013.
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[3] Cuminato, J. A., Meneguette,M., “Discretizacao de Equacoes Di-ferenciais Parciais: Tecnicas de Di-ferencas Finitas”. ICMC/USP - SaoCarlos, 2000.
[4] Dharmaraja, S., “An Analysis ofthe TR-BDF2 Integration Scheme”.Dissertacao de Mestrado, School ofEngeneering in Partial Fulfillment -Massachusetts Institute of Techno-logy, 2007.
[5] Fattal, R., Kupferman, R.,“Time-Dependent Simulation of Vis-coelastic Flows at High Weissenberg
Number Using the Log-ConformationRepresentation”. J. Non-NewtonianFluid Mechanics, 126:23-37, 2005.
[6] Hulsen, M. A., Fattal, R., Kup-ferman, R., “Flow of ViscoelasticFluids Past a Cylinder at High Weis-senberg Number: Stabilized Simu-lations Using Matrix Logarithms”.J. Non-Newtonian Fluid Mechanics,127:27-39, 2005.
[7] LeveQue, R. J., “Finite VolumeMethods for Hyperbolic Problems”.Cambridge University Press, NewYork, 2002.
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OS LABORATÓRIOS DE INFORMÁTICA DAS ESCOLAS ESTADUAIS DE
PRESIDENTE PRUDENTE NO CONTEXTO DO PROGRAMA ACESSA
ESCOLA
Eliel Constantino S., Débora O. Medeiros1
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
[email protected], [email protected]
Maria Raquel Miotto MorelattiDepartamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Resumo: Este Projeto de iniciação científica é um subprojeto de um maior que tem por objetivo fazer
um mapeamento do uso das tecnologias informáticas nas aulas de matemática do Ensino Fundamental II dasescolas públicas paulistas e está ligado a Diretoria de Ensino de Presidente Prudente. O objetivo central aquié avaliar as condições físicas dos laboratórios de informática das escolas públicas do município de PresidentePrudente que estão cadastradas no Programa Acessa Escola e se estão sendo utilizados por professores ealunos. A pesquisa é de cunho qualitativo, fazendo pesquisas documentais e entrevistas. A pesquisadocumental consta com um levantamento das escolas que possuem o programa, as entrevistas serãorealizadas principalmente com os monitores para saber de suas formação e as fotos ilustram o espaçotrabalhado. Ao fim da pesquisa, esperamos ter reunido o suficiente para fazermos uma avaliação geral dascondições dos laboratórios de informática nas escolas públicas de Prudente.
Palavras-Chave: Laboratórios de Informática, Acessa Escola.
Introdução
A investigação desenvolvida e tratada aquiparte de um outro projeto piloto cujo aintenção é fazer um mapeamento do uso dastecnologias de informação e comunicação nasaulas de matemática do Ensino Fundamental IIdas escolas públicas do estado de São Paulo.Os projetos estão sendo realizados em seisdiferentes regiões do estado, atendendo asDiretorias de Ensino de Bauru, Guaratinguetá,Limeira, Presidente Prudente, Registro e SãoJosé do Rio Preto. Para auxiliar a inserção de computadores nomeio educacional houve a elaboração deprojetos governamentais federais e estaduaiscomo o Educom, Fomar e ProInfo. No estadode São Paulo, onde está sendo realizada apesquisa, foram desenvolvidos por exemplo,
em 1998 a Secretária Estadual lançou “Aescola de cara nova na era da informática” quepossibilitou a formação de laboratórios deinformática, e atualmente, o programa “AcessaEscola”. Por meio de pesquisas, levantamentos dedados sobre as escolas começamos por montaruma relação das escolas inscritas no programaAcessa Escola e ter uma primeira ideia doambiente de informática que a escola possui.Realizando entrevistas com monitores eprofessores de matemática e tentando coletarfotos e vídeos, finalizamos o projeto podendoavaliar os laboratórios de informática dasescolas estaduais cadastradas no ProgramaAcessa Escola na cidade de PresidentePrudente.
Metodologia
1 Bolsista de Iniciação Científica da CAPES.
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Este projeto está voltado para a cidade dePresidente Prudente, onde a pesquisa decaráter qualitativo nos permite verificar ascondições físicas e avaliar a utilização deprofessores de matemática dos laboratórios deinformática das escolas públicas da cidade.Para isso é feita uma pesquisa ao site daDiretoria de Ensino de Presidente Prudentemontando uma planilha com os dados sobre asescolas vinculadas ao Programa Acessa Escolado estado de São Paulo, uma vez que esteprograma permite a todos os alunos, e tambémfuncionários e professores, que tenham acessoàs tecnologias de informação e comunicaçãopara a construção do conhecimento e criar umambiente para troca de informação econhecimento entre professores e alunos, pormeio da internet. Uma visita a mesmaDiretoria é feita para atualizar os dadoslevantados e buscar justificativas para asescolas que não participam do Acessa Escola,saber mais do funcionamento deste e umpouco sobre a capacitação de professores parao uso das salas do Programa Acessa Escola.Em seguida serão feitas visitas às escolascadastradas no programa e que o tenham ativo,apresentando aos diretores e coordenadores aspropostas da pesquisa e assim conhecer osambientes de informática, quando possível,registrando fotos ou vídeos; entrevistar osmonitores dos laboratórios, para saber qual aformação que teve para atuar como monitor,quantos são os computadores em condições deuso, quantos e quais os softwares matemáticosque estão instalados, e os professores dematemática para saber se estão utilizando osrecursos fornecidos e como o fazem.
Resultados
Até o momento já foi feito o levantamento dasescolas que estão aptas a serem visitadasatendendo a planilha elaborada, são 21 escolasno município com o nome e endereço dasescolas inscritas no Programa Acessa Escola,se esta tem acesso a internet, com o número decomputadores disponíveis no laboratório enúmero de computadores para finsadministrativos. Espera-se agora com as visitasàs escolas ter o suficiente para fazer umaanálise e poder avaliar as condições dos
laboratórios de informática nas escolaspúblicas da cidade. Finalmente com asentrevistas e todo trabalho realizado ter umaindícios de como está sendo o uso doscomputadores nas escolas públicas da cidadede Presidente Prudente.
Conclusão
Perante todos os dados coletados poderemosentão, avaliar as condições dos laboratórios deinformática das escolas públicas com EnsinoFundamental II e que estão cadastradas noprograma Acessa Escola, além de ter oconhecimento dos trabalhos realizados pelosprofessores de matemática nos laboratórios elevando para o Ensino Superior a vivência edesafios escolares frente as novas tecnologiasda informação e comunicação.
Referências
Borba, M. C., Penteado, M. G.. Informática eEducação Matemática. 3ªed. Belo Horizonte:Autêntica, 2003. Coleção Tendências emEducação Matemática.
GOLDENBERG, M. A Arte de Pesquisar ¨Ccomo fazer pesquisa qualitativa em CiênciasSociais. 7a ed. Rio de Janeiro: Record, 2003.
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.Currículo do Estado de São Paulo:Matemática e suas tecnologias. Secretaria daEducação. São Paulo : SEE, 2010.
[1] Acessa Escola. Acessa Escola. Sem data.Disponível em: <http://acessaescola.fde.sp.gov.br/Public/Conteudo.aspx?idmenu=11 > Acessado em: 15 demarço de 2013.
[2] SÃO PAULO. Diretoria de Ensino dePresidente Prudente. Acessa Escola.Disponível em: <http://depresidenteprudente.edunet.sp.gov.br/acessa_escola.htm > Acessado em: 22 desetembro 2013.
[3] Tavares, N. R. B.. História daInformática educacional no Brasilobservada a partir de três projetos públicos.Sem data. 18 páginas. Mestre (Faculdade deEducação da Universidade de São Paulo).
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
O TEOREMA DE ENGEL
Leonardo Kenji Kashimoto¹, Ronan Antonio dos Reis²Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
Resumo: O objetivo deste trabalho é fazer um estudo sobre o chamado Teorema de Engel. Este
resultado nos diz que se g é uma álgebra de Lie de dimensão finita tal que a representação adjunta de todosos seus elementos são nilpotentes então g é nilpotente. Este é um resultado fundamental em Teoria deÁlgebras de Lie e de suas Representações.
Palavras-Chave: Álgebras de Lie, Representações, Teorema de Engel.
1. IntroduçãoEste trabalho tem como objetivo estudar oTeorema de Engel, bem como, algumas desuas aplicações. Inicialmente, estudamosconceitos básicos de álgebras de Lie e de suasrepresentações e, bem como, resultadosrelacionados. Em seguida, estudamos umaclasse especial de álgebras de Lie, que são asnilpotentes, em que demonstramos algunsresultados, em particular, o resultado devido aEngel, que é central em Teoria de Álgebras deLie. Este resultado descreve essencialmenteálgebras nilpotentes como sendo matrizestriangulares superiores. Para isso, utilizamosresultados e técnicas de Álgebra Linear e deÁlgebras de Lie. A seguir, apresentamos asdefinições e resultados que precisamos para odesenvolvimento deste trabalho.
2. Desenvolvimento
Definição 1: Uma álgebra de Lie é um espaçovetorial g sobre um corpo K munido de umproduto (dito colchete) [ , ] :gx g→gque satisfaz as seguintes propriedades:
1) [X,X] é bilinear, isto é, K-linear emcada variável;
2) [X,X] é anti-simétrico, isto é, [X,X]=0para todo X∈ g ;
3) identidade de Jacobi, isto é,[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 0XZ,YYX,Z,ZY,X, =++
para todo X,Y,Z∈g .
Definição 2: Um espaço vetorial h de umaálgebra de Lie g é um ideal se, para todo
X ∈ g e Y ∈ h , [X , Y ] ∈ h .
Definição 3: Uma álgebra de Lie g é ditanilpotente se a sua série central descendente seanula em algum momento, isto é, existe
k0 ∈ℕ tal que gk = {0 } , ∀ k > k0 ,onde a série central descendente é definidarecursivamente como g0
= g eg i
= [g , g i−1] , i = 1 , 2 , . . . , com
[A,B]={ [X,Y] : X ∈ A , Y ∈ B } .
A seguir, sejam V um espaço vetorial e gl(V) aálgebra de Lie das transformações lineares deV.
Definição 4: Uma representação de g em V é umhomomorfismo ρ: g→ gl(V), isto é, umatransformação linear que preserva o colchete, ouseja, ρ[X,Y]= [ρ(X), ρ(Y)] para todo X,Y∈ g.
Exemplo 5: A aplicação linear ad:g → gl (g )definida por ad(X)Y=[X,Y] é umarepresentação de g em g, dita representaçãoadjunta de g.
Definição 6: Uma representação de g em V éuma representação nilpotente ou uma nil-representação se para cada X∈g ,ρ (X ) :V→V é uma aplicação nilpotente, istoé, existe um inteiro positivo k (dependente deX) tal que ρ(X)k = 0.
3. Resultados FundamentaisA seguir, g denota uma álgebra de Lie dedimensão finita e V≠{0} um espaço vetorial dedimensão finita. Comecemos com a seguinte:
¹Aluno do Curso de Matemática da FCT/UNESP
²Orientador41 de 63
VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Proposição 7: Se g é nilpotente então ad éuma nil-representação. Demonstração: Como g é nilpotente entãoexiste um inteiro positivo k tal que todos oscolchetes envolvendo k elementos de g seanulam. Em particular, [ ][ ] 0YX,X... = se Xaparece k-1 vezes, ou seja, ( ) 0Xad 1k =− ,∀ Y∈g .
Adiante, demonstramos a recíproca daProposição 7. Para isso, consideremos osseguintes resultados.
Teorema 8: Seja g⊂gl (V ) uma subálgebra talque todo X∈g é nilpotente. Então, existev∈V,v≠0 , tal que Xv=0,∀ X∈g . Demonstração: A demonstração é porindução sobre a dimensão de g. Se dim(g)=1,seja X um elemento não nulo em g. Como g énilpotente, existe k ≥ 1tal que X k−1
≠0 eX k
=0 . Assim, seja w ∈ V tal queX k−1 w ≠ 0 e tome v =X k−1 w . E
portanto, v≠0 e tal que Xv=0, concluindo oresultado para álgebras de Lie de dimensãoum. Agora, supondo que dim(g)>1 e que oresultado vale para toda álgebra de dimensãoestritamente menor que dim(g), entãodemonstra-se que existe um ideal h de g decodimensão 1, isto é, dim(h)=dim(g)-1.Aplicando a hipótese de indução, garantimosque o resultado vale para h, e isso implica em
W={v∈V : Xv=0,∀ X∈h }≠{0 } . Comoos elementos de W se anulam pelos elementosde h temos W invariante por X 0∈g−h ,com X 0 nilpotente. Logo, X0 restrita a Wé nilpotente e, utilizando o argumento no casode dimensão 1, conclui-se a demonstração. Teorema 9: Seja g⊂gl (V ) uma subálgebratal que todo X∈g é nilpotente. Então,existem subespaços distintos0 = V 0 ⊂ V1 ⊂ . .. ⊂ Vn−1 ⊂ Vn = Vtais que XV i⊂V i−1 , i=1,2, . . . , n . Essesespaços podem ser definidos por V 0={0} , eV i={v∈V : Xv ∈ Vi−1, ∀ X ∈ g} . Emparticular, estendendo-se sucessivamente asbases desses subespaços V i chega-se a umabase β de V tal que a matriz de X com
relação a β é triangular superior com zeros nadiagonal. Corolário 10: Seja g⊂gl (V) uma subálgebratal que todo X∈g é nilpotente. Então, g énilpotente.
Corolário 11: Seja g uma álgebra de Lie dedimensão finita, e ad uma nil-representação,então existe uma série central ascendentesatisfazendo 0 = g1 ⊂g1⊂. . .⊂gn−1⊂gn =g, para algum n∈ℕ .Demonstração: Por hipótese, temos quead(X) é nilpotente, para cada X∈g. Pelo,Teorema 3, existem subespaços V 0={0} e0=V 0⊂V1⊂.. .⊂Vn−1⊂Vn=V , tais queV i={X∈g : ad (Y ) X ∈Vi−1 ,∀ Y∈g} .Assim, chamando V i =g i , i =1 , 2 ... , nsegue o resultado.
Teorema 12 (Engel): Seja g uma álgebra deLie de dimensão finita e suponha que paratodo X∈g , ad ( X ) é nilpotente. Então, g énilpotente.Demonstração: Pelo Corolário 2, existe n talque gn=g . Como g i
⊂gn−i+1 para todo i
natural. Então gn+1⊂g0={0 } . Logo, g é
nilpotente, concluindo a demonstração.
4. Conclusão
Neste trabalho, estudamos vários conceitos eresultados de álgebras de Lie e suasrepresentações. Demonstramos algunsresultados, em especial, o Teorema de Engel, oqual descreve essencialmente as álgebrasnilpotentes como sendo matrizes triangularessuperiores .
Referências
[l] HUMPHREYS, J.E.: Introduction to Liealgebras and representation theory.Springer-Verlag, 1972.
[2] JACOBSON, N.: Lie Algebras.Interscience, 1962.
[3] SAN MARTIN, L. A. B. Álgebras de Lie.Editora Unicamp, 1999.
¹Aluno do Curso de Matemática da FCT/UNESP
²Orientador42 de 63
VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
POTENCIAÇÃO COM O AUXÍLIO DE JOGO DA VELHA
MATEMÁTICO – 2013¹
Karina T. Gonçalves, Ari T. Lopes²
Faculdade de Ciências e Tecnologia,
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – FCT-UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP)
Maria R. M. Morelatti, Regina C. Ramos³ Faculdade de Ciências e Tecnologia,
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP)
[email protected], [email protected]
Resumo: A medida que as enormes dificuldades dos alunos nos conteúdos matemáticos aumentam,
há uma importante necessidade de desenvolver novas atividades lúdicas para o ensino da matemática. No
âmbito deste trabalho relatamos uma atividade desenvolvida junto ao Subprojeto de Matemática do Progra-
ma Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID/CAPES) por dois bolsistas do Curso de Licencia-
tura em Matemática da FCT/UNESP. O subprojeto PIBID/Matemática tem por objetivo desenvolver ativida-
des em parceria com professores de uma escola pública estadual visando maximizar o processo de ensino e
aprendizagem. Dessa forma, através da observação dessas dificuldades dos alunos no conceito de potência,
foi desenvolvida uma atividade lúdica com os 9º anos do Ensino Fundamental, através de um jogo popular
que envolvesse o conceito, buscando amenizar esses obstáculos e tendo por principal objetivo a melhor com-
preensão no que diz respeito ao uso de potenciação, bem como suas propriedades e curiosidades.
Palavras-Chave: Dificuldades dos alunos, Potenciação, Jogo da velha matemático.
INTRODUÇÃO
Com o intuito de amenizar as dificuldades dos
alunos no quesito de potência, bem como os
problemas da sala de aula de forma geral, a
ideia inicial foi trabalhar um conceito tão
importante e complexo de um modo mais
simples e divertido, tendo como principal
objetivo a interação do grupo.
Mas tendo em vista estes aspectos, uma
importante questão estava implícita: por que
tanta dificuldade e bloqueio dos alunos quando
se trata de potenciação?
Foi exatamente esta questão que originou essa
atividade, onde o natural uso do jogo foi
extremamente importante para a motivação do
aprender, onde se define:
¹VIII Simpósio de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia
² Licenciatura em Matemática, Bolsista PIBID/CAPES
³ Departamento de Matemática e Computação.
[...] o jogo pedagógico como aquele adotado
intencionalmente de modo a permitir tanto o
desenvolvimento de um conceito matemático
novo como a aplicação de outro já dominado.
(Moura, M. O., 1992, p.53).
Dessa forma, os jogos matemáticos são claras
e fundamentais ferramentas, utilizadas para se
obter resultados significativos em sala de aula,
buscando o despertar do interesse, favorecendo
o raciocínio lógico e consequentemente,
desenvolvendo a capacidade do senso crítico.
METODOLOGIA
Inicialmente vamos abranger o conceito de
potência, utilizado para a realização da
atividade lúdica, que se introduziu com a
explanação dos bolsistas, expondo as
propriedades do tema, bem como algumas
curiosidades da história, como o fato de que a
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
potência teve fundamento com o Matemático
francês René Descartes (1596-1650) no século
XVII. Além de suas contribuições referentes
à potenciação é também conhecido como Pai
da Filosofia e da Matemática Moderna.
E após a introdução, defini-se
potenciação como uma operação matemática,
escrita como ”an”
, envolvendo dois elementos:
a base “a” e o expoente “n”, o que indica
uma multiplicação da base “a” por ela mesma
tantas vezes quanto indicar o expoente “n”.
Exemplo:
32 (lê-se “três elevado ao quadrado”, ou “três
elevado à segunda potência”).
Precisamos multiplicar o número 3 por ele
mesmo duas vezes, resultando: 3.3 = 9. Con-
sequentemente, 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27.
Algumas outras definições podem ser utiliza-
das:
a1 =a (1)
a0 = 1, a ≠ 0. (2)
Além dessas definições, foram expostas algu-
mas propriedades:
1 – Multiplicação de potências de bases iguais:
mantém-se a base e soma-se os expoentes:
an . a
m = a
n+m (3)
2 – Divisão de potências de bases iguais: man-
tém-se a base e subtrai-se os expoentes:
(an) / (a
m) = a
n-m , “a” diferente de zero. (4)
3 – Potência de potência: mantém-se a base e
multiplica-se os expoentes:
(am
)n = a
m . n (5)
4 – E analisando os parênteses:
(a . b)n = a
n . b
n (6)
(a/b)n = a
n/b
n , “b” diferente de zero. (7)
Após a exposição do conteúdo, demos início
ao jogo da velha matemático, onde dividimos a
sala em dois grandes grupos. Cada grupo rece-
beu: um tabuleiro, cartas contendo potências e
os elementos comuns do jogo da velha, o “x” e
a “bolinha”, como representado na Figura 1.
Figura 1: Componentes do jogo.
A meta do jogo é resolver corretamente as
potências localizadas em cada local do tabulei-
ro. Por exemplo: o Jogador 1 é representado
pelo “x” e o Jogador 2 pela “bolinha”. Se o
Jogador 1 acertar a potência localizada onde
escolheu no tabuleiro, marcará o seu “x”, caso
contrário, o ponto será destinado ao adversá-
rio, podendo então assinalar sua “bolinha”.
Vence o jogo quem conseguir completar pri-
meiro seus três elementos no tabuleiro, como
mostra a Figura 2 a seguir.
Figura 2: Aluno vencedor do jogo da velha
matemático.
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RESULTADOS
Como resultados, foram apresentados de forma
significativa o grande interesse dos alunos de
maneira geral, visto que é um jogo de fácil
acesso, entretanto envolvente de um conceito
importantíssimo da matemática. Durante a
realização da atividade, podemos destacar a
melhoria na agilidade dos mesmos em resolver
mentalmente e consequentemente responder a
questão que foi trabalhada com muito êxito.
Apresentamos a seguir algumas imagens do
decorrer da atividade.
Figura 3: Início do jogo.
Figura 4: Grupo de alunos participantes do
jogo.
CONCLUSÕES
A matemática é tida como uma disciplina de
difícil entendimento e inacessível por grande
parte dos alunos. Com o intuito de amenizar
essa ideia e deixá-la mais simples e prazerosa,
surgem-se os jogos matemáticos.
[...] a exploração do conceito, por meio da
estrutura matemática subjacente ao jogo,
que pode ser vivenciada pelo aluno quando
ele joga, elaborando estratégias e testando-
as a fim de vencer o jogo. (GRANDO, R.
C., 2004).
É através do fato de desejar vencer o jogo que
esse aluno passa a encarar a matemática de
uma forma mais leve, aprendendo ao mesmo
tempo que se diverte e, dessa forma, se sentin-
do capaz de utilizá-la para seu próprio benefí-
cio.
REFERÊNCIAS
[1] MOURA, M. O., O jogo e a construção
do conhecimento matemático. Série Idéias n.
10, São Paulo: FDE, p. 45-52, 1992.
[2] GRANDO, R. C. O jogo e a matemática
no contexto da sala de aula. São Paulo:
Paulus, 2004.
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PROJETO FOX: UM GAME VOLTADO PARA MEDIAÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA
William de S. Santos, Lynn R. Alves PPGMCTI Faculdade de Tecnologia Senai Cimatec,
Av. Orlando Gomes, 1845 - Piatã Salvador - BA, 41650-010 [email protected]; [email protected]
Resumo: Este trabalho (short paper) tem o objetivo de socializar a pesquisa de mestrado que visa o desenvolvimento de um game, voltado para o ensino das funções quadráticas no ensino médio e contribuir para os estudos que envolvem os games e o processo de ensino aprendizagem das mais diversas disciplinas como também da matemática. Para atingir este objetivo, além da abordagem teórica e da modelagem deste game, o trabalho conta com uma pesquisa de campo, a ser realizada com alunos do 1º ano do Ensino Médio de modo a avaliar as contribuições do game para aprendizagem dos conceitos relativos a funções quadráticas.
Palavras-Chave: Games; Ensino da Matemática; Aprendizagem. 1. Introdução Nos últimos anos, o ensino da Matemática vem apresentando diversos problemas. Em pesquisa desenvolvida pela ONG Todos pela Educação, em 2012, foi constatado que o rendimento dos alunos em Matemática entre os anos de 2007 e 2011 caiu cerca de 10% no ensino fundamental 1 e tais índices devem ser maiores no ensino fundamental 2 e médio.
Com base na última avaliação do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos) ocorrida no ano de 2009, o Brasil ocupa a 57ª posição com relação a performance dos alunos para a matemática (386 pontos), pontuação bem abaixo da média de outros países desenvolvidos. Estes dados apontam a falta de competência matemática e de raciocínio lógico dos alunos e que com certeza afetam a médio/longo prazo o mercado de trabalho.
Algo que tem funcionado em outros países para manter e aumentar o índice de aprendizado matemático é o uso dos games. Os games possuem características que estimulam o processo de desenvolvimento cognitivo e propiciam um maior aprendizado matemático. Referência [1], sinaliza que o uso
de games como o Dimension M fez com que o índice de aprovação em Matemática no exame anual do estado de Nova York subisse de 78% para 82% no ano de 2007. 2. Por que utilizar os games? Por ser considerada uma atividade lúdica de participação espontânea e criativa, os games possuem um alto potencial de aceitabilidade e se modelados para fins educacionais podem tornar o processo de construção do conhecimento mais criativo, construtivo e atrativo.
Observando o contexto educacional contemporâneo baseado nos estudos de [2], os alunos fazem parte de uma geração denominada por ele de nativos digitais, pelo fato de os mesmos terem nascido e estarem crescendo nessa era tecnológica1. Corroborando com esta ideia, [1], sinaliza a importância de uma mudança no currículo de forma a se adequar ao novo ritmo desses aprendentes, já que os nativos digitais estão acostumados a receber informações mais
1 Embora existam questionamento em torno do termo nativos digitais, já que Prensky utiliza para contrapor essa geração o termo imigrantes digitais e os coloque em uma condição quase que determinante de não mudança desta situação, Mesmo assim, optamos por neste momento utilizar o termo nativos digitais para nos referir a geração que nasceu no mundo do controle remoto, do joystick, do mouse e das tecnologias digitais e telemáticas.
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rapidamente, preferem imagens a textos e são multitarefas. 3. Games e Ensino da Matemática Atualmente na Europa e Estados Unidos, os games tem sido utilizados no processo de mediação da aprendizagem matemática. Alguns foram desenvolvidos com este propósito e outros vem sendo utilizados por apresentam características pertinentes ao ensino da Matemática, como cita [1]. Alguns exemplos desses jogos são: Dimension M, Brain Age, Dream Box, Lure of the Labirinth, Math City, Yu-Gi-Yo 4. Métodos O FOX tem sido desenvolvido a partir da Linguagem de Modelagem Unificada (UML), em gênero plataforma, em primeira pessoa (single player), em um ambiente gráfico 2D, desenvolvido na linguagem de script orientada a objetos Flash ActionScript.
Durante o desenvolvimento do jogo iremos realizar três fases de avaliação, visando retroalimentar o processo.
Após a conclusão do desenvolvimento iremos realizar a pesquisa com um grupo de alunos do ensino médio, objetivando investigar as contribuições do FOX para aprendizagem dos conceitos relacionados com as funções quadráticas. Nesta fase da pesquisa utilizaremos um questionário fechado para diagnosticar o perfil dos jogadores, bem como identificar os conhecimentos que estes sujeitos possuem sobre os conteúdos escolares presentes no game; a observação da interação dos sujeitos com o jogo, utilizando o software Morae que filma o percurso do jogador; o Ludens 2 que é “um sistema gratuito que possibilita a desenvolvedores e professores avaliarem o comportamento dos jogadores ao longo de um jogo eletrônico com fins pedagógicos”; e por fim, uma entrevista 2 http://www.comunidadesvirtuais.pro.br/ludens/
semiestruturada com os sujeitos a fim de analisar as contribuições do game para aprendizagem dos gamers.
A análise destes instrumentos subsidiarão as conclusões e contribuições para a comunidade acadêmica no que se refere ao potencial dos games para aprendizagem da matemática no ensino médio. 5. Conclusão Apesar de estarmos numa fase inicial de pesquisas e do desenvolvimento do game, acreditamos na grande contribuição que o FOX trará tanto para o contexto dos games voltados para a educação como também para o processo de ensino da Matemática.
Além disso, esta pesquisa agregará valor as investigações que vem sendo desenvolvidas na área de Educação que no período de 1994 a 2010, apresentou um total de 23 dissertações, 1 delas profissionalizante e 5 teses. Em relação as produções envolvendo games e matemática encontramos apenas 06, 04 delas dissertações, 1 tese e 1 profissionalizante.
Desta forma, intencionamos contribuir para construção de práticas pedagógicas que possa articular a interação com os games, principalmente no ensino da matemática, tornando a aprendizagem mais significativa. Referências [1] MATTAR, J. Games em educação: como os nativos digitais aprendem. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. [2] PRENSKY, M.: Digital Natives Digital Immigrants. In: PRENSKY, Marc. On the Horizon. NCB University Press, Vol. 9 No. 5, October (2001a). Disponível em <http://www.marcprensky.com/writing/>. Accesso em 31/05/2013.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO 2ºGRAU
PELA FORMA GEOMÉTRICA – 2013¹
Ari T. Lopes, Karina T. Gonçalves² Licenciatura em Matemática, Faculdade de Ciências e Tecnologia,
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP).
Maria R. M. Morelatti, Regina C. Ramos³ Departamento de Matemática e Computação, Faculdade de Ciências e Tecnologia,
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” - UNESP, Campus de Presidente Prudente (SP).
[email protected], [email protected]
Resumo: Neste trabalho relatamos uma atividade desenvolvida junto ao Subprojeto de Matemática do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (PIBID/CAPES) por dois bolsistas do Curso de
Licenciatura em Matemática da FCT/UNESP. O subprojeto PIBID/Matemática tem por objetivo desenvolver
atividades em parceria com professores de uma escola pública estadual visando potencializar o processo ensino e aprendizagem. Assim, devido às dificuldades dos alunos em álgebra, foi desenvolvida uma ativida-
de interativa com o objetivo de fazer com que os alunos dos 9º anos do Ensino Fundamental compreendes-
sem de outra forma a solução de equação do segundo grau, através da sua forma geométrica pelo método de „completar quadrados‟, onde os alunos puderam relacionar a álgebra com a geometria por meio de materiais
concretos.
Palavras-Chave: Resolução, Equação do segundo grau, Forma geométrica.
Introdução
Visando uma grande preocupação com o
ensino da Matemática e os resultados das
avaliações em larga escala divulgados pela
mídia, RIBEIRO, A. J. (2001) aponta a questão
do por que uma ideia simples, como a de
equação, gera tantas dúvidas e dificuldades
entre os estudantes?
Os professores, em geral, buscam soluções
para sanar as dificuldades dos alunos
principalmente em álgebra, desafiando-os para
que sejam capazes de progredirem em seus
conhecimentos. Dessa forma não devemos
pensar em uma única forma de alcançarmos
essa aprendizagem, quando existem vários
caminhos a serem tomados, um destes muito
significativos são as atividades interativas,
¹VIII Simpósio de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia
² Bolsista PIBID/CAPES
³ Departamento de Matemática e Computação.
onde o ensino se torna mais atrativo, tornando-
se um estimulador e até mesmo um facilitador,
para que o aprendizado seja algo mais
prazeroso.
Com a utilização do material concreto, o
professor pode induzir o raciocínio lógico-
matemático dos alunos, levá-los a
questionamentos, levantamentos de hipóteses e
reflexões que os tornem indivíduos, que
consigam relacionar e investigar,
compreendendo o conceito, de forma
participativa, que permitem uma aprendizagem
significativa.
Metodologia
Primeiramente introduzimos uma questão aos
alunos: Como eram dadas as soluções das
equações do 2º grau antigamente quando não
existia a famosa fórmula de Bhaskara? E então
os bolsistas mostraram aos alunos a solução de
uma equação do 2º grau na forma geométrica
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
através da atividade interativa. Para a realização da atividade ultilizamos:
papel sulfite, papel cartão de várias cores,
lápis, régua, tesoura e cola.
Um bolsista realizou e explicou na lousa cada
passo a ser seguido pelos alunos, enquanto o
outro bolsista e a professora da sala ajudavam
os alunos com eventuais dúvidas nas carteiras,
para assim toda a sala acompanhar o conteúdo
igualmente. Abaixo os passo a passo da
atividade:
Partimos então, de um exemplo de equação
quadrática:
x² + 4x - 12 = 0 (1)
O primeiro passo que devemos seguir é somar
12 em ambos os membros da equação (1):
x² + 4x = 12 (2)
Consideremos que "x²" representa a área de
um quadrado de lado “x”, como mostra Figura
1 e que "4x" representa a área de um retângulo
de lados "4 e x", como mostra Figura 2
Figura 1 Figura 2
Através da equação (2), temos que "12" será a
área total equivalente a junção dessas duas
figuras geométricas, como mostra Figura 3 e
Figura 4.
Figura 3
Figura 4
Como transformar (Figura 4) que é retangular
em um quadrado?
Vamos pegar o retângulo de área "4x" (Figura
2) e cortá-lo em quatro pedaços iguais
horizontalmente:
Figura 5
Vamos pegar cada pedacinho da Figura 5 e
juntar com cada um dos lados do quadrado de
lado "x" da figura 1.
Figura 6
Notemos que os cantos da figura 6 são
pequenos quadrados de lado "1"
Para completarmos esse quadrado devemos
adicionar quatro quadradinhos de lado "1"
Figura 7
Veja que o quadrado formado (Figura 7)
possui o lado medindo "1+x+1" ou
simplificando "x+2"
Se somarmos “4” em ambos os membros da
equação (2) teremos:
x² + 4x + 4 = 12 + 4
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(x + 2)² = 16 (3)
Para terminar, obtemos então a partir da
equação (3) as raízes da equação (1):
x = 2 ou x = -6
Resultados e discussões
Logo após a resolução do exemplo de uma
equação do segundo grau, os bolsistas
propuseram um desafio aos alunos, onde os
alunos deveriam resolver o mesmo exemplo da
equação, mas pela fórmula de Bhaskara e
comparar a resolução e o resultado obtido com
o método de resolução geométrico.
Dessa forma, os alunos perceberam que há
outros métodos de soluções de equação
quadrática e puderam notar, por exemplo, o
significado do “ x² ” presente na mesma.
Figura 8: Aluno realizando as medidas do
problema
Figura 9: Aluno recortando o quadrado de lado
“x”
Figura 10: Tentativa de completar o quadrado
de um aluno
Figura 11: Resolução de um aluno
Referências
[2] RIBEIRO, A. J. Analisando o desempenho
dos alunos do ensino fundamental em álgebra,
com base em dados do SARESP. São Paulo,
116 p., 2001.
[1] CARVALHO, Fernanda et al. Por que
Baskhara? Revista História & Educação
Matemática/Sociedade Brasileira de História
da Matemática, Rio Claro, SP. v. 2, n. 2,
p.123 - 171, 2001-2002.
50 de 63
SIMULAÇÃO NUMÉRICA UTILIZANDO O MODELO ALGÉBRICO PTT
Daiane Iglesia Dolci∗, Gilcilene Sanchez de Paulo†
∗Pós Graduação em Matemática Aplicada e Computacional, FCT/UNESPPresidente Prudente, São Paulo, Brasil
†Depto. de Matemática e Computação, FCT/UNESPPresidente Prudente, São Paulo, Brasil
Emails: [email protected], [email protected]
Resumo— Neste trabalho será apresentado a aplicação do modelo algébrico PTT no problema da gota inci-dindo numa superfície rígida (impacting drop). Este modelo foi formulado a partir da equação diferencial PTTcuja implementação é feita em uma plataforma de programação de alto desempenho denominada FREEFLOW-2D. A metodologia numérica empregada para resolver o modelo algébrico é baseada no método GENSMACestendido para escoamentos viscoelásticos, sendo que, a discretização é feita por diferenças finitas em uma malhadeslocada. Para efeito de verificação, foi simulado o problema da gota usando o modelo algébrico e o modelodiferencial PTT e comparando se ambos os modelos apresentam comportamentos semelhantes.
Palavras-chave— Equação constitutiva PTT, modelo algébrico, impacting drop.
1 INTRODUÇÃO
As equações básicas que descrevem escoamentosviscoelásticos, isotérmicos e incompressíveis são asequações da continuidade, da quantidade de mo-vimento dadas, respectivamente, por
∇ · u = 0, (1)DuDt
= −∇p+ β
Re∇2u +∇ ·T +
1
Fr2g,(2)
e para modelar a viscoelasticidade considera-seo modelo algébrico PTT [2] representado pelasequações
DITDt
=− 1
Wi
(1 + ε
ReWi
(1− β)IT
)IT+2 {ΓS} , (3)
Γ=1
{S2}{ΓS}S− 1
2
IT{S2}
×
×[(SW −WS)− 2
(S2 − 1
3
{S2}
I
)], (4)
T = Γ +IT3
I, (5)
onde u é o vetor velocidade, p é a pressão, T éo tensor extra-tensão de contribuição polimérica,IT é a notação designada para o traço de T, Γ éo tensor deviatórico, D/Dt é a derivada material,t é a variável temporal, S = 1
2 (∇u + (∇u)t) é otensor taxa de deformação e W = 1
2 (∇u− (∇u)t)é o tensor taxa de rotação. O escalar {ΓS} é dadopela expressão
{ΓS}=
√I2T2{W2}+
((1− β)WiRe
+1
2IT
)IT {S2}.
(6)e{S2}é o traço do tensor S2. Os números adi-
mensionaisRe = ρULη0
,Wi =λUL e Fr = U2
gL são os
números de Reynolds, Weissenberg e Froude, res-pectivamente. As constantes L, U , ρ, g e λ são osvalores de referência do comprimento, velocidade,densidade, campo gravitacional e do tempo de re-laxação do fluido viscoelástico, respectivamente.A constante β = ηs
η0controla a contribuição do
solvente Newtoniano, onde η0 = ηs + ηp viscosi-dade total do fluido à taxa nula de cisalhamento,ηs é a viscosidade do solvente e ηp é a viscosidadedo polímero. O parâmetro ε está relacionado como comportamento elongacional do modelo.
A formulação do modelo algébrico para o ten-sor extra-tensão T foi obtida originalmente a par-tir da equação constitutiva Oldroyd-B por Mom-pean et al. [?]. Em seguida, no trabalho [2]formulou-se um modelo algébrico a partir da equa-ção constitutiva não-linear PTT.
2 METODOLOGIA NUMÉRICA
As equações do modelo algébrico PTT foramimplementadas na plataforma FREEFLOW-2D,cuja metodologia utilizada é uma extensão dametodologia GENSMAC (GENeralized SimplifiedMarker-And-Cell) para fluidos viscoelásticos [3]que resolve as equações governantes por técnicasde diferenças finitas numa malha deslocada apli-cando a estratégia Oishi et. al [1], a qual combinao método da projeção com uma técnica implícitapara o tratamento da pressão em superfícies livres.
Na integração temporal da equação de quan-tidade de movimento foi empregado o método deEuler implícito enquanto na equação de evoluçãopara o IT foi empregado o método de Runge-Kutta de 2a ordem. Os termos convectivos foramaproximados pelo método ‘upwind’ de alta ordemCUBISTA e as derivadas espaciais por diferençascentrais.
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3 IMPACTO DE UMA GOTA NUMASUPERFÍCIE RÍGIDA
Na simulação da gota, considera-se as condi-ções iniciais u(x, y, t0) = 0, p(x, y, t0) = 0,T(x, y, t0) = 0, IT(x, y, t0) = 1.0× 10−12. A con-dição de contorno na fronteira rígida é consideradade não-escorregamento para o vetor velocidade u.O traço IT e T são calculados a partir das equa-ções (3) e (5) considerando as simplificações ca-bíveis com relação as condições da velocidade nageometria em questão. As condições de contornona superfície livre são dadas por
mt · (σ · n) = 0, nt · (σ · n) = 0 (7)
e ∂IT
∂→n
= 0, onde σ = 2µS − pI e→n é a direção
normal a superfície livre.O problema da gota foi simulado em um do-
mínio computacional 0.056m× 0.053m (156× 153células) considerando o diâmetro de L = 0.02m,a velocidade inicial é v0 = −1.0m/s, a velocidademédia do escoamento da gota é U = 1.0m/s. Asconstantes adimensionais consideradas são Re =5.0, Wi = 1.0, Fr = 2.26, β = 0.6 e o parâmetroε = 0.1.
Figura 1: Comparação do modelo algébrico como modelo diferencial PTT considerando o compri-mento da gota incidindo numa superfície rígida.
4 CONCLUSÃO
Note, pela Figura 1 que a variação do compri-mento da gota com relação ao tempo do modeloalgébrico, corresponde ao modelo diferencial PTT.Também é possível observar pela Figura 2 que ocampo de velocidade v apresenta um comporta-mento análogo nos modelos diferencial e algébricoPTT. Portanto, o modelo algébrico PTT aplicadono problema da gota em impacto com a superfícierígida apresenta resultados satisfatórios conside-rando os parâmetros expostos na seção anterior.
(a) Modelo Diferencial
(b) Modelo Algébrico
(c) Modelo Diferencial
(d) Modelo Algébrico
Figura 2: Visualização bidimensional da compo-nente de velocidade v usando o modelo diferen-cial PTT e modelo algébrico PTT nos tempost = 0.04s em (a) e (b) e t = 0.4s em (c) e (d).
Referências
[1] C.M. Oishi, F.P. Martins, M.F. Tomé, M.A.Alves (2011). Numerical simulation of theeXtended PomŰPom model for viscoelasticfree surface flows, Journal of Non-NewtonianFluid Mechanics 166, 165-179.
[2] G. Mompean (2002). On predicting abruptcontraction flows with diferential and al-gebraic viscoelastic models, Computers andFluids 31, 935-956.
[3] M.F Tomé (2001), GENSMACVISCO: ummétodo numérico para resolver escoamentosviscoelásticos não-estacionários com frontei-ras livres, ICMC/USP - São Carlos, Tese deLivre Docência.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
VIII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.
TEOREMA DE ENESTRÖM-KAKEYA: ESTUDO DE UM RESULTADO
CLÁSSICO SOBRE OS ZEROS DE POLINÔMIOS1
Jéssica Ventura da Silva, Vanessa Botta
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
[email protected], [email protected]
Resumo: Este trabalho consiste em apresentar o estudo de um resultado clássico sobre a distribuição de zeros de polinômios num determinado círculo. Trata-se do Teorema de Eneström-Kakeya, que é muito
utilizado em problemas de estabilidade de métodos numéricos, onde é necessária a análise da localidade dos
zeros de um polinômio no disco unitário. Determinar os zeros de um polinômio sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo de séculos. Durante esse período foi conhecida algumas fórmulas para o cálculo das
raízes de equações polinomiais de segundo, terceiro e quarto graus. Mas para encontrarmos as raízes de uma
equação polinomial de grau n (n>4) nos deparamos com algumas dificuldades; surge então a necessidade da utilização de ferramentas mais especificas para tal cálculo; dessa forma o Teorema Eneström-Kakeya nos
possibilita uma noção sobre a localidade dos zeros de um polinômio.
Palavras-Chave: Zeros de polinômio, Disco unitário, Teorema de Eneström-Kakeya.
Os polinômios formam uma classe importante
de funções infinitamente diferenciáveis,
apresentam uma estrutura de natureza simples
e por consequência são utilizados na Análise
Numérica. Historicamente, o “problema” de
determinar os zeros de um polinômio é um dos
grandes desafios da chamada Álgebra
Clássica.
Para encontrarmos o valor numérico de um
polinômio 𝑃(𝑧), sempre foram utilizados
métodos de operações usuais (adição,
subtração, multiplicação e divisão)
conhecendo ou não uma das raízes da equação
polinomial. Mas quando tratamos de um
polinômio de grau 𝑛 (𝑛 > 4) nos deparamos
com algumas dificuldades.
Instigados pelo estudo da localidade dos zeros
de um polinômio 𝑃(𝑧), Gustaf Hjalmar
Eneström, juntamente com Soichi Kakeya,
elaboram o Teorema Eneström-Kakeya.
A seguir serão apresentados alguns resultados.
O primeiro resultado determina um disco que
contém todos os zeros de um polinômio com
coeficientes reais.
Teorema 1: Seja P(z) = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + ⋯ +𝑎𝑛𝑧
𝑛 um polinômmio de grau 𝑛 tal que:
𝑎0 ≤ 𝑎1 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑎𝑛 𝑒 𝑎𝑛 , 𝑎0 ≠ 0.
Então todos os zeros de P(z) estão no disco
determinado por
𝑧 ≤𝑎𝑛 − 𝑎0 + 𝑎0
𝑎𝑛 .
Demonstração:
De fato, seja 𝑅 𝑧 = 𝑧𝑛𝑄 1
𝑧 , onde
𝑄 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛+1 + 1 − 𝑧 𝑃 𝑧
= 𝑎0 + 𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 𝑧𝑘 .
𝑛
𝑘=1
Então, para |𝑧| ≤ 1,
𝑅 𝑧 = 𝑧𝑛𝑄 1
𝑧
= 𝑎0𝑧𝑛 + 𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 𝑧
𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=1
≤ 𝑎0 |𝑧|𝑛 + (𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1)𝑧𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=1
.
Logo, 𝑅 𝑧 ≤ 𝑎0 + 𝑎𝑘 − 𝑎𝑘−1 𝑛𝑘=1
= 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Desse modo,
𝑄 1
𝑧 ≤
𝑎0 + 𝑎𝑛−𝑎0
|𝑧|𝑛.
E assim,
𝑄 𝑧 ≤ 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0 |𝑧|𝑛 , com |𝑧| ≥ 1.
Para |𝑧| ≥ 1, segue que
𝑧 − 1 𝑃 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛+1 − 𝑄 𝑧
≥ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛+1 − 𝑄 𝑧
≥ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛+1
− 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0 |𝑧|𝑛
= 𝑧 𝑛 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑎0 − 𝑎𝑛 + 𝑎0
= |𝑧|𝑛 𝑎𝑛 𝑧
− 𝑎0 − 𝑎𝑛 + 𝑎0
𝑎𝑛 .
Como 𝑎𝑛 − 𝑎0 = |𝑎𝑛 − 𝑎0|, segue que
𝑟 = 𝑎0 + 𝑎𝑛 − 𝑎0
|𝑎𝑛 | ≥ 1.
Note que se |𝑧| > 𝑟, então |(𝑧 − 1)𝑃(𝑧)| > 0. Portanto, 𝑃(𝑧) não possui zeros em |𝑧| > 𝑟, ou
seja, todos os zeros de 𝑃(𝑧) encontram-se em
𝑧 ≤ 𝑟. O resultado que será apresentado a seguir é
uma conseqüência do resultado anterior e
trata-se da teoria da distribuição de zeros de
polinômios.
Teorema 2 (Eneström-Kakeya): Seja 𝑃 𝑧 =𝑎0 + 𝑎1𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧
𝑛 um polinômio cujos
coeficientes reais 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0, … , 𝑛 satisfazem
𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛−1 ≥ ⋯ ≥ 𝑎1 ≥ 𝑎0 > 0. Então 𝑃 𝑧
não possui zeros em 𝑧 > 1, ou seja, os zeros
de 𝑃 𝑧 encontram-se em |𝑧| ≤ 1.
Demonstração:
Seja 𝑃 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧𝑛 um
polinômio de grau n, onde 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛−1 ≥ ⋯ ≥𝑎1 ≥ 𝑎0 > 0. Temos, pelo Teorema 1, que
𝑧 ≤𝑎𝑛 − 𝑎0 + 𝑎0
𝑎𝑛 .
Assim,
𝑧 ≤𝑎𝑛 − 𝑎0 + 𝑎0
𝑎𝑛, onde 𝑧 ≤ 1.
Exemplo 2: Seja 𝑃 𝑧 = 4.6𝑧5 + 3𝑧3 +2.5𝑧2 + 0.7𝑧 + 0.2, um polinômio cujos
coeficientes satisfazem as condições do
teorema de Eneström-Kakeya. Podemos
concluir que os zeros de 𝑃 𝑧 encontram-se no
disco unitário 𝑧 ≤ 1, como podemos
observar na seguinte figura:
Figura 2: Localização dos zeros do polinômio
𝑃 𝑧 = 4.6𝑧5 + 3𝑧3 + 2.5𝑧2 + 0.7𝑧 + 0.2.
Neste trabalho, foram estudados dois teoremas
importantes no que diz respeito à localização
de zeros de polinômios, pois considerando um
polinômio P(z) de grau n, tais resultados nos
possibilitam uma noção da localização dos
zeros deste polinômio.
Referências
[1] MARQUES, L. F.. Zeros de Polinômios
Perturbados. Dissertação (mestrado) –
Universidade Estadual Paulista, Faculdade de
Ciências e Tecnologia. Presidente Prudente.
2013.
[2] MILOVANOVIĆ, G. V., MITRINOVIĆ,
D. S., RASSIAS, Th. M.. Topics in
Polynomials: extremal problems, inequalities,
zeros. Singapore: World Scientific, 1994, 821
p.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
UMA EXPERIÊNCIA INOVADORA SOBRE A PROBABILIDADE DA UNIÃO
DE EVENTOS
Anie Caroline G. Paixão, Juliano César Fracassi e Rogério Duarte F. Dos Reis
Departamento de Matemática e Física, CCE, UEL
86051-990, Londdrina, PR
Resumo: Esta experiência ocorreu durante o curso de especialização em Educação Matemática pela
Universidade Estadual de Londrina (UEL) durante a disciplina Contagem, realizado no ano de 2013 primeiro
semestre. Visando como objetivos proporcionar uma ampliação dos conceitos matemáticos sobre
Probabilidade da União de Eventos, a proposta consiste em montar um plano de aula que auxilie os alunos a
conceber a matemática de forma significativa, de modo que a apropriação dos conhecimentos matemáticos
sejam presentes, e não somente como aquisição de técnicas que mediante ao passar do tempo são esquecidas.
Tínhamos como tarefa no trabalho proposto partir dos exercícios para formalizar os conceitos de
probabilidade, tendo o aluno como um ator do processo e não somente como receptor da informação.
Palavras-Chave: Probabilidade da união de eventos; Relato de experiência; Educação matemática.
1. Introdução
Pensando na dificuldade para ensinar e apren-
der conceitos de probabilidade, o trabalho tem
a intencionalidade de causar uma reflexão para
ser possível pensar numa forma diferenciada
para ensinar os conceitos de condicional, reali-
zando numa sequência diferente das apresen-
tadas nos livros didáticos. Este trabalho surgiu
através da proposta apresentada pelo professor
Bruno Rodrigo Teixeira, na disciplina de con-
tagem do curso de Especialização em Educa-
ção Matemática pela Universidade Estadual de
Londrina (UEL).
A proposta do trabalho seria realizar uma se-
quência didática para ensinar o conceito de
Probabilidade da União de Eventos tendo co-
mo base dois exercícios, deixando de lado a
visão tradicional no modo de ensinar tais con-
ceitos.
A princípio foi complicado montar o trabalho,
pois nós somente aprendemos pelo método
tradicional, como sendo, realizado na sequên-
cia de apresentação do conceito, exercício re-
solvido e exercícios propostos, este modo de
apresentar a disciplina se perpetua na gradua-
ção, mesmo tendo realizado a formação aca-
dêmica em faculdades diferentes e em perío-
dos distintos.
O primeiro obstáculo foi entender e solucionar
os problemas, em seguida, pensar em outras
formas para realizar a atividade de forma “i-
novadora” e em seguida montar o trabalho.
Objetivo deste trabalho é propor um novo per-
curso ao ensinar a probabilidade condicional,
de modo que leve ao educando a apropriação
do conceito, rompendo com o ciclo de deco-
reba que muitos estudantes adotam para reali-
zar as atividades.
2. Descrição da Experiência
Foi difícil estruturar a proposta para ensinar
em sala de aula, pois ao consultar os livros
didáticos, percebemos que quase todos apre-
sentam primeiramente os conceitos, seguidos
de exemplos resolvidos e exercícios para re-
solver, e pouco mudavam de um referencial
teórico para outro. A sequência abordada neste
trabalho é iniciar a contextualização do assun-
to por meio dos exercícios para na sequência
seguinte realizar a formalização do conceito.
Inicialmente verificamos no documento o Cur-
rículo do Estado de São Paulo, para elencar
qual seria o público alvo para trabalhar o con-
ceito de probabilidade da União de Eventos,
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
chegando a conclusão que são os alunos do 2º
ano do Ensino Médio, na disciplina de mate-
mática.
Salientamos ainda, que o tempo previsto para
aplicar a atividade com os dois exercícios é de
aproximadamente três horas aulas, no próprio
espaço sala de aula e sendo os materiais neces-
sários apenas giz, lousa e caderno.
Após montar a atividade proposta pelo profes-
sor Bruno, apresentamos em forma de seminá-
rio no curso de pós-graduação obtendo os a-
pontamentos finais do professor responsável
pela disciplina.
3. Problemas propostos
Os enunciados dos exercícios propostos foram:
3.1 (UEL_2008) De um total de 500
estudantes da área de exatas, 200 estudam
Cálculo Diferencial e 180 estudam Álgebra
Linear. Esses dados incluem 130 estudantes
que estudam ambas as disciplinas. Qual é a
probabilidade de que um estudante escolhido
aleatoriamente esteja estudando Cálculo
Diferencial ou Álgebra Linear?
a) 0,26
b) 0,50
c) 0,62
d) 0,76
e) 0,80
3.2 (UEL_2008)
A vida na rua como ela é:
O Ministério do Desenvolvimento Social e
Combate à Fome (MDS) realizou, em parceria
com a ONU, uma pesquisa nacional sobre a
população que vive na rua, tendo sido ouvidas
31.922 pessoas em 71 cidades brasileiras.
Nesse levantamento, constatou-se que a maio-
ria dessa população sabe ler e escrever (74%),
que apenas 15,1% vivem de esmolas e que,
entre os moradores de rua que ingressam no
ensino superior, 0,7% se diplomou. Outros
dados da pesquisa são apresentados no qua-
dro abaixo.
Quadro 1: população que vive na rua.
No universo pesquisado, considere que P seja
o conjunto das pessoas que vivem na rua por
motivos de alcoolismo/drogas e Q seja o con-
junto daquelas cujo motivo para viverem na
rua é a decepção amorosa. Escolhendo-se ao
acaso uma pessoa no grupo pesquisado e su-
pondo-se que seja igual a 40% a probabilida-
de de que pessoa faça parte do conjunto P ou
do conjunto Q, então a probabilidade de que
ela faça parte do conjunto interseção de P e Q
é igual a:
A. 12%
B. 16%
C. 20%
D. 36%
4. Proposta:
Como esta proposta foi realizada como inte-
grante de uma atividade avaliativa no curso de
contagem, buscava-se desenvolver a utilização
do problema para introduzir o conceito de
Probabilidade da União de eventos. Dessa
forma, mostrando uma dedução para a fórmu-
la:
)1()()()()( BAPBPAPBAP
5. Desenvolvimento referente ao exercí-
cio 3.1 temos como resolução:
No primeiro momento o(a) professor(a) pro-
põe para os alunos realizarem individualmente
a leitura do exercício. Em seguida faz a leitura
compartilhada, afim que todos compreendam o
que está sendo pedido na atividade, o(a) pro-
fessor(a) pergunta se todos compreenderam o
exercício e o que está sendo pedido.
Como educador(a) o(a) professor(a) necessitar
ter como princípio que os alunos devem reali-
zar a trajetória de construção do conhecimento
matemático, fazendo parte do processo e não
apenas como um figurante. Para concretizar
este propósito o professor disponibiliza um
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
tempo para que os alunos façam a atividade
individual ou coletivamente, esta necessidade
deve partir do aluno. É sugerido ao professor
percorre toda sala para responder as dúvidas
que vão surgindo, faz perguntas que levem os
alunos a pensar e consequentemente propor-
cionar possibilidade para pode levar os alunos
a chegarem às possíveis resoluções. Notem
que o assunto de probabilidade vem sendo
trabalhado com a turma a algum tempo, e os
conceitos básicos para realizar a tarefa os alu-
nos já adquiriram.
Após um tempo deixando os alunos realizarem
a tarefa o(a) professor(a) deve convidar os
alunos para colocarem na lousa a solução do
mesmo.
O(a) professor(a) inicia a explicação do espaço
amostral partindo das resoluções colocadas na
lousa pelos alunos, perguntando o que deva ser
este valor de 500 estudantes da área de exatas
e seguir desse ponto.
Realizando uma adaptação da solução dos alu-
nos o(a) professor(a) trabalha com o conceito
de conjuntos para explicar o exercício para
toda sala.
Neste momento pressupomos que o profes-
sor(a) vem trabalhando com os alunos os con-
ceitos de probabilidade para abordar este te-
ma.
Como temos dois conjuntos os alunos que es-
tudam Cálculo Diferencial e os que estudam
Álgebra Linear, podemos reescrever em forma
de conjuntos, da seguinte forma:
Figura 1: Conjuntos C e A.
De acordo com o exercício proposto, temos:
500 estudantes de exatas;
200 estudantes de Cálculo Diferencial;
180 estudantes de Álgebra Linear;
130 estudantes de Álgebra Linear e Cálculo
Diferencial.
Ou reescrevendo de outra forma temos:
Figura 2: Conjuntos C e A.
Vamos considerar os seguintes conjuntos:
;
;
;
;
Assim, temos que o número de elementos dos
conjuntos pode ser expresso da seguinte
forma:
;
;
;
;
. (2)
A probabilidade de que um estudante
escolhido aleatoriamente esteja estudando
Cálculo Diferencial ou Álgebra é:
(3)
Então, alternativa correta, letra c, 0,5 ou ainda,
50%.
A probabilidade de um evento ocorrer nunca
poderá ser menor que 0 ou maior que 1, isto é,
a probabilidade varia de 0% a 100%.
Vamos analisar com um pouco mais de
cuidado a equação:
Sem substituir os valores numéricos para
ou , mas substituir
por . Logo, teremos:
(5)
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
Ou ainda,
(6)
Que na verdade, é a probabilidade
do evento A acontecer. Analogamente para
e , resultando
em:
(7)
Calculando as probabilidades dos eventos ,
e ocorrem temos:
(8)
Vamos agora testar essa fórmula para ver se
condiz com o primeiro resultado apresentado
(9)
Resposta correta: Letra A
7. Desenvolvimento referente ao exercí-
cio 3.2 temos como resolução:
Referente ao exercício 3.2 temos a resolução:
Como visto no exercício anterior, a
probabilidade da união de 2 eventos ocorrer é
(10)
Considere P(P) a probabilidade do evento P
ocorrer. Analogamente para P(Q), a
probabilidade de Q ocorrer. Então, podemos
dizer que é a probabilidade da união
de e acontecer, ou no contexto do
problema, é a probabilidade de uma pessoa
que faça parte do conjunto ou do conjunto
.
Do enunciado temos que:
(11)
Se a probabilidade de que uma pessoa faça
parte do conjunto ou do conjunto é de
40%, qual a probabilidade de que ela faça
parte do conjunto interseção de e ? O x da
questão é , ou seja,
Sabemos que:
(12)
Substituindo pelos valores numéricos que
temos,
(13)
Ou ainda,
(14)
Resposta correta: Letra A
8. Resultados da Experiência Parciais
Depois de pesquisarmos em diversos livros
didáticos chegamos a conclusão que apesar de
quase todos eles terem a mesma sequência
didática podemos modificá-las de modo a tor-
nar a aprendizagem dos alunos mais significa-
tiva, e nesse caso a sequência que elencamos e
que se demonstra satisfatória é a posta no tra-
balho.
Foi possível desenvolver outro olhar para o
ensino de Probabilidade da União de eventos,
compreendendo que o aluno não é um mero
sujeito do processo de aprendizagem, mas sim
o ator principal que deve fazer parte de todo o
tempo da aquisição do conhecimento.
O trabalho tem como intenção de realizar ou-
tro olhar para a teoria de probabilidade e esta-
tística, mostrando possível trabalhar em sala
de aula, saindo do exercício para formalização
do conceito.
Temos intenção de aplicado em sala de aula
quando for possível, acreditamos que faz-se
necessário realizar um trabalho que o aluno
faça parte do processo de ensino e aprendiza-
gem.
9. Referências
[l] FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Cláudio
Xavier da. Matemática aula por aula. São
Paulo: FDT, 2003, p.286-287.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
UM ESTUDO SOBRE A CINÉTICA DAS REAÇÕES QUÍMICAS ATRAVÉS
DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS1
José Roberto Nogueira, Suetônio de Almeida Meira, Mailde da Silva Ozório2
Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Beatriz Eleutério Goi Carvalho Departamento de Física, Química e Biologia, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
Resumo: A cinética de reação refere-se ao estudo da velocidade das reações e das variáveis que afetam
essa velocidade. A concentração dos reagentes, a temperatura, a pressão e os catalisadores representam as
principais variáveis que afetam a velocidade de reação. A dependência entre velocidade de reação e as
variáveis pode ser representada por equações diferenciais, conhecidas como Leis de Velocidade. O
conhecimento sobre cinética de reação é imprescindível para produção de substâncias em escala industrial,
onde o tempo de reação é um fator importante. Neste trabalho, mediante equações diferenciais e resultados
empíricos, foi avaliado a influência da concentração dos reagentes e da temperatura na velocidade de reação
do tiossulfato de sódio (Na2S2O3) com ácido clorídrico (HCl).
Palavras-Chave: Equações diferenciais, cinética química.
1 VII Simpósio de Matemática da Faculdade e Ciências e Tecnologia.
2 Aluna de Iniciação Científica.
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VIII SMAT Presidente Prudente (SP), de 21 a 24 de outubro de 2013.
18 20 22 24 26 28 30 32 34
-4,0
-3,8
-3,6
-3,4
-3,2
-3,0
-2,8
-2,6
-2,4
-2,2
ln | [B
] 0-
2x |
Tempo de reação (s)
0 20 40 60 80 100 120
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1/ ([
A] 0
- x
) (
L/m
ol)
Tempo de reação (s)
Introdução A dissociação do Na2S2O3 e a ionização do
HCl em meio aquoso forma os íons S2O32-
e
H+; que são as espécies envolvidas na reação:
S2O32-
(aq.) + 2H+
(aq.) S(s) + H2SO3(aq.) a ser
representada por A + 2B → P, onde A, B e P
representam, respectivamente, S2O32-
, H+ e os
produtos.
Metodologia A velocidade da reação pode ser representada
pela a variação da concentração dos reagentes
e dos produtos no decorrer do tempo, como
indicado:
Também podemos representar a velocidade
como a taxa de consumo dos reagentes (2):
Os símbolos [A]o e [B]o representam as
concentrações iniciais e x o consumo dos
reagentes. A constante de velocidade, k, varia
com a temperatura (T) de acordo com a
equação de Arrhenius:
A integral de (3) resulta:
A equação (4) pode ser escrita como:
Onde:
K: constante de velocidade;
A: fator de frequência (medida da
probabilidade de uma colisão eficaz);
Ea: energia de ativação;
R: constante dos gases (em unidades S.I.:
8,3145 J/K -1
mol-1
);
T: temperatura.
A uma temperatura constante e para [A]0 muito
maior que [B]0 , x é desprezível e [A]0 é
praticamente constante, a equação (2) resulta:
Sendo . A função que satisfaz
(6) é dada por (7) se m ≠ 1 e por (8) se m = 1.
Para [B]0 muito maior que [A]0, o consumo 2x
na [B]0 é desprezível e a equação (2) resume-
se a:
Sendo . A função que satisfaz
(6) é dada por (10) se n ≠ 1 e por (11) se n = 1.
Resultados
Os dados cinéticos da reação mostram que (8)
é a solução de (6) e que (10) é solução de (9)
para n = 2, como ilustrado na Figura 1:
Figura 1. Gráficos dos dados cinéticos da reação A + 2B → P
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3,12 3,20 3,28 3,36 3,44 3,52 3,60
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-Ea/R
ln K
1/T (10 -3
K -1
)
Portanto a velocidade de reação pode ser
representada pela seguinte equação diferencial:
A integral de (12) na condição x(0) = 0 e para
[A] e [B] não constantes, resulta:
A constante de velocidade, k, é independente
do tempo, mas varia com a temperatura, como
indicado na Figura 2:
Figura 2. Efeito da temperatura
Das equações (5) e (12) obtêm-se a equação de
velocidade para a reação que não ocorre a
temperatura constante:
Conclusão
A velocidade de reação entre Na2S2O3 e HCl
foi analisada através de equações diferenciais
e indicou que a taxa com que a reação avança
é proporcional ao quadrado da concentração
do íon tiossulfato ([A]0)2 e também à
concentração do próton ([B]0) , na qual a
constante de velocidade depende da
temperatuta.
Referências
[1] ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. "Equações
Diferenciais", São Paulo: Pearson Makron
Books, 2001.
[2] MOORE, J. W.; PEARSON, R. G.
"Kinetics and Mechanism", New York:
Wiley-Interscience, 1961.
[3] STEINFELD, J. I; FRANCISCO, J. S;
HASE, W.L, Chemical Kinetics and
Dynamics, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, NeW Jersey.1989
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¹ Bolsista de iniciação Científica – Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico (CNPq/PIBIC);
UM RESULTADO CLÁSSICO SOBRE ZEROS DE POLINÔMIOS:
LIMITANTE SUPERIOR DE CAUCHY.
Igor Tomas Pìlla Faustino¹ Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
Rua Roberto Simosen, 305 19060-900 – Presidente Prudente – SP – Brasil
Vanessa Avansini Botta Pirani Departamento de Matemática e Computação, FCT, UNESP
Rua Roberto Simosen, 305 19060-900 – Presidente Prudente – SP – Brasil
__________________________________________________________________________________________________________
Resumo: O estudo dos zeros de polinômios é muito atual e frequente, pois os seus
resultados podem ser aplicados em diversos campos da matemática aplicada e das outras
ciências. Um bom exemplo é o estudo da estabilidade de métodos numéricos para a solução de
equações diferenciais ordinárias, onde são importantes os resultados que localizam e
quantificam a quantidade de zeros em um disco unitário. Também podemos utilizar seus
resultados na teoria do controle, que se refere ao estudo de sistemas dinâmicos. Assim, o estudo
de zeros de polinômios apresenta-se de grande utilidade, e tem uma expansão significativa, haja
vista a quantidade de assuntos à serem estudados.
Palavras – Chave: Zeros de polinômios, Localização de zeros, Disco unitário.
______________________________________________________________________
Introdução
Alguns problemas tem resolução
de difícil acesso, e o estudo de zeros de
polinômios, ou melhor, a análise da
localização e da quantificação de zeros
em determinada região facilita ou
aproxima-se das soluções desejadas.
Um exemplo da utilização de resultados
sobre zeros de polinômios está
relacionado à estabilidade de sistemas
de equações diferenciais ordinárias,
onde é possível dizer se o sistema é
estável ou não a partir da análise dos
zeros do polinômio característico
estudado. Além disso, o estudo de zeros
de polinômios é muito amplo e há
muitos resultados a serem estudados e o
presente trabalho possibilita ao aluno de
graduação o contato com temas não
abordados em disciplinas curriculares
normais.
Metodologia
Agora apresentamos um
resultado importante nesse estudo
devido à Cauchy, um teorema que nos
mostra um disco limitante superior ao
módulo de todos os zeros de um
polinômio com coeficientes complexos.
Teorema: Seja um
polinômio com coeficientes complexos
dado por
e seja a única raíz positiva da
equação algébrica | |
| | | | . Então, todos os
zeros da equação encontram-
se no disco | | .
Demonstração: Observemos
que a equação tem um único
zero positivo. Para ,
passa a ser
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| | | | | |,
ou equivalentemente,
| |
| |
| |
.
Quando fazemos a função do
lado direito da igualdade acima
converge para 0, e quando está muito
próximo de 0 a função admite valores
arbitrariamente grandes. Assim, o
gráfico desta função intersecta o gráfico
da função somente um vez em
um ponto de . Consideremos
| |
| | | |. De acordo com a
observação acima, tem uma única
raíz positiva, que é o ponto . Como
, então se,
para algum , temos .
Supondo que para algum ,
então
e consequentemente, | |
| |
| || | | || | | |.
Portanto, esta última desigualdade nos
mostra que | | , e de acordo com
o que já demonstramos anteriormente,
| |
Agora apresentaremos um exemplo
desse resultado.
Seja
, podemos observar que a única raíz
positiva da equação polinomial é
, logo todos os seus zeros
estarão localizados em | | como
é mostrado na figura a seguir:
Figura 1 Limitação Superior de Cauchy
Conclusões
O presente trabalho possibilitou
analisar um resultado clássico sobre
zeros de polinômios devido à Cauchy,
que nos mostrou que podemos encontrar
um limitante superior para os zeros de
polinômios com coeficientes complexos
relacionado à única raiz positiva da
equação polinomial envolvida a esse
polinômio. O exemplo nos mostra
claramente a região circular submetida a
este processo, e obviamente podemos
perceber o quão perto ficamos da
solução do nosso problema, que de fato
era buscar os zeros do polinômio
apresentado. Consequentemente
podemos também utilizar esse resultado
a outros estudos anteriormente
mencionados, daí temos a sua grande
utilidade.
Referências
[1] BOTTA,V.A. Polinômios
Algébricos e Trigonométricos com
zeros reais. Dissertação de mestrado,
IBILCE/UNESP, São José do é do Rio
Preto, 2003.
[2] MILOVANÓVIC,G.V.;
MITRINOVIC, D.S.;RASSIAS, TH.M.
Topics in polynomials: Extremal
problems, Inequalities, Zeros.
Singapure: Word Scientific,1994.
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