Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

VoorwoordWat is wiskunde?Parate kennis bij aanvang van de derde graad

06/08/2015

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

VoorwoordWat is wiskunde?Parate kennis bij aanvang van de derde graad

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2013 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 6 augustus 2015

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord v

Wat is wiskunde? vii-xii

Parate kennis bij aanvang van de derde graad xiii-xxi

I Precalculus 1

II Goniometrie en precalculus 2

III Matrices

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek

XV Vectorruimten

XVI Getaltheorie

XVII Analytische meetkunde

XVIII Differentiaalvergelijkingen

XIX Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

M Computerrekenpakket Maple S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,1-4

Pr Practicum wiskunde

Ps Problem Solving wiskunde Pr,1-12

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xxii-xxvi

iii

Voorwoord

It is as if information presented to the eye and earmust first pass through the handin order really to enter the brain.

Klaus Janich, Linear Algebra, 1994 [62]

Deze cursus wiskunde is bestemd voor leerlingen van de derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierich-tingen met zes of acht wekelijkse lestijden wiskunde.

Leerlingen uit het middelbaar onderwijs krijgen heel wat wiskundige begrippen te verteren. De inhoud van de leer-stofonderdelen ligt in grote mate vast: enerzijds vanuit het leerplan - opgemaakt op basis van de eindtermen van deVlaamse overheid, anderzijds vanuit de wiskunde zelf (wiskundige correctheid, conventies en traditie). Het begrijpenvan deze inhoud hangt in grote mate af van de manier waarop die inhoud aangeboden wordt. In tegenstelling totde inhoud kent de manier waarop leerkrachten ze aanbrengen een grote vrijheid. Hierin moeten dus heel wat keuzesgemaakt worden. Net daar ligt de overtuiging van de auteur: een leerkracht kan maar met overtuiging en enthousiasmelesgeven wanneer die keuzes stroken met de visie die hij/zij heeft op het benaderen van de te geven concepten in dewiskunde.

Dit is het denkbeeld waarin deze cursus werd gescheven. Deze cursus is dus niet gebaseerd op een boek of op enkeleboeken, maar werd net ontworpen vanuit de behoefte aan een correcte, maar toch haalbare benadering van basiscon-cepten in de wiskunde, waarvan de opbouw zich op een natuurlijke wijze opdringt. Daarnaast werd bewust gekozenvoor een invulcursus, deels gemotiveerd door het bovenstaande citaat. Deze cursus heeft zeker niet de pretentie origi-neel te zijn, volledig te zijn of erger: ‘zo moet het’, maar wil laten zien: ‘misschien kan het zo ook’.

Om deze cursus optimaal te benutten volgen nu enkele praktische richtlijnen.

3 Onderlijnde woorden geven aan dat het om een definitie gaat (van die woorden).

3 Deze cursus maakt gebruik van de grafische rekenmachine TI-83 of TI-84 Plus. Alle noodzakelijke schermaf-drukken werden in de cursus opgenomen, zodat de leerling ook buiten de les aan de slag kan.

3 Elk hoofdstuk is voorzien van oefeningen, die worden onderverdeeld in drie categorieen: basis, verdieping enuitbreiding. Elk van hen heeft een moeilijkheidsgraad van 0 tot 2 sterren.

. Basisoefeningen Verwacht wordt dat de leerling - mits het begrijpen van de theorie en modelvoorbeeldenuit dat hoofdstuk, deze oefeningen tot een goed einde kan brengen.

. Verdiepingsoefeningen veronderstellen het creatief omgaan met de leerstof en en zij o.a. bedoeld voorleerlingen die een wetenschappelijke of wiskundige studierichting in het hoger onderwijs ambieren.

. Uitbreidingsoefeningen dienen om nieuwe begrippen of eigenschappen te formuleren. Hoewel zij nietnoodzakelijk zijn voor het vervolg van de cursus, horen leerlingen die denken aan studies zoals burgerlijkingenieur of burgerlijk ingenieur-architect zich ook naar zo’n oefeningen te richten.

Antwoorden op geselecteerde oefeningen zijn terug te vinden op het einde van elk deel.

3 Sommige vragen komen uit de voorgaande edities van de Vlaamse Wiskunde Olympiade of vroegere toelatings-examens. Deze oefeningen dienen opgelost te worden zonder gebruik te maken van de grafische rekenmachine.

3 Voetnoten verwijzen naar extra informatie en behoren niet tot de reguliere leerstof.

3 Het symbool geeft aan dat de digitale cursus een link voorziet naar een relevante webpagina, het icoon wijst

op een link naar een geogebra-applet. Het symbool naast een oefening is de link naar het eindantwoord van

de oefening achteraan. Een verwijzing zoals [62] verwijst naar een publicatie, opgenomen in de referentielijst.Een digitale versie van deze cursus en de referentielijst is te vinden op http://www.koendenaeghel.be .

Bij het realiseren van dit werk hoort een woord van dank. Die gaat in de eerste plaats uit naar Jean-Marc Zwaen-epoel, oudleraar aan het Onze-Lieve-Vrouwecollege Oostende. Zijn nota’s, alsook de talloze discussies die ik met hemmocht voeren, waren een grote bron van inspiratie bij het schrijven van deze cursus. Daarnaast bedank ik ook LucHeethem, gewezen leerkracht wiskunde en adjunct-directeur van het Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, voor hetter beschikking stellen van zijn cursus wiskunde, waarvan ik dankbaar gebruik gemaakt heb.

Daarnaast dank ik ook iedereen die mij op een of andere manier feedback gaf op deze cursus, in het bijzonder deleerlingen die sinds 2007 mijn lessen hebben bijgewoond. Hun opmerkingen, vragen en antwoorden waren en zijn nogsteeds welkom, bijvoorbeeld via e-mail koendenaeghel@hotmail.com .

Brugge, augustus 2015 — KDN

v

Wat is wiskunde?

The greatest wonder of the modern worldis our understanding.

Stephen Hawking, God created the integers, 2005 [59]

Men kan stellen dat wiskunde de wetenschap is die zich bezighoudt met het zoeken naar patronen en structuren.Het geheel van de wiskunde kan, vanuit historisch perspectief, onderverdeeld1 worden in vijf hoofdcategorieen.

1. Meetkunde

2. Algebra

3. Analyse

4. Discrete wiskunde

5. Toegepaste wiskunde

Ondertussen is de hoeveelheid tot op vandaag bekende wiskunde gigantisch groot geworden. De volledige kennis hiervanis voor een enkel individu een utopie. Daardoor alleen al is samenwerking tussen wiskundigen (en in het algemeenwetenschappers) een noodzaak. Men moet er zich ook van bewust zijn dat wiskunde zeker niet af is. Dagelijks wordennog nieuwe wiskundige ontdekkingen gedaan, meestal van die aard dat het voor een persoon met gemiddelde kennisjaren duurt om zo’n eigentijds probleem te begrijpen, laat staan op te lossen. Naar schatting komen er elk jaar zo’n300 000 nieuwe wiskundige ontdekkingen bij2.Toch mogen deze feiten niemand afschrikken om wiskunde te leren. Wiskunde is een boeiende wetenschap die heelwat verder reikt dan ‘het rekenen met getallen’. Wat we wel onthouden is dat nederigheid tegenover wiskunde(en wetenschap in het algemeen) op zijn plaats is.

Ter informatie volgt een korte, onvolledige beschrijving van de vijf bovenvermelde takken van de wiskunde. Uiteraardraakt men tijdens het middelbaar onderwijs slechts enkele van deze onderwerpen aan.

1. Meetkunde of geometrie is het onderdeel van de wiskunde dat zich toespitst op het zoeken van patronen enstructuren in vormen. We onderscheiden volgende deeltakken.

3 Euclidische meetkunde behoort tot de oudste onderdelen van de wiskunde. Al in het klassieke Grie-kenland (±6e eeuw v.Chr.) werden door Thales van Milete en Pythagoras van Samos de eerste stellingenbewezen, gevolgd door de Euclides geschreven ‘Elementen’, een van de meest invloedrijke boeken uit degeschiedenis. Hoewel veel van Euclides’ resultaten reeds eerder door Griekse wiskundigen waren geformu-leerd, was hij de eerste die wiskunde in een deductief systeem goot. De methode van Euclides bestond erinom uitgaande van een aantal axioma’s vele andere proposities, lemma’s en stellingen te bewijzen. Axioma’swerden gebruikt voor de wiskundige definitie van punten, rechten, krommen en vlakken. Gedurende langetijd beperkte meetkunde zich tot de studie van vlakke en ruimtelijke figuren. In het vlak kent men deonder meer driehoeksmeetkunde en de daaruit vloeiende goniometrie (het meten van hoeken en hun onder-linge relaties). De ruimtemeetkunde bestudeert rechten en vlakken in de ruimte, alsook de vijf regelmatigeveelvlakken (tetraeder, kubus, octaeder, dodecaeder, icosaeder), piramide, prisma, kegel, cilinder en bol.

Op een bol is - in tegenstel-ling tot een vlak - de somvan de hoeken van een drie-hoek meer dan 180◦.

3 Niet-Euclidische meetkunde werd onafhankelijk ontdekt door de driewiskundigen Carl Friedrich Gauss, Janos Bolyai en Nikolai Ivanovich Lo-bachevsky (hyperbolische meetkunde) ± 1830. Later voegde Bernhard Rie-mann er de elliptische meetkunde aan toe. De aanleiding hiervoor was ei-genlijk een heel praktische: de Euclidische meetkunde, zijnde de klassieke‘meetkunde van het platte vlak’, is niet op het aardoppervlak van toepas-sing; op het gekromde vlak geldt het parallellenpostulaat van Euclides niet.Op het einde van de 19e eeuw werd het begrip meetkunde totaal vernieuwddoor het ‘Erlanger Program’ van Felix Klein. Hierbij worden meetkundigestructuren begrepen in termen van transformatiegroepen. Niet-Euclidischemeetkundes blijken zeer goed bruikbaar bij de beschrijving van de ruimtevolgens de (algemene) relativiteitstheorie van Albert Einstein 1916.

1Voor een officiele onderverdeling van de wiskunde verwijzen we naar de 2010 Mathematics Subject Classification (MSC2010), terug tevinden op http://www.ams.org/msc/ .

2Sinds 1991 is het voor wetenschappers gebruikelijk om zijn of haar vondsten digitaal beschikbaar te maken op de e-print service arXiv,beschikbaar op http://xxx.lanl.gov/ .

vii

3 Differentiaalmeetkunde is een tak van de wiskunde die meetkundige problemen bestudeert aan de handvan methodes uit de calculus en lineaire algebra. Het behelst onder andere meetkundige structuren opdifferentieerbare varieteiten: vormen die lokaal op een Euclidische ruimte lijken. Het fundament voor dedifferentiaalmeetkunde werd in het begin van de 19e eeuw gelegd door Carl Friedrich Gauss. In zijn tijdwas de wiskunde nog sterk verbonden met de praktische toepassingsgebieden in cartografie, navigatie engeodesie. Daaruit ontwikkelde zich de kaartprojectie, waarvan begrippen als geodeet en gaussiaanse krom-ming stammen. Ook stelde Gauss zich al de vraag of bij het meten van een zeer grote driehoeken (tientallenkilometers) de drie hoeken werkelijk optellen tot 180 graden. Met dit onderzoek legde hij de basis voor demoderne differentiaalmeetkunde. Toepassingen daarvan vindt men in de algemene relativiteitstheorie en desatellietnavigatie.

Konigsbergen en het zevenbruggen probleem: bestaater een rondwandeling in destad zodat men elke brugprecies een keer aandoet?

3 Topologie is de meetkunde van de rekbare oppervlakken (of geleerder:de eigenschappen van de ruimte die invariant zijn onder continue deforma-ties) en bevat onder andere grafentheorie, ontstaan door de oplossing vanLeonhard Euler 1736 voor het zogenaamde zeven bruggen probleem vanKonigsbergen.

3 Analytische meetkunde is een brug tussen algebra en meetkundewaarbij een Cartesisch asssenstelsel centraal staat. In de 17e eeuwintroduceerden Rene Descartes en Pierre de Fermat zo’n rechthoekigassenstelsel waarmee meetkundige objecten konden worden beschre-ven met getallen en vergelijkingen. Gewoonlijk wordt het Cartesischcoordinatenstelsel toegepast om vergelijkingen voor vlakken, lijnen,krommen en cirkels te manipuleren, vaak in twee of drie, maar inprincipe in willekeurig veel dimensies. Veel stellingen uit de vlakke

meetkunde kunnen eenvoudig nagerekend worden met behulp van Cartesische coordinaten.

3 Algebraısche meetkunde is een brug tussen algebra en meetkunde waarbij men technieken hanteert uitde abstracte algebra. Aan de grondslag ligt de analytische meetkunde die via de klassieke projectievemeetkunde leidde tot de moderne algebraısche meetkunde, in de jaren ’50 en ’60 van de vorige eeuwontwikkeld door Alexander Grothendieck en Jean-Pierre Serre.

Fano-vlak: door elke tweepunten gaat een lijn en elketwee lijnen hebben een puntgemeen.

3 Eindige meetkunde is een meetkundig systeem dat slechts een eindigaantal punten kent. Eindige meetkundes kunnen gedefinieerd worden aande hand van vectorruimten over een eindig veld, of op puur combinatori-sche gronden. Een onderdeel is de studie van de eindige projectieve vlakken,gebaseerd op drie axioma’s: door elke twee punten gaat precies een lijn,elke twee lijnen hebben precies een punt gemeen en er bestaan vier puntenwaarvan er geen drie op eenzelfde rechte gelegen zijn. Het meest eenvou-dig voorbeeld van een eindig projectief vlak is het zogenaamde Fano-vlak,bestaande uit zeven punten en zeven lijnen. De eindige meetkunde kenttoepassingen in de cryptografie en codeertheorie.

3 Beschrijvende meetkunde , ook wel wetenschappelijk tekenen ge-noemd, is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met derepresentatie van driedimensionale objecten in twee dimensies, doorhet gebruik van specifieke procedures. De beschrijvende meetkunde is

in de 18e eeuw ontwikkeld door de Franse wiskundige en staatsman Gaspard Monge. In 19e en 20e eeuwwerd de beschrijvende meetkunde de grondslag voor het architecturaal en industrieel technisch tekenen.

2. Algebra (van het Arabische woord Al-Djabr dat hereniging, verbinding of vervollediging betekent) is dat deel

van de wiskunde dat handelt over het oplossen van vergelijkingen en het zoeken van patronen en structurenin deze oplossingen. We onderscheiden volgende gebieden.

3 Elementaire algebra , de studie van de eigenschappen van reele getallen, waarbij men symbolen (x, y,etc.) gebruikt om constanten en variabelen aan te duiden. Ook de regels die gelden voor uitdrukkingen envergelijkingen met deze symbolen worden bestudeerd. Het eerste gebruik van letters voor zowel de bekenden(coefficienten) als de onbekende grootheden (variabelen) gaat terug naar Francois Viete 1591. De betekenisvan zijn bijdrage op het punt van de algebraısche notatie mag niet worden onderschat. Dankzij een efficientemanier om wiskundige vergelijkingen op te schrijven, hoeft de wiskundige immers niet veel tijd en energiemeer te verspillen om zijn probleem te formuleren en kan hij zich beter concentreren op de oplossing ervan.Indirect heeft Viete daardoor een grote bijdrage geleverd aan de verdere ontwikkeling van de algebra in deeeuwen na hem.

viii

De symmetriegroep vande Rubiks kubus telt43.252.003.274.489.856.000permutaties. Met abstractealgebra bewees Tom Rokicki2010 [120] dat elke positiekan opgelost worden in 20of minder draaiingen.

3 Abstracte algebra is het deelgebied van de wiskunde waar men alge-braısche structuren bestudeert. Op het einde van de 19e en het beginvan de 20e eeuw was men niet langer tevreden met het vaststellen van ei-genschappen van concrete objecten. Wiskundigen verlegden hun aandachtnaar de algemene theorie. Uit de vroegere notie van symmetrie- en per-mutatiegroepen ontstond het algemeen begrip van een abstracte groep envragen over classificatie kwamen aan bod. Formele definities van primitieveoperaties en axioma’s werden voorgesteld voor vele algebraısche basisstruc-turen, zoals groepen, ringen en lichamen of velden. De grondleggers ErnstSteinitz, David Hilbert, Emil Artin, Emmy Noether, Georg Frobenius enIssai Schur hebben de abstracte algebra als het ware gedefinieerd. Dezeontwikkelingen uit het laatste kwart van de 19e eeuw en het eerste kwartvan de 20e eeuw werden systematisch uiteengezet in Bartel Leendert vander Waerden’s’ ‘Moderne algebra’, een twee-bandige monografie die werdgepubliceerd in 1930-1931. Dit werk veranderde de betekenis die de wis-kundige wereld aan het woord algebra toekende van een theorie van devergelijkingen in een theorie van algebraısche structuren.

3 Lineaire algebra houdt zich bezig met de studie van vectoren, vector-

ruimten en lineaire transformaties en functies die input-vectoren volgens bepaalde regels tot output-vectorentransformeren. De lineaire algebra omvat onder andere matrices, determinanten en stelsels van lineairevergelijkingen en staat centraal in de moderne wiskunde en haar toepassingen in onder meer natuurweten-schappen en sociale wetenschappen.

Laatste Stelling van Fermat:voor n = 3, 4, 5, . . . heeftxn + yn = zn geen oplossin-gen x, y, z ∈ Z0.

3 Getaltheorie is de tak van de algebra die de eigenschappen vangehele getallen bestudeert, mede door het oplossen van vergelijkingenover de gehele getallen (o.a. Diophantische vergelijkingen). Getaltheorieheeft toepassingen in codeertheorie en cryptografie, met als voorbeeldde zogenaamde RSA-cryptografie (of hoe priemgetallen gebruikt wordenom bijvoorbeeld veilig op internet te bankieren). De term ‘elementairegetaltheorie’ is in gebruik geraakt voor de grotere klasse van problemendie ‘gemakkelijk door leken kunnen worden begrepen’ maar daarentegenvaak erg moeilijk te kraken zijn, zoals de Laatste Stelling van Pierre deFermat 1637 die na een zoektocht van meer dan 350 jaar aangetoondwerd door wiskundige Andrew Wiles 1995 [110]. Befaamde, tot op hedenonopgeloste problemen zijn onder andere het priemtweelingvermoeden

(bestaan er oneindig veel priemtweelingen?), het vermoeden van Goldbach 1742 (kan elk even getal groterdan 2 geschreven worden als de som van twee priemgetallen?), het vermoeden dat elk perfect getal even isen het vermoeden van Collatz 1937 (ook wel het 3n+ 1 probleem genoemd).

3. Analyse is een tak van de wiskunde die ontwikkeld werd uit de rekenkunde en de meetkunde en die zich

bezighoudt met het bestuderen van functies van reele en complexe getallen.

De wiskundige analyse wordt tegenwoordig onderverdeeld in volgende klassen.

3 Reele analyse heeft betrekking op eigenschappen, afgeleiden en integralen van reele functies. Hierondervalt ook het bestuderen van continuıteit, limieten en machtreeksen van functies. Dat aspect van de analysenoemt men ‘differentiaal- en integraalrekening’ of ook wel ‘de calculus’. Een van de belangrijkste redenenom de calculus te ontwikkelen was om het zogenaamde raaklijnprobleem op te lossen, gemotiveerd uit denatuurwetenschappen, waar het beschrijven van verandering een terugkerend thema is. De ontwikkeling vanafgeleiden en integralen wordt aan Gottfried Wilhelm Leibniz en Isaac Newton toegeschreven (17e eeuw),met als voorlopers Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens en Bernoulli (16e eeuw).

Mandelbrot fractaal, naarBenoit Mandelbrot

3 Complexe analyse houdt zich bezig met functies van het complex vlaknaar zichzelf die complex differentieerbaar zijn. De grondlegger was onte-gensprekelijk de Franse wiskundige Cauchy (19e eeuw). Toepassing hiervanzijn zogenaamde fractalen: figuren die er steeds hetzelfde uitzien, ongeachthoeveel je in-of uitzoomt.

3 Analyse van differentiaalvergelijkingen behelst de studie van de relatietussen (vergelijkingen met) afgeleiden van functies en de functies zelf.

3 Functionaalanalyse bestudeert vectorruimten van functies waarin ge-bruik gemaakt wordt van onder andere Banach- en Hilbertruimten.

ix

3 Fourieranalyse , genoemd naar Joseph Fourier, heeft betrekking op Fourierreeksen en generalisatiesdaarvan. Elke periodieke functie kan - mits deze aan bepaalde voorwaarden voldoet - ontwikkeld worden inzijn Fourierreeks, een som van een (eventueel oneindig) aantal ‘standaardfuncties’. Voor het bestaan van deFourierreeks volstaat het dat de periodieke functie begrensd is. Meestal gebruikt men als standaardfunctiesde sinus- en cosinusfuncties. De coefficienten van de Fourierreeks worden bepaald met Fourieranalyse,een techniek ontwikkeld door Jean-Baptiste Joseph Fourier. Fourierreeksen kennen toepassingen in ondermeer elektrotechniek, akoestiek, optica, signaalverwerking, analyse van trillingen, digitale beeldverwerking,kwantummechanica en econometrie (economisch modelleren).

Banach-Tarskiparadox

3 Maattheorie is met de Lebesgue-integratie de theoretische basis voorde kansrekening en de integraalrekening. Zo kan dankzij de maattheoriede verwachting van een stochastische variabele worden opgevat als deintegraal van een meetbare functie. Het uitgangspunt is een rigoureuze af-bakening van het studiegebied op basis van de axiomatische verzamelingen-

leer. In de Banach-Tarskiparadox wordt duidelijk hoe een naıeve opvatting van het begrip ‘maat van eenverzameling’ wordt afgestraft. In die stelling uit de meetkunde toonden Stefan Banach en Alfred Tarski1924 aan dat een massieve driedimensionale bal in een eindig aantal verschillende (niet overlappende ofdisjuncte) deeltjes gesplitst kan worden die dan weer samengevoegd kunnen worden om twee identiekekopieen van de oorspronkelijke bal te herassembleren. Het venijn zit in het feit dat de deeltjes zelf bestaanuit verzamelingen van allemaal losse punten, met een zo ingewikkelde structuur dat ze niet meer meetbaarzijn en derhalve over het volume van de deeltjes niets valt te zeggen.

3 Niet-standaard analyse , die de hyperreele getallen en functies daarvan bestudeert en een formele definitiegeeft van oneindig kleine en oneindig grote getallen.

4. Discrete wiskunde is de studie van wiskundige patronen en structuren die au fond discreet zijn. Hiermee on-derscheidt de discrete wiskunde zich van de continue wiskunde zoals analyse. De meeste objecten die bestudeerdworden binnen de discrete wiskunde zijn aftelbare verzamelingen zoals de natuurlijke of rationale getallen.

De afgelopen decennia is de discrete wiskunde vooral opgekomen binnen de informatica omdat onderwerpen uitde discrete wiskunde en de daarbijbehorende notaties erg nuttig zijn om zaken en concepten uit te drukkenmet betrekking tot computeralgoritmes en programmeertalen. We sommen enkele onderwerpen op die onder dediscrete wiskunde vallen.

3 Logica of redeneerkunst is de wetenschap die zich bezighoudt met de formele regels van het denken.Traditioneel wordt de logica door de filosofie bestudeerd, maar zij wordt ook tot de wiskunde gerekend. Heteerste substantiele werk over logica dat overgeleverd is, werd geschreven door Aristoteles. De academischeformele logicadie wij tegenwoordig kennen, stamt af van de Griekse traditie. Sinds halverwege de 19eeeuw wordt de formele logica bestudeerd in de context van de grondslagen van de wiskunde, waar hetveelal symbolische logica genoemd wordt. In 1903 hebben Alfred North Whitehead en Bertrand Russellmet de publicatie van de ‘Principia Mathematica’ getracht om de logica formeel tot de hoeksteen van dewiskunde te ontwikkelen. Met uitzondering van het elementaire gedeelte worden deze beginselen niet meergebruikt en zijn ze grotendeels vervangen door de verzamelingenleer. In de verdere ontwikkeling van destudie van formele logica ging het onderzoek niet alleen meer over fundamentele onderwerpen. De studievan verschillende toepassingen op het gebied van de wiskunde resulteerde in de opkomst van een wiskundigelogica. De ontwikkeling van formele logica en haar implicaties voor computers behoort tot de fundamentenvan de computerwetenschap.

Cantor toonde aan dat erevenveel natuurlijke getallenzijn als positieve breuken.

3 Verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw eenvan de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft debestudering en formalisering van het begrip verzameling en ondersteuntdaarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van dewiskunde. De oorsprong van de verzamelingenleer gaat terug naar GeorgCantor 1874, dat het eerste strikt geformuleerde bewijs bevat dat er ver-schillende vormen van oneindigheid bestaan. Zo bewees hij later ook datde verzameling van de rationale getalen aftelbaar is (dat wil zeggen: zezijn op te sommen in een rij) en dat de verzameling van de reele getallenoveraftelbaar is (dat wil zeggen: ze zijn niet op te sommen in een rij). Dusde verzameling van de reele getallen bevat ‘meer’ elementen dan de ver-zameling van de rationale getallen, hoewel beiden oneindig veel elementenbevatten. Rond het einde van de 19e eeuw ontstonden er voor het eerst discussies over paradoxen binnende verzamelingenleer zoals die rond de eeuwwisseling bekend was. De meest befaamde is de zogenaamdeRussell-paradox. Dit toonde de noodzaak aan om te kiezen voor een axiomatishe aanpak van de verza-melingentheorie. De meest wijdverbreide axiomatisering in de moderne wiskunde is de Zermelo-Fraenkelverzamelingenleer 1930, al of niet met keuzeaxioma, respectievelijk ‘ZFC’ en ‘ZF’ genoemd (De ‘C’ staathier voor ‘choice’, het Engelse woord voor keuze).

x

Het vierkleurenprobleem:heb je aan vier kleurengenoeg om elke vlakke kaartin te kleuren?

3 Combinatoriek is de studie van eindige verzamelingen van objec-ten die aan gespecifieerde eigenschappen voldoen. In het bijzonderhoudt men zich bezig met het ‘tellen’ van objecten in deze verza-melingen (oplossen van telproblemen) en het bepalen of er zekere‘optimale’ objecten in een verzameling aanwezig zijn (optimaliza-tietheorie). Combinatoriek kent raakvlakken met topologie, zoalsgrafentheorie. Diepere afsplitsingen zijn speltheorie, design theorieen Ramsey theorie. De beroemdste beoefenaar hierin was ongetwij-feld de excentrieke wiskundige Paul Erdos. Een berucht resultaatbinnen de combinatoriek is het zogenaamde vierkleurenprobleem, gepo-neerd door Francis Guthrie 1853. Pas in 1976 werd hiervan een bewijs

gevonden, door Ken Appel en Wolfgang Haken, die het vierkleurenprobleem terug brachten tot een grootdoch eindig aantal (vele honderden) speciale gevallen en lieten vervolgens een computer al deze specialegevallen uitrekenen. Samen met hun trouwe IBM 370-computer hadden ze een belangrijk probleem gekraakt.Maar het applaus was schaars: ze hadden het bewijs met behulp van een computer geleverd en dit pasteniet in het klassieke straatje van een wiskundig bewijs. De wiskunde wacht nog steeds op een traditioneelbewijs.

3 Algoritmiek houdt zich bezig met de studie en ontwikkeling van algoritmen (programmeren). Eenvoorbeeld van een algoritme is het algoritme van Euclides dat de grootste gemene deler van twee natuurlijkegetallen geeft. Een formalisatie van algoritmen ontstond door David Hilbert 1928 en leidde tot Alan Turing’sTuring machines 1937: een mechanisch model van berekening en berekenbaarheid en daarmee een modelvoor een computer. Het bekendst bij het grote publiek is de Turing-test (om licht te werpen op de vraag ofeen machine menselijke intelligentie kan vertonen) en zijn betrokkenheid bij het kraken van de Enigma-code(waardoor de geallieerden tijdens de Tweede Wereldoorlog op de hoogte zijn geweest van de locaties van deonderzeeers van de Nazi-Duitsers).

Het handelsreizigerspro-bleem: de optimale routeroute voor de 15 grootstesteden van Duitsland, dekortste van 43 589 145 600mogelijke routes.

3 Operationeel onderzoek is een interdisciplinair vakgebied, gericht op detoepassing van wiskundige technieken en modellen om processen binnenorganisaties te verbeteren of te optimaliseren. Een typisch operationeelprobleem is het befaamde handelsreizigersprobleem: als er n steden ge-geven zijn die een handelsreiziger moet bezoeken, samen met de afstandtussen ieder paar van deze steden, vind dan de kortste weg die kan wordengebruikt, waarbij iedere stad precies eenmaal wordt bezocht. Het vindenvan de kortste reisweg is nog altijd onoplosbaar, maar een zeer goedeschatting is wel te maken met de huidige technieken. Het probleem iszelfs zo moeilijk oplosbaar dat men in het jaar 2000 gedurende een kortetijd, een prijs van een miljoen dollar uitschreef voor de oplossing. Hetprobleem is niet alleen academisch; het heeft talloze directe toepassin-gen in de praktijk, van het aanleggen van kabelnetten tot het bepalenvan de route van de boorkop bij het boren van gaatjes in printplaten.Operationeel onderzoek wordt onder andere ontwikkeld in bedrijfskunde,econometrie en technische wetenschappen. De meeste toepassingsgebie-den zijn te vinden in het bedrijfsleven en binnen de non-profitsector.

3 Rijen en reeksen. Een rij is een geordende lijst van getallen, gescheiden door komma’s. Een reeks iseen geordende lijst van getallen gescheiden door somtekens. Deze twee fundamentele concepten werdenrelatief laat in de geschiedenis ontwikkeld en zorgden voor heel wat verwarring. Rijen en reeksen zijn echterfundamenteel binnen de wiskundige opbouw van analyse en meerbepaald de calculus.

3 Recursievergelijkingen zijn vergelijkingen die rijen recursief definieren. Dit gebied heeft onder anderetoepassingen in de economie.

3 Informatietheorie is de wiskundige theorie die zich bezighoudt met het zo efficient en betrouwbaarmogelijk overdragen en opslaan van informatie via onbetrouwbare kanalen (media). Een in 1948 gepubliceerdartikel van Claude Shannon wordt algemeen gezien als de grondslag van dit vakgebied.

3 Complexiteitstheorie is het gebied van wetenschappelijk onderzoek dat zich bezighoudt met de vragenwelke wiskundige problemen al dan niet oplosbaar zijn en hoe efficient oplossingen voor een gegeven probleemzijn. De complexiteitstheorie is een overlapgebied van de wiskunde en de informatica. Het is ook een van deoudste pijlers waarop de informatica als vakgebied en wetenschap gebaseerd is en het is niet onredelijk omte zeggen dat de informatica uit de vraagstukken van de complexiteit ontstaan is. Het grootste openstaandeprobleem is hier het fameuze P=NP probleem.

xi

5. Toegepaste wiskunde bestudeert het gebruik van abstracte wiskundige middelen voor het oplossen van con-

crete problemen in de wetenschap en de zakenwereld. We onderscheiden de volgende gebieden.

Probleem van Chevalier deMere: heb je meer kans omin 4 worpen met een dobbel-steen minstens een keer zesgooien, of om in 24 worpenmet twee dobbelstenen min-stens een keer dubbel zes tegooien?

3 Kansrekening of stochastiek of waarschijnlijkheidsrekening is een takvan de wiskunde die zich bezighoudt met situaties waarin het toeval eenrol speelt, met als gevolg dat er geen zekerheid is over allerlei uitkomsten.Kansrekening is ontstaan vanuit de maatschappelijke behoefte om zo ef-fectief mogelijk om te gaan met onzekerheden. Een vraag van de 17deeeuwse fervente gokker Chevalier de Mere aan Blaise Pascal leidde tothet ontstaan van de kansrekening, met als voornaamste grondleggers Gi-rolamo Cardano, Blaise Pascal, Pierre de Fermat en Christiaan Huygens.Latere hoofdrolspelers waren Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre, Tho-mas Bayes en Simon Laplace. Een aanvaardbare definitie van het begripkans en een axiomatische opbouw van kansrekening liet op zich wachtentot Andrey Kolmogorov 1933. Kansrekening laat een wiskundige analysetoe van problemen waarin het toeval een belangrijke rol speelt en speeltdaarom een prominente rol in onder meer data-mining, expert systemen,probabilistische algoritmes, prestaties van netwerken, genetica, herken-nen van beelden, voorspellen van de aandeelkoersen en populatie-groei.Kernbegrippen binnen de kansrekening zijn de stochastische variabele ende direct daarmee samenhangende kansverdeling, verwachtingswaarde envariantie.

3 Statistiek is de wetenschap van het verzamelen, ordenen, analyseren, interpreteren of verklaren enpresenteren van gegevens. Binnen het vakgebied van de statistiek wordt onderscheid gemaakt tussen devolgende twee deelgebieden. Beschrijvende statistiek houdt zich bezig met het verzamelen en het bewerkenvan gegevens. De bedoeling is om op een (soms grote) hoeveelheid waarden een aantal bewerkingen toete passen zodat de resultaten overzichtelijk worden. Hierbij denken we onder andere aan het maken vaneen tabel of grafiek; het berekenen van beschrijvende maten, zoals centrummaten, spreidingsmaten enboxplot. Anderzijds heeft verklarende statistiek (ook wel inductieve, wiskundige of inferentiele statistiekgenoemd) als bedoeling om op basis van de resultaten van waarnemingen te komen tot algemene uitsprakenover het onderzochte verschijnsel. Enkele bekende methoden zijn: toetsen van hypothesen, schatten van denumerieke karakteristieken en daarmee gelinkt het bepalen van de foutenmarge en betrouwbaarheidsintervalbij een gegeven betrouwbaarheidsniveau.

Willen de resultaten van waarnemingen leiden tot waardevolle algemene uitspraken, dan zullen die waarne-mingen voldoende willekeurig moeten zijn. De kansrekening stelt ons in staat om het concept van willekeurte begrijpen. Men kan kansrekening dan ook zien als de brug tussen de beschrijvende en de verklarendestatistiek.

3 Numerieke wiskunde is het deelgebied waarin algoritmes voor problemen in de continue wiskunde be-studeerd worden (in tegenstelling tot discrete wiskunde). Dit betekent dat het vooral gaat over reele ofcomplexe variabelen, het oplossen van differentiaalvergelijkingen en andere vergelijkbare problemen die op-treden in de natuurkunde en techniek. Meestal bedoelt men met de term numerieke wiskunde de studie vande iteraties, waar men een probleem oplost door opeenvolgende benaderingen van de oplossing te bepalenuitgaande van eerste schatting. De meest bekende van deze numerieke procedures zijn de methode vanNewton-Raphson (benaderen van een nulwaarde van een functie) en de methode van Euler (oplossen vangewone differentiaalvergelijkingen met gegeven beginvoorwaarde). Grafische rekenmachines maken gebruikvan deze iteraties om bijvoorbeeld extrema, afgeleiden en integralen te berekenen.

3 Wiskundige natuurkunde is het wetenschappelijke vakgebied dat zich bezighoudt met het grensgebiedvan de wiskunde en de natuurkunde. De ontwikkeling van bepaalde onderwerpen in de natuurkunde warenvaak gelinkt met een wiskundige taal nodig om fenomenen te beschrijven en te begrijpen. Zo’n ontwik-kelingen vonden bijvoorbeeld plaats in de tweede helft van de 18de eeuw door Jean Le Rond d’Alembert,Leonhard Euler en Joseph Louis Lagrange, op het gebied van partiele differentiaalvergelijkingen, variatie-rekening, Fourieranalyse, potentiaaltheorie en vectoranalyse. De studie van de spectraallijnen en later dekwantummechanica liep parallel met de wiskundige ontwikkeling van de lineaire algebra, spectraaltheorieen functionaalanalyse. De speciale en algemene relativiteitstheorie zorgden voor de noodzaak van abstractewiskunde zoals groepentheorie, differentiaalmeetkunde en topologie. Statistische mechanica werd gelinktmet de wiskundige ergodentheorie en kansrekening. Tot op vandaag neemt het aantal interacties tussencombinatoriek en natuurkunde toe, in het bijzonder in de statistische natuurkunde.

3 Financiele wiskunde legt zich toe op het modelleren van diverse aspecten en fenomenen in de economischeen financiele wereld. Het kent toepassingen in het bank- en verzekeringswezen (interesten en annuıteiten) enop de financiele markt. Financiele wiskunde kent zijn oorsprong in 1900 toen Louis Bachelier de Brownsebeweging (een natuurkundig verschijnsel waarbij deeltjes een onregelmatige eigen beweging vertonen envolgens een toevallig aandoend patroon in alle richtingen weg kunnen schieten) toepaste op de beurs.

xii

Parate kennisbij aanvang van de derde graad

The true mathematician is not a juggler of numbers,but a juggler of concepts.

Ian Stewart , Concepts of modern mathematics, 1975 [97]

Bij aanvang van de derde graad veronderstellen we dat je de volgende leerstof paraat kent, zodat je op elk momentberoep kunt doen op deze definities, notaties, afspraken, formules, eigenschappen en werkwijzen.

Verzamelingen

3 Een verzameling is een collectie van objecten, die we de elementen van die verzameling noemen. We kennen tweemanieren om een verzameling te beschrijven.

. Opsomming. Je somt de elementen van de verzameling op, het geheel wordt tussen accolades geplaatst.Hierbij speelt de volgorde van opsommen geen rol.

Voorbeeld 1. De verzameling van klinkers van het alfabet is {a, e, i, o, u}.Merk op dat deze verzameling gelijk is aan de verzameling {e, a, i, o, u}.

Voorbeeld 2. De verzameling van alle natuurlijke getallen is N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Expliciet. Je beschrijft de elementen aan de hand van de eigenschap(pen) die deze elementen vastleggen.

Voorbeeld 1. De verzameling van klinkers van het alfabet is {� | � is een klinker van het alfabet}.Voorbeeld 2. De verzameling van Belgen jonger dan 17 jaar is {B | B is Belg en leeftijd B < 17}.

We stellen een verzameling schematisch voor aan de hand van een Venndiagram3.

Voorbeeld. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt als volgt voorgesteld:

N012. . .

3 De verzameling die geen enkel element bevat noemt men de lege verzameling, die we noteren met {} of met ∅.Voorbeeld. {P | P is een vrouw die de president van de Verenigde Staten is geweest} = ∅

3 Is a een element van een verzameling A, dan schrijven we a ∈ A. In het andere geval noteren we a /∈ A.Is elk element van een verzamelingB ook een element van een verzamelingA, dan noemen weB een deelverzamelingvan A en we schrijven B ⊂ A. In het andere geval noteren we B 6⊂ A.

In symbolen:

B ⊂ A ⇔ ∀b ∈ B : b ∈ A (lees als: voor alle elementen b van B geldt b is een element van A)

B 6⊂ A ⇔ ∃b ∈ B : b /∈ A (lees als: er bestaat een element b van B waarvoor geldt b is geen element van A)

Voorbeeld. De verzameling van alle natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van alle gehelegetallen. In symbolen: N ⊂ Z.Schematisch:

N012. . .

Z

−1−2. . .

3Genoemd naar John Venn 1880. Gelijkaardige diagrammen werden eerder gebruikt door Leonhard Euler 18de eeuw, GottfriedWillhelm Leibniz 17de eeuw en Ramon Llull 13de eeuw.

xiii

3 Voor twee verzamelingen A en B kennen we de volgende bewerkingen:

. De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die zowel tot A als tot B behoren.

In symbolen:

A ∩B = {x | x ∈ A en x ∈ B}Schematisch:

A ∩B

A B

. De unie van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren.

In symbolen:

A ∪B = {x | x ∈ A of x ∈ B}Schematisch:

A ∪B

A B

. Het verschil van A met B is de verzameling van alle elementen die wel tot A maar niet tot B behoren.

In symbolen:

A\B = {x | x ∈ A en x /∈ B}Schematisch:

A\B

A B

Algebraısch rekenen

3 We kennen de volgende merkwaardige producten4, die we eenvoudig bewijzen door uitwerking:

voor a, b ∈ R geldt

(a+ b)(a− b) = a2 − ab+ ba− b2 = a2 − b2 zodat (a+ b)(a− b) = a2 − b2

(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = a2 + ab+ ba+ b2 = a2 + 2ab+ b2 zodat (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = (a− b)(a− b) = a2 − ab− ba+ b2 = a2 − 2ab+ b2 zodat (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

Analoog toont men voor a, b ∈ R aan dat:

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)

3 Een eerstegraadsvergelijking is van de vorm ax + b = 0 met a, b ∈ R en a 6= 0. Een eerstegraadsvergelijkinglossen we op door de onbekende x af te zonderen.

Voorbeeld. We lossen de eerstegraadsvergelijking −19x+ 8 = 0 op.

−19x+ 8 = 0 ⇔ −19x = −8

⇔ x =8

19= 0, 4210 . . .

De oplossingenverzameling noteren we met V of OplV. Hier is OplV =

{8

19

}.

4Naast het feit dat de uitwerking van deze producten een eenvoudige en/of symmetrische vorm kent, is er helelaal niets merkwaardigaan. In dat opzicht is de benaming ‘merkwaardig’ dan ook wat ongelukkig gekozen.

xiv

3 Een tweedegraadsvergelijking is van de vorm ax2 + bx+ c = 0 met a, b, c ∈ R en a 6= 0. De algemene werkwijze

om een tweedegraadsvergelijking op te lossen is door de discriminant D = b2 − 4ac te berekenen, in het geval

D ≥ 0 worden de oplossingen gegeven door x =−b±

√D

2a.

Voorbeeld. We lossen de tweedegraadsvergelijking −3x2 + 9x+ 15 = 0 op.

−3x2 + 9x+ 15 = 0 ⇔ − x2 + 3x+ 5 = 0

D = 32 − 4 · (−1) · 5 = 29

⇔ x =−3±

√29

−2

⇔ x =3−√

29

2of x =

3 +√

29

2

zodat OplV =

{3−√

29

2,

3 +√

29

2

}.

Analytische meetkunde op een rechte

3 Een getallenas is een rechte, voorzien van twee verschillende punten waar de getallen 0 en 1 bij geplaatst worden.De afstand tussen 0 en 1 noemen we de lengte-eenheid (of ijk). Het is een afspraak dat er bij elk punt van degetallenas juist een reeel getal hoort. De verzameling van alle reele getallen noteren we met R.

R−1 0 1 2 3 4

√2

π1/2

3 De absolute waarde van een (reeel) getal x is de afstand tussen de punten 0 en x op de getallenas. Die afstandnoteren we met |x|. Zo is bijvoorbeeld |3| = 3 terwijl |−2| = 2 = −(−2).

We kunnen twee gevallen onderscheiden:

als x ≥ 0

R0 1 x

|x| = x

als x < 0

R0 1x

|x| = −x

In het algemeen geldt dus:

|x| ={

x als x ≥ 0−x als x < 0

Meer algemeen: de afstand tussen twee punten x en y op de getallenas is de absolute waarde van hun verschil.

R0 1 x y

|x− y|3 Zij a en b twee getallen met a < b.

. Het open interval ]a, b[ is de verzameling van alle getallen tussen a en b.

In symbolen:]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b}

Voorstelling op een getallenas:

R0 1 a b

]a, b[

xv

. Het halfopen interval [a, b[ is de verzameling van alle getallen tussen a en b, samen met a.Analoog voor halfopen interval ]a, b].

In symbolen:[a, b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b} en ]a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

Voorstelling op een getallenas:

R0 1 a b

[a, b[

. Het gesloten interval [a, b] is de verzameling van alle getallen tussen a en b, samen met a.

In symbolen:[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

Voorstelling op een getallenas:

R0 1 a b

[a, b]

Voor zo’n open, halfopen en gesloten interval noemen we a en b de randpunten van dat interval.

Een bijzonder interval wordt op de volgende manier gevormd: de afstand |x| is kleiner dan een positief getal cals en slechts als x gelegen is tussen −c en c.

In symbolen:

|x| < c ⇔ −c < x < c ⇔ x ∈ ]−c, c[Voorstelling op een getallenas:

R0 1 x

|x| < c

−c c

Analytische meetkunde in een vlak

3 Een orthogonaal assenstelsel (of Cartesisch of Cartesiaans5 assenstelsel)bestaat uit twee getallenassen die loodrecht op elkaar staan, de x-as ende y-as. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O. Elk puntP in het vlak is uniek bepaald door een koppel reele getallen (a, b). Wenoemen a en b de (Cartesische) coordinaten van P , waarbij a staat voorde abscis en b voor de ordinaat van P .

We noteren P (a, b) of co(P ) = (a, b).

y

xO 1

1

P (a, b)

a

b

3 De vergelijking van een rechte r is

y

xO

q+1

+m

r

r : y = mx+ q

als r niet evenwijdig is met de y-as:

we noemen m de rico van de rechte r

voor de hellingshoek α geldt tanα = m

of

α

y

xO p

r

r : x = p

als r evenwijdig is met de y-as:

de rico van een verticale rechte is onbepaald

voor de hellingshoek α geldt α = 90◦

α

We kunnen de vergelijking van een rechte r altijd schrijven in de (standaard)vorm r : ax+ by = c .

5Genoemd naar Rene Descartes 1637. De gelatiniseerde naam voor Rene Descartes was ‘Renatus Cartesius’, vandaar de term‘Cartesisch’.

xvi

y

xO

x2 − x1

A

x1

y1

B

x2

y2

y2 − y1

r3 De rico (voluit richtingscoefficient) van de rechte r door de puntenA(x1, y1) en B(x2, y2) is:

m =y2 − y1x2 − x1

(als x2 6= x1)

Meetkundige betekenis. De rico is de verticale toename gedeeld door dehorizontale toename.

3 De vergelijking van de rechte r met rico m en door het punt A(x1, y1) is:

r : y − y1 = m(x− x1)

3 Voor twee rechten r1 en r2 geldt: r1 // r2 ⇔ rico r1 = rico r2 en r1 ⊥ r2 ⇔ rico r1 · rico r2 = −1

3 Voor twee punten A(x1, y1) en B(x2, y2) en het midden M(k, l) van hetlijnstuk [AB] geldt volgens de stelling van Thales:

k − x1x2 − x1

=|AM ||AB| ⇒ k − x1 =

1

2· (x2 − x1)

⇒ k =1

2(x1 + x2)

en analoog voor de y-coordinaat van M , zodat de coordinaten van hetmidden M van het lijnstuk [AB] gegeven worden door:

M

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

)

y

xO

A

x1

y1

B

x2

y2

Ml

k

//

//

3 Voor twee punten A(x1, y1) en B(x2, y2) geldt volgens de stelling vanPythagoras:

|AB|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2

zodat de afstand tussen die twee punten gelijk is aan:

|AB| =√

(x2 − x1)2

+ (y2 − y1)2

In plaats van |AB| noteert6 men ook wel d(A,B).

y

xO

|x2 − x1|A

x1

y1

B

x2

y2

|y2 − y1|

3 De cirkel met middelpunt M(a, b) en straal r noteren we met C(M, r).Uit de formule voor de afstand tussen twee punten volgt:

P (x, y) ∈ C(M, r) ⇔ |PM | = r

⇔√

(x− a)2 + (y − b)2 = r

⇔ (x− a)2 + (y − b)2 = r2

zodat de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal rgegeven wordt door:

C(M, r) : (x− a)2 + (y − b)2 = r2

y

xO

Mb

a

C(M, r)

r P

3 De afstand van een punt P (x1, y1) tot een rechte r : ax+ by = c is gelijkaan:

d(P, r) =|ax1 + by1 − c|√

a2 + b2

y

xO

P

x1

y1

d(P, r)||

r

6De letter d is afkomstig van het woord ‘distance’, de Engelse term voor afstand.

xvii

3 De vergelijking van een parabool P is

P : y = ax2 + bx+ c

Voor wat de vorm van deze meetkundige figuur betreft zijn er twee mogelijkheden:

a > 0

dalparabool

P

of a < 0

bergparabool

P

De ligging van de x-as wordt bepaald door de oplossingen van de tweedegraadsveelterm ax2 + bx + c = 0. Dievinden we door de discriminant D = b2 − 4ac te berekenen. We onderscheiden:

a > 0

dalparabool

P

of

D > 0

twee nulwaarden

x1,2 =−b±

√D

2a xx1 x2

a < 0

bergparabool

P

x

x1 x2

of

PD = 0

een nulwaarde

x1,2 =−b±

√D

2a= − b

2a

xx1 = x2

P

x

x1 = x2

of

PD < 0

geen nulwaarden

x

P

x

xviii

Driehoeksmeetkunde en goniometrie

3 Voor een driehoek met hoekpunten A, B en C (kortweg∆ABC) hanteren we de volgende notaties:

a = |BC| met overstaande hoek α = A

b = |CA| met overstaande hoek β = B

c = |AB| met overstaande hoek γ = C

A B

C

c

ab

αβ

γ

3 Stelling van Pythagoras7. Gegeven een driehoek ABC. Dan geldt:

∆ABC is rechthoekig in A ⇔ a2 = b2 + c2

3 Goniometrische getallen van scherpe hoeken. In een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek α zijnde goniometrische getallen van β per definitie:

sinβdef=

overstaande rechthoekszijde

schuine zijde=b

a

cosβdef=

aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde=c

a

tanβdef=

overstaande rechthoekszijde

aanliggende rechthoekszijde=b

c

zodat wegens de stelling van Pythagoras geldt:

sin2 β + cos2 β =b2

a2+c2

a2=a2

a2= 1

A B

C

||

c

ab

β

3 Oppervlakte van een driehoek. In een driehoek ABC is de opper-

vlakte gelijk aan1

2basis× hoogte, waaruit we vinden8

Opp. ∆ABC =1

2c · b sinα

A B

C

c

b

α ||

b sinα

3 Sinusregel. Passen we de vorige formule voor de oppervlakte van een driehoek toe op de andere hoeken β enγ, dan vinden we:

Opp. ∆ABC =1

2c · b sinα =

1

2a · c sinβ =

1

2b · a sin γ

waaruit de zogenaamde sinusregel volgt:

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ

7Toegeschreven aan Pythagoras van Samos (±570 v.Chr.-±495 v. Chr.), doch al eerder toegepast in Soemerie, Babylonie en hetoude Egypte.

8Deze redenering gaat enkel op voor driehoeken ABC waarvoor α een scherpe hoek is. Indien α een stompe hoek is, bewijst men dezeformule aan de hand van een analoge redenering en met behulp van het verband sin(180◦ − α) = sinα.

xix

3 Cosinusregel9. In een driehoek10 ABC kan a opgevat worden als de schuine zijde van een rechthoekige driehoekmet zijden (c− b cosα) en b sinα, waaruit volgt:

a2 = (c− b cosα)2 + (b sinα)2

= c2 − 2bc cosα+ b2 cos2 α+ b2 sin2 α

= b2 + c2 − 2bc cosα

Analoog vinden wij soortgelijke formules voor de andere hoeken βen γ, wat leidt tot de zogenaamde cosinusregel:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = c2 + a2 − 2ca cosβ

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

A B

C

c

ab

α ||

b sinα

b cosα c− b cosα

3 Goniometrische getallen van willekeurige hoeken. Elke hoek α is voor te stellen op de zogenaamdegoniometrische cirkel: de cirkel C(O, 1) met middelpunt de oorsprong O en straal 1. Bij elke hoek α hoort hetzogenaamd beeldpunt: het punt Eα op de cirkel C(O, 1).

Per definitie is:

sinαdef= de y-coordinaat van Eα

cosαdef= de x-coordinaat van Eα

tanαdef=

sinα

cosα

In het geval dat α een scherpe hoek is, komen deze definities overeen metde goniometrische getallen van scherpe hoeken.

y

x1

1EαC(O, 1)

α

cosα

sinαtanα

x = 1

3 Goniometrische getallen van enkele veelvoorkomende scherpe hoeken. We kennen de volgende tabel:

α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sinα 01

2

√2

2

√3

21

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20

tanα 01√3

1√

3 |

3 Grondformule van de goniometrie. Voor een hoek α ligt het beeldpunt Eα op de goniometrische cirkel.Bijgevolg voldoen de coordinaten van Eα aan de vergelijking van die cirkel:

Eα ∈ C(O, 1) ⇒ co(Eα) = (cosα, sinα) voldoet aan de vergelijking van de cirkel C(O, 1) : x2 + y2 = 1

⇒ (cosα)2 + (sinα)2 = 1

⇒ sin2 α+ cos2 α = 1

Deze formule noemt men de grondformule van de goniometrie.

Beide leden van de grondformule delen door cos2 α levert:

1 + tan2 α =1

cos2 α

Beide leden van de grondformule delen door sin2 α geeft:

cot2 α+ 1 =1

sin2 αwaarbij cotα

def=

cosα

sinα

9De cosinusregel a2 = b2 + c2 − 2bc cosα wordt opgevat als een uitbreiding van de stelling van Pythagoras a2 = b2 + c2 (in eenrechthoekige driehoek) naar een willekeurige driehoek, waarbij de formule a2 = b2 + c2 nu gecorrigeerd wordt met de term −2bc cosα.

10Deze redenering gaat enkel op voor driehoeken ABC waarvoor α een scherpe hoek is. Indien α een stompe hoek is, bewijst men dezeformule aan de hand van een analoge redenering en met behulp van het verband cos(180◦ − α) = − cosα.

xx

Algebra

3 Een (reele) veelterm (of polynoom) in de variabele x is van de vorm

A(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n waarbij n ∈ N en a0, a1, a2, . . . , an ∈ R

Als an 6= 0 noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = grA(x).

3 Euclidische11 deling. Gegeven twee veeltermen A(x) en B(x) waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat er precies eenveelterm Q(x) en een veelterm R(x) zodat:

A(x) = Q(x) ·B(x) +R(x) en waarvoor grR(x) < grB(x) of R(x) = 0

We noemen Q(x) het quotient en R(x) de rest. Als R(x) = 0 dan zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x).

3 Reststelling. De rest bij deling van een veelterm A(x) door x− a is gelijk aan A(a).

Voorbeeld. Delen we A(x) = x4 − 3x3 + 7x2 − x− 18 door x− 3, dan is de rest gelijk aan

A(3) = 34 − 3 · 33 + 7 · 32 − 3− 18 = 42

Berekenen we A(2), dan vinden we

A(2) = 24 − 3 · 23 + 7 · 22 − 2− 18 = 0

waaruit blijkt dat de rest bij deling van A(x) door x − 2 gelijk is aan 0. Dus A(x) is deelbaar door x − 2. Deredenering die we net gemaakt hebben noemen we het

3 Kenmerk van deelbaarheid door x− a.Een veelterm A(x) is deelbaar door x− a als en slechts als A(a) = 0.

3 Staartdeling. Te gebruiken bij deling van twee veeltermen.

Voorbeeld. De deling van A(x) = 4x5− 2x4− 3x2− 2x+ 2 door B(x) = 2x3 +x− 1 door middel van staartdelingverloopt als volgt:

4x5 −2x4 −3x2 +2x +2 2x3 + x− 1

±4x5 ±2x3 ∓2x2 2x2 − x− 1

−2x4 −2x3 −x2 +2x +2∓2x4 ∓x2 ±x

−2x3 +x +2∓2x3 ∓x ±1

+2x +1

waaruit4x5 − 2x4 − 3x2 + 2x+ 2︸ ︷︷ ︸

A(x)

= (2x2 − x− 1︸ ︷︷ ︸Q(x)

) · (2x3 + x− 1︸ ︷︷ ︸B(x)

) + 2x+ 1︸ ︷︷ ︸R(x)

3 Schema van Horner12. Te gebruiken bij deling van een veelterm door x− a.

Voorbeeld. De deling van A(x) = x5 − 2x4 − 3x3 − 2x+ 31 door B(x) = x− 2 door middel van het schema vanHorner verloopt als volgt:

1 −2 −3 0 −2 312 ↓ 2 0 −6 −12 −28

1 0 −3 −6 −14 3

waaruitx5 − 2x4 − 3x3 − 2x+ 31︸ ︷︷ ︸

A(x)

= (x4 − 3x2 − 6x− 14︸ ︷︷ ︸Q(x)

) · (x− 2︸ ︷︷ ︸B(x)

) + 3︸︷︷︸R(x)

11Genaamd naar Euclides van Alexandrie ±300 v.Chr..12 De verwijzing naar William George Horner die deze methode beschreef in 1819, is vooral in de Lage Landen gangbaar. Internationaal

hanteert men eerder de benaming ‘Ruffini’s rule’, naar Paolo Ruffini 1809, of ‘synthetic division’. Deze regel was reeds bekend bij IsaacNewton 1669. Het eerste gebruik van het schema van Horner dateert van Liu Hui in de derde eeuw.

xxi

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[6] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[7] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[8] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[9] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[10] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2000.

[11] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[12] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[13] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[14] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, (2014) 360 pagina’s.

[15] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007).

[16] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

[17] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3 (2014), 4-15.

[18] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[19] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[20] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.

[21] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002.

[22] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002.

[23] H.G. Dehling, J.N. Kalma Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, 2005.

[24] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9 (2006).

[25] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand onlinepublishing Lulu.com (2012) 110 pagina’s.

[26] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demandonline publishing Lulu.com (2013) 188 pagina’s.

xxii

[27] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, 15 augustus 2013(aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[28] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1 (2014), 2-7.

[29] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014.

[30] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014.

[31] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[32] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[33] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[34] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[35] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49 (2007).

[36] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge.

[37] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

[38] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[39] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[40] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[41] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.

[42] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[43] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[44] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[45] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

[46] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn)(2006).

[47] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[48] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[49] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[50] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[51] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[52] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[53] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[54] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[55] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[56] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[57] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[58] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

xxiii

[59] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005.

[60] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[61] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990.

[62] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[63] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[64] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[65] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[66] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

[67] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[68] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

[69] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[70] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

[71] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN978-90-357-1800-5, 2011.

[72] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[73] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[74] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[75] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[76] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015.

[77] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[78] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002.

[79] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005.

[80] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[81] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86 (1993), pp. 161-163.

[82] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.

[83] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[84] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[85] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.

[86] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[87] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[88] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010.

[89] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[90] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[91] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[92] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[93] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938.

[94] N.J. Schons en C. De Cock, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962.

xxiv

[95] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[96] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[97] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[98] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[99] K. Sydsæter, P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[100] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[101] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[102] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[103] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[104] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn , Mechelen, 2014.

[105] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[106] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997.

[107] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

[108] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

[109] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[110] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 443-551.

[111] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[112] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[113] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

[114] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[115] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[116] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/ .

[117] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[118] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[119] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[120] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[121] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[122] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[123] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/ .

[124] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[125] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[126] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[127] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[128] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/ .

[129] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ .

xxv

[130] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[131] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[132] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[133] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[134] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[135] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxvi

c© 2013 Koen De Naeghelroyalty percentage: 0%

0610987813269

ISBN 978-1-326-06109-890000

Wiskunde In zicht is een cursus wiskunde bestemd voor leerlingen vande derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen metzes of acht wekelijkse lestijden wiskunde. Het werd ontworpen vanuit debehoefte aan een natuurlijke en correcte, maar toch haalbare benaderingvan basisconcepten in de wiskunde. Er werd bewust gekozen voor

3 een invulcursus, zodat de leerling ervaart hoe bepaalde oplossingsme-thoden opgebouwd worden, terwijl de leerkracht nog voldoende vrijheidheeft die methoden op zijn of haar eigen manier aan te brengen;

3 differentiatie door de oefeningen in verschillende niveaus op te delen,zodat de leerling zelfstandig kan werken, afgestemd op eigen niveau enwerktempo (Deel Portfolio wiskunde);

3 ontwikkelen van vaardigheden en attitudes waarbij getracht werdde kwaliteit van de wiskunde te respecteren (Deel Problem Solvingwiskunde, Deel Practicum wiskunde, Deel GeoGebra en Deel Maple).