-
Vježbe 8
Vježbe 8
-
FunkcijeOsnovne elementarne funkcije
1 Opća potencija
2 Polinomi
3 Racionalne funkcije
4 Eksponencijalne funkcije
5 Logaritamske funkcije
6 Trigonometrijske funkcije
7 Ciklometrijske funkcije
Vježbe 8
-
FunkcijePolinomi
Funkciju Pn : R→ R definiranu s
Pn(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0, n ∈ N0, ai ∈ R, an 6= 0
nazivamo polinomom n−tog stupnja nad R. Brojeve ai ∈ Rnazivamo
koeficijenti polinoma. Specijalno broj an nazivamonajstariji ili
vodeći, a a0 slobodni koeficijent. Ako je an = 1,kažemo da je
polinom normiran.
Teorem o dijeljenju s ostatkom
Za svaka dva polinoma f i g , g 6≡ 0, postoje jedinstveni
polinomi qi r takvi da vrijedi
f = g · q + r
U slučaju kada je r 6≡ 0, tada vrijedi st r < st g .
Vježbe 8
-
FunkcijePolinomi
Funkciju Pn : R→ R definiranu s
Pn(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0, n ∈ N0, ai ∈ R, an 6= 0
nazivamo polinomom n−tog stupnja nad R. Brojeve ai ∈ Rnazivamo
koeficijenti polinoma. Specijalno broj an nazivamonajstariji ili
vodeći, a a0 slobodni koeficijent. Ako je an = 1,kažemo da je
polinom normiran.
Teorem o dijeljenju s ostatkom
Za svaka dva polinoma f i g , g 6≡ 0, postoje jedinstveni
polinomi qi r takvi da vrijedi
f = g · q + r
U slučaju kada je r 6≡ 0, tada vrijedi st r < st g .
Vježbe 8
-
FunkcijePolinomi. Hornerov algoritam
Hornerov algoritam (shema)
Pn(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0, a ∈ R
Pn(a) = ((· · · (an · a + an−1) · a + · · ·+ a2) · a + a1) · a +
a0
an an−1 an−2 . . . a1 a0a an︸︷︷︸
bn−1
a · bn−1 + an−1︸ ︷︷ ︸bn−2
a · bn−2 + an−2︸ ︷︷ ︸bn−3
. . . a · b1 + a1︸ ︷︷ ︸b0
a · b0 + a0︸ ︷︷ ︸Pn(a)
Vježbe 8
-
FunkcijePolinomi. Hornerov algoritam
6. Izračunajte vrijednost polinoma
P4(x) = x4 + 4x3 − 2x2 + 7x − 10
za x = 5.
7. Podijelite polinom
P7(x) = 2x7 + 3x5 − 4x4 + 6x2 − 5x + 11
s polinomom g(x) = (x − 2).
8. Koristeći Hornerov algoritam razvijte polinom
P5(x) = x5 − 3x4 + 2x3 − 3x2 + 4x − 5
po potencijama od x + 1.
Vježbe 8
-
FunkcijePolinomi. Hornerov algoritam
6. Izračunajte vrijednost polinoma
P4(x) = x4 + 4x3 − 2x2 + 7x − 10
za x = 5.
7. Podijelite polinom
P7(x) = 2x7 + 3x5 − 4x4 + 6x2 − 5x + 11
s polinomom g(x) = (x − 2).
8. Koristeći Hornerov algoritam razvijte polinom
P5(x) = x5 − 3x4 + 2x3 − 3x2 + 4x − 5
po potencijama od x + 1.
Vježbe 8
-
FunkcijePolinomi. Hornerov algoritam
6. Izračunajte vrijednost polinoma
P4(x) = x4 + 4x3 − 2x2 + 7x − 10
za x = 5.
7. Podijelite polinom
P7(x) = 2x7 + 3x5 − 4x4 + 6x2 − 5x + 11
s polinomom g(x) = (x − 2).
8. Koristeći Hornerov algoritam razvijte polinom
P5(x) = x5 − 3x4 + 2x3 − 3x2 + 4x − 5
po potencijama od x + 1.
Vježbe 8
-
FunkcijeRacionalne funkcije
Funkciju
Q(x) =Pm(x)
Pn(x)=
bmxm + · · ·+ b1x + b0
anxn + · · ·+ a1x + a0,
nazivamo racionalna funkcija. Ako je m < n onda govorimo
opravoj racionalnoj funkciji, a ako je m ≥ n o nepravoj
racionalnojfunkciji. Ako je n = 0, funkcija Q postaje polinom.
Teorem
Svaku pravu racionalnu funkciju moguće je na jedinstven
načinprikazati kao zbroj parcijalnih razlomaka.
Vježbe 8
-
FunkcijeRacionalne funkcije
Funkciju
Q(x) =Pm(x)
Pn(x)=
bmxm + · · ·+ b1x + b0
anxn + · · ·+ a1x + a0,
nazivamo racionalna funkcija. Ako je m < n onda govorimo
opravoj racionalnoj funkciji, a ako je m ≥ n o nepravoj
racionalnojfunkciji. Ako je n = 0, funkcija Q postaje polinom.
Teorem
Svaku pravu racionalnu funkciju moguće je na jedinstven
načinprikazati kao zbroj parcijalnih razlomaka.
Vježbe 8
-
FunkcijeRacionalne funkcije
Pn(x) = (x−x1)k1 · · · (x−xs)ks ·(x2 +p1x +q1)l1 · · · (x2 +ptx
+qt)lt
Q(x) =A11
x − x1+
A12(x − x1)2
+ · · ·+ A1k1(x − x1)k1
+ · · ·+
+As1
x − xs+
As2(x − xs)2
+ · · ·+ Asks(x − xs)ks
+
+B11x + C11
x2 + p1x + q1+ · · ·+ B1l1x + C1l1
(x2 + p1x + q1)l1+ · · ·+
+Bt1x + Ct1
x2 + ptx + qt+ · · ·+ Btltx + Ctlt
(x2 + ptx + qt)lt
Vježbe 8
-
FunkcijeRacionalne funkcije
9. Rastavite na parcijalne razlomke
a) f (x) =2x + 3
(x + 1)(x − 2)
b) f (x) =x − 4
x3 + 2x2 − x − 2
c) f (x) =x2 + 2x − 1
(x − 2)(x2 + x + 1)
d) f (x) =x3 + x − 1
(x − 1)2(x + 2)(x2 + x + 1)
Vježbe 8
-
FunkcijeRacionalne funkcije
9. Rastavite na parcijalne razlomke
a) f (x) =2x + 3
(x + 1)(x − 2)
b) f (x) =x − 4
x3 + 2x2 − x − 2
c) f (x) =x2 + 2x − 1
(x − 2)(x2 + x + 1)
d) f (x) =x3 + x − 1
(x − 1)2(x + 2)(x2 + x + 1)
Vježbe 8
-
FunkcijeRacionalne funkcije
9. Rastavite na parcijalne razlomke
a) f (x) =2x + 3
(x + 1)(x − 2)
b) f (x) =x − 4
x3 + 2x2 − x − 2
c) f (x) =x2 + 2x − 1
(x − 2)(x2 + x + 1)
d) f (x) =x3 + x − 1
(x − 1)2(x + 2)(x2 + x + 1)
Vježbe 8
-
FunkcijeRacionalne funkcije
9. Rastavite na parcijalne razlomke
a) f (x) =2x + 3
(x + 1)(x − 2)
b) f (x) =x − 4
x3 + 2x2 − x − 2
c) f (x) =x2 + 2x − 1
(x − 2)(x2 + x + 1)
d) f (x) =x3 + x − 1
(x − 1)2(x + 2)(x2 + x + 1)
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
Neka je a > 0, a 6= 1, realan broj. Funkcija f : R→ R+
zadanapridruživanjem f (x) = ax naziva se (opća)
eksponencijalnafunkcija.
Svojstva eksponencijalne funkcije
f (x1) · f (x2) = f (x1 + x2)
f (0) = 1
(ax1)x2 = ax1·x2
– ako je a > 1, onda je f strogo rastuća funkcija
– ako je 0 < a < 1, onda je f strogo padajuća
funkcija
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
Neka je a > 0, a 6= 1, realan broj. Funkcija f : R→ R+
zadanapridruživanjem f (x) = ax naziva se (opća)
eksponencijalnafunkcija.
Svojstva eksponencijalne funkcije
f (x1) · f (x2) = f (x1 + x2)
f (0) = 1
(ax1)x2 = ax1·x2
– ako je a > 1, onda je f strogo rastuća funkcija
– ako je 0 < a < 1, onda je f strogo padajuća
funkcija
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
10. Riješite jednadžbe
a) 5 · 22x+2 − 2 · 6x+1 = 32x+3,
b) 3 · 4x + 2 · 9x = 5 · 6x .
Hiperbolne funkcije
sh x =ex − e−x
2ch x =
ex + e−x
2
th x =ex − e−x
ex + e−xcth x =
ex + e−x
ex − e−x
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
10. Riješite jednadžbe
a) 5 · 22x+2 − 2 · 6x+1 = 32x+3,
b) 3 · 4x + 2 · 9x = 5 · 6x .
Hiperbolne funkcije
sh x =ex − e−x
2ch x =
ex + e−x
2
th x =ex − e−x
ex + e−xcth x =
ex + e−x
ex − e−x
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
10. Riješite jednadžbe
a) 5 · 22x+2 − 2 · 6x+1 = 32x+3,
b) 3 · 4x + 2 · 9x = 5 · 6x .
Hiperbolne funkcije
sh x =ex − e−x
2ch x =
ex + e−x
2
th x =ex − e−x
ex + e−xcth x =
ex + e−x
ex − e−x
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
11. Dokažite identitete
a) ch2x− sh2x = 1
b) sh (α + β) = shα · chβ + chα · shβ
c) ch (α− β) = chα · chβ − shα · shβ
d) 1− th2x = 1ch2x
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
11. Dokažite identitete
a) ch2x− sh2x = 1
b) sh (α + β) = shα · chβ + chα · shβ
c) ch (α− β) = chα · chβ − shα · shβ
d) 1− th2x = 1ch2x
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
11. Dokažite identitete
a) ch2x− sh2x = 1
b) sh (α + β) = shα · chβ + chα · shβ
c) ch (α− β) = chα · chβ − shα · shβ
d) 1− th2x = 1ch2x
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
11. Dokažite identitete
a) ch2x− sh2x = 1
b) sh (α + β) = shα · chβ + chα · shβ
c) ch (α− β) = chα · chβ − shα · shβ
d) 1− th2x = 1ch2x
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
Neka je a > 0, a 6= 1, realan broj. Funkcija f : R+ → R
zadanapridruživanjem f (x) = loga x naziva se (opća)
logaritamskafunkcija.
Svojstva logaritamske funkcije
f (x1 · x2) = f (x1) + f (x2)
f (1) = 0
– za svaki realni broj r vrijedi loga xr = r loga x
loga x = loga b · logb x
– ako je a > 1, onda je f strogo rastuća funkcija
– ako je 0 < a < 1, onda je f strogo padajuća
funkcija
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
Neka je a > 0, a 6= 1, realan broj. Funkcija f : R+ → R
zadanapridruživanjem f (x) = loga x naziva se (opća)
logaritamskafunkcija.
Svojstva logaritamske funkcije
f (x1 · x2) = f (x1) + f (x2)
f (1) = 0
– za svaki realni broj r vrijedi loga xr = r loga x
loga x = loga b · logb x
– ako je a > 1, onda je f strogo rastuća funkcija
– ako je 0 < a < 1, onda je f strogo padajuća
funkcija
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
12. Riješite jednadžbe
a) 2− log 14x = log4(x
2 + 10x + 6),
b) logx+8(5−√
1 + 2x + x2) =1
2.
Vježbe 8
-
FunkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcije
12. Riješite jednadžbe
a) 2− log 14x = log4(x
2 + 10x + 6),
b) logx+8(5−√
1 + 2x + x2) =1
2.
Vježbe 8
