Vjerojatnost unije i suprotnog

događaja

Seminar iz kolegija

Metodika nastave matematike 3

Tajana Berić

Anja Kocijan

Prirodoslovno-matematički fakultet

Matematički odsjek

Zagreb, listopad 2017.

Sadržaj

1 Uvod 1

2 Vjerojatnost unije događaja 2

3 Vjerojatnost suprotnog događaja 5

4 Primjena vjerojatnosti unije i suprotnog događaja na zadacima 7

5 Zaključak 9

6 Literatura 10

1 UVOD

1 Uvod

Učenici se po prvi puta sretnu s pojmom vjerojatnosti u sedmom razredu osnovne škole. Tada

kroz jednostavne primjere usvajaju pojam elementarnog, slučajnog događaja te vjerojatnosti

događaja. Kod definicije vjerojatnosti događaja podrazumijeva se da su svi elementarni

događaji jednako mogući. Nakon sedmog razreda učenici se s pojmom vjerojatnosti ponovno

susreću ukoliko pohađaju tehničke srednje škole ili prirodoslovno matematičke gimnazije gdje

se nastavna cjelina Kombinatorika i vjerojatnost obrađuje u četvrtom razredu. Tada učenici

ponavljaju prije naučene pojmove te se uvodi pojam prostora elementarnih događaja (oznaka

Ω). Ponovno se definira pojam vjerojatnosti za slučajan pokus s konačno mnogo ishoda,

koji su svi jednako mogući; odnosno radi se o klasičnom vjerojatnosnom prostoru. Kako

su događaji skupovi, odnosno podskupovi prostora elementarnih događaja Ω tada i za njih

možemo promatrati uniju, presjek i komplement događaja te ćemo u seminaru definirati te

pojmove. Vjerojatnost unije i vjerojatnost suprotnog događaja uvest ćemo kroz primjere, a

nakon toga iskazati i dokazati teoreme vezane uz njih te na kraju predstaviti nekoliko tipičnih

zadataka koji se odnose na našu temu.

1

2 VJEROJATNOST UNIJE DOGAÐAJA

2 Vjerojatnost unije događaja

Definicija 1. Unija (ili zbroj) događaja A i B je događaj C koji se pojavljuje ako se bar

jedan od događaja A i B pojavljuje. Pišemo C = A ∪B (ili C = A + B).

Postoje događaji koji su komponirani od više elementarnih (ili složenih) događaja. Kako bi

opisali vjerojatnost takvih događaja, najprije je potrebno definirati pojam isključenja.

Definicija 2. Dva događaja se isključuju ako istovremeno ne mogu nastupiti oba. Više

događaja se isključuju ako se uvijek može pojaviti samo jedan od njih. Kažemo još da su

događaji međusobno disjunktni.

Primjer dva događaja koji se isključuju je: pismo i glava kod bacanja novčića, crno i crveno u

ruletu; dok je primjer više događaja koji se isključuju: pojedini brojevi pri bacanju kockice.

Definicija 3. Presjek događaja A i B je događaj C koji se ostvaruje ako su se ostvarila oba

događaja A i B. Pišemo C = A ∩B (ili C = AB).

Primjer 1. U jednoj su kutiji na 30 kartica napisani brojevi od 1 do 30. Na slučajan način

izvlači se jedna kartica. Dani su događaji:

A=izvučen je višekratnik broja 4,

B=izvučen je broj djeljiv s 9.

Opišimo skupove Ω, A, B, A ∪B.

Rješenje.

Skup Ω je skup svih elementarnih događaja, odnosno skup brojeva od 1 do 30, Ω = 1, 2, 3, ..., 30.

Elementi skupa A su višekratnici broja 4 u skupu 1,2,. . . ,30, a to su brojevi 4, 8, 12, 16,

20, 24, 28. Dakle, A = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Elementi skupa B su brojevi iz skupa

1,2,. . . ,30 djeljivi brojem 9, a to su brojevi 9, 18 i 27. Dakle, B = 9, 18, 27. Skup

A ∪B = 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28. Vidimo da je presjek skupova A i B prazan skup.

S obzirom da su svi ishodi ovog pokusa jednako mogući, vjerojatnost računamo kao omjer

broja povoljnih i svih mogućih ishoda:

p(A) = card(A)card(Ω) = 7

30 , p(B) = card(B)card(Ω) = 3

30 , p(A ∪B) = card(A∪B)card(Ω) = 10

30 = 13

Vidimo da je p(A ∪B) = p(A) + p(B).

Teorem 1. Ako su A i B događaji čiji je presjek prazan skup, tada je p(A∪B) = p(A)+p(B).

2

2 VJEROJATNOST UNIJE DOGAÐAJA

Dokaz.

Za broj elemenata konačnih skupova A i B čiji je presjek prazan skup vrijedi card(A∪B) =

card(A) + card(B). Podijelimo li tu jednakost s card(Ω) dobivamo: card(A∪B)card(Ω) = card(A)

card(Ω) +card(B)card(Ω) , tj. p(A ∪B) = p(A) + p(B).

Primjer 2. Iz snopa od 52 karte izvlačimo nasumice jednu. Kolika je vjerojatnost da je

izvučena karta kralj ili crne boje?

Rješenje.

Ovaj događaj je unija dvaju događaja:

A=izvučena karta je kralj i B=izvučena karta je crna. Vrijedi card(A) = 4 jer u snopu

od 52 karte imamo 4 kralja te card(B) = 26 jer imamo 26 karata crne boje. Ova dva

događaja imaju dva elementa zajednička: pik kralj i tref kralj. Dakle, card(A ∩ B) = 2.

Ukupan broj elemenata u promatranom događaju izvučena karta je kralj ili crne boje je

card(A) + card(B)− card(A ∩B) = 4 + 26− 2 = 28 = card(A ∪B), pa je vjerojatnost tog

događaja p(A ∪ B) = card(A∪B)card(Ω) = 28

52 = 713 . Zamijetimo da smo do tog rezultata mogli doći

ovako: p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B) = 452 + 26

52 −252 = 7

13 .

Budući da se u dokazu sljedećeg teorema koristi pojam suprotnog događaja prethodno ćemo

ga definirati.

Definicija 4.

Suprotni ili komplementarni događaj događaja A je događaj AC (ili A) koji se pojavljuje

točno onda kad se A ne pojavljuje.

Teorem 2. Ako su A i B događaji koji imaju neprazan presjek, tada je p(A ∪B) = p(A) +

p(B)− p(A ∩B).

Dokaz.

Da pokažemo ovo svojstvo, događaj A ∪B prikazat ćemo kao uniju dvaju disjunktnih doga-

đaja: A ∪B = A ∪ (B ∩ AC). (Slika 1)

Slično tome, B možemo rastaviti: B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ AC) pri čemu su događaji A ∩ B i

B ∩ AC disjunktni. (Slika 2)

3

2 VJEROJATNOST UNIJE DOGAÐAJA

Slika 1

Slika 2

Po svojstvu aditivnosti vjerojatnosti slijedi:

p(A ∪B) = p(A) + p(B ∩ AC)

p(B) = p(A ∩B) + p(B ∩ AC).

Oduzimanjem dobivamo traženu formulu:

p(A ∪B)− p(B) = p(A)− p(A ∩B) odnosno p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B).

4

3 VJEROJATNOST SUPROTNOG DOGAÐAJA

3 Vjerojatnost suprotnog događaja

Već smo definirali suprotan događaj te ćemo sada kroz primjere uvesti vjerojatnost suprotnog

događaja.

Primjer 3.

U kutiji se nalazi 14 crvenih i 21 zelena kuglica. Nasumice izvlačimo jednu kuglicu iz kutije.

Što je suprotan događaj događaju izvučena je crvena kuglica? Kolika je vjerojatnost do-

gađaja izvučena je crvena kuglica, a kolika je vjerojatnost njemu suprotnog događaja?

Rješenje.

Suprotan događaj događaju izvučena je crvena kuglica je događaj nije izvučena crvena

kuglica odnosno događaj izvučena je zelena kuglica.

Budući da je crvenih kuglica 14, a zelenih kuglica 21, u kutiji je ukupno 35 kuglica pa slijedi:

A= izvučena je crvena kuglica

p(A) = 1435 = 0.4

AC=izvučena je zelena kuglica

p(AC) = 2135 = 0.6

Događaji A i AC su međusobno disjukntni.

Uočimo da je: p(A) + p(AC) = 0.4 + 0.6 = 1.

Primjer 4.

Bacamo dvije simetrične kocke. Kolika je vjerojatnost da je zbroj dobivenih brojeva barem

3?

Rješenje.

Skup svih elementarnih događaja Ω = (1, 1), (1, 2), (2, 1), ..., (6, 5)

Card(Ω) = 36

A = zbroj brojeva na dvije kocke je barem 3

p(A) =?

A je unija događaja kada je zbroj brojeva na dvije kocke: 3, 4, 5,. . . , 11 ili 12

5

3 VJEROJATNOST SUPROTNOG DOGAÐAJA

A1 = zbroj brojeva na dvije kocke je 3 = (2,1),(1,2)

p(A1) = 236

A2 = zbroj brojeva na dvije kocke je 4 = (1,3),(3,1),(2,2)

p(A2) = 336

...

A10 = zbroj brojeva na dvije kocke je 12 = (6,6)

p(A10) = 136

A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A9 ∪ A10

Budući da su događaji A1,A2,A3, . . . , A10 međusobno disjunktni vjerojatnost događaja A

računa se na sljedeći način:

p(A) = p(A1)+p(A2)+ ...+p(A9)+p(A10) = 236 + 3

36 + 436 + 5

36 + 636 + 5

36 + 436 + 3

36 + 236 + 1

36 = 3536 .

Vjerojatnost da je zbroj brojeva na dvije bačene kocke barem 3 jednaka je 3536 . Prethodni je

postupak izračunavanja tražene vjerojatnosti dugačak, no mogli smo isti rezultat dobiti i na

sljedeći način.

Budući da smo u obzir uzimali samo zbrojeve jednake i veće od 3, uočavamo da nam je

preostao još samo jedan zbroj koji se mogao pojaviti na dvije kocke, a to je 2, stoga imamo

događaj zbroj brojeva na obje kocke jednak je 2.

Događaj zbroj brojeva na obje kocke jednak je 2 je komplement događaja A.

AC = (1, 1) tada je p(AC) = 136 .

Budući da su A i AC disjunktni po analogiji s primjerom 3. očekujemo da je p(A)+p(AC) = 1

odakle dobivamo p(A) = 1− p(AC) = 1− 136 = 35

36 što se podudara s ranijim rezultatom.

Teorem 3.

Za svaki događaj A i njemu suprotan događaj AC vrijedi: p(A) + p(AC) = 1.

Dokaz.

Vrijedi: A ∪ AC = Ω pri čemu su A i AC disjunktni.

Zbog svojstva normiranosti i aditivnosti vjerojatnosti vrijedi: 1 = p(Ω) = p(A ∪ AC) =

p(A) + p(AC).

6

4 PRIMJENA VJEROJATNOSTI UNIJE I SUPROTNOG DOGAÐAJA NAZADACIMA

4 Primjena vjerojatnosti unije i suprotnog događaja na

zadacima

Zadatak 1. Bacamo dvije igraće kocke. Kolika je vjerojatnost da su brojevi na obje kocke

veći od 2 ili da su brojevi jednaki?

Rješenje.

Vjerojatnost da su oba broja veća od 2 ili da su brojevi jednaki je 12 .

Zadatak 2. U jednoj zagrebačkoj srednjoj školi ima 500 učenika. Engleski jezik uči njih 160,

njemački 130, španjolski 110. Nadalje, engleski i njemački uči njih 60, engleski i španjolski 50,

njemački i španjolski 40, a sva tri strana jezika odjednom uči njih 30. Kolika je vjerojatnost

da slučajno odabrani učenik ide barem na jedan strani jezik?

Rješenje.

Vjerojatnost da slučajno odabrani učenik ide barem na jedan strani jezik je 1425 .

Zadatak 3. Iz snopa od 52 karte izvlačimo 3. Kolika je vjerojatnost da su izvučena 3 asa

ili 3 dečka?

Rješenje.

Vjerojatnost da su izvučena 3 asa ili 3 dečka je 25525 .

Zadatak 4. U kutiji se nalazi 9 crvenih, 10 žutih i 11 plavih žetona. Na slučajan način

izvlačimo 7 žetona. Izračunajte vjerojatnost da među izvučenim žetonima nisu zastupljene

sve tri boje.

Rješenje.

Vjerojatnost da među izvučenim žetonima nisu zastupljene sve tri boje je 451337700 .

Zadatak 5. Jednog radnog tjedna (od ponedjeljka do petka) u nekom gradu 12 ljudi je po-

zvalo dimnjačara u svoje kuće da očisti dimnjak. Svaki čovjek je slučajno odabrao neki radni

dan u tom tjednu i pozvao dimnjačara. Izračunajte vjerojatnost događaja A=dimnjačar

nema posla barem jedan dan.

Rješenje.

Vjerojatnost da dimnjačar nema posla barem jedan dan je 6289011953125

7

4 PRIMJENA VJEROJATNOSTI UNIJE I SUPROTNOG DOGAÐAJA NAZADACIMA

Zadatak 6. Koja je vjerojatnost da u grupi od 300 ljudi bar dvoje ljudi je rođeno isti dan?

(nitko nije rođen u prijestupnoj godini)

Rješenje.

Vjerojatnost da je u grupi od 300 ljudi bar dvoje ljudi rođeno isti dan je: 1− 365·364·363·362·...·66365300 .

Zadatak 7. Iz snopa od 52 karte nasumice izvlačimo 8 karata. Kolika je vjerojatnost da

smo izvukli barem 3 srca?

Rješenje.

Vjerojatnost da smo izvukli barem tri srca iznosi približno 0.314373.

Zadatak 8. Iz skupa 1,2,. . . ,100 odaberemo slučajno brojeve a i b. Kolika je vjerojatnost

da je:

1.) ab + ba neparan broj?

2.) ba · ab paran broj?

Rješenje.

1.) Vjerojatnost da je ab + ba neparan broj je 0.5.

2.) Vjerojatnost da je ba · ab paran broj je 34

Zadatak 9. Ivan baca deset simetričnih kockica. Izračunajte vjerojatnost da je umnožak

brojeva na bačenim kockicama djeljiv s pet.

Rješenje.

Vjerojatnost da je umnožak brojeva na bačenim kockicama djeljiv s pet je 1− (56)10

Zadatak 10. U razredu od 32 učenika ima 14 dječaka i 18 djevojčica. Polovina svih dječaka

i polovina svih djevojčica ima smeđu kosu. Kolika je vjerojatnost da nasumice izabran/a

učenik/ca ima smeđu kosu ili je dječak?

Rješenje.

Tražena vjerojatnost je 2332 .

8

5 ZAKLJUČAK

5 Zaključak

Od učenika četvrtih razreda prirodoslovno matematičkih gimnazija te srednjih tehničkih škola

očekuje se da usvoje definicije i teoreme koji su predstavljeni ovim seminarom. Također, uče-

nici trebaju znati primijeniti usvojeno gradivo na zadacima. U seminaru smo se usredotočile

na zadatke vezane uz vjerojatnost unije i suprotnog događaja u klasičnom vjerojatnosnom

prostoru.

Zadatke u kojima je potrebno izračunati vjerojatnost unije događaja najčešće prepoznajemo

po vezniku ili. Tipični zadaci koji u svom pitanju sadrže veznik ili su zadaci sa izvlače-

njem karata, kuglica ili zadaci s bacanjem kockica. Također, zadatke u kojima računamo

vjerojatnost unije događaja možemo osmisliti na način da zadamo događaj koji se sastoji

od nekoliko događaja (ne nužno nezavisnih) te postavimo zadatak tako da učenici trebaju

izračunati vjerojatnost da će se dogoditi bilo koji od tih nekoliko međusobno nezavisnih do-

gađaja. Prilikom osmišljavanja zadataka vezanih uz vjerojatnost suprotnog događaja ideja je

da se zadaci namještaju na način da se događaj čija se vjerojatnost traži sastoji od više ele-

mentarnih događaja nego što se sastoji njemu suprotan događaj. Time se učenike pokušava

navesti da koristeći tvrdnju da je zbroj vjerojatnosti događaja A i njemu suprotnog događaja

jednak 1 ponekad na jednostavniji i kraći način riješe zadatak.

Smatramo da u nastavnoj jedinici vjerojatnost unije i suprotnog događaja možemo različitim

zadacima i primjerima vezanim uz stvarni život približiti učenicima gradivo te ih zainteresirati

za temu i omogućiti im da što bolje savladaju gradivo.

9

6 LITERATURA

6 Literatura

[1] Antoliš, S., Copić, A (2007.) Matematika 4, prvo polugodište udžbenik sa zbirkom zadataka

za 4. razred za prirodoslovno-matematičke gimnazije, Zagreb: Školska knjiga

[2] Bošnjak, Ž., Čulina, B. (2017.) Matematički izazovi 7, udžbenik iz matematike za sedmi

razred, prvi dio, Zagreb: Alfa

[3] Dakić, B., Elezović, N. (2003.) Matematika 4, brojevi, kombinatorika, vjerojatnost, nizovi,

udžbenik i zbirka zadataka, Zagreb: Element

[4] Dakić, B., Elezović, N. (2006.) Matematika 4, dodatak za 4. razred prirodoslovno-

matematičke gimnazije, Zagreb: Element

[5] Erceg, V., Varošanec, S. (2014.) Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred

ugostiteljsko-turističkih škola, Zagreb: Element

[6] Keček, D., Modrić, D., Stojić, M. (2012.) Vjerojatnost i statistika Varaždin: Veleučilište

u Varaždinu

[7] Veljan, D. (1997.) Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka s rješenjima za četvrti razred

srednjih škola Zagreb: Školska knjiga

10