Vorname Name Autor/-in 04/11/23 11

E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe

Chemische Bindung: Wasserstoff-Atom und H2-Molekül

Günter Baars 2

Übersicht

1. Wasserstoff-Atom

2. H2-Molekül

Günter Baars 3

1. Wasserstoff-Atom

Das Atom ist also, mathematisch gesehen, gleich einem Schwin-gungssystem. Nun kann bekanntlich ein Schwingungssystem (eine schwingende Saite, eine Schallröhre, eine Radioantenne usw.) im allgemeinen nur der Sitz bestimmter Schwingungen sein, derjenigen nämlich, welche seinen "Eigenfrequenzen" ent-sprechen. Auch das Atom hat seine Eigenfrequenzen und kann nur der Sitz von Wellen sein, die gleiche Perioden haben. Aus diesem Grunde existiert für das Atom eine unstetige Folge von möglichen stabilen Zuständen, wie Schrödinger in seinen schönen Arbeiten im einzelnen gezeigt hat.

Louis de Broglie

Günter Baars 4

1. Wasserstoff-Atom

Wellenfunktion für das Elektron im Wasserstoff-Atom (Grundzustand):

0a

30

eaπ

1r

1sψ

Günter Baars 5

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung des Funktionswerts 1s = 0,01 im Abstand r1 vom Atomkern in der Zeichenebene

durch Drehung der r-Achse um jeweils 22,5°

Günter Baars 6

1. Wasserstoff-Atom

Geometrischer Ort aller Punkte mit dem Funktions-wert = 0,01 im Abstand r1 vom Atomkern (räum-

liche Darstellung)

Günter Baars 7

1. Wasserstoff-Atom

Günter Baars 8

1. Wasserstoff-Atom

Wellenfunktion für den 1s-Zustand: 0a

30

eaπ

1r

ψ1s

00 a2πε4

1 2

1s

eT

00 aπε4

1 2

1s

eV

000000 a2πε4

1

a2πε4

1

aπε4

1 222

1s

eeeE

Potentielle Energie des Elektrons:

Gesamtenergie des H-Atoms:

Kinetische Energie des Elektrons:

Günter Baars 9

1. Wasserstoff-Atom

Gesamtenergie: eV586,13J1079,21a2πε4

1 19

00

2

1s

eE

Mittlere kinetische Energie: eV586.13J1079,21a2πε4

1 19

00

2

1se

T

Mittlere potentielle Energie: eV172,27J1079,212aπε4

1 19

00

2

1se

V

Mittlere Geschwindigkeit des Elektrons (berechnet aus der kinetischen Energie des Elektrons):

16 sm1022,22

m

Tv

Günter Baars 10

1. Wasserstoff-Atom

Virialtheorem: TE ETT2V

Günter Baars 11

1. Wasserstoff-Atom

Drei Volumenelemente dV in unterschiedlichen Raum-richtungen und Abständen vom Atomkern

Günter Baars 12

1. Wasserstoff-Atom

VWV1sψr

2 deaπ

1dd 0a

2

30

Grafische Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 21sdV

Günter Baars 13

1. Wasserstoff-Atom

Computerdarstellung der Elektronendichte 21s

Günter Baars 14

1. Wasserstoff-Atom

Wolkendarstellung der Elektronendichte 21s

Schnitt durch zwei Kugelschalen mit dem Durchmesser dr im Abstand r1 bzw. r2 vom

Atomkern

Günter Baars 15

1. Wasserstoff-Atom

rrW 2

r

dπ4eaπ

1d 0a

2

30

Grafische Darstellung der radialen Aufenthaltswahrschein-lichkeit 21s4r2dr des Elektrons im Grundzustand eines Wasserstoff-Atoms

Günter Baars 16

1. Wasserstoff-Atom

Grafische Darstellung der Wellen-funktion 1s

Geometrischer Ort aller Punkte mit demFunktionswert = 0,01

Grafische Darstellung der Aufent-haltswahrscheinlichkeit 21sdV

Grafische Darstellung der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit 21s4r2dr des Elektrons

Günter Baars 17

1. Wasserstoff-Atom

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2

1a2

12

π4

1r

rψ2s

Wellenfunktion 2s

Grafische Darstellung der Wellenfunktion 2s

Günter Baars 18

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung des Funktionswerts 12s = 0,01 in den

Abständen r1, r2 und r3 in der Zeichenebene durch

Drehung des Koordinatensystems

Günter Baars 19

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung des Funktionswerts 12s = 0,01 in

den Abständen r1, r2 und r3 vom Atomkern in der

Zeichenebene durch Drehung des Koordinaten-systems um jeweils 22,5°

Günter Baars 20

1. Wasserstoff-Atom

Geometrischer Ort aller Punkte mit dem Funktionswert 12s = 0,01 in

den Abständen r1, r2 und r3 vom

Atomkern (räumliche Darstellung)

Knotenfläche der 2s-Wellenfunktion als Kugeloberfläche

Günter Baars 21

1. Wasserstoff-Atom

4

1

a2πε4

1

00

2

2s

eE

eV586,13J1079,21a2επ4

1 19

00

2

1s

eE

Gesamtenergie im Grundzustand:

Gesamtenergie im ersten angeregten Zustand:

E1s = -21,7910-19 J [-13,586 eV]

E2s = -5,4510-19 J [-3,40 eV]

Günter Baars 22

1. Wasserstoff-Atom

Vr

WV2sψr

2 dea2

1a2

1

π4

14dd 0a

2

0

3

0

Grafische Darstellung der Aufenthaltswahr-scheinlichkeit 22sdV

Günter Baars 23

1. Wasserstoff-Atom

Computerdarstellung der Elektronen-Dichte 22s

Wolkendarstellung der Elektronen-dichte 22s

Günter Baars 24

1. Wasserstoff-Atom

rrr

Wrr2sψ 2

r

22 d4ea2

1a2

1

4

14dd4 0a

2

0

3

0

ππ

Grafische Darstellung der radialen Aufenthalts-wahrscheinlichkeit 22s 4r2dr des Elektrons im ersten angeregten Zustand eines Wasserstoff- Atoms

Günter Baars 25

1. Wasserstoff-Atom

Grafische Darstellung derWellenfunktion 2s

Geometrischer Ort aller Punkte mit dem Funktionswert 12s = 0,01

Grafische Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22sdV

Grafische Darstellung der radialen Aufenthalts-wahrscheinlichkeit 22s 4r2dr

Günter Baars 26

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus mit dem Einheitskreis

Vorzeichen der Winkelfunk-tionen Sinus und Kosinus in den vier Winkelfeldern

Günter Baars 27

1. Wasserstoff-Atom

Angabe der Lage eines Punkts P durch kartesische sowie Polarkoordinaten

Günter Baars 28

1. Wasserstoff-Atom

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

2cossin

4

3r

x

rψ2p

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

2sinsin

4

3r

y

rψ2p

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

2cos

4

3r

z

rψ2p

Wellenfunktionen 2px, 2py und 2pz

Günter Baars 29

1. Wasserstoff-Atom

Unendlich ausgedehnte Knotenebene der 2px-

Wellenfunktion

Günter Baars 30

1. Wasserstoff-Atom

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

211

4

3r

x

rψ2p

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

211

4

3r

y

rψ2p

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

21

4

3r

z

rψ2p

Grafische Darstellung der Wellenfunktionen 2px, 2py und 2pz entlang den Koordinatenachsen

Günter Baars 31

1. Wasserstoff-Atom

Für = 0° bzw. 180° gilt (cos 0° = 1; cos 180° = -1):

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

21

4

3r

z

rψ2p

Verlauf der Funktionswerte 2pz auf der z-Achse in Abhängigkeit von r und

den Winkeln = 0° und = 180°

Günter Baars 32

1. Wasserstoff-Atom

Für = 30° bzw. 210° gilt (cos 30° = 0,8; cos 210° = -0,8):

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

28,0

4

3r

z

rψ2p

Verlauf der Funktionswerte 2pz, 30° bzw. 210° von der z-Achse entfernt und damit in

Abhängigkeit von r und den Winkeln = 30° und = 210°

Günter Baars 33

1. Wasserstoff-Atom

Für = 60° bzw. 240° gilt (cos 60° = 0,5; cos 240° = -0,5):

0a2

0

2

3

0

2

1

ea2a2

1

3

25,0

4

3r

z

rψ2p

Verlauf der Funktionswerte 2pz, 60° bzw. 240° von der z-Achse entfernt und damit in

Abhängigkeit von r und den Winkeln = 60° und = 240°

Günter Baars 34

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung des geometrischen Orts aller Punkte mit dem Funktionswert 2pz =

0,1 in der Zeichenebene

Räumliche Darstellung der geometrischen Örter aller Punkte mit dem Funktionswert 2p = 0,01

Günter Baars 35

1. Wasserstoff-Atom

Wellenfunktion 2p: Funktionswert ±0,01

Günter Baars 36

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung des Funktionswerts 2p = 0,01 durch Drehung des Koordinatensystems um jeweils 22,5°

Günter Baars 37

1. Wasserstoff-Atom

Linien gleicher Amplituden einer Wasserstoff 2px-Wellenfunktion (die 2py-

und 2pz-Wellenfunktionen zeigen den gleichen Verlauf)

Günter Baars 38

1. Wasserstoff-Atom

Vr

WV2pψr

x2 de

a2a2

1

3

2φcosθsin

π4

3dd 0a

2

0

3

0

2

22

Vr

W V2pψr

y2 de

a2a2

1

3

2sinθsin

π4

3dd 0a

2

0

3

0

2

22

Vr

WV2pψr

z2 de

a2a2

1

3

2θcos

π4

3dd 0a

2

0

3

0

2

2

Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Wellenfunktionen 2p

Günter Baars 39

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22pzdV auf der z-Achse für = 0°

bzw. 180° cos = 1

Günter Baars 40

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22pzdV, 30° von der z-Achse entfernt

für = 30° bzw. 150° cos = 0,75

Günter Baars 41

1. Wasserstoff-Atom

Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22pzdV, 60° von der z-Achse entfernt

für = 60° bzw. 120° cos = 0,25

Günter Baars 42

1. Wasserstoff-Atom

Wolkendarstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten 22pxdV, 22pzdV und 22pzdV

Computerdarstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit für 22pdV

Günter Baars 43

1. Wasserstoff-Atom

rrr

Wrr2pψr

2x

2 d4ea2a2

1

3

2cosθsin

π4

3dd4 2a

2

0

3

0

2

22 0

rrr

Wrr2pψr

2y

2 d4ea2a2

1

3

2sinθsin

π4

3dd4 2a

2

0

3

0

2

22 0

rrr

Wrr2pψr

2z

2 d4ea2a2

1

3

2θcos

π4

3dd4 2a

2

0

3

0

2

2 0

Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Wellenfunktionen 2p

Günter Baars 44

1. Wasserstoff-Atom

Wolkendarstellung der Elek-tronendichte 22p mit dem Quer-schnitt zweier Kugelschalen des Durchmessers dr

Grafische Darstellung der radialen Aufenthalts-wahrscheinlichkeit 22p4r2dr

Günter Baars 45

1. Wasserstoff-Atom

Günter Baars 46

1. Wasserstoff-Atom

Hauptquantenzahlen, Anzahl Funktionen und Knotenflächen für das Wasserstoff-Atom

Günter Baars 47

1. Wasserstoff-Atom

Grafische Darstellung der Wellenfunktionen 1s, 2s, 3s, 3p sowie die davon abgeleiteten radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

Günter Baars 48

1. Wasserstoff-Atom

Räumliche Darstellung der Wellenfunktionen 2s, 2p, 3s, 3p, 3d für den Funktionswert = 0,01. Jeder Punkt auf der Oberfläche der Figuren besitzt den gleichen Funktionswert . Rot steht für positive, blau für negative Funktionswerte

Günter Baars 49

1. Wasserstoff-Atom

Links: Kugeloberfläche als Knotenfläche der 2s-Wellenfunktion; rechts: zwei Kugeloberflächen als Knotenflächen der 3s-Funktion

Links: Eine (unendlich ausgedehnte) Knoten-ebene der 2px-Wellenfunktion; rechts: zwei

Knoten-flächen einer 3px-Wellenfunktion: eine

Kugel-oberfläche und eine (unendlich ausge-dehnte) Knotenebene

Links: Zwei (unendlich ausgedehnte) Knoten-ebenen der 3dxy-Funktion; rechts: zwei (un-

endlich ausgedehnte) Knotenflächen als zwei Kegeloberflächen der 3dz2-Funktion

Günter Baars 50

2. H2-Molekül

Konstruktive Interferenz von zwei 1s-Wellenfunktionen (2 Wasserstoff-Atome) zu einer Molekül-wellenfunktion (Wasserstoff-Molekül)

Günter Baars 51

2. H2-Molekül

Grafische Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elek-tronen in einem Wasserstoff-Molekül

Günter Baars 52

2. H2-Molekül

Wolkendarstellung der Elektronen-dichte im Wasserstoff-Molekül (Grundzustand)

Computerdarstellung der Elektronendichte-verteilung im Wasserstoff-Molekül

Günter Baars 53

2. H2-Molekül

Energie eines Systems aus zwei Wasserstoff-Atomen (Wasserstoff-Molekül) in Abhängigkeit ihres Abstands

Günter Baars 54

2. H2-Molekül

Destruktive Interferenz von zwei 1s-Atomwellenfunktionen zu einer Molekülwellenfunktion

Günter Baars 55

2. H2-Molekül

Elektronendichte im angeregten Zustand eines Wasserstoff-Moleküls

Günter Baars 56

2. H2-Molekül

Schematische Darstellung (Orbitalenergieschema) der konstruk-tiven und destruktiven Überlagerung von zwei Atomorbitalen (AO) zu einem bindenden und einem antibindenden Molekül-orbital (MO)