Vorlesung 25:

22 Januar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1

Vorlesung 25:

Roter Faden:

Heute: Relativistische Dynamik

Versuche: Messung der Lichtgeschwindigkeit, Film


Zum Mitnehmen

Ein ruhender Beobachter sieht in einem bewegtenBezugssystem, dass

Längen um einen Faktor kürzer erscheinen (Längenkontraktion oder „bewegte Stäbe sind kürzer“)

Zeitmessungen um einen Faktor gedehnt werden(Zeitdilatation oder “bewegte Uhren gehen langsamer“)

= 1/(1-2) wird gleich 1, wenn = v/c gleich 0 wird,d.h. relativistische Effekte werden wichtig für 1Dann geht .


Bisher ändert sich alles in bewegten Systemen:L‘ = L/ t’ = t m’ = m. Gibt es LorentzinvarianteGrößen, d.h. Größen die in jedem Inertialsystem gleich sind?Antwort: ja, Abstand die Licht ablegt und Ruhemasse.Dies kann man im 4-dimensionalen Orts-Zeit Raum als Lorentzinvariante Längen der Vierervektoren X=(x,y,z,ict) und P=(px,py,pz,imc2) definieren. Länge von X: -L2=X.X=x2+y2+z2-c2t2 Lorentzinvariant, weil c und damit x=ct in jedem Inertialsystem gleich ist(x2-ct2=x’2-ct’2 wie man leicht aus Lorentzgleichungen sieht)P=cmdX/dt und hat Länge –c4m0

2=P.P=c2(px2+py

2+pz2-m2c2).

Ruhemasse ist Lorentzinvariant und es gilt: E2=m2c4=p2c2+m0

2c4 oder kurz (c=1) E2=p2+m2E pc

m0c2

Lorentzinvariante Größen

(Herleitung nachher)


Minkowski Raum-Zeit Diagramme

y

x

ict

x

x’

ict’y’

v

Euklidischer Raum unabh. von Zeit

MinkowskiRaum-ZeitDiagramm

Bewegungen im Mink. Raum heissen Weltlinien.

Weltlinie von O, d.h. x=0,entspricht ict Achse.

Weltlinie von O’, d.h. x’=0,entspricht ict’ Achse.Steigung ct/x=c/v=1/

x’ Achse entsprichtt’=(t-vx/c2)=0. Steigungct/x=v/c= .

O O’

ict

xO

Zukunft

Vergangenheit

anderswo


Längenkontraktion im Minkowski Raum

ict

x

x’

A

ict‘

x2-c2t2=1

O

A’ B


Zeitdilatation im Minkowski Raum

ict

x

x’

t’2

A=A’t1

B

x0

B’t2

t’1

ict‘


Addition von Geschwindigkeiten


E P

Abstand Erde-Planet: 8 Lichtjahre. A bleibt auf der Erde, B reist mit Geschwindigkeit v0=0,8c zum Planeten und zurückSie schicken sich jeden Geburtstag einen Laserpuls.

Wie alt sind die Zwillingsbrüder bei der Rückkehr von B?

Man muss die relativistische Dopplerverschiebungberücksichtigen: f’=f0√(1-v/c)/(1+v/c)=1/3f0 auf der Hinreise und3f0 auf der Rückreise. Denn der Laserpuls muss den Abstand ’=cT’+vT’ ablegen um B zu erreichen, wobei T’=T diedilatierte Zeit eines Jahres ist. Daher f’ = c/’ = c/[(c+v) T] = f0 √(1-v/c)/(1+v/c)

Zwillings-Paradoxon


Aus der Sicht von B: L‘=L/=8/(5/3) und t‘=L‘/v=6 J hin und 6 J zurück. Er empfängt auf der Hinreise 1/3 Signale pro J, d.h.2 Signale und 3 Signale/J auf der Rückreise, d.h. 18 Signale.Der Bruder ist also bei der Rückkehr 20 Jahre älter, er nur 6 J. Aus der Sicht von A:B reist t= L/v = 8/0,8= 10 Jahre hin und 10 Jahre zurück.A kann nur wissen, dass B umgekehrt ist, wenn er die erhöhteFrequenz beobachtet. Das dauert bei L=8Lj 8 Jahre, d.h. Abeobachtet 18 J die 1/3 Signale pro Jahr, insgesamt 6 Signale.Dann noch 2 Jahre 3 Signale pro Jahr bis B zurück ist, also6 Signale. A hat beim Rückkehr also 6+6=12 GeburtstageFür B gezählt, weil er selbst 20 Jahre älter geworden ist.Beide sind sich also einig, dass Reisen jung hält!Das unterschiedliche Alter kommt durch die endlicheLichtgewschwindigkeit zu stande, die die Zählung der Geburtstage“verfälscht”.

Zwillings-Paradoxon


Zwillings-Paradoxon


Zwillings-Paradoxon


Masse in bewegten Systemen


Relativistische Impuls und Energie

Auswendig kennen:

E=mc2=m0c2=Ek+m0c2

p=mv=v/c=p/E=E/m0c2


Energie kann in Materie umgewandelt werden

oder E=mc2

Otto Hahn 1939:Bei Uranspaltung verschwindet Masse und wird Energie freigesetztEs gilt: E=mc2 wie von Einsteinvorhergesagt.


Bestimmungen der Lichtgeschwindigkeit


Versuch: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit


Anwendung Vierervektoren


Zum Mitnehmen

Auswendig kennen:

E=mc2=m0c2=Ek+m0c2

p=mv

=v/c=p/E

=E/m0c2

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