Embed Size (px)
Citation preview
VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS
Teresë Leonavièienë
Diferencialinës lygtys (teorija ir uþdavininai)
Vilnius, 2009
TURINYS
ÁVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. SVARBIAUSIOS SÀVOKOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. PAPRASÈIAUSIOS DIFERENCIALINËS LYGTYS IR JØ SPRENDIMOMETODAI8
2.1. Lygtys, kuriose kintamuosius galima atskirti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Homogeninës diferencialinës lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Pilnøjø diferencialø lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Tiesinës diferencialinës lygtys. Bernulio lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Pirmosios eilës diferencialinës lygtys, neiðspræstos iðvestinës atþvilgiu . . . . . . . 182.6. Paprasèiausios diferencialinës lygtys uþdaviniuose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
SAVARANKIÐKO DARBO UÞDUOTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. AUKÐTESNIØJØ EILIØ DIFERENCIALINËS LYGTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1. Lygtys, kuriø eilë gali bûti sumaþinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2. Tiesinës aukðtesniøjø eiliø diferencialinës lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1. Tiesinës homogeninës diferencialinës lygtys su pastoviais koeficientais 603.2.2. Tiesinës nehomogeninës diferencialinës lygtys su pastoviais koeficientais
61
SAVARANKIÐKO DARBO UÞDUOTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4. DIFERENCIALINIØ LYGÈIØ SISTEMOS IR JØ SPRENDIMO BÛDAI . . . . . . . . 97
4.1. Svarbiausios sàvokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2. Diferencialiniø lygèiø sistemos normaliosios formos analizë . . . . . . . . . . . . . . . . .984.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
SAVARANKIÐKO DARBO UÞDUOTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134ÁVAIRÛS UÞDAVINIAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139ATSAKYMAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142LITERATÛRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
ÁVADAS
¥Diferencialinës lygtys (teorija ir uþdaviniai)´ � mokomoji knyga, skirta Vilniaus Ge-dimino technikos universiteto Fundamentiniø mokslø fakulteto studentams. Ja galës nau-dotis ir kitø fakultetø studentai, studijuodami aukðtosios matematikos kursà.
Knygoje dëstomi pagrindiniai diferencialiniø lygèiø teorijos tvirtinimai, pateikiamadiferencialiniø lygèiø klasifikacija, mokoma atpaþinti ir priskirti lygtis tam tikrai klasei,pasirinkti tinkamà sprendimo bûdà. Pagrindinis dëmesys skiriamas praktinei daliai irtaikomiesiems uþdaviniams. Kiekvienas knygos skyrius baigiamas pavyzdþiais ir sava-rankiðko darbo uþduotimis.
Ðios knygos tikslas palengvinti vieno ið svarbiausiø ir daþnai taikymuose sutinkamøaukðtosios matematikos skyriaus ásisavinimà. Kiekvieno skyriaus teorinëje dalyje kons-pektyviai pateikiami svarbiausi tvirtinimai, o skyriaus gale aptariami ir sprendþiami tipi-niai pavyzdþiai, laikantis tokios struktûros: sàlygoje pateiktos informacijos analizë, ieð-komø dydþiø apibûdinimas, tinkamo sprendimo metodo parinkimas, sprendimas ir gautørezultatø analizë. Manome, kad toks poþiûris padës studentams suformuoti diferenciali-niø lygèiø analizës ir sprendimo ágûdþius, skatins màstyti, argumentuoti, o savarankiðkaisprendþiamos uþduotys leis tobulinti ágûdþius.
Autorë
5
1. SVARBIAUSIOS SÀVOKOS
Diferencialinëmis lygtimis apraðoma daugelis gamtoje vysktanèiø reiðkiniø. Prisiminkime,kad greitis yra kelio iðvestinë laiko atþvilgiu, pagreitis yra greièio iðvestinë laiko atþvil-giu. Lygiai taip pat mes galime sudaryti radioaktyvios medþiagos kiekio nustatymo lygtá,jei þinoma, kad jos skilimo greitis yra proporcingas pradiniam medþiagos kiekiui. Ðiuoatveju, raðysime, kad
dm(t)
dt= −km0,
èiam0 � pradinis medþiagos kiekis, o k � proporcingumo koeficientas. Uþraðëme diferen-cialinæ lygtá, kurios sprendinys � medþiagos kiekis bet kuriuo laiko momentu. Þvelgiantá kà tik uþraðytà diferencialinæ lygtá galima pagalvoti, kad nëra labai sunku sudaryti irspræsti diferencialines lygtis. Norëdami rasti sprendiná, turime mokëti integruoti. Tiekþinome ið aukðtosios matematikos kurso (diferencijavimas ir integravimas � vienas ki-tam atvirkðtiniai veiksmai). Taèiau tik nedaugeliu atvejø diferencialinës lygtys ið kartogali bûti sprendþiamos integruojant. Daþniausiai jas tenka pertvarkyti, keisti paprastes-nëmis, ávesti naujus kintamuosius ar pan. Ðiame skyriuje aptarsime pagrindines sàvokas,naudojamas diferencialiniø lygèiø teorijoje, o tolesniuose skyriuose nagrinësime atskirasdiferencialiniø lygèiø grupes ir aptarsime jø sprendimo metodus.1.1. Apibrëþimas. Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, kuri sieja neþinomà funkcijà irjos iðvestinæ arba kelias iðvestines.
Diferencialinëje lygtyje bûtinai turi bûti kuri nors funkcijos iðvestinë. Galime paraðytitoká bendràjá diferencialinës lygties pavidalà:
F(x, y(x), y′(x), y′′(x), ...y(n)(x)
)= 0, (1..1)
èia x � laisvasis kintamasis, y(x) � jo funkcija, o y′(x), y′′(x), ...y(n)(x) � ðios funkcijosiðvestinës. Priklausomai nuo to, kuri aukðèiausios eilës iðvestinë áeina á nagrinëjamà difer-encialinæ lygtá, mes sakome, kad sprendþiame pirmosios, antrosios ir t. t. eilës diferen-cialinæ lygtá. Tokiu bûdu (1..1) yra n � tosios eilës diferencialinë lygtis. Taigi: diferencial-inëje lygtyje gali nebûti laisvojo kintamojo x, jo funkcijos y(x), bet visada bus funkcijosiðvestinë (iðvestinës). Iðspræsti diferencialinæ lygtá, tai reiðkia rasti visas funkcijas y(x),kurias statydami á lygtá (1..1) gausime tapatybæ.1.2. Apibrëþimas. Diferencialinës lygties sprendinio grafikas vadinamas integraline kreive.
Dabar apibrëðime pirmosios eilës diferencialinæ lygtá ir aptarsime jos sprendinius.1.3. Apibrëþimas. Diferencialinë lygtis, siejanti laisvàjá kintamàjá x, jo funkcijà y(x) irpirmàjà funkcijos iðvestinæ y′(x) vadinama pirmosios eilës diferencialine lygtimi. Josbendrasis pavidalas:
F (x, y(x), y′(x)) = 0. (1..2)Nagrinëkime paprasèiausius (1..2) lygties atvejus, t. y. tokias diferencialines lygtis,
kurios yra iðspræstos iðvestinës atþvilgiu:dy
dx= f(x, y), (1..3)
6
èia dydx
= y′(x), o y = y(x).Geometriðkai remdamiesi ðia lygtimi kiekvienam staèiakampës Dekarto koordinaèiø
sistemos taðkui (x, y), kuriame yra apibrëþta funkcija f(x, y), yra priskiriama reikðmë dydx,
kuri nustato funkcijos f(x, y) liestinës kryptá taðke (x, y). Taip kiekviename taðke messuþinome liestiniø kryptis, t. y. turime krypèiø laukà. Todël galime sakyti, kad spræsdami(1..3) lygtá mes ieðkome tokios kreivës, kurios grafiko liestinës kiekviename taðke sutapssu lauko kryptimi tame taðke.
1.4. Apibrëþimas. Linijos, kurioms
f(x, y) = k,
èia k � konstanta, vadinamos izoklinëmis.
Vadinasi, kiekviename izoklinës taðke lauko kryptis yra ta pati. Tuomet turëdamivienà taðkà ir krypèiø laukà, mes galime nubrëþti integralinæ kreivæ, einanèià per duotàjátaðkà. Tai yra geometrinis diferencialinës lygties (1..3) sprendimo bûdas.
Dabar panagrinëkime atskirà (1..3) diferencialinës lygties atvejá:
dy
dx= f(x). (1..4)
Ði diferencialinë lygtis yra ekvivalenti tokiai lygèiai:
dy = f(x)dx
o tokio pobûdþio lygtis mes mokame spræsti integruodami, t. y.
y(x) =
∫f(x)dx+ C, (1..5)
èia C � bet kokia konstanta. Akivaizdu, kad (1..4) lygties sprendinys � funkcija y(x)nustatoma nevienareikðmiðkai, t. y. diferencialinë lygtis bendru atveju turi be galo daugsprendiniø. Tas pats pasakytina ir apie (1..2) diferencialinës lygties sprendinius. Apiben-drindami galime pasakyti, kad pirmosios eilës diferencialinës lygties sprendiniai � inte-gralinës kreivës � sudaro kreiviø ðeimà, priklausanèià nuo vieno parametro C, t. y.
y(x) = ψ(x,C). (1..6)
1.5. Apibrëþimas. (1..6) aprendinys yra vadinamas bendruoju pirmosios eilës diferecial-inës lygties (1..3) sprendiniu.
1.6. Apibrëþimas. (1..3) diferencialinës lygties sprendinys, gautas ið bendrojo sprendiniosu fiksuota konstantos C reikðme yra vadinamas atskiruoju diferencialinës lygties spren-diniu.
Geometriðkai atskirasis sprendinys reiðkia vienà integralinæ kreivæ. Vadinasi, turëda-mi vienà taðkà, mes galime rasti per já einanèià integralinæ kreivæ.
7
1.7. Apibrëþimas. Sàlyga, nustatanti taðkà, kuris turi priklausyti ieðkomai integralineikreivei, vadinama pradine sàlyga:
y(x0) = y0. (1..7)
1.8. Apibrëþimas. Diferencialinis uþdavinys, kai ieðkome atskirojo diferencialinës lygties(1..3) sprendinio, tenkinanèio pradinæ sàlygà (1..7), vadinamas Koði uþdaviniu.
1.9. Apibrëþimas. Sprendinys, kurio negalime gauti ið bendrojo sprendinio, vadinamasypatinguoju (1..3) diferencialinës lygties sprendiniu.
2. PAPRASÈIAUSIOS DIFERENCIALINËS LYGTYS IR JØSPRENDIMO METODAI
Ðiame skyriuje plaèiau panagrinësime pirmosios eilës diferencialines lygtis, kurios yraarba gali bûti iðspræstos iðvestinës atþvilgiu t. y. aptarsime (1..3) iðraiðkà turinèias lygtisir jø sprendimo bûdus.
2.1. Lygtys, kuriose kintamuosius galima atskirti2.1. Apibrëþimas. Diferencialinë lygtis, turinti pavidalà
dy
dx= f(x)g(y), (2..1)
vadinama diferencialine lygtimi, kurios kintamuosius galima atskirti.
Kaip atskiriami kintamieji? Kintamøjø atskyrimà galima apibûdinti dvejopai, betrezultatai bus tie patys.
� (2..1) lygtá dalijame ið funkcijos g(y) 6≡ 0:
1
g(y)
dy
dx= f(x)
ir abi gautosios lygybës puses integruojame pagal x:∫
1
g(y)
dy
dxdx =
∫f(x)dx.
Prisiminkime, kad y = y(x), o dydxdx = dy. Tuomet gauname integralinæ lygybæ:
∫dy
g(y)=
∫f(x)dx, (2..2)
kurios kairëje ir deðinëje pusëse yra atskirti kintamieji y ir x. Apskaièiavæ ðiuosintegralus, gauname (2..1) diferencialinës lygties sprendiná.
8
� laikydami, kad g(y) 6≡ 0, o á funkcijos iðvestinæ þvelgdami kaip á santyká dydx, pagal
proporcijos taisyklæ pertvarkome (2..1) lygtá taip, kad vienoje lygybës pusëje bûtøtik dy ir funkcija g(y), kitoje � dx ir funkcija f(x):
dy
g(y)= f(x)dx.
Integruodami pastaràjà lygybæ, gauname (2..2) integralinæ lygybæ.
Vienà ið atskirø tokio tipo lygties atvejø (kai g(y) ≡ 1) jau esame aptaræ ankstesniameskyriuje. Analogiðkai nagrinëjamas ir atvejis, kai funkcija f(x) ≡ 1. Ðiuo atveju, difer-encialinë lygtis pertvarkoma á tokià integralinæ lygtá:
∫dy
g(y)=
∫dx.
Galima paminëti ir toká atvejá, kai f(x)g(y) = k, èia k � konstanta. Tokiu atveju, diferen-cialinë lygtis pakeièiama jai ekvivalenèia integraline lygtimi:
∫dy = k
∫dx.
Apibendrindami aukðèiau iðdëstytà medþiagà, galime pastebëti, kad kintamøjø atskyri-mas sëkmingai bus taikomas ir diferencialinëms lygtims, turinèioms tokià iðraiðkà (skaity-tojui siûlome tuo ásitikinti savarankiðkai):
f1(x)g2(y)dx+ f2(x)g1(y)dy = 0.
2.2. Homogeninës diferencialinës lygtysPrieð susipaþindami su homogeninëmis diferencialinëmis lygtimis, prisiminsime homogen-inës funkcijos sàvokà.
2.2. Apibrëþimas. Funkcija f(x, y vadinama homogenine n � tojo laipsnio funkcija, jeisu visais x ir y galioja lygybë:
f(tx, ty) = tnf(x, y), (2..3)
èia t � parametras.
Tuomet akivaizdu, jei funkcija homogeninë, tai fiksuodami t = 1x, gauname, kad
f(
1,y
x
)=
1
xnf(x, y),
o ið pastarosios lygybës:f(x, y) = xnf
(1,y
x
).
Vadinasi n � tojo laipsnio homogeninæ funkcijà galime pertvarkyti taip:
f(x, y) = xnF(yx
). (2..4)
9
2.3. Apibrëþimas. (1..3) diferencianë lygtis vadinama homogenine, jei jos deðinës pusësfunkcija yra nulinio laipsnio homogeninë funkcija.
Tuomet remiantis (2..4)paprasèiausios homogeninës diferencialinës lygties pavidalasyra toks:
dy
dx= F
(yx
). (2..5)
(2..5) homogeninë lygtis sprendþiama naudojant keitiná:
z =y
x, (2..6)
èia z = z(x).Ásitikinsime ðio keitinio tinkamumu. Ið (2..6) lygybës turime, kad
y = zx, o y′ = z′x+ z.
Gautas iðraiðkas ástatæ á (2..5) diferencialinæ lygtá, gauname:
z′x+ z = F (z).
Ðios lygties kintamuosius galima atskirti, t. y. galima diferencialinæ lygtá pakeisti jaiekvivalenèia integraline lygtimi (ásitikinkite savarankiðkai):
∫dz
F (z)− z =
∫dx
x,
kurià integruodami ir vietoj z áraðæ yxgausime bendràjá (2..5) diferencialinës lygties sprend-
iná �Φ(yx
)= ln | Cx |,
èia Φ(yx
)yra funkcijos 1
F (z)−z pirmykðtë funkcija, o C � bet kuri konstanta.Á (2..5) pavidalà pertvarkomos (skaitytojui siûlome ásitikinti savarankiðkai) ir bendres-
nës iðraiðkos diferencialinës lygtys
f(x, y)dx+ g(x, y)dy = 0,
kuriø funkcijos f(x, y) ir g(x, y) yra to paties laipsnio homogeninës funkcijos. Tokiomslygtims spræsti taip pat taikomas (2..6) keitinys. Naudojant tà patá keitiná galime spræstiir dar vienà diferencialiniø lygèiø grupæ � tiesines trupmenines diferencialines lygtis,turinèias toká pavidalà:
dy
dx=
ax+ by + c
a1x+ b1y + c1
, (2..7)
èia a, b, c, a1, b1, c1 � þinomos konstantos. (2..7) diferencialines lygtis aptarkime plaèiau.Tuo atveju, kai konstantos c = c1 = 0, turime jau nagrinëtà homogeninæ lygtá. Kai c 6= 0arba c1 6= 0, (2..7) diferencialinë lygtis gali bûti pertvarkyta á homogeninæ diferencialinælygtá keitiniu: {
x = ξ + k,
y = η + l,(2..8)
10
èia k ir l � konstantos, kurios nustatomos sprendimo eigoje. Diferencijuojame keitiná irgautus diferencialus dx = dξ, dy = dη bei (2..8) iðraiðkas áraðome á (2..7) diferencialinælygtá ir gauname:
dη
dξ=
aξ + bη + ak + bl + c
a1ξ + b1η + a1k + b1l + c1
.
Pastaroji lygtis bus homogeninë, jei konstantas k ir l parinksime taip, kad bûtø teisingostokios lygybës: {
ak + bl + c = 0,
a1k + b1l + c1 = 0,(2..9)
t. y. neþinomas keitinio konstantas nustatysime spræsdami tiesiniø lygèiø sistemà. Iðtiesinës algebros kurso þinome, kad tiesiniø lygèiø sistemos sprendiniø aibë priklausonuo koeficientø matricos determinanto. Todël turime nagrinëti du atvejus:
� kai ∣∣∣∣a ba1 b1
∣∣∣∣ 6= 0,
tai nagrinëjama tiesiniø lygèiø sistema turi vienintelá sprendiná � konstantos k ir lnustatomos vienareikðmiðkai. Tuomet (2..7) diferencialinë lygtis keièiama jai ekvi-valenèia homogenine diferencialine lygtimi:
dη
dξ=
aξ + bη
a1ξ + b1η,
kuri sprendþiama naudojant (2..6) keitiná, o á gautà η ir ξ priklausomybæ áraðomosjø iðraiðkos, gautos ið (2..8) ir (2..9):
{ξ = x− k,η = y − l.
� kai ∣∣∣∣a ba1 b1
∣∣∣∣ = 0,
tai ðio determinanto eilutës yra proporcingos, t. y.
a
a1
=b
b1
= λ,
o ið èia {a1 = aλ,
b1 = bλ.
Gautas iðraiðkas áraðæ á (2..7) diferencialinæ lygtá, turime:
dy
dx=
ax+ by + c
λ(ax+ by) + c1
. (2..10)
11
Paþymëkime v = ax+ by. Ið ðio keitinio iðspæskime y ir raskime jo iðvestinæ pagalx:
y =1
b(v − ax) ,
dy
dx=
1
b
(dv
dx− a).
Gautàsias iðraiðkas áraðæ á (2..10) diferencialinæ lygtá, turime lygtá1
b
dv
dx− a
b=
v + c
λv + c1
,
kurios kintamuosius galime atskirti. Tokiø lygèiø sprendimà esame aptaræ skyriauspradþioje.
Kà tik aptarti tiesiniø trupmeniniø diferencialiniø lygèiø sprendimo metodai pritaikomiir tais atvejais, kai deðinëje lygybës pusëje yra kuri nors tiesinio trupmeninio reiðkiniofunkcija, t. y. visa medþiaga tinka ir lygtims, turinèioms pavidalà:
dy
dx= F
(ax+ by + c
a1x+ b1y + c1
).
Kartais diferencialinës lygtys pertvarkomos á homogenines keitiniu y = vα, èia α � kon-stanta, kuri nustatoma nagrinëjant diferencialinës lygties nariø laipsnius. Ðis sprendimobûdas tinka tais atvejais, kai visi lygties dëmenys yra to paties laipsnio kiekvienam xpriskiriant 1, y � α, o dy
dx� α− 1.
2.3. Pilnøjø diferencialø lygtys2.4. Apibrëþimas. Diferencialinë lygtis
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 (2..11)
vadinama pilnøjø diferencialø lygtimi, jei reiðkinys
P (x, y)dx+Q(x, y)dy
yra kurios nors funkcijos pilnasis diferencialas, t. y., jeigu
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = dF (x, y).
Turint pilnøjø diferencialø lygties apibrëþimà, nesunku pastebëti, kad, jeigu mumspavyksta nustatyti funkcijà F (x, y), tai mes turime lygtá
dF (x, y) = 0,
kurios sprendinys nustatomas lygybe
F (x, y) = C.
Tai yra bendrasis pilnøjø diferencialø lygties sprendinys. Kaip nustatoma funkcija F (x, y)?Priminsime ið matematinës analizës kurso þinomà tvirtinimà.
12
2.1. Teorema. ReiðkinysP (x, y)dx+Q(x, y)dy
yra funkcijos F (x, y) pilnasis diferencialas, jei:
1) funkcijos P (x, y) irQ(x, y) kartu su savo dalinëmis iðvestinëmis ∂P∂y, ∂Q∂x
yra apibrëþtosir tolydþios kurioje nors vienkartsusijusioje plokðtumos XOY srityje,
2) visuose tos srities taðkuose teisinga lygybë∂P
∂y=∂Q
∂x.
Turint ðá tvirtinimà, nesunku sudaryti ir pilnøjø diferencialø lygties sprendimo planà:
1. Patikriname, ar funkcijos P (x, y) ir Q(x, y) kartu su savo dalinëmis iðvestinëmis ∂P∂y,
∂Q∂x
yra apibrëþtos ir tolydþios kurioje nors vienkartsusijusioje plokðtumosXOY srity-je.
2. Iðsiaiðkiname, ar visuose tos srities taðkuose galioja lygybë:∂P
∂y=∂Q
∂x.
3. Jei tenkinami pirmieji du reikalavimai, tai pagal 2.1. teoremà, egzistuoja tokia funkcijaF (x, y), kuriai teisinga lygybë:
P (x, y)dx+Q(x, y)dy = dF (x, y).
4. Ið ðios lygybës matome, kad∂F
∂x= P (x, y),
∂F
∂y= Q(x, y).
Todël toliau nagrinëjame vienà ið ðiø lygybiø pasirinktinai. Ið lygybës
∂F
∂x= P (x, y)
(∂F
∂y= Q(x, y)
)
turime, kad
F (x, y) =
∫P (x, y)dx+ φ(y)
(F (x, y) =
∫Q(x, y)dy + ψ(x)
), (2..12)
èia φ(y) � neþinoma kintamojo y funkcija (ψ(x) � neþinoma kintamojo x funkcija).
5. Gautàjà F (x, y) iðraiðkà diferencijuojame pagal y (diferencijuojame pagal x) ir prily-giname funkcijai Q(x, y) (P (x, y)), t. y. gauname lygtá
∂F
∂y= Q(x, y)
(∂F
∂x= P (x, y)
)
neþinomai funkcijai φ(y) (ψ(x)) nustatyti.
13
6. Gautà funkcijos φ(y) (ψ(x)) iðraiðkà áraðome á (2..12) lygybæ.
7. Gavome funkcijà F (x, y). Tuomet bendrasis (2..11) diferencialinës lygties sprendinysyra
F (x, y) = C.
LygtysM(x, y)dx+N(x, y)dy = 0, (2..13)
kuriø pavidalas primena pilnøjø diferencialø lygtis, o funkcijosM(x, y) ir N(x, y) kartusu savo dalinëmis iðvestinëmis ∂M
∂y, ∂N∂x
yra apibrëþtos ir tolydþios kurioje nors vienkart-susijusioje plokðtumos XOY srityje, bet
∂M
∂y6= ∂N
∂x,
gali bûti suvedamos á pilnøjø diferencialø lygtis naudojant integruojantá daugiklá. Ðiuoatveju tenka spræsti papildomà uþdaviná, t. y. nustatyti tokià funkcijà µ = µ(x, y), iðkurios padauginæ (2..13) diferencialinæ lygtá, gauname pilnøjø diferencialø lygtá
µM(x, y)dx+ µN(x, y)dy = 0,
tenkinanèià abi 2.1. teoremos sàlygas, t. y. dabar galioja lygybë
∂ (µM)
∂y=
(∂µN)
∂x,
èia µ = µ(x, y),M = M(x, y), N = N(x, y). Funkcija µ = µ(x, y) vadinama integruo-janèiu daugikliu. Diferencijuodami skaitikliø sandaugas, gauname
M∂µ
∂y+ µ
∂M
∂y= N
∂µ
∂x+ µ
∂N
∂x
arbaM∂µ
∂y−N ∂µ
∂x= µ
(∂N
∂x− ∂M
∂y
). (2..14)
Guatoji diferencialinë lygtis lengvai iðsprendþiama tik tais atvejais, kai funkcija µ yravieno kintamojo (x arba y) funkcija. Plaèiau apraðysime tà atvejá, kai µ = µ(y). Kaiµ = µ(x), integruojantá daugiklá skaitytojui siûlome nustatyti savarankiðkai.
Kai µ = µ(y), tai ∂µ∂x
= 0 ir ið (2..14) lygybës, gauname, kad
M∂µ
∂y= µ
(∂N
∂x− ∂M
∂y
).
Taèiau µ yra tik vieno kintamojo funkcija, tai ∂µ(y)∂y
= dµ(y)dy
. Tuomet
Mdµ(y)
dy= µ
(∂N
∂x− ∂M
∂y
)
14
arbadµ(y)
µ(y)=
∂N∂x− ∂M
∂y
Mdy.
Ið èia integruodami, randame, kad
ln | µ(y) |=∫ ∂N
∂x− ∂M
∂y
Mdy
arbaµ(y) = e
∫ ∂N∂x− ∂M∂y
Mdy (2..15)
Árodëme teoremà:
2.2. Teorema. Jei nagrinëjant (2..13) diferencialinæ lygtá sudarytas reiðkinys∂N∂x− ∂M
∂y
M
nepriklauso nuo x, tai (2..13) lygties integruojantis daugiklis nustatomas (2..15) formule.
2.4. Tiesinës diferencialinës lygtys. Bernulio lygtysÐiame skyrelyje nagrinësime pirmosios eilës tiesines diferencialines lygtis ir jø sprendi-mo bûdus, o jo pabaigoje aptarsime Bernulio lygtis, kurios naudojant specialø keitiná,suvedamos á tiesines diferencialines lygtis.
2.5. Apibrëþimas. Diferencialinë lygtis, kuri yra tiesinë ieðkomosios funkcijos ir jos iðvestinësatþvilgiu, vadinama pirmosios eilës tiesine diferencialine lygtimi. Bendrasis tokios lygtiespavidalas:
A(x)dy
dx+B(x)y + C(x) = 0,
èia A(x), B(x), C(x) � tolydþiosios kintamojo x funkcijos, o y = y(x).
Jeigu tam tikrame argumento x kitimo intervale A 6≡ 0, tai tuomet tiesinë lygtis galibûti uþraðoma taip:
y′ + p(x)y = f(x), (2..16)èia y′ = dy
dx, p(x) = B(x)
A(x), f(x) = −C(x)
A(x). Atskiru atveju, kai f(x) ≡ 0, turime tiesinæ ho-
mogeninæ diferencialinæ lygtá, kurios kintamuosius galime atskirti. Kadangi tokias lygtisesame iðnagrinëjæ pirmajame ðio skyriaus skyrelyje, tai èia apsiribosime tik (2..16) difer-encialiniø lygèiø analize, kai f(x) 6≡ 0. Pirmiausia aptarsime tuos atvejus, kai yra þino-mas vienas arba du atskirieji (2..16) diferencialinës lygties sprendiniai.
Tarkime, kad y1 yra atskirasis (2..16) diferencialinës lygties sprendinys. Bendrojosprendinio ieðkome pavidalu:
y = y1 + z.
Statydami ðià iðraiðkà á (2..16) diferencialinæ lygtá, turime:
y′1 + z′ + p(x)y1 + p(x)z = f(x). (2..17)
15
Prisiminkime, kad y1 yra atskirasis (2..16) diferencialinës lygties sprendinys, t. y. já áraðæá lygtá gauname tapatybæ:
y′1 + p(x)y1 = f(x)
Tuomet ið (2..17) turime:z′ + p(x)z = 0. (2..18)
O tai yra tiesinë homogeninë diferencialinë lygtis. Atskyræ kintamuosius, randame
z(x) = Ce−Rp(x)dx,
èia C � bet kuri konstanta. Tada bendrasis (2..16) diferencialinës lygties sprendinys:
y = y1 + Ce−Rp(x)dx.
Árodëme teoremà:
2.3. Teorema. Jei þinome vienà (2..16) tiesinës diferencialinës lygties atskiràjá sprendiná,tai jos bendràjá sprendiná galime iðreikðti atskirojo sprendinio ir atitinkamos tiesinës ho-mogeninës diferencialinës lygties (2..18) sprendinio suma.
2.4. Teorema. Jei þinome du atskiruosius (2..16) tiesinës diferencialinës lygties spren-dinius y1 ir y2, tai jos bendràjá sprendiná galime paraðyti taip:
y = y1 + C(y2 − y1),
èia C � bet kuri konstanta.
Ðios teoremos teisingumu skaitytojui siûlome ásitikinti savarankiðkai.Toliau apraðysime (2..16) tiesinës diferencialinës lygties sprendimo bûdus, kai atskirieji
sprendiniai neþinomi. Tiesinëms diferencialinëms lygtims spræsti gali bûti taikomi ðiemetodai:
� Lagranþo (konstantos varijavimo),
� Bernulio (keitinys y = uv),
� Oilerio (integruojanèio daugiklio).
Panagrinëkime kiekvienà ið jø.Lagranþo metodas. Ðá metodà sudaro du pagrindiniai þingsniai:
1) Sprendþiame tiesinæ homogeninæ diferencialinæ lygtá:
y′ + p(x)y = 0.
Jos sprendinys yray = Ce−
Rp(x)dx.
16
2) Darome prielaidà, kad C = C(x) (toël metodas ir vadinamas konstantos varijavimometodu). Tuomet sprendinys:
y = C(x)e−Rp(x)dx. (2..19)
Gautà sprendinio iðraiðkà diferencijuojame pagal x:
y′ = C ′(x)e−Rp(x)dx − C(x)p(x)e−
Rp(x)dx.
y ir y′ iðraiðkas ástatome á (2..16) tiesinæ diferencialinæ lygtá ir gauname:
C ′(x)e−Rp(x)dx = f(x).
Atskiriame kintamuosius ir surandame ðios diferencialinës lygties sprendiná:
C(x) =
∫f(x)e
Rp(x)dxdx.
FunkcijàC(x) áraðome á (2..19) ir turime bendràjá (2..16) diferencialinës lygties sprend-iná:
y = e−Rp(x)dx
∫f(x)e
Rp(x)dxdx.
Bernulio metodas. Ðis metodas taip pat sudarytas ið dviejø þingsniø:
1) (2..16) tiesinës diferencialinës lygties sprendinio ieðkome kaip dviejø funkcijø u =u(x) ir v = v(x) sandaugos, t. y.
y = uv, y′ = u′v + uv′
áraðome á (2..16) diferencialinæ lygtá. Turime:
u′v + uv′ + p(x)uv = f(x)
arbau′v + u (v′ + p(x)v) = f(x). (2..20)
Funkcijà v parenkame taip, kad
v′ + p(x)v = 0.
Spræsdami ðià lygtá, randamev = Ce−
Rp(x)dx.
Fiksuojame vienà funkcijà, pavyzdþiui
v = e−Rp(x)dx. (2..21)
17
2) Funkcijos v iðraiðkà áraðome á (2..20) lygtá:
u′e−Rp(x)dx = f(x),
kurià spræsdami surandame funkcijà u:
u =
∫f(x)e
Rp(x)dxdx. (2..22)
Sudauginæ (2..21) ir (2..22) funkcijø iðraiðkas, gauname bendràjá (2..16) diferencialinëslygties sprendiná:
y = e−Rp(x)dx
∫f(x)e
Rp(x)dxdx.
Oilerio metodas. Spræsdami (2..16) diferencialinæ lygtá ðiuo metodu, perraðome jà taip:
(p(x)y − f(x)) dx+ dy = 0.
Vëliau ieðkome ðios lygties integruojanèio daugiklio ir pakeièiame jà pilnøjø diferencialølygtimi, kurià iðsprendæ gausime tokià paèià sprendinio iðraiðkà, kurià gavome tiek La-granþo, tiek Bernulio metodu. Skaitytojui siûlome skaièiavimus atlikti savarankiðkai.
Á tiesines lygtis yra pertvarkomos Bernulio lygtys.
2.6. Apibrëþimas. Diferencialinë lygtis, kurios bendroji iðraiðka
y′ + p(x)y = f(x)yα, (2..23)
vadinama Bernulio lygtimi.
Kai α = 0, tai (2..23) yra tiesinë diferencialinë lygtis; kai α = 1, tai (2..23) lygtieskintamuosius galima atskirti. Visais kitais atvejais mes turime Bernulio lygtá, kuri keitiniu
z = y1−α
pertvarkoma á tiesinæ diferencialinæ lygtá. Ðio tvirtinimo teisingumu siûlome ásitikintisavarankiðkai.
2.5. Pirmosios eilës diferencialinës lygtys, neiðspræstos iðvestinës atþvil-giu
Ankstesniuose skyreliuose nagrinëjome pirmosios eilës diferencialines lygtis, kurios bu-vo iðspræstos (kurias galima iðspræsti) iðvestinës atþvilgiu. Ðiame skyrelyje nagrinësimediferencialines lygtis, kuriose laisvàjá kintamàjá x, jo funkcijà y(x) ir ðios funkcijos iðvestinæy′(x) sieja kokia nors funkcijinë priklausomybë, t. y. domësimës lygtimis, turinèiomispavidalà:
F (x, y, y′) = 0. (2..24)
18
� Nagrinëkime (2..24) diferencialines lygtis, kuriø kairës pusës funkcija yra n � tojolaipsnio daugianaris y′ atþvilgiu:
A1(x, y) (y′)n + A2(x, y) (y′)n − 1 + ...+ An−1(x, y)y′ + An(x, y) = 0.
Kaip þinome ið tiesinës algebros kurso, bendru atveju toks daugianaris turi n ðaknø.Realiosios ðaknys, remiantis teorema apie neiðreikðtines funkcijas (kai ∂F
∂y′ 6= 0),yra tolydþiosios kintamøjø x ir y funkcijos ir turi baigtinæ iðvestinæ ∂y′
∂y. Vadinasi,
spræsdami ðià diferencialinæ lygtá mes gausime k(k 6 n) realiøjø ðaknø, t. y.
y′ = f1(x, y), y′ = f2(x, y), ..., y′ = fk(x, y).
Kiekviena ið ðiø lygèiø yra pirmosios eilës diferencialinë lygtis, iðspræsta iðvestinësatþvilgiu. Tokiø lygèiø sprendimas aptartas ankstesniuose skyreliuose. Paþymëkimejø sprendinius:
Φ1(x, y, C1) = 0,Φ2(x, y, C2) = 0, ...,Φk(x, y, Ck) = 0.
Tuomet bendrasis nagrinëjamos diferencialinës lygties sprendinys bus gaunamassudauginus visus ðiuos sprendinius, kai C1 = C2 = ... = Ck = C:
Φ1(x, y, C)Φ2(x, y, C) = 0 · ... · Φk(x, y, C) = 0.
� Nagrinëkime (2..24) diferencialines lygtis, kuriose nëra laisvojo kintamojo x, ofunkcijà y galima paraðyti iðreikðtai:
y = φ(y′).
Tokias diferencialines lygtis sprendþiame naudodami keitiná
y′ = p.
Naudodami keitiná, gauname parametrinæ funkcijos iðraiðkà y = φ(p), o po to iðkeitinio surandame ir kintamojo x iðraiðkà:
dx =dy
p
arbax =
∫dy
p+ C =
∫φ′(p)p
dp+ C.
Tuomet turime parametrinæ diferencialinës lygties, kurioje nëra laisvojo kintamojox, bendrojo sprendinio iðraiðkà:
{x =
∫ φ′(p)pdp+ C,
y = φ(p).
19
� Analogiðkai nagrinëjamos ir diferencialinës lygtis, kuriose nëra funkcijos y, o xgalima paraðyti iðreikðtai:
x = ψ(y′).
Tokias diferencialines lygtis sprendþiame naudodami keitiná
y′ = p.
Naudodami keitiná, gauname parametrinæ kintamojo x iraiðkà x = ψ(p), o po to iðkeitinio surandame ir funkcijà y:
dy = pdx
arbay =
∫pdx+ C =
∫pψ′(p)dp+ C.
Tuomet turime parametrinæ diferencialinës lygties, kurioje nëra funkcijos y, ben-drojo sprendinio iðraiðkà:
{x = ψ(p),
y =∫pψ′(p)dp+ C.
� Nagrinëkime (2..24) diferencialines lygtis, neiðspræstas iðvestinës atþvilgiu, kuriosegalima iðreikðti x arba y:
x = φ(y, y′) (y = ψ(x, y′)) .
Ðiais atvejais taip pat naudojame keitiná
y′ = p.
Nagrinëkime diferencialines lygtis, kuriose galima iðreikðti x. Naudodami keitiná,turime
x = φ(y, p).
Ðià lygybæ diferencijuojame pagal y ir gauname:
dx
dy=∂φ
∂y+∂φ
∂p
dp
dy.
Áraðæ keitiná, gauname bendràjá sprendiná, paraðytà parametriðkai:{
1p
= ∂φ∂y
+ ∂φ∂p
dpdy,
x = φ(y, p).
Analogiðkai sprendþiamos diferencialinës lygtys, kuriose galima iðreikðti y. Tikðiuo atveju, diferencijuojame pagal x.
20
� Lagranþo lygtys. Tai grupë lygèiø, kurias diferencijuodami visuomet gauname lygtá,kuri integruojama kvadratûromis. Ðios grupës lygtys yra tiesinës kintamojo x irfunkcijos y atþvilgiu, t. y.
A(y′)y +B(y′)x = C(y′).
Taræ, kad A(y′) 6= 0, lygtá iðsprendþiame y atþvilgiu:
y = xφ(y′) + ψ(y′), (2..25)
èia φ(y′) 6≡ 0 (atvejá, kai φ(y′) ≡ 0, aptarsime vëliau). Paþymëkime
y′ = p. (2..26)
Tuomet (2..25) lygtá perraðome taip:
y = xφ(p) + ψ(p).
Gautàjà lygybæ diferencijuojame pagal x:
dy
dx= φ(p) + xφ′(p)
dp
dx+ ψ′(p)
dp
dx
ir prisiminæ (2..26) paþymëjimà, gauname lygtá:
p = φ(p) + (xφ′(p) + ψ′(p))dp
dx.
Laikydami, kad ðioje lygtyje x yra funkcija, o p � kintamasis, turime pirmos eilëstiesinæ diferencialinæ lygtá:
dx
dp+
φ′(p)φ(p)− px = − ψ′(p)
φ(p)− p,
kurios sprendiná Φ(x, p, C) = 0 galime rasti taikydami vienà ið bûdø, apraðytø 2.4skyrelyje. Tuomet bendrasis (2..25) Lagranþo lygties sprendinys yra:
{Φ(x, p, C) = 0,
y = xφ(p) + ψ(p).
� Klero lygtys. Tai � atskiras (2..25) Lagranþo lygèiø atvejis, kuriose φ(y′) ≡ 0.Tuomet bendrasis Klero lygties pavidalas �
y = xy′ + ψ(y′). (2..27)
Kadangi Klero lygtys � atskiras Lagranþo lygèiø atvejis, tai jø sprendimo bûdasyra analogiðkas (naudojamas (2..26) keitinys, o po to (2..27) lygtis diferencijuojamapagal x) Lagranþo lygèiø sprendimui ir gaunama lygtis:
p = p+ (x+ ψ′(p))dp
dx.
21
Jà pertvarkæ, turime:(x+ ψ′(p))
dp
dx= 0,
o, nagrinëdami kairës pusës duaginamuosius, gauname:
dp
dx= 0⇒ p = C,
x+ ψ′(p) = 0⇒ x = −ψ′(p).(2..26) keitiná statydami á (2..27) diferencialinæ lygtá ir prijungæ gautus rezultatus,turime bendràjá
y = xC + ψ(C)
ir atskiràjá (nepriklauso nuo konstantos){x = −ψ′(p),y = −pψ′(p) + ψ(p)
Klero diferencialinës lygties sprendinius. Bendrasis sprendinys yra tiesiø ðeima, oatskirojo sprendinio negalime gauti ið bendrojo sprendinio su jokia konstanta C.Todël ðis sprendinys � ypatingasis Klero lygties sprendinys.
2.6. Paprasèiausios diferencialinës lygtys uþdaviniuoseÐiame skyrelyje apibendrinsime tai, kas buvo iðdëstyta ankstesniuose skyreliuose ir pateik-sime ávairiø uþdaviniø pavyzdþiø, aptarsime jø sprendimo eigà. Taip pat nagrinësimetaikomuosius fizikos, matematikos, biologijos uþdavinius, kurie apraðomi pirmosios eilësdiferencialinëmis lygtimis.
Pirmiausia, apibendrindami ankstesniøjø skyreliø medþiagà, galime pastebëti, kadprieð pradëdami taikyti kurá nors sprendimo metodà, mes turime bûti tikri, kad jis yratinkamas. Todël spræsdami diferencialines lygtis visuomet pasitikrinkite, ar gerai supra-tote uþduotá, ar teisingai nustatëte diferencialinës lygties tipà. Juk galime lygtis, kuriøkintamieji atsiskiria, spræsti Bernulio arba Oilerio metodu. Tik negalime tvirtinti, kadtai pats tinkamiausias bûdas. Gavæ sprendiná, stenkitës ávertinti, ar jis yra geras, t. y.,kai tik yra galimybë siûlome pasitikrinti. Baigæ darbà, dar syká gráþkite prie sàlygos irásitikinkite, kad tikrai suradote tai, kà ið tikrøjø reikëjo, ávertinkite, ar sprendimo eigojenegalëjo atsirasti ypatingø sprendiniø.
Pavyzdþiai
1. Patikrinsime, ar funkcijax3 = C(x2 − y2)
yra diferencialinës lygtiesx2 − 3y2 + 2xyy′ = 0
sprendinys.SprendimasNorëdami patikrinti, ar duota funkcija yra duotos diferencialinës lygties sprendinys,
22
remiamës diferencialinës lygties sprendinio apibrëþimu. Tuo atveju, jei funkcija nëralabai sudëtinga, iðsprendþiame y, randame iðvestinæ ir viskà áraðome á duotà diferen-cialinæ lygtá. Jei gauname tapatybæ, tai sakome, kad duota funkcija yra duotos diferen-cialinës lygties sprendinys.Ðiame pavyzdyje iðsireikðti y funkcijà yra sudëtinga, todël paprasèiau yra diferenci-juoti neiðreikðtiniu pavidalu duotà funkcijà ir ið duotosios funkcijos bei jos iðvestinëssudaryti sistemà. Ið gautosios sistemos eliminavæ konstantà C, rezultatà palyginsimesu duotàja diferencialine lygtimi. Jei gausime tà paèià lygtá, tai galësime tvirtinti, kadduotoji funkcija yra duotosios diferencialinës lygties sprendinys.Diferencijuojame duotàjà funkcijà pagal x:
3x2 = C(2x− 2yy′)
ir sudarome sistemà {x3 = C(x2 − y2),
3x2 = C(2x− 2yy′).
Ið pirmosios sistemos lygties iðsprendþiame konstantà C
C =x3
x2 − y2
ir gautà iðraiðkà áraðome á antràjà sistemos lygtá:
3x2 =x3(2x− 2yy′)
x2 − y2.
Jà pertvarkæ, gaunamex2 − 3y2 + 2xyy′ = 0.
Pastaroji lygtis sutampa su sàlygoje duota lygtimi. Vadinasi duota funkcija yra duotosdiferencialinës lygties sprendinys.
2. Patikrinsime, ar funkcijax2 − xy + y2 = C2
yra diferencialinës lygties(x− 2y)y′ = 2x− y
sprendinys.SprendimasDiferencijuojame duotàjà funkcijà pagal x:
2x− y − xy′ + 2yy′ = 0.
Gavome lygtá, kurioje nëra konstantos C, todël ðiuo atveju nereikia sudaryti sprendinioir jo iðvestinës sistemos,o pakanka pertvarkyti gautàjà iðraiðkà (narius su iðvestinëmispaliekame kairëje lygybës pusëje, o kitus perkeliame á deðiniàjà):
(x− 2y)y′ = 2x− y.Gavome sàlygoje duotà diferencialinæ lygtá. Iðvada: duota funkcija yra duotosios difer-encialinës lygties sprendinys.
23
3. Patikrinsime, ar funkcijay = sin x− 1 + Ce− sinx
yra diferencialinës lygtiesy′ − y cosx =
1
2sin 2x
sprendinys.SprendimasÐiuo atveju uþdaviná galime spræsti keliais bûdais.
1) Diferencijuojame duotàjà funkcijà pagal x:
y′ = cos x− C cosxe− sinx
ir sudarome sistemà {y = sin x− 1 + Ce− sinx,
y′ = cos x− C cosxe− sinx.
Ið jos gauname, kady′ = (sin x− y) cos x
arbay′ + y cosx =
1
2sin 2x
ir darome iðvadà, kad duotoji funkcija nëra duotosios diferencialinës lygties sprendinys.2) Diferencijuojame duotàjà funkcijà pagal x:
y′ = cos x− C cosxe− sinx.
Tuomet gautà funkcijos iðvestinæ ir duotàjà fukcijà áraðome á sàlygoje duotà difer-encialinæ lygtá:
cosx− C cosxe− sinx − (sinx− 1 + Ce− sinx) cos x =1
2sin 2x
ir jà pertvarkæ gauname
−1
2sin 2x+ 2 cos x(1− e− sinx) 6= 1
2sin 2x.
Tuomet sakome, kad duotoji funkcija nëra duotosios diferencialinës lygties sprendinys.
4. Sudarysime kreiviø ðeimosy = x2 + Cx
diferencialinæ lygtá.SprendimasTokio pobûdþio uþdavininai sprendþiami analogiðkai kaip ir pirmojo pavyzdþio uþ-daviniai. Tik ðiuo atveju ið sistemos eliminavæ konstantà uþdaviná jau esame iðsprendæ.Sudarykime sistemà ið duotosios funkcijos ir jos iðvestinës
{y = x2 + Cx,
y′ = 2x+ C.
24
Ið sistemos eliminuojame konstantàC. Pavyzdþiui, ið antrosios sistemos lygties iðsprendþi-ame
C = y′ − 2x
ir áraðome á pirmàjà sistemos lygtá
y = x2 + (y′ − 2x)x.
Pertvarkæ gautàjà iðraiðkà, esame sudaræ duotosios kreiviø ðeimos diferencialinæ lygtá
y′x− y = x2.
5. Sudarysime kreiviø ðeimosx2
C2+y2
4= 1
diferencialinæ lygtá.SprendimasÐio uþdavinio sprendimas analogiðkas ankstesnio uþdavinio sprendimui. Iðdiferenci-juojame duotàjà funkcijà
2x
C2+
2yy′
4= 0
ir sudarome sistemà {x2
C2 + y2
4= 1,
2xC2 + 2yy′
4= 0.
Ið sistemos eliminavæ konstantà C, gauname duotosios kreiviø ðeimos diferencialinælygtá
−xyy′ + y2 = 4.
6. Paraðysime diferencialinæ lygtá visø apskritimø, kurie lieèia OX aðá koordinaèiø siste-mos pradþios taðke.SprendimasPirmiausia koordinaèiø plokðtumoje pavaizduokime keletà apskritimø, tenkinanèiø uþ-davinio sàlygà.Matome, kad tokiø apskritimø yra begalo daug � tiek, kiek yra taðkø OY aðyje.Kiekvieno apskritimo centras yra OY aðies taðkas,kurio koordinatës (0, C), o spin-dulys lygus C. Tuomet visi ðiame uþdavinyje nagrinëjami apskritimai yra uþraðomitokia lygtimi:
x2 + (y − C)2 = C2.
Tolesnis uþdavinio sprendimas yra analogiðkas uþdavinio, kuriame reikia paraðyti duo-tos kreiviø ðeimos diferencialinæ lygtá, sprendimui. Sudarome sistemà
{x2 + (y − C)2 = C2,
2x+ 2(y − C)y′ = 0.
25
Eliminavæ konstantà, gauname diferencialinæ lygtá
(x2 − y2)y′ = 2xy.
Tai ir yra diferencialinë lygtis visø apskritimø, kurie lieèia OX aðá koordinaèiø siste-mos pradþios taðke.
7. Tarkime, kad sniego kamuolio tirpimo greitis yra proporcingas jo pavirðiaus plotui.Sudarysime kamuolio tûrio kitimo diferencialinæ lygtá.SprendimasIð uþdavinio sàlygos þinome, kad sniego kamuolys maþëja proporcingai pavirðiaus plo-tui, t.y. maþëja kamuolio tûris. Tarkime, kad sniego kamuolys yra rutulio formos, orutulio spindulys � R. Tuomet kamuolio tûrio kitimo greitis bet kuriuo laiko momentugali bûti nustatomas tûrio funkcijos iðvestine laiko atþvilgiu, t.y. dV
dt. Taip pat þinome,
kad kamuolys maþëja proporcingai pavirðiaus plotui, o rutulio pavirðiaus plotas yralygus 4πR2. Sudarome diferencialialinæ lygtá:
dV
dt= −4kπR2,
èia k � proporcingumo koeficientas, o minuso þenklas deðinëje lygybës pusëje reiðkiatûrio maþëjimà.
8. Apibûdinsime diferencialinës lygties
y′ = −xizoklines ir pavaizduosime jas grafiðkai.SprendimasRemdamiesi izoklinës apibrëþimu, paraðome izokliniø lygtis:
−x = k
arbax = −k,
èia k ∈ R � bet kokia konstanta. Taigi nagrinëjamos diferencialinës lygties izoklinësyra tiesës, lygiagreèios OY aðiai. Grafinis izokliniø vaizdas pateiktas 2 paveikslëlyje.
9. Nubraiþysime diferencialinës lygties
y′ = −xkrypèiø laukà.SprendimasNorëdami nubraiþyti diferencialinës lygties krypèiø laukà pirmiausia pavaizduojameizoklines, o tada kiekvienoje izoklinëje galime paþymëti integralinës kreivës liestinëskryptá. Ðio uþdavinio izoklinës, kaip iðsiaiðkinome ankstesniame pavyzdyje, yra tiesës
x = −k.
26
Kiekvienai fiksuotai k reikðmei mes turime atskirà tiesæ ir toje tiesëje galime paþymëtiliestinës kryptá
α = arctg k.
Tokiu bûdu tiesëje x = −1 kiekviename taðke paþymime liestinës kryptis α = 45◦,o, pavyzdþiui kiekviename tiesës x = 2 taðke � α = arctg(−2) ≈ −63◦. Paþymëjækryptis kiekvienoje izoklinëje turime diferencialinës lygties krypèiø laukà (xx pav.)
10. Nubraiþysime diferencialinës lygtiesy′ = x2 + y2
krypèiø laukà ir pavaizduosime jame Koði uþdavinioy(0) = 0
sprendiná.SprendimasKrypèiø laukà sudarome lygiai taip pat, kaip ir ankstesniajame pavyzdyje (xx pav.)Norëdami paveikslëlá papildyti atskirojo sprendinio (Koði uþdavinio) grafiku, paþymimekrypèiø lauke taðkà (0, 0) ir atsiþvelgdami á paþymëtà krypèiø laukà apytiksliai nubrëþi-ame to sprendinio grafikà (xx pav.).
11. Atskirdami kintamuosius iðpræsime diferencialines lygtis:
1)y′ = 3x2,
2)yy′ = x,
3)xy′ = ytg ln y,
4)xy′ − y3 − y = 0,
5)y′ sinx = y ln y, y
(π2
)= 1.
Sprendimas
1) Kadangi duota diferencialine lygtimi yra uþraðyta funkcijos y = y(x) iðvestinë, kuripriklauso tik nuo x, tai paèià funkcijà rasime integruodami duotàjà lygtá pagal x:
∫y′dx =
∫3x2dx.
Suintegravæ kairiàjà ir deðiniàjà lygybës puses, turimey = x3 + C.
Tai ir yra duotosios diferencialinës lygties sprendinys.
27
2) Prisiminæ, kady′ =
dy
dx,
duotàjà diferencialinæ lygtá perraðome taip:
ydy
dx= x
ir atskiriame kintamuosiusydy = xdx.
Integruodami gautàjà lygybæ, randame diferencialinës lygties benfràjá sprendiná
y2
2=x2
2+ C,
kurá galime perraðyti taip:y2
2− x2
2= C.
3) Analogiðkai kaip ir ankstesniajame pavyzdyje, atskiriame kintamuosiusdy
ytg ln y=dx
x,
o bendrojo sprendinio ieðkome integruodami lygybæ
d(ln y)
tg ln y=dx
x.
Paþymëkime ln y = u, o tada tgu pakeiskime santykiu sinucosu
:
cosudu
sinu=dx
x.
Kadangi cosudu = d(sinu), tai turime
d(sinu)
sinu=dx
x,
o ið èialn | sinu |= ln | x | + ln | C | .
Pritaikæ logartimø savybes sprendiná uþraðome taip:
sinu = Cx.
Gráþæ prie y funkcijos, turime
sin ln y = Cx
arbay = earcsinCx.
Tai ir yra bendrasis duotosios diferencialinës lygties sprendinys.
28
4) Spræsdami ðià lygtá pirmiausia perraðykime jà taip, kad x ir jo funkcija y bûtøskirtingose lygybës pusëse:
xy′ = y3 + y,
o tada atskirkime kintamuosiusdy
y3 + y=dx
x
ir integruokime gautàjà lygybæ∫
dy
y3 + y=
∫dx
x.
Atskirai suintegruokime kairëje lygybës pusëje esantá integralà∫
dy
y3 + y.
Pointegralinæ funkcijà iðdëstome elementariøjø trupmenø su neapibrëþtais koefi-cientais suma, t. y.
1
y3 + y=A
y+By + C
y2 + 1.
Sudarome tiesiniø lygèiø sistemà neapibrëþtiesiems koeficientams nustatyti
A+B = 0,
C = 0,
A = 1.
.
Ið jos randame, kadA = 1, B = −1, C = 0.
Tuomet nagrinëjamà integralà iðdëstome integralø suma ir suintegruojame:∫
dy
y3 + y=
∫dy
y−∫
ydy
y2 + 1=
∫dy
y−1
2
∫d(y2 + 1)
y2 + 1= ln | y | −1
2ln | y2+1 |
Gráþtame prie integralinës lygybës ir paraðome bendràjá diferencialinës lygties sprend-iná
ln | y√y2 + 1
|= ln | x | +ln | C | .
Remdamiesi logaritmø savybëmis, turime
Cx =y√y2 + 1
.
5) Ðiame pavyzdyje yra pateiktas Koði uþdavinys. Todël pirmiausia turësime surastibendràjá duotosios diferencialinës lygties sprendiná, o vëliau � atskiràjá sprnediná,
29
tenkinantá pradinæ sàlygà. Bendrojo sprendinio ieðkome atskirdami kintamuosius irintegruodami ∫
dy
y ln y=
∫dx
sinx.
Atskirai apskaièiuokime kairëje ir deðinëje lygybës pusëse esanèius integralus:∫
dy
y ln y=
∫d(ln y)
ln y= ln | ln y |,
∫dx
sinx=
∫sinxdx
sin2 x= −
∫d(cos x)
1− cos2 x= −1
2ln | 1− cosx
1 + cos x|= ln
√1 + cos x
1− cosx.
Tuomet bendrasis sprendinys �
ln | ln y |= ln
√1 + cos x
1− cosx+ ln | C |
arbaln y = C
√1 + cos x
1− cosx.
Dabar surasime pradinæ sàlygà tenkinantá atskiràjá uþdavinio sprendiná. Ið Koðisàlygos, x = π
2ir y = 1 áraðome á bendrojo sprendinio iðraiðkà ir gauname, kad
C = 0. Tuomet gautàjà C reikðmæ áraðome á bendràjá sprendiná:
ln y = 0.
Tiesëy = 1
yra atskirasis duotosios diferencialinës lygties sprendinys, tenkinantis pradinæ sà-lygà.
Oro pasiprieðinimas.Populiacijos augimas tankiai gyvenamoje aplinkoje.Cheminës reakcijos greitis.Funkcijos grafiko liestinës.Ákaitinto kûno auðimas.
30
SAVARANKIÐKO DARBO UÞDUOTYS
31
3. AUKÐTESNIØJØ EILIØ DIFERENCIALINËS LYGTYS
Ðiame skyriuje mes kalbësime apie aukðtesniøjø eiliø diferencialines lygtis, t. y. gráðimeprie bendrosios n � tosios eilës diferencialinës lygties iðraiðkos
F(x, y(x), y′(x), y′′(x), ...y(n)(x)
)= 0, (3..1)
èia F � visø savo argumentø atþvilgiu tolydi funkcija. Tuo atveju, jei þinome pradinesreikðmes
x = x0, y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, y
′′(x0) = y′′0 , ..., y(n)(x0) = y
(n)0
ir tenkinamos teoremos apie neiðreikðtinæ funkcijà sàlygos
F(x0, y(x0), y′(x0), y′′(x0), ...y(n)(x0)
)= 0,
(∂F
∂y(n)
)
x=x0,y=y0,y′=y′0,...,y(n)=y(n)0
6= 0,
(3..1) diferencialinæ lygtá mes galime iðspræsti y(n) atþvilgiu, t. y.
y(n) = f(x, y, y′, ..., y(n−1)). (3..2)
(3..2) diferencialinës lygties sprendinio egzistavimo ir vienaties árodymas gaunamas n �tosios eilës diferencialinæ lygtá keièiant n pirmosios eilës diferencialiniø lygèiø sistema.Tokio pakeitimo ir sprendiniø klausimus nagrinësime vëlesniame skyriuje. Ðiame skyriu-je mes laikysime, kad tam tikroje srityje egzistuoja vienintelis (3..2) diferencialinës lygtiessprendinys, kuris priklauso nuo n konstantø:
y = φ(x,C1, C2, ..., Cn).
Jeigu sprendinys uþraðomas x, y ir konstantø C1, C2, ..., Cn funkcija
Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0,
tai já vadiname bendruoju (3..2) diferencialinës lygties integralu.Toliau ðiame skyriuje nagrinësime tik atskirus (3..1) diferencialinës lygties atvejus, t.
y. lygtis, kurios gali bûti pakeistos þemesnës eilës diferencialinëmis lygtimis.
3.1. Lygtys, kuriø eilë gali bûti sumaþintaÐiame skyrelyje iðskirsime n � tosios eilës diferencialiniø lygèiø grupes, kuriø eilæ galimasumaþinti, o po to spræsti integruojant.
� Lygtys, turinèios pavidalày(n) = f(x).
Tokio pobûdþio lygtys sprendþiamos prisiminus, kad
y(n) =dy(n−1)
dx.
32
Tuomet integruojame lygtády(n−1)
dx= f(x)
ir turimey(n−1) =
∫f(x)dx+ C1.
Prisiminæ, kady(n−1) =
dy(n−2)
dx,
tæsdami procesà, randame
y(n−2) =
∫ (∫f(x)dx+ C1
)+ C2
ir t. t., kol apskaièiuojame
y = φ(x,C1, C2, ..., Cn).
� Lygtys, kuriose nëra funkcijos y arba laisvojo kintamojo x. Pirmiausia aptarsimelygtis, kuriose nëra y ir funkcijos iðvestiniø y′, y′′, ..., y(k−1), t. y.
F(x, y(k), y(k+1), ...y(n)
)= 0. (3..3)
Paþymëjæy(k) = z,
(3..3) diferencialinës lygties eilæ sumaþiname k kartø. Gautoji lygtis
F(x, z, z′, ...z(n−k)
)= 0
bendru atveju gali bûti neintegruojama kvadratûromis. Taèiau, jei pavyksta jà iðspræstiir surasti bendràjá integralà
Φ(x, z, C1, C2, ..., Cn−k) = 0,
vëliau tenka spræsti ankstesniame atvejyje aptartà diferencialinæ lygtá:
Φ(x, y(k), C1, C2, ..., Cn−k) = 0,
kurià iðsprendæ ir gausime (3..3) diferencialinës lygties bendràjá integralà.Tuo atveju, kai lygtyje nëra x, turime
F(y, y′, y′′, ...y(n)
)= 0. (3..4)
Tokios lygtys sprendþiamos ávedant naujà funkcijà p = p(y):
dy
dx= p.
33
Tuomety′′ =
dp
dx=dp
dy
dy
dx= p
dp
dy,
y′′′ =dy′′
dx=d(pdpdy
)
dy
dy
dx= p
(pd2p
dy2+
(dp
dy
)2)
= p2d2p
dy2+ p
(dp
dy
)2
,
o (3..4) lygtis pakeièiama lygtimi:F1
(y, p, p′, p′′, ...p(n−1)
)= 0.
Jei pavyksta tokià lygtá iðspræsti, tai turime bendràjá jos integralàΦ(y, p, C1, C2, ..., Cn−1) = 0
ir norint surasti (3..4) lygties bendràjá integralà dar tenka spræsti pirmosios eilësdiferencialinæ lygtá:
Φ
(y,dy
dx, C1, C2, ..., Cn−1
)= 0.
� Kai (3..1) lygties kairës pusës funkcija F(x, y, y′, y′′, ...y(n)
)yra kokios nors funkci-
jos Φ(x, y, y′, ..., y(n−1)) iðvestinë pagal x, t. y.
F(x, y, y′, y′′, ...y(n)
)=
d
dxΦ(x, y, y′, ..., y(n−1)),
tai tuomet turime, kadΦ(x, y, y′, ..., y(n−1)) = C.
Gautosios lygties eilë yra vienu vienetu þemesnë uþ pradinës diferencialinës lygtieseilæ. Vadinasi, ðiuo atveju pavyko sumaþinti diferencialinës lygties eilæ.
� (3..1) diferencialinës lygties eilæ galima sumaþinti, jei kairës pusës funkcija yra ho-mogeninë:
1) jei F homogeninë y, y′, y′′, ..., y(n) atþvilgiu, t. y. visiems tF(x, ty, ty′, ty′′, ...ty(n)
)= tmF
(x, y, y′, y′′, ...y(n)
),
tai lygties eilæ sumaþinsime vienu vienetu naudodami keitináy = e
Rzdx,
èia z � nauja neþinoma funkcija.2) jei F homogeninë x, y, dx, dy, d2y, ..., dny atþvilgiu, t. y. (3..1) diferencialinæ
lygtá galime perraðyti taipΦ(x, y, dx, dy, d2y, ...dny
)= 0,
kad visiems t galiotø:Φ(tx, ty, tdx, tdy, td2y, ...tdny
)= tmΦ
(x, y, dx, dy, d2y, ...dny
).
Tokio pobûdþio lygties eilæ sumaþinsime vienu vienetu naudodami keitiná,kuriuo ávedami nauji kintamieji ξ ir z:
x = eξ, y = zeξ.
34
3.2. Tiesinës aukðtesniøjø eiliø diferencialinës lygtysÐiame skyrelyje supaþindinsime su pagrindinëmis sàvokomis ir bendràja tiesiniø diferen-cialiniø lygèiø teorija. Kituose skyreliuose bus nagrinëjami atskiri tokiø lygèiø atvejai.3.1. Apibrëþimas. n � tosios eilës diferencialinë lygtis vadinama tiesine, jei ji yra tiesinëfunkcijos y ir visø jos iðvestiniø y′, y′′, ..., y(n) atþvilgiu. Bendrasis n � tosios eilës tiesinësdiferencialinës lygties pavidalas yra
f0y(n) + f1y
(n−1) + ...+ fn−1y′ + fny = fn+1,
èia fi = fi(x), i = 0, 1, ..., n+ 1 � tolydþiosios argumento x funkcijos.Jei funkcija f0(x) argumento kitimo srityje nëra tapatingai lygi 0, tai ið jos padalijæ
lygtá, gausime n � tosios eilës tiesinæ diferencialinæ lygtá, kurios koeficientas prie aukðèi-ausios iðvestinës lygus 1:
y(n) + p1y(n−1) + ...+ pn−1y
′ + pny = f(x), (3..5)
èia pi = pi(x), i = 1, 2, ..., n ir f(x) � þinomos tolydþiosios x funkcijos.3.2. Apibrëþimas. (3..5) diferencialinë lygtis vadinama n � tosios eilës tiesine nehomoge-nine diferencialine lygtimi.3.3. Apibrëþimas. (3..5) diferencialinë lygtis, kurios deðinës pusës funkcija tapatingai lygi0 (f(x) ≡ 0), t. y.
y(n) + p1y(n−1) + ...+ pn−1y
′ + pny = 0, (3..6)vadinama n � tosios eilës tiesine homogenine diferencialine lygtimi.3.4. Apibrëþimas. Jeigu (3..6) lygtis turi tuos paèius koeficientus kaip ir (3..5) lygtis, taiji vadinama homogenine lygtimi, atitinkanèia (3..5) nehomogeninæ lygtá.
Lygtyje (3..5) keisdami laisvàjá kintamàjá x bet kuria tolydþiàja kintamojo t funkcijax = φ(t), gausime vël tiesinæ lygtá.
Lygtyje (3..5) keisdami funkcijà y tiesine iðraiðka y = α(x)u+β(x), kurioje u � naujafunkcija, o α(x)(α(x) 6= 0) ir β(x) turi tolydþiàsias iðvestines iki n � tosios eilës imtinai,gausime vël tiesinæ lygtá.
Dabar plaèiau aptarsime (3..6) diferencialines lygtis ir jø sprendinius.3.1. Teorema. Jei funkcijos y1 ir y2 yra (3..6) diferencialinës lygties sprendiniai, tai ir jøsuma y1 + y2 yra sprendinys.Árodymas. Dviejø sprendiniø sumà y1 + y2 áraðome á (3..6) diferencialinës lygties kairiàjàpusæ:
(y1 + y2)(n) + p1(y1 + y2)(n−1) + ...+ pn−1(y1 + y2)′ + pn(y1 + y2) =
(y(n)1 + p1y
(n−1)1 + ...+ pn−1y
′1 + pny1) + (y
(n)2 + p1y
(n−1)2 + ...+ pn−1y
′2 + pny2) = 0,
nes y1 ir y2 yra (3..6) diferencialinës lygties sprendiniai(y
(n)1 + p1y
(n−1)1 + ...+ pn−1y
′1 + pny1 = 0 ir y
(n)2 + p1y
(n−1)2 + ...+ pn−1y
′2 + pny2 = 0
).
Taigi, gavome, kad ir suma y1 + y2 yra (3..6) diferencialinës lygties sprendinys.
35
3.2. Teorema. Jei funkcija y1 yra (3..6) diferencialinës lygties sprendinys, tai ir funkcijaCy1, èia C � bet kuri konstanta, yra (3..6) sprendinys.
Ið ðiø dviejø teoremø galime gauti tokias iðvadas:
Iðvada 3..1. Jei turime k (3..6) diferencialinës lygties sprendiniø, tai ir jø tiesinë kombi-nacija
C1y1 + C2y2 + ...+ Ckyk
yra (3..6) diferencialinës lygties sprendinys.
Iðvada 3..2. Jei turime n (3..6) diferencialinës lygties sprendiniø, tai jø tiesinë kombinacija
y = C1y1 + C2y2 + ...+ Cnyn (3..7)
yra (3..6) diferencialinës lygties bendrasis sprendinys.
Dar lieka neaiðku, kokios turi bûti funkcijos y1, y2, ..., yn, kad (3..7) bûtø bendrasis(3..6) diferencialinës lygties sprendinys. Èia reikëtø prisiminti tiesiðkai nepriklausomøfunkcijø sàvokà.
3.5. Apibrëþimas. Funkcijos y1, y2, ..., yn, apibrëþtos intervale [a, b], vadinamos tiesiðkainepriklausomomis tame intervale, jei lygybë
α1y1 + α2y2 + ...+ αnyn = 0 (3..8)
galima tik tuo atveju, kai visos konstantos αi = 0, i = 1, 2, ..., n.
Prieðinguoju atveju (kai tarp konstantø αi yra bent viena nelygi 0 ), funkcijos y1, y2, ...,yn vadinamos tiesiðkai priklausomomis intervale [a, b]. Pavyzdþiui, intervale (−∞,+∞)tiesiðkai nepriklausomos yra funkcijos 1, x, x2, ..., xn.
Tarkime, kad turime n funkcijø y1, y2, ..., yn, kurios intervale (a, b) yra diferencijuo-jamos (n− 1) kartà. Tuomet galime sudaryti ðiø funkcijø Vronskio determinantà:
W [y1, y2, . . . , yn] =
∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y2 . . . yny′1 y′2 . . . y′n. . . . . . . . . . . .
y(n−1)1 y
(n−1)2 . . . y
(n−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣. (3..9)
Tuomet tiesiðkai nepriklausomoms funkcijoms teisingi ðie du tvirtinimai:
3.3. Teorema. Jei funkcijos y1, y2, ..., yn, apibrëþtos intervale [a, b] yra tiesiðkai nepriklau-somos, tai jø Vronskio determinantas yra nelygus nuliui kiekviename to intervalo taðke,t. y.
W [y1, y2, . . . , yn] 6= 0.
3.4. Teorema. Jei funkcijos y1, y2, ..., yn, apibrëþtos intervale [a, b] yra tiesiðkai priklau-somos, tai jø Vronskio determinantas yra lygus nuliui:
W [y1, y2, . . . , yn] = 0.
36
Apibrëðime (3..6) diferencialinës lygties fundamentaliosios sprendiniø sistemos sà-vokà.
3.6. Apibrëþimas. Bet kuris n tiesiðkai nepriklausomø atskirøjø (3..6) diferencialinëslygties sprendiniø rinkinys vadinamas (3..6) diferencialinës lygties fundamentaliàja spren-diniø sistema.
Prisiminæ aukðèiau suformuluotas teoremas, galime tvirtinti, kad Vronskio determi-nantas, sudarytas ið n tiesiðkai nepriklausomø atskirøjø (3..6) diferencialinës lygties spren-diniø yra nelygus nuliui. Be to, bet kuri (3..6) diferencialinë lygtis turi savo fundamen-taliàjà sprendiniø sistemà. Taigi, dabar jau turime atsakymà á klausimà, kokios turi bûtifunkcijos y1, y2, ..., yn, kad (3..7) bûtø bendrasis (3..6) diferencialinës lygties sprendinys.Tos funkcijos turi sudaryti fundamentaliàjà (3..6) diferencialinës lygties sprendiniø sis-temà. Dar pateiksime keletà svarbiø faktø:
� jei dvi (3..6) pavidalo diferencialinës lygtys turi tà paèià fundamentaliøjø sprendiniøsistemà, tai jos yra ekvivalenèios,
� prisiminæ 3.1 skyrelyje iðdëstytà medþiagà, mes galime tvirtinti, kad keitiniu
y = eRzdx,
vienu vienetu galime sumaþinti (3..6) lygties eilæ, nes jos kairës pusës funkcija yrahomogeninë y, y′, y′′, ..., y(n) atþvilgiu. Taèiau praktiniuose skaièiavimuose tokspakeitimas retai taikomas.
Iki ðiol visà dëmesá skyrëme tik aukðtesniøjø eiliø tiesinëms homogeninëms diferencial-inëms lygtims. Dabar trumpai aptarsime ir (3..5)nehomogenines lygtis bei jø sprendiniøsavybes.
3.5. Teorema. Jei þinomas atskirasis (3..5)nehomogeninës lygties sprendinys Y ir bendra-sis jà atitinkanèios homogeninës lygties (3..6) sprendinys yh, tai bendrasis nehomogeninëslygties sprendinys yra lygus tø sprendiniø sumai, t. y.
y = Y + yh.
3.6. Teorema. Jei þinoma (3..5)nehomogeninæ lygtá atitinkanèios homogeninës lygties(3..6) fundamentalioji sprendiniø sistema, tai bendràjá nehomogeninës lygties sprendinágalima iðreikðti kvadratûromis.
Ðia teorema remiasis Lagranþo (konstantos varijavimo) metodas, kuris taikomas ieðkant(3..5) nehomogeninës lygties bendrojo sprendinio. Trumpai apibûdinsime ðá metodà.
Jei turime (3..5)nehomogeninæ lygtá atitinkanèios homogeninës lygties (3..6) funda-mentaliàjà sprendiniø sistemà, tai jos bendràjá sprendiná galime uþraðyti (3..7) iðraið-ka. Lagranþo metodo pagrindinë idëja: nehomogeninës lygties bendràjá sprendiná reikiauþraðyti analogiðka iðraiðka, bet su konstantomis, kurios priklauso nuo laisvojo kintamojox, t. y.
y = C1(x)y1 + C2(x)y2 + · · ·+ Cn(x)yn. (3..10)
37
Neþinomos funkcijos Ci(x) nustatomos ið tiesiniø lygèiø sistemos, kuri sudaroma nu-osekliai diferencijuojant (3..10) pagal x ir reikalaujant, kad gautø iðraiðkø dalis, kuriojeyra funkcijø Ci(x), i = 1, 2, . . . , n iðvestinës, bûtø lygi nuliui. Diferencijuodami (3..10)pagal x turësime:
y′ = C1(x)y′1 + C2(x)y′2 + · · ·+ Cn(x)y′n + C ′1(x)y1 + C ′2(x)y2 + · · ·+ C ′n(x)yn,
o, prilyginæ nuliui iðraiðkos dalá su funkcijø Ci(x), i = 1, 2, . . . , n iðvestinëmis, turimepirmàjà sistemos lygtá:
C ′1(x)y1 + C ′2(x)y2 + · · ·+ C ′n(x)yn = 0.
Tuomety′ = C1(x)y′1 + C2(x)y′2 + · · ·+ Cn(x)y′n.
diferencijuojame pagal x ir prilyginæ nuliui iðraiðkos dalá su funkcijøCi(x), i = 1, 2, . . . , niðvestinëmis, turime dar vienà tiesiniø lygèiø sistemos lygtá:
C ′1(x)y′1 + C ′2(x)y′2 + · · ·+ C ′n(x)y′n = 0.
Tokiu bûdu nuosekliai diferencijuojant (n − 1) kartà (3..10) sprendiná pagal x gaunama(n−1) sistemos lygtis, o dar viena lygtis gaunama (3..10) sprendiná áraðius á (3..5)diferencialinælygtá. Gauname tiesiniø lygèiø sistemà, kurios neþinomieji yraC ′i(x), i = 1, 2, . . . , n. Ðiostiesiniø lygèiø sistemos determinantas yra Vronskio determinantas, kuris nelygus nuliui,t. y. tokia sistema turës vienintelá sprendiná � funkcijø C ′i(x), i = 1, 2, . . . , n rinkiná. Vad-inasi, bûsime suradæ ir bendràjá (3..5)nehomogeninës diferencialinës lygties sprendiná.
Tolesniuose skyreliuose aptarsime atskirus (3..6) ir (3..5) diferencialiniø lygèiø atvejusir jø bendruosius sprendinius.
3.2.1. Tiesinës homogeninës diferencialinës lygtys su pastoviais koeficientais
Ðiame skyrelyje nagrinësime (3..6) tiesines homogenines diferencialines lygtis, kuriosekoeficientai pi, i = 1, 2, . . . , n prie neþinomos funkcijos ir jos iðvestiniø yra realiosioskonstantos. Tokios lygties sprendininiø ieðkome tarp funkcijø, kuriø iðvestinës nuo paèiosfunkcijos skiriasi tik konstanta. Toká reikalavimà tenkina funkcija
y = erx. (3..11)
Ðià funkcijà diferencijuojame n kartø ir gautas iðraiðkas áraðome á (3..6) diferencialinælygtá:
erx(rn + p1r
(n−1) + · · ·+ pn−1r + pn)
= 0.
Kadangi erx 6= 0, tai turime, kad
rn + p1r(n−1) + · · ·+ pn−1r + pn = 0. (3..12)
Ði lygtis vadinama charakteringàja lygtimi. Bendru atveju, ji turi n ðaknø. Lygties ðaknysgali bûti tiek realiosios, tiek kompleksinës; gali bûti kartotiniø ðaknø. Aptarsime kiekvienàið ðiø atvejø atskirai.
38
Tuo atveju, kai visos (3..12) charakteringosios lygties ðaknys yra realiosios ir skirtin-gos, turime n funkcijø:
y1 = er1x, y2 = er2x, . . . , yn = ernx, (3..13)
kurios sudaro fundamentaliàjà (3..6) diferencialinës lygties su pastoviais koeficientaissprendiniø sistemà (patikrinkite savarankiðkai). Tuomet, remdamiesi ankstesniojo skyre-lio medþiaga, galime paraðyti bendràjá sprendiná:
y = C1er1x + C2e
r2x + · · ·+ Cnernx,
èia Ci, i = 1, 2, . . . , n � bet kurios konstantos.Jei charakteringoji lygtis su realiaisiais koeficientais turi kompleksinæ ðakná, tai, kaip
þinome ið algebros kurso, ir jai jungtinis kompleksinis skaièius bus charakteringosioslygties ðaknis. Vadinasi ir ðiuo atveju bendrojo sprendinio iðraiðka bûtø tokia pati, kaip irrealiøjø ðaknø atveju, bet tarp yi, i = 1, 2, . . . , n bûtø funkcijos
yk = e(a+bi)x, yj = e(a−bi)x.
Taèiau bendrojo sprendinio iðraiðkoje patogiau turëti realiuosius sprendinius. Prisiminkime3.1., 3.2. teoremas, kurios leidþia ðiuos du atskiruosius sprendinius, atitinkanèius kom-pleksiniø ðaknø porà, pakeisti tokiais sprendiniais:
yk =1
2(yk + yj) , yj =
1
2i(yk − yj) . (3..14)
Ðios funkcijos yra tiesiðkai nepriklausomos, todël ir toliau sprendiniai y1, y2, . . . , yn su-daro fundamentaliàjà sprendiniø sistemà. Be to, remdamiesi Oilerio formulëmis
cosx =1
2
(eix + e−ix
), sinx =
1
2i
(eix − e−ix) ,
pertvarkæ (3..14) sprendiniø iðraiðkas, turime, kad
yk = eax cos bx, yj = eax sin bx. (3..15)
Tuomet tais atvejais, kai charakteringoji lygtis turi ir kompleksiniø ðaknø, kiekvienà jøporà atitinka (3..15)funkcijø pora, o realiàsias ðaknis atitinkanèios funkcijos uþraðomospagal (3..13), t. y. bendrasis (3..6) diferencialinës lygties sprendinys yra
y = C1er1x + C2e
r2x + · · ·+ Ck−1erk−1x + Cke
ax cos bx+ Ck+1erk+1x + · · ·+
Cj−1erj−1x + Cje
ax sin bx+ Cj+1erj+1x + · · ·+ Cne
rnx.
Dabar aptarsime tuos atvejus, kai charakteringoji lygtis turi kartotiniø ðaknø (realiøjøarba kompleksiniø).
Jei kurios nors charakteringosios lygties realiosios ðaknies rj kartotinumas yra α, taituomet turime tik (n − α) skirtingø ðaknø. Kaip jau þinome, norëdami uþraðyti ben-dràjá (3..6) diferencialinës lygties sprendiná, turime turëti jos funkdamentaliàjà sprendiniø
39
sistemà. Vadinasi, ðiuo atveju kartotinæ ðakná turëtø atitikti α tiesiðkai nepriklausomøfunkcijø rinkinys. Toká rinkiná gauname naudodami tiesiðkai nepriklausomø funkcijø
1, x, x2, . . . , xα−1
rinkiná, t. y. kartotinæ ðakná atitinka tokia atskirøjø sprendiniø sistema:
yj0 = erjx, yj1 = xerjx, . . . , yjα−1 = xα−1erjx. (3..16)
Bendràjá sprendiná uþraðome atsiþvelgdami á aukðèiau aptartus ðaknø atvejus ir á jo iðraiðkàátraukdami (3..16) pavidalo funkcijas.
Jei kartotinë (α kartotinumo) yra kompleksinë charakteringosios lygties ðaknis, tai topaties kartotinumo yra ir jungtinë kompleksinë charakteringosios lygties ðaknis. Kaip irkartotiniø realiøjø ðaknø atveju, kiekvienai jø teks priskirti po α tiesiðkai nepriklausomøfunkcijø, t. y.
yj0 = eax cos bx, yj1 = xeax cos bx, . . . , yjα−1 = xα−1eax cos bx,
yk0 = eax sin bx, yk1 = xeax sin bx, . . . , ykα−1 = xα−1eax sin bx.
Bendrasis sprendinys uþraðomas analogiðkai, kaip ir kartotiniø realiøjø ðaknø atveju.
3.2.2. Tiesinës nehomogeninës diferencialinës lygtys su pastoviais koeficientais
Ðiame skyrelyje nagrinësime (3..5) tiesines nehomogenines diferencialines lygtis
y(n) + p1y(n−1) + ...+ pn−1y
′ + pny = f(x), (3..17)
kuriose koeficientai pi, i = 1, 2, . . . , n prie neþinomos funkcijos ir jos iðvestiniø yra re-aliosios konstantos. Naudodamiesi 3.2 skyrelyje suformuluotomis 3.5., 3.6.teoremomis,mes jau þinome, kad nagrinëjamos nehomogeninës diferencialinës lygties bendràjá sprend-iná galime iðreikðti kvadratûromis. Ðiame skyrelyje aptarsime atskirus atvejus, kai atskiràjásprendiná Y galima rasti neapibrëþtøjø koeficientø metodu. Pirmiausia, aptarsime (3..17)diferencialinës lygties bendrojo sprendinio iðraiðkà, jei deðinës pusës funkcija yra uþraðytakeliø funkcijø suma, t. y.
f(x) = f1(x) + f2(x) + · · ·+ ft(x), t ∈ N. (3..18)
Tokiais atvejais bendrasis sprendinys uþraðomas remiantis tokia teorema:
3.7. Teorema. Jei (3..17) diferencialinës lygties deðinës pusës funkcija yra nustatoma (3..18)lygybe, tai tokios lygties bendrasis sprendinys yra funkcija
y = yh + Y1 + Y2 + ...+ Yt,
èia yh � yra (3..17) lygtá atitinkanèios homogeninës lygties sprendinys, o Yi, i = 1, 2, . . . , t� nehomogeniniø lygèiø
y(n) + p1y(n−1) + ...+ pn−1y
′ + pny = fi(x), i = 1, 2, . . . , t. (3..19)
atskirieji sprendiniai.
40
Nustatyti nehomogeninæ diferencialinæ lygtá atitinkanèios homogeninës lygties sprend-iná jau mokame. Ðis klausimas nagrinëtas ankstesniame skyrelyje. Dabar aptarsime, kaipgalima nustatyti 3.7. teoremoje minimus atskiruosius sprendinius. Aptarsime tik paprasèi-ausius atvejus, kai atskirieji sprendiniai gali bûti nustatomi neapibrëþtiniø koeficientømetodu:
� Kai (3..17) diferencialinëje lygtyjefi(x) = ekxPm(x),
èia Pm(x) � m � tojo laipsnio daugianaris (m > 0), o k ∈ R. Tuomet galimi duatvejai:
1) kai skaièius k nëra (3..17) diferencialinës lygties charakteringosios lygties ðak-nis, tai atskirasis sprendinys yra
Yi = ekxQm(x), (3..20)èia Qm(x) � to paties laipsnio daugianaris kaip ir Pm(x) su neapibrëþtaiskoeficientais. Daugianario koeficientai nustatomi (3..21) atskiràjá sprendinááraðant á (3..17) diferencialinæ lygtá su atitinkama deðinës pusës funkcija (fi(x)).
2) kai skaièius k yra α kartotinumo (3..17) diferencialinës lygties charakteringo-sios lygties ðaknis, tai atskirasis sprendinys yra
Yi = xαekxQm(x), (3..21)èia Qm(x) � to paties laipsnio daugianaris kaip ir Pm(x) su neapibrëþtaiskoeficientais. Daugianario koeficientai nustatomi (3..21) atskiràjá sprendinááraðant á (3..17) diferencialinæ lygtá su atitinkama deðinës pusës funkcija (fi(x)).
� Kai (3..17) diferencialinëje lygtyjefi(x) = eax (Pm(x) cos bx+ Sl(x) sin bx) ,
èia Pm(x) ir Sl(x) � yra atitinkamaim � tojo ir l � tojo laipsnio daugianariai (m >0, l > 0), o a, b ∈ R. Tuomet galimi du atvejai:
1) kai skaièius a± bi nëra (3..17) diferencialinës lygties charakteringosios lygtiesðaknis, tai atskirasis sprendinys yra
Yi = eax (Rq(x) cos bx+ Tq(x) sin bx) , (3..22)èiaRq(x) ir Tq(x) � q = maxm, l laipsnio daugianariai su neapibrëþtais koefi-cientais. Daugianariø koeficientai nustatomi (3..23) atskiràjá sprendiná áraðantá (3..17) diferencialinæ lygtá su atitinkama deðinës pusës funkcija (fi(x)).
2) kai skaièius a ± bi yra α kartotinumo (3..17) diferencialinës lygties charak-teringosios lygties ðaknis, tai atskirasis sprendinys yra
Yi = xαeax (Rq(x) cos bx+ Tq(x) sin bx) , (3..23)èiaRq(x) ir Tq(x) � q = maxm, l laipsnio daugianariai su neapibrëþtais koefi-cientais. Daugianariø koeficientai nustatomi (3..23) atskiràjá sprendiná áraðantá (3..17) diferencialinæ lygtá su atitinkama deðinës pusës funkcija (fi(x)).
41
SAVARANKIÐKO DARBO UÞDUOTYS
42
4. DIFERENCIALINIØ LYGÈIØ SISTEMOS IR JØ SPRENDIMOBÛDAI
4.1. Svarbiausios sàvokosÐiame skyriuje nagrinësime ávairias diferencialiniø lygèiø sistemas. Pagrindinis dëmesysbus skiriamas diferencialiniø lygèiø sistemø normaliajai formai. Naginësime tokios siste-mos ypatinguosius taðkus. Plaèiau bus analizuojama dviejø tiesiniø diferencialiniø lygèiøsistema ir tiriama jos sprendinio elgsena ypatingøjø taðkø aplinkoje.
Pirmiausia apibrëðime pagrindines sàvokas.
4.1. Apibrëþimas. Diferencialiniø lygèiø sistema vadinama sistema
F1(x, y1, y′1, . . . , y
(k1)1 , y2, y
′2, . . . , y
(k2)2 , . . . , ym, y
′m, . . . , y
(km)m ) = 0,
F2(x, y1, y′1, . . . , y
(k1)1 , y2, y
′2, . . . , y
(k2)2 , . . . , ym, y
′m, . . . , y
(km)m ) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fm(x, y1, y′1, . . . , y
(k1)1 , y2, y
′2, . . . , y
(k2)2 , . . . , ym, y
′m, . . . , y
(km)m ) = 0,
kurioje x � laisvasis kinatmasis, y1(x), y2(x), . . . , ym(x) � neþinomos funkcijos, o yij �atitinkamos funkcijø iðvestinës.
Mes apsiribosime tik tokiomis diferencialiniø lygèiø sistemomis, kurios bus iðspræstosaukðèiausiø iðvestiniø atþvilgiu, t. y. toliau bus nagrinëjamos tik tokio pavidalo diferen-cialiniø lygèiø sistemos:
y(k1)1 = f1(x, y1, y
′1, . . . , y
(k1−1)1 , y2, y
′2, . . . , y
(k2−1)2 , . . . , ym, y
′m, . . . , y
(km−1)m ),
y(k2)2 = f2(x, y1, y
′1, . . . , y
(k1−1)1 , y2, y
′2, . . . , y
(k2−1)2 , . . . , ym, y
′m, . . . , y
(km−1)m ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y(km)m = fm(x, y1, y
′1, . . . , y
(k1−1)1 , y2, y
′2, . . . , y
(k2−1)2 , . . . , ym, y
′m, . . . , y
(km−1)m ).
Tokia diferencialiniø lygèiø sistemos forma vadinama kanonine forma. Visas kanoninësformos diferencialiniø lygèiø sistemos iðvestines pakeitus naujomis funkcijomis gaunamadiferencialiniø lygèiø sistema
y′1 = f1(x, y1, y2, . . . , ym),
y′2 = f2(x, y1, y2, . . . , ym),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y′m = fm(x, y1, y2, . . . , ym),
(4..1)
sudaryta ið k1+k2+· · ·+km lygèiø ir vadinama normaliàja diferencialiniø lygèiø sistemosforma arba diferencialiniø lygèiø sistemos Koði normalàja forma. Normaliosios sistemoseile vadinamas jà sudaranèiø diferencialiniø lygèiø skaièius. Tokiu atveju, (4..1) sistemoseilë yra lygim.
43
4.2. Apibrëþimas. (4..1) sistema, kurios deðinës pusës funkcijos yra tiesinës neþinomøfunkcijø atþvilgiu, vadinama tiesine diferencialiniø lygèiø sistema. Jos pavidalas:
y′1 = p11(x)y1 + p12y2 + · · ·+ p1mym + f1(x),
y′2 = p21(x)y1 + p22y2 + · · ·+ p2mym + f2(x),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y′m = pm1(x)y1 + pm2y2 + · · ·+ pmmym + fm(x),
(4..2)
èia pij(x) ir fi(x) � þinomos argumento x funkcijos.
4.3. Apibrëþimas. (4..1) normalioji diferencialiniø lygèiø sistema vadinama autonominearba stacionariàja, jei visos jos deðinës pusës funkcijos fi, i = 1, 2, . . . ,m nepriklausonuo x, t. y.
y′1 = f1(y1, y2, . . . , ym),
y′2 = f2(y1, y2, . . . , ym),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y′m = fm(y1, y2, . . . , ym).
(4..3)
4.2. Diferencialiniø lygèiø sistemos normaliosios formos analizëÐiame skyrelyje plaèiau nagrinësime normaliàsias diferencialiniø lygèiø sistemas ir jøsprendinius.
4.4. Apibrëþimas. (4..1) ((4..3))normaliosios diferencialiniø lygèiø sistemos sprendiniuvadinamasm funkcijø rinkinys y1 = y1(x), y2 = y2(x), . . . , ym = ym(x) (visos funkcijosyra apibrëþtos ir diferencijuojamos), jei já áraðæ á sistemà gauname tapatybes.
Veiksmas, kuriuo nustatomi sistemos sprendiniai, vadinamas sistemos integravimu.
4.5. Apibrëþimas. (4..1) ((4..3))normaliosios diferencialiniø lygèiø sistemos bendruojusprendiniu vadinamasm funkcijø rinkinys
y1 = φ1(x,C1, C2, . . . , Cm),
y2 = φ2(x,C1, C2, . . . , Cm),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ym = φm(x,C1, C2, . . . , Cm),
(4..4)
tenkinantis visas sistemos lygtis.
(4..1) normalioji diferencialiniø lygèiø sistema, sudaryta ið m lygèiø yra ekvivalentivienai m � osios eilës diferencialinei lygèiai. Ið tiesø, jei diferencialiniø lygèiø siste-mos deðinës pusës funkcijos fi(x, y1, y2, . . . , ym) yra diferencijuojamos (m− 1) kartà, taidiferencijuodami pagal x (m − 1) kartà, pavyzdþiui pirmàjà sistemos lygtá, ir keisdami
44
funkcijø yi, i = 1, 2, . . . ,m iðvestines atitinkamomis funkcijomis fi, i = 1, 2, . . . ,m,gausime sistemà:
y′′1 = ∂f1
∂x+ ∂f1
∂y1f1 + · · ·+ ∂f1
∂ymfm ≡ Φ2(x, y1, y2, . . . , ym),
y′′′1 = ∂Φ2
∂x+ ∂Φ2
∂y1f1 + · · ·+ ∂Φ2
∂ymfm ≡ Φ3(x, y1, y2, . . . , ym),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y(m)1 = ∂Φm−1
∂x+ ∂Φm−1
∂y1f1 + · · ·+ ∂Φm−1
∂ymfm ≡ Φm(x, y1, y2, . . . , ym).
(4..5)
Jei ðios sistemos determinantas nelygus nuliui, tai galima nustatyti funkcijas y2, y3, . . . , ym.Jos priklausys nuo kintamojo x ir nuo y1, y′1, y′′1 , . . . , y
(m−1)1 . Tuomet (4..5) sistemos
paskutinioji lygtis gali bûti uþraðoma taip:
y(m)1 = Φ(x, y1, y
′1, y′′1 , . . . , y
(m−1)1 ). (4..6)
Gavome vienàm � osios eilës diferencialinæ lygtá.Taèiau galimas ir atvirkðtinis veiksmas, t. y. ið vienos m � osios eilës diferencialinës
lygties galime gauti m diferencialiniø lygèiø sistemà. Suformuluosime m � osios eilësdiferencialinës lygties sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremà:
4.1. Teorema. m � osios eilës diferencialinë lygtis, kurios deðinës pusës funkcija yra toly-di visø argumentø atþvilgiu, o argumentø y1, y
′1, y′′1 , . . . , y
(m−1)1 atþvilgiu tenkina Lipðico
sàlygà, turi vienintelá sprendiná, tenkinantá pradines sàlygas x = x0, y1 = y01 , y′1 = y′1
0,. . . , y(m−1)
1 = y(m−1)1
0.
Jei (4..1) normaliosios sistemos deðinës pusës funkcijos ir visos jø dalinës iðvestinëspagal y1, y2, . . . , ym yra tolydþios visø argumentø atþvilgiu tam tikroje srityjeD, tai ið to,kà esame aptaræ, turime, kad egzistuoja vienitelë sprendiniø sistema
y1 = φ1(x, x0, y01, y
02, . . . y
0m),
y2 = φ2(x, x0, y01, y
02, . . . y
0m),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ym = φm(x, x0, y01, y
02, . . . y
0m),
(4..7)
tenkinanti pradines sàlygas x = x0,y1 = y01 , y2 = y0
2 , . . . , ym = y0m. Ðioje sistemoje
pradines sàlygas pakeitæ neapibrëþtomis konstantomis, turime sistemos bendràjá sprendiná(4..4), kuris dar vadinamas normaliosios sistemos bendruoju integralu. Sistemà iðsprendækonstantø C1, C2, . . . , Cm atþvilgiu, gauname sistemos pirmuosius integralus:
C1 = ψ1(x, y1, y2, . . . , ym),
C2 = ψ2(x, y1, y2, . . . , ym),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cm = ψm(x, y1, y2, . . . , ym).
(4..8)
Pirmieji sistemos integralai yra nustatomi ne vienareikðmiðkai.
45
