www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

M TS

TON THI H C SINH GI I

1. THI CH N HSG 12 T NH B C NINH 2009 Bi 1 (6 i m) 1/ So snh hai s 20092010 v 20102009. 1 1 lim . 2/ Tm gi i h n x 0 3 x ( 1 + 4 x + 1) 2 x( 3 (1 + 6 x) 2 + 3 1 + 6 x + 1) Bi 2 (4 i m) 1/ Cho ba s th c khng m x, y, z tho mn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tm gi tr l n nh t c a F = x2 + y2 + z2. 2/ Cho s nguyn dng n. Ch ng minh r ng

1 C1 2009

+

1 C2 2010

+ ... +

1 Cn+1 2009+n

1 tan1 2

N u > 0 th nghi m c a b t phng trnh s l o n [t1 ,t 2 ] , o n ny ph i c ch m t i m

tan1 hay t2 = -tan1 . Lc gi tr c n tm c a tham s c

f ( tan1) = 0 tan1 > t0

v i f(t) = t2 4at +2 + 2a .

hay

( tan 21 + 2 ) a = 4tan1 + 2 . a < 1 tan1 2

D th y r ng h th nh t c nghi m , cn h th hai v nghi m. Gi tr v a tm c a tham s tng2 2 ng t = tan1. Suy ra tan cos 4 x = tan1, cos 4 2 x 2 = 1 + n , n . Phng trnh ny ch c

ba nghi m x1 = 0 , x2 = -2 , x3 = 2 . K t lu n :

(

)

1 N ua= th 2

x = 4 arccos 4 2

2

.

thi HSG mn Ton

Trang 2

www.VNMATH.comN u a=

Nguy n Vn X

V i cc gi tr cn l i c a a phng trnh v nghi m ho c c v s nghi m . BI 2 (3 i m) x 2x ' Ta c f ' ( x ) = 1 a + (1 2a ) cos + cos . Nghi m c a phng trnh f ( x ) = 0 s l cc i m 3 3 x 2x =0 t i h n c a hm f . Ta vi t : 1 a + (1 2a )cos + cos 3 3x 1 cos 3 = 2 . D th y r ng phng trnh ny tng ng v i t p h p: x cos = a 3 Phng trnh th nh t c a t p h p c hai nghi m x1= 2 v x2 = 4 trn kho ng ( , 5 ). Cc' i m ny l i m t i h n c a hm f . Khi vi t o hm d i d ng f ( x ) = 2 cos

tan 1 + 2 , th x1 = 0 , x2 = -2 , x3 = 2 . 4tan1 22

x 1 x + cos a 3 2 3 1 1 d th y r ng cc i m t i h n tr thnh i m c c tr ch khi a (n u a = th o hm khng i 2 2 d u , v do hm f khng c i m c c tr ). 1 Nh v y n u a th hm f c t nh t hai i m c c tr trn kho ng c xt . Do , c n tm 2 cc gi tr a sao cho phng trnh th hai khng c thm i m c c tr . 1 x Trn kho ng ( , 5 ) hm y = cos nh n t t c cc gi tr thu c o n 1; 2 3 9 8

7

6

5

4

3

2

1

E

-4

-2

F-1

2

4

6

8

D

10

12

14

16

-2

-3

-4

1 1 N u a 1, v a th hm f s c 4 c c tr . C ngha l v i nh ng gi tr a khc hm 2 2 f s c khng qu hai c c tr . 1 1 K t lu n : a , a = , a 1 . 2 2 thi HSG mn Ton Trang 3

www.VNMATH.comBI 3 (4 i m)

Nguy n Vn X2

xa x a2 B t phng trnh cho tng ng v i t p h p hai h : hay . Nh t p x a + 4 x a + 4h p ny ta bi u di n nghi m c a b t phng trnh ban u. K cc ng th ng x = k , v i14

k .

12

10

8

x=a+4 x=a26

4

2

-5

- 6

12

5

A

10

15

Lc gi tr a0 m v i n ng th ng a = a0 c t cc ng th ng x = k khng qu 4 i m trong t p h p c nh d u, s l gi tr c n tm. Cn c vo hnh v ta c cc gi tr a c n tm l :

6 < 0 , 0 < a 0.

Nguy n Vn X

Cu 4: (4 i m) Trn m t ph ng cho hnh vung ABCD c nh a v i m M thay i. Tm gi tr nh nh t c a m i t ng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. Cu 5: (4 i m) Cho t p h p A = {0,1,2,,2006}. M t t p con T c a A c g i l t p con ngoan ngon n u v i b t k x, y T (c th x = y) th | x y | T. 1) Tm t p con ngoan ngon l n nh t c a A v khc A. 2) Tm t p con ngoan ngon b nh t c a A ch a 2002 v 2005.

4. THI H C SINH GI I KH I 12 (2006-2007) x x1 = 1. Bi 1: (4) Gi i phng trnh : ( 3) 2Bi 2: (4) Tm gi tr l n nh t c a bi u th c x2

+ y

2

n u:

3x + 2 y 7x 3y

6 4

.

1 x1 = Bi 3: (4) Cho dy x 1 , x 2 ,....., x n , v i . 2 2 x n +1 = x n + x n , (n = 1,2,....) 1 1 1 + + ....+ bi t A = . x1 +1 x 2 +1 x100 +1

Hy tm ph n nguyn c a A

1 a1 = 2 Bi 4: (4) Cho dy (a n ) v i : . Ch ng minh t ng t t c cc s h ng c a dy nh 1 1 a2 n a = n +1 2 hn 1,03. Bi 5: (4) Cho t di n ABCD trong tam gic BCD ch n i m M v k qua M cc ng th ng song song v i cc c nh AB,AC,AD c t cc m t (ACD), (ABD) v (ABC) t i A 1 , B 1 , C 1 . Tm v tr c a M th tch hnh t di n MA 1 B 1 C 1 l n nh t.

5. THI H C SINH GI I L NG SNCu 1: Gi i BPT: 1 x2 . x Cu 2: Cho tam gic ABC u. Tm t p h p cc i m M n m trong tam gic tho mn h th c: MA 2 = MB 2 + MC 2 . ln( x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 2 x + 1) ln( x 3 + x 2 ) lnTrang 5

thi HSG mn Ton

www.VNMATH.comCu 3: Cho 2 s th c dng x, y tho mn: x + y =1.

Nguy n Vn X 1 1 Tm min c a bi u th c: A= 2 + . 2 8 xy x +y

x1 = 2 Cu 4: Cho dy ( x n ) xc nh: (n >0). Tm lim x n . xn +1 = 2 + xn Cu 5: Cho tam gic u ABC c nh b ng 1. Trn dt (d) vung gc v i mf (ABC) t i A l y i m M tu . G i H l tr c tm tam gic MBC. Khi M ch y trn dt (d), tm max V(HABC) Cu 6: Tm cc a th c P(x) tho mn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Cu 7: V i m i s t nhin n, g i P(n) l t p h p cc s t nhin k sao cho: 50 n < 7 k < 50 n +1 . K hi u S l s ph n t c a P(n). CMR v i m i s t nhin n, ta c: S=2 ho c S=3; v CMR t n t i v s s t nhin k sao cho S = 3.

6. K THI CH N HSG 12 T NH NG THP NM H C 2007-2008 Bai 1: (5 iem). a) Tm tat ca cac so nguyen m sao cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = 0 co mot nghiem nguyen. b) Giai bat phng trnh. log2 ( 2 1) x + 3 + 1 log2 ( 2 +1) x 2 Bai 2: (5 iem). a) Giai phng trnh 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. b) Cho cac so thc x1,x2, ,xn thoa man sin2x1+2sin2x2 ++ nsin2xn = a, vi n la so nguyen dng, a la n(n + 1) so thc cho trc, 0 a . Xac nh cac gia tr cua x1, x2, , xn sao cho tong 2 S = sin2x1+2sin2x2 + + nsin2xn at gia tr ln nhat va tm gia tr ln nhat nay theo a va n. Bai 3: (4 iem). 1 1 1 3 a) Cho ba so thc a,b,c thoa abc =1 .Chng minh : + 6 2 + 6 2 . 6 2 2 2 2 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) 2 cot A(cot A + 2 cot B) A+ B b) Cho tam giac ABC nhon thoa ieu kien = 2 cot( ) cot B. A+ B 2 2 cot( ) + cot B 2 Chng minh rang ABC la tam giac can. Bai 4: (2 iem). Cho tam giac ABC, tren cac canh BC, CA, AB lan lt lay cac iem A, B, C sao cho AA, BB va CC ong qui tai iem M. Goi S1, S2 va S3 lan lt la dien tch cua cac tam giac MBC, MCA, MA ' MB ' MC ' MAB va at = x, = y, = z. MA MB MC Chng minh rang: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = 0. u = 1 1 Bai 5: (2 iem). 2 1 + u.n 1 Cho day {un} , n la so nguyen dng , xac nh nh sau : un +1 = . un Tnh un va chng minh rang u1 + u2 ++ un 1 + [1 ( 1 ) n1 ] .un > 0 4 2 Bai 6: (2 iem). Cho a thc f(x)=x3+ ax2 + bx + b co ba nghiem x1, x2, x3 va a thc g(x) = x3+ bx2 + bx + a. Tnh tong S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b. thi HSG mn Ton Trang 6

www.VNMATH.comHNG DAN CHAM VA BIEU IEM MON TOAN Bai 1: (5 iem). Cau a)(3 iem) ap an + Bien oi: x(x+m2) -m(x+m2) = -1. + (x+m2)(x-m) = -1. x + m2 = 1 + (a) x m =2 1 x + m = 1 hoac (b) x m = 1 +Giai (a) m =1 hoac m =-2. +Giai (b) vo nghiem. +Vay m =1 hoac m =-2. Cau b)(2 iem) ap an + Bien oi:log 2 ( 2 1) x + 3 + log 2 ( 2 + 1) x 1 2 (log 2 ( 2 1) x + 3)(log 2 ( 2 + 1) x 1) 0 +V log 2 ( 2 1) x + 3 + log 2 ( 2 + 1) x 1 = 2, A + B A + B

Nguy n Vn X

iem 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 iem (1) 0.5 0.5

nen + ( log 2 ( 2 + 1) x + 3)(log 2 ( 2 + 1) x 1) 0 1 (log 2 ( 2 + 1) 3 +Vay log 2 +1 2 x 3logx

0.5 0.5

2 +1

2

Bai 2: (5 iem). Cau ap an iem

thi HSG mn Ton

Trang 7

www.VNMATH.coma)(2 iem) Bien oi 4sin 5x+1-sin x+4sin5xcosx=3sin x 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x2 sin 5 x + cos x = 3 sin x sin 5 x = 3 1 sin x cos x 2 22 2 2

Nguy n Vn X

0.5

0.5

sin 5 x = sin( x ) 6 5 sin 5 x = sin( x ) 6 Vay nghiem 7 hoac x= +k x= +k 24 2 36 3 x= 5 +k hoac 24 2 x=

0.5 hoac

11 +k 36 3

0.5

Cau b)(3 iem)

ap an + Bien oi S = 2(sin x1 cos x1 + 2 sin x2 . 2 cos x2 + ... + n sin xn . n cos xn ) +Bat ang thc Bunhiacopxki ,ta co:

iem 0.5

S 2 (sin2 x1 + 2 sin2 x2 + ... + n sin2 xn )(cos2 x1 + 2 cos2 x2 + ... + n cos2 xn ) S 2 a(1 sin 2 x1 + 2 2 sin 2 x2 + ... + n n sin 2 xn ) S 2 a[(1 + 2 + ... + n) (sin x1 + 2 sin x2 + ... + n sin xn )]2 2 2

0.5 0.5

S 2 a[

n(n + 1) a] 2

0.5

+Dau = x y ra khi sin x1 = 2 sin x2 = ... = n sin xn cos x1 2 cos x2 n cos xn tan x1 = tan x2 = ... = tan xn hay 2 2 2 sin x1 + 2 sin x2 + ... + n sin xn sin 2 x > 0 i hay x1 = x2 = ... = xn = n(n + 1) sin 2 = a 2 0 2 xi

0.5

thi HSG mn Ton

Trang 8

www.VNMATH.com x1 = x2 = ... = xn = n(n + 1) 2a Vay Max S= 2 a[ a ] khi sin = n(n + 1) 2 0 2

Nguy n Vn X

0.5

Bai 3: (4 iem). Cau a)(2 iem) ap an Ap dung bat ang thc Bunhiacopxki ,ta co 1 1 1 4 )(a 2 (b2 + c 2 ) + b2 (c 2 + a 2 ) + c 2 (a 2 + b 2 )) ( 6 2 2 + 6 2 + a (b + c ) b (c + a 2 ) c 6 (a 2x+= 2 ) . b 3( 12

iem 0.5

a b +c b 1 1 1 = ( 2 + 2 + 2 )2 a b c b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2 2 =( ) a 2b 2 c 2 = (b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2 ) 2 3 2 6 2

.a b 2 + c 2 +

12

3

c +a

2

.b c 2 + a 2 + c

1

3

a 2 + b2

.c a 2 + b 2 ) 2 =

0.5 0.5

(

(b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2 ) 2 1 1 1 + 6 2 + 6 2 ) 2 2 2 = 2 2 2 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) + b 2 (c 2 + a 2 ) + c 2 ( a 2 + b 2 ) b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 3 3 a 4b 4 c 4 3 = . 2 2 2

=

0.5

Cau b)(2 iem)

ap an +Bien oi ,ta co(cot A + cot B)2 = 4cot 2 ( A+ B A+ B ) cot A + cot B = 2cot( ) 2 2

iem 0.5

+Bien oi ve trai sin( A + B) 2sin( A + B) 2sin( A + B) cot A + cot B = = sin A sin B cos( A B) cos( A + B) 1 cos( A + B)( A + B) ( A + B) + 4sin cos ( A + B) 2 2 cot A + cot B = 2 cot ( A + B) 2 2 sin 2 2 + Dau = xay ra khi cos(A-B)=1 hay A=B Vay tam giac ABC can tai C. thi HSG mn Ton

0.5 0.5

0.5Trang 9

www.VNMATH.comBai 4: (2 iem). Cau 2 iem ap an + Goi S la dien tch tam giac ABC,ta co S = S + S + S 1 2 3 s1 MA' s AA' = = Ta co s AA' s1 MA's s1 AA' MA' MA 1 = = = +Suy ra s1 MA' MA' x s s1 +Suy ra 1 = x = x s1 = x( s2 + s3 ) . s s1 s2 + s3

Nguy n Vn X

iem

0.5 0.5

+Tng t s2 = y(s3 + s1), s3 = z(s1 + s2 ); S = s1 + s2 + s3 = x(s2 + s3 ) + y(s3 + s1) + z(s1 + s2 ) Vay (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0 Bai 5: (2 iem). Cau 2 iem ap an +at un = tan > 0, 0 < < 2 ta co

0.5 0.5

iem

+V 0 < < < tan 2 sn = u1 + u 2 + ... + u n ma u1 = 1 = tan = tan u2 = tan ,..., un = tan 2 4 2.2 2.2 2.2n + sn = tan + tan + ... + tan 2 2.2 2.2 2.2n 1 1 1 1+ + ... + = 1 + ( 2 + ... + n ) = 1 + (1 ( ) n 1 ) 2 n 2.2 2 2 2 4 2 + Suy ra pcm 2.2 Bai 6: (2 iem). Cau ap an

1 1 1 + tan 2 1 cos un +1 = = = tan sin tan 2 cos

0.5

0.5

0.5 0.5

iem

thi HSG mn Ton

Trang 10

www.VNMATH.com2 iem +Theo nh ly Vi et,ta co p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b. +Ta co 2 2 2 x1 + x2 + x3 = p12 2 p2 = a 2 2b3 3 x13 + x2 + x3 = p13 3 p1 p2 + 3 p3 = a 3 + 3ab 3b

Nguy n Vn X

0.5

0.5 0.5 0.5

+ = ( x 3 + x 3 + x 3 ) + b( x 2 + x 2 + x 2 ) + b( x + x + x ) + 3a S 1 2 3 1 2 3 1 2 3 +

S = ( a 3 + 3ab 3b) + b(a 2 2b) + b(a ) + 3a S = (a b)(a 2 + 2b + 3)

Chu y : hoc sinh co the a ra phng an giai quyet van e khac neu ket qua ung, hp lo gic khoa hoc van cho iem toi a cua phan o.

7. K THI H C SINH GI I THNH PH H N I 1995 Bi I. Xt ng cong: y = mx3 nx 2 mx + n (C). Tm cc c p s (m; n) sao cho trong cc giao i m c a (C) v i tr c honh c hai giao i m cch nhau 1995 n v v kho ng cch t tm i x ng c a (C) n tr c honh l 2000 n v .Bi II V i nh ng gi tr no c a m th x 0; ta lun c: m sin 3 + 2mcos 2 3m sin cos 2 . 2 Bi III

Cho hai dy s

( an ) v ( bn ) trong v i m i i = 1, 2, 3 ta lun c: ai +1 = ai

ai 3 v bi = ai . 4

Ch ng minh r ng: c t nh t m t gi tr c a a i sao cho dy ( bn ) c gi i h n khc 0. Bi IV x2 y 2 + = 1 v i tm O v cc tiu i m F1 , F2 . Qua O, F1 v cc ng song song a 2 b2 OM .OM ' MOM', MF1N'. Tnh t s : . F1 N .F1 N ' Cho hnh Elp

8. K THI H C SINH GI I THNH PH Bi I

H N I 19963 ; ( n = 1; 2; 3). 4

Cho dy ( xn ) xc nh b i i u ki n: x1 = a ; xn +1 xn 2 + xn = Tm gi tr c a a sao cho: x1996 = x1997. thi HSG mn Ton

Trang 11

www.VNMATH.comBi II Hm s f(x) c xc nh b ng h th c: f (1 x) + 2 f ( x) = sin 2 x . Ch ng minh r ng: s inf(x) < Bi III Cho phng trnh: cos 2 x + ( m + 3) cos 2 = 8sin 3 2 cos 2 x + 2m sin + m + 4 . Hy xc nh gi tr c a m sao cho v i m i gi tr c a th phng trnh c nghi m. Bi IV 2 . 2

Nguy n Vn X

Trn m t ph ng to vung gc Oxy, cho cc i m A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); v M(-1; -0,6). K ng th ng ( ) vung gc v i AB t i H v ng trn (C) nh n AB lm ng knh. Tm qu tch tm I c a

ng trn ti p xc v i ( ) v ti p xc trong v i (C) sao cho i m M n m

bn ngoi ng trn (I).

9. K THI H C SINH GI I THNH PH e2 x Cu 1 (5 i m): Cho hm s f ( x ) = 2 . e +e

H N I 1997

1. Tm gi tr nh nh t v gi tr l n nh t c a hm s trn o n ln 2;ln 5 . 2. Tnh t ng S = f ( Cu 2 (5 i m): Tm a phng trnh sau c ng 3 nghi m:2 x sin a +1

1 )+ 1998

2 f + 1998

3 f + ... + 1998

1996 f + 1998

1997 f . 1998

3 Cu 3 (5 i m): Cho

log x 2 + 4 x + 6 +

(

) ( )3

x2 4 x

log

1 =0. 2 ( x sin a + 1 + 1)

6

x1 , x2 , x3 , x4

4

. Ch ng minh r ng:

1 1 1 1 4 + + + ( cotx1 +cotx 2 +cotx 3 +cotx 4 ) cotx1 cotx 2 cotx 3 cotx 4

(

3+1 3

)

2

.

Cu 4 (5 i m): Trong h to tr c chu n xOy cho ng th ng (d) c phng trnh: y = 3 17 x+ . 4 12

1. Tm i m M(a; b) v i a, b Z sao cho kho ng cch t M t i (d) nh nh t v di o n OM ng n nh t. 2. Cho ng trn (C) tm M(-2; 0) ti p xc v i Oy. Tm t p h p tm cc ng trn ti p xc v i Ox v ti p xc ngoi v i ng trn (C). thi HSG mn Ton Trang 12

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

10. K THI H C SINH GI I THNH PH Cu 1 (5 i m):

H N I 1998

Cho h ng cong (Cm): y = x 3 3 x 2 + mx + 4 m ( m l tham s ). ng th ng (d): y=3-x c t m t ng cong b t k (C) c a h (Cm) t i 3 i m phn bi t A, I, B (theo th t ), ti p tuy n t i A v ti p tyu n t i B c a (C) l n l t c t ng cong t i i m th hai l M v N. Tm m t gic AMBN l hnh thoi. Cu 2 (5 i m):

x y s inx = e siny Gi i h phng trnh: 10 x 6 + 1 = 3 y 4 + 2 . 5 < x; y< 4 Cu 3 (5 i m):

(

)

Ch ng minh b t ng th c: C th thay s 2 Cu 4 (5 i m):

1 1 1 + + > 2 , v i a lm v tri c ngha. 1 + cos4a 1 + cos8a 1 cos12a

v ph i b ng m t s v t c m t b t ng th c ng v m nh hn khng?

Cho 2 ng trn thay i (C) v (C') lun ti p xc v i m t ng th ng l n l t t i 2 i m A v A' c nh. Tm qu tch giao i m M c a (C) v (C') bi t r ng chng lun c t nhau d i m t gc cho tr c ( l gc t o b i hai ti p tuy n c a hai ng trn t i M ).

11. K THI H C SINH GI I THNH PH H N I 1999 Cu 1 (5 i m): x Cho hai hm s f ( x) = v g ( x) = arctanx . 1+ x1. Cmr: th c a chng ti p xc nhau. 2. Gi i b t phng trnh: f ( x) g ( x) + x . Cu 2 (5 i m): Cho tam gic ABC tho mn: Cmr: tam gic ABC u. Cu 3 (5 i m): Tm tham s a sao cho phng trnh sau c t nh t m t nghi m nguyn a 2 + 4 2 + 4 log 1 2 4 x x 2 ( a 2 ) x 2 + 4 a thi HSG mn Ton

3 ( cot A + cot B + cot C )

4 ma 2 + mb 2 + mc 2

(

)

=

3

( abc )

2

cot

A B C cot cot . 2 2 2

( x 5a + 10 34 ) ( x a + 2 + ) = 0 .Trang 13

www.VNMATH.comCu 4 (5 i m): Trong h to tr c chu n Oxy cho ng trn (C) c phng trnh: x 2 + y 2 = 4 .

Nguy n Vn X

1. Tm tham s m trn ng th ng y = m c ng 4 i m sao cho qua m i i m c 2 ng th ng t o v i nhau gc 450 v chng u ti p xc v i ng trn (C). 2. Cho 2 i m A(a;b), B(c;d) thu c ng trn (C) ch ng minh:4 a b 3 + 4 c d 3 + 4 ac bd 3 6 .

12. K THI H C SINH GI I THNH PH Cu 1 (4 i m):Cho hm s y = x 4 2m 2 x 2 + n .

H N I 2001

Tm cc gi tr c a tham s m v n th c 3 i m c c tr l cc nh c a m t tam gic u ngo i ti p m t ng trn c tm l g c to . Cu 2 (4 i m): Tm t t c cc gi tr c a a v b tho mn i u ki n a gi tr nh nh t. Tm gi tr nh nh t . Cu 3 (4 i m): Gi i b t phng trnh: Cu 4 (4 i m): Tm cc gi tr c a x, v i m i gi tr c a y lun t n t i gi tr c a z tho mn: 2 + log 3 x 6 < . 2x 1 x 1 a 1 2a 3 + 1 t v > 1 sao cho bi u th c P = b 2 b (a b)

3 1 2 . sin ( x + y + z ) = y + cos 2x+ + 2 3 2cosx y Cu 5 (4 i m): Cho Elp (E) c 2 tiu i m l F1 v F2. Hai i m M v N trn (E). Ch ng minh r ng: 4 ng th ng MF1, MF2, NF1, NF2 cng ti p xc v i m t ng trn.

13. K THI H C SINH GI I THNH PH Cu 1 (4 i m):

H N I 2003

Gi i v bi n lu n theo tham s a s nghi m c a phng trnh: (n + 2) x n +3 2003(n + 3) x n + 2 + a n +3 = 0 (v i n l s t nhin l cho tr c). Cu 2 (4 i m):

thi HSG mn Ton

Trang 14

www.VNMATH.com4 2

Nguy n Vn X

Cho ng cong (C) c phng trnh y = x + 4 x 3 .Tm m v n ng th ng y = mx + n c t ng 1 cong (C) t i 4 i m phn bi t A, B , C, D ( theo th t ) sao cho AB = CD = BC . 2 Cu 3 (4 i m): Cho tam gic ABC c tr ng tm G. G i R v R' l n l t l bn knh ng trn ngo i ti p tam gic ABC v bn knh ng trn ngo i ti p tam gic c di 3 c nh l GA, GB, GC. Ch ng minh n u c 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) th tam gic ABC u. Cu 4 (4 i m): Gi i cc phng trnh sau: 1./ 2cosx+sin19x-5 2 = sin 21x 3 2 sin10 x . 2./ 32 x 5 40 x 3 + 10 x 3 = 0 . Cu 5 (4 i m): Trong m t ph ng to Oxy cho Parabol (P): y 2 = 2 px (p > 0), tiu i m l F. T m t i m I k 2 ng th ng ti p xc v i (P) t i M v N. 1. Cmr: FIM ng d ng v i FIN . 2. M t ng th ng (d) tu ti p xc v i (P) t i T v c t IM, IN t i Q v Q'. Cmr: FQ.FQ' khng ph thu c v tr c a (d). FT

14. K THI H C SINH GI I THNH PH Bi 1 (4 i m):Cho hm s : f(x) = mx 4

H N I 2004

4 5 m2 3 x + 1 v g ( x) = x 2004 x 12 c th l (C) v (C). H y tm t t c 5 3 cac gi tr c a tham s m t n t i 4 ng th ng khc nhau, cng song song v i tr c tung v m i ng trong chng u c t (C) v (C) t i hai i m sao cho ti p tuy n tng ng c a (C)v (C) t i hai i m song song v i nhau. Bi 2 (4i m): Cho b t phng trnh: x 2 x x 2 < x 2 ax 2 x + a 2 x 2 x x 2 . 1.Gi i bpt khi a = -1. 2.Tm a bpt c nghi m x >1. Bi 3 (4i m): Gi i phng trnh: 3cos Bi 4 (4i m):2x

+ 2sin

2x

=2

( x )2 3

+2

9 4( x )

. 3 3 . Hy tnh di c nh cn l i v l n cc 4

M t t gic c di ba c nh b ng 1 v di n tch b ng gc c a t gic . Bi 5 (4i m): thi HSG mn Ton

Trang 15

Nguy n Vn X Cho t di n ABCD DA = a, DB = b, DC = c i m t vung gc v i nhau. M t i m M tu thu c kh i t di n. 1.G i cc gc t o b i tia DM v i DA, DB, DC l , , . Cmr: sin 2 + sin 2 + sin 2 = 2 . 2.G i S A , S B , S C , S D l n l t l di n tch cc m t i di n v i nh A, B, C, D c a kh i t di n. Tm gi tr nh nh t c a bi u th c: Q = MA.S A + MB.S B + MC.S C + MD.S D .

www.VNMATH.com

15. K THI H C SINH GI I THNH PH Cu 1 (5 i m):G i ( Cm ) l th c a hm s 1. Tm cc gi tr c a m

H N I 2006

y = x 4 6m 2 x 2 + 4mx + 6m 4 ( m l tham s ).

( Cm )

c 3 i m c c tr A, B, C.

2. Ch ng minh r ng tam gic ABC c tr ng tm c nh khi tham s m thay i. Cu 2 (3 i m): Gi i cc phng trnh sau: 1. 15 x5 + 11x 3 + 28 = 1 3 x . Cu 3 (3 i m): 2. ( 4 x 1) 1 + x 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 .

Tam gic ABC c di cc c nh l a, b, c v bn knh R c a ng trn ngo i ti p tho mn h th c: bc 3 = R 2 ( b + c ) a . Ch ng minh r ng tam gic l tam gic u. Cu 4 (4 i m): Tm cc gi tr c a tham s a h phng trnh sau c nghi m: ( x 2 y 1) y y y 12 cos 5 12 cos 7 + 24 cos + 13 = 11 sin 2 2 2 3 . 3 2 2 2 2 2 x + ( y a ) 1 = 2 x + ( y a ) 4 Cu 5 (5 i m):

Cho t di n u ABCD c c nh b ng 1. Cc i n M, N l n l t chuy n ng trn cc o n AB, AC sao cho m t ph ng (DMN) lun vung gc v i m t ph ng (ABC). t AM = x, AN = y. 1. Cmr: m t ph ng (DMN) lun ch a m t ng ph ng c nh v x + y = 3xy. 2. Xc nh v tr c a M, N di n tch ton ph n t di n ADMN t gi tr nh nh t v l n nh t.Tnh cc gi tr .

16. THI TH HSG VNG T NH L N 3 - THPT CAO LNH 2 NM 2008 Bi 1: (2.0 i m) V i a,b,c > 0 th a mn i u ki n abc =1. Ch ng minh r ng: thi HSG mn Ton Trang 16

www.VNMATH.coma b c 3 + + . (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) 4Bi 2: (3.0 i m) Gi i phng trnh: log 2x + ( x-5 ) log 2 x-2x + 6 = 0 . Bi 3: (3.0 i m) Tm a th c P (x) th a mn i u ki n: P(3) = 6 . xP( x 1) = ( x 3) P( x), x R Bi 4: (2.0 i m) Cho dy s dng ( x ) xc nh xc nh nh sau:23 3 3

Nguy n Vn X

n

x = 1 0 x1 = 45 xn+ 2 = 45 xn+1 7 xn

.(n 0)

1) Xc nh s h ng t ng qut x theo n n 2) Tnh s c dng c a bi u th c x 2 x .x . n n+ 2 n +1 Bi 5: (3.0 i m) Cho t gic ABCD n i ti p trong ng trn tm O. Cc ng th ng AB,CD, c t nhau E, AD, BC c t nhau F, AC, BD c t nhau M. Cc ng trn ngo i ti p c a cc tam gic CBE, CDF c t nhau N. Ch ng minh r ng O,M, N th ng hng. Bi 6 : (2.0 i m) Tm nghi m nguyn c a phng trnh x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1). Bi 7: (2.0 i m) Ch ng minh r ng, Trong m i tam gic ta lun c:

Bi 8: (3.0 i m) Gi i h phng trnh:3 2

sin A sin B sin C + + cosx, x (0; ). x 2 Bi 2. ( 6.0 i m ) 1. Cho hai s th c x , y tho mn: x 0; y 1; x + y = 3 . Tm gi tr l n nh t v nh nh t c a bi u th c: P = x3 + 2 y 2 + 3 x 2 + 4 xy 5 x . s inx e x y = siny 2. Gi i h phng trnh 3 8x 2 + 3 + 1 = 6 2 y 2 2 y + 1 + 8 y . x, y (0; ) 4 thi HSG mn Ton Trang 17

www.VNMATH.comBi 3. ( 2,5 i m ) Ch ng minh r ng: v i m i s nguyn dng n lun t n t i duy nh t s th c xn sao cho Xt dy s ( xn )tm gi i h n : lim( xn +1 xn ) . Bi 4. ( 5,5 i m ) a) Trong m t ph ng to Oxy cho tam gic ABC c di n tch b ng

Nguy n Vn X 12008xn xn + n = 0.

3 . Bi t A(2;-3) , B(3,-2) v tr ng 2 tm G thu c ng th ng d c phng trnh : 3x y 8 = 0. Tnh bn knh ng trn n i ti p ABC. b) Trong m t ph ng c ng trn tm O , bn knh R v ng th ng d ti p xc v i ng trn (O,R) t i i m A c nh . T i m M n m trn m t ph ng v ngoi ng trn (O,R) k ti p tuy n MT t i ng trn (O, R) (T l ti p i m). G i H l hnh chi u vung gc c a M ln d. Ch ng minh r ng ng trn tm M c bn knh MT lun ti p xc v i m t ng trn c nh khi M di ng trn m t ph ng sao cho: MT = MH.

18. K THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPT 2007 QU NG NAM x4 +2 0. Cu 1 (3 i m): Gi i b t phng trnh sau : ( x 1 ) x 1Cu 2 (3 i m): Gi i h phng trnh sau :

x 2 y 2 2x + y 2 = 0 . 3 2 2x + 3x + 6 y 12x + 13 = 0 Cu 3 (3 i m): Tm t t c cc hm s f th a mn :

x3 x+3 f + f = x, x R , x 1 . x +1 1 x Cu 4 (3 i m): Tm t t c cc nghi m nguyn c a phng trnh: x2 4xy + 6y2 2x 20y = 29. Cu 5 (3 i m): Tm s h ng t ng qut un c a dy s (un) th a mn i u ki n sau:

u1 = a, u2 = b, a R + , b R + 1 . 2 un + 2 = ( un .un +1 ) 3 , n N * Cu 6 (3 i m): Cho ABC. Trn hai c nh AB v AC l n l t l y i m D v E sao cho DE song song v i c nh BC v ti p xc v i ng trn n i ti p ABC. Ch ng minh r ng: DE 1 ( AB + BC + CA). 8

Cu 7 (2 i m): t x = a + b c , y = a + c b , z = b + c a, v i a, b, c l cc s nguyn t . Cho bi t x2 = y v hi u

z y l bnh phng c a m t s nguyn t . Xc nh t t c gi tr c a a, b, c.

thi HSG mn Ton

Trang 18

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

19. THI CH N H C SINH GI I B C PTTH TH A THIN HU5 2 4

NM H C 1999-2000.

Bi 1: ( 2.5 i m) Cho phng trnh: x 34x + a (x 1)(x 33) = 1 . a/ Gi i phng trnh khi a = 64. b/ Tm a phng trnh c nghi m. Bi 2:(2.5 i m) Cho hai s a1, b1 v i 0 < b1 = a1 < 1. L p hai dy s (an), (bn) v i n = 1, 2, .. theo quy t c sau: a n +1 = Tnh:n +

lim a n

1 (a n + b n ) , b n +1 = a n +1.b n . 2 v lim b n .n +

Bi 3:(2.5 i m) Trong khng gian cho ba tia Ox, Oy, Oz khng ng ph ng v ba i m A, B, C ( khc i m 0) l n l t trn Ox, Oy, Oz. Dy s (an) l m t c p s c ng c a1 > 0 v cng sai d > 0. V i m i s n nguyn dng, trn cc tia Ox, Oy, Oz theo th t l y cc i m An, Bn, Cn sao cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn. Ch ng minh cc m t ph ng (An, Bn, Cn ) lun lun i qua m t ng th ng c nh. Bi 4:(2.5 i m) T p h p M g m h u h n i m trn m t ph ng sao cho v i m i i m X thu c M t n t i ng 4 i m thu c M c kho ng cch n X b ng 1. H i t p h p Mc th ch a t nh t l bao nhiu ph n t ? Bi 1: (2.5 i m) Cu a: ( 2 i m) +(0.25 ) t u =5

H NG D N CH M

x 2 34x + a

v=

4

(x 1)(x 33)

u 5 (u 1) 4 = a 33 +(0.25 ) Ta c h (I). v = u 1 0 +(1.00 ) Hm s f(u) = u5 (u 1)4 c f(u) = 5u4 4(u 1)3 > 0 u [1; + ), nn f(u) tng trn [1; + ). +(0.50 ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) v f(u) tng nn h (I) ch c m t nghi m: (u = 2,v = 1) t ta c nghi m c a phng trnh l: x = 17 257 . Cu b: ( 0.5 i m) + f(u) tng trn [1; + ) m f(1) = 1 nn phng trnh c nghi m khi a 33 1 hay a 34.Bi 2: (2.5 i m) +(0.50 ) Tnh a2, b2 v i 0 < b1 =a1 < 1 ta c th ch n 0 < a < sao cho: b1 = cosa, 2

suy ra a1 = cos2a. 1 1 a a 2 = (cos 2 a + cos a) = cos a(cosa + 1) = cosa.cos 2 2 2 2 a a b 2 = cos acos 2 cosa = cos acos 2 2 +(0.75 ) B ng quy n p, ch ng minh c: thi HSG mn Ton

Trang 19

www.VNMATH.coma a b n = cos aco s ...cos n 1 (2) 2 2 a +(0.75 ) Nhn hai v c a (1) v (2) cho sin n 1 v p d ng cng th c sin2a c: 2 a sin 2a.cos n 1 sin 2a 2 an = , bn = . a a n n 2 .sin n 1 2 .sin n 1 2 2 +(0.50 ) Tnh gi i h n: sin 2a sin 2a lim a n = , lim b n = n n 2a 2a a a a a n = cos aco s ...cos n 1 cos n 1 (1) 2 2 2

Nguy n Vn X

Bi 3: (2.5 i m) +(0.50 ) Pht bi u v ch ng minh m nh : N u hai i m X,Y phn bi t. i u ki n c n v i m S thu c ng th ng XY l t n t i c p s th c x, y th a: OS = xOX + yOY , v i i m O ty . x + y = 1 +(0.25 ) T gi thi t: (an) l c p s c ng cng sai d > 0 nn: an+1 = an + d +(0.75 ) p d ng nh n xt trn, ta c: a a OI = n +1 OBn n OA n th I AnBn. d d v OA = a n OA n ; OB = a n +1 OBn ( do a n , a n +1 > 0) Th vo trn ta c: OI = a n +1 a n = 1. d d

OB OA 1 = AB , n=1,2... suy ra I c nh, nn ng th ng AnBn lun d d d

i qua m t i m c nh I. +(0.50 ) Tng t , ch ng minh c:1 BC . d 1 AnCn lun i qua m t i m c nh K xc nh b i: OK = AC 2d V y cc ng th ng AnBn, BnCn, AnCn l n l t i qua ba i m I, J, K c nh. +(0.50 ) Ch ng minh ba i m th ng hng: 1 1 1 Ta c: OI = AB , OJ = BC , OK = AC . d d 2d 1 1 1 1 Do : OK = AC = (AB + BC) = (d.OI + d.OJ) = (OI + OJ) 2d 2d 2d 2 V y I, J, K th ng hng. i u ny ch ng t m t ph ng AnBnCn lun i qua m t ng th ng c nh. BnBn lun i qua m t i m c nh J xc nh b i: OJ = Bi 4: (2.5 i m) +(0.50 ) R rng c t nh t hai i m P,Q thu c M sao cho PQ 1. K hi u : MP = {X M / PX = 1}. T gi thi t |MP| = 4 ta c: |Mp Mq| 2. N u t n t i P, Q sao cho |Mp Mq| 1 th M ch a t nh t 9 i m. +(1.50 ) Tr ng h p v i m i P,Q sao cho PQ 1 v |Mp Mq| = 2. thi HSG mn Ton Trang 20

www.VNMATH.com

Khi Mp Mq = {R,S}, lc MP = {R,S,T,U} v Mq M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta c TQ 1, UQ 1, VP 1, WP 1. N u TR,TS,UR,US khc 1: suy ra Mt Mq = Mu Mq = {V,W} suy ra T hay U trng v i Q, v l. N u TR,TS,UR,US c m t s b ng 1: Khng gi m i tnh t ng qut, gi s TV = 1 lc TS 1 v TV = 1 hay TW = 1. Gi s TV = 1 lc TW 1 suy ra TU = 1, v Mt = {P,R,U,V} v Mu = {P,T,V,W} lc UTV, RPT,UTV l cc tam gic u c nh 1, ta c hnh 1. i u ny mu thu n v VR>2. +(0.50 ) V y M ch a t nh t l 9 i m. D u b ng x y ra v i hnh2. V y M c th ch a t nh t l 9 i m.

Nguy n Vn X = {R,S,V,W} v gi s

V

T

R A6

A5 A9 A 1 A2 A3 A8 A4 A7

U

P

20. THI CH N H C SINH GI I B C PTTH TH A THIN HU Bi 1 (5 i m) Cho phng trnh: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. a/ Gi i phng trnh khi a = 2 . b/ V i gi tr no c a a th phng trnh c nghi m. Bi 2 (5 i m) Gi s phng trnh x3 + x2 + ax + b = 0 c 3 nghi m phn bi t. Hy xt d u c a bi u th c: a2 3b. Bi 3 (5 i m) Tm cc ng ti m c n c a th hm s :1

NM H C 1998 -1999.

y = (1 + a x ) x ,

(a > 0).

Bi 4 (5 i m) Cho hnh chp S.ABCD, y ABCD l hnh ch nh t c AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K l hnh chi u vung gc c a P xu ng AC. a/ Tnh di o n vung gc chung c a SA v BK. b/ G i M, N l n l t l trung i m c a o n th ng AK v CD. Ch ng minh: Cc ng th ng BM v MN vung gc nhau.

thi HSG mn Ton

Trang 21

www.VNMATH.comH NG D N CH M cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0. (0.5 ) + t t = sinx + cosx = 2 cos(x ), |t| 2. 4 cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 sinxcosx) t t2 1 v t2 = 1 + 2sinxcosx nn sinxcosx = v cos3x + sin3x = (3 t 2 ) . 2 2 (0.5 ) + Phng trnh (1) tr thnh: t t2 1 = 0 t3 at2 3t + a = 0 (2). (3 t 2 ) + a. 2 2 Cu a / (1 ) + V i a = 2 : (2) tr thnh: t3 2 t2 3t + 2 = 0 (t + 2 )(t2 - 2 2 t + 1) = 0 (t + 2 )(t - 2 + 1)(t - 2 - 1) = 0 t = - 2 hay t = 2 - 1 hay t = 2 + 1. (1 ) + so l i i u ki n: | t | 2 nn phng trnh (1) tng ng v i: 5 cos(x 4 ) = 1 x = 4 + k2 2 cos(x 4 ) = 2 ,k Z . 2 1 2 cos(x ) = 2 1 cos(x ) = 2 1 x = 4 ar cos 2 + k2 4 4 2 Cu b / (0.25) + Phng trnh (1) c nghi m khi v ch khi f(t) = t3 at2 3t + a = 0 c nghi m t [- 2 ; 2 ] (1.25) + f(t) lin t c trn R f(- 2 ) = 2 - a ; f( 2 ) = - 2 - a; f(0) = a. a = 0: f(t) c nghi m t = 0 [- 2 ; 2 ] a < 0: f(- 2 ).f(0) = a( 2 - a) < 0 f(t) = 0 c nghi m t (- 2 ;0). a > 0: f(0).f( 2 ) = a(- 2 - a) < 0 f(t) = 0 c nghi m t (0; 2 ). (0.25) + V y phng trnh lun c nghi m v i m i a. Bi 1: ( 5i m)

Nguy n Vn X

Bi 2: ( 5i m) y = f(x) = x3 + x2 + ax + b (0.5 ) + T p xc nh: R. y = 3x2 + 2x + a l tam th c b c hai c bi t s = 1 3a. (0.5 ) + Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 c 3 nghi m phn bi t nn y = 0 c 2 nghi m phn bi t x1, x2 v f(x1).f(x2)< 0. 1 3a > 0 (0.25 ) + Suy ra: (x1, x2 l hai nghi m c a phng trnh 3x2 + 2x + a = 0). f (x1 ).f (x 2 ) < 0 (1 ) + Th c hi n php chia a th c ta c: 1 1 1 f(x) = x3 + x2 + ax + b = x + y '+ [ (6a 2)x + 9b a ] . 9 9 3 1 1 Suy ra f(x1) = [ (6a 2)x1 + 9b a ] ; f(x2) = [ (6a 2)x 2 + 9b a ] 9 9 (0.5 ) + f(x1).f(x2) < 0 (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0. thi HSG mn Ton Trang 22

www.VNMATH.com(1 ) + V x1, x2 l 2 nghi m c a phng trnh: 3x + 2x + a = 0 2 a nn x1 + x2 = ; x1.x2 = . 3 3 a 2 Do : (6a 2) 2 (6a 2)(9b a) + (9b a)2 < 0 3 3 suy ra: 4(3a 1)(a2 3b) + (9b a)2 < 0 (1 ) + V (9b a)2 0 v 3a 1 < 0 nn a2 3b > 0.2

Nguy n Vn X

Bi 3: ( 5i m) (1 + Tm tim cn ng: ) Tp xac nh: R\{0}. 1 x 0+ th + va ax x1

1.

Do o :

x

lim (1 + a x ) x0

nn x = 0 la ng tim cn ng.

a/+ Xet trng hp: 0 < a 1 (1 ) x (0; + ): 0 < 1 + ax 2 + Do o: 0 < (1 + a )1 x x1 x x

1 1 1 x x x 2 ( v > 0 ) nn: 1 lim (1 + a ) lim 2 = 1 x+ x+ x

Do o: lim(1 + a ) = 1 nn y = 1 la ng tim cn ngang nhanh phai. +x 0

x (1 ) 1 + x (- ; 0): 0 < 1 + 2 . a

Do o: 1 > 1 +

1 a

x

Do o: lim x -

1 x 1 2 x ( v < 0 ) nn 1 lim 1 + x - x x 1 1 + =1 a

1

1 a

x

1 x lim 2 x = 1 x -

1

x 1 1 Suy ra lim (1 + a x )x = lim a 1 + = a a x x - Vy y = a la tim cn ngang nhanh trai. b/+ Xet trng hp a > 1. (1 ) x (- ; 0) : 0 < 1 + ax < 2 + 1 1 1 1 1 x x x x x x Do o: 1> (1 + a ) > 2 ( v < 0 ) nn: 1 lim (1 + a ) lim 2 = 1 x x x 1

Do o: lim (1 + a x )x = 1 nn y = 1 la ng tim cn ngang nhanh trai.x

(1 )x (0; + ): 1 < 1 + 1 < 2 . + a

x

Do o: 1 < 1 +

1 a

x

1 x 1 0 ) nn 1 x

1

lim 1 + x +

1 a

x

1 x lim 2 x = 1 x +

1

Do o: lim 1 + x + thi HSG mn Ton

1 a

x

1 x =1 nn lim (1 + a x )x = lim a 1 + x+ x +

1

1 a

x

x =a Trang 23

1

www.VNMATH.comVy y = a la ng tim ngang nhanh phai. Bi 4: ( 5i m)S _

Nguy n Vn X

D _

N _ K _ M _

C _

O _A _

B _

Cu a / (2.5 i m) (0.25Theo gi thi t ta c: SO (ABCD) (SAC) (ABCD). + ) M BK (SAC) v BK AC BK SA. (0.5 G i H l hnh chi u c a K xu ng SA + ) HK SA v HK BK ( v HK (SAC))

HK l o n vung gc chung c a SA v BK. Suy ra c: BH SA v HBK vung t i K. 2 2 (0.5 Do ABC vung nh A nn: 1 = 1 + 1 BK 2 = a b . + ) BK 2 AB2 BC 2 a 2 + b2SI.AB (0.5 + SAB cn nh S, BH l ng cao nn HB = = ) SA (0.5 + Do HBK vung t i K nn: ) (4c 2 a 2 )a 2 a 2b2 HK 2 = HB2 BK 2 = 2 4c 2 a + b2c2 c a2 .a 4

HK 2 =

(4c 2 a 2 b 2 )a 4 a 2 (4c 2 a 2 b 2 ) HK = 4c 2 (a 2 + b 2 ) 2c (a 2 + b 2 )

Cu b (2.5 i m) (0.5 2BM = BA + BK ( v M l trung i m c a AK) + ) 1 1 (0.5 + MN = MB + BC + CN = (AB + KB) + BC + BA ) 2 2 1 (1.75 MN = KB + BC . + ) 2 + Do :

thi HSG mn Ton

Trang 24

www.VNMATH.com4BM.MN = (BA + BK).(KB + 2BC)= BA.KB + 2BA.BC + BK.KB + 2BK.BC

Nguy n Vn X

= BA.KB + BK.KB + 2BK.BC = KB.(BA + BK 2.BC) = KB.(BA BC + BK BC)= KB.(CA + CK) = KB.CA + KB.CK = 0

V y: BM MN. ( C th tnh v p d ng nh l Pythagor).bv

21. THI CH N H C SINH GI I TON 12 Cu 1 : (2,5 i m) Cho hm s f : [0;1] [0;1] lin t c trn o n [0;1], c o hm trong kho ng (0;1) v f(0) = 0 v f(1) = 1. a) Ch ng minh r ng t n t i s c thu c kho ng (0;1) sao cho : f(c) = 1-c. b) Ch ng minh r ng t n t i h i s a, b phn bi t thu c kho ng (0;1) sao cho : f '(a).f '(b) = 1. Cu 2 : (2,5 i m) : Cho c p s th c (x;y) tho mn i u ki n : x - 2y + 4 = 0.Tm gi tr nh nh t c a bi u th c P = x 2 + y 2 6 x 12 y + 45 + x 2 + y 2 10 x 16 y + 89 . Cu 3 : (3i m) Cho tam gic ABC .Tm t p h p cc i m M trong m t ph ng sao cho : 3 a) MA + MB + MC = MB + MC . 2 b) 2 MA + MB = 4 MB MC . Cu 4 : (2 i m) a) Ch ng minh r ng tan

8

= 2 1.

b)

u1 = 2 Cho dy s (un) xc nh b i : un + 2 1 u n +1 = 1 + (1 2 )u n

(n = 1,2,3,...)

. Tnh u 2006 .

P N + BI U I M CH M TON 12 (H C SINH GI I) Cu 1 : (2,5 i m) a) * t g(x) = f(x) + x -1 v i x thu c o n [0;1] th g(x) cng lin t c trn o n [0;1] * g(0) = -1 0. Suy ra t n t i c thu c kho ng (0;1) sao cho g(c)= 0 f(c) +c -1 = 0 hay f(c) = 1-c b) p d ng nh l Lagrng cho f(x) trn o n [0;c] v o n [c;1] ta c : f ( c ) f ( 0) f ( c ) a thu c(0;c) sao cho : f '(a) = = c0 c f (1) f (c) 1 f (c) = b thu c (c;1) sao cho : f '(b) = 1 c 1 c f (c ) 1 f ( c ) 1 c c . = . =1 * R rng a khc b v tch f '(a).f '(b) = 1 c c c 1 c thi HSG mn Ton

(0,5) (0,5) (0,5) (0,5) (0,5)Trang 25

www.VNMATH.comCu 2: (2,5i m)

Nguy n Vn X

* Bi n i P = ( x 3) 2 + ( y 6) 2 + ( x 5) 2 + ( y 8) 2 Trong m t ph ng v i h to Oxy, g i l ng th ng c phng trnh x-2y+4=0 V cc i m M(x;y), A(2;3), B(5;8) th P = MA + MB (0,5) *Bi ton tr thnh tm to i m M thu c sao cho t ng MA+MB t gi tr nh nh t, r rng A,B n m v 1 pha c a , (0,5) Tm c to i m A', i x ng c a A qua , l A'(5;2) *V i M thu c ta c : MA+MB=MA' +MB A'B (khng i) ng th c x y ra khi v ch khi A',M,B th ng hng hay M chnh l giao i m c a v i ng th ng A'B (0,5) * Tm c phng trnh c a ng th ng A'B l : x-5 = 0 (0,25) * Gi i h phng trnh x-5=0 v x-2y+4 = 0 cho x=5 v y = 9/2 (0,25) * K t lu n Min P = 6 khi x=5 v y=9/2 (0,25)8

B

6

A

4

M

2

'

-5

O

3

5

-2

hnh v 0,25 Cu 3 : (3i m) a) G i G l tr ng tm tam gic ABC, I l trung i m c a o n th ng BC, ta c G v I c nh (0,25) 3 * M thu c qu tch MA + MB + MC = MB + MC 2 3 3MG = 2 MI MG = MI (0,5) 2 (0,25) *V y qu tch cc i m M l ng trung tr c c a o n th ng GI b) *G i P l i m sao cho 2 PA + PB = 0 (t c l P chia o n AB theo t s k= -0,5 * G i Q l i m sao cho 4QB QC = 0 (t c l Q chia o n BC theo t s k= 0,25) * M thu c qu tch 2MA + MB = 4 MB MC 2( MP + PA) + ( MP + PB) (0,5) (0,5)

= 4( MQ + QB ) ( MQ + QC ) 3MP + 2 PA + PB = 3MQ + 4QB QC thi HSG mn Ton

(0,5)Trang 26

www.VNMATH.com 3MP = 3MQ MP = MQ .V y qu tch cc i m M l trung tr c c a o n PQCu 4 : (2i m) : 2 2 = ( 2 1) 2 , v tan > 0 nn ta c tan = 2 1 a) tan = 8 8 8 2 1+ 2 u + 2 1 b)Ta c : u n +1 = n . t u1 = tana . 1 ( 2 1)u n2

Nguy n Vn X (0,5)

1

(0,5)

tan(a + ) + tan 8 = tan(a + ) , u = u2 + 2 1 = 8 8 = tan(a + 2. ) (0,5) Ta c : u2 = 3 8 8 1 ( 2 1)u2 1 tan(a + ).tan 1 u1.tan 8 8 8 * B ng qui n p , ta ch ng minh c :

u1 + tan

un = tan[a + (n 1)

5 5 1 * V i n = 2006, ta c : u2006 = tan(a + 2005. ) = tan(25 + ) = tan = cot = 8 8 8 8 1 2 (0.5)------------------------*GHI CH : M i cch gi i khc, n u ng cho i m t i a.

8

] , v i m i n nguyn dng

(0.5)

22. THI HSG L P 11 NM 2002 Cu 1 (5 i m) 1) Ch ng minh v i m i x ta c sinx + 1 sinx 1. 2) Gi i phng trnh sinx + 1 sinx = 2cosx cos 2 x. Cu 2 (5 i m) b2 + c2 a2 . Tnh cc gc c a ABC n u tam gic th a mn sinA + sinB + sinC = 1 + 2 Cu 3 (7 i m) Trong m t ph ng (P) cho ng trn (O) bn knh R v i m A c nh trn ng trn (O). T gic ABCD bi n thin, n i ti p trong (O) sao cho 2 ng cho lun vung gc v i nhau. Trn ng th ng (d) vung gc v i (P) t i A ta l y i m S. N i S v i A, B, C, D. 1./ Ch ng minh BDSC. 2./ Nu cch xc nh i m I cch u 5 i m A, B, C, D, S. 3./ T gic ABCD l hnh g di n tch c a n l n nh t. Tm gi tr l n nh t theo R. Cu 4 (3 i m) Cho cc s th c a, b, c, d th a mn (133a + 29b + 7c + 2d 7)(91a + 25b + 7c + 2d 7) < 0. Ch ng minh r ng t n t i 2 s th c u, v sao cho u + v = 7 v a (u 3 + v3 ) + b(u 2 + v 2 ) + c(u + v) + 2d = 7.

thi HSG mn Ton

Trang 27

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

23. THI HSG L P 11 NM 2004 Cu 1 (6 i m) Cho phng trnh (m + 3) sin 3 x + (m 1)cos3 x + cosx (m + 2) sinx = 0. 1./ Gi i PT khi m = 5. 2./ Tm m t PT c ng m t nghi m trn ; 54 . Cu 2 (4 i m) Trn m t ph ng cho t gic l i ABCD c AB = BC = CD = a. a) N u ABC = BCD = 120o th di n tch t gic ABCD b ng bao nhiu (tnh theo a) ? b) Gi s t gic ABCD thay i m AB = BC = CD = a khng i. Tm gi tr l n nh t c a di n tch t gic ABCD. Cu 3 (7 i m) Cho hnh chp tam gic u S.ABC c c nh y l a. 1. Ta coi hnh cho l t di n SABC c tr ng tm O. G i l gc gi a (SAB) v (ABC). Hy tnh cos O cch u t t c cc m t c a SABC. 2. Bi t ASB = 30o . Xt m t ph ng (P) thay i i qua Av c t SB t i B, c t SC tai C. Tm gi tr nh nh t c a chu vi ABC theo a. Cu 4 (3 i m) Ch ng minh PT x3 3 x 2 + 1 = 0 c ba nghi m phn bi t x1 , x2 , x3 . Gi s x1 < x2 < x3 , ch ng minh r ng

x1 < x2 . (2 x1 )(2 + x2 )(2 + x3 ) > 27

24. THI HSG L P 12 NAM NH NM H C 2004 - 2005 Cu 1 (6 i m)f ( x) = 2mx x 2 + 2 x + 2m , (m l tham s') . 3 a. Khi m = , hy tm cc kho ng ng bi n, ngh ch bi n c a hm s . 2 b. Xc nh m hm s ng bi n trn . Cu 2 (4 i m) 1 x2 + 1 Tnh tch phn I = 4 dx . ( x + x 2 + 1)(e x + 1) 1 Cu 3 (7 i m) Trn m t ph ng Oxy cho (P) y = x 2 v (C) x 2 + y 2 2 x 6 y + 1 = 0. 1) Ch ng minh (P) v (C) c ng 4 giao i m phn bi t. 2) L p phng trnh ng trn i qua M(2 ; -1) v ti p xc v i (C) t i A(1 ; 6) (C).

Cho hm s

3) Gi s ng th ng (d) thay i i qua i m A sao cho (d) c t (P) tai hai i m phn bi t T1 , T2 . G i ( d1 ), ( d 2 ) theo th t l ti p tuy n c a (P) t i T1 , T2 . Bi t r ng ( d1 ) c t ( d 2 ) trn m t ng th ng c nh. thi HSG mn Ton

N. Ch ng minh N n m

Trang 28

Nguy n Vn X Cu 4 (3 i m) Ch ng minh3

www.VNMATH.com

cosx .sin( x + 1) 3 cos ( x + 1).sinx > 3 cosx.cos ( x + 1), x (0;(?)

2

1).

25. THI NGY 18/04/2009Bi 1: Cho ABC nh n n i ti p ng trn tm O, g i A1 , B1 , C1 l n l t l chn ng vung gc h t A, B, C xu ng cc c nh d i di n, A2 , B2 , C2 l n l t l i m i x ng c a A1 , B1 , C1 qua trung i m cc c nh BC, CA, AB. Cc ng trn ngo i ti p cc tam gic AB2C2 , BC2 A2 , CA2 B2 c t (O) t i cc i m th hai l A3 , B3 , C3 . Ch ng minh A1 A3 , B1 B3 , C1C3 ng quy. Bi 2: Cho a th c P ( x) = rx 3 + qx 2 + px + 1, (r > 0) ch c m t nghi m th c v nghi m khng ph i l nghi m b i. Dy s

a0 = 1; a1 = p; a2 = p 2 q; . Ch ng minh r ng dy s (an ) xc nh nh sau an + 3 = pan + 2 qan +1 ran , n N

ny ch a v s s h ng m. Bi 3: Cho a, b l cc s nguyn dng khng chnh phng, ab cng khng chnh phng. Ch ng minh r ng t nh t m t trong hai phng trnh ax 2 by 2 = 1; ax 2 by 2 = 1 khng c nghi m nguyn dng.

26. THI NGY 19/04/2009Bi 1: Tm cc gi tr c a r BDT sau ng v i m i a,b,c dng:(r +a b c 1 )(r + )(r + ) ( r + )3 . b+c c+a a+b 2

Bi 2: Cho ng trn (O) ng knh AB, M l i m ty trong (O). ng phn gic t M c a AMB c t (O) t i N. Phn gic ngoi gc AMNB c t NA, NB t i P, Q. PQ c t ng trn ng knh NQ t i

i m th hai R. BM c t ng trn ng knh NP t i i m th hai S. Ch ng minh ng trung tuy n kt N c a NSR i qua i m c nh.

thi HSG mn Ton

Trang 29

Nguy n Vn X Bi 3: C 6n + 4 nh ton h c tham d 1 h i ngh , trong c 2n + 1 bu i th o lu n. M i bu i th o lu n

www.VNMATH.com

u c 1 bn trn cho 4 ng i ng i v n bn trn cho 6 ng i ng i. Bi t r ng 2 ng i b t k khng ng ic nh nhau ho c i di n nhau qu 1 l n. a. H i c th th c hi n c khng v i n = 1? b. H i c th th c hi n c khng v i n > 1? Bi 4: Cho hm s f(x) lin t c trn [0; 1] v th a i u ki n f(0) = f(1). Ch ng minh r ng (0;1) , t nh t m t trong 2 m nh sau y l ng: 1. x [ 0;1 ] : f ( x + ) = f ( x). 2. x [ 0; ] : f ( x + 1 ) = f ( x).

27. THI HSG B C NINH L P 12 NM H C 2007 2008 Cu 1: 2a + x 1 ch a t p gi tr c a hm s g ( x) = 2 . Tm a t p xc nh c a hm s f ( x) = 2a x x + 2 x + 4a 2 Cu 2: x 4 + x 2 y 2 x3 y = 1 Gi i h PT 2 . 2 x y x + xy = 1 Cu 3: Cho x 1, y 2, z 3. Tm gi tr l n nh t c a bi u th c yz x 1 + zx y 2 + xy z 3 f ( x, y , z ) = . xyz Cu 4: S3 G i V, S l n l t l th tch v di n tch ton ph n c a kh i t di n ABCD. Ch ng minh 2 > 288. V Cu 5: Gi i PT nghi m nguyn x 2 y 2 x 2 8 y 2 = 2 xy. Cu 6: Tm hm s kh vi f : (-1 ; 1) th a mn x+ y f ( x) + f ( y ) = f ( ), x, y (1; 1). 1 + xy

28. THI HSG L P 10 H N I VNG 1 (1991 1992) Bi 1 (5 i m) 1991 sinx 1992 1991 + 1 Ch ng minh , x . 1992 1992 sinx 1992 thi HSG mn Ton Trang 30

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

Bi 2 (5 i m) Cho t gic ABCD v i M, N theo th t l trung i m AC, BD. Tm h th c gi a AD, CD, MN gc gi a hai vecto AB, CD l gc t. Bi 3 (5 i m) a + b = m +1 . Tm gi tr c a m a 2 + b 2 t gi tr l n nh t v Cho a, b th a mn i u ki n 2 ab = m 2m + 2 nh nh t c th c. Bi 4 (5 i m) Cho ABC n i ti p ng trn (O) v c tr c tm H. Ch ng minh r ng : 1. OA + OB + OC = OH . 2. OA.sin2 A + OB.sin2 B + OC.sin2C = 0 , v i gi thi t thm r ng ABC c ba gc nh n.

29. THI HSG L P 10 H N I VNG 2 (1991 1992) Bi 1 (4 i m) Gi i v bi n lu n phng trnh a a + x = x (x l n, a l tham s ). Bi 2 (4 i m)3 Cho ABC vung t i A v m t i m M th a mn AM = BA + CA . Ch ng minh tanBMC . 4 Bi 3 (4 i m) 1 1 Cho f(x) = x 2 + 2 (2m + 3)( x + ) + 4m + 5. Tm m f(x) 0 v i x 0 . x x Bi 4 (4 i m) Ch ng minh r ng trong cc tam gic n i ti p ng trn (O ; R) th tam gic u c di n tch l n nh t. Bi 5 (4 i m) Cho hai ng trn (O), (O) c t mhau t i A, B, cc ti p tuy n chung MN, PQ (M, N, P, Q l ti p i m). Ng i ta v ng trn (I) qua ba i m M, N, A v ng trn (K) qua ba i m P, Q, A. H i ngoi A ra, hai ng trn (I), (K) cn c i m chung no n a khng ? T i sao ?

30. THI HSG L P 10 H N I VNG 1 (1992 1993) Bi 1 (6 i m) Tm gi tr l n nh t v nh nh t c a hm s y = x 1992 + 1993 x . Bi 2 (6 i m) Cho ABC v m t i m M b t k.a. Ch ng minh vecto u = 3MA 5MB + 2MC khng ph thu c vo v tr c a i m M. b. Ch ng minh n u H th a mn OA + OB + OC = OH (O l tm ng trn ngo i ti p ABC) th H l tr c tm ABC. c. Tm t p h p i m M th a mn 3MA + 2 MA 2 MC = MB MC . Bi 3 (4 i m) thi HSG mn Ton Trang 31

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

a+b+c+d =5 . Tm gi tr l n nh t, nh nh t c th c c a Cho b n s th c a, b, c, d th a mn 2 2 2 2 a + b + c + d = 7 m i s . Bi 4 (4 i m) Cho ABC, ng trn (O) bng ti p gc A , ti p xc v i cc tia AB, AC l n l t t i P, Q v ti p xc v i c nh BC t i T. G i giao i m c a tia QT v i AP l R. Ch ng minh b n i m A, B, R, P l p thnh m t hng i m i u ha.

31. THI HSG L P 10 H N I VNG 2 (1992 1993) Bi 1 x2 + 1 2 x2 + 1 ) 2(m + 1) + m 2 1. Cho P(x) = ( x x a. Tm m phng trnh P(x) = 0 c nghi m. b. Tm m P(x) > 0, x 0 . Bi 2 Cho t gic ABCD n i ti p ng trn (O) v ngo i ti p ng trn (I). G i M, N, P, Q l cc ti p i m c a (I) v i AB, BC, CD, DA. 1. Ch ng minh MPNQ.2. Ch ng minh IA.sinA + IB.sinB + IC.sinC + ID.sinD = 0 . 3. G i J, K l n l t l trung i m c a AC, BD. Ch ng minh I, J, K th ng hng. Bi 3 1 x1 + 1 x2 + ... + 1 x1993 = 1992.1993 Gi i h phng trnh . 1 + x1 + 1 + x2 + ... + 1 + x1993 = 1993.1994 Bi 4 Cho ng trn (O) v m t i m A trn ng trn. M t ng trn (O) ti p xc v i (O) t i I v c t ti p tuy n c a (O) k t A t i B, C (B n m gi a A, C) sao cho C, O, O khng th ng hng. Cc tia AI, BI theo th t c t (O) v (O) t i D, E. Hy d ng ng trn (O) nh th sao cho C, D, E th ng hng.

32. THI HSG L P 10 H N I VNG 1 (1993 1994) Bi 1 Cho 1994 s dng a1 , a2 ,..., a1994 c t ng b ng 1. Tm gi tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 P= + + ... + . 1 a1 1 a2 1 a1994 Bi 2 Cho ABC v i tr c tm H v n i ti p trong ng trn (O). G i A, B, C theo th t l trung i m BC, CA, AB, v G, A0, B0, C0 l n l t l tr ng tm cc tam gic ABC, HBC, HCA, HAB. 1. Ch ng minh OA0 + OB0 + OC0 = 5OG .2. Tnh A'A.A'H+B'B.B'H+C'C.C'H theo a, b, c l s o cc c nh ABC. Bi 3 thi HSG mn Ton Trang 32

www.VNMATH.com3

Nguy n Vn X

Gi i b t phng trnh x 1 + 3 x + 4 x 2 x x + 10. Bi 4 Cho hnh ch nh t ABCD n i ti p ng trn (O). M t o n th ng MN n m ngoi (O) sao cho MN//AB v AM c t DN t i I trn (O). Ch ng minh giao i m K c a CM, BN cng n m trn (O).

33. THI HSG L P 10 H N I VNG 2 (1993 1994) Bi 1 x 4 + y 4 + 4 z 4 1993 Gi i h 2 . 2 2 x 16 y + 4 z = 1994 Bi 2 Cho ng trn (O ; R) v m t dy cung AB c nh (AB < 2R). G i M l m t i m sao cho MA MB + = 2 v i A, B l n l t l giao i m c a MA, MB v i (O). Xc nh v tr c a M dienj tch MA ' MB ' hnh trn ngo i ti p MAB t gi tr nh nh t. Bi 3 y x2 1 Cho x, y th a mn 2 . Tm gi tr l n nh t c a bi u th c P = y 2 3 x 2 + 2 x . 3 x 2 x + y 1 Bi 4 Cho ABC vung A v m t i m M di ng. G i N, P l n l t l i m i x ng v i M qua AB, BC. Tm t p h p cc i m M sao cho A, N, P th ng hng.

34. THI HSG L P 11 H N I VNG 1 (1989 1990) Bi 1 Gi i phng trnh cos1990 x sin1990 x = 1 . Bi 2 Xt ABC trn m t mp(P) cho. M t ng th ng d i qua A v t o v i cc ng th ng AB, BC, CA nh ng gc b ng nhau. G i S l i m trn d v khc A, g i H, I l n l t l tr c tm c a cc tam gic ABC, SBC. a. Ch ng minh d (P).b. Ch ng minh HI (SBC). c. Tm v tr S sao cho kho ng cch t I n (P) l n nh t. Bi 3 Cho ABC trn m t mp(P). Hy d ng i m M sao cho cc gc AMB = BMC = CMA = 900 . Bi 4 Xt dy s dng tng a1 , a2 ,..., a1990 trong a1990 < 1. Hy so snh log 1 (a1 + a2 + ... + a1989 ) v log 1 (a1 + a2 + ... + a1990 ) .1989 1990

thi HSG mn Ton

Trang 33

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

35. THI HSG L P 11 H N I VNG 2 (1989 1990) Bi 1 Ch ng minh b t ng th c 2( sin1990 x + cos1990 x) sin1988 x + cos1988 x, x . Bi 2 Cho o n th ng AB, hai ng th ng d1, d2 vung gc v i nhau, cng vung gc v i AB, v l n l t i qua A, B. ng th ng d3 c t d1, d2 l n l t t i M, N. G i , , l n l t l l n c a gc gi a d3 v i AB, d1, d2. a. Ch ng minh c n v MN c di khng i l khng i. b. Ch ng minh sin 2 + sin 2 + sin 2 = 2. Bi 3 Cho ABC trn m t mp(P), m t n a ng th ng Bx vung gc v i (P). Trn Bx l y i m S khc Bv k ng cao BH c a SAB. G i K l i m i x ng v i H qua tm A. Ch ng minh ng trn ngo i ti p SCK lun lun i qua hai i m c nh khi S thay i trn Bx. Bi 4 Xt dy s {ai } trong ai +1 = ai3 3ai (ai 1), i = 1, 2, 3...(a5 a3 ) 2 = (a5 2).(2 a3 ).

Xc

nh

a1

sao

cho

36. THI HSG L P 11 H N I (1990 1991) Bi 1 Cho phng trnh n x v i l tham s x 2 (2sin 1).x + 1 sin = 0. 1. Tm phng trnh c nghi m kp. 2. Tm gi tr l n nh t, nh nh t c a A = x1 + x2 x1 x2 . Bi 2 Tnh t ng S = 1.20 + 2.21 + 3.2 2 + ... + 1991.21990 . Bi 3 Cho ba ng th ng a, b, c i m t cho nhau v cng song song v i mp(P), m t ng th ng d cng t o v i a, b, c m t gc . Ch ng minh = 900. Bi 4 log a x log a y Gi i phng trnh = (v i a > 1, b > 1 l h ng s ). log b y log b x Bi 5 Cho hai ng th ng cho nhau d1, d2 v m t i m M khng n m trn d1, d2. Hy d ng qua M ng th ng d sao cho d cho nhau v i d1, v d cho nhau v i d2, cc o n vung gc chung c a d v d1, c a d v d2 cng b ng di cho tr c.

37. THI HSG L P 11 H N I VNG 1 (1992 1993) thi HSG mn Ton Trang 34

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

Bi 1 Cho P(x) = mcosx sin2x + 2. Tm m : 1. Phng trnh P(x) = 0 c nghi m. 2. B t phng trnh P(x) 0 nghi m ng v i m i x . Bi 2 Cho t di n u ABCD c cc c nh b ng a. Trn CD l y i m M, t CM = x (0 < x < a). M t mp(P) i qua AM v song song v i BC, c t BD N. a. Tm x di n tch t gic BCMN g p i di n tch DMN. b. G i E l hnh chi u c a D trn (P). Tm t p h p i m E khi M di ng trn CD. c. Tm x trong tr ng h p ADE t gi tr l n nh t. Bi 3 tan 6 A + tan 6 B + tan 6 C Cho ABC nh n. Ch ng minh 9 3. tanA + tanB + tanC Bi 4 1 1 1 n 1 Cho dy s a1 , a2 ,..., an (n 3) th a mn + + ... + = . Ch ng minh ( a n ) l p thnh a1a 2 a 2 a 3 a n-1a n a1a n c p s c ng.

38. THI HSG L P 11 H N I VNG 2 (1992 1993) Bi 1 1 Cho P ( x) = . 1 + 212 x a. Tnh P(sin2x) + P(cos2x). 1992 k b. Tnh S = P( ). 1993 k =1 Bi 2 Cho trong mp(P) m t tam gic u ABC. Trn cc n a ng th ng Bx, Cy vung gc v cng pha v i (P) ta l y l n l t M, N sao cho BM + CN = 2m khng i. a. Ch ng minh (AMN) i qua m t ng th ng c nh. b. G i D l hnh chi u c a A trn MN. Tm t p h p cc i m D. c. Xc nh v tr c a M, N sao cho di n tch AMN t nh nh t. Bi 3 2 cos 2 x + sin 2 x Ch ng minh r ng n u x > x 2 . 2 th > 16. sin 2 x.cos 2 x Bi 4 Xt dy s g m 2n + 1 s t nhin lin ti p sao cho t ng cc bnh phng c a n + 1 s h ng u b ng t ng cc bnh phng c a n s h ng cn l i. H i c gi tr no c a n sao cho trong dy 2n + 1 s c m t s h ng b ng 1993 hay khng, t i sao ?

39. THI HSG L P 12 QU C GIA 2008 thi HSG mn Ton Trang 35

www.VNMATH.comCu 1

Nguy n Vn X

x 2 + y 3 = 29 Hy xc nh s nghi m c a h phng trnh . log 3 x.log 2 y = 1 Cu 2 Cho ABC c BEC l gc nh n, v i E l trung i m c a AB. Trn tia EC l y i m M sao MC theo . cho BME = ECA . K hi u = BEC . Tnh t s AB Cu 3 t m = 20072008 . H i c t t c bao nhiu s t nhin n m n < m v n(2n + 1)(5n + 2) chia h t cho m? Cu 4 x 1 Cho dy s th c ( xn ) xc nh b i x1 = 0; x2 = 2; xn + 2 = 2 n + , n *. Ch ng minh dy s c gi i 2 h n h u khi n + . Tm gi i h n . Cu 5 C t t c bao nhiu s t nhin chia h t cho 9 m m i s g m t i a 2008 ch s v trong c t nh t 2 ch s 9 ? Cu 6 Cho ba s th c khng m x, y, z i m t khc nhau. Ch ng minh r ng 1 1 1 ( xy + yz + zx)( + + 4. 2 2 ( x y ) ( y z ) ( z x)2 D u b ng x y ra khi no ? Cu 7 Cho ABC, trung tuy n AD. Cho ng th ng d vung gc v i AD. Xt i m M d. G i E, F l n l t l trung i m c a MB, MC. ng th ng i qua E v vung gc v i d, c t AB P. ng th ng i qua F, vung gc v i d, c t AC t i Q. Ch ng minh ng th ng i qua M vung gc v i PQ lun i qua m t i m c nh khi M di ng trn d.

40. CH N I TUY N TON 2005 Bi 1 Tm t t c cc hm s f : ** th a mn v i m i c p s nguyn dng (x, y) u t n t i s nguyndng z sao cho

f ( x). f ( y ) f ( z )

( f ( x))2 + f ( x). f ( y ) + ( f ( y )) 2 . 3

Bi 2 Cho dy s dng khng tng {an} c tnh ch t: t ng c a m t s h u h n b t k cc s h ng c a dy u nh hn 1. Ch ng minh r ng lim (nan ) = 0.n+

Bi 3 Trong m t ph ng cho ba i m A, B, C phn bi t, th ng hng, B n m gi a A, C nhng khng trng v i i m c a AC. V hai ng trn (1 ) v (2 ) thay i tng ng i qua cc c p i m A, B v B, C. Hai

ng trn ny c t nhau t i i m th hai D khc B. G i E l trung i m c a cung DA khng ch a i m B c a (1 ) v F l trung i m c a cung DC khng ch a B c a (2 ) . Ch ng minh trung i m c a o n th ng EF lun n m trn m t ng th ng c nh. thi HSG mn Ton Trang 36

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

Bi 4 C 2005 ci h p x p quanh m t sn v n ng. Gi s ta c trong tay m t s l ng l n cc qu bng. Th c hi n m t tr chi nh sau: L n th nh t b vo m t s h p no m t s qu bng m t cch ty , l n th hai tr i m i l n cho php ta ch n 6 ci h p n m lin ti p v b thm vo m i h p 1 qu bng. H i c th lm cho 2005 h p c s l ng bng b ng nhau c khng? Bi ton s thay i th no n u xung quanh sn v n ng khng ph i 2005 m l 2006 ci h p? Gi i thch.

41. THI HSG L P 12 H I PHNG B NG A (2008 2009) khng chuyn Bi 1 (3 i m) 2x + 1 Cho hm s y = (C ). x2 1. Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a (C) l p v i hai ng ti m c n c a (C) thnh m t tam gic c di n tch khng i. 2. Tm cc i m thu c (C) th a mn ti p tuy n t i c a (C) l p v i hai ng ti m c n c a (C) thnh m t tam gic c chu vi nh nh t. Bi 2 (1 i m) Ch ng minh r ng t n m t tam gic c ba gc cng th a mn phng trnh (65sin x 56)(80 64sin x 65 cos 2 x) = 0. Bi 3 (3 i m) Cho hnh chp S.ABCD c y l n a l c gic u c nh a, ng cao SA = h. 1. Tnh th tch kh i chp S.ABCD. 2. M t ph ng i qua A v vung gc v i SD c t SB, SC, SD theo th t t i B, C, D. Ch ng minh t gic ABCD n i ti p trong m t ng trn. 3. Ch ng minh AB > CD. Bi 4 (2 i m) Bi t r ng phng trnh ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = 0 c 3 nghi m th c phn bi t, h i phng trnh 4(ax3 + 21x2 + 13x + 2008)(3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13)2 c t i a bao nhiu nghi m th c ? Bi 5 (1 i m) cosx = x 2 Ch ng minh h phng trnh c duy nh t m t nghi m (x ; y) th a mn 0 < x < y < 1. y tan y = 1

42. THI CH N I TUY N QU C GIA NM H C 2008 2009 TP H I PHNG (VNG 2) Bi 1 Tm nghi m nguyn dng c a phng trnh x2 + y2 + z2 + t2 = 10.22008. Bi 2 Cho cc s th c dng x, y, z th a mn x + y + z + 1 = 4xyz. Ch ng minh xy + yz + zx x + y + z. Bi 3 f (1) = 2; f (2) = 0; f (3k ) = 3 f (k ) + 1; Cho hm s f : * th a mn (k *). H i c th f (3k + 1) = 3 f (k ) + 2; f (3k + 2) = 3 f (k ) t n t i hay khng m t s nguyn dng n sao cho f(n) = n + 2008 ? Bi 4

thi HSG mn Ton

Trang 37

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

Cho ABC v O, I theo th t l tm ng trn ngo i ti p, n i ti p tam gic ny. Ch ng minh r ng

i u ki n c n v AIO 900 l AB + AC 2BC. Bi 5 u1 = 1; n u 2 Cho dy s (un ) xc nh b i Tnh gi tr L = lim ( i ) . un n+ i =1 u , n N *. i +1 un+1 = un + 2008

43. THI HSG 12 THPT NH NGUY T VNG 1 Bi 1 x4 + 1 1 Tm gi tr nh nh t c a hm s y = ( 3 )2 . x x Bi 21 1+ 1 1+ 2 Tm nghi m dng c a phng trnh x ln(1 + ) x x 3 ln(1 + 2 ) x = 1 x. x x Bi 3 Cho (d) 2x 2y + 1 = 0 v A(0 ; 4), B(5 ; 0). Tm hai ng th ng l n l t i qua A, B v nh n (d) lm ng phn gic.1 1

44. THI HSG 12 THPT NH NGUY T VNG 2 Bi 1 2007 2007 n1 . xi , n = 1, 2, 3, Tnh S = 2k .xk . Cho dy s {xn} th a mn x0 = 2007, xn = n i =0 k =0 Bi 2 Ch ng minh r ng n u m t tam th c b c hai c hai nghi m th c phn bi t th t n t i nguyn hm c a n l a th c b c ba c ba nghi m th c phn bi t. Bi 3 Cho t di n ABCD n i ti p m t c u (O). Xc nh v tr i m M trn m t c u (O) sao cho MA2 + MB2 + MC2 t gi tr nh nh t. Bi 4 C t n t i hay khng m t s chnh phng c t ng cc ch s b ng 2006 ? T i sao ?

45. THI HSG B C GIANG L P 11 NM H C 2000 2001 Cu 1 (5 i m) 2k .cos x + k + 1 Cho hm s yk = . cos x + sin x + 2 1. Tm gi tr l n nh t, nh nh t c a y0 ( ng v i k = 0). 2. nh k gi tr l n nh t c a yk t nh nh t. thi HSG mn Ton Trang 38

www.VNMATH.comCu 2 (5 i m) 1. Tnh A = (sin 750 + cos750 )2000 . 2. Cho f(x) = cos2x + a.cosx + b.sinx. Tm a, b f(x) - 1, x R. Cu 3 (5 i m) Cho dy s (an) th a mn a1 = 1, a2 = 3, an+2 = 2an+1 an +1, n N*. 1. Ch ng minh an =n(n + 1) , n N*. 2 2. Ch ng minh r ng A = 4anan+1 + 1 l s chnh phng (xem l i). Cu 4 (5 i m) Cho n s dng x1 , x2 ,..., xn c t ng nh hn 1. Ch ng minh

Nguy n Vn X

1 n+1 . ( x1 + x2 + ... + xn )(1 x1 )(1 x2 )...(1 xn ) n

x1.x2 ...xn [1 ( x1 + x2 + ... + xn ) ]

46. THI HSG L P 10 U NM 2007 2008 (CH N) Cu 1a. Tnh P =72 3 + 7+2 3 .

b. Ch ng minh Cu 2

( a b ) 2 + 4 ab a b b a . = a b (k: a > 0, b > 0). a+ b ab

x( y 2) = ( x + 2)( y 4) Gi i h phng trnh . (2 y + 7)( x 3) = ( y + 3)(2 x 7) Cu 3 9 Tm m (d) y = mx + m2 + v (P) y = (4m2 + 1)x2 cng i qua giao i m (- 1; 2). V i m tm c 4 hy tm giao i m th hai c a (d) v (P). Cu 4

Cho dy cung BC c nh c a ng trn (O). L y A n m trn cung BC l n sao cho ABC nh n. K

ng cao AD, BE, CF c a tam gic ny (D, E, F l chn ng cao). H l giao i m c a ba ng cao. a. Ch ng minh t gic BCEF n i ti p. T suy ra AC.AE = AF.AB. b. G i A l trung i m c a BC. Ch ng minh AH = 2AO. c. K ti p tuy n d c a (O) t i A. Ch ng minh d // EF. Cu 5 abc = a + 2009 Ch ng minh khng t n t i cc s nguyn a, b, c th a mn abc = b + 2007 . abc = c + 2005

47. THI HSG L P 12 THPT YN PHONG 2 T 1 NM H C 2000 2001 thi HSG mn Ton Trang 39

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

Cu 1 Tnh t ng S = 1 + 2 x + 3 x 2 + ... + nx n 1 . Cu 2 x + my 10 = 0 Cho h phng trnh 2 . 2 x + y x = 0 1. Bi m lu n theo m s nghi m c a h phng trnh. 2. Tm m h phng trnh c hai nghi m (x1 ; y1), (x2 ; y2) th a mn A = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 t gi tr l n nh t. Cu 3 sin sin sin sin Cho 0 < < < . Ch ng minh < < . cos cos 2 Cu 4 Cho (d) 2x 2y + 1 = 0 v A(0 ; 4), B(5 ; 0). Tm hai ng th ng l n l t i qua A, B v nh n (d) lm ng phn gic. Cu 5 3.F (n) + 1 Cho F(0) = a, F(n + 1) = , n N*. Tnh F(2000). (Xem l i ?) 3 F ( n)

48. THI HSG L P 12 THPT YN PHONG 2 NM H C 2001 2002 Cu 1Cho hm s f(x) c o hm trn R v th a mn f(2x) = 4cosx.f(x) 2x, xR. Tnh f (0) b ng nh ngha. Cu 2 1. Cho ABC. Tm gi tr nh nh t c a bi u th c P = cot A + cot B + cot C + tanA B C + tan + tan . 2 2 2

x3 xy 2 + 2000 y = 0 2. Gi i h phng trnh 3 . 2 y x y 500 x = 0 Cu 31. Bi n lu n theo k s nghi m c a phng trnh (1 x) ln1

2k + 1 2kx 1 = 0. 2kx 2k + 11

1 1+ 1 1+ 2 2. Tm nghi m dng c a phng trnh x ln(1 + ) x x 3 ln(1 + 2 ) x = 1 x. x x Cu 4 Cho t di n ABCD c BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. G i G l tr ng tm t di n v x, y, z, t l n l t l kho ng cch t G n cc m t ph ng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tm m i lin h gi a a, b, c GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. G i , , l gc gi a cc c p ng th ng tng ng BC v DA, CA v DB, AB v DC. Gi sc < b < a . H i ba o n th ng a cos , b cos , c cos c th d ng c m t tam gic hay khng ?

thi HSG mn Ton

Trang 40

www.VNMATH.com49. THI HSG GI I TON TRN MY TNH C M TAY L P 12 B C NINH 2008 Bi 1

Nguy n Vn X

Tnh g n ng gi tr l n nh t, nh nh t c a f(x) = 5x 3 + 10 x x 2 8 . Bi 2 Tnh g n ng ( n , pht, giy) nghi m c a phng trnh 3cos2x + 4cos3x = 1. Bi 3 f (1). f (3)...(2n 1) V i m i nN* t f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 v an = . Tnh g n ng 2009a2008. f (2). f (4)... f (2n) Bi 4 sin n + 1)n . D on lim( n Bi 5 x2 x Gi i g n ng phng trnh e sinx + 3 = 0 . 2 Bi 6 M t t n c c 80 sn bay m kho ng cch gi a cc c p sn bay b t k u khc nhau v khng c ba sn bay no th ng hng. Cng m t th i i m t m i sn bay c m t chi c my bay c t cnh v bay n sn bay no g n nh t. Trn b t k sn bay no cng khng th c qu n my bay bay n. Tm n. Bi 7 Hnh chp t gic u c tm m t c u ngo i ti p trng v i tm m t c u n i ti p. Tnh g n ng gc gi a m t bn v m t y. Bi 8 xy ( x + y ) = 6 Gi i g n ng h phng trnh yz ( y + z ) = 30 . zx( z + x) = 12 Bi 9 1 2 2008 Trn b ng c 2008 s , ,..., . M i l n xa i hai s a v b b ng ng i ta vi t vo 2008 2008 2008 b ng s (a + b 2ab). H i sau 2007 l n xa nh v y s cn l i trn b ng l s no ? Bi 10 Cho hai ng trn (O1 ; R1), (O2 ; R2) c t nhau. Bi t r ng O2 n m trn (O1 ; R1) v di n tch ph n R1 chung c a hai hnh trn ny b ng n a di n tch c a hnh trn (O1 ; R1). Tnh g n ng t s . R2

50. CH N I TUY N TON B C NINH D Bi 1Tm m 2 x + 3x + 4 x 3 + mx, x R. Bi 2

THI HSG 12 TON QU C (2007 2008)

Trn m t ph ng Oxy cho ng trn (C) x2 + y2 -2x 4y 20 = 0 v hai i m A( Tm i m M(C) sao cho 4MA + 5MB t gi tr nh nh t. Bi 3 thi HSG mn Ton

29 ;2), B(- 9 ; - 6). 4

Trang 41

www.VNMATH.com2 2

Nguy n Vn X

Gi i phng trnh nghi m nguyn 24( x + y ) + 10( x + y ) + 5 y + 2 = 1040 + 2 3x + 2 . Bi 4 Cho ABC c gc A t. D ng ABD vung cn t i D v ACE vung cn t i E sao cho C, D khc pha so v i AB cn B, E cng pha so v i AC. G i I, K l n l t l cc tm ng trn n i ti p ABD v

ACE. Tnh t sBi 5

IK v gc gi a hai ng IK, BC. BC

1 x1 2 Tm gi i h n c a dy ( xn ) cho b i 2 xn +1 = xn , n N *. 2 xn 1 Bi 6 Xc nh hm s f(x) lin t c trn R + v th a mn f(x24) + f(x10) = 2007(x24 + x10), xR. Bi 7 Trn bn c 2007 vin bi g m 667 bi xanh, 669 bi , 671 bi vng. C m i l n l y i 2 vin bi khc mu, ng i ta l i thm vo 2 vin bi c mu cn l i. H i c th n m t lc no trn bn ch cn cc bi cng mu hay khng ?

51. THI HSG TON 10 THPT YN PHONG 2 NM H C 1999 2000 Bi 1 Cho parabol (P) y = x2 3x + 3. 1 a Vi t phng trnh ng th ng i qua A(1 ; ) v ti p xc v i (P). 2 1 b M l i m b t k thu c ng th ng y = . Ch ng minh qua M lun v c hai ti p tuy n v i (P) v 2 hai ti p tuy n y vung gc v i nhau. a 2 + b 2 + c 2 = 2 4 4 Bi 2 Cho ba s a, b, c th a mn . p d ng h th c VIET ch ng minh a, b, c [- ; ]. 3 3 ab + bc + ca = 1 Bi 3 x+ y + x y = 4 a) Gi i h phng trnh . 2 2 x + y = 128 b) Tm m phng trnh x + 5 + 4 x = m c nghi m duy nh t. Bi 4 Cho hnh ch nh t ABCD, i m M b t k. Ch ng minh r ng: a. MA. AD = MB.BC . b. MA.MC = MB.MD . Bi 5 Cho ABC cn (AB = AC) v i A = 2 , cc ng cao AH, BI. Ch ng minh r ng: a> sin 2 = 2sin.cos. b> 1 cos2 = 2sin2. Suy ra 1 + cos2 = 2cos2.

52. THI NH K L P CH N 10A L N I TR NG THPT YN PHONG 2 (1999 2000) thi HSG mn Ton Trang 42

www.VNMATH.comBi 1 (1 i m) Tm t p xc nh c a hm s

Nguy n Vn X

( x + a )( x + b)( x + c) x2 2x 4 a. y = . b. y = (a, b, c l di 3 c nh 1 tam gic th ng). a+bc 2x + 3 Bi 2 (3 i m) a V th hm s y = 2 x 2 3 x + 1 .b Dng th trn bi n lu n theo m s nghi m c a phng trnh 2 x 2 3 x + m = 0 . Bi 3 (2 i m) Tm k phng trnh (k 2 5k + 3) x2 + (3k 1) x + 2 = 0 c hai nghi m x1, x2 th a mn x2 = 2x1. Bi 4 (2 i m) Cc c nh AB v CD c a t gic ABCD ko di th vung gc v i nhau. Hy tnh di n tch c a t gic ny n u AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm. Bi 5 (2 i m) Cho ABC c gc A nh n. V ra bn ngoi ABC cc tam gic vung cn nh A l

ABD, ACE. G i M l trung i m c a BC. Ch ng minh r ng AM DE.

53. THI HSG L P 10 THPT YN PHONG 2 ( t 1) Cu 1 Gi i phng trnh 2 a. x3 + 1 = 2 3 2 x 1 . b. 1 + x x2 = x + 1 x . 3Cu 2 Gi i h phng trnh

xy = 12 x2 y2 2x + y2 = 0 2. yz = 20 . 3. 2 . 3 2 x + y + 3 4 x = 0 zx = 15 2 Cu 3 Tm m b t phng trnh x + mx + m2 + 6m < 0 c t nh t m t nghi m x th a mn 1 < x < 2. Cu 4 Cho hnh vung ABCD c c nh b ng 1, hai i m M, N di chuy n trn AD v CD nhng lun c x 2 + xy + y 2 = 3 1. 4 . 4 x + y = 17MBN = 450. Xc nh v tr c a M, N di n tch MBN t gi tr l n nh t v nh nh t.

Cu 5 Cho hai ng trn (O) v (O), i m M n m ngoi c hai ng trn ny. D ng ng th ng d i qua M v c t c hai ng trn (O), (O) t o ra hai dy cung b ng nhau.

54. THI L P 10 CH T L NG CAO NM H C 2002 2003Cu I Cho A = x 2 2 x 3 . 1. Tm x A c ngha. 2. Tnh gi tr c a A v i 3 x 4. Cu II Cho phng trnh x2 (2m + 1)x + m2 + m -1 = 0. a. CMR v i m i m phng trnh lun c nghi m. b. Tm m t h th c lin h gi a cc nghi m c a phng trnh v khng ph thu c vo m. Cu III 1. Tm m t a th c b c nh nh t h s nguyn v nh n x = 2 - 3 lm nghi m. 2. Cho f(x) = x4 3x3 + 5x2 3x +1. Tnh f(2 thi HSG mn Ton

3 ).Trang 43

www.VNMATH.comCu IV M t t gic ABCD c hai c nh AB v CD c t nhau minh: 1. MAD ng d ng v i MCB. 2. ABCD l t gic n i ti p.

Nguy n Vn X M th a mn MA.MB = MC.MD. Ch ng

Cu V Cho i m M n m trong ABC. G i x, y, z l kho ng cch t M t i A, B, C, g i p, q, r l kho ng cch t M t i BC, CA, AB tng ng. Ch ng minh r ng: cq + br . 2. x + y + z 2(p + q + r). 1. x a

55. THI HSG L P 11 THPT YN PHONG 2 (2000 2001) sin x + 2 cos x + 1 Bi 1 Tm gi tr l n nh t v nh nh t c a hm s y = . sin x + cos x + 2 Bi 2 Ch ng minh 4 cos 360 + cot 7 030 ' = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 .Bi 3 Tnh gi i h n limx 0

1 + 2 x 3 1 + 3x . x2

12 . A 2 B 2 C sin sin sin 2 2 2 Bi 5 Cho tam di n vung Oxyz. Trn Ox, Oy, Oz l y l n l t cc i m A, B, C. G i H l hnh chi u c a O trn (ABC). G i , , l n l t l gc g a OH v i Ox, Oy, Oz. Ch ng minh r ng

Bi 4 Ch ng minh v i m i ABC ta c

12

+

1

+

1

cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1.

56. THI HSG L P 12 THPT YN PHONG 2 (2000 2001) Bi 1 Cho hm s y = x3 6x2 + 3(m + 2)x m 6. a/ Xc nh m sao cho hm s c c c tr . b/ Xc nh m hm s c hai c c tr v cc gi tr c c tr cng d u. a b c Bi 2 Cho m > 1 v ba s a, b, c th a mn + + = 0 . Ch ng minh phng trnh m + 2 m +1 m 2 ax + bx + c = 0 c nghi m x (0;1).Bi 3 Ch ng minh phng trnh x5 x 2 = 0 c nghi m duy nh t x0 trn o n [1 ;2] v x0 > 9 8 . Bi 4 a/ Cho F(-3 ;0) v () 3x + 25 = 0. Tm qu tch i m M trong m t ph ng sao cho 5FM = 3MK v i K l hnh chi u c a M trn (). b/ Tm qu tch tm c a ng trn (C) x2 + y2 2xcos + 4ysin + 3sin2 - sin + 1 = 0 ( R).

thi HSG mn Ton

Trang 44

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

57. THI HSG KHNH HA VNG 1 (23-3-2007) 1 3 Bi 1 Gi i phng trnh: x4 - 3x2 + 4 - 2 - 2 = 0. x x Bi 2 Cho tam gic ABC cn t i nh A, v cc ng cao AH, BK (K thu c AC, H thu c BC). Ch ng 1 1 1 minh r ng = + . 2 2 BK BC 4 AH 2 1 1 1 1 1 1 Bi 3 Cho ba s dng x , y, z th a mn + + = 4. Ch ng minh + + 1. x y z 2 x + y + x x + 2 y + z x + y + 2z Bi 4 Trong m t ph ng t a Oxy cho i m M (1; 4). Vi t phng trnh ng th ng d i qua M c t hai n a tr c dng Ox v Oy l n l t t i A, B sao cho OA + OB nh nh t. Bi 5 Cho n a ng trn tm O ng knh BC v 1 i m A trn n a ng trn (A khc B, C). K ng cao AH (H thu c BC). Trn n a m t ph ng b BC ch a i m A ta v n a ng trn (O1;R1) ng knh HB v (O2;R2) ng knh HC v chng l n l t c t cc c nh AB, AC t i i m th hai E v F. Cc ti p tuy n c a ng trn (O) v t A v B c t nhau t i M. a) Ch ng minh BEFC n i ti p. b) Ch ng minh 3 ng MC, AH, EF ng quy. c) G i (I; r) l ng trn ti p xc ngoi v i (O1) v (O2), v ti p xc EF t i D ( D thu c EF). Ch ng 1 1 1 minh r ng = + . r R1 R2

58. THI HSG KHNH HA VNG 2 (24-3-2007)Bi 1: Trong m t ph ng t a Oxy cho hai ng th ng (d1) (m-1)x + y = 3m 4, (d2) x + (m-1)y = m (v i m l tham s ). 1. Tm gi tr nguyn c a m giao i m M c a hai ng th ng c t a l c p s nguyn. 2. Tm gi tr m giao i m M c a 2 ng th ng thu c ng trn (O; 2 3 ). Bi 2 Cho tam gic ABC vung t i A, AB =7, AC = 8. Tnh bn knh ng trn i qua cc i m B, C v trung i m M c a AC. Bi 3 (?) Bi 4 Tm gi tr nh nh t v gi tr l n nh t c a A = x3 + y3x3(x3 + 2y3 3) + (y3 2)2 1 = 0 (v i m i x, y khng m). 2 BC, ng cao AE (E thu c c nh BC). ng trn tm O Bi 5 Cho tam gic ABC cn t i A, AB = 3 n i ti p ABC ti p xc v i AC t i F . a) Ch ng minh BF l ti p tuy n c a ng trn ngo i ti p t gic OECF. b) G i M l giao i m c a BF v i (O) .Ch ng minh BMOC l t gic n i ti p ng trn.

59. THI HSG L P 11 T NH B C NINH (10 4 2001) Bi 1 (4 i m) Gi i phng trnh 1. (2 i m) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2. thi HSG mn Ton Trang 45

www.VNMATH.com1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )2 x ( ) x + ( )2 x + ( )2 x ( ) x + ( )2 x = ( )2 x + ( ) x + ( )2 x . 5 20 4 5 15 3 4 12 3 u Bi 2 (4 i m) Cho dy (un) th a mn u1 = - 2, un +1 = n , n N*. 1 un2. (2 i m) 1. Ch ng minh un < 0, nN*.

Nguy n Vn X

2. V i m i nN* t vn = 1 + un . Ch ng minh (vn) l m t c p s c ng v suy ra bi u th c c a vn v un.un

1 1 5 4 x + 27 x = 6 1 Bi 3 (4 i m) Gi i h log 27 y log 4 x . 6 y x 27 4 1 Bi 4 (4 i m) Ch ng minh r ng n u ba s nguyn t t o thnh m t c p s c ng c cng sai khng chia h t cho 6 th s b nh t trong chng l 3. Bi 5 (4 i m) Cho hnh chp S.ABC c SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, th tch b ng 1cm3. Ch ng minh r ng SA, SB, SC i m t vung gc.

60. THI CH N L P 12A THPT YN PHONG 2 NM H C 2001 2002 Cu 1 Gi i phng trnh a/. 1 s inx + 1 + s inx = 2 cos x . b/. log 2 (1 + x ) = log3 x .Cu 2 Cho hm s2000 4x i f ( x) = . Tnh A = f ( ). x 2+4 2001 i =1

Cu 3 Gi i bi n lu n phng trnh 4sinx + 21+sinx = m (m l tham s ). Cu 4 Cho hnh chp u S.ABC c trung o n b ng a v l p v i y m t gc m t gc . a Tm tm v bn knh m t c u ngo i ti p hnh chp S.ABC. b Tm kho ng cch t A t i (SBC).

61. THI CH N I TUY N H C SINH GI I T NH 2008 - 2009 Bi 1: (8 i m)a. Gi i phng trnh

x+4 x4

+

x+ x4

= 6.

x 2 + y 2 = 2(1 + a ) b. Tm cc gi tr c a a h sau c ng 2 nghi m . 2 ( x + y ) = 4

Bi 2: (6 i m) Trong m t ph ng to Oxy cho A (1;2), B(0;1), C(-2;1).a. Vi t phng trnh ng trn (T) ngo i ti p tam gic ABC. thi HSG mn Ton Trang 46

Nguy n Vn X b. Gi s M l i m chuy n ng trn (T). Ch ng minh r ng tr ng tm G c a tam gic ABC thu c m t

www.VNMATH.com

ng trn c nh. Vi t phng trnh ng trn . Bi 3: (2 i m) Cho tam gic ABC. G i ma, mb, mc l n l t l di cc ng trung tuy n thu c ccc nh BC = a, CA = b, AB = c v c mc = 3 3 c . Ch ng minh r ng: ma + mb + mc = (a + b + c) . 2 2

Bi 4: (4 i m) Cho hai s th c x, y dng tho mn i u ki n x + y 1. Tm gi tr nh nh t c a bi uth c: P = 1 1 + + 4 xy . 2 x +y xy2

P N V S L C - THANG I M Bi 1: (8 i m)a. (3 i m)

K: x 4

(0,5 i m) (2 i m)

( x 4 + 2) 2

+ x+ x4 =6

2 x4 = 4 x x = 4 b. Cch 1:2 2 x + y = 1 a x + y = 2(1 + a ) 2 ( x + y ) = 4 x + y = 2

(2 i m)

V y x v y l nghi m c a phng trnb b c 2:

X 2 2X +1 a = 0 2 X + 2X +1 a = 0H cho c 2 nghi m Cch 2: Cch 3: Dng th .

(1) (2)

(1 i m) (1) v (2) u c nghi m kp '(1) ='(2) = 0 a=0 (2 i m)

S d ng tnh i x ng gi a cc nghi m.

Bi 2: (6 i m)a. E(x;y) tm ng trn (T) EA2 = EB2 = EC2 (x-1)2 + (y-2)2 = x2 + (y - 1)2 = (x+2)2 + (y-1)22 2 2 2 ( x 1) + ( y 2) = x + ( y 1) 2 2 2 2 ( x + 2) + ( y 1) = x + ( y 1)

(1 i m)

x = 1 y = 3(1 i m)

V y (T) c phng trnh: thi HSG mn Ton

(x+1)2 + (y-3)2 = 5

Trang 47

www.VNMATH.com ng trn (T) c tm E (-3;1) bn knh R =b. G i I l trung i m BC ta c: I (-1; 1) K GK // ME, K EI KE = -2 KI5

Nguy n Vn X (1 i m)

K (-1;

5 ) 3

(2 i m)

M t khc:

KG =

1 5 EM = 3 3

V y tr ng tm G c a tam gic MBC n m trn ng trn tm K, bn knh5 5 trn ny l: (x+1)2 + (y- )2 = . (1 i m) 3 9

5 . 3

Phng trnh ng

Bi 3: (2 i m)3 3 Ta c mc = c m c2 = c 2 2 4 2(a 2 + b 2 ) c 2 3 2 = c 4 42 a 2

a 2 + b 2 = 2c 2

(1 i m)

2(b + c ) a = 3b 2 2 2 2 2(a + c ) b = 3a 2 2 2 2

4m = 3b 2 2 4mb = 3a

3 b ma = 2 3 mb = 2 a

(1 i m)

ma + mb + mc =

3 (a + b + c) 2

Bi 4: (4 i m)+ Tr c h t ta ch ng minh: 1 1 4 + , a, b > 0 (1) a b a+b (1 i m)

+ p d ng (1) vo bi u th c P ta cP=

1 1 1 1 1 1 + + 4 xy = 2 + + + 4 xy + 2 2 x +y xy 2 xy 4 xy 4 xy x +y 2

(1 i m) (1 i m)

V y Min P = 7 khi x = y =

4 1 + +2 2 x + y + 2 xy 4 xy2

4 1 5 + +2= +27 2 2 ( x + y) ( x + y) ( x + y)21 . 2

(1 i m)

thi HSG mn Ton

Trang 48

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

62. THI HSG 12 C P TR NG (NAM NH 2008 2009)

2( x 2 x)e x + 2009 khi x 0 Cu 1. Cho hm s y = f(x) = . khi x=0 0 a. Tnh o hm c a hm s t i x = 0. b. L p phng trnh ti p tuy n c a hm s bi t ti p tuy n c h s gc nh nh t.

Cu 2. Cho phng trnh: 20092sin x +1 = log 2009 (m 22009 sin x) 2(22008 + 1) sin x + m + 1 . a. Gi i phng trnh v i m = 2009. b. Tm m phng trnh c nghi m. 1 n 0 1 1 n Cu 3. Cho nN*. Ch ng minh: Cn Cn + Cn Cn2 + ... + Cnn 1Cn = C2(+n1+1) C2nn . 2 Cu 4. x2 y 2 1. Cho elip (E) c phng trnh: + = 1 , A v B l hai i m ch y trn elip tho mn OAOB. 16 9 1 1 a. Ch ng minh r ng: + khng i 2 OA OB 2 b. Tm A, B SOAB nh nh t .

2. Cho hnh l p phng ABCDABCD c nh a 2 . a. Tnh kho ng cch gi a CD v AC. b. G i G1, G2 l n l t l tr ng tm CDB, CAB v M l i m ch y trn an AA. Tm v tr i m M th tch MDG1G2 l n nh t. x2 x3 xn Cu 5. Ch ng minh phng trnh 1+ x + + + ... + = 0 c khng qu m t nghi m ( 2 nN). 2 3 n

63. THI CH N H C SINH GI I 12 SC TRNG (2008 2009) Bi 1: (2 i m) Cho a v b l hai s th c th a mn i u ki n: a, b 1 v a + b = 1. Ch ng minh r ng: a +1 + b +1 6 . x 3 + y 3 = 65 Bi 2: (4 i m) Gi i h phng trnh 2 2

.

x y + y x = 20

Bi 3: (2 i m) Tm t t c cc hm s f th a mn i u ki n: f(2 x) + xf(x) = x (x R\{1}). Bi 4: (4 i m) Gi i phng trnh: tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6. Bi 5: (4 i m) Cho tam gic ABC c s o cc gc A, B, C theo th t l p thnh m t c p s nhn v i cng b i q = 2. Ch ng minh r ng: Bi 6: (4 i m) Cho hnh chp t gic S.ABCD c y ABCD l hnh vung, chn ng cao trng v i tm O c a y. T trung i m I c a ng cao SO h o n vung gc v i c nh bn SC v o n vung gc v i m t bn SBC, hai o n vung gc ny c di l n l t l a v b. Tnh th tch kh i chp S.ABCD theo a v b. thi HSG mn Ton Trang 491 1 1 . = + sin A sin B sin C

www.VNMATH.comH ng d n ch m Bi 1: p d ng b t ng th c Bunhiacopski i v i 2 c p s (1 ; 1) v ( a + 1; b + 1 ):

Nguy n Vn X

1. a + 1 + 1. b + 1

(1 + 1)(1 + a + b + 1)(v a + b = 1)

(1 i m) (0,5 i m)

a +1 + b +1 6

d u = x y ra khi a + 1 = b + 1 a = b =

1 2

(0,5 i m) (0,5 i m)

x3 + y 3 = 65 Bi 2: . i u ki n: x 0, y 0, h phng trnh bi n i thnh: x 2 y + y 2 x = 20

x+ y x+ y xy x + y = 20

(

)(

)

2

(

)

3 xy = 65

(1)

(1 i m)

tu=

x + y , v = xy

(u, v 0) (1) tr thnh:

2 u u 3v = 65 uv = 20

(

)

2 60 u u = 65 u uv = 20

(1 i m)

u = 5 x+ y =5 v = 4 xy = 4 x = 1 x = 16 Gi i h ny c nghi m: ho c y = 16 y =1(1) Bi 3: T f(2 x) + xf(x) = x Thay x b i 2 x ta c: f(x) + (2 x)f(2 x) = (2 x) (2) Nhn (1) cho 2 x: (2 x)f(2 x) + x(2 x)f(x) = x(2 x) (3) (2) (3): f(x) x(2 x)f(x) = (2 x) x(2 x) f(x)(1 x(2 x)) = x2 3x + 2 f(x)(x2 x2 + 1) = x2 3x + 2. V i x 1 th: (0,5 i m) (0,5 i m)

(0,5 i m)

(1 i m)

f ( x) =

x2 th a mn i u ki n. x 1 x2 V y hm s c n tm l: f ( x) = x 1 Th l i th y hm s f ( x) = Bi 4: i u ki n: x k

x 2 3x + 2 x 2 = x 2x + 1 x 1

(0,5 i m)

(0,5 i m) (0,5 i m)

tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6 (tanx + cotx) + (tanx + cotx)2 2 + (tanx + cotx)3 3(tanx + cotx) = 6 (tanx + cotx)3 + (tanx + cotx)2 2(tanx + cotx) 2= 6 t t = tanx + cotx (t 2), ta c: t3 + t2 2t 8= 0 thi HSG mn Ton

2

(1 i m)Trang 50

www.VNMATH.com (t 2)(t + 3t + 4) = 0 (t 2) = 0 (v t2 + 3t + 4>0) V y: tanx + cotx = 22

Nguy n Vn X (1 i m)

t=2

tan x +4

1 =2 tan x(k Z ) .

tan2x 2tanx + 1 = 0

tanx = 1 (1 i m)

x=

+ k

Th a mn i u ki n. V y nghi m c a phng trnh l:

x=

4

+ k

(k Z )

(0,5 i m)

Bi 5: Ta c:

A + B + C = B = 2 A C = 4 A (1 i m) Ta c n ch ng minh:

A=

7

;

B=

2 ; 7

C=

4 7

1 1 + 2 4 . Ta c: sin sin sin 7 7 7 3 4 2 s in + s in 2 cos 2s in .cos 1 1 7 7 7 = 7 7 = + = 2 4 2 4 2 4 sin sin sin .sin sin .sin 2sin .cos 7 7 7 7 7 7 7 7 1 = (pcm) (3 i m) sin 7

1

=

(v sin

3 4 = sin ) 7 7

Bi 6:

S

K IK SC K IH SE IH (SBC) (0,5i m) G i x, y l n l t l c nh y v chi u cao c a kh i chp, ta c:

K H I

V =

Xt hai tam gic ng d ng SHI v SI IH SOE ta c: SI .EO = IH .SE = SE EO A y x x2 2 2 2 2 . = b.SE x y = 16b y + = 16b 2 y 2 + 4b 2 x 2 2 2 4 Xt hai tam gic ng d ng SKI v SOC ta c: (1 i m) thi HSG mn Ton

1 2 x y 3

D O E B

C

16b 2 y 2 x = 2 y 4b 22

(1)

Trang 51

www.VNMATH.comSI KI = SI .OC = KI .SC SC OC y x 2 x2 . = a.SC x 2 y 2 = 8a 2 y 2 + 2 2 2

Nguy n Vn X

2 2 2 2 = 8a y + 4 a x

x2 =

8a 2 y 2 ( 2) y 2 4a 2 (1 i m)

4a 2 b 2 (1) & (2) y = 2 2b a 22

=

y=

2ab 2b 2 a 2 16a 3 b3

8a 2 b 2 x = 2 a b22

(1 i m) (0,5 i m)

V yV=

1 8a 2 b 2 3 a2 b2

2ab 2b 2 a 2

3 ( a 2 b 2 ) 2b 2 a 2

64. K THI CH N H C SINH GI I 12 TH A THIN HU (2008 2009) Bi 1: (3.0 i m)1. Gi i phng trnh: 2 co s2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x) (1) 2. Tam gic nh n ABC th a h th c:

Ch ng minh tam gic ABC u. Bi 2: (3.0 i m) Cho tam gic ABC. Trn c nh AB l y i m M di ng, trn c nh AC l y i m N di 1 1 1 ng sao cho + = (khng i).Ch ng minh r ng ng th ng MN i qua m t i m c nh. AM AN l Bi 3: (3.0 i m) 6 3 2 2 2 2 3 phng trnh nghi m nguyn dng sau: x + z 15x z = 3x y z ( y + 5) . 1.Gi i 2. Ch ng minh r ng: 20072009 + +20092007 chia h t cho 8.

1 1 1 1 + + = . 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 tan B.tan C tan B.tan C tan C.tan A tan C.tan A tan A.tan B tan A.tan B 63 3

Bi 4: (3.0 i m) Cho dy s (un) xc nh b i u1 = a (-1 0 v c = lg5(1-4lg2)-lg2008 0: tac + m 1 + m 8 N u m < 0: m l n ta c 3 + m 1 + m V y: 1 M = Max 3 + m ; + m 8 Do : M 3 + m M 1 +m 8 1 1 25 + m 3 m + + m = 8 8 8

0.25 0.25 0.25

0.50 0.25 0.25

2M 3 + m + M 25 16

0.50

Suy ra Min(M) =

1 25 .D u = xy ra khi 3 m = m + 8 16 23 m= 16

0.25

Cu5

Hai c nh i di n c a m t t di n c di b ng x, cc c nh khc u c di b ng 1. V i gi tr no c a x th tch c a t di n t gi tr l n nh t ?S

1.00

D A H I B C

0.25

thi HSG mn Ton

Trang 59

www.VNMATH.com

Nguy n Vn X

Gi s SA = BC = x, cc c nh khc c a t di n c di b ng 1. G i I, D l n l t l trung i m c a BC & SA. Ta c: SA (BCD). Do :

V =

1 1 dtBCD.SA = BC.ID.SA 3 62 2 2 2 2

x2 m ID = CD CI = SC SD CI = 1 2 Suy ra: 0.50

V=V v y:

1 2 x2 1 x 1 = x 2 4 2x2 6 2 12

0.25 0.25

MaxV =

2 9 3

tt ix=

2 3 3

67. THI H C SINH GI I NM H C 2008-2009 BI I:1.Ch ng minh r ng x > 0 v n nguyn dng ta c e x > 1 + x + 2.Ch ng minh r ng v i 0 < x < 1 v n nguyn dng x n 1 x < x a

x2 + 2! 1

+ .

xn . n!

2ne BI II : Tm cc gi tr c a tham s a sao cho phng trnh sau c 3 nghi m 4 log 3 ( x 2 2 x + 3) + 2 x2

+2 x

log 1 (2 x a + 2) = 0 .3

BI III : ng cho hnh h p ch nh t, t o v i ba kch th c a, b, c cc gc , , . V l th tch c aa6 b6 c6 hnh h p. Ch ng minh r ng : + + 2178V 2 . 12 12 12 cos cos cos BI IV: Ng i ta sn b ngoi c a m t kh i l p phng thnh mu tr ng v ca thnh 64 kh i l p phng nh . Sau , t cc kh i l p phng nh , ng i ta x p t o l i kh i l p phng c, nhng lc y cc kh i l p phng nh c th thay i v tr v quay i. H i c bao nhiu cch s p x p cc kh i l p phng nh kh i l p phng l n c b ngoi c sn mu tr ng.

P NBI I : x2 xn 1. Xt hm s f n (x) = e (1 + x + + + ) 2! n! Ta ph i ch ng minh v i m i x>0 v n nguyn dng : f n ( x) > 0x

Th t v y ta c v i m i n nguyn dng : f n (0) = 0 thi HSG mn Ton Trang 60

www.VNMATH.comXt f 1 ( x) = e (1 + x) => f ( x) = e 1 > 0 V y f 1 ( x) tng => v i m i x>0 , f 1 ( x) > f 1 (0) = 0. V y cng th c ng v i n = 1x ' 1 x

Nguy n Vn X

Gi s cng th c ng v i n-1 ta c f n 1 ( x) = e x (1 + x +

x2 + 2!

+

x n 1 )>0 (n 1)!

x2 x n 1 Ta c f ( x) = e (1 + x + + + ) = f n 1 ( x) > 0 2! (n 1)! V y f n (x) tng khi x>0 => x > 0 : f n ( x) > f n (0) = 0' nx

x2 xn + + ) > 0 ( x > 0 ) 2! n! 2 x xn => e x > 1 + x + + + ( x > 0 ). 2! n! 1 1 2. Ta ph i ch ng minh : x 2 n (1 x) < x 2 n (2n 2nx) < . 2ne e p d ng b t ng th c Csi cho 2n +1 s , g m 2n s x v s 2n - 2nx , ta c : => e x (1 + x + 2n hay x (2n 2nx) 2n + 1 2n D u b ng x y ra khi v ch khi x = 2n - 2nx x = . 2n + 1 Ta c n ch ng minh2n 2n

2nx + (2n 2nx) x (2n 2nx) 2n + 1

2 n +1

2 n +1

.

2n 2n + 1

2 n +1

e ln 2n

2 n +1

> 1 ln(2n + 1) ln(2n) >

1 . 2n + 1

p d ng nh l Lagrange cho hm s f(x) = lnx trn o n [2n, 2n+1], v i f ' ( x) = ln(2n+1) - ln(2n) = (2n+1-2n) f ' (c) v i 2n < c < 2n+1. 1 1 1 1 ln(2n+1) - ln(2n) = v i < < c 2n + 1 c 2n 1 V y ta c ln(2n+1) - ln(2n) > (pcm). 2n + 1 BI II : Phng trnh cho lun xc nh v i m i gi tr c a x. 1 Ta c log 1 (2 x a + 2) = log 2 (2 x a + 2) = log 3 (2 x a + 2) ( 3) 2 3 Phng trnh cho tng ng v i phng trnh 1 1 log 3 ( x 2 2 x + 3) x 2 2 x +1 log 3 (2 x _ a + 2) = 0 2 xa 2 2 2 xa +2 x 2 2 x +3 2 2 log 3 ( x 2 x + 3) = 2 log 3 (2 x _ a + 2) (1) Hai hm s hm s f (t ) = 2 t v3

1 , ta c : x

g (t ) = log

f (t ) g (t ) = 2 t log

t ng bi n trn [2;+ )

3

t u ng bi n trn [2;+ ) v l y gi tr dng trn [2;+ ) nn.

Hn n a x 2 2 x + 3 = ( x 1) 2 + 2 2 v 2 x a + 2 2 v i m i x Do phng trnh (1) tng ng v i phng trnh thi HSG mn Ton

Trang 61

www.VNMATH.comx 2x + 3 = 2 x a + 22

Nguy n Vn X

2( x a ) = ( x 1) 2 x 2 4 x + 2a + 1 = 0....(2) 2 x a = ( x 1) 2 2 2( x a ) = ( x 1) x = 2a 1................(3) T suy ra r ng phng trnh cho c 3 nghi m trong 3 tr ng h p sau : 1/Phng trnh (2) c nghi m kp v phng trnh (3) c hai nghi m phn bi t khc nghi m c a (2). 2/Phng trnh (3) c nghi m kp v phng trnh (2) c hai nghi m phn bi t khc nghi m c a (3). 3/Hai phng trnh (2) v (3) u c hai nghi m phn bi t trong c m t nghi m chung . Ta l n l t xt 3 tr ng h p trn : 3 1/Phng trnh (2) c nghi m kp x = 2 khi v ch ' = 3 2a = 0 a = 2 khi phng trnh (3) c hai nghi m x = 2 (khc 2) 3 V ya= th a mn i u ki n c a bi ton . 2 1 2/ Phng trnh (3) c nghi m kp x = 0 khi v ch khi 2a - 1 = 0 a = , khi phng trnh (2) tr 2 thnh x2 - 4x + 2 = 0 c hai nghi m khc 0. 1 V y a = th a mn i u ki n c a bi ton . 2 x 2 4 x 0 + 2a + 1 = 0 3/N u x0 l m t nghi m chung c a (2) v (3) th 0 2 x 0 = 2a 1 T suy ra a = 1 khi phng trnh (2) tr thnh x2 - 4x + 3 = 0 c nghi m x=1 , x = 3 v phng trnh (3) tr thnh x2 = 1 c nghi m x = 1 . V y a =1 th a i u ki n c a bi ton. 1 3 K t lu n a = , a = , a =1 l cc gi tr c n tm. 2 2 BI III :2

b a

c

a2 b2 c2 2 2 Ta c cos = 2 2 2 , cos = 2 2 2 , cos = 2 2 2 . a +b + c a +b + c a +b + c 6 2 2 2 3 6 2 2 2 3 a a +b +c b a +b +c c6 a2 + b2 + c2 Suy ra: = , = , = cos12 cos 6 cos12 cos 6 cos12 cos 6 2

(

)

(

)

(

)

3

.

a6 b6 c6 a2 + b2 + c2 Suy ra : + + = cos12 cos12 cos12 cos 6

(

)

3

(a 2 + b 2 + c 2 ) 3 a 2 + b 2 + c 2 + + cos 6 cos 6

(

)

3

thi HSG mn Ton

Trang 62

www.VNMATH.com3 1 1 1 = a2 + b2 + c2 cos 6 + cos 6 + cos 6

Nguy n Vn X

(

)

p d ng b t ng th c Csi , ta c : a 2 + b 2 + c 2 27 a 2 b 2 c 2 (2) V n theo b t ng th c Csi , th 1 1 1 3 3 + + 6 6 6 2 2 2 2 cos cos cos cos . cos . cos cos + cos 2 + cos 2 27 1 1 1 V cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 nn + + 81 (3) cos 6 cos 6 cos 6

(

)

(1)

3

a6 b6 c6 + + 2187V 2 12 12 12 cos cos cos D u b ng x y ra khi v ch khi = = (t c l hnh h p cho l hnh l p phng)Do V=abc nn t (1) , (2) , (3) suy ra : BI IV: Trong 64 kh i l p phng nh c : (1) 8 kh i c sn 3 m t (2) 24 kh i c sn 2 m t (3) 24 kh i c sn 1 m t (4) 8 kh i khng c sn m t no . R rng l n u mu n kh i l p phng nh n c bn ngoi c sn th cc kh i lo i (1) ph i t nh v m i kh i c th t theo 3 cch , do c 38.8! cch . Tng t , i v i lo i (2) c 224.24! cch s p x p , lo i (3) c 424.24! cch s p x p v lo i (4) c 248.8! cch s p x p . V y c t t c l 38.8!.224.24!. 424.24! .248.8! = (38.248.8!.24!)2

68. THI CH N H C SINH GI I TR NG THPT QU C H C HU NM H C 2008-2009 Bi 1. Cho phng trnh: cos3x +asinx.cosx +sin3x = 0a. Gi i phng trnh khi a =

2

b. V i gi tr no c a a th phng trnh c nghi m.

Bi 2. Gi s phng trnh x3 + x2 +ax +b = 0 c 3 nghi m phn bit. Hy xt d u c a bi u th c: a2 3b.

1 2 x (1 cos ) khi x 0 Bi 3. Cho hm s f(x) = x 0 khi x = 0 . ...

a. Tm o hm c a hm s v ch ng minh hm s t c c ti u t i x =0. 1 b. Tm s a nh nh t cho: x2 (1 cos ) < a , v i m i x 0. x

Bi 4. Cho hnh chp S.ABCD, y ABCD l hnh ch nh t c AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K l hnh chi u vung gc c a B xu ng AC.a. Tnh di o n vung gc chung c a SA v BK. thi HSG mn Ton Trang 63

Nguy n Vn X b. G i M, N l n l t l trung i m c a o n th ng AK v CD. Ch ng minh: Cc ng th ng BM v MN vung gc v i nhau.

www.VNMATH.com

P N Bi 1. (5 i m). cos3x +asinx.cosx +sin3x = 0 (0,5) + t t = sinx + cosx =), t 2 4 cos3x +sin3x = (cosx +sinx) (sin2x +cos2x sinxcosx) = (cosx +sinx)(1- sinxcosx) t 2 1 t 2 V t =1 +2sinxcosx nn sinxcosx = v cos3x +sin3x = (3- t2) 2 2 2 t t 1 (0,5) + Phng trnh (1) tr thnh: (3- t2) +a. = 0 t3- at2 -3t +a = 0 (2) 2 2

2 cos(x -

(1)

Cu a. (1) + V i a =

2 : (2) tr thnh: t3 - 2 t2 -3t + 2 = 0 (1 + 2 )(t2-2 2 t +1) = 0 t = - 2 hay t =

2 -1 hay t =

2 +1

(1) + i chi u v i i u ki n: t 2 nn phng trnh (1) tng ng v i:

2 cos( x 4 ) = 2 2 cos( x ) = 2 1 4 Cu b.

5 x = 4 + k 2 ,k Z 2 1 + k 2 x = 4 arccos 2

(0,25) + Phng trnh (1) c nghi m khi v ch khi f(t) = t3 at2- 3t +a = 0 c nghi m t [- 2 ; (1,5) + f(t) lin t c trn Rf(- 2 ) =

2]

2 - a; f( 2 ) = - 2 -a; f(0) = a. 2]

* a = 0: f(t) c nghi m t = 0 [- 2 ;

* a 1 2. Gii phng trnh (2). .. 2. Chng minh : DH 1

90. Nm hc 2000-2001Cu1.

( x 1)3 khi x 1 Cho hm s : F(x) = x 1 . a khi x=1 Vi gi tr no ca a th hm s c o hm ti x=1 ? v gi tr ca a tm c tm F(1). Cu 2 . Cho tam gic ABC . bit rng trn mt phng (ABC) c im M sao cho MA=1 ;MB=MC=6. gi S l din tch tam gic ABC . Chng minh rng : S 10 5 du bng xy ra khi no ? Cu3. x2 y2 Cho A(-a;0); A(a;0)v elip c phng trnh (E): 2 2 1 . Vi a > b > 0 . Trn (E) ly a b im M bt k . tm qu tch trc tm H ca tam gic MA A khi im M di chuyn trn (E) . Cu 4 .

Gii h sau : sinx +thi HSG mn Ton

1 = sin y

siny +

1 = sin 2000

sin 2000 +

1 . sin x

Trang 98

www.VNMATH.com

Nguy n V n X

Cu 5 . Cho hai phng trnh sau : 3 (x2+a2 ) =1 - (9a2- 2)x (1); x +(3a -2 )2 . 3x =(8a -4)log3(3a - 1/2) - 3 x3 (2). Tm a s nghim ca phng trnh (1) khng vt qu s nghim ca (2)

.Nm hc 2001-2002 91Cu1 . Gii h phng trnh sau

x.2x-y+1 + 3y 22x+y =2 2x . 22x+y + 3y. 8x+y =1 .

Cu2 . Tm m phng trnh sau v nghim (4m-3) x 3 + (3m -4) 1 x = 1 - m. Cu 3 . Gi A,B,C l ba gc ca tam gic ABC A B C A B B a.CMR : (1+ tg )(1+tg )(1+ tg )=2+2 tg tg tg . 2 2 2 4 4 4 b. Xc nh cc gi tr ca A,B,C biu thc sau t gi ln nht: A B C T=(1+ tg )(1+tg )(1+ tg ) 2 2 2 Cu 4 . 2(1 m) (m 1)(3 m) x + Trn mt phng to cho h ng thng : y= vi m > 0. 1 m (1 m) 2 Tm tt c cc im m qua mi im c ng hai ng thng ca h i qua v hai ng thng ny vung gc vi nhau Cu5. khng dng mytnh so snh hai s sau A =log20002001 v B= log 20012002

92. Nm hc 2002-2003Cu1. Cho hm s : f(x) = x3 3x2 7x + 6 (1)v M(x0;y0)l im thuc th hm s(1) . Tip tuyn ti M ca th hm s (1) ct trc honh ti A v ct trc tung ti B . Tm to ca M sao cho cc iu kin sau ng thi c tho mn : 1. Hong ca A l s dng 2. Tung ca B l s m 3. OB = 2OA ( O l gc to Cu2. 1. Tm nghim dng nh nht ca phng trnh : cos x 2 cos ( x 2 2 x 1) 2. Gii bt phng trnh : 8 2 Cu3. Cho 2 h ng trn c phng trnh :thi HSG mn Ton3 x 1

4

3 x

2

3 x 1

5

Trang 99

www.VNMATH.com

Nguy n V n X

(Cm): x2 + y2 - 2mx + 2(m+1)y 1 = 0; (Km): x2 + y2 - x + (m-1)y + 3 = 0 1. Tm trc ng phng ca ng trn 2. Chng minh rng khi m thay i , trc ng phng lun i qua mt im c nh . Cu4 . Gi s tham s a thuc on [ 0; ] v hm s ; f(x) = 3x4 + 4x3 (cosa sina)-3x2 sin2a xc 4 nh trn [-sina ; cosa]. Tm a gi tr nh nht ca hm s t gi tr ln nht . .

93. Nm hc 2003-2004

Cu1 (5). Gii bt phng trnh sau : (3x -2x-1)( x 3 2) >0. Cu 2(6). 1. Cho phng trnh : x6 +3x5 -6x4 + a x3 - 6x2 +3x+1 =0 tm a phng trnh c ng hai nghim phn bit. 2. Chng minh rng vi mi gi tr ca m h lun c nghim (x ; y): mx - 2y m 2 2 x y - 2mx y 0 Cu3 (6). Trong khng gian cho hai ng thng d1,d2 sao cho 0x ,d1,d 2 i mt cho nhau v vung gc vi nhau 1. Xt ng thng d bt k i qua 0 . gi , , th t l gc gia d vi cc ng 0x ,d1,d. Chng minh tg2 tg2 tg2 - (tg2 +tg2 +g2 ) =2. 2. Bit rng khong cch gia ba ng thng bt k trong ba ng 0x ,d1,d 2 cng bng 2 n v di . mt hnh hp ABCD.ABCD tho mn : B v d thuc 0x ; A v C thuc d1; A v D thuc d2 . Tnh th tch hnh hp ABCD,ABCD. Cu 4(3). Cho a,b dng chng minh rng : (a + 1)ln(a+1) + eb (a +1) (b+1)

24. Nm hc 2004 - 2005Cu 1 .( 6 im)3 2

Cho hm s f(x) = 2mx x 2 2 x 2m , vi m l tham s. 1.Khi m = ; hy tm khong ng bin, khong nghch bin ca hm s. 2.Xc nh m hm s nghch bin trn R . Cu 2 ( 4 im)

x2 1 dx Tnh tch phn I = 4 2 x 1 ( x x 1)(e 1)1

Cu 3(7 im) Trn mt phng vi h to vung gc Oxy; cho ng parabol (P) c phng trnh: y = x2 v ng trn (C) c phng trnh: x2 + y2 2x 6y + 1=0 1.Chng minh rng (P) v (C) c ng 4 giao im phn bit.thi HSG mn Ton

Trang 100

www.VNMATH.comNguy n V n X 2.Cho im A(1, 6) thuc ng trn (C) . Hy lp phng trnh ng trn i qua im M( 2, - 1) v tip xc vi ng trn (C) ti im A. 3.Gi s ng thng (d) thay i i qua im A sao cho (d) ct (P) ti hai im phn bit T1 , T2 . Gi (d1) , (d2) th t l tip tuyn ca (P) ti tip im T1 , T2 . Bit rng (d1) ct (d2) im N; hy chng minh im N nm trn mt ng thng c nh. Cu 4(3 im). 1 ) , ta u c: Chng minh rng vi mi s thc x thuc khong ( 0 ; 23

cos x .sin( x 1) 3 cos( x 1).sin x 3 cos x.cos( x 1)..

94. Nm hc 2005- 2006

Cu 1 (5 i m). Cho hm s : y x 3 2 x 2 (2m 1) x 2m (v i m l tham s ). 1. Khi m = 0, g i (d) l ti p tuy n c a th hm s t i ti p i m c honh x = 0, g i (d') l ng th ng i qua hai i m c c tr c a th hm s . Tm cosin c a gc gi a (d) v (d'). 2. Xc nh m hm s c c c i v c c ti u sao cho gi tr c c i v gi tr c c ti u tri d u nhau. Cu 2 (4 i m). Trn m t ph ng t a Oxy cho ng trn elip (E) c ph ng trnh: x2 y 2 1 9 7