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Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013
1
VOLÚMENES Y ÁREAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS
Volumen y Área de un Ortoedro Consideremos el siguiente ortoedro:
Arista: Línea formada por la unión de dos caras.
Cara: Cada uno de los rectángulos que forman el ortoedro.
Desarmando la figura:
hbaV ………………Expresión que permite calcular el volumen de un ortoedro.
totaláreaelcalcularpermitequeExpresiónabbahBAA
abBentoncesbasesdostieneComo
baseladeÁreaabB
lateraláreaelcalcularpermitequeExpresiónbahbhahA
bahbhahbhbhahahA
LT
L
L
.........2)(22
22:,
....
.).........(222
)(222
Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo.
Área Lateral: Es el área de las caras laterales de un poliedro.
Área de la Base: Es el área sobre la cual descansa la figura.
Área Total: Es la suma del área lateral más el área de las bases.
Todas las caras son rectángulos, hay 2
caras que sirven de base, y 4 que son caras
laterales
a
b
h
h h a
b Base Base
baseladeáreaB
atotaláreA
lateraláreaA
volumenV
T
L
Diagonalhbad .222
a
b
h
Cara
Arista
22 ba
El volumen de un ortoedro es igual al
producto de sus tres dimensiones: largo x
ancho x alto )( hba
hbaV
El volumen se expresa en
unidades al cubo, o sea,
exponente tres (3):
...,, 333 kmcmm
Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013
2
EJEMPLO 1.
Hallemos el volumen, el área lateral, área total y la diagonal de un ortoedro cuyas
dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.
Solución:
Calculando el área de la base:
2cm4058 cmcmB
Calculando el área total: 22222 132cmcm52cmcm52cm 80)40(22BAA LT
Calculando diagonal:
9,64cm 9342564258 222222 hbad
Otra forma para calcular el área total: se halla el área de cada cara y se suma
El área total es: 2
T 132cmA 222222 161610104040 cmcmcmcmcmcm
210cm
Para la cara lateral derecha, que
es igual a la izquierda, el área es: 21025 cmcmcm
Para la cara base, que es igual a la
superior, el área es: 24058 cmcmcm
Para la cara lateral del frente, que
es igual a la del fondo, el área es: 21628 cmcmcm
8cm
5cm
2cm
8cm
5cm
2cm
5cm
8cm
240cm
216cm
8cm 5cm
2cm
Calculando el volumen:
380cm
cmcmcmabhV
cmhcmbcma
258
2.5.8
Calculando el área lateral:
252cm
cmcmA
cmcmcmbahA
L
L
134
58222
Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013
3
EJEMPLO 2.
La siguiente figura representa un depósito de agua construido en una comunidad
Solución:
a) El volumen del depósito se halla multiplicando las tres dimensiones: 33 000.400.102´104,10102)16)(5,20)(8,30( cmmmmmV
b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:
litrosxdondeDe
x
cmLitros
400.102.101000
000.400.102´101:
000.400.102´10
10001
3
Vendiendo los 10´102.400 litros de agua a $14.5, se recauda:
800.484´146$)400.102´10(5,14Re caudo
c) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por día, las 135 casas
consumen en un día: litros5,13432)5,99(135
Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:
díasxdondeDe
x
díasLitros
08,7525,13432
400.102´10:
400.102´10
15,13432
d) Como a más personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos días, en este
caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15
miembros y la segunda 20 miembros, porque según el enunciado, tiene 5 más.
Entonces:
30,8m
20,5m 16m
a) Hallemos el volumen aproximado del depósito
b) ¿Cuántos litros de agua puede contener
c) Si un litro de agua se vende a $14,5. ¿Cuánto dinero
se recauda?
d) Si en la comunidad hay 135 casas y cada una
consume en promedio 99,5 litros de agua cada día,
¿para cuántos días alcanza el agua?
e) Si una familia de 15 miembros puede consumir el
depósito en 30 días, ¿en cuántos días lo consumirá
otra familia que tiene 5 miembros más…?
33
3
1000000
1000
1
1
:Re
cmm
cmlitro
quecuerde
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4
díasxx
dondeDe
x
díasPersonas
5,2220
1530
15
2030:
20
3015
EJERCICIOS
1. Para cada figura, calcule el volumen, el área total y la diagonal:
2. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular miden: 6m, 8m y 3m.
a) ¿Cuánto cartón se debe comprar para construir el paralelepípedo sin tapa y cuánto, con
tapa? Sugerencia: Halle el área de las caras.
b) Si el m2 de cartón cuesta $ 46.9, ¿con cuánto dinero se pueden construir los
paralelepípedos?
3. Se van aguardar libros en una bodega de dimensiones 4m, 3m y 2m. Si la dimensión de
cada libro es 20cm, 10cm y 4cm, calcule el número de libros que se puede guardar en
esa bodega.
4. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 10m x 7m x 3m.
a) Halle el volumen de la piscina
b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, ¿cuántas personas
caben en la piscina?
c) Si el litro de agua cuesta $25, ¿cuánto cuesta llenar la piscina?
d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, ¿en cuántas
horas la llenará otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?
Nota: Para cada ejercicio, construya una gráfica que represente la situación.
5m
6m
9m
8cm
7cm
4cm
4cm
6cm
V = 192cm3
d = ?
a = ?
hb
VaAyuda
:
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Volumen y Área de un Cubo o Hexaedro
Para calcular la arista: 3
Vk El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.
Desarmando la figura:
EJEMPLO 1.
Calculemos el volumen, el área total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.
Solución:
Todas las caras son cuadrados y dos de ellas sirven de base
K
K
K
K
K
K K
K
K
K
K
mmkd
mmmkA
mmkVmk
T
35,7)25,4(73,13
.37,108)062,18(6)25,4(66
76,76)25,4(.25,4
2222
333
4,25m
Todas Las caras son cuadrados
73,13
k
k
k
Arista
kd 3 Volumen: 33 kV kkkkV
Área lateral: 2
L
22222 4kA kkkkkAL 4
Área de la base: 2
kB
Área total:
2
T
222222
6kA
k
622 kkkkkBAA LT
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EJEMPLO 2.
Si la arista de un cubo se duplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen?
12
2
1
3
3
2
1
33
2
33
1
8:,8
1
8
:)2()1(
)2.....(8)2()1.....()(
:
VVdondedeV
V
k
k
V
V
yvolúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie
kkVkkV
volúmeneslosHallemos
El nuevo volumen (2) es 8 veces el volumen inicial (1) o el volumen inicial (1) es la octava
parte del volumen final (2). Lo que indica, que por cada unidad del volumen (1), hay ocho
unidades del volumen (2). O sea, están en una proporción de 1:8 ó de 8:1
Haciendo uso de la ecuación anterior ( 12 8VV ), complete la siguiente tabla para los
valores indicados e indique la proporción
1V 2V Proporción
8
3
30 1:8
15
5
¿Qué puedes opinar acerca de las proporciones? EJEMPLO 3.
El volumen de un cubo es de 64cm3, hallemos la arista, el área total y la diagonal
Como se puede observar, la
arista del cubo de la derecha es
el doble de la del cubo de la
izquierda k
1V
2k
2V
64cm3
k
k
k
Como: 4cm.kV 3 3 33 64cmVk ….este es
el valor de la arista
Área total: 22 96)16(6)4(6 cm 2
T 6kA
Diagonal: cmkd 92,6)4(73,13
73,13
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EJERCICIOS
1. Para cada cubo o hexaedro, realice el cálculo exigido:
2. La diagonal de un cubo mide 10,38cm. Halle: La arista, el área total y el volumen.
Ayuda: 73,13.3
d
k
3. ¿Cuánto cartón se necesita para construir un caja de forma cúbica de 9,5 cm de arista.
Si el m2 cuesta $ 50. ¿Cuánto dinero se necesita?
4 Si la arista de un cubo se triplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen y la nueva área
total? Ayuda: kk 3
5 Si la arista de un cubo se reduce a la mitad, ¿en cuánto decrece el nuevo volumen y la
nueva área total?
Volumen y Área de un Prisma
n = Número de lados. L = longitud de los lados. h = altura.
B = área de la base. a = apotema. P = perímetro.
4m
?.?.? dAV T
5,8cm
?.?.? dAV L
V = 512cm3
?.?.? dAk T
3 Vk
Ayuda
a
L
L
h
DESARMANDO LA FIGURA:
En este caso, el prisma es pentagonal, porque su
base es un pentágono. Cualquier polígono puede
servir de base. Todas las caras son rectángulos.
L
L
h
L
L
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8
BhV . Pero: 22
PanLaB . Entonces:
2
ahnBhV
L .
nLhAL
h)nL(aAT
)(222
hanLnLhnLanLhnLhBAnLa
T
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
El área lateral de un prisma es igual al producto de la altura(h) por el perímetro de la
sección recta.
EJEMPLO
Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 8m de lado. Si la altura
del prima es de 10m, calculemos el volumen y el área total.
Solución:
totaláreaelesestammBAA
baseslasdeáreaelesestamB
lateraláreaelesestammnlhA
n
volumenelesestemmBhV
LT
L
2
2
2
3
295,36m
55,36m
240m
276,8m
22
2
2
36,552402
.)68,27(22
.)10)(8(3
.3
)10(68,27
8m
10m
2
3 Lh
..…. Fórmula altura de un triángulo equilátero.
2
hbA
……. Área de un triángulo.
268,272
36,55
2
)92,6(8
2
92,62
84,13
2
)8(73,1
2
3
10.8
cmhb
BA
cmL
h
cmhbcmL
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9
EJERCICIOS
1. Para cada prisma, realice el cálculo exigido:
2. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m,
halle el volumen y el área total.
3. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma
alcanza una altura de 3m, halle el área total y el volumen.
4. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras
laterales son trapecios isósceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras
paredes son rectángulos. Las caras trapezoidal están separadas por una distancia de
100m. Si máxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:
a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros
b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 ¿cuánto dinero recaudará la
cominudad?
Volumen y Área de una Pirámide
BAABh
BhLT
V .33
1
El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base por la altura.
El área lateral se halla sumando las áreas de los triángulos (caras laterales).
En una pirámide regular, la apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras
laterales
Cara lateral
Altura
Arista
Base
h
8m
?.? TAV
12m
15m
4
3:
:
?.?
2LAequilátero
triánguloáreaAyuda
AV T
4cm
Triángulo
equilátero
7cm
12m
?.? TAV
2m 1,7m
6m
hexágonoapotemaL
a
AV T
2
3
?.?
18cm
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EJEMPLO
Hallemos el volumen de una pirámide que tiene una altura de 11m y su base es un
rectángulo de 7m y 4m de lado
Solución:
EJERCICIOS
1. Para cada pirámide, realice el cálculo pedido:
2. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza
una altura de 4m. Halle el volumen de la pirámide.
32
2
66,1023
)11(28
3:
28)4(7:
.33
1
mmmBh
V
mmmB
BAABh
BhV
pirámideVolumen
baseladeÁrea
LT
11m
7m
4m
?V
4cm
5cm
?V
8cm
50cm
14cm
?V
8cm
Altura
Tetraedro regular: pirámide cuya base y
caras laterales son triángulos equiláteros.
tetraedroalturaLh
caraunadeáreaL
A
tetraedrovolumenL
V
....3
2
....4
3
.....12
2
2
3
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Volumen y Área de un Cilindro Circular Recto
)(2)(222
2.2..
.1416,3.2
.2
....
2
22
rhrArhrrrhA
BAArhArBhrV
drrd
GeneratrizgAlturahRadiorDiámetrod
TT
LTL
EJEMPLO1.
Hallemos el volumen y el área lateral de un cilindro que tiene un diámetro de 9cm y una
altura de 14cm.
Solución:
12cm
9cm .29,339)12)(5,4)(1416,3(22
4,763)12)(25,20)(1416,3(
).12()5,4)(1416,3(
.1416,3.12.5,42
9
2.9
2
22
22
cmcmcmrhA
cmcmcmV
cmcmhrV
cmhcmcmd
rcmd
L
El volumen de un cilindro se halla
multiplicando el número por el radio
al cuadrado y por la altura
h
r
d
h
r
r2
r
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12
EJEMPLO 2.
¿Cuál debe ser el radio de un cilindro para que el área lateral sea el triplo del área de la
base?
Solución:
El ejemplo nos muestra, que el área lateral equivale tres veces el área de la base, entonces:
.3
2
3
232
:),1()3()2(Re).3().2(2
)1(3
3
22
2
2
hh
rh
r
rrrh
tieneseenyemplazandorBrhA
BA
L
L
El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.
Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.
EJERCICIOS
1. Para cada cilindro, realice el cálculo exigido:
2. Un tanque cilíndrico tiene 1000cm de diámetro y 12cm de altura. ¿Cuántos galones de
gasolina puede contener? Ayuda: Galón = 3,78 litros.
3. Un tanque cilíndrico tiene 500cm de diámetro y 2,5m de altura. Calcule el área total y el
volumen.
4. ¿Cuál es el radio de un cilindro, si el área lateral es el doble del área de la base?
?? TAV
6cm
3cm
?? TAV
16m
15m
3
2
10001
:?
cmlitro
r
VhAyudah
36cm
V = 40 litros
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Volumen y Área de un Cono
)()(
..3
1..
2
2222
rgrArgrrgrBAA
rBrgAhrVrghGeneratrizg
TLT
L
EJEMPLO
Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. ¿En
qué proporción están sus volúmenes?.
Solución:
h
g
d2
h g
d1
mmd
r
mmd
r
mdmdhh
2,12
4,2
2
56,02
12,1
2
.4,2.12,1.
22
11
21
h g
r
r
g
r2
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VVV
V
h
h
V
V
proporciónlandoEstablecie
hhhrVhhhrV
volúmeneslosCalculando
122
1
2
1 55
1
5
1
10
22,0
48,0
10,0
:
.48,0)2,1(3
1
3
1.10,0)56,0(
3
1
3
1
:
22
22
22
11
Los volúmenes están en una proporción de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en
su efecto, V2 es 5 veces V1.
EJECICIOS
1. Para cada cono, realice el cálculo exigido:
2. Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 8cm y 4cm. ¿En
qué proporción están sus volúmenes?
3. Si el área total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base,
determine el volumen.
4. La capota de una lámpara es de forma cónica. Su diámetro es de 6,5cm y su altura es de
14cm. ¿Cuál es el volumen?
Volumen y Área de una Esfera
?? TAV
10cm
25cm
30cm
?? TAV
10m
3m
14m
?? TAV
12m 6m
9m
33
2
13
4
3.
4
4.6
1
3
4
82.
2
2233
33
3
VVr
Ar
drAdrV
ddr
dr
r
Semiesfera,
la mitad de una esfera
Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013
15
EJEMPLO
Si el diámetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine:
a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas.
c). La razón entre los dos volúmenes.
Solución:
.2
9
24
108
3
8
274
3
2
34
3
4:1
.4
9:.
4
9
4
9
4
9
:
.4.94
94
2
344:1
.3
2
2
3
.2
332
33
33
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
21
2
1
1
22
22
1
2
11
2
1
2
1
11
12
2:exp.
2
3
rr
rr
r
VesvolumenEl
A
A
r
r
A
A
áreaslasentreproporciónlandoEstablecie
rAr
rrrAesáreaEl
rry
rr
r
r
rr
esáreaslasderazónLa
quetieneseresiónanteriorlaDeesradioslosderazónLa
.8
27:.
8
27
8
27
8
327
3
4
2
9
.3
4:2
2
1
22
2
2
1
2
3
2
3
3
3
2:
esvolúmeneslosderazónLa
volúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie
V
V
r
r
r
r
V
V
r
VesvolumenEl
EJERCICIOS
1. Calcule el volumen y el área de una esfera de 1,5cm de radio.
2. Halle el volumen y el área de una esfera de 6m de diámetro
Esfera 1 Esfera 2
D1 = 3r2
2r1 = 3r2
Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013
16
3. 8cm y 10cm son los diámetros de dos esferas. ¿En qué proporción están los volúmenes
y las áreas?
4. Halle el volumen y el área de una semiesfera de 9m de diámetro.
5. Encuentre el espesor de una esfera hueca, si la superficie exterior mide 4m2 y la
interior 3,8m2. Ayuda: Calcule los dos radios y establezca la diferencia.
6. El área de una esfera mide 40cm2. Halle el radio y el volumen de la esfera.
7. El volumen de una esfera es de 27m3. Halle el radio y el área.
8. ¿Por qué número debe multiplicarse el diámetro de una esfera para que: a). Su área se
duplique? b). Su volumen se triplique?
9. Si el diámetro de una esfera es el doble del radio de otra esfera, determine:
a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas. c). La razón entre los
dos volúmenes.
RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR CIRCUNSCRITO A UNA
ESFERA (LA ESFERA DENTRO DEL CILINDRO)
V cV eoV eV cV e
V c
V e
V c
x
x
x
x
yvolúmenesdoslosentrerelaciónlandoEstablecie
3
2
2
3
2
3
2
3
4
6
4
6
:)2()1(
3
3
3
3
6
4
Lo anterior se interpreta a sí: El volumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de
la esfera es 2/3 del volumen del cilindro
x
x
Como se puede observar, dentro del cilindro hay una esfera
cuyo diámetro es igual a la altura y al diámetro del cilindro
Hallemos los volúmenes y establezcamos la relación:
)2.....(6
3
3
3
24
3
34.
2
)1.....(4
)()2
.2
)(
(.3222
xrr
Esfera
xhrhrrxh
Cilindro
x
V ex
xxV c
x
Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013
17
VOLÚMENES DE SÓLIDOS TRUNCADOS, SECCIONADOS Y EN DIFERENTES
POSICIONES
Volumen de un Tronco de Pirámide
EJERCICIOS
1. Para cada tronco de pirámide, halle el volumen:
2. Los volúmenes de un tronco de pirámide y una pirámide miden 36m3 y 20m
3. Si el tronco
sostiene la pirámide y las dos bases están separadas por una distancia de 10m, halle la altura de
la pirámide y la altura que alcanzan las dos figuras.
VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO
r
8cm2
16cm2
7cm
4m
10m
8m
Las bases son cuadrados Las bases son
triángulos equiláteros
12cm
5cm
10cm
)(
)(
33
1
..
.2.2.
22
22
222
2
1
2
21
..
rRAA
rRgA
RrrRhRrrRhV
r
R
h
h
r
R
d
D
rdRDhhh
R
LT
L
menorcírculoRadiormayorcírculoRadio
h
h2
h1
R
.
33
1
.2.1
3
31
2
1
22121
22121
21
2
1
21
2
.
2
h
h
V
V
hBBBBhBBBBV
hhhh
h
h
baseladeÁreaBbaseladeÁreaB
pírámideladeAltura
basesdoslasseparaqueAltura
pirámideladevérticeelhastabaseladesdevaqueAltura
h B2
h1
h2
B1
B2
B1
h
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18
EJERCICIOS
Para cada tronco de cono, halle el volumen:
VOLUMEN OTROS POLIEDROS
12cm
5cm
8cm
5cm
4cm
3cm
Además, halle el volumen
del cono superior y de todo
el cono
9cm
10cm
H h
6cm
Cilindro hueco
)( 22 rRhV
R r
h
Cilindro truncado
)( 21
2 hhRV
1h 2
h R
Cilindro oblicuo
R h
hRV 2
R
d D
k
Elipsoide
3
4 DdkV
Cono oblicuo
3
2hRV
R
h
Sector esférico
h
3
2 2hRV
Segmento esférico
áreassonbyB
hhbBV
,
62
3
b
B
h
n
R
Cuña
gradosenÁngulon
nRV
3603
4 3
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19
PRINCIPALES POLIEDROS
Poliedro: Sólido que tiene varias caras.
Poliedro regular: Cuando las caras son polígonos regulares iguales.
Figura
Nombre
Características
Tetraedro regular
Tiene 4 caras iguales. Las caras son triángulos
equiláteros
Cubo o hexaedro
Tiene 6 caras iguales. Las caras son cuadrados
Prisma recto
Poliedro limitado por varios paralelogramos y
dos polígonos iguales cuyos planos son
paralelos(bases)
Paralelepípedo
Prisma cuyas bases so paralelogramos
Pirámide
Poliedro que tiene una cara llamada base, que
es un polígono cualquiera y las otras , llamadas
caras laterales son triángulos que tienen un
vértice común.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas
paralelas.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas
paralelas.
Esfera
Sólido o espacio limitado por una superficie
curva cuyos puntos equidistan todos de otro
interior llamado centro.
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20
VOLUMEN TOTAL
El volumen total de un cuerpo sólido que está formado por varios poliedros regulares, se
halla sumando los volúmenes.
321 VVVVT TV Volumen total. 1V Volumen primer sólido.
2V Volumen segundo sólido. 3V Volumen tercer sólido.
Volumen sólido cuatro, cinco, seis, siete, ocho, …
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen total:
3
4..
3
32.
2
..
32
2
3
rhr
hr
BhPahnlah
BhabhK
5cm
3cm 3cm
11cm
8cm
4cm
1
10m
10m 10m
12m
9m
2
14,78m 8m
9,8m
7,96m
11,6m
5m
16m
10m
3
Halle el área total de las figuras 2 y 3
Análisis:
Halle por separado el volumen de cada
uno de los sólidos involucrados en la
figura, luego, sume los volúmenes
Marcosapb – Matemática – Algebra – 2013
21
VOLUMEN LIMITADO POR DOS SÓLIDOS
El volumen limitado por dos sólidos, se halla estableciendo la diferencia (resta) entre el
volumen del sólido mayor y el sólido menor.
memaL VVV . LV Volumen limitado por los dos sólidos.
maV Volumen sólido mayor. meV Volumen sólido menor.
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen limitado:
14m
17m
5
7 8
8
1
7cm
9cm
19cm
15,79cm
6
19m
10,5m 8,2m
4
18cm
18cm
6cm
2
Análisis:
Calcule el volumen del sólido mayor.
Calcule el volumen del sólido menor.
Halle la diferencia (resta) entre los dos volúmenes
14,6m
3
3cm
4cm
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22
ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- VOLUMEN
En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría.
Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre los principales poliedros (sólidos)
realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con los
mismos conceptos que sobre volumen y áreas conocemos de cada poliedro.
Ejemplo
Dada la siguiente figura, hallemos la expresión algebraica que representa el volumen y el
área de la región sombreada. Además, el valor numérico para x = 2.
, valor numérico
Para la región sombreada:
La misma es un rectángulo cuyos lados miden . Pero es la diagonal de la cara
frontal del poliedro, aplicando el teorema de Pitágoras para esta diagonal:
5221244)1()2( 22222 xxxxxxxxd , este es el valor del
lado del rectángulo, calculando el área del rectángulo ( región sombreada):
5121162522)1()1( 2342 xxxxxxxxdA
212,36u 1535244448325)2(12)2(11)2(6)2(2 234A
Solución: El poliedro involucrado es un ortoedro de
dimensiones . Entonces:
,
esta es la expresión algebarica que representa el
volumen
d
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23
EJERCICIOS
1. Aplicando el concepto y la fórmula para cada sólido, halle la expresión algebraica
que representa el volumen y el área total de cada figura. Si en alguna figura hace
falta información, no realice el cálculo exigido
RECUERDE:
El volumen se expresa en unidades cúbicas…………….u3 = unidad cúbica.
Después de reemplazar las letras por su valor numérico, y realizadas la operaciones
indicadas, al número que resulta se agrega u3.
2. Para cada figura, halle el volumen limitado.
2x + 2
5x
4x + 3
1
2
2y + 1
2y + 6
2y
3
3z + 1
z + 4 z
6
2y +4 2z + 2
z + 1
4 5
2x 1
x = 2, y = 3, z =
4
Halle el área
lateral y total
de las figuras:
1, 3, 4 y 8
3
x 1
3x
3x + 2
6x 2
2 3y + 1
5y 2
x
2x + 1
2x + 3
7 8 x + 4
2x + 1
y + 4
2y + 3
y
9
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24
FÓRMULAS DE ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS
3x + 2
5
5x 4
5z 3
z 4
b
h bhA
ctánguloRe
b
bhA
ramoParale log
h
b
b 2bbbA
Cuadrado
b
Triángulo
h 2
bhA
L
Equilátero
Triángulo
4
3 2LA
L L
b
h 2
)( hbBA
Trapecio
B
Rombo
2DdA
d
D
L
gulares
Polígonos
Re
a
2nLaA
L
2rA
círculo
r
Elipse
DdA
D d
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25
TRIÁNGULO RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90° grados.
Todos son triángulos rectángulos.
Elementos
Teorema de Pitágoras Ejemplo 1 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo:
90° 90°
90°
90°
R
B
D
r
d
b
Hipotenusa: lado más largo
Cateto
Cateto
r = hipotenusa d = cateto b = cateto
90°
Este teorema o ley se enuncia así: en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto es:
222 dbr
catetobcatetodhipotenusar ..
R
B
D
r
d
b
Hipotenusa
Cateto
Cateto
r = ? 6m
8m
En este caso, no se conoce la hipotenusa.
Entonces:
m
dondede
10100
:1006436)8()6(
r
r 222
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26
Ejemplo 2 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo: EJERCICIO Para cada triángulo, realice el cálculo exigido: TRIÁNGULO 30°, 60° Y 90°
x = ?
20m 12m
En este caso, no se conoce un cateto. Entonces:
16mx
22
2222
x
luegodondeDe
entonces
xx
xx
256
256:144400:
144400:)12()20(
r = ?
4m
3m
y = ?
15cm
9cm
x = ?
20m 25m
r = ?
14m
10m
En todo triángulo 30°, 60° y 90°: el cateto opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la hipotenusa. Esto es:
dr
r
formaigualDe
Entonces
aopuestocatetodhipotenusar
22
:
:
30.
d
R
B
D
r
d
90° 30°
60°
b
No olvides que: Siempre se inicia con la hipotenusa
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27
Ejemplo 1 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo: Ejemplo 2 Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo: EJERCICIO Para cada triángulo, realice los cálculos exigidos:
El triángulo es 30°, 60° y 90°, entonces:
cmxdondeDe
entonces
PitágorasAplicando
Entoncescatetox
aopuestocatetoyhipotenusam
xx
xx
y
32,17310300:
300100400
100400:
:
102
20:.
.30.20
)10()20(
22
2222
20cm
y = ?
60°
x = ?
El triángulo es 30°, 60° y 90°, entonces:
cmxdondeDe
entonces
PitágorasAplicando
rr
Entoncescatetox
aopuestocatetohipotenusar
xx
xx
3,475,18:
75,1825,625
25,625:
:
5)5,2(22
5,2:.
.305,2.
)5,2()5(
22
2222
2,5cm r = ?
30°
x = ?
40cm
y = ?
60°
x = ? 8cm
r = ?
30°
y = ? 10cm y = ?
30°
x = ?