Embed Size (px)
DESCRIPTION
VİZE ÖNCESİ GENEL TEKRAR SORULARI. OLASILIK DAĞILIMLARI. Örnek 1. Öykü Turizm Şirketi, işe alacağı rehberlere test uygulamaktadır. Adayların %40’ı bu testte başarılı olmuştur. Bu adaylar arasından rasgele 10 kişi seçildiğinde, - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
VİZE ÖNCESİ GENEL TEKRAR SORULARI
OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek 1
Öykü Turizm Şirketi, işe alacağı rehberlere test uygulamaktadır. Adayların %40’ı bu testte başarılı olmuştur. Bu adaylar arasından rasgele 10 kişi seçildiğinde,
Seçilen 10 kişiden 4’ünün testten başarılı olmuş olma olasılığı nedir?p=0,40 n=10
Tablo 1’denp=0,40 ve n=10 için
X≤4 değeri 0,6331; X≤3 değeri 0,3823
08,25%2508,06)60,0(4)40,0(4
10)4(
XP
xnpxpx
nxXP
)1()(
08,25%2508,03823,06331,0
)3()4()4(
XPXPXP
Örnek 1 Seçilen örneğin %30 ya da daha azının
yapılan testte başarılı olmuş olma olasılığı nedir?
p=0,40 n=10 10*0,30=3
Tablo 1’denp=0,40 ve n=10 için X≤3 değeri 0,3823
23,38%3823,02150,01210,00404,00060,0
)3()2()1()0()3(
XPXPXPXPXP
23,38%3823,0)3( XP
Örnek 2
Forma üreten A&A A.Ş.’nin üretim sürecinde hatalı ürün oranı %20’dir. Buna göre hatalı formanın ilk iki denemede ortaya çıkmama olasılığı nedir?
p=0,20
)2()1(1)3( XPXPXP
1)1()( xppxXP
16,0)80,0)(20,0()2(
20,0)80,0)(20,0()1(12
11
XP
XP
64,0)16,020,0(1)3( XP
Örnek 3 Üretim sürecinden çıkan 20 tanelik her partiden 5
parça hurdaya ayrılmaktadır. Bir partiden seçilen 4 parçalık bir örnekte 3 parçanın hurdaya ayrılma olasılığı nedir?
a=5 (hurdaya ayrılan parça sayısı) b=15 n=4 (örnek büyüklüğü) x=3
1,3%031,04845
15*10
4
20
1
15
3
5
)4/3(
nXP
n
ba
n
b
x
a
nxXP
x-
)gözlem /(
Örnek 4 Efepen firmasının ürettiği bir kutu kalemin 1/4’ü
tükenmez kalem, 1/5’i kırmızı kalem ve geri kalan kısmı da kurşun kalemdir. Alınan 20 tanelik bir örnekte; 5 tükenmez kalem, 8 kırmızı kalem olması olasılığı nedir?
kXk
XX
kk PPP
XXX
nXXXP ...
!!...!
!),...,,( 21
2121
21
55,0
20,05/1
25,04/1
3
2
1
3
2
1
X
X
X
P
P
P
38,0%0038,0)55,0()20,0()25,0(!7!8!5
!20)7,8,5( 785
321 XXXP
Örnek 5
Ülkemizde E-5 karayolunun belirli bir kesiminde 1 yıl içinde toplam 720 trafik kazası olmuştur. Bu kesimde herhangi 1 günde 2 ya da daha fazla kaza olması olasılığı nedir?(1 yıl=360 gün)
Tablo 4’den λt=2 için X≤1 P(X≤1)=0,4060 P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-0,4060=0,5940=%59,4
!
)()(
n
nttentXP
2360/720
1
günt
4,59%594,02707,01353,01
)1()0(1)21( 11
XPXPXP
Örnek 6
Bir bankada vezneye gelen müşteriye hizmet verme süresi 30 saniyedir. Bir müşteriye verilen hizmet süresinin 2 dakikadan fazla olması olasılığı nedir?
Tablo 3’den e-y değerleri elde edilebilmektedir.
tetTPtTP 1)(1)( 1T
dakika 0,5saniye 30 T1
5,0 T 2
8316,1%018316,04)2*21(1)2(1)2( eeTPTP
Örnek 7
GIDA A.Ş.’nin ürettiği diyet bisküvilerin ortalama raf ömrü 24 ay ve standart sapması 4 aydır. Bisküvilerin raf ömrünün;
22 aydan daha az olma olasılığı nedir?
22 ile 25 ay arasında olma olasılığı nedir?
28 aydan daha fazla olma olasılığı nedir?
Tablo 2
x
Z
3085,01915,05,0)22( -0,54
24-22 XPZ
2902,01915,00987,0)2522( 0,254
24-25 XPZ
1587,03413,05,0)28( 14
24-28 XPZ
KARAR ÖLÇÜTLERİ
Örnek
Yatırım yapmak için $1000’ınız var ve bu parayı 3 alternatiften birine yatıracaksınız; Hisse senedi, yatırım fonu veya altın.
Yatırdığınız paranın 1 yıl sonra ne kadar olacağı ise ekonominin durumuna bağlıdır.
HisseSenedi
YatırımFonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
Maksimaks & Maksimin
HisseSenedi
YatırımFonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
Maksimaks: H.Senedi 1300
Y.Fonu 1200Altın 1600
Maksimin: H.Senedi 1000Y.Fonu 1000Altın 300
Gerçekçilik ÖlçütüHisse
Senedi YatırımFonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
Gerçekçilik Ölçütü: ( )H.Senedi GÖS=(1300*0,8) + (1000*0,2) = 1240Y.Fonu GÖS=(1200*0,8) + (1000*0,2) = 1160Altın GÖS=(1600*0,8) + (300*0,2) = 1340
8,0
Minimaks Pişmanlık
HisseSenedi
Yatırım
Fonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
PişmanlıkMatrisi
HisseSenedi
YatırımFonu
Altın
Durum 1 300 600 0
Durum 2 100 0 800
Durum 3 250 200 0
H.Senedi 300Y.Fonu 600Altın 800
Rasyonellik Ölçütü
HisseSenedi
YatırımFonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
H.SenediEV(s1)=(1/3)1300+(1/3)1000+(1/3)1150=1150 Y.FonuEV(s2)=(1/3)1000+(1/3)1100+(1/3)1200=1100Altın EV(s3)=(1/3)1600+(1/3)300+(1/3)1400=1100
En Büyük Olasılık Ölçütü
HisseSenedi
Yatırım
Fonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
Durum 1 0,35Durum 2 0,25Durum 3 0,40
Beklenen En Büyük Ödeme
HisseSenedi
YatırımFonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
H.SenediEMV(s1)=(0,35)1300+(0,25)1000+(0,40)1150=1165 Y.FonuEMV(s2)=(0,35)1000+(0,25)1100+(0,40)1200=1105Altın EMV(s3)=(0,35)1600+(0,25)300+(0,40)1400= 1195
Beklenen En Küçük Fırsat Zararı
PişmanlıkMatrisi
HisseSenedi
YatırımFonu
Altın
Durum 1 300 600 0
Durum 2 100 0 800
Durum 3 250 200 0
H.Senedi EOL(s1)=(0,35)300+(0,25)100+(0,40)250=230 Y.Fonu EOL(s2)=(0,35)600+(0,25)0 +(0,40)200=290Altın EOL(s3)=(0,35)0 +(0,25)800+(0,40)0 =200
Ek Bilginin Beklenen Değeri 1
HisseSenedi
Yatırım
Fonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
Altın EMV(s3)=(0,35)1600+(0,25)300+(0,40)1400= 1195
Belirsizlik Altında Beklenen Değer
Durum 1 gerçekleşirse (Altın) 1600*0,35=560 Durum 2 gerçekleşirse (Y.Fonu) 1100*0,25=275Durum 3 gerçekleşirse (Altın) 1400*0,40=560
1395
Belirlilik Altında Beklenen Değer
EVAI=1395-1195=$200
Ek Bilginin Beklenen Değeri 2Hisse
Senedi Yatırı
mFonu
Altın
Durum 1 1300 1000 1600
Durum 2 1000 1100 300
Durum 3 1150 1200 1400
Altın EMV(s3)=(0,35)1600+(0,25)300+(0,40)1400= 1195
Belirsizlik Altında Beklenen Değer
Durum 1 gerçekleşirse (Altın s3) $1600Durum 2 gerçekleşirse (Y.Fonu s2) $1100
(1100-300=$800 daha fazla kazanç )Durum 3 gerçekleşirse (Altın s3) $1400
EVAI=(0,35)0+(0,25)800+(0,40)0=$200
Ek Bilginin Beklenen Değeri 3
PişmanlıkMatrisi
HisseSenedi
YatırımFonu
Altın
Durum 1 300 600 0
Durum 2 100 0 800
Durum 3 250 200 0
H.Senedi EOL(s1)=(0,35)300+(0,25)100+(0,40)250=230 Y.Fonu EOL(s2)=(0,35)600+(0,25)0 +(0,40)200=290Altın EOL(s3)=(0,35)0 +(0,25)800+(0,40)0 =200
EVAI=EOL(s3)=$200
KARAR AĞACI
Lastik üreten bir firma, Elazığ veya Konya’da fabrika kurma kararı verecektir.
Elazığ’da fabrika kurma maliyeti $10.000.000 ve Konya’da fabrika kurma maliyeti $20.000.000’dır.
Firma Elazığ’da fabrika kurarsa, gelecek yıllarda Elazığ’da deprem olma riski vardır. Bu durumda kurulan fabrika yıkılacak ve firma yatırdığı $10.000.000’ı kaybedecektir. Ve eğer fabrika yıkılırsa Konya’da fabrikayı yeniden kurması gerekmektedir.
Elazığ’da deprem olma olasılığı firmaya göre %20’dir.
Firma $1.000.000’a bir jeoloji mühendisinden arazinin yapısı hakkında bilgi alabilecektir.
Jeoloji mühendisinin geçmiş veriler ışığında yaptığı tahminlerin güvenirliği, Elazığ’da deprem olması durumunda %95’tir. Deprem olmaması durumunda ise mühendisin yaptığı tahminlerin güvenirliği %90’dır.
Firma jeoloji mühendisinin bilgisine başvurmalı mıdır?
e
c
d
b
Olumsuz
Olumlu
Karar Ağacı
a
Jeolojiktestyaptır
Jeolojik testyaptırma
X1: Test Sonucu Olumsuz : Deprem olur X2: Test Sonucu Olumlu : Deprem olmaz
Elazığ’daKur
Elazığ’daKur
Elazığ’daKur
Konya’da Kur
Konya’da Kur
Konya’da Kur
Deprem Olmaması
Deprem Olmaması
Q2 Deprem Olmaması
f
Deprem Olması
Deprem Olması
Q1 Deprem Olması
g
h
Olasılıklar
P(Qi
)P(Xi / Qi)
P(Xi ∩ Qi)
P(Qi / Xi)
0,200,80
0,950,10
0,190,08
0,70=P(Q1/X1)
0,30=P(Q2/X1)
Q1: Deprem Olması P(Q1)=0,20Q2: Deprem Olmaması P(Q2)=0,80
X1: Jeolojik Test Olumsuz P(X1)=?X2: Jeolojik Test Olumlu P(X2)=?
P(X1/Q1)=0,95 P(X2/Q1)=0,05P(X2/Q2)=0,90 P(X1/Q2)=0,10
P(Qi
)P(Xi / Qi)
P(Xi ∩ Qi)
P(Qi / Xi)
0,200,80
0,050,90
0,010,72
0,01=P(Q1/X2)
0,99=P(Q2/X2)
P(X1)=0,27
P(X2)=0,73
JEOLOJİK TESTOLUMSUZ
X1
JEOLOJİK TESTOLUMLU
X2
Elazığ’da fabrika kurma $10.000.000Konya’da fabrika kurma $20.000.000Jeolojik Test $ 1.000.000
e
c
d
b
X1 Olumsuz
X2 Olumlu
a
Jeolojiktestyaptır
Jeolojik testyaptırma
Elazığ’daKur
Elazığ’daKur
Elazığ’daKur
Konya’da Kur
Konya’da Kur
Konya’da Kur
f
g
h
Deprem Olması
Deprem Olmaması
Deprem Olması
Deprem Olmaması
Deprem Olması
Deprem Olmaması
10+20+1=31
10+1=11
20+1=21
10+20+1=31
10+1=11
20+1=21
10+20=30
10
20
P(Q2)=0,80
P(Q1 / X1)=0,70
P(Q1)=0,20
P(Q2 / X1)=0,30
P(Q1 / X2)=0,01
P(Q2 / X2)=0,99
P(X1)=0,27
P(X2)=0,73
25
11,2
14
21
11,2
14
13,846
13,846
13,846-1=12,846EVAI=14-12,846=1,154
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA
Model Kurma & Grafik Çözüm Yöntemi
Koltuk takımı ve yemek masası üreten XYZ A.Ş., müşterisi olan İzmir Mobilya’dan sipariş almıştır. XYZ A.Ş.’nin üreteceği ürünlerden, koltuk takımının birim kazancı 15 YTL iken, yemek masasının birim kazancı 12 YTL’dir. Bir adet koltuk takımı için 8 m3, bir adet yemek masası içinse 4 m3 kereste gerekmektedir ve firmanın elinde 120 m3 kullanılabilir kereste mevcuttur. İzmir Mobilya bu iki üründen toplam tam 25 adet talep etmekte ve de yemek masasından en az 5 adet olmasını istemektedir. XYZ A.Ş., İzmir Mobilya’nın siparişini maksimum kazançla yerine getirmek istemektedir. Sorunun doğrusal programlama modelini kurunuz ve grafik çözüm yöntemi ile çözünüz.
Zenb=15x1+12x2
8x1+4x2 ≤ 120
x1+ x2 = 25
x2 ≥5
x1, x2 ≥ 0
Zenb=15x1+12x2
8x1+4x2 ≤ 120 x1+ x2 = 25 x2 ≥5 x1, x2 ≥ 0
x1=5 x2=20Zenb=315
20x1
x2
