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Volumes de Sólidos de Revolução
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Volumes de Sólidos de Revolução
1.O método do disco
2.O método da arruela
3.Aplicação
1. O método do disco
Conforme a figura a seguir, obtém-se umsólido de revolução fazendo-se uma região planarevolver em torno de uma reta. A reta é chamadaeixo de revolução.
1. O método do disco
1. O método do disco
Para deduzir uma fórmula que nos permitaachar o volume de um sólido de revolução,consideremos uma função contínua f, não-negativano intervalo [a, b]. Suponhamos a área da regiãoaproximada por n retângulos, todos com mesmalargura Dx, conforme a figura a seguir.
1. O método do disco
n → ∞
1. O método do disco
Fazendo os retângulos revolverem em tornodo eixo x, obtemos n discos circulares, cada umdos quais tem volume dado por
2( )if x x ⋅ ∆ π
O volume do sólido formado pela revoluçãoda região em torno do eixo x é aproximadamenteigual à soma dos volumes dos n discos. Além disso,tomando o limite quando n tende para o infinito,podemos ver que o volume exato é dado por umaintegral definida. Este resultado é chamado oMétodo do Disco.
1. O método do disco
O Método do Disco
O volume do sólido formado pela revolução, em tornodo eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f e peloeixo x (a ≤ x ≤ b), é
[ ]2Volume ( )
b
af x dx= ∫π
1. O método do disco
Exemplo 1: Determine o volume do sólido formadopela revolução, em torno do eixo x, da regiãodelimitada pelo gráfico de f (x) = -x2 + x e pelo eixo x.
1. O método do disco
Inicialmente fazemos um esboço da regiãodelimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x.Conforme a figura a seguir, tracemos um retângulorepresentativo cuja altura é f (x) e cuja largura é ∆x.
1. O método do disco
2Raio ( )f x x x= = − +
1. O método do disco
[ ]1 2
0Volume ( )f x dx= ∫π
( )1 22
0x x dx= − +∫π
Método do Disco
Substituir f (x)
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
( )1 4 3 2
02x x x dx= − +∫π
15 4 3
05 2 3x x x
= − +
π
unidades cúbicas0,105 30
= ≈π
Desenvolvendo o integrando
1. O método do disco
OBS: No Exemplo 1, todo o problema foi resolvidosem apelar para o esboço tridimensional mostradona figura anterior, à direita. Em geral, paraestabelecer a integral para o cálculo do volume deum sólido de revolução, é mais útil um esboçográfico da região plana do que do próprio sólido,porque o raio se torna mais visível na região plana.
2. O método da arruela
Podemos ampliar o Método do Disco paracalcular o volume de um sólido de revolução queapresente um buraco. Consideremos uma regiãodelimitada pelos gráficos de f e g, conforme afigura a seguir (lado esquerdo).
2. O método da arruela
2. O método da arruela
Se a região revolve em torno do eixo x,podemos determinar o volume do sólido resultanteaplicando o Método do Disco a f e g e subtraindoos resultados.
[ ] [ ]2 2Volume ( ) ( )
b b
a af x dx g x dx= −∫ ∫π π
Escrevendo esta expressão como uma únicaintegral, obtemos o Método da Arruela.
O Método da Arruela
Sejam f e g contínuas e não-negativas no intervalofechado [a, b]. Se g (x) ≤ f (x) para todo x no intervalo,então o volume do sólido gerado pela revolução, emtorno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos def e g (a ≤ x ≤ b), é
f (x) é o raio exterior e g (x) é o raio interior.
[ ] [ ]2 2Volume ( ) ( )
b b
a af x dx g x dx= −∫ ∫π π
2. O método da arruela
2. O método da arruela
Note que, na figura anterior (à direita), osólido de revolução tem um buraco. Além disso, oraio do buraco é g (x), o raio interior.
Exemplo 2: Calcule o volume do sólido gerado pelarevolução, em torno do eixo x, da região delimitadapelos gráficos de
2. O método da arruela
2( ) 25 e ( ) 3f x x g x= − =
conforme a figura a seguir.
2. O método da arruela
Determinemos primeiro os pontos deinterseção de f e g igualando f (x) e g (x) e resol-vendo em relação a x.
2. O método da arruela
( ) ( )f x g x=
225 3x− =
Igualar f (x) e g (x)
Substituir f (x) e g (x)
Resolver em relação a x
Elevar ambos os membros ao quadrado225 9x− =2 16x =
4x = ±
Tomando f (x) como raio exterior e g (x) comoraio interior, podemos determinar o volume dosólido como a seguir.
2. O método da arruela
Método das Arruelas
[ ] [ ]( )4 2 2
4Volume ( ) ( )f x g x dx
−= −∫π
( ) ( )24 22
425 3x dx
−
= − −
∫π
Substituir f (x) e g (x)
2. O método da arruela
( )4 2
416 x dx
−= −∫π Simplificar
43
4
163x
x−
= −
π Determinar a antiderivada
polegadas cúbicas256
268,08 3
= ≈π
3. Aplicação
Exemplo 3: De acordo com o regulamento, umabola de rugby pode ter como modelo um sólidoformado pela revolução, em torno do eixo x, dográfico de
2( ) 0,0944 3,4, 5,5 5,5f x x x= − + − ≤ ≤
conforme a figura a seguir. Utilize este modelopara determinar o volume de uma bola de rugby.(No modelo, x e y são dados em polegadas.)
3. Aplicação
OBS: Obtém-se um sólido em forma de uma bola de rugby (futebolamericano) pela revolução de um segmento de parábola em torno do eixo x.
3. Aplicação
Para determinar o volume do sólido de revolução,aplique o Método do Disco.
Método do Disco[ ]5 2
5Volume ( )f x dx
−= ∫π
( )5 22
50,0944 3,4x dx
−= − +∫π Substituir f (x)
polegadas cúbicas232 ≈
3. Aplicação
Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtidopela rotação da região limitada por y = x3, y = 8 ex = 0 ao redor do eixo y.
3. Aplicação
Como a região é girada ao redor do eixo y,faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente aoeixo y e, portanto, integrar em relação a y.
3. Aplicação
Se fatiarmos a uma altura y, obteremos umdisco circular com raio x, onde x = y1/3.
3(y)f y=
[ ]2Volume ( )
b
af y dy= ∫π
3. Aplicação
Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seuvolume é
283
0Volume )y dy = ∫π
8 821/3 2/3
0 0Volume y dy y dy = = ∫ ∫π π
885/3 5/3
00
Volume3 35 5
y y = = π π
[ ]8
0Volume
3 9632 0
5 5= − = ππ