Vorlesung 27.11.2006

Wahrscheinlichkeiten und ihre Berechnung

Erinnerung: Laplace-Wahrscheinlichkeit

Der Ergebnisraum besteht aus endlich vielen Versuchsausgängen, die sämtlich gleichberechtigt sind.

Jedes Elementarereignis hat die Eintrittswahrscheinlich- keit :

P(Elementarereignis) = 1

Beispiel: Geburtstagsproblem

In einem Studentenheim ist es üblich, dass jede Studentin / jeder Student an ihrem / seinem Geburtstag alle Mitbewohnerinnen und Mitbewohner zu einer Geburtstagsfeier einlädt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als eine Feier stattfindet?

Übertragung in die Sprache der Stochastik ( = mathematische Modellierung):

Bedingungen des Experiments: Zur Vereinfachung nehmen wir an (= setzen wir für unser Experiment fest):

- Unser Kalender kennt keine Schalttage. - Alle Tage des Jahres haben „die gleiche Chance“, als Geburtstag aufzutreten:

Kein Tag des Jahres soll besonders „begünstigt“ oder „benachteiligt“ sein. (Personen, die am 29. Februar Geburtstag haben, werden deshalb in unserer Untersuchung nicht berücksichtigt). Jeder Tag kommt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit als Geburtstag für eine Person in Frage.

Zufälliges Experiment:

Für eine (willkürlich ausgewählte) Gruppe von n Personen sind die Geburtstage zu ermitteln und der Reihe nach aufzunotieren.

Stochastisches Modell:

Ergebnisraum = Menge aller Anordnungen von n Tagen aus den insgesamt 365 Tagen des Jahres

Aus unseren Versuchsbedingungen folgt: Jede einzelne mögliche n-Tage-Anordnung hat die gleiche „Chance“ aufzutreten.

Laplace-Modell

Das uns interessierende Ereignis:

Ereignis A: „Mindestens zwei Feiern finden am gleichen Tag statt.“

A = Menge aller Elementarereignisse aus , in denen mindestens zwei gleiche Tage auftreten

Nutzung des Laplace-Modells zur Berechnung der Eintritts-wahrscheinlichkeit für A:

P(A) = AusgängemöglichenallerAnzahl

AfürAusgängegünstigenderAnzahl

Anzahl der für A günstigen Ausgänge?

sehr viel einfacher abzuzählen sind die Ausgänge des Gegenereignisses:

= – A = Menge aller Elementarereignisse aus , in denen alle n Tage verschieden sind

Anzahl der für günstigen Ausgänge:

(Auswahl von n verschiedenen Tagen aus den insgesamt 365 Tagen)

P( ) =

A

)!365(

!365))1(365(...364365

nn

A n

n

365

))1(365(...364365

A

Und damit:

P(A) = , falls 0< n 365.

(Für A sind alle diejenigen Versuchsausgänge aus günstig, die für ungünstig sind.)

Falls n > 365 ist, gilt natürlich P(A) = 1.

Veranschaulichung?

n

n 365 364 ... (365 (n 1))

365

365

A

Wie hängt der Wert von P(A) von der zu Grunde gelegten Anzahl n der Merkmalsträger ab?

Bereits für n=50 liegt die Wahrscheinlichkeit von Mehrfach-Geburtstagen bei mehr als 0,95.

P(A) = n

n 365 364 ... (365 (n 1))

365

365

Beispiel:

In einem Strumpf befinden sich 10 Spielmünzen: 5 gelbe und 5 blaue.

Claudia und Eric verabreden folgendes Spiel: Wer dran ist, darf 3x eine Münze ziehen.

Ist die 3. gezogene Münze blau, so darf sich der Glückspilz einen Bonbon nehmen.

Claudia entscheidet sich, die gezogene Münze vor jedem neuen Griff in den Strumpf vorher wieder zurückzulegen.

Eric legt seine gezogenen Münzen nicht zwischendurch wieder zurück in den Strumpf.

Wer von den beiden hat die erfolgreichere Strategie?

Übertragen in die Sprache der Stochastik:

Zufallsversuch „3x Münze ziehen“

Elementarereignisse: „Ketten“ von 3 Farben

Zu den Elementarereignissen gehört also zum Beispiel der Versuchsausgang (blau, blau, gelb) oder der Versuchsausgang (gelb, gelb, gelb) oder ….

(f1 , f2 , f3) , wobei f1 = erste gezogene Farbe, f2 = zweite gezogene Farbe, f3 = dritte gezogene Farbe.

Interessierendes zufälliges Ereignis E:

„3. gezogene Münze ist blau.“

E = Menge aller Versuchsausgänge (f1,f2,f3) mit der Eigenschaft f3 = blau

Achtung: jetzt kommen die unterschiedlichen Strategien von Claudia und Eric ins Spiel!

Claudias Strategie: Ziehen mit Zurücklegen

Vor dem 1. Ziehen, vor dem 2. Ziehen, vor dem 3. Ziehen, nach dem 3. Ziehen

Erics Strategie: Ziehen ohne Zurücklegen

Vor dem 1. Ziehen, vor dem 2. Ziehen, vor dem 3. Ziehen, nach dem 3. Ziehen

Zum Beispiel

Bei jedem Ziehen ändern sich die Versuchsbedingungen für das nächste Ziehen.

Welche Strategie ist die bessere?

Für beide Strategien müssen wir untersuchen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E (= Menge aller Versuchsausgänge, bei denen an dritter Stelle blau steht) ist.

Claudias Strategie:

1. Gezogene Münze blau gelb

2. Gezogene Münze blau gelb blau gelb

3. Gezogene Münze blau gelb blau gelb blau gelb blau gelb

Start

5 Möglichkeiten

5 Möglichkeiten

5 Möglichkeiten

5 Möglichkeiten 5

Möglichkeiten

5 Möglichkeiten

5 Mögl.5 Mögl.5 Mögl.

5 Mögl.5 Mögl.

5 Mögl.5 Mögl.

5 Mögl.

Anzahl der Elementarereignisse des Ereignisses E bei Claudias Strategie:

Anzahl der Versuchsausgänge insgesamt:

ClaudiaE 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 500

Claudia 8 5 5 5 10 10 10 1000

Claudia

500 1P(E )

1000 2

Erics Strategie: Start

1. Gezogene Münze blau gelb

2. Gezogene Münze blau gelb blau gelb

3. Gezogene Münze blau gelb blau gelb blau gelb blau gelb

5 Möglichkeiten 5 Möglichkeiten

5 Möglichkeiten 5

Möglichkeiten

4 Möglichkeiten

4 Möglichkeiten

4 Mögl.3 Mögl.5 Mögl.

4 Mögl.

4 Mögl.4 Mögl.

5 Mögl.3 Mögl.

Anzahl der Elementarereignisse des Ereignisses E bei Erics Strategie:

Anzahl der Versuchsausgänge insgesamt:

EricE 5 4 3 5 5 4 5 5 4 5 4 5

5 4 (3 5 5 5) 20 18 360

Eric 10 9 8 720

Eric

360 1P(E )

720 2

Claudia und Eric haben mit ihren beiden unterschiedlichen Strategien dieselben Chancen, einen Bonbon zu bekommen:

=Claudia

125 1P(E )

1000 8 Eric

360 1P(E )

720 2

Fazit: Beide Strategie-Modelle sind inhaltlich verschieden!

Das jeweilige stochastische Modell für den zu untersuchenden zufälligen Versuch ganz genau anschauen und analysieren!

Wir betrachten das zufällige Ereignis

F = „beim 3-maligen Ziehen wird genau 1x blau gezogen“ in beiden Modellen:

Claudia Eric

(b,g,g)

(g,b,g)

(g,g,b)

P(F…)=

5 5 5 1

1000 8

5 5 5 1

1000 8

5 5 5 1

1000 8

5 5 4 5

720 36

5 5 4 5

720 36

5 4 5 5

720 36

1 338 8

5 5

336 12

Es gilt also P(FClaudia)= = P(FEric)3 9 10 5

8 24 24 12

!

Das Ereignis F macht deutlich, dass wir es tatsächlich mit unterschiedlichen Modellen zu tun haben!

Beispiel:

In einen Kreis mit dem Radius r soll auf gut Glück eine Sehne eingezeichnet werden.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die eingezeichnete Sehne länger ist als die Seitenlänge desjenigen gleichseitigen Dreiecks, das dem Kreis einbeschrieben werden kann?

1. Wir versuchen, das Problem zu verstehen:

In den gegebenen Kreis lässt sich ein gleichseitiges Dreieck einzeichnen (einbeschreiben):

Wir müssen die Seitenlänge solch eines Dreiecks berechnen – in Abhängigkeit vom Kreisradius.

Unsere Aufgabe ist es, willkürlich eine Sehne einzuzeichnen und dann die Sehnen mit der Dreiecksseite zu vergleichen.

Berechnung der Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks:

Wir benutzen Eigenschaften des Dreiecks!

2. Untersuchung des zufälligen Versuchs:

Experiment: „Zeichne in den gegebenen Kreis auf gut Glück eine Sehne ein.“

Wie verstehen Sie das???

Der Versuch muss präzisiert werden: Wir legen fest, wie wir diesen Auftrag verstehen wollen.

Einzeichnen einer Sehne:

1. Punkt A auf dem Kreis auswählen

2. Von diesem Punkt aus die Sehne zeichnen.

A

Die möglichen Versuchsausgänge (=Elementarereig-nisse) sind dann also alle auf diese Weise zu zeichnenden Sehnen.

Es gibt unendlich viele mögliche Versuchsaus- gänge!

3. In der Sprache der Stochastik:

Versuchsbedingungen:

- gegebener Kreis mit dem Radius r

- Vorgabe eines Punktes A auf dem Kreis

- Sehne-Einzeichnen bedeutet: Zeichne vom Punkt A aus eine Sehne in den Kreis.

Zufälliger Versuch: Zeichne willkürlich, aber gemäß unseren festgelegten Bedingungen eine Sehne in den Kreis.

= Menge aller möglichen Sehnen, die sich auf diese Weise in den Kreis einzeichnen lassen.

Achtung: Alle Sehnen sind gleich möglich, aber es gibt unendlich viele verschiedene Sehnen

Das Laplace-Modell ist hier also nicht anwendbar!

4. Das uns interessierende Ereignis:

E = Menge aller Sehnen, die länger als die Seite unseres gleichseitigen Dreiecks sind.

Entdeckung: Die Menge aller möglichen Sehnen zerfällt in die für E günstigen Sehnen und die für E ungünstigen Sehnen

Die im Bereich (2) liegenden Sehnen sind für E günstig,

Die im Bereich (1) oder (3) liegenden Sehnen sind für E ungünstig

Winkel , aufgespannt von der Tangente an den Kreis durch A und die Strecke ABmisst 60°,

Winkel , aufgespannt von Strecke AB und der Strecke AC misst 60°,

Winkel , aufgespannt von der Tangente an den Kreis durch A und die Strecke AC misst 60°. B

C

Ereignis E = Sehne im Bereich (2) identifizierbar mit der Menge aller Sehnenneigungen gegen die Tangente durch A, die zum roten Bereich gehören

5. Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E:

P(E) =

Unser Vorschlag für die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses E - macht von geometrischen Zusammenhängen Gebrauch - benutzt die Idee des Verhältnisses von günstigen zu möglichen Ausgängen

Wahrscheinlichkeiten, die auf diese Weise berechnet werden, nennt man geometrische Wahrscheinlichkeiten

3

1

180

60

Winkel

Geometrische Wahrscheinlichkeit:

• Zufälliges Experiment, das mit geometrischen Mitteln beschrieben werden kann: ist als geometrische Figur auffassbar.

• Die möglichen Versuchsausgängen haben alle die gleiche „Eintrittschance“: kein Ausgang ist gegenüber einem anderen bevorrechtet.

• Das interessierende Ereignis E lässt sich als Teil(-Figur) der Figur auffassen.

Berechnung der geometrischen Wahrscheinlichkeit von E:

P(E) = vonFigurdiefürMaßzahl

EvonFigurdiefürMaßzahl

In unserem Beispiel:

: möglicher Sehnen-Neigungswinkel zwischen 0° und 180°

E : günstiger Sehnen-Neigungswinkel zwischen 60° und 120°

Maßzahl für : 180°

Maßzahl für E : 120° - 60° = 60°

P(E) = Verhältnis der beiden Maßzahlen

= 3

1

180

60

Achtung: Unsere Interpretation der Aufgabe (= des zufälligen Versuchs) war nur eine von vielen möglichen!

Beispiel für eine andere mögliche Interpretation:

Zufälliges einzeichnen einer Sehne bedeutet für uns nun

„Wir vereinbaren eine Richtung, in der die Sehnen eingezeichnet werden sollen, und zeichnen dann „nur“ Sehnen in dieser Richtung ein.“

Wir legen als Sehnenrichtung den Neigungswinkel gegen den waagerechten Durchmesser fest.

Die für E günstigen Sehnen liegen dann im rot markierten Bereich.

Die für E günstigen Sehnen lassen sich durch den blauen Ausschnitt des waagerechten Durchmessers beschreiben.

Berechnung der geometrischen Wahrscheinlichkeit für diese Festlegung des zufälligen Versuchs:

P(E) =

= 1 : 2 (Beweis: wird in der Vorlesung als einzelnes Blatt ausgegeben!)

Achtung: Unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für einen zufälligen Versuch???

Nein! Wir haben es bei den beiden Interpretationen mit unterschiedlichen zufälligen Versuchen zu tun. Die berechneten Wahrscheinlichkeiten sind an die jeweilige Versuchsfestlegung gebunden – sie gelten nur in diesem Kontext!

rDurchmesseenwaagerechtdenfürMaßzahl

StreckeblauediefürMaßzahl

Grundsätzliches Problem:

Vorgegeben ist ein zufälliger Versuch. Wir präzisieren die Bedingungen so, dass die Vorschrift eindeutig festgelegt ist und damit der Versuch beliebig wiederholbar wird.

Wie ist ein geeigneter Ansatz für die Berechnung von Eintrittschancen (= Wahrscheinlichkeiten) zu finden?

Eine allgemeingültige Antwort gibt es nicht!

Für den jeweils vorgelegten konkreten zufälligen Versuch muss überlegt werden, wie die Eintrittschancen zu berechnen sind.

Vorschläge für mögliches Herangehen (mögliche Fragen):

• Passt das Laplace-Modell?

• Könnte man das Modell der geometrischen Wahrscheinlichkeit benutzen?

• Sollte man anstelle von Wahrscheinlichkeiten relative Eintrittshäufigkeiten berechnen? ( empirisches Gesetz der großen Zahlen!)

Alle Vorschläge für Wahrscheinlichkeitsberechnungen müssen gewisse grundlegende Eigenschaften erfüllen!

axiomatische Festlegung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorov (1903-1987),

Bedeutender russischer Wahrscheinlichkeitstheoretiker: „Vater der modernen Wahr- scheinlichkeitsrechnung“

1933 Axiomensystem für die Wahrscheinlichkeit

Axoimensystem von A. N. Kolmogorov:

Gegeben: Zufälliges Experiment mit dem Ergebnisraum .

Eine Funktion P, die jedem Ereignis E eine reelle Zahl P(E)zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion auf genau dann, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:

(1)P(E) 0 für jedes Ereignis E (Nichtnegativität)

(2) P() = 1 (Normierung)

(3)P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) , falls E1 E2 = Ø (Additivität)

Die Zahl P(E) heißt dann Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E im gegebenen zufälligen Versuch.

Die Modelle

der Laplace-Wahrscheinlichkeit,

der geometrischen Wahrscheinlichkeit,

der Eintrittshäufigkeit

führen auf Wahrscheinlichkeitsfunktionen!

Laplace-Wahrscheinlichkeit,

geometrische Wahrscheinlichkeit

relative Häufigkeit

sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen.

Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Es sei P eine Wahrscheinlichkeitsfunktion zu einem gegebenen zufälligen Versuch mit dem Ergebnisraum .

Zusätzlich zu den Kolmogorov-Axiomen gelten dann für die Funktion P stets weitere Eigenschaften:

Monotonie-Regel: Ereignis E Ereignis F P(E) P(F)

Regel für Gegenwahrscheinlichkeiten:

P( ) = 1 – P(E) für jedes Ereignis E

Additionsregel: P( ) = P(A) + P(B) – P( ) für alle Ereignisse A und B.

E

BA BA

Beweis der Regel für die Gegenwahrscheinlichkeit:

Wir benutzen: P() =1 (= Normierungsaxiom) ,

= und Ø für jedes Ereignis A

sowie das Additionsaxiom:

1 = P() = P( ) = P(A) + P( )

P( ) = 1 – P( A )

AA AA

AA A

A

Beweis für die Additionsregel:

B

„überlappender Teil“ (2x vorhanden):

A B

A

A = (A – (A B) ) (A B)

B = (B – (B A) ) ( A B)

A B = (A – (A B) ) (A B)

(B – (B A) )

P(A B) = P(A ) + [ P(B) - P(A B) ]

(gemäß Additionsaxiom und Regel für die Gegenwahrscheinlichkeit)

Beweis für die Monotonie-Regel:

A

B B = (B – A) A

P(B) = P(B - A) + P(A)

und wegen P(B – A ) 0 (Nichtnegativität)

P(B) P(A)

Wichtige Eigenschaft für zufällige Versuche mit endlich vielen Elementarereignissen:

1 = P() = Die Gesamtwahrscheinlichkeit setzt sich aus allen Elementarwahrscheinlichkeiten zusammen.

Für jedes Ereignis E gilt: Die Wahrscheinlichkeit von E setzt sich aus den Elementar- wahrscheinlichkeiten für diejenigen Elementarereignbiss zusammen, die zu E gehören.

)(P

E

PEP

)()(

Anton, Peter, Jenny, Maria, Anja und Olaf wollen sich an den Tisch mit seinen 6 Plätzen setzen.

Präzisierung des Experiments:

Wir haben die 6 Plätze durchnummeriert.„Die Kinder setzen sich zufällig an den Tisch.“ heißt für uns: Peter und Maria wählen ihre beiden Plätze beliebig aus den 6 Plätzen aus. (Wie die anderen 4 Kinder sich auf die restlichen 4 Plätze setzen ist für unser Problem bedeutungslos.)

Beispiel:

6 Personen setzen sich zufällig um einen runden Tisch.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zufällig Peter neben Maria zu sitzen kommt?

Versuchsausgänge: alle möglichen Stuhlkombinationen, auf denen Peter und Maria Platz genommen haben.

= { {1,2} , {1,3} , {1,4} , {1,5} , {1,6} , {2,3} , {2,4} , {2,5} , {2,6} , {3,4} , {3,5} , {3,6} , {4,5} , {4,6}, {5,6} }

Ereignis E : Peter und Maria haben benachbarte Plätze

E = {{1,2} , {2,3} , {3,4} , {4,5} , {5,6} , {6,1}}

Ansatz für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Alle Versuchsausgänge sind gleichberechtigt. Verhältnisansatz : P(E) =

15

Alle möglichen Zweier-Mengen von Sitzkombinationen

6E

5

2

15

6

E

Die Chance, dass Peter und Maria zufällig nebeneinander sitzen, ist für unsere Interpretation des Problems 40% (Wahrscheinlichkeit 0,4).

Es gibt aber auch andere Möglichkeiten, das Problem zu verstehen – und entsprechend zu modellieren (in die Sprache der Stochastik zu übertragen)!

Haben Sie Ideen dafür?

Wir wählen nun z. B. folgende Interpretation des Versuchs:

Versuchsbedingungen:

Die Kinder setzen sich zufällig an den Tisch.“ heißt für uns: Peter setzt sich beliebig an den Tisch und dann wählt Maria zufällig einen Platz links von ihm. (Wie die anderen 4 Kinder sich auf die restlichen 4 Plätze setzen ist für unser Problem bedeutungslos.)

Experiment: Peter und dann Maria setzen sich wie oben beschrieben zufällig an den Tisch und wir zählen, bei Peter beginnend und im Uhrzeigersinn, ab, wie viele Kinder zwischen Peter und Maria sitzen.

Elementarereignisse: 0 , 1 , 2 , 3 , 4

alle 5 Elementarereignisse sind gleich möglich:

Laplace-Modell

Ereignis E : Peter und Maria sitzen nebeneinander

E = {0 , 4 }

und also P(E) =

Achtung:

Die neue, ebenfalls mögliche Versuchsinterpretation „Peter und Maria setzen sich beliebig an den Tisch und wir stellen fest, ob die zwei nebeneinander sitzen oder nicht.“führt nicht auf ein Laplace-Modell !

= {ja , nein}

P( {ja} ) P( {nein} )

(Hinter dem Ausgang „nein“ verbergen sich bei genauerem (d.h. detaillierterem) Hinsehen mehr Möglichkeiten als hinter „ja“.)

5

2

2 3

5 5

Achtung:

Wollen wir für einen zufälligen Versuch ein passendes stochastisches Modell aufstellen, so bedeutet das immer, dass

genau überprüft werden muss, welche Wahrscheinlichkeitsberechnung zu Grunde gelegt werden kann!

Nicht immer passt das Laplace-Modell!

Deshalb: Stets Ihren Ansatz sorgfältig überprüften!