VJEZBE LINEARNA

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    1/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    2/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    2__________________________________________________________________________________

    UMJESTO UVODA

    Ova skripta nastala je iz zabiljeki sa raunskih vjebi, kursa Linearna algebra, odranih u

    prvom semestru akademske 2012/2013. godine. U toku prvog semestra odrano je ukupnopetnaest raunskih vjebi, te je skripta podijeljena u odgovarajuih petnaest segmenata. Neki odsegmenata su zapoeli ili zavrili u sredini neke tematske cjeline, to donekle daje nezgrapanoblik tekstu. Ipak, elja mi je bila da razdvojim gradivo koje je obraivano na pojedinimvjebama, kako bi se itaoci, koji e prouavati izloenu materiju, a koji su eventualno preskoilineke od vjebiobraenih u ovom kursu, mogli relativno lako da se snaui panju usmjere na tajdio gradiva.

    Dui niz godina primjeuje se tendencija da se ispit iz LA jako teko polae. Gradivo zaista jesteprilino kompleksno i apstraktno ali, iako isti zadatak stoji i ispred mene, imam utisak da je ovomaterija koja nije do te mjere zahtjevna, da se ne bi mogla usvojiti u nekom razumnom vremenu.

    Lino mislim da je problem u neredovnom pohaanju asova i relativno nedosljednimbiljekama sa predavanja i vjebi. Kako sam i sam propustio nekoliko asova, morao sam da sesnalazim i pozajmljujem biljeke od kolega. Prepisujui biljeke primjetio sam da moje kolegedosta turo vode biljeke, ak do te mjere da su postavke zadataka skraene i izostavljene. Takvasituacija rezultuje neminovnim nejasnoama u kasnijem spremanju ispitnog gradiva.

    Stoga sam napisao ovu skriptu kao pokuaj da sistematizujem gradivo izloeno u ovom kursu, alii da na neki nain pomognem kolegama koji imaju problema sa polaganjem LA. Bilo bi mi dragokada bi kolege koje su uspjeno savladale gradivo, dale svoj prilog i objavile rjeenja ponekogispitnog roka, kako bi ostale kolege imale bolju orjentaciju u spremanju ovog, krajnje zahtjevnog

    ispita. itaocima elim da to prije spreme i poloe LA, kako bi to prije mogli da se uhvate u

    kotac sa strunim predmetima.

    PRadoji

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    3/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________3

    SADRAJ

    (Vjebe br. 1.)................................................................................................................................................ 5

    A1. Osnovni pojmovi matematike logike ............................................................................................ 5

    A2. Elementi teorije skupova ................................................................................................................. 6

    (Vjebe br. 2.).............................................................................................................................................. 11

    A3. Binarne relacije .............................................................................................................................. 12

    A4. Relacija ekvivalencije .................................................................................................................... 19

    (Vjebe br. 3).............................................................................................................................................. 22

    A.5. Relacija parcijalnog ureenja ...................................................................................................... 32

    (Vjebe br.4)............................................................................................................................................... 36

    A.6. Preslikavanja ................................................................................................................................. 36

    A7. Invertibilnost preslikavanja .......................................................................................................... 43

    (Vjebe br.5)............................................................................................................................................... 49

    A8. Binarne operacije ........................................................................................................................... 49

    A9. Algebarske strukture ..................................................................................................................... 50

    (Vjebe br.6)............................................................................................................................................... 58

    A 10. Algebarske strukture sa dvije operacije ................................................................................... 58

    B 1. Skup realnih brojeva ..................................................................................................................... 63

    B 2. Princip matematike indukcije .................................................................................................... 67

    (Vjebe br.7.)............................................................................................................................................. 70

    B 3. Skup kompleksnih brojeva .......................................................................................................... 70

    C. Kombinatorika ................................................................................................................................. 79

    (Vjebe br.8.).............................................................................................................................................. 83

    C.5. Binomna formula (Njutnova binomna formula) ........................................................................ 83

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    4/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    4__________________________________________________________________________________

    C.7. Princip ukljuenja- iskljuenja.................................................................................................... 85

    D. Polinomi ............................................................................................................................................ 89

    Dijeljenje polinoma ............................................................................................................................... 91

    (Vjebe br.9.).............................................................................................................................................. 97

    Vektoriski prostori i linearni operatori .............................................................................................. 97

    Vektorski potprostori ......................................................................................................................... 107

    (Vjebe br. 10.)......................................................................................................................................... 110

    Linearna zavisnost i nezavisnost vektora.......................................................................................... 113

    (Vjebe br.11.).......................................................................................................................................... 119

    Baza i demenzija vektorskog prostora .............................................................................................. 119

    (Vjebe br. 12).......................................................................................................................................... 127

    Matrice ................................................................................................................................................. 127

    (Vjebe br. 13.)......................................................................................................................................... 135

    Linearni operatori............................................................................................................................... 135

    Gausov metod eliminacije .................................................................................................................. 138

    Kramerovo pravilo.............................................................................................................................. 140

    Determinante ....................................................................................................................................... 141

    (Vjebe br. 14.).......................................................................................................................................... 147

    Matrini prikaz linearnog operatora ................................................................................................ 149

    Rang matrice ....................................................................................................................................... 151

    Redukovana stepenasta forma ........................................................................................................... 152

    Analiza saglasnosti linearnih sistema ................................................................................................ 154

    (Vjebe br.15.).......................................................................................................................................... 157

    Sopstvene vrijednosti i sopstveni vektori matrice ............................................................................ 157

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    5/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    6/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    6__________________________________________________________________________________

    jer u skupu realnih brojeva imamo 0, a dijeljenje nulom nije definisano!

    A2. Elementi teorije skupova

    Skup je osnovni matematiki pojam koji se ne definie. Skup je potpuno odreen svojimelementima.

    Primjer br. 1.

    A={-1,0,1} B={a,b,c,d}

    Pri tome je redoslijed elemenata nebitan:

    A={-1,0,1}={1,0,-1}={0,1,-1}

    U skupu se svaki element zapisuje samo jednom.

    A={-1,0,1}={-1,0,0,0,1}

    Primjer br. 2.

    Skup moemo zadavati i navodei svojstva njegovih elemenata:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    7/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________7

    - skup prirodnih brojeva

    - skup cijelih brojeva

    - skup racionalnih brojeva

    - skup realnih brojeva

    - skup kompleksnih brojeva

    Primjer br. 3.

    Napisati prosti izraz za date skupove pretpostaviti da je univerzalni skup, skup realnih brojeva:

    a)

    b)

    c)

    d)

    TEOREMA 1. (kvadrat zbira)

    (kvadrat razlike)

    TEOREMA 2. (kub zbira)

    (kub razlike)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    8/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    8__________________________________________________________________________________

    TEOREMA 3. (razlika kvadrata)

    TEOREMA 4. (zbir kubova)

    (razlika kubova)

    TEOREMA 5. (Njutnova binomna formula)

    e)

    f)

    g)

    DEFINICIJA: Ako su svi elementi skupa B ujedno i elementi skupa A tada kaemo da je Bpodskup skupa A i piemo

    Ako je pri tome kaemo da je B pravi podskup skupa A.

    DEFINICIJA: Dva skupa su jednaka akko su jedan podskup drugog i obrnuto.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    9/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________9

    DEFINICIJA: Skup svih podskupova skupa A zove se partitivni skup skupa A u oznaci

    ili 2A.

    Zadatak br. 1.

    Ako je dat skup A={a,b,c} odrediti partitivni skup skupa A.

    TVRENJE:Ako je skup A konaan tada vai:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    10/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    10__________________________________________________________________________________

    Skup i nema dva ista broja iz definicije!

    DEFINICIJA: Neka su Tada je komplement ili dopuna

    do skupa S.

    unija skupova A i B

    presjek skupova A i B

    razlika skupova A i B

    simetrina razlika skupova A i B

    Pokazuje se da vae i sledee jednakosti:

    1.

    2. komutativnost unije

    3. komutativnost presjeka

    4. asocijativnost unije

    asocijativnost presjeka

    5. distributivnost unije

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    11/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________11

    distributivnost presjeka

    6.

    7.

    8.

    9. De Morganova pravila

    10.

    Zadatak br. 2.

    (Vjebe br. 2.)

    DEFINICIJA: Dekartov proizivod dva skupa X i Y u oznaci je skup ureenih parova

    Zadatak br. 3.

    Dati su skupovi

    Grafiki predstaviti skup .

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    12/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    12__________________________________________________________________________________

    Zadatak za vjebu:

    Dati su skupovi

    Odrediti skup , grafiki gapredstaviti i analitiki zapisati.

    A3. Binarne relacije

    DEFINICIJA:Ureena trojka (X,Y,R) gdje su X i Y neprazni skupovi i R neprazan proizvoljanpodskup Dekartovog proizvoda skupova X i Y naziva se binarna relacija izmeu skupova X i Y.

    Napomena: Ako je Y=X onda je

    binarna relacija u skupu X.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    13/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________13

    Ako kaemo da je element u relaciji R sa elementom .

    Primjer br.1.

    Neka je X={1,2,3} i Y={2,4,6}. Tada je Dekartov proizvod ova dva skupa

    TVRENJE:Ako su X i Y konani skupovi, tada je i skup konaan i vai

    R1,R2 su binarne relacije.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    14/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    14__________________________________________________________________________________

    Primjer br. 2.

    Neka je X={1,2,3,4}. Tada je

    i neka je

    ={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

    je binarna relacija u skupu X.

    Zadatak br. 1.

    Napisati sve binarne relacije na skupu S={a,b} izuzev onih ija je kardinalnost vea od 2.

    Zadatak br. 2.

    Neka su dati skupovi A={1,2,3,4} i B={1,2,3,4,5,6} i relacija .

    Predstaviti zadatu relaciju:

    a) pomou Dekartovog dijagrama,

    b) nabrajanjem parova,

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    15/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    16/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    16__________________________________________________________________________________

    Zadatak br. 3.

    Dati su skupovi E={2,3,4,5,6} i F={7,8,9,10,11,12}. Odrediti relaciju definisanu sa:

    a)

    b)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    17/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________17

    a)

    b)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    18/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    19/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    20/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    20__________________________________________________________________________________

    TEOREMA 1.Ako je ~ relacija ekvivalencije na skupu X tada vai

    1.

    2.

    3.

    TEOREMA 2. Neka je familija nepraznih skupova particija skupa X. Ako je

    binarna relacija u skupu X definisana sa tada je relacija

    ekvivalencije.

    Zadatak br. 1(ispitni):

    Neka je X={x1,x2,...xn}. Koliko ima binarnih relacija definisanih u skupu x?

    Kako je broj elemenata partitivnog skupa jednak broju varijacija sa ponavljanjem, to e

    broj elemenata ovog skupa iznositi . Poto partitivni skup, osim nepraznih podskupova sadri

    i prazan skup, to e broj binarnih relacija biti umanjen za prazan skup, odnosno bie jedenak

    .

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    21/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________21

    Zadatak br. 2(ispitni):

    Na skupu E={-6,-5,-4,-3,0,3,4,5,6} definisana je binarna relacija

    a) Dokazati da je R relacija ekvivalencije.

    b) Odrediti klase ekvivalencije.

    Refleksivnost:Posmatrajmo bikvadratnu jednainu

    Zakljuak: Dokazali smo da je relacija R refleksivna , to je i vie nego to je potrebno.

    Naime, binarna relacija R je refleksivna na itavom skupu realnih brojeva, pa je samim timrefleksivna i na njegovom podskupu E.

    Simetrinost: Neka je

    Treba dokazati da je odnosno .

    Ovim je dokazana simetrinost binarne relacije R.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    22/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    23/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    24/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    24__________________________________________________________________________________

    Zadatak br.3.(trivijalni):

    U skupu definisana je relacija . Ispitati da li je relacija

    ekvivalencije i ako jeste, odrediti koliniki skup.

    Primjetimo da je

    odnosno, kae se da skup realnih brojeva ima mo kontinuuma.

    Refleksivnost: (Treba dokazati )

    Neka je proizvoljan. Tada vai

    to je poznata osobina u skupu realnih brojeva.

    Ono to vai za proizvoljan element, vai i za svaki, pa je

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    25/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    26/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    26__________________________________________________________________________________

    U skupu definisana je relacija .

    Provjeriti da li je relacija ekvivalencije i ako jeste, opisati koliniki skup i klasu ekvivalencijekojoj pripada taka (0,0,0). Dati geometrijsku interpretaciju.

    Refleksivnost:

    Neka je proizvoljan element. Tada je

    Ono to vai za proizvoljan element, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno time jedokazano da je relacija refleksivna.

    Simetrinost:

    Neka su

    Ono to vai za proizvoljan element, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno relacija je simetrina.

    Tranzitivnost:

    Neka su uzete proizvoljne ureene trojke

    Ono to vai za proizvoljan element, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno relacijaje tranzitivna.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    27/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________27

    Kako je relacija refleksivna, simetrina i tranzitivna, dokazano je da je ona relacijaekvivalencije.

    Klase ekvivalencije:

    Ako posmatramo relaciju , vidjeemo da je ona definisana sa tri uslova i to utrodimenzionalnom prostoru . Dakle, skup moemo geometrijski posmatrati kao

    trodimezionalni prostor, odreen trodimezionalnim pravouglim koordinatnim sistemom.

    Ukoliko bi relacija bila sastavljena samo od prvog uslova uslova( ), to bi

    praktino znailo da jednoj klasi ekvivalencije pripadaju sve take trodimezionalnog prostora,ija je prva koordinata ista, a to geometrijski predstavlja ravan koja jeparalelna sa ravni y-z iudaljena je od nje za a u pozitivnom smjerux ose.

    Uvede li se drugi uslov ( ), klasa ekvivalencije se suava. Imajui u

    vidu da znak druge koordinate mora biti jednak, to praktino znai da ovaj uslov svodi klasuekvivalencije na poluravan, omeenu pravom p, koja istovremeno pripada klasi ekvivalencije.

    Konano, trei uslov ( .) dodatno suava klasu ekvivalencije. Ovaj uslov kazuje

    da cjelobrojni dio tree koordinatekod dvije take koje pripadaju istoj klasi ekvivalencije, morabiti jednak. Ovaj e uslov podijeliti prijanju poluravan na trakice, koje su irinepoluotvorenog intervala [c,c+1). Da bi se ovo objasnilo, moemo iz prostora za trenutak

    pobjei u jednodimenzioni prostor . Na slici e biti predstavljena prava, koja predstavlja skup

    realnih brojeva. Ako se na ovoj pravoj predstavi skup cijelih brojeva , dobie se cijeli podioci

    vrijednosti {...0,1,2,3,...}. Jasno je da u ovom skupu cjelobrojni dijelovi elemenata ne mogu biti

    jednaki. To je meutim mogue u skupu realnih brojeva. Naime, svi brojevi od nule do jedinice,ukljuujui nulu i iskljuujui jedinicu, imae isti cjelobrojni dio(npr. 0,342 i 0,8554 imaju isticjelobrojni dio-nulu). Isto vai za bilo koji drugi interval. Dakle vidi se da su ovo poluotvoreniintervali, iji je predstavnik cijeli broj kojim zapoinje interval.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    28/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    29/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    30/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    30__________________________________________________________________________________

    Ono to vai za proizvoljne elemente, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosnoovim je dokazano da je relacija tranzitivna.

    Kako je relacija refleksivna, simetrina i tranzitivna, zakljuujemo da je ista relacijaekvivialencije.

    Klase ekvivalencije i grafika interpretacija:

    Primjetimo da relacija ne zavisi od tree koordinate. To znai da e svake dvije take ije prve

    dvije koordinate budu zadovoljavale uslov za ispunjenje relacije, biti u relaciji , bez obzira nanjihov poloaj po visini. Drugim rijeima, bilo koje take koje se nalaze na dvije prave,paralelne sa osom z" bie u relaciji. To se najbolje vidi na sledeoj slici:

    Na slici se jasno vidi da i take (a,b,c+1),(a,b,c-1),(d,e,f+1),(d,e,f-1) pripadaju istojklasi ekvivalencije. Poto klase ekvivalencije ne zavise od tree koordinate, jasno je da i take(a,b,0),(c,d,0) takoe pripadaju istoj klasi. To je dosta korisno, jer se sada razmatranje iz

    prostora moe prebaciti u jednostavniji prostor.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    31/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________31

    Posmatrajmo sada izraz koji definie relaciju :

    Izraz se na jednostavan nain moe transformisati u izraz

    Grupiui koordinate taaka, uoavamo da se radi o kvadratu rastojanja od koordinatnogpoetka. To znai da sve take, koje pripadaju istoj klasi ekvivalencije imaju jednaku udaljenostod koordinatnog poetka. Poto nije dat nijedan dodatni uslov, zakljuujemo da te take tvorekrunicu, to se jasno vidi na sledeoj slici, na kojoj je prikazana i trea, proizvoljna taka sakoordinatama (g,h,0):

    Obzirom da trea koordinata taaka u prostoru nije bitna za njihovu pripadnost istojklasi ekvivalencije, to e kroz svaku taku ove krunice prolaziti paralelne prave, koje e sadratitake iste klase ekvivalencije. Skup ovih pravih sainjava cilindar beskonane duine, kako se tovidi na sledeoj slici:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    32/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    32__________________________________________________________________________________

    A.5. Relacija parcijalnog ureenja

    DEFINICIJA: Svaka binarna relacija koja je istovremeno

    -refleksivna ,

    - antisimetrina i

    - tranzitivna

    naziva se relacija parcijalnog ureenja i oznaava sa .

    Skup X u kome je uvedena relacija parcijalnog ureenja, naziva se parcijalno ureenskup i oznaava sa .

    Zadatak br.1:

    Ako je i dokazati da je relacija parcijalnog ureenja.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    33/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________33

    Refleksivnost:

    Treba dokazati , vai , to je oigledno tano. Dakle, je refleksivna.

    Antisimetrinost:

    Po definiciji jednakosti skupova vai

    pa je time dokaz zavren, odnosno relacija je antisimetrina.

    Tranzitivnost:

    oigledno tano, odnosno relacija je tranzitivna.

    Poto je refleksivna, antisimetrina i tranzitivna, to znai da je relacija parcijalnog

    ureenja.

    Napomena: Relacija

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    34/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    34__________________________________________________________________________________

    Primjer br. 2:

    Ako je X={{1},{1,2},{1,2,3}} tada je relacija totalnog ureenja u skupu X.

    Refleksivnost:

    (

    Antisimetrinost:

    Tranzitivnost:

    je relacija parcijalnog ureenja.

    je relacija totalnog ureenja.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    35/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________35

    DEFINICIJA: Neka je parcijalno ureen skup, odnosno totalno ureen skup. Za

    kaemo da je

    - odozgo ogranien ako. (1)

    Svaki element za koji vai (1) naziva se majoranta ili gornja granica skupa Y.

    - odozdo ogranien ako(2)

    Svaki element za koji vai (2) naziva se minoranta ili donja granica skupa Y.

    Ako je M gornja granica skupa Y i ako tada se M naziva maksimum ili najvei

    element skupa Y.

    Ako je m donja granica skupa Y i ako je tada se m naziva minimum ili najmanji

    element skupa Y.

    Najmanja gornja granica skupa Y naziva se supremum skupa Y i oznaava

    najvea donja granica skupa Y naziva se infimum skupa Y i oznaava

    Primjer br.3:

    Posmatrajmo skup i njegov podskup .

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    36/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    36__________________________________________________________________________________

    je gornja granica jer vai

    Provjerimo ta se deava ako uzmemo X=[0,1):

    Na kraju, otvoreni interval X=(0,1) nema ni minimum ni maksimum, ve samo supremum i

    infimum.

    Zadatak br. 2:

    Nai inf(E)za skup E koji ine elementi

    Dokaimo da 0 pripada skupu E:

    Nije traeno, alil se vidi da je min(E)=0.

    (Vjebe br.4)

    A.6. Preslikavanja

    DEFINICIJA: Svaka binarna relacija (X,Y,f) koja ima svojstvo da

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    37/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________37

    naziva se preslilkavanje iz X u Y.

    Ako je

    gdje je f-funkcijay=f(x).

    Primjer br.1.

    Neka je X={1,2,3,4,5} i Y={a,b,c} i neka je f1={(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)}. Ovo jeste binarnarelacija, ali nije preslikavanje

    f2={(1,a),(1,c),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)} ovo jeste binarna relacija, jer je podskup Dekartovog

    proizvoda i neprazan je, ali nije preslikavanje jer

    f3={(1,c),(2,a),(3,b),(4,a),(5,b)} je takoe binarna relacija, koja se drugaije moe zapisati kao

    Ovo jeste preslikavanje.

    Ovo je takoe preslikavanje.

    Zadatak br. 1(za vjebu):Neka je

    i neka je

    Dokazati da je relacija R, definisana na skupu A sa

    relacija ekvivalencije i odrediti koliniki skup.

    Refleksivnost:

    Treba dokazati da

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    38/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    38__________________________________________________________________________________

    f(1)=f(1)=a

    f(2)=f(2)=af(3)=f(3)=b

    f(4)=f(4)=c

    f(5)=f(5)=b

    Ovim je dokazana refleksivnost.

    Simetrinosti:Treba dokazati da

    Ovim je dokazana simetrinost.Tranzitivnost:

    Treba dokazati da

    ...(mora se ispitati svaka kombinacija)

    Ovim je dokazana tranzitivnost.Kako je relacija R refleksivna, simetrina i tranzitivna, ona je i relacija ekvivalencije.Klase ekvivalencije i koliniki skup:Za fiksirani element x=1:

    Za fiksirani element x=3:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    39/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________39

    Za fiksiran element x=4:

    te je koliniki skup

    Zadatak br. 2.

    Date su funkcije

    definisane sa

    Da li su funkcije f i g jednake?

    DEFINICIJA: Ako su dvije funkcije, tada je kompozicija tih

    funkcija u oznaci takoe funkcija.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    40/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    40__________________________________________________________________________________

    Za preslikavanje kaemo da je injektivno ili 1-1 preslikavanje ako

    [Paziti dobro kada koristimo zakon kontrapozicije: pravilno je a ne

    !!!]

    DEFINICIJA: Za preslikavanje kaemo da je surjektivno (NA preslikavanje) ako

    DEFINICIJA: Za preslikavanje kaemo da je bijektivno ili bijekcija ili obostranojednoznano preslikavanje, ako je istovremeno 1-1 i NA preslikavanje.

    Zadatak br.3:

    Ispitati da li je

    injekcija, tj. surjekcija.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    41/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________41

    funkcijafnije injekcija.

    funkcijafnije surjekcija.

    Zadatak br.4.Date su funkcije

    i

    Odrediti

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    42/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    42__________________________________________________________________________________

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    43/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________43

    A7. Invertibilnost preslikavanja

    TEOREMA: neka je bijekcija. Tada postoji jedna i samo jedna bijekcija

    takva da je

    Ta jedinstvena bijekcija oznaava se saf-1i zove inverzna funkcija funkcijef.

    DEFINICIJA: Skup naziva se grafik preslikavanja .

    Zadatak br.5.

    Data je funkcija . Dokazati da jefbijekcija i naif-1.

    Surjektivnost:

    Neka je proizvoljno. Tada vrijedi

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    44/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    44__________________________________________________________________________________

    Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki:

    fje surjektivna.

    Injektivnost:

    Treba da vai

    Neka su proizvoljni, tako da vai

    Ono to vai za proizvoljne, vai za sve.

    Zakljuak: Funkcijafje bijekcija, jer je istovremeno injekcija i surjekcija.

    Zadatak br.6.

    Za element kaemo da je fiksna taka funkcije ako i samo ako je .

    Neka je S skup svih fiksnih taaka funkcijef. Ako jegfunkcija takva da je

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    45/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________45

    dokazati da je .

    Neka je proizvoljan

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai i za svaki.

    Zadatak br.7.

    Za svako od sledeih preslikavanja ustanoviti da li je injektivno i surjektivno i ako postoji,odrediti inverzno preslikavanje.

    a)

    Oigledno tano je injektivno (1).

    Za

    Za

    Za

    je surjektivno (2).

    Iz (1) i (2) je bijektivno.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    46/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    46__________________________________________________________________________________

    b)

    f2 je injektivno, ali nije surjektivno.

    f2 nije bijektivno i samim tim nema svoj inverz, ali ima lijevi inverz.

    TEOREMA: Ako je 1-1 preslikavanje tadafima lijevi inverz ako vai

    Dakle,f2 ima lijevi inverz i to ne samo jedan lijevi inverz, ve vie njih:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    47/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________47

    c)

    nije injektivno ali jeste surjektivno:

    nije bijektivno i nije invertibilno, ali ima desni inverz.

    TEOREMA: Ako je surjektivno preslikavanje tadafima desni inverz , ako

    vai

    je desni inverz.

    je takoe desni inverz.

    d)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    48/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    48__________________________________________________________________________________

    preslikavanje nije injektivno.

    Zakljuak: Kada je dimenzija domena vea od dimenzije kodomena preslikavanje nijeinjektivno.

    Neka je proizvoljan tako da

    je surjektivno i ima desni inverz:

    e)

    Neka su proizvoljni, tako da

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    49/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    50/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    50__________________________________________________________________________________

    DEFINICIJA: Neka je * binarna operacija u S. Ako je:

    - operacija je komutativna;- operacija je asocijativna;-

    Za kaemo da je lijevi neutralni (jedinini) element u odnosu na operaciju * ako je.

    - Za kaemo da je desni neutralni (jedinini) element u odnosu na operaciju * ako je.

    - Za kaemo da je neutralni element u odnosu na operaciju x ako je.

    - Ako postoji neutralni element , tada za i kaemo da su slijevi i desniinverzni element elementa ako je

    (lijevi inverzni element)

    (desni inverzni element)

    - Ako je i lijevi i desni inverzni element elementa tj ako vaikaemo da jeyinverzni element elementa x i oznaavamo ga sax-1.

    - Za element kaemo da je nula ako je.

    A9. Algebarske strukture

    DEFINICIJA: Skup koji je snabdjeven odreenim brojem operacija naziva se algebarskastruktura.

    DEFINICIJA: Ako je * binarna operacija u skupu S onda se ureeni par (S,*) naziva grupoid.

    Zadatak br.1.

    Koje od sledeih struktura su grupoidi:a) Jeste, jer je skup prirodnih brojeva zatvoren u odnosu na sabiranje.

    b) Nije, jer .

    c) Jeste, jer je skup realnih brojeva zatvoren u odnosu na operaciju oduzimanja.d) Jeste, jer je skup cijelih brojeva zatvoren u odnosu na operaciju mnoenja.

    e) Nije, jer operacija dijeljenja u skupu nije definisana za dijeljenje sa 0, pa nije ni

    preslikavanje, a samim tim nije ni binarna operacija.

    f) Nije, vai isto kao i u prethodnoj stavci.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    51/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    52/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    52__________________________________________________________________________________

    Rotacija:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    53/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________53

    Simetrija:

    ABC BCA

    CAB

    f1

    f2f

    f2f

    f

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    54/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    55/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________55

    2) Teorema A3 sa strane 309. udbenika kae:

    Neka su data preslikavanja Tada je

    odnosno, operacija kompozicije je asocijativna.

    3) to znai da postoji neutral.

    4) . Poto se radi o konanom skupu,

    provjerimo za svaki element postojanje inverza:

    5) Kejlijeva tablica nije simetrina u odnosu na glavnu dijagonalu, pa tako operacija nije

    komutativna.

    Zakljuak: (G, ) je grupa.

    Zadatak br.4.

    Ispitati algebarsku strukturu gdje je

    a je operacija obinog mnoenja.

    Prije svega treba uoiti injenicu da je skup , to e povlaiti brojne osobine bitne za

    ispitivanje ove algebarske strukture.

    1)Zatvorenost:

    Neka su proizvoljni. Tada vai

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    56/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    56__________________________________________________________________________________

    Dakle, proizvod dva proizvoljna elementa skupa A mogue je dovesti na pogodan oblik, kakv jedat u pravilu skupa iz postavke zadatka. Treba jo dokazati da

    Kako dokazati ova dva tvrenja? Jednostavno. Posmatrajmo oblik ova dva iz raza. U njima sekoriste operacije sabiranja i mnoenja i to u skupu cijelih brojeva. Kako je od ranije poznato dasu i grupoidi, odnosno skup cijelih brojeva je zatvoren u odnosu na ove dvije

    operacije, to zakljuujemo da e i gornji izrazi biti takoe pripadnici skupa cijelih brojeva, imeje takoe dokazano da pripada skupu A

    Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai i za svaki, odnosno skup A jezatvoren u odnosu na operaciju obinog mnoenja, te je struktura grupoid.

    2)Asocijativnost:

    Poto je mnoenje asocijativno u skupu , a kako je , slijedi da je mnoenje asocijativno u

    skupu A, odnosno algebarska struktura je polugrupa.

    3) Neutralni element:

    Dakle, algebarska struktura je monoid.

    4)Inverzni element:

    Oigledno pa tako slijedi sledee:

    Neka je

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki, odnosno svaki element uskupu A ima svoj neutralni element, a to dalje znai da je algebarska struktura grupa.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    57/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________57

    Poto je operacija obinog mnoenja komutativna u skupu racionalnih brojeva, samim tim jekomutativna u skupu A, koji je podskup skupa racionalnih brojeva, pa je Abelova grupa.

    Zadatak br.5.

    Neka je G grupa. elementu prodruimo funkciju:

    Ispitati algebarsku strukturu gdje je kompozicija funkcija.

    1)Zatvorenost:Neka su proizvoljne funkcije Neka su

    proizvoljne .

    Ono to vrijedi za proizvoljne, vrijedi za sve, odnosno skup je zatvoren u odnosu na tj.

    struktura je grupoid.

    2)Asocijativnost:

    Mogue je dokazati asocijativnost mnoenja pozivajui se na teoremu A3 sa strane 309. kao i ujednom od prethodnih zadataka, a mogue je i runo dokazati asocijativnost, to slijedi.

    Neka su proizvoljne. Tada je

    Ono to vai za proizvoljne, vai za sve, odnosno struktura je polugrupa.

    3) Neutralni element:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    58/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    58__________________________________________________________________________________

    S obzirom da

    to znai da je algebarska struktura monoid.

    4)Inverzni element:

    Neka je proizvoljna. Tada

    Dakle, algebarska struktura je grupa.

    (Vjebe br.6)

    A 10. Algebarske strukture sa dvije operacije

    DEFINICIJA: Algebarska struktura gdje je a binarne operacije naziva se

    prsten ako je:

    1) Abelova grupa

    2) je polugrupa

    3) operacija je distributivna u odnosu na operaciju , odnosno

    (

    DEFINICIJA: Ako je komutativna operacija, tada se algebarska struktura naziva

    komutativnni prsten.

    DEFINICIJA: Ako postoji neutralni element u odnosu na tada se algebarska struktura

    naziva prsten sa jedinicom.

    DEFINICIJA: Algebarska struktura naziva se tijelo, ako je Abelova grupa, a

    je grupa i operacija je distributivna u odnosu na , odnosno

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    59/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________59

    DEFINICIJA: Ako je jo Abelova grupa, onda je algebarska struktura polje.

    Zadatak br.1(ispitni):

    Dat je skup

    Dokazati da je polje.

    Prvi dio zadatka:

    Potrebno je dokazati da je algebarska struktura grupa, odnosno Abelova grupa.

    1)Zatvorenost:

    Neka su proizvoljni.

    Kako je skup zatvoren u odnosu na sabiranje

    Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve.

    2) Asocijativnost:

    Kako je skup sabiranje je asocijativno u skupu . Osim naslijeivanja, ova osobina se

    moe i dokazati, to slijedi.

    Neka su su proizvoljni.

    Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve.

    3)Neutral:

    je monoid.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    60/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    60__________________________________________________________________________________

    4)Inverz:

    Treba dokazati

    Neka je proizvoljan .

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki, odnosno, struktura je

    grupa.

    5)Komutativnost:

    Kako je skup komutativnost se naslijeuje.

    je Abelova grupa.

    Drugi dio zadatka:

    Potrebno je ispitati algebarsku strukturu .

    1)Zatvorenost:

    Neka su proizvoljni.

    Poto je skup zatvoren u odnosu na .

    Ono to vai za proizvoljne, vai za sve, odnosno je grupoid.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    61/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________61

    2)Asocijativnost:

    Poto je mnoenje asocijativno u skupu i potoje mnoenje je asocijativno u skupu

    . je polugrupa.

    3)Neutral u odnosu na :

    Treba dokazati da

    Neka je proizvoljan.

    Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki.

    4)Inverz u odnosu na :

    Treba dokazati

    Neka je proizvoljan.

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    62/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    62__________________________________________________________________________________

    Odnosno je grupa.

    5)Komutativnost:

    je Abelova grupa, jer je skup , pa se ova osobina naslijeuje.

    Trei dio zadatka:

    Potrebno je dokazati da je mnoenje distributivno u odnosu na sabiranje.

    Neka su proizvoljni.

    Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve, odnosno mnoenje jedistributivno u odnosu na sabiranje (ova osobina se svakako mogla naslijediti iz skupa realnih

    brojeva).

    Kako je dokazano da je:

    1) Abelova grupa,

    2) Abelova grupa,

    3) mnoenje je distributivno u odnosu na sabiranje,

    Zakljuujemo da je algebarska struktura polje.

    Zadatak br.2(za vjebu):

    Neka su binarne operacije definisane sa

    Dokazati da je ( ) polje.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    63/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________63

    B 1. Skup realnih brojeva

    DOKAZ: Reductio ad apsurdum-svoenje na apsurd-

    Pretpostavimo suprotno.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    64/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    64__________________________________________________________________________________

    -skup racionalnih brojeva.

    OSOBINE SKUPA :

    [1]

    (1) je Abelova grupa

    (2) ( je Abelova grupa

    (3) Mnoenje je distributivno u odnosu na sabiranje.

    je polje.

    [2] je otalno ureen skup (svaka dva elementa su uporediva).

    [3] Aksioma potpunosti (neprekidnosti)

    Apsolutna vrijednost u se definie kao

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    65/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________65

    Zadatak br.1:

    Pokazati da vrijedi jednakost

    1) Ako je

    2) Ako je .

    Zadatak br.2:

    Zapisati bez upotrebe znaka apsolutne vrijednosti funkcijuf(x), ako je

    a)

    b)

    c)

    a)

    b)

    c)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    66/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    67/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________67

    Zadatak br.4(za vjebu):

    Dokazati da vrijedi:

    a)

    b)

    B 2. Princip matematike indukcije

    TEOREMA:

    a) Inicijalni korak

    b) Indukcioni korak

    Zadatak br.1:

    Dokazati da vai

    a)

    b) Pretpostavimo da je tano tvrenje T(k). To znai da je

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    68/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    68__________________________________________________________________________________

    Dokaimo da tvrenje vai za T(k+1):

    Prema principu matematike indukcije tvrenje je tano .

    Zadatak br.2:

    Dokazati da je

    a)

    b)

    c)

    d)

    ...

    c)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    69/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________69

    Pretpostavimo

    Zadatak br.3:

    Dokazati da je broj

    djeljiv sa 64.

    a) n=1

    b) Pretpostavimo da je

    tj.

    djeljivo sa 64

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    70/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    71/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________71

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    72/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    72__________________________________________________________________________________

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    73/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    74/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    74__________________________________________________________________________________

    Konano rjeenje sistema

    Konano rjeenje zadatka

    II nain:uopteno

    Zadatak br.2:

    a)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    75/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    76/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    76__________________________________________________________________________________

    Zadatak br.4:

    Rijeiti jednainu

    a)

    b)

    a)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    77/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________77

    Zadatak br.5:

    Odrediti

    Transformiimo u trigonometrijski oblik:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    78/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    78__________________________________________________________________________________

    Transformiimo sada u trigonometrijski oblik:

    b)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    79/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________79

    C. Kombinatorika

    DEFINICIJA:Neka je X konaan skup. Svako bijektivno preslikavanje naziva sepermutacija skupa X. Kako je bijektivno akko je injektivno, to je permutacija skupa X

    svako injektivno preslikavanje .

    Vai

    DEFINICIJA: Neka je .Svako injektivno preslikavanje naziva se

    varijacija k-te klase skpa X od n elemenata. Varijacija se moe definisati i kao ureena k-torka

    razliitih elemenata skupa X.

    Vai

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    80/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    80__________________________________________________________________________________

    DEFINICIJA: Neka je . Svaki njegov k-tolani podskup naziva se

    kombinacija k-te klase skupa X od n elemenata.

    Vai

    DEFINICIJA: Svako preslilkavanje naziva se varijacija sa

    ponavljanjem k-te klase skupa X od n elemenata.

    Vai

    Zadatak br.1:

    Na ahovskom tgurniru svaki igra je odigrao po jednu partiju sa svakim igraem. Odigrano jeukupno 55 partija. Koliko je ahista uestvovalo na turniru?

    Neka je broj ahista. Partiju odreuje skup od 2 igraa:

    Drugo rjeenje otpada, jer je logino da broj igraa ne moe biti negativan(tanije, ),

    odnosno na turniru je igralo 11 igraa.

    Zadatak se mogao rijeiti na drugi nain.

    Neka je broj ahista. Posmatrajmo jednog fiksnog ahistu.On e odigrati partija

    sa ostalim igraima (kada se ima u vidu uslov zadatka da su igrai igrali po jednu partiju

    meusobno). Sledei igrae odigrati isti broj partija, ali ne raunajui partiju odigranu saprethodnim ahistom, on e odigrati partija. Istom logikom, svaki naredni igra e

    odigrati po jednu partiju manje, sve do pretposlednjeg igraa, koji e odigrati jednu partiju saposlednjim igraem.To znai da e ukupan broj odigranih partija biti

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    81/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________81

    Zadatak br.2:

    Od 30 studenata sa prve godine, 25 sa druge, 20 sa tree i 15 sa etvrte godine studijatrebaformirati delegaciju u kojoj e biti 5 studenata sa prve, 4 sa druge, 3 sa tree i 2 sa etvrtegodine studija. Na koliko se nana moe formirati delegacija?

    Broj kombinacija na koji se moe izabrati 5 studenata prve godine od njih 30 je:

    Analogno tome, broj kombinacija na koji se moe izabrati 4 studenta druge godine od njih 25 je:

    Broj kombinacija na koji se moe izabrati 3 studenata tree godine od njih 20 je:

    Broj kombinacija na koji se moe izabrati 2 studenata etvrte godine od njih 15 je:

    Kako su izbori studenata po godinama nezavisni (tj. izbor studenata jedne godine ne utie naizbor studenata druge godine), vai pravilo proizvoda, te e ukupan broj naina na koji se moguizabrati kombinacije:

    Zadatak br.3:

    Na koliko se naina moe razmjestiti8 topova na ahovsku tablu tako da ne postoji par topovakoji se meusobno napadaju?

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    82/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    83/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________83

    itd.

    Dakle, vidimo da imamo trinaest elemenata (deset zvjezdica i tri uspravne crte). Treba primjetiti

    da se ovdje radi o bijektivnom preslikavanju, odnosno kombinaciji 10 klase od 13 elementa.

    Zadatak br.5:

    Koliko ima 5cifrenih brojeva u ijem zapisu ne uestvuje nula i nijedna cifra se ne ponavlja?

    (Vjebe br.8.)

    C.5. Binomna formula (Njutnova binomna formula)

    DEFINICIJA: Binomnim koeficijentom, u oznaci

    nazivamo broj

    TEOREMA:Za binomni koficijent vai:

    a) Svojstvo simetrinosti

    b) Pravilo sabiranja binomnih koeficijenata

    Primjer br.1:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    84/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    85/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________85

    C.7. Princip ukljuenja- iskljuenja

    To je zapravo princip prebrojav anja konanih skupova. Predstavlja uoptenje principa zbira.

    Ako su konani i disjunktni, odnosno

    tada je

    .

    Ako su konani i

    tada je

    TEOREMA: Ako su konani podskupovi skupa S tada

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    86/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    86__________________________________________________________________________________

    POSLJEDICA: Prebrojavamo

    Zadatak br.1(ispitni):

    Koliko ima prirodnih brojeva koji dijele bar jedan od brojeva

    Ideja:

    Kakvog oblika moraju biti svi djelioci brojeva

    Istovremeno vai i

    Sada primjenjujemo teoremu-princip ukljuenja/iskljuenja:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    87/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    88/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    88__________________________________________________________________________________

    Dakle radi se o k-tolanom podskupu skupa S od n elemenata, te je broj mogunosti danapravimo skup Y

    Ostalo je n-kelemenata. Biramo jedan lan n-klanog podskupa, to se moe izabrati na

    Konaan broj rjeenja je:

    Konano rjeenje je

    Zadatak br.3(za vjebu):

    Na koliko naina moemo rasporediti n jednakih kuglica u m razliitih kutija tako da tano dvijeostanu prazne?

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    89/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    90/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    90__________________________________________________________________________________

    Zadatak br.2.(za vjebu)

    Napisati polinom

    po stepenima (x+1) po principu identiteta.

    Zadatak br.3.

    Pokazati da je polinom

    pozitivan .

    Ukoliko grupiemo polinom drugaije (na to imamo pravo jer je mnoenje komutativno u poljurealnih brojeva) na sledei nain:

    moemo posmatrati odgovarajue kvadratne jednaine:

    Znajui Vietove formule:

    vidimo da je

    pa su odgovarajue nefaktorisane kvadratne jednaine:

    Uvrstimo li dobijene izraze u gornji polinom, dobijamo:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    91/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________91

    Poto je

    Dijeljenje polinoma

    Zadatak br.1.

    Neka je

    Pokazati da jeP(x) djeljiv sa Q(x)i odrediti kolinik.

    Ako jeP(x) djeljiv sa Q(x) onda je

    Poto je

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    92/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    93/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________93

    Odrediti kolinik i ostatak koji se dobije dijeljenjem polinoma

    i binomax-5, a zatim odreditiP(5).

    Rjeenje Hornerovim postupkom

    5 2 -6 -17 0 1 -4

    2 4 3 15 76 376

    Zadatak br.4.

    Dokazati da je polinom

    djeljiv sa

    a da pri tom ne vrimo nikakvo dijeljenje.

    TEOREMA (teorema viestrukih nula): Broj je nula reda polinoma

    stepena npri emu je n>0 akko

    =0

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    94/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    94__________________________________________________________________________________

    Zadatak br.5.

    Odredite cijele nule polinoma

    TEOREMA (cjelobrojne nule): Ako polinom

    ima cjelobrojnih nula, onda su one faktori slobodnog lana .

    1 je nula polinoma ako jef(1)=0

    1 nije nula polinoma f(x).

    -1 je nula polinoma ako jef(-1)=0

    -1 nije nula polinoma f(x).

    Za 2

    2 1 2 -4 -5 -6

    1 4 4 3 0

    2 jeste nula polinomaf(x).

    -6 i 6 nisu kandidati za cjelobrojne nule.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    95/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________95

    Za -2

    -2 1 4 4 3

    1 2 0 3

    -2 nije nula polinoma f(x).

    Za 3

    3 1 4 4 3

    1 7 25 78

    3 nije nula polinoma f(x).

    Za -3

    -3 1 4 4 3

    1 1 1 0

    - 3 jeste nula polinoma f(x).

    Zadatak br.6.(Euklidov algoritam)

    Odrediti polinomf(x) takav da dijeli polinome

    koristei Euklidov algoritam.

    Sjetimo se algoritma za pronalaenje najveeg zajednikog djelioca:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    96/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    96__________________________________________________________________________________

    (

    je najvei zajedniki djelilac zaP(x) i Q(x).

    Zadatak br.7.

    Zbir dva djeenja jednaine

    jednak je 1. Dokazati da je tada

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    97/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________97

    Iz (1) slijedi:

    (Vjebe br.9.)

    Vektoriski prostori i linearni operatori

    DEFINICIJA: Neka je V neprazan skup i neka je u V definisana operacija sabiranja

    takva da je (V,+) Abelova grupa. Tada vai:

    S1) + je unutranja operacija u skupu V, tj.

    S2) Sabiranje je asocijativno, tj.

    S3) Neutralni element

    S4) Svaki element ima inverz u odnosu na sabiranje

    S5) Sabiranje je komutativno

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    98/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    98__________________________________________________________________________________

    Elementi ovakvog skupa nazivaju se vektori.

    Neka je neko polje . elemente polja nazivamo skalari.

    Definiimo operaciju mnoenje vektora skalarom:

    Za skup kaemo da je vektorski prostor ili linearan prostor nad poljem ako

    definisane operacije (1) i (2) zadovoljavaju svojstva S1) do S5) , kao i svojstva:

    M6)

    M7)

    M8)

    M9)

    M10)

    Za vektorski prostor nad poljem kaemo da je realan vektorski prostor, a za vektorski prostor

    nad poljem kaemo da je kompleksni vektorski prostor.

    Primjer br. 1.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    99/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________99

    Primjer br. 2.

    Primjer br. 3.(VAAN!!!)

    Neka je skup svih preslikavanja nepraznog skupa S u dato polje .

    je vektorski prostor.

    S1)Zatvorenost

    Neka su proizvoljni.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    100/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    100__________________________________________________________________________________

    Ono to vrijedi za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

    S2)Asocijativnost

    Neka su proizvoljni.

    Ono to vrijedi za proizvoljne, vai za sve.

    S3)Neutral

    Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki.

    S4)Inverz

    Neka je

    proizvoljan.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    101/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    102/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    102__________________________________________________________________________________

    Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

    M8)

    Neka su i proizvoljni. Treba dokazati

    Ono to vrijedi za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

    M9)

    Neka su i proizvoljni. Treba dokazati

    Ono to vrijedi za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

    M10)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    103/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________103

    Neka su i .

    Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

    ZAKLJUAK: Algebarska struktura je vektorski prostor.

    Zadatak br.1.

    U vektorskom prostoru V postoji samo jedan nula vektor. Dokazati.

    Reductio ad apsurdum:

    Pretpostavimo suprotno.

    Tvrenje pretpostavke nije dobro.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    104/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    104__________________________________________________________________________________

    Zadatakbr. 2:(za vjebu)

    Svaki vektor ima jedinstven suprotan vektor u odnosu na operaciju sabiranja.

    Zadatak br. 3.

    Neka je V skup svih tablica brojeva iz polja sa tri vrste i jednom kolonom:

    Dokazati da je vektorski prostor.

    S1)Zatvorenost

    Neka su

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    105/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    106/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    106__________________________________________________________________________________

    Slino se dokazuje i za lijevi neutral.

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki, tj.

    S4)Inverz

    Neka je

    proizvoljan.

    Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za svaki, odnosno:

    S5)Komutativnost

    Neka su

    proizvoljni.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    107/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________107

    Ono to vrijedi za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve, odnosno:

    Svojstva M6) do M10) dokazati samostalno.

    Vektorski potprostori

    DEFINICIJA: Neka je vektorski prostor i neka je . Ako je U vektorski

    prostor nad poljem u odnosu na operacije naslijeene iz prostora V, tada kaemo da je U

    vektorski potprostor prostora V.

    TEOREMA: Ako je gdje je V vektorski prostor, tada je U potprostor od v akko:

    1)

    tj. U je zatvoren u odnosu na sabiranje.

    2) U je zatvoren u odnosu na mnoenje skalarom

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    108/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    108__________________________________________________________________________________

    1) i 2) 3)

    3)

    NAPOMENA: Svaki potprostor mora ispunjavati S3) tj. svaki potprostor mora sadrati nulavektor.

    Zadatak br. 1.

    Da li

    a) skup

    b)

    ini potprostor od .

    Oigledno i

    1) Neka su proizvoljni.

    2) Neka je proizvoljan i proizvoljan.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    109/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________109

    U je potprostor od .

    Zadatak br. 2.

    da li je L1

    potprostor od

    nije potprostor prostora .

    Zadatak br. 3(ispitini).

    Neka je skup U skup svih rjeenja jednaine

    Ispitati da li je skup U vektorski prostor.

    I)

    II)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    110/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    110__________________________________________________________________________________

    ...

    (Vjebe br. 10.)

    Zadatak br. 4.

    Neka su V1 i V2 potprostori vektorskog prostora v. Njihov presjek je takoe potprostor prostoraV. Dokazati.

    Neka su proizvoljni.

    su potprostori

    Po teoremi 1.2. je potprostor.

    TEOREMA:Presjek proizvoljnog broja potprostora je takoe potprostor od V .

    Zadatak br.5.

    Neka su potprostori vektorskog prostora V. Njihova unija u optem sluaju nije

    potprostor.

    Kontraprimjer:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    111/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________111

    nije potprostor.

    Ne vai zatvorenost.

    nije potprostor.

    DEFINICIJA:Linearni omota (lineal) vektora je skup svih vektora oblika

    Dakle, skup svih linearnih kombinacija od vektora sa skalarima .

    Lineal se najee oznaava sledeim oznakama

    TEOREMA: Ako su proizvoljni vektori iz vektorskog prostora V, tada je

    vektorski potprostor od V.

    Primjer br. 1.

    Ako je S={(1,1),(2,2)}

    Ovo je prava koja prolazi kroz koordinatni poetak i u odnosu na pozitivni dio x-ose nagnta je pod uglomod +450.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    112/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    112__________________________________________________________________________________

    Primjer br. 2.

    Ukoliko posmatramo

    Dokaz:

    (I)

    (II)

    Primjer br. 3.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    113/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________113

    Primjer br. 4.

    Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

    DEFINICIJA: Kaemo da su vektori linearno zavisni ako postoje skalari

    takvi da je i .

    Kaemo da su vektori linearno nezavisni ako su i vai

    Zadatak br. 1.

    Ispitati da li su vektori (1,2,0), (0,1,1) i (2,0,1) u linearno nezavisni.

    Vektori su linearno zavisni.

    Zadatak br.2.(za vjebu)

    Ispitati da li su matrice

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    114/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    114__________________________________________________________________________________

    linearno nezavisne.

    Zadatak br. 3.

    Da li su u vektorskom prostoru linearno nezavisni vektori:

    a)

    b)

    c)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    115/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    116/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    116__________________________________________________________________________________

    tj. vektori su linearno nezavisni za , a za su linearno zavisni.

    Zadatak br. 5.(VAAN!!!)

    Pokazati da su vektori linearno zavisni nad poljem , ali

    su linearno nezavisni nad poljem .

    nad su linearno nezavisni..

    Nad poljem

    (10)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    117/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________117

    Neka je proizvoljno.

    Ono to vai za proizvoljan, vai za svaki.

    Dakle, to znai da su v i w nad poljem linearno zavisni.

    Zadatak br. 6.

    U vektorskom prostoru odrediti jedan maksimalan linearno nezavisan podniz niza vektora:

    5 i 0 ne moe; 4 moe (baza); 1 ne moe- morao bi postojati koeficijent tako da su ostali vektori

    proporcionalni jednom vektoru.

    2,3,4 su mogue situacije.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    118/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    118__________________________________________________________________________________

    ZAKLJUAK: je nezavisno promjenljiva a su zavisno promjenljive.

    Vektori uz koje stoje zavisno promjenljive ovog sistema (to su b,c,d,e) ine jedan maksimalnilinearno nezavisan podniz datog niza.

    (I) Treba provjeriti da su vektori (b,c,d,e) linearno nezavisni. (samosatalno)

    (II) Pokazati da je niz (a,b,c,d,e) linearno zavisan.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    119/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________119

    (Vjebe br.11.)

    Baza i demenzija vektorskog prostora

    DEFINICIJA:Kaemo da skup Sgenerie vektorski prostorVako je

    DEFINICIJA: Za ureen skup koji je linearno nezavisan i koji generie prostor V

    kaemo da je baza vektorskog prostora V.

    Zadatak br. 1.

    za vektorski prostor .

    Neka su proizvoljni.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    120/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    121/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________121

    Odredimo iz niza od est vektora maksimalni linearno nezavisni podniz koji

    sadri vektore .

    Neka su proizvoljni.

    Dakle su nezavisne promjenljive, a su zavisno promjenljive.

    Vektori uz koje stoji zavisno promjenljiva ine jedan maksimalni linearno nezavisni podniz

    datog niza.

    Iz ovoga se izvodi zakljuak da je jedna baza vektorskog prostora .

    Zadatak br.3.

    U vektorskom prostoru dat je potprostorS ija je prva koordinata 0 i potprostorTrazapet na

    vektorima . Odrediti potprostor .

    je potprostor

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    122/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    122__________________________________________________________________________________

    Ono to vai za proizvoljan, vai za svaki.

    Zadatak br.4.

    Neka su Ui Vpotprostori, koji zajedno ine vektorski prostor .

    Odrediti baze i dimenzije potprostora

    (10)Baza i dimenzija potprostora U.

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za svaki.

    Dokazati da su vektori linearno nezavisni.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    123/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________123

    (20) Baza i dimenzija potprostora V.

    V je potprostor

    (30) Baza i dimenzija (sigurno je potprostor, zbog teoreme sa prolih vjebi)

    je potprostor

    TEOREMA: Za potprostore Ui Vvai

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    124/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    124__________________________________________________________________________________

    (40)Baza i dimenzija potprostora .

    Zadatak br.5.

    Neka su Si Tpotprostori vektorskog prostora generisani vektorima

    Odrediti bazu potprostora .

    (10)Baza potprostora

    je generisan vektorima a,b,c,d,ei njegova baza je najvei linearno nezavisan podnih datog

    niza.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    125/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________125

    je nezavisna promjenljiva .

    su zavisno promjenljive

    je maksimalan linearno nezavisan podniz. tj. baza vektorskog potprostora .

    (20)Baza potprostora

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    126/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    126__________________________________________________________________________________

    1)

    2)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    127/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________127

    3)

    (Vjebe br. 12)

    Matrice

    DEFINICIJA: Pravougaona tablica iz polja

    ta kolona

    naziva se matrica nad poljem .

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    128/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    128__________________________________________________________________________________

    Element koji se nalazi u presjeku i- te vrste ij-te kolone kaemo da se nalazi na poziciji (i,j).

    Zadatak br.1.

    Neka je

    Ispitati da li postoji matrica X takva da vai

    gdje je E jedinina matrica reda 2 (E2).

    Da li je tada

    ?

    Postoji li Y takva da je

    ?

    DEFINICIJA:Mnoenje matrica: Ako je

    a

    Proizvod dvije matrice je definisan ako je broj kolona prve jednak broju vrsta druge matrice.

    Tada je

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    129/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________129

    Provjera za npr (a=1, b=1)

    Zadatak br.2.(VRLO VAAN!!!)

    Neka je skup svih matrica oblika

    Ispitati algebarsku struturu .

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    130/168

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    131/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________131

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za sve.

    40)Inverz

    Neka je proizvoljan.

    Ono to vrijedi za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vrijedi za sve.

    50)Komutativnost

    Neka su proizvoljni.

    Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve.

    je Abelova grupa.

    Zadatak br. 3.

    Ako za kvadratnu matricu A vai

    gdje su skalari, tada je matrica A invertibilna i vai

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    132/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    132__________________________________________________________________________________

    Dokazati.

    Zadatak br.4.

    Neka su dati skupovi matrica

    i neka su data preslikavanja

    Dokazati da su fi gbijekcije i ispitati da li vai

    DEFINICIJA: Funkcija je 1-1 ako

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    133/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________133

    Neka su

    Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve.

    DEFINICIJA:

    Neka je proizvoljan

    Ono to vai za proizvoljan, bez ogranienja optosti, vai za sve.

    Ostatak za vjebu...

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    134/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    134__________________________________________________________________________________

    Zadatak br.5.

    Ako su

    zadate, odrediti n-ti stepen

    gdje je E jedinina matrica.

    dokazati matematikom indukcijom

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    135/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________135

    Zadatak br. 6.

    Ako za kvadratnu matricu A vai

    pri emu su zadani skalari, tada vai

    Dokazati.

    (Vjebe br. 13.)

    Linearni operatori

    DEFINICIJA: Neka su Ui Vvektorski prostori nad poljem . Preslikavanje

    naziva se linearni operator ili linearno preslikavanje ili linearna transformacija ako su ispunjeni

    uslovi

    1) aditivnost

    2) homogenost

    DEFINICIJA: Preslikavanje

    je linearan operator akko je slika jednaka

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    136/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    136__________________________________________________________________________________

    Zadatak br.1.

    Da li je

    definisan sa

    linearan operator?

    Neka su i proizvoljni.

    Ono to vai za proizvoljne, bez ogranienja optosti, vai za sve.

    Zadatak br.2.

    Neka je baza prostora X i neka su dati vektori

    Odrediti linearni operator

    tako da

    je baza vektorskog prostora X

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    137/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________137

    Traeni linearni operator je

    Zadatak br. 3.

    Neka je dat linearni operator

    Odrediti dimenziju jezgra linearnog operatora i slike linearnog operatora.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    138/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    138__________________________________________________________________________________

    LEMA 1.1: Ako je

    linearni operator i ako vektori generiu prostorUtada njihove slike

    generiu

    i ine bazu.

    Gausov metod eliminacije

    Zadatak br. 1.

    Rijeiti sistem jednaina

    Ovim je zavren direktan hod Gausove metode eliminacije. Poinjemo obrnuti hod Gausovemetode eliminacije:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    139/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________139

    Konano rjeenje

    Zadatak br. 2.

    Rijeiti sistem jednaina

    Neka je proizvoljno.

    Zadatak br. 3.

    Rijeiti sistem Gausovim metodom eliminacije:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    140/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    140__________________________________________________________________________________

    Kako trea jednaina sistema nema rjeenja, to sistem nije saglasan.

    Kramerovo pravilo

    Zadatak br. 1.

    Rijeiti sistem Kramerovim pravilom

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    141/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________141

    Konano rjeenje sistema je

    Determinante

    Zadatak br.1.

    Izraunati vrijednost determinante

    a) b)

    a)

    b)

    Zadatak br.2.

    Rijeiti jednainu

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    142/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    142__________________________________________________________________________________

    Problem smo sveli na rjeavanje kvadratne jednaine, ija su rjeenja:

    Zadatak br. 2. (za vjebu)

    Rijeiti jednainu

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    143/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________143

    Zadatak br. 3.

    Izraunati vrijednost determinante:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    144/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    144__________________________________________________________________________________

    Zadatak br.4.

    Izraunati determinantu

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    145/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________145

    Zadatak br.5.(tipski)

    Izraunati determinantu

    Ovdje se moe primjetiti pravilnost koja ukazuje na Fibonaijeve brojeve, odnosno rekurzivne(rekurentne) formule:

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    146/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    146__________________________________________________________________________________

    Dobili smo, dakle, rekurzivnu formulu:

    Rekurzivne brojeve mogue je pronai rjeavanjem odgovarajue kvadratne jednaine:

    Tada je

    n=1

    n=2

    Iz (1) i (2)

    Zadatak br.6.

    Izraunati determinantu

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    147/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________147

    Potrebno je prepoznati da je determinanta reda n, a zatim pomnoiti zadnju vrstu sa (-1) ipribrojiti ostalim vrstama. Nakon toga se vrlo jednostavno dobija rezultat.

    Rezultat:

    (Vjebe br. 14.)

    Zadatak br 7.

    Ako su date matrice

    odrediti

    Odredimo prvo

    Matematikom indukcijom moe se dokazati da je

    Prvo treba odrediti .

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    148/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    148__________________________________________________________________________________

    Provjera

    Zadatak br.8.

    Rijeiti

    ako su

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    149/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________149

    Matrini prikaz linearnog operatora

    DEFINICIJA: Ako je linearni operator i ako su

    baze prostora Ui Vtada operatorA u odnosu na baze

    odgovara matrici reda

    Koeficijenti (koordinate) u razvoju ???A(uj) odnosu na bazu .

    Zadatak br. 1.

    Neka je prostor polinoma nad stepena ne veeg od 3 i neka je operator

    deriviranja. Odrediti matricuD u bazi .

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    150/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    150__________________________________________________________________________________

    Zadatak br. 2.

    Neka je linearni operator zadat sa . Odrediti matricuoperatora .

    (10)

    (20)

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    151/168

    VJEBE LINEARNA ALGEBRA

    _____________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________151

    Zadatak br. 3.

    Neka sus i tlinearni operatori koji slikaju na nain

    i neka je . Odrediti

    Rang matrice

    DEFINICIJA:Rang matrice A je najvei red nesingularnih (regularnih; ) kvadratnih

    podmatrica matrice .

    DEFINICIJA:Rang matrice A je najvei red minora matrice A koji su razliiti od nule.

    Zadatak br. 1.

    Odrediti rang matrice A pomou metoda Gausove eliminacije.

  • 7/28/2019 VJEZBE LINEARNA

    152/168

    LINEARNA ALGEBRA VJEBE

    ______________________________________________________________________________

    152__________________________________________________________________________________

    Dobijena stepenasta forma ima tri pivota 2,-6,2 koji se nalaze na pozicijama 11,23,34

    KARAKTERIZACIJA: Rang matrice je broj njenih linearno nezavisnih vrsta(kolona).

    Zadatak br. 2.

    Odrediti rang i bazne kolone i ostale kolone izraziti preko baznih.

    Bazne kolone

    Redukovana stepe