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VorlesungMathematik fur Ingenieure 1
(Wintersemester 2008/09)Kapitel 2: Der Euklidische Raum
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universitat Magdeburg
(Version vom 24. Oktober 2008)
2
Vektoren in Rn
Definition 2.1
Die Menge aller n-Tupel von reellen Zahlen(Vektoren) bezeichnen wir mit Rn. Schreibweisen:
I x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn (Zeilenvektor)
I x =
x1
x2...
xn
∈ Rn (Spaltenvektor)
Die i -te Komponente von x = (x1, x2, . . . , xn) istxi . Fur x = (x1, . . . , xn) und y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn
gilt: x = y genau dann, wenn(x1 = y1 und x2 = y2 und · · · und xn = yn)
3
Vektoraddition und skalare Multiplikation
Definition 2.2
Fur x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn
und λ ∈ R definieren wir:
I x + y := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)(Vektoraddition)
I λx := (λx1, λx2, . . . , λxn)(skalare Multiplikation)
(”Skalar” heißt ”Zahl”, im Gegensatz zu ”Vektor”.)
4
Nullvektor und SubtraktionDefinition 2.3
Der Nullvektor in Rn ist
On := O := (0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸n
) ∈ Rn
Definition 2.4
Fur x ∈ Rn definieren wir −x := (−1)x . Und furx , y ∈ Rn setzen wir
x − y := x + (−y) .
5
Rechenregeln . . .
Fur alle x , y , z ∈ Rn und λ, µ ∈ R gelten diefolgenden Regeln:
I x + y = y + x(Kommutativitat der Vektoraddition)
I x + (y + z) = (x + y) + z(Assoziativitat der Vektoraddition)
I x + O = x(O ist neutrales Element der Vektoraddition)
I x + (−x) = O(inverses Element der Vektoraddition)
6
. . . Rechenregeln
I 1 · x = x(1 ist neutrales Element der skalaren Multipl.)
I λ(µx) = (λµ)x(Assoziativitat der skalaren Multiplikation)
I λ(x + y) = λx + λy (Distributivitat)
I (λ + µ)x = λx + µx (Distributivitat)
7
Linearkombinationen
Definition 2.5
Fur k Vektoren v (1), . . . , v (k) ∈ Rn und k Skalareλ1, . . . , λk ∈ R heißt
k∑i=1
λiv(i) = λ1v (1) + λ2v (2) + · · ·+ λkv (k) ∈ Rn
eine Linearkombination von v (1), . . . , v (k). DieKoeffizienten der Linearkombination sindλ1, . . . , λk .
8
Lineare (Un-)Abhangigkeit . . .
Definition 2.6
Die Vektoren v (1), . . . , v (k) ∈ Rn heißen linearunabhangig, falls man keinen der Vektoren alsLinearkombination der ubrigen Vektoren schreibenkann, andernfalls heißen sie linear abhangig.
9
. . . Lineare (Un-)Abhangigkeit
Bemerkung 2.7
Die Vektoren v (1), . . . , v (k) ∈ Rn sind genau dannlinear abhangig, wenn es Skalare λ1, . . . , λk ∈ Rgibt, die nicht alle Null sind, mit
k∑i=1
λiv(i) = O.
Bemerkung 2.8
Die Maximalzahl linear unabhangiger Vektoren inRn ist n.
10
i -te Einheitsvektoren
Definition 2.9
Der i-te Einheitsvektor in Rn ist
ei := (0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸i−1
, 1, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸n−i
) ,
also der Vektor, der in der i -ten Komponente eineEins und in allen anderen Komponenten Nullen hat.
11
Basen von Rn
Definition 2.10
Eine Basis von Rn wird von n linear unabhangigenVektoren gebildet. Die Standardbasis von Rn iste1, . . . , en.
Bemerkung 2.11
Ist x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, so ist
x =n∑
i=1
xiei
eine Linearkombination von e1, . . . , en. Dies ist dieeinzige Moglichkeit, x als Linearkombination vone1, . . . , en zu schreiben.
12
Koordinaten bzgl. BasisSatz 2.12
Die Vektoren v (1), . . . , v (n) ∈ Rn bilden genau danneine Basis von Rn, wenn jeder Vektor x ∈ Rn alsLinearkombination
x =n∑
i=1
λiv(i)
der v (1), . . . , v (n) darstellbar ist. Fur jedes x ∈ Rn
gibt es dann genau eine Moglichkeit,λ1, . . . , λn ∈ Rn zu wahlen. Diese λ1, . . . , λn heißendie Koordinaten von x bzgl. der Basisv (1), . . . , v (n).
13
Das (Euklidische) Skalarprodukt
Definition 2.13
Fur x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn heißtder Skalar
x · y := 〈x , y〉 :=n∑
i=1
xiyi ∈ R
das (Euklidische) Skalarprodukt oder auch inneresProdukt von x und y .
14
Rechenregeln
Fur alle x , y , z ∈ Rn und λ ∈ R gelten:
I 〈x , y〉 = 〈y , x〉I 〈x + y , z〉 = 〈x , z〉+ 〈y , z〉I λ〈x , y〉 = 〈λx , y〉 = 〈x , λy〉I 〈x , x〉 ≥ 0
I 〈x , x〉 = 0⇔ x = O
15
(Euklidische) NormDefinition 2.14
Fur x ∈ Rn heißt
|x | := ||x || := ||x ||2 :=√〈x , x〉 =
√√√√ n∑i=1
x2i
der Betrag oder die (Euklidische) Norm von x .
Bemerkung 2.15
Fur x ∈ R1 = R ist||x || =
√x2 = |x |
der ubliche (Absolut-)Betrag der Zahl x.
16
Rechenregeln
Fur alle x ∈ Rn , λ ∈ R gelten:
I ||x || = ||−x ||I ||x || ≥ 0
I ||x || = 0⇔ x = 0
I ||λx || = |λ| · ||x ||
17
(Euklidischer) Abstand in Rn
Definition 2.16
Der (Euklidische) Abstand von x ∈ Rn undy ∈ Rn ist
||x − y || .
18
Pfeile und Raumvektoren
I Der Pfeil−→PQ reprasentiert den Raumvektor
~a, der nur bestimmt ist durch seine Richtungund seine Lange (Betrag) |~a| (also denAbstand zwischen P und Q), aber nicht durchden speziellen Anfangspunkt P .
I−→PQ und
−→RS reprasentieren genau dann den
gleichen Raumvektor, wenn−→RS eine
Parallelverschiebung von−→PQ ist.
I Zu jedem Raumvektor ~a und Punkt P gibt es
genau einen Pfeil−→PQ, der ~a reprasentiert.
I−→PP reprasentiert den Nullvektor ~0.
19
Beipiele
20
Skalare Multiplikation
Definition 2.17
Fur einen Raumvektor ~a, reprasentiert durch einen
Pfeil−→PQ, ist −~a der durch
−→QP reprasentierte
Raumvektor.
Definition 2.18
Fur einen Raumvektor ~a und eine Zahl α ∈ Rdefinieren wir den Raumvektor α~a wie folgt:
I Falls α ≥ 0 : α~a ist der Vektor, der die gleicheRichtung wie ~a und Lange α|~a| hat. (0~a = ~0)
I Falls α < 0 : α~a := −|α|~a
21
Beispiel
22
Addition von Raumvektoren
Definition 2.19
Ist ~a der von−→PQ reprasentierte Raumvektor und ~b
der von−→QR reprasentierte Raumvektor, so ist ~a + ~b
der von−→PR reprasentierte Raumvektor. Außerdem
definieren wir:
~a − ~b := ~a + (−~b)
23
Beispiele
24
Rechenregeln
I ~a +~0 = ~a
I ~a −~a = ~0
I ~a + ~b = ~b +~a
I (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
I ~a1 + ~a2 + ... + ~ak ist der Vektor, der vom Pfeil−−→P0Pk reprasentiert wird, wenn fur alle
i ∈ {1, . . . , k} der Vektor ~ai von−−−−→Pi−1Pi
reprasentiert wird.
25
Beispiel
26
Kartesische Koordinatensysteme . . .Definition 2.20
Ein kartesisches Koordinatensystem des Raumsbesteht aus 3 Zahlengeraden (gleicherLangeneinheit) – der x-Achse, y -Achse und z-Achse–, welche sich alle rechtwinklig in einem Punkt Ofolgendermaßen schneiden:
I Es seien Exy ,Exz und Eyz die Ebenen, die x-/y -bzw. x-/z- bzw. y -/z-Achse enthalten.
I Außerdem seien Px ,Py und Pz die Punkte, indenen die 1 der x-, y - bzw. z-Achse liegt.
I Dann soll−−→OPy aus
−−→OPx durch Drehung in Exy
um π2 von Pz aus gesehen gegen den
Uhrzeigersinn hervorgehen.
27
. . . Kartesische Koordinatensysteme
Die von−−→OPx ,
−−→OPy und
−−→OPz reprasentierten
Raumvektoren ~ex , ~ey bzw. ~ez sind eine kartesischeBasis des Raumes. Sie bilden ein Rechtssystem(rechte-Hand-Regel).
Definition 2.21
Bezuglich eines durch O, ~ex , ~ey , ~ez festgelegtenkartesischen Koordinatensystems hat ein Punkt Qdie Koordinaten (qx , qy , qz) ∈ R3, wobei qx/qy/qz
die Zahl ist, welche die in Q verschobene EbeneEyz/Exz/Exy in Q auf der x- / y - / z-Achse anzeigt.
28
Beispiel
Wir konnen (bzgl. dieses Koordinatensystems) jedenPunkt P mit seinen Koordinaten (px , py , pz)identifizieren. Wir schreiben P = (px , py , pz).
29
Koordinaten von Raumvektoren. . .
Definition 2.22
Fur einen Punkt A ist der von−→OA reprasentierte
Raumvektor der zu A gehorende Ortsvektor.
Bemerkung 2.23
Fur einen Raumvektor ~a, der durch−→OA mit
A = (ax , ay , az) reprasentiert wird, gilt
~a = ax ~ex + ay ~ey + az ~ez .
(ax , ay , az) ∈ R3 ist der Koordinatenvektor desRaumvektors ~a. Schreibweise: ~a = (ax , ay , az).
30
. . . Koordinaten von Raumvektoren
Bemerkung 2.24
Reprasentiert−→PQ den Vektor ~a und sind
P = (px , py , pz) und Q = (qx , qy , qz), so ist
~a =
qx − px
qy − py
qz − pz
.
31
Rechnen mit Raumvektoren
Bemerkung 2.25
Fur Raumvektoren ~a,~b mit ~a = (ax , ay , az) und~b = (bx , by , bz) und α ∈ R gelten:
I ~a + ~b = (ax , ay , az) + (bx , by , bz)
I α~a = α(ax , ay , az)
I |~a| =√
a2x + a2
y + a2z = ||(ax , ay , az)||
Addition, skalare Multiplikation und Betrage vonRaumvektoren kann man also mit Hilfe ihrerKoordinatenvektoren in R3 berechnen.
32
Der Betrag
33
Abstande zwischen Punkten
Bemerkung 2.26
Der Abstand zweier Punkte P und Q mitKoordinaten P = (px , py , pz) und Q = (qx , qy , qz)
und von−→PQ reprasentiertem Vektor ~a ist
|~a| =
∣∣∣∣∣∣ qx − px
qy − py
qz − pz
∣∣∣∣∣∣=√
(qx − px)2 + (qy − py)2 + (qz − pz)2 .
34
Parallelitat von Raumvektoren
Fur Raumvektoren ~a,~b, reprasentiert durch−→OA,−→OB
mit
A =
ax
ay
az
, B =
bx
by
bz
gilt:(ax , ay , az) und (bx , by , bz) sind genau dann linear
abhangig, wenn die Pfeile−→OA und
−→OB in einer
Geraden liegen (~a und ~b sind parallel). Dies ist
insbesondere der Fall, wenn ~a = ~0 oder ~b = ~0 ist.
35
Koplanaritat von RaumvektorenFur Raumvektoren ~a,~b,~c , reprasentiert durch−→OA,−→OB ,−→OC mit
A =
ax
ay
az
, B =
bx
by
bz
, C =
cx
cy
cz
gilt:(ax , ay , az), (bx , by , bz), (cx , cy , cz) sind genau dann
linear abhangig, wenn−→OA,−→OB und
−→OC in einer
Ebene liegen (~a, ~b und ~c sind koplanar). Dies ist
insbesondere der Fall, wenn ~a = ~0, ~b = ~0 oder ~c = ~0ist oder wenn zwei der drei Vektoren parallel sind.
36
Skalarprodukt von Raumvektoren
Definition 2.27
Das Skalarprodukt (innere Produkt) zweier
Raumvektoren ~a und ~b ist
I 〈~a,~b〉 := 0 ∈ R, falls ~a = ~0 oder ~b = ~0 ist,
I ansonsten ist es
〈~a,~b〉 := |~a| · |~b| · cos ](~a,~b) ∈ R ,
wobei ](~a,~b) ∈ [0, π] der von den ~a bzw. ~breprasentierenden Pfeilen mit Anfangspunkt Oeingeschlossene Winkel ist (also
cos ](~a,~b) ∈ [−1, 1]).
37
OrthogonalitatDefinition 2.28
Stehen die beiden Raumvektoren ~a und ~b senkrecht(orthogonal) aufeinander (d.h. ](~a,~b) = π
2 ), soschreiben wir
~a ⊥ ~b .
Bemerkung 2.29
I Sind ~a 6= ~0 und ~b 6= ~0, so gilt:〈~a,~b〉 = 0⇔ ~a ⊥ ~b
I |~a| =√〈~a,~a〉
38
Orthogonale Projektion
39
In einem KoordinatensystemSatz 2.30
Sind ~a und ~b zwei Raumvektoren, so ist ihrSkalarprodukt das Skalarprodukt ihrer beidenKoordinatenvektoren (ax , ay , az) und (bx , by , bz):
〈~a,~b〉 = 〈(ax , ay , az), (bx , by , bz)〉= axbx + ayby + azbz ∈ R
Insbesondere: ax = 〈~a,~ex〉,ay = 〈~a,~ey〉,az = 〈~a,~ez〉
Bemerkung 2.31
Die Rechenregeln fur Skalarprodukte in R3
ubertragen sich auf Raumvektoren.
40
Beispiel. . .
41
. . . Beispiel
42
Das Vektorprodukt. . .
Definition 2.32
Das Vektorprodukt (außere Produkt,
Kreuzprodukt) zweier Raumvektoren ~a und ~b,
reprasentiert durch Pfeile−→OA bzw.
−→OB , ist der
Raumvektor ~a × ~b, der durch folgenden Pfeil−→OC
reprasentiert wird:
43
. . . Das Vektorprodukt
I Falls−→OA und
−→OB in einer Gerade liegen
(insbesondere: wenn ~a = ~0 oder ~b = ~0): C = O
(also ~a × ~b = ~0)I Sonst:
I−→OC steht senkrecht auf der Ebene E , die
−→OA und−→
OB enthalt.I Die Lange von
−→OC ist der Flacheninhalt des von−→
OA und−→OB erzeugten Parallelogramms.
I Von C aus gesehen kann man−→OA in der Ebene E
durch eine Drehung um den Punkt O um einen
Winkel aus ] 0, π [ gegen den Uhrzeigersinn auf−→OB
drehen. (Rechte-Hand-Regel)
44
Beispiel
45
Betrag des Kreuzprodukts
Bemerkung 2.33
Fur Raumvektoren ~a und ~b gilt
|~a × ~b| = |~a||~b| sin ](~a,~b)
Insbesondere also:
~a × ~b = ~0⇐⇒ ~a und ~b sind parallel.
46
Rechenregeln
Fur Raumvektoren ~a,~b,~c und α ∈ R gelten:
I ~a ×~a = ~0
I ~a × ~b = −(~b ×~a)
I α(~a × ~b) = (α~a)× ~b = ~a × (α~b)
I ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b +~a × ~cI (~a + ~b)× ~c = ~a × ~c + ~b × ~c
47
Koordinatendarstellung des Kreuzprodukts
Satz 2.34
Haben die Raumvektoren ~a und ~b die Koordinaten~a = (ax , ay , az) und ~b = (bx , by , bz), so gilt
~a × ~b =
aybz − azby
azbx − axbz
axby − aybx
48
GeradenIst P = (px , py , pz) ein Punkt und~0 6= ~a = (ax , ay , az) ein Raumvektor, so ist
{P + t~a | t ∈ R}
die Menge aller Punkte auf der zu ~a parallelenGeraden g durch P .
49
Parameterdarstellung von Geraden
Auf g liegen also genau die Punkte, derenKoordinaten (x , y , z) ∈ R3 die Vektorgleichung x
yz
=
px
py
pz
+ t
ax
ay
az
fur irgendein t ∈ R erfullen.(Parameterdarstellung der Geraden g)
50
Abstand Punkt – Gerade
|~a × ~b| = |~a| · d , und somit
d =|~a × ~b||~a|
.
51
Ebenen
Ist P = (px , py , pz) ein Punkt und sind ~a 6= ~0 und~b 6= ~0 zwei nicht parallele Raumvektoren,
reprasentiert von Pfeilen−→PR bzw.
−→PS , so ist
{P + r ·~a + s · ~b | r , s ∈ R}
die Menge aller Punkte in der Ebene E , die−→PR und−→
PS enthalt.
52
Parameterdarstellung von Ebenen
In E liegen also genau die Punkte, derenKoordinaten (x , y , z) ∈ R3 die Vektorgleichung x
yz
=
px
py
pz
+ r
ax
ay
az
+ s
bx
by
bz
(mit ~a = (ax , ay , az) und ~b = (bx , by , bz)) furirgendwelche r , s ∈ R erfullen.(Parameterdarstellung der Ebene E )
53
NormalenvektorenI Ein Raumvektor, der senkrecht auf ~a und ~b
steht (also senkrecht auf E ), heißtNormalenvektor von E .
I ~a × ~b ist ein Normalenvektor von E .I Ist ~n = (nx , ny , nz) ein Normalenvektor von E ,
so liegt ein Punkt Q genau dann in E , wenn−→PQ senkrecht zu ~n ist. In E liegen also genaudie Punkte, deren Koordinaten (x , y , z) die
Gleichung 〈~n,~c〉 = 0 fur den zu−→PQ
gehorenden Raumvektor ~c , also
nx(x − px) + ny(y − py) + nz(z − pz) = 0
erfullen (Hesse-Normalform der Ebene).
54
Beispiel
55
Abstand Punkt – Ebene
~n = ~a × ~b ist Normalenvektor zu E . Dann ist derAbstand von Q zu E gleich∣∣∣∣〈~c ,~n〉|~n|2 · ~n
∣∣∣∣ =|〈~c ,~n〉||~n|
,
wobei ~c der zu−→PQ gehorende Raumvektor ist.