Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET U SARAJEVUEKONOMSKI FAKULTET U SARAJEVU
SEMINARSKI RAD
Predmet: Kvantitativni modeli u finansijamaTema: Vjerovatnoca u statistici
Mentor: Studenti:Doc. dr. Jasmina Selimović Adis Zecic 71470 Jasmin Mujevic 71596 Dzani Milisic 70741
Sarajevo, 2015
1
SADRŽAJ:
1.UVOD...............................................................................................................................3
2. EKSPERIMENT KAO POJAM VJEROVATNOĆE................................................5
2.1. ULOGA I ZNAČAJ EKSPERIMENTA U STATISTICI........................................5
2.2. SLUČAJNI EKSPERIMENT, SKUP MOGUĆIH REZULTATA EKSPERIMENTA I DOGAĐAJI....................................................................................6
3. VJEROVATNOĆA U STATISTICI...........................................................................7
3.1. DEFINISANJE VJEROVATNOĆE.........................................................................7
3.1.1. Eskperimentalni pristup definisanja vjerovatnoće.............................................8
3.1.2. Teorijska definicija vjerovatnoće.......................................................................8
3.1.3. Protivna vjerovatnoća......................................................................................11
3.1.4. Totalna vjerovatnoća........................................................................................11
3.1.5. Složena vjerovatnoća. Bernelijeva formula.....................................................13
3.2. TEOREME VJEROVATNOĆE.............................................................................15
3.3.1. Teorema aditivnosti.........................................................................................15
3.3.2. Teorija multiplikativnosti.................................................................................16
3.3.3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost slučajnih događaja..................................17
3.3.3.1. Uslovna vjerovatnoća................................................................................17
3.3.3.2. Vjerovatnoća presijeka događaja A i B....................................................17
3.3.3.3. Nezavisnost slučajnih događaja................................................................18
3.3.4. Bayesova teorema............................................................................................18
3.4. RELATIVNA UČESTALOST, STATISTIČKA DEFINICIJA VJEROVATNOĆE........................................................................................................................................21
3.5. DISTRIBUCIJE VJEROVATNOĆE......................................................................23
2
4. ZAKLJUČAK..............................................................................................................26
5. LITERATURA.............................................................................................................27
3
1.UVOD
Vjerovatnoća, odnosno teorija vjerovatnoće, pručava zakonitosti koje se javljaju prilikom
velikog broja slučajnih faktora, uticaja velikog broja slućajnih faktora. Vjerovatnoća,
kao značajna oblast i statistike i matematike, nalazi primjenu i u drugim oblastima poput
geodezije, medicine, meterologije i td. Prvi radovi istraživača iz oblasti vjerovatnoće
javili su se u XVI i XVII vijeku i uglavnom su se odnosili na procjenu šansi u igrama na
sreću.
Teorija vjerovatnoće je disciplina u kojoj se izučavaju zakonitosti slučajnih pojava. U
tom smislu, potrebno je ukazati da je slučajni događaj onaj događaj čija se realizacija ne
može pouzdano utvrditi odnosno predvidjeti. Skup svih ovih događaja, odnosno skup
svih elementarnih događaja je sigurani događaj.
Predmet ovog istraživanja jeste da se identifikuje teorijski okvir vjetrovatnoće i kao i da
se pojasne teoreme vjerovatnoće. Kako bi se ova problematika analizirala i obuhvatila, u
radu je prvo dato pojašnjenje eksterimenta i događaja u statistici, na bazi čega i određuje
vjerovatnoća. Nakon toga akcenat je dat je pojašnjenje teorije vjerovatnoće kao i odnosno
teorijsko određenje sa ciljem idnetifikovanja suštine i potrebe istraživanja vjerovatnoće.
Predmet rada se može predstaviti na sljedeći način, odnosno kroz sljedeće tačke:
- Identifikovanje eksperimenta u statistici,
- Analizira pojma vjerovatnoće
- Identifikovanje teorije vjerovatnoće.
Na bazi ovih tačaka analize kreirat će se dovoljano kvalitetan okvir kojim će se dokazati
definisana hipoteza kao i i približavnje problematike vjerovatnoće, njene uloge i značaja.
Ciljevi ovog istraživanja su u velikoj mjeri povezani sa definisanom problematikom rada.
Tačnije, cilj rada je da se ukaže na ključno pojmovno određenje teorije vjerovatnoće, da
se identifikuje njena suština te da se na praktičnim primjerima idnetifikuje način
određenja vjerovatnoće. Ciljevi rada se mogu obuhvatiti na sljedeći način:
- Pokazati u čemu je značaj ekperienta u statistici i njegovu povezanost sa
vjerovatnoćom;
- Identifikovati ulogu i značaj teoriju vjerovatnoće kao i njena teorijska određenja;
4
- Analizirati i ukazati na suštinu teorema vjerovatnoće koje se primjenjuju u
statistici.
Hipoteza od koje se u ovom istraživanju polazi i koja će s epokušati dokazati glasi:
- „Teorijom vjerovatnoće se pojašnjavaju zakonitosti koje nastaju prilikom
istovremenog uticaja velikoj broja faktora koji dolaze od strane djelovanja
slučajnih promjenljivih“.
Argumenti kojima se definisana hipoteza potvrđuje biće obuhvaćeni kroz cijelo
istraživanje i posebno navedeni u zaključnom dijelu rada.
Sa ciljem sveobuhvatnog analiziranja i razumjevanja tematike ovog rada, isti je podjeljen
u nekoliko dijelova, kako slijedi:
Prvi dio rada, Uvod, u kojem su definisani polazni elementi istraživanja. Tačnije, u
uvodnosnom dijelu dat je osvrt na predmet rada, cilj rada, znanstvene metode koje su se
primjenile kao i kratka struktura istraživanja.
Drugi dio rada, Eksperiment u statistici, ukazuje na polzane lemente analize
vjerovatnoće. Koncept eskperimenra je veoma važana u statističkoj ocjeni i istraživanju
vjerovatnoće te ga je stoga neophodno i pojasniti.
Treći dio rada, Vjerovatnoća i teorija vjerovatnoće, ukazuje na suštinu ovog rada.
Tačnije, u ovom dijelu se istražuju teorijska određenja vjerovatnoće kao i primjeri
izračunavanja, odnosno određenja vjerovatnoće.
Četvrti dio rada, Zaključak, ukazuje na konkretne zaključke do kojih se u ovom
istraživanju došlo.
Na kraju rada dat je popis korištene literature.
5
2. EKSPERIMENT KAO POJAM VJEROVATNOĆE
Ključni pojam u vjerovatnoći u statistici jeste događaj. Događaj se, kao takav, ne
definiše. Ukoliko bi bilo potrebno na neki način definisati događaj, onda bi se pod njim
mogao podrazumijevati neki događaja koji može da nastupi pod uticajem skupa uzoraka.
Tako naprimjer, ukoliko stijelac gađa metu, događaj je kada istu pogodi. Isto tako,
ukoliko se postude izvlače kugle koje su različite boje, naprimjer crne i bijele, svako
izvlačenje kugle, bez obzira da li bila crna ili bijela, predstavlja događaj. Radnja u kojoj
se provode ove aktivnosti izvlačenja predstavlja eksperiment. Činjenica je da u
vjerovatnoći sam eksperiment ima veliku ulogu i važnost, i stoga će se ovom prilikom
ukratko pojasniti njegova suština. Ovom prilikom obuhvaćene su sljedeće tačke
istraživanja:
- Uloga i značaj eksperimenta u statistici,
- Slučajni eksperiment, skup skup mogućih rezultata eksperimenta i događaji.
2.1. ULOGA I ZNAČAJ EKSPERIMENTA U STATISTICI
Posmatranje pojave, ukupne pojave ili barem njegog segmenta, veoma je važan faktor u
istraživanja, pa tako i u ekonomskim istraživanjima. Priroda ovih ispitivanja dosta je
složena, kompleksna, te je neophodno da postoje osobe koje su u dovoljnoj mjeri
uključene u suštinu statistike i istraživanja, i koje mogu na odgovarajući način da
naliziraju i tumače dobijene podatke. “Statistička teorija, koja je u osnovi deduktivna,
doprinosi racionalizaciji i kvalitetu induktivnog procesa posmatranja. Posmatranje se
najčešće sastoji u ispitivanju dijela jedinica osnovnog skupa koji se naziva uzorak da bi
se donio sud o osnovnom skupu ili populaciji, bilo da su oni konačni ili beskonačni”1.
Da li posmatranje koje se provodi imati deduktive atribute, to zavisi od toga da li se
ispituje ukupna populacija ili jedan segemnt populacije. Ukoliko je posmatranje
usmjereno samo na jedan dio populacije, tada se radi o induktivnom posmatranju.ukoliko
postoji induktivno posmatranje tada se na osnovu osobina uzorka, primjenom određenih
metoda baziranih na teoriji vjerovatnoće, donose zaključci o osobinama skupa, ali uz
1 Blažić,M.,Dragović,V.,“Opšta statistika – osnovi i analiza“, Savremena administracija Beograd, 1991. godine, str. 20.
6
određeni stepen pouzdanosti. „Statistička inferencija omogućuje izvođenje dvije vrste
zaključaka o osnovnom skupu na osnovu uzorka”2. Prvi tip zaključaka odnosi se na
ocjene nepoznatih vrijednosti ili pak ocjene intervala pouzdanosti za određene osobine,
obilježja osnovnog skupa, takođe uz određeni stepen pouzdanosti. Na bazi ovih ocjena
vrši se kvantifikacija nepoznatog parametra ili pak interval u kojem se parametar
osnovnog skuzpa nalazi, uz dati stepen, odnosno grešku procjene. Drugi pristup, u ovom
kontekstu, nalazi primjenu u situacijama kada se na osnovu prethodnih eksperimenata ili
pak iskustava, mogu predvidjeti ili prepostaviti vrijendosti osnovog skupa. Kako bi se
ova pretpostavka provjerila, potrebno je porediti pretpostavljenu vrijendost obilježja
osnovnog skupa sa onom vrijenošću koja je izračunata na bazi uzorka koji je iz tog
osnovnog skupa izabran.
2.2. SLUČAJNI EKSPERIMENT, SKUP MOGUĆIH REZULTATA EKSPERIMENTA I DOGAĐAJI
Slučajni događšaj, odnosno statistički eksperiment, može se modelirati kroz teorijsu
vjerovatnoće, pod uslovom da:3:
- “može biti ponavljan u istim uslovima veliki broj puta,
- rezultat eksperimenta nije unaprijed poznat se može definisati skup mogućih
rezultata (ishoda) tog eksperimenta”.
Skup svih mogućih rezultata nekog eksperimenta označav se velikim grčkim slovom
omega. Modelizacija skupca rezultata, odnosno mogućih rezultata konkretnog
eksperimenta, sastoji se u aktivnostima slučajnog izvlačenja samo jednog elementa iz
skupa. Svaki rezultat eksperimenta se naziva elementarnim događajem i označava malim
grčkim slovom omega. Skup elementarnih događaja može biti konačan ili beskonačan
2 Kvrgić,G.,“Osnovni finansijske statistike“, Visoka poslovna škola strukovnih studije, Čačak, 2008. godine, str. 39.3 Dragović,V.,“Statistika“, Zavod za udžbenike i nastavka sredstva Istočno Sarajevo, 2008. godine, str. 57.
7
3. VJEROVATNOĆA U STATISTICI
Ovaj dio rada predstavlja suštinu istraživanja i u njemu se definiše vjerovatnoća, teorije
vjerovatnoće kao i njena suština. Pored teorijskog osvrta na koncepte teorijske
vjerovatnoće, analiza će obuhvatiti i određene primjene na bazi kojih će se pokazati
sistem određenja vjerovatnoće. Ovaj dio rada je podjeljen kroz sljedeće tačke:
- Definisanje vjerovatanoće,
- Teorijska definicija vjerovatnoće,
- Teorema vjerovatnoće.
3.1. DEFINISANJE VJEROVATNOĆE
Teorija vjerovatnoće nije ništa drugo do teorija slučaja. Statističkim zakonitostima
slučajnih događaja bavi se, odnosno izučava ih matematička statistika. Slučajni događaj
rezultat je brojnih uzroka koji mogu biti i poznati i nepoznati. Analiziranjem i
kvantifikovanjem brojnih slučajnih pojava, koje su boilježene različitim oznakama,
moguće je izvući i neke koristie, poput prvdviđanja različitih slučajnih događaja,
mjerenje slučajnih događaja i to uz pomoć vjerovatnoće. Kaže se da je slučaj onaj
događaj čiji je nastup vezan uz stanovitu vjerovatnoću. Razlikuju se dva osnovna tipa
vjerovatnoće4:
- “vjerovatnoća a priori i
- vjerovatnoća a posteriori”.
Vjerovatnoća a priori jeste ona vjerovatnoća koja je unaprijed poznata. Vjerovatnoća
nekog događaja može biti unaprijed poznata, pod uslovom da je unaprijed poznat broj
povoljnih ili broj mogućih ishoda, rezultata slučajnog eksperimenta. „Ako znamo da se u
posudi nalaze dvije kuglice različite boje (crvena i bijela), u tom slučaju vjerovatnoća
izvlačenja svake od tih kuglica je poznata i iznosi 50%“5. Uglavnom, u praksi, broj
4 Petrović, Ž., «Poslovna statistika», Univerzitet za poslovne studije, Banja Luka, 2006. godine, str. 93.5 Kvrgić,G.,“Osnovni finansijske statistike“, Visoka poslovna škola strukovnih studije, Čačak, 2008. godine, str. 24.
8
poznatih ili povljnih događaja nije poznat. Isto tako, nisu poznati ni elementi koji su
potrebni za izračunavanje vjerovatnoće, te je neophodno na osnovu eksperimenta, ili pak
na neki drugi način, izračunati vjerovatnoću. Potrebno je izračunati vjerovatnoću nakon
realizacije eksperimenta, te tada govorimo o vjerovatnoći a posteriori. U analiziranju i
idnetifikovanju vjerovatnoće, moguće je implementirati dva pristupa vjerovatnoće -
eksperimentalni i teorijski.
3.1.1. Eskperimentalni pristup definisanja vjerovatnoće
U eksperimentalnom pristupu definisanja vjerovatnoće, vjerovatnoća se određuje na bazi
frekfencija. Ovakva vjerovatnoća, odnosno ovaj tip vjerovatnoće naziva se još i
emprijska, statistička ili vjerovatnoća a posteriori. Ovaj pristup vjerovatnoće se
primjenjuje u slučajevima kada se potrebno odrediti numeričke vrijednosti vjerovatnoće
nekog događaja. „Prema ovoj definiciji, vjerovatnoća je definisana kao granična
vrijednost relativne frekvencije i određuje se poslije izvršenog eksperimenta na osnovu
prikupljenih empirijskih podataka”6. Ukoliko se n označi broj ponavljanja nekog
slučajnog događaja a sa n (A) broj realizacija slučajnog događaja A prilikom n
ponavljanja, tada će odnos n(A)/n predstavljati relativnu frekfenciju događaja A. U ovom
slučaju se vjerovatnoća događaja A utvrđuje kao granična vrijednost relativne frekfencije
u slučaju kada broj ponavljanja posmatranog slučajnog događaja teži beskonačnosti. Ovi
odnosi se mogu prikazati na sljedeći način:
3.1.2. Teorijska definicija vjerovatnoće
6 Zečević,A., Filipović,L., Jovanović,G., «Matematika», Savremena administracija Beograd, 2001. god, str.248.
9
Teorijski pristup vjerovatnoće predstavlja vjerovatnoću a priori. Tako naprimjer, ukoliko
se pretpostave sljedeći podaci:
Ε – slučajni eksperiment
Ω – skup svih mogućih rezultata tog eksperimenta, koji može biti
konačan ili beskonačan
- skup svih događaja koji se mogu realizovati kao rezultat slučajenog
eksperimenta.
Sastavni dio ovog skupa su pored elemenata događaja i događaja Aj, uvijek i
nemoguć događaj i siguran događaj Ω. U slučaju eksperimenta bacanja kocke čije su
strane označane od 1 do 6, skup mogućih rezultata jeste . U tom slučaju
skup svi događaja (eksperimenata i složenih) koji se mogu realizovati kao eksperiment
bacanja kocke je7:
Vjerovatnoća se nazova aplikacija p koja koja svakom događaju iz skupa pridružuje
jednu vrijednost iz intervala (0,1), odnosno p: i zadovoljava dva sljedeća
aksioma8:
1. Zbir vjerovatnoća svih elementarnih događaja je jednak 1:
7 Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008. godine,str. 214.8 Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008. godine,str.220.
1
2. Vjerovatnoća bilo kojeg događaja A je jednaka zbiru vjerovatnoća elementarnih
događaja koji čine događaj A:
Da bi se odredila vjerovatnoća skupa mogućih rezultata eksperimenta potrebno je svakom
elementarnom događaju pridružiti vjerovatnoću . Primjena ove definicije
vjerovatnoće se zasniva na pretpostavci da je za sve elementarne događaje poznata
vjerovatnoća koja može uzimati vrijednosti iz intervala (0,1). Vjerovatnoća događaja A se
izračunava matematičkim putem prije realizacije eksperimenta, dakle a priori.
Definisanom događaju A pridružujemo realan broj koji obilježavamo sa p(A) i nazivamo
vjerovatnoćom događaja A ako zadovoljava sljedeće uslove9:
Posljedice aksiomatske definicije su sljedeće:
- Vjerovatnoća skupa svih mogućih rezultata slučajenog eksperimenta je jednaka
jedinici .
Prema aksiomu 1:
- Zbir vjerovatnoće događaja A i vjerovatnoće njemu komplemetarnog događaja
- Vjerovatnoća nemogućeg događaja se predstavlja kao prazan skup i jednak je
nuli, odnosno:
9 Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008. godine,str, 221.
1
- Za svaki događaj vjerovatnoća se kreće između nule i jedinice
Primjer 110:
Ako je ε eksperiment izvlačenje loptica čiji je skup mogućih rezultata Ω = (plava,
crvena, zelena, žuta) i vjerovatnoća izvlačenja svake od loptica:
p (plava) = 0,3
p (crvena) = 0,4
p (zelena) = 0,2
p (žuta) = 0,1
Provjeriti aksiom 1 teorijske definicije i utvrditi vjerovatnoću događaja A koji se sastoji
od elementarnih događaja izvući plavu ili zelenu kuglicu.
Aksiom 1 je provjeren jer je zbir vjerovatnoća jednak jedinici.
p(Ω)=0,3+0,4+0,2+0,1=1
Prema aksiomu 2, vjerovatnoća događaja A=(plava, zelena) je jednaka
p(A)=p (plava) + p(zelena)=0,3+ 0,2=0,5
Vjerovatnoća događaja A je jednaka p(A)= 0,5.
Ovaj tip vjerovatnoće, odnosno sistem vjerovatnoće koji je prethodno definisan, često se
naziva i klasičnom definicijom vjerovatnoće. Kako se primjećuje, vrijendost jednog
događaja predstavlja omjer broja onih događaja koji su za njega povoljni u odnosu na sve
jednako moguće slučajeve. „Vjerovatnoća jednog događaja je odnos između broja
povoljnih i broja svih mogućih jednako vjerovatnih događaja”11. Ova definicija ujedno se
smatra klasičnom definicijom vjerovatnoće a naziva se i matematičkom definicijom
vjerovatnoće.
10 Primejr preuzet iz: Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008. godine,str. 220.11 Nikačev,J., «Viša matematika», Novi Sad, 1973. godine, str.411.
1
3.1.3. Protivna vjerovatnoća
Protivna vjerovatnoća odgovara na pitanje kolika je vjerovatnoća da se neki događaj neće
dogoditi. Ukoliko za pojavu nekog događaja u n svih jednako mogućih alučajeva postoji
m povoljnih slučajeva, onda je n-m broj nepovoljnih slučajeva za pojavu tog događaja.
Vjerovatnoća da se iščekivani događaj ne dogodi, odnosno da se n epovoljni događaj
dogodi u smislu definicije, biće:
3.1.4. Totalna vjerovatnoća
Ukoliko neki događaj može da nastane na više načina pri čemu se ti posmatrani načini
međusobno isključuju, tada će njihova vjerovatnoća biti jednaka zbiru vjerovatnoće koji
pripadaju svakom pojedinom načinu. Ovo je najjednostavnije pojasniti putem primjera.
Pretpostavimo da u jendoj kutuju postoji 1000 kuglica, te da je 200 kuglica crvene boje,
300 kuglica je zelene boje i 500 kuglica je bijele boje. Postavlja se pitanje koja je
vjerovatnoća da će se prilikom izvlačenja izvući crvena ili zelena kuglica. Rjšenje je
sljedeće:
Broj povoljnih slučajeva, m=200+300=500, te e, na bazi ovoga, vjerovatnoća sljedeća:
Ipak, ukoliko se primjeni teorema totalne vjerovatnoće, tada se ova vjerovatnoća može
izraziti na sljedeći način:
1
Vjerovatnoća da će se prilikom izvlačenja kuglica izvući zelena kuglica, je sljedeća:
Da bi se odredila vjeovatnoća da će se izvuću zelena ili crvena kuglica, prema definiciji
totalne vjerovatnoće, je sljedeća:
Kako se primjećuje, kod potpune vjerovatnoće, vjerovatnoća događaja jednaka je zbiru
vjerovatnoća pojedinih događaja. U ovom slučaju se zapravop govori o Bajersovoj
formuli, koja glasi: “Vjerovatnoća događaja A jednaka je zbiru proizvoda, događaja Bi i
odgovarajućih uslovinih vjerovatnoća”12. Ova formula se može prikazati na sljedeći
način: . Događaji B1,B2...,Bn nazivamo pretpostavkama
(hipotezama). Primjećujemo da je P(B1 +B2+...+Bn) = 1, pa je zbog toga i dat naziv
potpuna vjerovatnoća.
3.1.5. Složena vjerovatnoća. Bernelijeva formula
Kod obične, a i totalne vjerovatnoće, tražila se vjerovatnoća jednog nezavisnog događaja.
Međutim, ukoliko je neki događaj uslovljen nastupom više pojedinih međusobno
nezavisnih događaja, to je onda složeni događaj. Ukoliko pretpostavimo da imamo dvije
12 Zečević,A., Filipović,L., Jovanović,G., «Matematika», Savremena administracija Beograd, 2001. god, str.253.
1
kutije sa kuglicama. U jednoj kutiji ima n1 kuglica, od toga a1 bijelih i b1 crnih, tj.
Postavlja se problem: koliko je u prvoj kutiji bilo svih kuglica n1, broj svih mogućih
kombinacija biće:
Na isti način ćemo ustanoviti broj povoljnih kombinacija: svaka bijela iz prve, sa svakom
bijelom iz druge kutije, daje:
Prema osnovnoj formuli biće:
Vjerovatnoća pojave bijele kuglice iz prve kutuje je sljedeća:
Isto tako, vjerovatnoća pojave bijele kuglice iz druge kutuje je sljedeća:
1
Ukoliko je potrebno istražiti i ocijeniti vjerovatnoću da će biti izvučene bijele kuglice, te
bazirajući se na date osnovne formule, tada važi sljedeća vjerovatnoća:
Konačno, ukoliko imamo više nezavisnih, posebnih događaja sa odgovarajućim
vjerovatnoćama p1, p2 , p3 , p4 , vjerovatnoća da će se ovi događaji zajedno pojaviti, tj.da
će se pojaviti i prvi i drugi i treći i četvrti, data je sledećim izrazom:
Ukoliko imamo n nezavisnih pojedinačnih događaja, a vjeroavtnoća svakog pojedinačnog
jednaka je, odnosno:
p1= p2 = p3 =... pn =p
vjerovatnoća da će se ti pojedinačni događaji zajedno desiti data je formulom:
P=pn
Ukoliko se pojedinačni događaji međusobno isklučuju njihova zajednička pojava je
nemoguća, pa je vjerovatnoća njihovog složenog događaja jednaka nuli. Na primjer, pri
bacanju kocke vjerovatnoća događaja pojava broja dva ili neki definisani drugi broj
jednaka je nuli.
U praksi često nailazimo na višekratno ponavljanje jednog eksperimenta po mogućnosti
pod jednakim uslovima.
Ponavljanje nezavisnih događaja nazivamo shemom Bernulija, ako pri svakom
eksperimentu su moguća dva ishoda: događaj A se pojavio u n eksperimenata sa istim
vjerovatnoćama pojavljivanja u svakom eksperimentu moguća dva ishoda: događaj A se
pojavio u n eksperimenata sa istim vjerovatnoćama pojavljivanja u svakom eksperimentu
1
P(A)=p ili se nije pojavio A, sa istim vjerovatnoćama ne pojavljivanja u svakom
eksperimentu P(A)=q. Redoslijed pojavljivanja događaja A nije bitan. Nas interesuje
vjerovatnoća pojavljivanja događaja A u n – nezavisnih eksperimenata
- tačno k puta
- najmanje k puta
- najviše k puta, gdje je nN, a k = 0,1,2,3,...
Bernuijeva formula ima sledeći oblik13:
Pn(k) = Ckn * pk * q n-k = (n
k) * pk * q n-k
Gdje je Ckn broj kombinacija bez ponavljanja od n elemenata k-te klase, p-vjeroavtnoća
ponavljanja događaja A u jednom eksperimentu.
3.2. TEOREME VJEROVATNOĆE
Ovom prilikom predstavit će se nekoliko teorija vjerovatnoće koje se najčešće koriste i
koje su neophodne za analizu i istraživanje. Analizirano je sljedeće:
- Teorema aditivnosti,
- Teorema multiplikativnosti,
- Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost slučajnih događaja,
- Bayesova teorema.
3.3.1. Teorema aditivnosti
Primjenom teorije aditivnosti definiše se vjerovatnoća nekompatibilnih i kompatibilnih
događaja. Što se tiče vjerovatnoće nekompaktibilnih događaja, ona ocjenuje vjerovatnoću
13 Dragović,V.,“Statistika“, Zavod za udžbenike i nastavka sredstva Istočno Sarajevo, 2008. godine,str. 34.
1
da će se dogoditi događaj A ili događaj B. Tačnije, opna ispituje, kako joj i sam naziv
govori, vjerovatnoću unije nekompatibilnih događaja, pri čemu koristi teoremu
aditivnosti koja se izražava sljedećom relacijom14:
Što se tiče vjerovatnoće nekompaktiblinih događaja, pod uslovoma da je , tada
se vjerovatnoću unije kompaktibilnih događaja A i B može izraziti sljedećom relacijom:
U oba slučaja važi uslov da je vjerovatnoća realizacije skupa elementarnih događaja,
dakle sigurnog događaja jednaka jedinici, a vjerovatnoća nemogućeg događaja jednaka
nuli:
3.3.2. Teorija multiplikativnosti
Teorija multiplikativnosti se odnosi na identifikovanje i analiziranje odnosa između dva
nezavisna događaja A i B, pri čemu se ova teorija, teorema multiplikativnosti, izražava
vjerovatno_u presjeka događaja A i B, kao proizvod vjerovatnoće događaja A i
vjerovatnoće događaja B, sljedećom relacijom15:
14 Petrović, Ž., «Poslovna statistika», Univerzitet za poslovne studije, Banja Luka, 2006. godine, str.67.15 Petrović, Ž., «Poslovna statistika», Univerzitet za poslovne studije, Banja Luka, 2006. godine, str. 71.
1
3.3.3. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost slučajnih događaja
3.3.3.1. Uslovna vjerovatnoća
Uslovna vjerovatnoća nekog događaj, naprimjer događaja B, definiše se ka vjerovatnoća
realizacije posmatranog događaja, događaja B, pri čemu se zna da je događaj A već
realizovan, kao i da je vjerovatnoća njegove realizacije drugačija, različita od nule.
Vjerovatnoća događaja B, uz uslov da se događaj A već realizovao, se označava pA(B) ili
p(B/A) i utvrđuje korištenjem sljedećeg izraza16:
Na analogan način se definiše i uslovna vjerovatnoća događaja A:p(A/B)
3.3.3.2. Vjerovatnoća presijeka događaja A i B
Vjerovatnoća presijeka događaja A i B, se definiše polazeći od uslovne
vjerovatnoće:
16 Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008. godine,str, 224.
1
Vjerovatnoća presijeka događaja definiše se kao proizvod vjerovatnoće jednog od ta dva
događaja kao i uslovne vjerovatnoće drugog događaja, ali je potrebno da je ispunjen
uslov realizacije prvog događaja, što se može izraziti na sljedeći način:
3.3.3.3. Nezavisnost slučajnih događaja
Nezavisnost događaja se može definisati na dva načina17:
- Događaj A je nezavistan u odnosu na događaj B, pod uslovom da vjerovatnoća
realizacije događaja Anije zavisna od realizacije događaja B, što se može
prikazati:
- Drugi koncept nezavisnosti događaja izveden je iz teorije multiplikativnosti.
Prema ovoj teoriji, odnosno prema ovoj definiciji, dva događaja A i B su nezavisni
u odnosu na vjerovatnoću p ako je zadovoljen uslov:
Prethodne dvije definicije su ekvivalente, s tim što druga ima praktičnu prednost s
obzirom da je simetrična u odnosu na događaje A i B.
3.3.4. Bayesova teorema
Ova teorema, Bayesova teorema, daje odgovorn na pitanje ukoliko bi se neki događaj
realizovao, a koji može biti posljedica, odnosno rezultat dva ili više uzroka, kolika je
vjerovatnoća da je posmatrani događaj realizovao kao posljedica konkretnog uzorka,
jednog konkretnog uzorka. U ovim situacijama ispituje se vjerovatnoća uzorka s obzirom
da je potrebno naći uzrok konkretnog događaja. Za svaki događaj B čija je vjerovatnoća
17 Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008. godine,str, 228.
2
pozitivna i za kompletan sistem događaja , čija je vjerovatnoća pozitivna
dobijano za svako i18:
Dokaz:
Događaji su nekompaktibilni jer su Ak bekompaktibilni. Stoga se zaključuje
sljedeće19:
P
rimjer 320:
Tri fabrike A, B i C snabdijevaju respektivno sa 30%, 20% i 40% keramičkih pločica
građevinsko preduzeće. U njihovim isporukama ima respektivno 6%, 5% i 3%
18 Kvrgić,G.,“Osnovni finansijske statistike“, Visoka poslovna škola strukovnih studije, Čačak, 2008. godine, str. 78.19 Kvrgić,G.,“Osnovni finansijske statistike“, Visoka poslovna škola strukovnih studije, Čačak, 2008. godine,str. 81.20 Primjer preuzet iz: Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008. godine,str, 232.
2
neupotrebljivih pločica. Jedna pločica slučajno izabrana u stoku je neupotrebljiva. Koja je
vjerovatnoća da ova pločica dolazi iz fabrike C?
Da bi se izračunala tražena vjerovatnoća potrebno je definisati događaje i formalizirati
poznate informacije.
Događaj A: pločica potiče iz fabrike A, događaj B: pločica potiče iz fabrike B,
Događaj C: pločica potiče iz fabrike C i događaj D: pločica je neispravna.
Poznate vjerovatnoće su:
p(A)= 0,30, p(B)= 0,20 p(C)=0,40
p(D/A)= 0,06, p(D/B)=0,05 p(D/C)=0,03
Traženu vjerovatnoću da slučajna izabrana neispravna poloćica dolazi iz fabrike oznake
C označavamo da p(C/D) i izražavamo sledećom relacijom:
Kako bi se izračunala vjerovatnoća p(D) potrebno je definisati kompletan sistem
događaja (KSD) „mogućih izvota” neispravne poločice:
Događaji A,B,C su nekompaktiblini:
Skup događaja D:
2
Ova tri događaja su međusobno nekompaktibilna. To se može pokazati uz dva od
posmatranih događaja:
Vjerovatnoća događaja D je jednaka:
Na bazi ovoga slijedi:
Kada se zamjene numerički podaci u gornjoj relaciji tada se dobija tražena vjerovatnoća
p(C/D)=30%.
Može se zaključiti da je vjerovatnoća da slučajno izabrana neispravna plpčoca poziče iz
fabrike C jednaka 30%.
Vjerovatnoća da slučajno uzabrana neispravna pločica poiče iz fabtika A i iz fabrike B su
45% i 25%, respektivno:
p(A/D)=45%
2
p(D/D)=25%.
3.4. RELATIVNA UČESTALOST, STATISTIČKA DEFINICIJA VJEROVATNOĆE
Primjena klasične definicije vjerovatnoće u rješavanju prktičnih problema je veoma
ograničena. Prije svega se postavlja pitanje mogućnosti nalaženja načina izdvajanja
jednako mogućih slučajeva u pojavljivanju nekog događaja. Tako na primjer, naše
rasuđivanje o jednako mogućim n slučajevima pri određivanju vjerovatnoće pola djeteta
koje treba da se rodi su skoro proizvoljna. Da bi se izbjegle te teškoće uvodi se relativna
učestalost kao jedan od pojmova iz teorije vjerovatnoće. Relativna učestalost događaja A
u oznaci W(A) je odnos broja eksperimenata u kojima se događaj pojavio prema
ukupnom broju izvršenih eksperimenata. Relativna učestalost događaja A se određuje
formulom:
Gdje je M – broj eksperimenata u kojima se događaj A pojavio a n – ukupan broj
izvršenih eksperimenata, pri nepromjenjenim uslovima.
Primjer 4:
Kontrolor u nekoj fabrici kontroliše ispravnost 100 proizvoda iste vrste. Ustanovio je da
je od tog broja pet neispravnih. Neka je događaj A – pojava neispravnog proizvoda. Tada
je:
2
Pri određivanju relativne učestalosti pretpostavljamo da su eksperimenti izvršeni, dok iz
klasišne definicije vjerovatnoće vidimo da se ne zahtijeva da se eksperimenti stvarno
vrše. Prema tome, vjerovatnoću izračunavamo prije eksperimenta, dok se učestalost
izračunava poslije izvršenog eksperimenta.
“Vjerovatnoća pojave događaja A u oznaci P(A), naziva se njegov karakterističan broj k
oko koga oscilira niz relativnih učestalosti događaja A kada se broj eksperimenata
postepeno povećava, pri nepromjenjenim uslovima izvršavanja eksperimenta”21.
Statistička definicija vjerovatnoće ima širu primjenu u problemina prognoziranja pojave
nekih poslovnih događaja. Na primjer, u planiranju obima proizvodnje nekog preduzeća
u narednoj godini se koriste niz relativnih učestalosti obima proizvodnje u prethodnim
godinama, dolazi se do karakterističnog broja k i taj broj se proglašava vjerovatnoćom
obima proizvodnje u narednoj godini.
3.5. DISTRIBUCIJE VJEROVATNOĆE
Distribucija vjerovatnoće predstavlja raspored, odnosno model vjerovatnoće koji
vjerovatnoći daje osnove koje su bazirane na a priori prikazu, odnosno na nečemu što je
unaprijed poznato i pripremljeno. Tačnije, primjenom modela distribucije vjerovatnoće
moguće je pouzdano utvrditi rezultate neviđenog ali na osnovu nečega što je već viđeno.
Tačnije, posmatraju se različiti događaji a zaključci se donose o nečemu što se još nije
dogovodilo ali bi se moglo dogodoti prema postojećim matematičkim strukturama.
Distribucije vjerovatnoće su značajne jer se na osnovnu njih donosi odluka, odnosno
zaključuje se ukupno statitsičko istraživanje. Uslovi u kojima konkretan događaj nastaje
obuhvaćen je zakonima teorijske distribucije koja je prilagođena, odnosno koja se
21 Zečević,A., Filipović,L., Jovanović,G., «Matematika», Beograd, 2001. god, str.240.
2
prilagođava prirodi i karakteru konkretne, posmatrane pojave. “Upraksi se ne zna koju
distribuciju vjerovatnoće ima slučajna promjenljiva u nekom eksperimentu, jer se
raspolaže samo empirijskom distribucijom frekfencija”22. Isto tako, važno je pomenuti da
empirijske vjerovatnoće neće u potpunosti da se slažu sa teoirjskom distribucijom
vjerovatnoće. Stoga je potrebno da se provede veliki broj istraživanja i da se ona
analiziraju kako bi došlo do shvatanja i saznanja koje teoirjske distribucije su
odgovarajuće, odnosno koje su srodne konkretnim grupama pojava. Distribucije
vjerovatnoće mogu biti prekidne i neprekidne.one su segmentirane na ovaj način u
zavisnosti od toga da li je promjenljva prekidna ili neprekidna. Prekidne distribucije su
zasnovane na prekidnosti slučajne promjenljive dok se u slučaju neprekidne slučajne
promjenljive ona javlja u punom kontinuitetu.
U prekidne distrbucije, odnosno u prekidne akone, rasporede vjerovatnoće, ubrajaju se:
- Uniformni raspored,vjerovatnoća,
- Bernoulijeva vjerovatnoća
- Binomna vjerovatnoća,
- Poissonova vjerovatnoća,
- Hipergeometrijska distribucija vjerovatnoće.
Što se tiče neprekidnih raspodra, tu je važno pomenuti sljedeće:
- Neprekidna uniformna distriibucija,
- Normalna distribucija vjerovatnoće,
- Hi kvadrat distribucija
- Studentova t-distribucija
- Ficher-Sneecorova F distribucija
22 Dragović,V.,“Statistika“, Zavod za udžbenike i nastavka sredstva Istočno Sarajevo, 2008. godine,str. 43.
2
Figure 1: Šematski prikaz prekidnih i neprkidnih distribucija vjerovatnoće
Izvor: Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo, 2008.
godine,str.291.
2
4. ZAKLJUČAK
Kako je prethodno definisano, teorija vjerovatnoće izučava zakonitosti koje se javljaju
prilikom analiziranja velikog broja faktora, odnosno velikog broja slučajnih faktora.
Može se zaključiti da se teorija vjerovatnoće može primjenjivati na one događaje i pojave
koji se ponavljaju i koji se mogu ponavljati više puta u istim uslovima. U ovom
istraživanju pošlo se od tvrdnje da se teorijom vjerovatnoće se pojašnjavaju zakonitosti
koje nastaju prilikom istovremenog uticaja velikoj broja faktora (događaja) koji dolaze od
strane djelovanja slučajnih promjenljivih, što je i opravdano. U prilog tome korisno je
identifikovati sljedeće:
- Vjerovatnoća može biti unaprijed poznata i nepoznata. Ukoliko je vjerovatnoća
unaprijed poznata tada se radi o a priori vjerovatnoći. Ova vjerovatnoća može biti
unaprijed poznata ukoliko se zna ishod odnosno broj mogućih ishoda rezultata
eksperimenta. Ipak, u najvećem broju slučajeva nisu unaprijed poznati elementi za
izračunavanje vjerovatnoće, te je potrebno na neke druge načine odrediti
vjerovatnoću, to je moguće izvršiti na teorijski i eksperimentalni način.
- U slučaju aksiomatskog zasnivanja vjerovatnoće analiza je usmjerena na
identifikovanju određenih tvrdnji kojima se neke druge osobine dokazuju.
- U teoriji vjerovatnoće, ključnu ulogu ima događaj. Možemo reći da je događaj,
opisno rečeno, pojava koja može nastupiti ili nenastupiti pod uticajem skupa
uzroka. Kada strijelac gađa metu onda je događaj pogađanje te mete; ili kada iz
suda u kome imamo srvene i bijele kuglice izvlačimo jednu, događaj je izvučena
kuglica. Sama radnja izvlačenja jeste eksperiment.
- Za dva događaja kaže se da su jednako mogući događaji ako za njihovo
realizovanje, pri jednom eksperimentu, postoje jednaki izgledi da će se oni
dogoditi.
- Danas teorija vjerovatnoće ima veliku ulogu i značaj u matematici statistici,
naročito za izučavanje i definisanje pojedinih pojava kako prirodnih, društvenih
tako i onih koje možemo navati slučajnim.
2
5. LITERATURA
1. Blažić,M.,Dragović,V.,“Opšta statistika – osnovi i analiza“, Savremena
administracija Beograd, 1991. godine,
2. Dragović,V.,“Statistika“, Zavod za udžbenike i nastavka sredstva Istočno
Sarajevo, 2008. godine,
3. Kvrgić,G.,“Osnovni finansijske statistike“, Visoka poslovna škola strukovnih
studije, Čačak, 2008. godine,
4. Petrović, Ž., «Poslovna statistika», Univerzitet za poslovne studije, Banja Luka,
2006. godine,
5. Somun,R.,“Statistika u ekonomiji i menadžmentu“, Ekonomski fakultet Sarajevo,
2008. godine,
6. Zečević,A., Filipović,L., Jovanović,G., «Matematika», Savremena administracija
Beograd, 2001. godine
2
