[Vnmath.com] sophuc tu a toi z

Paul Dawkins

Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN)

Complex Numbers Primer

SỐ PHỨC

Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC-

Lê Lễ[email protected] Page 2



Contents1

LỜI NGƯỜI DỊCH ........................................................................................................................................ 5

1.Tập số phức và các phép toán ..................................................................................................................... 6

1.1Định nghĩa tập số phức ......................................................................................................................... 6

1.2.Các phép toán ...................................................................................................................................... 6

2.Bất đẳng thức tam giác ............................................................................................................................... 9

2.1 Số phức liên hợp .................................................................................................................................. 9

2.2 Môđun của số phức ............................................................................................................................ 10

2.3 Bất đẳng thức tam giác ...................................................................................................................... 12

3.Dạng lượng giác và dạng mũ .................................................................................................................... 13

3.1 Biểu diễn hình học của số phức ......................................................................................................... 13

3.2 Dạng lượng giác ................................................................................................................................ 14

3.3 Dạng mũ của số phức ........................................................................................................................ 15

4.Lũy thừa và khai căn................................................................................................................................. 16

4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương ................................................................................................. 16

4.2 Căn bậc n của số phức ....................................................................................................................... 17

1 Có thể click chuột vào tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng





LỜI NGƯỜI DỊCH

Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường

sử dụng :

ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy 2 1x (trên ℝ) .

2 1 0x có nghiệm

trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , 2 1i .

Xem ℂ =2R ={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh

(ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính

được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là định nghĩa và cuối cùng

kiểm chứng kết quả. Việc xây dựng ℂ của tác giả vừa đảm bảo chính xác vừa dễ hiểu, dễ

áp dụng.

Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức và các phép toán .

Phần hai nói về bất đẳng thức tam giác.

Dạng lượng giác và mũ của số phức được nêu ở phần ba.

Phần cuối dùng trình bày về lũy thừa và căn bậc n của một số phức.

Đọc tài liệu này:

Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành các phép toán trên số phức, tìm thấy

hướng dẫn rõ ràng, chi tiết;

Nếu muốn tìm lời giải đáp vì sao tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ không

có, sẽ được thỏa mãn;

Nếu đã biết một ít về số phức vẫn thấy thú vị.

Còn ...tôi thì ít thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ rằng thiếu sót không tránh khỏi.

Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe chỉ giáo.



1.Tập số phức và các phép toán

1.1Định nghĩa tập số phức

Cho a,b∈ ℝ . Mỗi biểu thức dạng a+bi được gọi là một số phức2

a: phần thực của z.

b: phần ảo của z.

Tập các số phức ký hiệu là ℂ . a∈ ℝ , a= a+0i=z . Vậy ℝ⊂ ℂ 3

Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức

Cho hai số phức 1 2,bi c iz a z d .

Tổng 1 2 ( ) ( )z a c b dz i

Tích 1 2. ( ) ( )z ac bd ad bc iz

Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực 1 20 , 0a i cz z i .

4

Thật vậy 1 2

1 2

( 0 ) ( 0 )

. ( 0 )( 0 )

z a i c i a c

z a i c i ac

z

z

Điều cuối cùng trong phần này, ta phải chứng minh 2 1i như một hệ quả

của phép nhân. Thật vậy:

2 . (0 1 )(0 1 ) (0.0 1.1) (0.1 1.0) 1i i i ii i

1.2.Các phép toán

Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng

và nhân đa thức với chú ý 2 1i .

2 Dạng đại số của số phức(ND)

3 Tồn tại đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND).

4 Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh trên ℝ thành hai phép toán cộng và nhân thông thường (ND) .



Ví dụ: Tính

a. (58-i)+(2-17i)

b. (6+3i)(10+8i)

c. (4+2i)(4-2i)

Bài giải

a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i

b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i+24(-1)=36+78i

c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i)2=16+4=20 .

Phép nhân hai số phức , cho ta hệ thức :2 2( )( )a bi a bi ba . Hê thức này

được sử dụng khi chia hai số phức ớ phần sau.

Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức. Thử làm một cách hình thức ví

dụ sau

Ví dụ :

a. (58 ) (2 17 ) 58 2 17 56 16i i i i i

b. 6 3

10 8

i

i=

(6 3 ) (10 8 ).

(10 8 ) (10 8 )

i i

i i=

260 48 30 24 84 18 84 18

100 64 164 164 164

i i i ii =

21 9

41 82i

c. 5

1 7

i

i=

5 (1 7 ) 35 5 7 1

(1 7 )(1 7 ) 50 10 10

i i ii

i i

Trước khi định nghĩa phép trừ và phép chia hai số phức, ta cần một số chuẩn

bị:

Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0

Trong các trường đại số tổng quát nói chung không có hệ thức ( 1).z z

Rất may mắn, trong trường ℂ ta có ( 1).z z a bi



Hiệu hai số phức 1 2,z z :

1 2 1 2( )z z z z

Nên 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z a bi c di a c b d iz

Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức là số nghịch đảo của

một số phức.

Số nghịch đảo của số phức z (≠ 0) là một số phức ký hiệu z-1

sao cho z.z-1

=1.

Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau:

Giả sử z-1

=u+vi là số nghịch đảo của z=a+bi ,

z.z-1

=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1

Nên 1

0

au bv

av bu⇒

2 2

2 2

au

a b

bv

a b

⇒ 1

2 2 2 2z

a bi

a b a b.

Mọi số phức z khác 0 tồn tại số nghịch đảo z-1

.

Định nghĩa thương hai số phức. Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0)

111 2

2

.z

z zz

Theo định nghĩa trên , ta có

Ví dụ :

1

1

2 2 2 2

6 3(6 3 )(10 8 ,

(10 8

)10

)

8

10 8 10 8

10 8 10 8 164i

ii i

i

ii



16 3 10 8(6 3 )(10 8 (6)

10 8 1643 )

i ii i

ii

260 48 30 24 21 9

164 41 82

i i ii

Ta có lại kết quả trước đây khi tiến hành chia hai số phức một cách hình thức.

Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận

tâm đến công thức tìm số nghịch đảo của số phức.

Chẳng hạn 3 (3 )(1 ) 2 4

1 21 (1 )(1 ) 2

i i i ii

i i i

hay 1

2 2

1 10 8 10 8 5 2.

10 8 (10 8 ) 10 8 8(

2 4110 8 )i

i ii

i i

2.Bất đẳng thức tam giác

2.1 Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của z=a+bi , ký hiệu z ,

z a bi .

(nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z )

Một số tính chất của số phức liên hợp

z z

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

2 2

. .

z z z z

z z z z

z z

z z



Ví dụ : Tính

(a) , 3 15z z i

(b) 1 2 1 2, 5 , 8 3z z z i z i

(c) 1 2 1 2, 5 , 8 3z z z i z i

Bài giải

(a) 3 15 3 15 3 15z i z i i z

(b) 1 2 1 213 2 13 2 13 2z i z z iz i

(c) 1 2 5 ( 8 3 ) 5 ( 8 3 ) 13 2z z i i i i i

Với số phức z=a+bi, ta có

( ) 2 ,

( ) 2

z a bi a bi a

z z a bi a bi b

z

i

2.2 Môđun của số phức

Cho z=a+bi, Môđun của z ký hiệu |z|,

2 2| | a bz

Môđun của một số phức là số thực không âm.

z là số thực (z=a+0i), 2| | | |a az . Vậy Môđun của một số thực chính

là giá trị tuyệt đối của số ấy.

2 2 2 2| | | || |a b az z a ≥ a.

Tương tự || | |z b b

Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z:

2 2). ( ( )z a bi a bi az b ⇒ 2|. |z z z

| | | |z z



| | | |z z

1 1 2

2 2 2

z z z

z z z

1 2

2

2| |

z z

z

Ví dụ:Tính 6 3

10 8

i

i

Bài giải

2

1 2 26 3 , 10 8 , 10 8 ,| | 164i z i z i zz

26 3 (6 3 )(10 8 ) 60 48 30 24 21 9

10 8 164 164 41 82

i i i i i ii

i

Tính chất của Môđun số phức

| | 0 0zz

1 2 1 2| | || | |z z zz

1 1

2 2

| |

| |

z z

z z

Thật vậy:

2 2 0| 0| 0 0a b a bz z

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

2 2

1 2

| | ( )( )

( )( )

| | | |

z z z z z z

z z z z

z z z z

z z

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | || |z z z z z z z z



2.3 Bất đẳng thức tam giác

Mối quan hệ giữa Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức:

1 2 1 2| | | || |z zz z

Chứng minh

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| ( )(| ) ( )( )z z z zz z z z z z

⇒ 2

1 2 1 1 1 2 2 1 2 2| |z z z z zz z z z z

Lưu ý rằng 2 1 2 1 2 1z z z z z z Nên

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 2 | | 2 | || | 2 | || |z z z z z z z e z z z z z zz z z2 2

1 1 1 2 2 2| | ; | |z z zz z z

2

1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1

2 2

1 1 2

2

1 2

2

2

| |

| | | |

| | | | |

| | |

2 | ||

( )|

z z z z z z z z z z

z z z z

z z

z z

z z

z z

Nên 1 2 1 2| | | || |z zz z

1 1 2 2

1 2 2

1 2 2 1 2 1 2

| | |

| | | |

| | | | | | | | | |

|

0

z z z

z z z

z z z z z z z

z

(giả sử 1 2| || |z z , 1 2| || |z z luôn

đúng)

Tương tự



1 2 1 1 22| | | | | | (| | | |) 0z z z z z z (giả sử 1 2| || |z z ,

1 2| || |z z luôn

đúng)

Do đó 2 21 1| | || | | ||z z z z

Bây giờ thay z2 bởi –z2, ta có

1 2 1 2

1 2 1 2

| | ||

|

| |

| || | | ||

z

z

z z z

z z z

3.Dạng lượng giác và dạng mũ

3.1 Biểu diễn hình học của số phức

Xét mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc

Vectơ có tọa độ (a;b)

Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức.



3.2 Dạng lượng giác

Xét số phức z=a+bi≠ 0, M(a;b) trong mặt phẳng phức. Số đo (rađian) của

mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM

gọi là một acgumen của z.

Cho z=a+bi≠ 0

|z|=r>0, θ là acgumen của z. Khi đó cos

sin

a r

b r

cos( sin )z a bi r i : dạng lượng giác của số phức.

Lưu ý

, 0z a bi a :

| |

tan

r z

b

a

, θ sai khác k2π, thường chọn –π<θ≤ π

a=0, chọn 2

.

Vi dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

(a) 31z i

(b) z= -9

(c) z=12i

Bài giải



(a) r=|z|= 1 3 2

, tan3 2

1 3⇒

2 2cos sin )

32(

3z i

Không được viết: cos sin )3

2(3

z i : dấu trừ trước côsin!

Cũng như cos sin )3

2(3

z i : r<0!

(b) 81 0 9r

⇒ cos( i )9 s nz i

(c)

144 0 12

2

r

⇒ cos sin )2

122

( iz

3.3 Dạng mũ của số phức

Công thức Euler

cos sini ie .

Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ:

cos sin( ) iz r ri e

Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi :

2 2 2| | || cos sin| | | 0 cos s| ini r i rz rre

Với z≠ 0, 1 1 1 ( )1

( )i i ire r e ezr

⇒ 1 1

[cos( ) sin( )]z ir

1 1 22 ( )

1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2( )( ) cos( ) sin( )][i i i

z re r e r r e z z r r iz

1

1 2

2

( )1 1 1

2 2 2

ii

i

z re re

z r e r

1 11 2 1 2 2

2 2

[cos( ) sin( )], 0z r

i zz r



Lưu ý

1 2 1 2( )z acgumenz aacgu cgummen z enz

11 2

2

zacgumen acgumenz acgumenz

z

1 2

1 1

2 1

1 2

2 1

2 2

( )2

,i i

z re r e

r rz k

z

z Zk

.

4.Lũy thừa và khai căn

4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương

Cho z là số phức có |z|=r, θ là một acgumen của z. Tức là

iz re .

( )n i n n inre r ez

[ (cos sin )] (cos sin )n nr i r n i n :công thức Moa-vrơ(Moivre)

Ví dụ: Tính 5(3 3 )i

Bài giải

9 9 3 2r , 3

tan3

, chọn 4

5 5 5 5 5[3 2(cos sin )(3 3 ] (3 2) (cos sin) )

4 4 4 4i i i

2 22( ) 972 972

2 2972 i i



4.2 Căn bậc n của số phức

Khi r=1, ta có (cos sin ) cos sinni n i n .

Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho 1nz .

Giả sử nghiệm 0( ) 1 1i i n n in irz re e r e e

Nên 1

0 2

nr

n k⇒

1

2

r

k

n

. k∈ ℤ

Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt

22 2

cos sin , 0,1,2 , 1k

in

k ki k n

n ne .

Ví dụ: Giải phương trình

(a) 2 1z

(b) 3 1z

(c) 4 1z

Bài giải

(a) Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số

2

2 , 0;1k

ii k

k e e k

0

0 1e .

1 cos sin 1ie i

(b) Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số 3

2

, 0;1;2k

i

k ke

0

0 1e



2

13

2 2 1 3cos sin

3 3 2 2

i

ie i

4

23

4 4 1 3cos sin

3 3 2 2

i

ie i

(c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số 4

2

2 , 0;1;2;3k

k ki i

e e k

0

0 1e

21

2 2cos sin

i

ie i

22

2( ) cos sin 1ii

e e i

323

3

23 3

cos sin2 2

( )i i

e ie i

Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy

Các căn bậc n của đơn vị là

2

, 10;1;2; ;n

k

k

i

ke n

1 1

0 1k n n

k k , (

2

ni

e )

10

1

n

, (2 cos2 sin2 1n ie i )

Xét căn bậc n (n∈ N, n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm

phương trình nz w. Giả sử

R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là Reiw

r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là eiz r

)( i n i n ni iRe Rere r e



suy ra 2

,n kr R

n, k∈ ℤ .

Vậy căn bậc n của Reiw là n số phân biệt:

2( ) 2 2

[cos( ) sin( )]k

in nn n

ka Rk k

e R in n n n

, k=0,1,2… n-1.

Ví dụ: Tìm

(a) Căn bậc hai của 2i

(b) Căn bậc ba của 3 i

Bài giải

(a) 22 2i

i e . Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: ( )

42i k

k ea , k=0,1

40 2 2(cos sin ) 1

4 4

i

a e i i

5( )

4 41

5 52 2 2(cos sin ) 1

4 4

i i

a e e i i .

(b) ( )

63 2i

i e . Có 3 giá trị căn bậc ba là:

2( )

3 18 32k

i

ka e , k=0,1,2

18( )

3

0

32 2[cos( ) sin( )] 1,2407818 1

0,218788

i

e ia i

2 11( )

3 3 3318 181

11 112 2 2(cos s

18 18in ) 0,43092 1,18394

i i

e e i ia



18 1

2 2 23( )

3 3 33 82

23 232 2 2(cos si

18n ) 0,80986 0,965

86

11

i i

e e i ia

Lưu ý .

Với w≠ 0, các căn bậc n (n≥ 3) của w biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các

đỉnh n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính , | |n R R w .

-----------------------------HẾT-----------------------------------

Mời đọc: Bài tập số phức

TITU ANDREESCU DORIN ANDRICA

Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN)

BÀI TẬP SỐ PHỨC

(98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)

Bài tập số phức

Lê Lễ Page 2

LỜI GIỚI THIỆU

Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến hình học phức... Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức. Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn đạt các vấn đề về số phức. Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các em học sinh, sinh viên và quý vị thông cảm.

Người dịch.


Lê Lễ Page 3

Mục lục1

Mục lục ............................................................................................................................................. 3 1. Dạng đại số của số phức .................................................................................................................. 5

1.1 Định nghĩa số phức ................................................................................................................. 5 1.2 Tính chất phép cộng ................................................................................................................ 5 1.3 Tính chất phép nhân ............................................................................................................... 5

1.4 Dạng đại số của số phức .......................................................................................................... 6 1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i .......................................................................................................... 8 1.6 Số phức liên hợp .................................................................................................................... 8 1.7 Môđun của số phức ............................................................................................................... 10 1.8 Giải phương trình bậc hai ...................................................................................................... 14

1.9 Bài tập............................................................................................................................... 17

1.10 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 22 2. Biểu diễn hình học của số phức ....................................................................................................... 25

2.1 Biểu diễn hình học của số phức ................................................................................................ 25

2.2 Biểu diễn hình học của Môđun ................................................................................................ 26 2.3 Biểu diễn hình học các phép toán ............................................................................................. 26

2.4 Bài tập............................................................................................................................... 29 2.4 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 30

3 Dạng lượng giác của số phức .......................................................................................................... 31

3.1 Tọa độ cực của số phức ......................................................................................................... 31 3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức ............................................................................................. 33

3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức ............................................................................... 37 3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức ..................................................................................... 40

3.5 Bài tập ............................................................................................................................... 41 3.6 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 44

4 Căn bậc n của đơn vị .................................................................................................................... 45 4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức ............................................................................................ 45 4.2 Căn bậc n của đơn vị ............................................................................................................ 47 4.3 Phương trình nhị thức ........................................................................................................... 51

4.4 Bài tập............................................................................................................................... 52 4.5 Đáp số và hướng dẫn .................................................................................................................. 53

1 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng


Lê Lễ Page 4


Lê Lễ Page 5

1. Dạng đại số của số phức

1.1 Định nghĩa số phức

Xét 2 {( , ) | , }R R x y RR x y .

Hai phần tử 1 1( , )x y và 2 2

( , )x y bằng nhau ⇔ 1 2

1 2

x x

y y .

∀ 1 1 2 2, ),( ( , )xy yx ∈ ℝ2:

Tổng 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y ∈ ℝ2.

Tích 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( , ).( , ) ( , ).z x y x y x yz xy y yx x ∈ ℝ2.

Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng.

Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân.

Ví dụ 1.

a) 1 2( 5,6), (1, 2)z z

1 2 ( 5,6) (1, 2) ( 4,4)z z .

1 2 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16)z z .

b) 1 2

1 1 1( ,1), ( , )

2 3 2zz

1 2

1 1 1 5 3( ,1 ) ( , )

2 3 2 6 2z z

1 2

1 1 1 1 1 7( , ) ( , )6 2 4 3 3 12

z z

Định nghĩa. Tập ℝ2, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y)∈ℂ

gọi là một số phức.

1.2 Tính chất phép cộng

(1) Giao hoán: 1 2 2 1 1 2, ,z z z z z Cz .

(2) Kết hợp: 1 21 2 3 3 1 2 3() ,( ,),z z zz z z zz z C .

(3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0) , 0 0 ,C z z z z C .

(4) Mọi số có số đối: , : ( ) ( ) 0z C z C z z z z .

Số 1 2 1 2( )z z z z : hiệu của hai số 1 2,z z . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ,

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y ∈ ℂ.

1.3 Tính chất phép nhân

(1) Giao hoán: 1 2 2 1 1 2,. . ,z z z z Cz z .


Lê Lễ Page 6

(2) Kết hợp: 1 21 2 3 3 1 2 3( . ). . .( ) ,, ,z z z z z Cz z z z .

(3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1) , .1 1. ,C z z z z C .

(4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: * 1 1 1, : . . 1z C z C z z z z .

Giả sử *( , )z x y C , để tìm 1 ( ', ')z x y ,

( , ).( ', ' ,0

)1

) (1 0xx yy

yxx y

xyx y . Giải hệ, cho ta

2 2 2 2,'

x yy

x yx

x y. Vậy

1

2 2 2 2

1( , )z

x y

z x y x y

Thương hai số 1 1 1( , ), ( , )x y zz x y ∈ ℂ*là

11 1 1 1 11 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2. ( , ).( , ) ( , )

z x y x x y y x y y xz z x y C

z x y x y x y x y.

Phép toán tìm thương hai số phức gọi là phép chia.

Ví dụ 2.

a) Nếu (1,2)z thì

1

2 2 2 2

1 2 1 2( , ) ( , )1 2 1 5 52

z .

b) Nếu 1 2(1,2), (3,4)zz thì

1

2

3 8 4 6 11 2

9 16 9 1( , ) (

5)

6 2 25,

z

z.

Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z∈ ℂ*,

0 1 2 . .1; ; . ;n

nz z z z z zz z z z , n nguyên dương.

1( )n nzz , n nguyên âm.

0 0n, mọi n nguyên dương.

(5) Tính phân phối của phép nhân với phép cộng:

1 2 3 1 3 1 22 31.( ) . . , , ,z z zz z z z zz z C

Những tính chất trên của phép nhân và cộng, chứng tỏ ℂ cùng hai phép toán cộng và nhân là

một trường.

1.4 Dạng đại số của số phức

Dạng đại số của số phức được nghiên cứu sau đây:


Lê Lễ Page 7

Xét song ánh2

{0}, ( ): ( ,0)R f xf R x .

Hơn nữa

( ,0) ( ,0) ( ,0)x y x y ; ( ,0).( ,0) ( ,0)x y xy .

Ta đồng nhất

(x,0)=x.

Đặt i=(0,1) ( , ) ( ,0) (0, ) ( ,0) ( ,0).(0,1)z x y x y x y

( ,0) (0,1)( ,0)x yi x y x iy .

Định lý . Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ ,

trong đó i2=-1.

Hệ thức i2=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân :

2 . (0,1).(0,1) ( 1,0) 1i i i .

Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó:

2{ | , , 1}C x yi x R y R i .

x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i.

(1) Tổng hai số phức

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ) (( )z i iz x y x y x x y y i C .

Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực

(phần ảo) của hai số đã cho.

(2) Tích hai số phức

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ).. ) (( ) ( )z x y x y xz i y x i Ci x xyy y .

(3) Hiệu hai số phức

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ) (( )z i iz x y x y x x y y i C .

Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần

thực(phần ảo) của hai số phức đã cho.

Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý 2 1i là đủ.

Ví dụ 3.

a) 1 25 6 , 1 2i iz z

1 2 ( 5 6 ) (1 2 ) 4 4z z i i i .

1 2 ( 5 6 )(1 2 ) 5 12 (10 6) 7 16z i i iz i .

b) 1 2

1 1 1,

2 3 2i z iz

2 f là một đẳng cấu


Lê Lễ Page 8

1 2

1 1 1 1 1 1 5 3( ) ( ) (1 )

2 3 2 2 3 2 6 2z i i iz i

1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 7( )( ) ( )

6 2 4 3 3 122 3 2z i i i iz .

1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i 0 1 2 3 2

3 4 74 5 6 5 6

1; ; 1; . ,

. 1; . ; . 1; .

i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i i

i

i.

Bằng quy nạp được : 4 4 1 4 2 4 31; ; 1; ,n n n ni ii iii ∀ n∈ ℕ*

Do đó

{ 1,1, , }ni i i , ∀ n∈ ℕ .

Nếu n nguyên âm , có

1 1( )( ) ( ) .n n n ni i

ii

Ví dụ 4.

a) 105 23 20 34 4.26 1 4.5 3 4.5 4.8 2 1 1 2i i i ii i ii i i .

b) Giải phương trình : 3 18 26 , , ,i z xz yi x y Z .

Ta có 3 2 2 2( ) ( )( ( 2 )() )x yi x yi x y xyi xx yiyi

3 2 2 33 ) (3 ) 18 26 .( xy x y y i ix

Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau, được: 3 2

2 3

3 18

3 26

x xy

x y y

Đặt y=tx, 2 3 3 2) 26(18(3 3 )y y x yx x ( cho ta x≠ 0 và y≠ 0)

⇒ 3 2)1 2 1 38(3 6( )t tt ⇒ 2(3 1)(3 12 13) 0.t t t

Nghiệm hữu tỷ của phương trình là t=1/3. Do đó

x=3, y=1⇒ z=3+i.

1.6 Số phức liên hợp

Cho z=x+yi. Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z.

Định lý.

(1) z z z R ,

(2) z z ,

(3) .z z là số thực không âm,


Lê Lễ Page 9

(4) 1 2 1 2z z z z ,

(5) 1 2 1 2. .z z z z ,

(6) 1 1( )z z , *z C ,

(7) 1 1

2 2

z z

z z, *

2z C ,

(8) Re( ) Im(z),2 2

=z z z

zz

i

Chứng minh.

(1) .z x yi x iz y

Do đó 2yi=0⇒ y=0⇒ z=x∈ ℝ .

(2) , .z x yi z x yi z

(3) 2 2( )( ). 0z z x yi x yi x y

(4) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2) ( )( ( ) ( )x xz z x y y i x y y i

21 1 2 1 2) ( )( i x y z zx y i .

(5) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1) ( ) ) (. ( ( )z z x y i x y x y x y y i xx y xx y y

1 1 2 2 1 2( )( )x iy x iy z z .

(6) 1 1 1

1 ( . ) 1 .( ) 1.z z zz z z

,

tức là 1 1( ) ( ) .z z

(7) 1 11 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1( . ) .( ) . .

z zz z z

z z z z z

(8) ( ) ( ) 2 .z x yiz x yi x

( ) ( ) 2 .z x yi x yz yi i

Do đó: Re( ) Im(z),2 2

=z z z

zz

i

Lưu ý.

a) Việc tính số nghịch đảo của số phức khác 0, được tiến hành:

2 2 2 2 2 2

1

.

z x yi x yi

z z z x y x y x y

b) Tính thương hai số phức:

1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2

. ( )( ) ( )

.

z z z x y i x y i x y x x yi

z x y x y

y

z

x

z

y

x y


Lê Lễ Page 10

Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu

ý 2 1i là đủ.

Ví dụ 5.

a) Tìm số nghịch đảo của 10 8z i .

1 1

2 2

1 1(10 8 ) 10 8

10 8 (10 8 )(10 8 ) 10 8

10 8 5 2

164 82

( 8 )

4

10

1

i i

i i i

ii

z i

b) Tính 5 5 20

.3 4 4 3

i

i iz

2 2

(5 5 )(3 4 ) 20(4 3 ) 5 35 80 60.

9 16 1 256 29 5

i i i i

iz

i

i

75 253

25

ii .

c) Cho 1 2,z z C . Chứng tỏ 1 2 1 2. .E z z z z là một số thực

1 2 1 2 1 2 1 2.E z z z z z z z z E E R .

1.7 Môđun của số phức

Số 2 2| | x yz gọi là Môđun của số phức z=x+yi.

Ví dụ 6. Cho

1 2 34 3 , 3 , 2z z zi i ,

2 2 2

2 3

2 2

1| | 0| 4 3 5, | ( 3) 3, | 2| 2z z z .

Định lý.

(1) | | | |( ) | |, ( ) | | .Re z z z Im zz z

(2) 0,| | 0 .| 0| zz z

(3) | | | || |z z z .

(4) 2.z z z .

(5) 1 2 1 2| | || | |z z zz .

(6) 1 2 1 2 1 2| | | | | | | || | .z z z z zz

(7) 1 1 *| | || ,zz z C

(8) *1 12

2 2

| || | ,

| |

z zz C

z z.

(9) 1 2 1 2 1 2| | | | | | | || | .z z z zz z


Lê Lễ Page 11

Chứng minh

Dễ kiểm tra (1)-(4) đúng

(5) 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2. | ( . )( ) ( . )( ) | | | || z z z z z z z zz z z z

1 2 1 2| | || || z zz z .

(6) 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2| ( )( ) ( )| | ||( ) |z z z z z z z z z z z z z zz z

Bởi vì 1 2 1 2 1 2z z z z z z , kéo theo

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 2 | | 2 | || | 2 | || |z z z e z z z z z z zz z .

Do đó 2 2

1 2 1 2| (| | | |)| z z zz . Nên 1 2 1 2| | | || |z zz z .

Bất đẳng thức bên trái có được do:

1 1 2 2 1 2 2 1 2 2

1 2 1 2

| | | | | | | | | | |

| | | | |

|

|

z z z z z z z z z

z z z z

z

(7) 1 1 1 1

1 ||

. | . 1|

zz z z

zz

.

Nên 1 1 *| | || ,zz z C .

(8) 1 1 11 11 1 2 1 2 1 2

22 2

||1 | |

| | | | | | | ||

||

|z z

z z z z z zz

zz z

.

(9) 1 1 2 2 1 2 2| | | | | | || z z z z z zz Nên 1 2 1 2| | | | | |z z z z .

Mặt khác

1 2 1 2 1 2 1 2| | | || ( ) | | | | | | |z z zz zz z z .

Bất đẳng thức 1 2 1 2| | | || |z zz z là đẳng thức 1 2 1 2( ) | || |Re z z z z ,

tức là 1 2z tz , t là số thực không âm.

Bài tập 1. Chứng minh 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2| || | 2(| | | | )z z z z z z .

Lời giải. Sử dụng tính chất (4), 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ( )(| ) )(| ( )z z z z z z z z z z z z 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2| | | | | | || z z z z z z z z z zz z 2 2

1 2| | | )2(| z z .

Bài tập 2. Chứng minh nếu 1 2 1 2| | | 1,| 1z zz z thì 1 2

1 21

z z

z zlà số thực.

Lời giải. Sử dụng tính chất (4),


Lê Lễ Page 12

2

1 1 1 1

1

1| | 1, .z z z z

z

Tương tự, 2

2

1,z

zđặt số trên là A,

1 2 1 21 2

1 21 2

1 2

1 1

1 1 11 1

z z z zz zA A

z zz z

z z

.

Vậy A là số thực.

Bài tập 3. Cho a là số thực dương và đặt

*

0

1,| | .M z C z a

z

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0.

Lời giải. 2 2

2 2 2

2 2

1 1 1 1| | ( )( ) | |

| | | |

z zz z z z

z z z za

z

4 2 2

2

| | ( ) 2 | | 1.

| |

z z z z

z

Do đó 4 2 2 2| | ( 2) 1 ( ) 0| | .z az z z

2 4 2 2 4 22 2 4 2 4

| | [ ; ]2 2

a a a a a az

2 24 4| | [ ; ]

2 2

a a a az .

2 24 4max | | ,min | |

2 2

a a a az z .

,z M z z .

Bài tập 4. Chứng minh mọi số phức z,

|1

21|z , hoặc 2 1 1.| |z

Lời giải. Phản chứng

|1

21|z và 2 1 1.| |z

Đặt z=a+bi⇒ 2 2 2 2 .a bz abi


Lê Lễ Page 13

2 2 2 2 2 2 2(1

) 4 1,(1 ) ,2

1 b a b aa b

2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 0,2( ) 4 1 0.a b a b a b a

Cộng các bất đẳng thức được 2 2 2 2( ) (2 1) 0.a b a Mâu thuẫn

Bài tập 5. Chứng minh

27 7|1 | |1 | 3

62z z z , ∀ z, |z|=1.

Lời giải. Đặt

|1 | [0;2]t z . 2

2 2(1 )(1 ) 2 2 ( ) ( ) .

2

tz z Rt e z Re z

Khi đó 2 2|| 7 2 .1 | |z tz Xét hàm số

2, ( ) | 7 2 |.:[0;2] R f tf t t

Được

27 7 7 7) | 7 2 | ( ) 3(

2 2 6.

6t t ff

Bài tập 6. Xét

{ , 1 , }C z x i xH z x R .

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức ,| | | |, .H z wz w H

Lời giải. Đặt 1 , .y yi y R

Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho


Lê Lễ Page 14

2 2 2 2( 1)( 1) x y yx , ∀ y∈ R.

Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số

2 2 2 21 1, ( ) ( 1) 2 2 1 2( ) ,

2 2: R f y y y y y yf R

Do đó điểm cự tiểu là

1 1 1.

2 2 2zx i

Bài tập 7. Cho x,y,z là các số phức phân biệt sao cho (0;1(1 ) , ).y tx t z t

Chứng minh rằng

| | | | | | | | | | | |.

| | | | | |

z y z x y x

z y z x y x

Lời giải. Từ hệ thức (1 )y tx t z ,

( ).z y t z x

Bất đẳng thức

| | | | | | | |.

| | | |

z y z x

z y z x

trở thành (|| | | | | | |),z zy t x

hay (1 ) | || | | .| t z t xy

Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho

(1 )y t z tx , ta có kết quả.

Bất đẳng thức thứ hai , được chứng minh tương tự, bởi (1 )y tx t z

tương đương với (1 )( ).y x t z x

1.8 Giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai với hệ số thực 2 0, 0bx cax a

vẫn có nghiệm phức trong cả trường hợp biệt thức 2 4b ac âm.

Phân tích vế trái

2

2)[ 0( ]

2 4a x

b

a a


Lê Lễ Page 15

hay 2 2 2) (( ) 02 2

bi

a ax .

Do đó 1 2, .

2 2x x

b i b i

a a

Rõ ràng hai nghiệm là hai số phức liên hợp và phân tích nhân tử được 2

1 2( )( )bx c a x x xa xx

trong cả trường hợp Δ<0.

Bây giờ xét phương trình bậc hai với hệ số phức 2 0, 0bz caz a

Sử dụng phân tích như trên , được

2

2[( ) ] 0

2 4a

bz

a a

⇒ 2

2)(

2 4

b

a az hay

2(2 ) ,az b

Đặt y=2az+b, phương trình trở thành 2 ,u viy u,v∈ℝ

Phương trình có nghiệm

1,2 ( ( ) ).2 2

r u r usgnvy i

ở đây r=|Δ| và sgnv là dấu của v.Vậy nghiệm phương trình ban đầu là

1,2 1,2

1( )

2b yz

a.

Quan hệ nghiệm và hệ số

1 2 1 2, ,2

b cz z

az z

a

Và luôn có phân tích nhân tử 2

1 2( )( )bz c a z z za zz .

Bài tập 8. Giải phương trình hệ số phức 2 8(1 ) 63 16 0.z i z i

Lời giải. 2(4 4 ) (63 16 ) 63 16i i i


Lê Lễ Page 16

2 2| 63 16 65|r .

Phương trình 2 63 16y i

Có nghiệm 1,2

65 63 65 63( ) (1 8 )

2 2y i i . Kéo theo

1,2 4 4 (1 8 ).i iz

Do đó 1 25 12 , 3 4iz z i

Ta có thể dùng cách khác để giải phương trình bậc hai trên. 2(4 4 ) (63 16 ) 63 16i i i

Tìm hai căn bậc hai của 63 16i , tức là tìm 2, 63 16z x yi z i 2 2

2 2163

2 63 16 .88

xx yx y xyi i

yxy

Δ’ có hai căn bậc hai là 1-8i, -1+8i.

Phương trình có hai nghiệm

1

2

4(1 ) (1 8 ) 5 12 ,

4(1 ) (1 8 ) 3 4

i i i

i i i

z

z

Bài tập 9. Cho p, q là hai số phức , q≠ 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc

hai 2 0pxx q có Môđun bằng nhau, thì p

q là một số thực

Lời giải. gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình và 1 2| .| | |r x x Khi đó 2 2

1 2 1 2 1 2 2 11 22 2 2 2

1 2 2 1

( ) 22 2 2 ( )

p x x x x x x x xRe x x

q x x x x r r r

Là số thực. Hơn nữa

2

1 2 1 2) |Re( | ,x x x x r do đó 2

20

p

q.

Vậy p

qlà một số thực.

Bài tập 10. Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a|=|b|=|c|.

a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình 2 0bz caz có Môđun bằng 1 thì

b2=ac.

b) Nếu mỗi phương trình 2 20, 0az bz c bz cz a có một nghiệm có Môđun bằng 1 thì

|a-b|=|b-c|=|c-a|.


Lê Lễ Page 17

Lời giải.

a) gọi 1 2,z z là các nghiệm phương trình với |z1|=1. Từ 2

1

1.

c

az

z kéo theo

2

1

1| | | . 1

|| .

|

c

a zz Bởi vì

1 2 ,| | | |,b

z aa

z b ta có 2

1 2 1.| |zz Hệ thức tương

đương với

1 2 1 2)( ) 1( z z zz , tức là 1 2

1 2

1 1( )( ) 1.z z

z z

2

1 2 1 2( ) ,z z z z hay 2)(b c

a a ⇒

2b ac .

b) Theo câu a) 2 2,acb c ab . Nhân các hệ thức được 2 2 2 2 .c a bc a cb b Do đó

2 2 2 .b c ab bc caa Hệ thức tương đương với

2 2 2( ) (( ) ) 0,b c c aa b

Tức là 2 2 2( ) 2( )( ) ( ) 2( )( ).( ) b c a b b c c a a b ba cb

Kéo theo 2 ( )( )( ) a ba bc c . Lấy giá trị tuyệt đối, được 2 ,

ở đây | |, | |, | |b c c a a b . Tương tự được 2 2, . Cộng

các hệ thức, được 2 2 2

Tức là 2 2 2) ( ) (( ) 0 . Do đó α=β=γ.

1.9 Bài tập

1. Cho các số phức 1 2 31 2 , 2 3 , 1zz i i z i . Tính

a) 1 2 3z z z ,

b) 1 2 2 3 3 1z z z zz z ,

c) 1 2 3z z z ,

d) 2 2 2

1 2 3z z z ,

e) 1 2 3

2 3 1

z z z

z z z,

f) 2 2

1 2

2 2

2 3

z z

z z.

2. Giải phương trình

a) 5 7 2 ;z i i


Lê Lễ Page 18

b) 2 3 5 ;i z i

c) (2 3 ) 4 5z i i ;

d) 3 21 3

zi

i.

3. Trong C, giải phương trình sau

a) 2 1 0;z z

b) 3 1 0.z

4. Cho z=i. Tính 0

kn

k

z , tùy theo số nguyên dương n .


a) (1 2 ) 1 3 ;z i i

b) 2 11 .( ) 7i z i

6. Cho z=a+bi. Tính 2 3 4, , .zz z

7. Cho 0 .z a bi Tìm z∈ C sao cho 2

0.z z

8. Cho z=1-i. Tính ,nz n nguyên dương.

9. Tìm các số thực x, y sao xho

a) (1 2 ) (1 2 ) 1 ;i x y i i

b) 3 3

;3 3

x yi

i i

c) 2 2 2 21(3 2 ) 4 (3(4 3 ) 2 ) .

2i xy y x xyx yi i

10. Tính

a) (2 )( 3 2 )(5 4 );i i i

b) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 );i i i i

c) 1 861( ( ;

1) )

1 1

i i

i i

d) 6 61 3 1 7)( ( ;

2 2)

i i

e) 3 7 5 8

.2 3 2 3

i i

i i

11. Tính

a) 2000 1999 201 82 47;i i ii i

b) 2 31 ;n

nE ii i i n≥ 1;

c) 1 2 3 2000. . . ;ii ii


Lê Lễ Page 19

d) 5 7 13 100 94( ) ( ) ( ) ;i i i i i


a) 2 ;z i

b) 2 ;z i

c) 2 1 2;

2 2z i

13. Tìm các số phức z≠ 0 sao cho 1

z Rz

14. Chứng minh rằng

a) 7 7

1 (2 5) (2 5) ;i i RE

b) 2

19 7 20 5

9 7 6

n ni i

Ri i

E .

15. Chứng minh

a) 2 3 3

2 2 2 2 2 2 2

1 32 2 312 1 1| | || | | | | | || | | | ;z z z z z z zz z z zz

b) 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2|1 | (1 | )(1 | );| | | |z z z zz z

c) 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2|1 | (1 | )(1 | );| | | |z z z zz z

d) 2 2 2

1

2

1 2 3 3 1 2 3 1 2 32| | | || | | |z z z zz z z z zz z z 2 2 2 2

1 2 34(| | | | )||z zz .

16. Cho * 3

3

1, .| | 2z C

zz Chứng minh

1| 2.|

zz

17. Tìm tất cả các số phức z sao cho 2 2| | 1,| | 1z z z .

18. Tìm tất cả các số phức z sao cho 2 24 8 8| .|z z

19. Tìm tất cả các số phức z sao cho 3 .z z

20. Xét z∈ ℂ , Re(z)>1. Chứng minh

1 1 1| .

2|

2z

21. Cho các số thực a,b và 1 3

.2 2

i Tính

2 2( () )c ca b a b .


a) | | 2 3 4 ;z z i


Lê Lễ Page 20

b) | | 3 4 ;z z i

c) 3 2 11 , , ,i z x yz i x y Z

d) 2 (1 2 ) 1 0;iz i z

e) 4 26(1 ) 5 6 0;i zz i

f) 2 2 11 0.(1 )z ii

23. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình 3 2(3 ) 3 ( ) 0i zz z m i

Có ít nhất một nghiệm thực.

24. Tìm tất cả các số phức z sao cho ' ( 2)( )iz z z

là số thực.

25. Tìm tất cả số phức z sao cho |1

| ||zz

.

26. Cho 1 2, ,z z C sao cho 1 2 1 2| 3,| | | | 1| z z z z . Tính 1 2| |z z .

27. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

1 3 1 3) ) 2.

2 2( (n ni i

28. Cho số nguyên n>2. Tìm số nghiệm phương trình 1nz iz .

29. Cho 1 2 3, ,z z z là ba số phức 1 2 3| | | | | 0| Rz z z .

Chứng minh 2

1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1|| | || || | | || | 9z z z z z z z z z Rz z z .

30. Cho u,v,w là ba số phức | | 1,|( )

1|

.1,u v w

v u z

u z. Chứng minh 1 || | 1| w z .

31. Cho 1 2 3, ,z z z là ba số phức sao cho

1 2 3 1 2 30,| | | | | | 1.z z z z z z

Chứng minh 2 2 2

1 2 3 0z z z .

32. Cho các số phức 1 2, , , nzz z sao cho

1 2| || | 0| | nz z rz

Chứng tỏ

1 2 2 3 1 1

1 2

( )( ) ( )( )n n n

n

z z z z z z z z

z zE

zlà số thực.

33. Cho các số phức phân biệt 1 2 3, ,z z z sao cho


Lê Lễ Page 21

1 2 3| || | | | 0z z z

Nếu 1 2 3 2 3 1 3 1 2, ,z z z z z zz z z là các số thực, chứng tỏ 1 2 3 1z z z .

34. Cho 1 2,x x là các nghiệm phương trình 2 1 0x x . Tính

a) 2000 2000

1 2 ;xx

b) 1999

1

999

2

1 ;xx

c) 1 2 ;n nx x n N .

35. Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất các đa thức

a) 4 16;x

b) 3 27x ;

c) 3 8x ;

d) 4 2 1.x x 36. Tìm tất cả các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau

a) (2 )(3 )i i ;

b) 5

2

i

i;

c) 51 80 45 382 3 4ii i i .

37. (Bất đẳng thức Hlawka) chứng minh

1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3| | | | | | | | | | |, ,| | | ,z z z z zz z z z z z z z z z C


Lê Lễ Page 22

1.10 Đáp số và hướng dẫn


Lê Lễ Page 23

8. Với mọi số nguyên k không âm, ta có


Lê Lễ Page 24

37.

1 2 2 3 2 1 2 3 1 23 1 2 3 1 3| . | | 2 | (2 ) | 2 | | . | | 2 | || || z z z z z z z z z z z z z z zz

1 22 3 33 1 3 2 1| . | | 2 | | . | | |2 2 | ||| z z z z z z z zz z

1 23 1 31 2 1 2 3| . | | 2 | | . | | |2 2 | ||| z z z z z z z zz z Cộng các bất đẳng thức với

2 2 2 2 2 2 2

1 2 12 3 1 23 1 2 3 3| | || | | | | | | | || |z z z z zz z z z z z z

có điều phải chứng minh.


Lê Lễ Page 25

2. Biểu diễn hình học của số phức

2.1 Biểu diễn hình học của số phức

Định nghĩa. Điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức

z=x+yi. Số phức z=x+yi gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). ta dùng ký hiệu M(z) để chỉ tọa độ

phức của M là z.

Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức.

Các điểm M,M’ (tương ứng với ,z z ) đối xứng nhau qua Ox.

Các điểm M,M’’ (tương ứng với ,z z ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z=x+yi với v OM

, M(x,y) .


Lê Lễ Page 26

2.2 Biểu diễn hình học của Môđun 2 2 |. |z x yi OM x y z . Khoảng cách từ M(z) đến O là Môđun của số phức z.

Lưu ý.

a) Với số thực dương r, tập các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường

tròn ℭ (O;r).

b) Các số phức z, |z|<r là các điểm nằm trong đường tròn ℭ (O;r). Các số phức z, |z|>r là các

điểm nằm ngoài đường tròn ℭ (O;r).

Ví dụ 7. Các số phức 1 3

,2 2

1,2,3,4kz ki được biểu diễn trong mặt phẳng phức

bởi bốn điểm trên đường tròn đơn vị tâm O. Bởi vì

1 2 3 4| | | | | 1| | |z zz z .

2.3 Biểu diễn hình học các phép toán

(1) Phép toán cộng và nhân. Xét số phức 1 1 1 2 2 2,x y i z x y iz và các vectơ tương

ứng 1 1 2 2 21 ,v x i y j v x i y j

.

Tổng hai số phức

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )) (z z x y x y x xi y y ii .

Tổng hai vectơ

1 2 1 2 1 2( ) ( )v v x x i y y j

.

Tổng 1 2z z tương ứng với vectơ tổng 1 2v v

.


Lê Lễ Page 27

Ví dụ 8.

a) (3 5 ) (6 ) 9 6i i i : biểu diễn hình học của tổng ở hình 1.5.

b) (6 2 ) ( 2 5 ) 4 3i i i : biểu diễn hình học ở hình 1.6.

Tương tự, hiệu 1 2z z tương ứng với vectơ 1 2v v

c) Ta có ( 3 ) (2 3 ) ( 3 ) ( 2 3 ) 5 2i i i i i , hình 1.7.

d) (3 2 ) ( 2 4 ) (3 2 ) (2 4 ) 5 2i i i i i , hình 1.8.


Lê Lễ Page 28

Khoảng cách hai điểm 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )x y M x yM bằng Môđun của số phức 1 2z z bằng độ dài

vectơ 1 2v v

.

2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1| | | | ( ) ( )M z z v v x x y yM

.

(2) Tích của số phức với số thực. Xét số phức z=x+yi và vectơ tương ứng v xi yj

. Nếu λ

là số thực thì tích λ z=λ x+λyi tương ứng với vectơ

v xi yj

.

Nếu λ >0 thì ,v v

cùng hướng và

| | | |v v

.

Nếu λ<0 thì ,v v

ngược hướng và

|| | |v v

.

Tất nhiên , λ =0 thì 0v

.

Ví dụ 9.

a) Ta có 3(1 2 ) 3 6i i , hình 1.10

b) 2( 3 2 ) 6 4i i


Lê Lễ Page 29

2.4 Bài tập

1. Biểu diễn hình học các số phức sau trên mặt phẳng phức

1 2 3 43 , 4 2 , 5 4 , 5 ,z z zi zi i i

5 6 7 8z1, 3 , 2 , 4z .i iz z

2. Biểu diễn hình học các hệ thức

a) ( 5 4 ) (2 3 ) 3i i i ;

b) 4 i 6 4i 2 3i ;

c) ( 3 2 ) ( 5 ) 2 3i i i ;

d) (8 ) (5 3 ) 3 4i i i ;

e) 2( 4 2 ) 8 4i i ;

f) 3( 1 2 ) 3 6i i .

3. Biểu diễn hình học z

a) | 2 | 3z ;

b) | | 1z i ;

c) | 1 2 | 3z i ;

d) | 2 | | 2 | 2z z ;

e) 0 Re( ) 1z ;

f) 1 Im( ) 1z ;

g) 1

e(2

) 0Rz

z;

h) 1 z

Rz

4. Tìm tập các điểm M(x,y) trong mặt phẳng phức


Lê Lễ Page 30

2 4| 4 | 10x i y .

5. Cho 1 2z1 , 1i iz . Tìm z3∈ ℂ sao cho các điểm biểu diễn của 1 2 3, ,z z z tạo

thành tam giác đều.

6. Tìm các điểm biểu diễn 2 3,,z z z sao cho chúng tạo thành tam giác vuông.

7. Tìm các điểm biểu diễn số phức z sao cho

|1

| 2zz

.


3. a) Đường tròn tâm (2,0) bán kinh 3.

b) Hình tròn tâm (0,-1) bán kính 1.

c) Phần ngoài đường tròn tâm (-1,-2) bán kính 3.

7.Hợp hai đường tròn 2 2 2 22 1 0, 2 1 0y y x y yx .


Lê Lễ Page 31

3 Dạng lượng giác của số phức

3.1 Tọa độ cực của số phức

Trong mặt phẳng Oxy, cho M(x,y) khác gốc tạo độ.

Số thực 2 2r x y gọi là bán kính cực của điểm M. Số đo θ∈ [0;2π) của góc lượng giác

, )(Ox OM

gọi là argument của M. Cặp có thứ tự (r,θ) gọi là tọa độ cực của M, viết M(r,θ).

Song ánh (0,0) (0, ) [0: ,2 ), (( , )) ( , )R hh R x y r

Điểm gốc O là điểm duy nhất có r=0, θ không xác định.

Mỗi điểm M trong mặt phẳng có P là giao điểm duy nhất của tia OM với đường tròn đơn vị

tâm O.

Rõ ràng

cos

sin

x r

y r.

Xét argument cực của M với các trường hợp sau:

a) Nếu x≠ 0, từ tany

x, được

arctan ,y

kx

ở đây


Lê Lễ Page 32

0, 0 & 0

1, 0,

2, 0, 0

x y

x y R

x y

k

b) Nếu x= 0, và y≠ 0 được

, 02

3, 0

2

y

y

.

Ví dụ 10. Tìm các tọa độ cực của

1 2 3 4 5 6 7 8(2, 2), ( 1,0), ( 2 3, 2), ( 3,1), (3,0), ( 2,2), (0,1), (0, 4)M M M M M M M M

Dễ thấy

2 2

1 1 1

7 72 ( 2) 2 2; arctan( 1) 2 2 , (2 2, )

4 4 4r M .

22 21; arctan 0 , (1, )Mr

23 3

3 7 74; arctan , (4, )

3 6 6r M

4 4 4

32; arctan , (2, )

3 6 6r M

25 53; arctan 0 0 0, (3,0)r M

6 6 6

3 32 2; arctan( 1) , (2 2,

44 4)Mr

7 7 71; , (1, )2 2

Mr

8 8 82

3 34

2; , (1, )Mr .

Ví dụ 11.Tìm tọa độ vuông góc của các điểm cho bởi tọa độ cực

21 3

2 7(2, ), (3, ), 1 )

4( ,1

3M M M .

1 1 1

2 1 2 32cos 2( ) 1, 2sin 2 3, ( 1, 3)

3 2 3 2y Mx .

2 2 2

7 3 2 7 3 3 2 3 23cos , 3sin , ( , )

2 4 2

2

2 24x y M .

Tương tự 3 3 3cos1, sin1, (cos1,si )n1x y M .


Lê Lễ Page 33

3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức

Cho số phức z=x+yi ta có thể viết z dạng cực:

cos( sin )z r i ,

r=|z|∈ [0,∞), θ là một argument của z và [0;2 ) .

Với z≠ 0, r và θ xác định duy nhất.

Xét cos( sin )z r i , đặt 2 ,k k Z thì

cos( 2 ) sin( 2 )[ ] (cos sin )k i k iz r r

Tức là , với số phức bất kỳ z có thể viết cos sin ),( 0,t t tz i rr R . Khi đó ta nói z

được biểu diễn dạng lượng giác.

Tập { , 2 , }Argz t t k k Z gọi là argument mở rộng của z.

Do đó hai số phức 1 2, 0z z biểu diễn dạng lượng giác

1 1 2 21 21 2(cos sin ), (cos sin )r t i t r t iz z t bằng nhau 1 2

1 2 2

r r

t kt, k∈ ℤ

Ví dụ 12. Viết các số sau dưới dạng cực và xác định tập Argz

a) 1 1z i ,

b) 2 2 2z i ,

c) 3 1 3z i ,

d) 4 1 3z i

a) 1( 1, 1)P nằm ở góc phần tư thứ ba.

2 2

1

5( 1) ( 1) 2, arctan arctan1

4 4r

y

x

1

5 52(cos sin )

4 4iz


Lê Lễ Page 34

1

52 , }

4{ k kAr z Zg .

b) 2 (2,2)P nằm ở góc phần tư thứ nhất

2 22 2,4

r

2 2 2(cos sin )4 4

iz

2 { 2 , }4

kr ZA gz k

c) 3( 1, 3)P thuộc góc phần tư thứ hai

3 3

2

32,r

33

2 22(cos sin )

3z i

33

2{ 2 , }A k Zrgz k .

d) 4(1, 3)P thuộc góc phần tư thứ tư

4 4

5

32,r


Lê Lễ Page 35

43

5 52(cos sin )

3z i

43

5{ 2 , }A k Zrgz k .

Ví dụ 13. Viết các số phức sau dưới dạng cực

a) 1 2z i ,

b) 2 1z ,

c) 3 2z ,

d) 4 3z i .

Và xác định Arg của chúng.

a) Điểm 1(0,2)P thuộc phần dương trục tung, nên

1 1 1

1

2, , 2(cos sin2 2 2

{ 2 }2

)

,

r

Argz

z i

k k Z

b) Điểm 2 ( 1,0)P thuộc phần âm trục hoành, nên

2 2

2

21, , cos sin

{ 2 }

z i

g k

r

Ar z

c) Điểm 3(2,0)P thuộc phần dương trục hoành, nên

3 3 3

3

2, 0, 2(cos0 sin 0)

{2 , }

z ir

Argz k k Z

d) Điểm 4 (0, 3)P thuộc phần âm trục tung, nên


Lê Lễ Page 36

4 4 4

4

3 3 33, , 2(cos sin )

2 2 2

3{ 2 , }

2

r

Ar

z

k Zgz

i

k

Rõ ràng

cos0 sin 0;1 cos sin2 2

ii i ;

3 3cos sin ; cos s

2 21 inii i .

Bài tập 11. Viết số phức sau dưới dạng cực

cos sin , (0,2 )1z aa i a .

Lời giải.

2 2 2(1 cos ) sin 2(1 cos ) 4c| | os 2 | cos |2 2

a az a a a .

a) Nếu (0, ) (0, )2 2

aa , P nằm góc phần tư thứ nhất . Do đó

sinarctan arctan(tan ) ,

1 cos 2 2

2cos (cos sin )2 2 2

a a a

a

a a az i

.

b) Nếu ( ,2 ) ( , )2 2

aa , P nằm góc phần tư thứ tư . Do đó

rctan(tan ) 2 2 ,2 2 2

2cos [cos( ) sin( )]2 2 2

a a aa

a a az i

c) Nếu a , thì z=0.

Bài tập 12. Tìm các số phức z sao cho

| 1| |1,|z

zz

z

z.

Lời giải. Đặt cos sin , [0,2 ).x i xz x 2 2

2

| ||

| |

| cos2 sin 2 cos2 sin 2 |

2 | c

1

|

|

os2

z z z z

z z z

x i x x i x

x


Lê Lễ Page 37

Do đó

1cos2

2x hoặc

1cos2

2x .

Nếu 1

cos22

x thì

21 3 4

5 7 11, , ,

6 6 6 6x x x x

Nếu 1

cos22

x thì

5 6 7 8

2 4 5, , ,

3 3 3 3x x x x

Do đó có 8 nghiệm

cos sin ,8.1,2,3,k k kx i xz k

3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức

(1) Phép nhân

Định lý. 1 1 2 21 21 2(cos sin ), (cos sin )r t i t r t iz z t

Khi đó

1 2 1 2 1 2 1 2. cos( ) sin( )][z r t iz t tr t .

Chứng minh.

1 2 1 2 1 1 2 2. cos sin ) co( ( s sin )z r t i t t iz tr

2 21 2 1 2 1 2 1 1

1 2 1 2 1 2

cos cos sin sin ) (sin cos[ sin cos )]

[cos(

(

) sin( )]

r t t t t i t t t t

r r t t i

r

t t

Lưu ý

a) Một lần nữa ta lại 1 2 1 2| | || | |z z zz .

b) 1 2 1 2ar 2( )g z argz argz kz ,

1 2

1 2

0, 2

1, 2

argz argz

argz argzk .

c) Có thể viết 1 2 1 2) { 2rg ,( }z argz argz k kA z Z

d) Mở rộng với n≥ 2 số phức . Nếu (cos sin ), 1,2, ,k k k krz t i t k n

1 2 1 2 1 2 1 2[cos( ) sin( )]n n n nz z z r r r t t t i t t t

Công thức trên có thể viết

1 11 1

cos sin( )n n n n

k k k k

k kk k

z r t i t .


Lê Lễ Page 38

Ví dụ 14. Cho 1 21 , 3iz z i .

1 2

7 72(cos sin ), 2(cos i

4 6)

6s n

4i iz z

1 2

7 72 2[cos( ) sin( )]

4 6 4 6

23 232 2(co

12 1s

2sin )

iz z

i

(2) Lũy thừa của một số phức

Định lý. (De Moivre3) Cho s n )(cos it i tz r và n∈ ℕ , ta có

(cos sin )n nr nt i tz n .

Chứng minh. Dùng công thức nhân với 1 2 nzz zz được

. cos( ) s. . in( )[ ]n n n

n rz r r t t i tt tt

= (cos sin )n nt ir nt

Lưu ý.

a) Chúng ta tìm lại được | || |n nz z .

b) Nếu r=1, thì cos sin ) cos sin( nt i t nt i nt .

c) Ta có thể viết { . 2 , }n n arg kA zr z k Zg .

Ví dụ 15. Tính 1000(1 )i .

2(co1 s sin )4 4

ii .

10001000

500 500

2 cos1000 sin1000 )4 4

2 (cos250 sin 250

(

)

(

2

1 ) i

i

i

Bài tập 13. Chứng minh 5 3

5 3

sin5 16sin 20sin 5sin ;

cos5 16cos 20cos 5cos

t t t t

t t t t.

Lời giải. Dùng công thức Moivre và khai triển nhị thức 5cos sin )( t i t , 5 4 2 3 2

3 2 3 4 4 5 5

cos5 sin5 cos 5 cos sin 10 cos sin

10 cos sin 5 cos sin sin

t i t t i t t i t t

i t t i t t i t.

Do đó

3 Abraham de Moivre (1667-1754), nhà toán học Pháp.


Lê Lễ Page 39

5 2 2 2

2 2 2

3

3 5

cos5 sin5 cos 10cos (1 cos ) 5cos (1 cos )

[sin (1 sin ) sin 10(1 sin )sin sin ]

t i t t t t t t

i t t t t t t

Đồng nhất hai vế cho điều phải chứng minh.

(3) Phép chia.

Định lý. Giả sử 1 1 2 2 21 1 2(cos sin ), (cos sin ) 0z zr t i t r t i t

1 1 1 1

2

1 1 1

2 2

11 2 1 2 1 2 2 1

11

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2 1 2

(cos sin )

(cos sin )

(cos sin )(cos sin )

(cos sin )

[(cos cos sin sin ) (sin cos sin cos )]

[cos( ) sin( )]

z r t i t

z r t i t

r t i t t i t

r t t

rt t t t i t t t t

r

rt i t

rt t

Lưu ý.

a)Ta có lại kết quả 1 1

2 2

| |||

| |

z z

z z;

b) 11 2

2

{( ) 2 , }Az

argz argr z kz

g k Z ;

c)Với 1

1 2

1 11, , [cos( ) sin( )]z z z t i t

z rz ;

d)Công thức De Moivre còn đúng cho lũy thừa nguyên âm, tức là với n nguyên âm, ta có

(cos sin )n nr nt i tz n .

Bài tập 14. Tính 10 5

10

(1 ) ( 3 )

( 1 3)

i iz

i.

Lời giải.


Lê Lễ Page 40

1010 5 5

10 10

10

10

7 72 (cos sin ) (cos sin )

4 4 6 64 4

(cos sin )

35 35 5 5(cos sin )(cos sin )

6 640 40

(cos sin )

55 55cos sin

cos5 sin5 140

.2

23 3

22 2

23 3

40cos s

3

3n

3

3i

i i

i

i i

i

i

z

i

i

.

3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức

Xét số phức 1 1 2 21 21 2(cos sin ), (cos sin )r i r iz z . Gọi 1 2,P P là giao điểm

của đường tròn ℭ (0,1) với tia 1 2,OM OM .

Dựng 3P thuộc đường tròn và có argument cực 1 2 , chọn 3M thuộc tia

3 3 1 2.,O M OMP O OM .

Gọi z3 là tọa độ phức của M3. Điểm 3 1 2 1 2( , )M rr biểu diễn tích 1 2z z .

Gọi A là điểm biểu diễn của z=1.

3 2 3 2

1 21

OM OM OM OM

OM OM OAvà

2 3 1M OM AOM . Suy ra hai tam giác

1 2 3,OO MM MA đồng dạng.

Để xây dựng biểu diễn hình học của thương, lưu ý điểm tương ứng của 3

2

z

zlà M1.


Lê Lễ Page 41

3.5 Bài tập 1. Dựa vào tọa độ vuông góc ,tìm tọa độ cực của các điểm

a) 1( 3,3)M

b) 2( 4 3, 4)M

c) 3(0, 5)M

d) 4( 2, 1)M

e) 5(4, 2)M

2. Dựa vào tọa độ cực ,tìm tọa độ vuông góc các điểm

a) 1(2, )

3P

b) 2

3(4,2 arcsin )

5P

c) 3(2, )P

d) 4 (3, )P

e) 5 (1, )2

P

f) 6

3(4, )

2P

3. Biểu diễn arg( )z và arg( )z qua arg(z).

4. Biểu diễn hình học các số phức z:

a) | | 2z ;

b) | | 2z i ;

c) | | 3z i ;

d) 5

4argz ;

e) arg3

2z ;

f) arg2

z ;

g) arg( ) ( , )6 3

z

h)

| 1 | 3

06

z i

argz

5. Viết các số sau dưới dạng cực


Lê Lễ Page 42

a) 1 6 6 3;z i

b) 2

1 3;

4 4z i

c) 32

;2

1 3z i

d) 4 9 9 3;z i

e) 5 3 2 ;z i

f) 6 4z i

6. Viết các số sau dưới dạng cực

a) 1 cos sin , [0,2 )z aa i a ,

b) 2 sin (1 cos ), [0,2 )z aa i a ,

c) 3 cos sin (sin cos ), [0,2 )a a az i aa ,

d) 4 1 cos sin , [0,2 )z aa i a .

7. Sử dụng dạng cực của số phức để tính tích sau đây

a) 1 3

)( 3( 3 )(2 3 2 );2 2

i i i

b) (1 )( 2 2 )i i i ;

c) 32 ( 4 ) 3 34 ( )i ii ;

d) 3(1 )( 5 5 )i i

Mô tả các kết quả dạng đại số

8. Tìm | |,arg , , ,arg( )arg zz z Argz z

a) (1 )(6 6 )z i i ;

b) ) )(7 17 3 (iz i .

9. Tìm |z| và argument cực của z:

a) 8

6

6

8

(2 3 2 ) (1 )

(1 ) (2 3 2 )

iz

i

i i,

b) 4

10 4

( 1 )

( 3 ) (

1

2 3 2 )

i

i iz ,

c) ( )(1 3) 1 3n niz i .

10. Chứng tỏ công thức Moivre đúng với số nguyên âm

11. Tính

a) cos sin ) , [0,2 ),(1 na ai a n N ,


Lê Lễ Page 43

b) 1

,n

nz

z nếu

13.z

z


Lê Lễ Page 44



Lê Lễ Page 45

4 Căn bậc n của đơn vị

4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức

Xét số nguyên n≥ 2 và số phức 0w . Như trong trường số thực ℝ , phương trình

0nz w được dùng định nghĩa căn bậc n của số w. Ta gọi nghiệm z của phương trình là một căn bậc n

của w.

Định lý. Cho (cos sin )w r i là số phức với r>0 và θ∈ [0,2π).

Căn bậc n của w gồm n số phân biệt, cho bởi

2 2(cos sin ), 0,1, , 1n

kzk k

r i k nn n

.

Chứng minh. Biểu diễn số phức z dạng lượng giác, tức là cos( sin ).z i

Theo định nghĩa, ta có nz w , nên

(cos sin ) (cos sin )n n i n r i

Do đó

2, 2 , ,n n

kr n k k Z r kn n

.

Vậy nghiệm phương trình có dạng

(c i )s n ,osn

k k kz ir k Z

Lưu ý rằng 0 1 1 20 n . Do đó , {0,1, , 1}k k n là argument cực .

Bởi tính duy nhất của tọa độ cực, Ta có n nghiệm phân biệt của phương trình là

0 1 1, , , nzz z .

Đến đây ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.

Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q và số dư r, tức là k=nq+r, q∈ Z,

r∈{0,1,2,…,n-1}

2 2( ) 2 2k rnq r r q q

n n n n.

Rõ ràng k rz z . Do đó

0 1 1{ , } { , , , }k nz k Z z z z .

Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.

Biểu diễn hình học các căn bậc n của w≠ 0 (n≥ 3) là đỉnh của một n giác đều nội tiếp đường tròn

tâm O bán kính n r , r=|w|.


Lê Lễ Page 46

Để chứng minh điều này, ký hiệu 0 0 1 1 1 1( ), ( ), , ( )n nz M zM M z . Bởi vì

| | , {0,1, , 1} (0, )n n

k k kz r k nO M C rM . Mặt khác , số đo cung

1k kM M bằng

1

2( 1) ( 2 ) 2, {0,1, , }g 2ar k k

k kargz k n

n nz .

⇒ 1 0nM M bằng

2 2( 1)2 n

n n.

Bởi vì các cung 20 01 1 1, , , nMM MM MM bằng nhau nên đa giác 0 1 1nMM M đều.

Ví dụ 16. Tìm các căn bậc ba của z=1+i và biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức.

Dạng lượng giác của z là

2(cos sin )4 4

iz .

Các căn bậc ba của z

6 2 22[cos( ) s

12 12in( )], 0,1,2

3 3k k i k kz

⇒ 6

012

2(cos sin )12

,iz

6

14

3 32

4(cos sin ),iz

6

212

17 172(cos sin )

12,iz

Dùng tọa độ cực, các điểm biểu diễn 0 1 2, ,z z z lần lượt là

6

0 ( 2, )12

M , 6

1

3( 2,

4)M , 6

2

17( 2, )

12M

Tam giác đều biểu diễn kết quả hình 2.6


Lê Lễ Page 47

4.2 Căn bậc n của đơn vị

Một nghiệm phương trình 1 0nz gọi là một căn bậc n của đơn vị.

Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác , cos0 0,1 sini từ công thức tìm căn bậc n của số

phức, ta có căn bậc n của đơn vị là

2 2cos sink

k ki

n n, {0,1, , 1}k n .

⇒ 0 cos0 sin 0 1i ,

1

2 2cos sini

n n. (đặt

2 2cos sini

n n)

2

2

4 4cos sini

n n,

...

1

12( 1) 2( 1)cos sin n

n

n ni

n n.

Ký hiệu 2 1{1, , , , }n

nU ,cũng cần nhắc lại 2 2

cos sinin n

.

Như phần trước đã đề cập, Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị (n≥ 3) là các điểm tạo

thành một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1.

Chẳng hạn

i) Với n=2, hai căn bậc hai của 1(nghiệm phương trình 2 1 0z ) là -1,1.

ii) Với n=3, căn bậc ba của 1( nghiệm phương trình 3 1 0z )cho bởi

2 2cos sink

k ki

n n, k∈ {0,1,2},

⇒ 0 1 ,

1

2 2 1 3cos sin

3 3 2 2i i ,

2

2

4 4

3 3

1 3cos sin

2 2i i

Biểu diễn lên mặt phẳng phức được tam giác đều nội tiếp đường tròn ℭ (O,1).


Lê Lễ Page 48

iii) Với n=4, các căn bậc bốn của 1 là

2 2cos sin , {0,1,2 3}

4 4,k

k ki k .

Ta có

0 cos0 sin 0 1i ,

1 cos sin2 2

ii ,

2 cos sin 1i ,

3

3 3cos sin

2 2i i .

Tức là 2 3

4 {1, , , } {1, , 1, }i i iU i i . Biểu diễn hình học của chúng là hình vuông nội tiếp

đường tròn ℭ (O,1).

Số nk U gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị , nếu mọi số nguyên dương m<n ta có

1m

k .


Lê Lễ Page 49

Định lý.

a) Nếu n|q thì nghiệm bất kỳ của 1 0nz cũng là nghiệm 1 0qz .

b)Các nghiệm chung của phương trình 1 0mz và 1 0nz là các nghiệm của

1 0dz , d=UCLN(m,n), tức là m n dU U U .

c)Các nghiệm nguyên thủy của 1 0mz là

2 2cos sin , 0 , ( , ) 1k

k ki k m UCLN k m

m m.

Chứng minh.

a)Nếu q=pn thì ( 1)1 ( ) 1 ( 1)( 1)q n p n q nz z z z z . Do đó điều phải chứng

minh là hệ quả trực tiếp suy từ hệ thức trên.

b)Xét 2 2

cos sinp

p pi

m m là một nghiệm của 1 0mz và

2 2cos si' nq

q qi

m mlà một nghiệm của 1 0nz . Bởi vì

| | 1| ' |p q, ta có ,

p q

2 22 , .

n

p qr r Z

m

Cho ta p q

r pn qm rmnm n

.

Mặt khác, ' , ' , ( ', ') 1.m m d n n d UCLN m n

pn qm rmn n p m q rm n d .

|' | ,' 'm p p pm p m Zn p và

2 2 ' ' 2 'arg

'p

p p m p

m m d d và 1d

p .

Ngược lại , | , |d m d n , bất kỳ nghiệm của 1 0dz là nghiệm của 1 0mz và

1 0nz (tính chất a).

c)Trước hết ta tìm số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho 1.p

kTừ hệ thức 1.p

kSuy ra

22

kpk

m, k’∈ ℤ . Tức là '

kpk Z

m. Xét d=UCLN(k,m) và k=k’d, m=m’d, ở đây

UCLN(k’,m’)=1. Ta có k pd k p

Zm d m

. Bởi vì k’ và m’ nguyên tố cùng nhau , ta có m’|p.

Do đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn 1p

klà p=m’. Kết hợp với hệ thức m=m’d suy

ra , ( , )m

d UCp LN k md

.


Lê Lễ Page 50

Nếu k là căn nguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức 1,( , )

p

k

mp

UCLN k msuy

ra p=m, tức là UCLN(k,m)=1.

Lưu ý .

Từ b) ta thu được phương trình 1 0mz và phương trình 1 0nz có nghiệm chung duy

nhất là 1 nếu và chỉ nếu UCLN(m,n)=1.

Định lý. Nếu nU là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì các nghiệm của phương trình

1 0nz là 1 1, ,r r r n , r là một số nguyên dương cho trước.

Chứng minh. Cho r là một số nguyên dương và {0,1, , 1}h n . Khi đó

( () 1)n n r hr h , tức là r h là một nghiệm của 1 0nz .

Chỉ cần chứng minh 1 1, , ,r r nr phân biệt. Giả sử không phân biệt, tức tồn tại

1 2 1 2,r hr hh h mà 1 2 .r h r hKhi đó 2 1 2( 1) 0r h h h . Nhưng

2 0r h 1 2 1h h. Đối chiếu với 1 20 nh h và ω là một căn nguyên thủy bậc n

của đơn vị, ta có mâu thuẩn.

Bài tập 15. Tìm số cặp thứ tự (a,b) các số thực sao cho 2002( )a b ii a b .

Lời giải. Đặt z=a+bi⇒ 2 2,| |z a bi z a b . Hệ thức đã cho trở thành 2002z z . 2002 2002 2001| | | | | | || | | (| | 1) 0.z z z z zz

Do đó |z|=0, tức là (a,b)=(0,0) hoặc |z|=1. Trong trường hợp |z|=1, ta có 2002 2003 2. | | 1z z z zz z .

Do phương trình 2003 1z có 2003 nghiệm phân biệt⇒ có 2004 cặp thứ tự theo yêu cầu.

Bài tập 16. Hai đa giác đều cùng nội tiếp trong một đường tròn. Đa giác thứ nhất có 1982 cạnh,

đa giác thứ hai có 2973 cạnh. Tìm số đỉnh chung của hai đa giác đó.

Lời giải. Số đỉnh chung bằng số nghiệm chung của hai phương trình 1982 29731 0, 1 0zz . Ứng dụng định lý trên, số nghiệm chung là

(1982,2973) 991.d UCLN

Bài tập 17. Cho nU là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị và z là số phức sao cho

| 1, 0,1 1| , ,k k nz . Chứng minh 0z .

Lời giải. Từ giả thiết , được

( )( ) 1k kzz 2| | , 1, 0,1,k kz z kz n . Lấy tổng các hệ thức trên,

1 12

0 0

( 0.| ) .|n n

k k

k k

n zz z

Do đó z=0.

Bài tập 18. Cho 0 1 1nPP P là đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh


Lê Lễ Page 51

a) 0 1 0 2 0 1. nP P P P PP n

b) 1

2 ( 1)sin sin sin

2n

n n

n n n

c) 1

3 (2 1)sin sin sin

2 2 2 2

1n

n

n n n

Lời giải.

a)Không mất tổng quát, giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của

đơn vị, 0 1P . Xét đa thức

11 ( 1)( ) ( )n nz z zf z , 2 2

cos sinin n

.

Rõ ràng 2 1(1 )(1'(1 ) 1 )) ( nn f .

Lấy Môđun hai vế được kết quả.

b)Ta có

22 2cos sin 2sin 2 sin cos

2sin (sin cos

1 1

)

k k k k k ki i

n n n n n

k k ki

n n n

Do đó | 2sin , 1,1 2, , 1| k kk n

n. Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh.

c)Xét đa giác đều 0 1 2 1nQQ Q nội tiếp trong đường tròn , các đỉnh của nó là điểm biểu diễn

hình học của căn bậc 2n của đơn vị. Theo a)

0 1 0 2 0 2 1. 2nQ Q QQ Q Q n

Bây giờ xét đa giác đều 0 22 nQ Q Q , ta có 0 0 42 0 2 2. nQ QQ QQ Q n

Do đó 0 1 0 3 0 2 1. 2nQ Q QQ Q Q . Tính toán tương tự phần b) ta được

0 2 1

(2 1)2sin , 1,2

2k

kQ k

nQ n và ta có điều phải chứng minh

4.3 Phương trình nhị thức

Phương trình nhị thức là một phương trình có dạng 0nz a , n∈ ℕ và n≥ 2. Giải phương

trình là tìm căn bậc n của số phức –a. Đây là một dạng đơn giản của phương trình bậc n hệ số

phức. Theo định lý cơ bản, phương trình có đúng n nghiệm. Và cũng dễ thấy trong trường hợp

này phương trình có n nghiệm phân biệt.

Ví dụ 17.

a) Giải phương trình 3 8 0z .

co8 8( s sin )i , các nghiệm là


Lê Lễ Page 52

2 22(cos sin ), 0,1,2

3 3k

k ki kz .

b) Giải phương trình 6 3(1 ) 0z iz i .

Phương trình tương đương với 3 31)( ) 0( zz i .

Giải phương trình nhị thức 3 31 0, 0iz z có các nghiệm

2 2cos sin , 0,1,2

3 3k

k ki k và

2 22 2cos sin , 0,1,2

3 3k

k ki kz .

4.4 Bài tập

1. Tìm các căn bậc hai của z

a) 1z i ;

b) z i ;

c) 1

2 2z

i;

d) 2(1 3)z i ;

e) 7 24z i .

2. Tìm các căn bậc ba của z

a) z i ;

b) 27z ;

c) 2 2z i ;

d) 1 3

2 2z i ;

e) 18 26z i .

3. Tìm các căn bậc bốn của z

a) 122z i ;

b) z 3 i ;

c) z i ;

d) 2z i ;

e) 7 24z i .

4. Tìm căn bậc 5,6,7,8, 12 các số trên.

5. Cho 0 1 1{ , , , }n nU 4 là các căn bậc n của đơn vị. Chứng minh

4 Un cùng với phép nhân là một nhóm Abel. Nó còn là nhóm xyclic sinh bởi căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.


Lê Lễ Page 53

a) , {0,1, , 1},j k nU j k n ;

b) 1 , {0,1, , 1}j nU j n .


a) 3 125 0z ;

b) 4 16 0z ;

c) 3 64 0z i ;

d) 3 27 0z i .


a) 7 4 32 2 0z iz iz ;

b) 6 3 1 0izz i ;

c) 6 1 02 3 ) 5( i z i ;

d) 10 5( 2 ) 2 0iz z i .

8. Giải phương trình 4 25( 1)( 1)z zz z .



Lê Lễ Page 54

Documents

[Vnmath.com] sophuc tu a toi z