Encarnación Castro Martínez, Luis Rico Romero. (1994). Uno. [Versión electrónica]. Revista Uno 1

Visualización de secuencias numéricas

Encarnación Castro MartínezLuis Rico Romero

El reconocimiento y uso de patrones es una de las estrategias incluidas dentro de los objetivos prioritarios del aprendizajede las matemáticas escolares en los documentos curriculares más recientes. Por otra parte, los modelos denominadosconfiguraciones puntuales proporcionan patrones intuitivamente útiles, mediante los que se trabaja el contexto figurativode los números y se facilita la comprensión visual de relaciones numéricas.

Palabras clave: Matemáticas, Didáctica de las matemáticas, Enseñanza, Configuraciones puntuales, Secuencias numéricas

The recognition and use of patterns is one of the strategies included in the priority learning objectives for schoolmathematics in the latest official documents on the curriculum published in Spain. The modeis known as pointconfigurations provide intuitively useful patterns for work on the figurative context of numbers and aiding visualunderstanding of numerical relationships.

Una línea de investigación fecunda para la educación matemática, que ha permitido una colaboración estrecha con lospsicólogos, ha consistido en el estudio de las representaciones mentales en el aprendizaje de las matemáticas (Resnick, L,Ford, W, 1990).

La importancia de representaciones sencillas matemáticamente correctas, como base para la comprensión de conceptosmatemáticos complejos, ha sido una idea destacada tanto por psicólogos guestaltistas (Wertheimer, 1991) como,posteriormente, por psicólogos cognitivos (Bruner, 1984).

El uso de modelos físicos para presentar de manera útil determinados conceptos matemáticos, como las regletas deCuisenaire, los ábacos o los bloques multibásicos de Dienes, ha sido objeto de estudios e investigaciones; igualmente, haformado parte de manera sistemática de innovaciones curriculares y diseño de actividades para el aula.

Un aspecto esencial de estos estudios ha consistido en establecer el papel de las representaciones físicas que permiten unamanipulación directa, que pueden emplearse como metáforas de conceptos y procedimientos matemáticos, y que puedenayudar en su comprensión.

Estos materiales han desempeñado y desempeñan un papel muy importante en la comprensión de los primeros conceptosaritméticos, y se han utilizado de manera sistemática en el trabajo de los escolares de los primeros niveles para desarrollarla noción de número, el sistema decimal de numeración, las operaciones básicas de la aritmética y los algoritmos de talesoperaciones.

A las representaciones físicas suelen seguir las representaciones figurativas, correspondientes al pensamiento ¡cónico queseñala Bruner, como paso previo a las representaciones simbólicas.

Es un hecho constatable que las representaciones físicas e icónicas tienen una importancia considerable en el currículo deMatemáticas de Primaria, desapareciendo prácticamente en Secundaria. En particular, es inusual utilizar talesrepresentaciones en el trabajo con números.

En las referencias y documentos históricos que se conservan sobre números naturales se comprueba que éstos aparecenen diferentes contextos, que podemos resumir en tres, principalmente: Cantidad, Orden y Figura (o representacióngráfica).

El uso de los números naturales en contextos de cantidad y orden forma parte de la actividad diaria de los individuos, yaque se presentan en situaciones cotidianas. Por esta razón el sistema escolar dedica tiempo y esfuerzo a proporcionar a losalumnos competencias en estos campos. Sin embargo, el contexto gráfico o figurativo de los números se empleabrevemente al inicio del aprendizaje escolar del número, para abandonarlo, casi de inmediato, en el momento que seintroduce la notación simbólica.

La visualización de los números naturales y de las relaciones aritméticas entre ellos fue ampliamente utilizada por lamatemática griega, que trabajó con números figurados. Hoy día podemos encontrar referencias a números poligonales opiramidales en contextos de resolución de problemas o ejercicios de ingenio y creatividad, pero en ningún caso seconsideran tales representaciones como un sistema simbólico coherente que permita un tratamiento sistemático dedeterminadas propiedades y relaciones numéricas.

El papel de la visualización viene siendo reivindicado, con carácter general, como una de las vías de acceso a lacomprensión del conocimiento matemático. Sin embargo hay pocos estudios sistemáticos que apoyen la virtualidad de lacomprensión visual para los conceptos numéricos; menos aún, trabajos que traten de presentar un tratamiento organizadode sistemas de representación para números, basados en interpretaciones visuales.

Nuestro propósito es incorporar el factor visual a través del contexto figurativo en el aprendizaje de los números y susrelaciones, utilizando un sistema simbólico de representación para números naturales mediante configuraciones puntuales.

Pretendemos estudiar la potencia de las representaciones para expresar relaciones y propiedades numéricas y cómo éstasson descubiertas y utilizadas por los estudiantes.

Creemos que estas representaciones proporcionan un modelo intuitivo para el desarrollo del pensamiento numérico quepotencia la comprensión mediante la visualización. A través de estos modelos esperamos que se pongan de manifiestopropiedades destacables de los números naturales y de familias de sucesiones, que son fundamentales para suconocimiento y manejo y cuya comprensión es difícil realizar inicialmente mediante fórmulas o expresiones algebraicas.

El trabajo que aquí se presenta forma parte de una investigación realizada sobre Análisis y Generalización en SecuenciasNuméricas mediante configuraciones puntuales con alumnos de 7Q y 8° de EGB durante los cursos 91-92 y 92-93, y lohemos estructurado en los siguientes apartados: trabajo en el aula, producciones de los alumnos, reflexión y conclusiones.

Trabajo en el aula

Presentamos dos de las tareas realizadas por un grupo de 36 alumnos de 8º de EGB en el curso 92-93. El contexto en elque se llevan a cabo es el de un grupo natural trabajando con su dinámica usual; el profesor de Matemáticas de este grupoemplea normalmente una o dos horas a la semana para realizar revisiones de temas ya desarrollados, ampliar algunascuestiones o introducir situaciones abiertas mediante las que desarrollar estrategias de resolución de problemas. En estemarco se realizó nuestra experiencia, parte de la cual es el trabajo que presentamos. Se trata de la actividad realizada poralumnos y alumnas ante dos tareas que les propusimos.

Primera tarea

Los alumnos han trabajado la noción de "representación de un número" empleando todo tipo de dibujos y organizaciones,también conocen la idea de "representación puntual", obtenida de las representaciones realizadas por ellos mismos. Estasnociones son sencillas y no presentan dificultades especiales. El objetivo de la tarea que se les propone consiste enexplorar las posibilidades expresivas que encuentran al sistema simbólico de las representaciones puntuales. Para ello seles da la siguiente consigna:

Haced tres representaciones distintas del número seis utilizando puntos.

Asisten a clase 32 de los 36 alumnos del grupo.

Todos realizan la tarea que, en general, concluye en 8 minutos.

Segunda tarea

Ha transcurrido una semana desde que realizaron la tarea anterior. Los estudiantes han recibido información sobre unaserie de ideas entre las que destacamos:

1 Un mismo número admite variedad de representaciones puntuales.

2 Distintos números se ajustan a un mismo patrón de representación.

3 Determinadas representaciones puntuales tienen una lectura aritmética; así, las representaciones de 15 siguientespueden expresar, entre otros, los desarrollos indicados:

En el momento de presentar esta tarea nos proponemos explorar la comprensión que alumnos y alumnas tienen sobre lossiguientes procedimientos:

- Continuar una secuencia numérica dada mediante representación puntual.

- Obtener la secuencia numérica representada.

- Traducir la secuencia de representaciones puntuales a una secuencia de desarrollos aritméticos.

Para ello presentamos al alumnado la http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN010781.gif - tabla 1 y les proponemosque la amplíen con tres términos más y que completen las filas segunda y tercera con los mismos números representadosen la primera fila.

A esta sesión asisten 34 de los 36 alumnos. Realizan su trabajo individualmente.

Producción de los alumnos

Una vez corregida la primera tarea obtenemos los siguientes resultados:

Todos los alumnos y alumnas realizan la tarea, ocho niños han dado tres respuestas solamente, los demás hansobrepasado el número pedido (la http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN010783.gif - tabla 2 muestra el número derespuestas dadas por los alumnos y la frecuencia con que ha aparecido dicho número) proporcionando 181 resultados, loscuales hemos analizado y clasificado de la forma siguiente:

- Representación en una dimensión. Los seis puntos están colocados formando una línea recta. Han sido 14 lasrepresentaciones de este tipo que han aparecido.

- Representaciones en dos dimensiones. Los seis puntos están dispuestos según dos dimensiones formando figuras queunas veces son geométricas, otras son representaciones de objetos familiares y otras veces la representación no tiene,para nosotros, un significado concreto.

Corresponden a esta categoría 166 respuestas.

- Representaciones en tres dimensiones. Los puntos se colocan formando una figura tridimensional. En esta categoría haaparecido una sola respuesta.

Clasificamos las representaciones bidimensionales, no lo hacemos con las representaciones lineales (pues no presentanvariedad) ni con las de tres dimensiones (pues sólo ha aparecido un caso).

La clasificación de las representaciones realizadas en dos dimensiones la hacemos atendiendo a dos criterios.

- Por su formato, que puede ser:

- geométrico, la representación es una figura geométrica;

- figurativo, representa una figura familiar;

- no figurativo, si la representación no responde a los conceptos anteriores.

- Por su organización, en este caso la representación puede ser:

- simétrica

- escalonada

- no tener una organización reconocible.

El http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN01079U.gif - cuadro 1 muestra esta clasificación con sus correspondientesejemplos.

La http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN01080U.gif - tabla 3 proporciona una organización de todos los datosobtenidos en esta primera tarea.

La organización y estudio de los resultados que dieron alumnos y alumnas a la segunda tarea, proporciona los siguientesdatos:

1. Todos los alumnos siguen la secuencia puntual, añadiendo in grupo de cuatro puntos, cada vez y en línea recta, hastacompletar los siete huecos que tiene la tabla que les habíamos proporcionado; ninguno duplica los puntos ni los añade enotra dirección (que son otras posibilidades).

2. Todos ponen, en la segunda fila, la secuencia numérica 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,

3. 13 alumnos realizan dos secuencias de desarrollos aritméticos, el resto una secuencia.

Un análisis de estas secuencias de desarrollos nos da información para interpretar cómo visualizan los estudiantes larepresentación puntual de la secuencia.

- 16 desarrollos se hacen utilizando sólo sumas de cuatro:

4+4, 4+4+4, 4+4+4+4+...

Interpretamos que ven un aumento de cuatro puntos en el paso de un orden al siguiente y lo expresan de esta formasimple. Este desarrollo lo codificamos por 4+.. (n).+4.

- 13 desarrollos son en suma de dos:

2+2, 2+2+2+2 2+2+2+2+2+2...

- 9 de ellos hacen, a su vez, unos desarrollos como suma de 4, lo que puede verse como una variante del anterior. Lohemos codificado por 2+.. (2n). +2.

Estos desarrollos son los más inmediatos de ver y los que aparecen con mayor frecuencia, pero además han aparecidootros.

- 3 alumnos dan la secuencia:

2+2, 4+4, 8+4,12+4, 16+4, 20+4, 24+4

la cual, aunque basada, también, en la idea de sumar 4, su expresión resulta más elaborada, ya que el sumando 4 seañade al resultado de la suma anterior. Lo hemos codificado por:

an = a n-1 + 4.

- 5 alumnos dan la siguiente secuencia:

2+2,4+4,6+6,8+8, 10+ 10, 12+ 12, 14+14

pensamos que visualizan los diagramas como formados por dos filas iguales de números pares. Lo hemos codificado por 2n+ 2n.

- Consideración similar podemos hacer para la secuencia:

2x2, 2x4, 2x6,2x8, 2x 10, 2x12, 2x14

que ha aparecido 3 veces. La codificamos por 2.(2n).

- 2 alumnos realizan esta otra secuencia:

4x1, 4x2, 4x3,4x4, 4x5, 4x6, 4x7

ven un grupo de cuatro puntos que se repite un número creciente de veces, lo hemos codificado por 4n.

- Cuatro desarrollos no se acomodan a una regla común.

- Un alumno comienza la siguiente secuencia para el segundo y tercer términos:

2x2 + 2x2, 2x3 + 2x3,

y no la continúa quizá por pensar que no se corresponde con la manera de seguir la secuencia puntual; pensamos que esuna secuencia muy interesante por el tipo de relación que expresa.

- Otro alumno presenta los desarrollos siguientes:

2+2, 4+4, 4+4+4, 8+8, 8+8+4, 12+12, 12+12+4,

que tampoco refleja el modo de formar la secuencia puntual.

Igualmente la consideramos interesante por la regularidad que muestra. Si prescindimos del primer término vemos que enlos lugares pares aparece la suma de dos sumandos iguales, estos sumandos son los múltiplos de cuatro. En los lugaresimpares se toma la suma anterior más cuatro.

- Se dio un caso en el cual la secuencia no presenta claramente regularidad:

2+2, 2+2+2+2, 4+4+4, 4+4+4+4, 4+4+4+4+4, 8+8+8, 4+4+4+4+4+4+4+4

- Finalmente, otro alumno combinó dos regularidades:

2+2,2+2+2+2,2+2+2+2+2+2, 2+2+2+2+2+2+2, 4+4+4+4+4, 4+4+4+4+4+4+4

En la http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN01082U.gif - tabla 4 figura el resumen de los resultados.

Reflexión

El objetivo de este estudio se dirige a investigar sobre la comprensión de un sistema simbólico no convencional para larepresentación de números, mediante el que se visualizan relaciones aritméticas internas de cada número y se obtiene elpatrón de representación y la estructura aritmética común a varios números. No se trata de un estudio sobre instrucción yno tratamos de impartir unos conocimientos estructurados para evaluar el grado de asimilación de los conocimientosexplicados. Nos hemos centrado en facilitar las posibilidades expresivas del alumnado, en obtener las interpretacionesaritméticas que visualizan en las representaciones puntuales, en delimitar las contradicciones y dificultades deinterpretación que surgen de este sistema simbólico.

Los resultados obtenidos muestran una pluralidad de representaciones para un mismo número, en las que se puedenreconocer distintos esquemas para organizar los puntos; por un lado el formato empleado, y por otro la organización de lacantidad atendiendo a algún principio de simetría o escalonamiento, ponen de manifiesto que la noción de "representaciónpuntual de un número" forma parte de un sistema organizado que atiende a unos principios de estructuración y conformaun sistema simbólico no convencional. Hay que esperar a las tareas en las que se pide representar varios números con unmismo patrón para que comience a sistematizarse y tome fuerza la idea de que las configuraciones puntuales son unavisualización del desarrollo aritmético de un número.

La segunda tarea está dedicada a continuar una secuencia puntual, lo que implica el mantenimiento de un patrón y traducirese patrón puntual, el cual se expresa con dos términos de una secuencia, al desarrollo aritmético compartido de lostérminos.

En este caso es interesante comprobar el predominio de los esquemas aditivos sobre los multiplicativos. En primer lugar, lasecuencia puntual podía ampliarse aditiva o multiplicativamente de manera natural, ya que los términos 4, 8, puedenprolongarse en la secuencia 4, 8, 12, 16, ... (relación aditiva), o en la secuencia 4, 8, 16, 32.. (relación multiplicativa);todos los alumnos eligen la primera opción y ninguno la segunda, como ya se ha indicado.

En segundo lugar, cuando traducen las representaciones puntuales a desarrollos aritméticos, hemos identificado 6estructuras distintas para esta traducción, las cuatro primeras: 4+4+ (n).+4, 2+2+. +. (2n). +2, an = an-1 +4, 2n + 2n

son aditivas y totalizan 37 de las traducciones realizadas.

Sólo las dos últimas son multiplicativas, las codificadas por 2.(2n) y 4n, de las que únicamente se han dado 5 casos.

De las cuatro traducciones no codificadas, 3 de ellas son aditivas, la otra utiliza la multiplicación.

En total 40 desarrollos aditivos, el 80% de un total de 46 desarrollos aritméticos.

Aunque no fuera éste el propósito de la tarea, resulta significativo el predominio de esquemas aditivos en la traducción deconfiguraciones puntuales a desarrollos aritméticos.

También es importante comprobar la pluralidad de lecturas que ofrecen las representaciones puntuales.

Conclusiones

Las nociones que hemos manejado sobre imagen visual las consideramos agrupadas en dos clases. En una de ellas seencuentran aquellas en las que la idea de visualización está ligada a la "formación de una imagen mental sin la presenciadirecta del objeto", no se habla de un soporte material para la imagen. Entre los investigadores que dan esta idea están:Piaget e Inhelder (1971), Ben-Chain, D. (1989), Lean y Clements (1981).

En la otra, las que consideran que la visualización se refiere a la vez a la habilidad para interpretar y entender informaciónfigurativa, a manipularla mentalmente, así como a representar sobre un soporte material cualquier concepto matemático oproblema y usar diagramas para representar conceptos matemáticos y resolver problemas. Entre los investigadores queapuntan esta idea encontramos a Presmeg (1986), Suwarsono (1982) y Zimmermann (1991). Éste último definepensamiento visual como "el proceso de formar imágenes, ya sea mentalmente o dibujadas en un soporte material y usartales imágenes de forma efectiva para descubrir y entender las matemáticas". Mantiene que la habilidad en visualización sepuede considerar dividida en cinco categorías, que llama objetivos, los cuales clasifica de la manera siguiente: Básicos,funcionales, generales, relacionados específicamente con el cálculo y objetivos de alto nivel.

Los objetivos básicos hacen referencia, entre otras, a entender el álgebra y la geometría como lenguajes alternativos paraexpresar las ideas matemáticas, en particular, conceptos numéricos. En los objetivos funcionales se contempla la capacidadpara entender qué conceptos están representados en un diagrama, usar éstos para realizar demostraciones y para resolverproblemas. Con objetivos generales se refiere a aspectos de la visualización que tienen aplicación a distintas áreas de lasmatemáticas, se incluye aquí la habilidad para reconocer periodicidad, entender y reconocer patrones.

La visualización se considera como un medio para llegar a la comprensión. No se trata de visualizar un diagrama sino unconcepto o problema a través de un diagrama. Para ello es necesario un entendimiento pleno del problema en términos deldiagrama o imagen visual. Esta es la noción que hemos seguido.

Pues bien, sobre la base de los planteamientos generales en torno al pensamiento visual como elemento de la comprensióndel conocimiento matemático, y tomando la idea operacional de Wittrock (1990): "La comprensión consiste en esencia enla generación de una representación, estructural o conceptualmente ordenada, de las relaciones entre las partes de lainformación que se debe de aprender, y entre esa información o esas ideas y nuestra base de conocimiento yexperiencias", tratamos de diseñar tareas mediante las que desarrollar la comprensión de nuevas relaciones numéricas. Elsistema simbólico elegido es el de las configuraciones puntuales con un modelo ¡cónico discreto, que traduce fácilmenterelaciones aritméticas de cierta complejidad. Conjugando estos dos sistemas de representación: representación puntual ydesarrollo aritmético, nos proponemos explorar la comprensión de alumnos y alumnas en los procedimientos de continuaruna sucesión, extrapolar términos y obtener la expresión del término general de la secuencia. En este estudio nosencontramos que las tareas presentadas son un ejemplo de las posibilidades expresivas que tiene el pensamiento visualcuando se utilizan las representaciones discretas como un sistema simbólico alternativo en el trabajo con númerosnaturales.

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Dirección de contacto

Encarnación Castro MartínezDepartamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.

Luis Rico RomeroDepartamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.