31
CENTRUL METODIC ODOBEŞTI JUDEŢUL VRANCEA OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ 25 FEBRUARIE 2012 Clasa a V-a Subiectul 1. Fie numerele şi , a) Să se calculeze b) Să se determine ,astfel ca Problemă propusă de prof. Tarciniu Vasile Subiectul 2. Dacă şi ,arătaţi că este pătrat perfect. Problemă propusă de prof. Tarciniu Vasile Subiectul 3. Un număr natural împaărţit la 9 dă restul 5 şi împărţit la 10 dă restul 7.Ce rest va da numărul împărţit prin 90 ? Problemă propusă de prof. Tarciniu Vasile Subiectul 4. Se consideră numere naturale consecutive.Suma resturilor celor numere la 7 este 156.Aflaţi toate valorile posibile ale lui . Vasile Tarciniu,G.M 11/2011

VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Embed Size (px)

DESCRIPTION

probleme locala vrancea

Citation preview

Page 1: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

CENTRUL METODIC ODOBEŞTI JUDEŢUL VRANCEA

OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂETAPA LOCALĂ 25 FEBRUARIE 2012

Clasa a V-a Subiectul 1. Fie numerele şi , a) Să se calculeze b) Să se determine ,astfel ca

Problemă propusă de prof. Tarciniu Vasile

Subiectul 2. Dacă şi ,arătaţi că este pătrat perfect.

Problemă propusă de prof. Tarciniu Vasile Subiectul 3.Un număr natural împaărţit la 9 dă restul 5 şi împărţit la 10 dă restul 7.Ce rest va da numărul împărţit prin 90 ?

Problemă propusă de prof. Tarciniu Vasile

Subiectul 4. Se consideră numere naturale consecutive.Suma resturilor celor numere la 7 este 156.Aflaţi toate valorile posibile ale lui .

Vasile Tarciniu,G.M 11/2011

prof. Tarciniu Vasile Liceul Teoretic “D.Zamfirescu” Odobeşti

Notă: Timp de lucru 3h. Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. Baremul de notare este:I a) 4puncte;I b)3 puncte;II 7puncte;III 7 puncte; IV 7 puncte.

Page 2: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a VI-a

1. a) Rezolvaţi în N N, ecuaţia: 4x + 503y = 2012 .

b) Stabiliţi dacă numerele: 22013 ∙ 52012 + 2012 şi 41006 ∙ 52013 + 1 sunt pătrate perfecte.

Prof. Fudulică Constantin

2. a) Aflaţi media aritmetică a numerelor:

x = şi y =

.

Prof. Fudulică Constantin

b) Arătaţi că numărul: n = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ …∙ 70 ∙ este natural şi se

divide cu 71. GM 7-8-9/2010

3. În interiorul unui unghi AOB se construiesc semidreptele [OC şi [OD astfel încât [OA [OC, iar [OC Int ( AOD) şi m( COD) = 200. Ştiind că măsura unghiului format de bisectoarele

unghiurilor AOD şi BOC este de 700, aflaţi m( AOB) .

Prelucrat: Prof. Fudulică Constantin

4. Pe dreapta d se consideră punctele distincte M, A,B,C,N în această ordine, astfel încât MN = 2012dm.

Ştiind că lungimile, în metri, ale segmentelor [AB], [BC], [AC] sunt exprimate prin numerele naturale,

2x ∙ ; 2y ∙ ; respectiv , cu x,y N, iar a,b sunt cifre nenule, aflaţi lungimea segmentului [AB].

Prof. Fudulică Constantin

Notă: Timp de lucru 3h. Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte. Baremul de notare este:I a)3puncte;I b)4 puncte;IIa)2,5puncte;IIb)4,5puncte;III 7 puncte; IV 7 puncte.

Page 3: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a VII-a

1). Să se determine numerele întregi x pentru care: a). 7 b), 2x + 9 ───── Є Z ; ─── Є Z

2x + 1 2x + 3

( Dan Brânzei ,A. Negrilă , M.Negrilă pag.33.)

1 12). Comparaţi numerele : a = ────────── şi b = ──────────── ─── ─── ──── ────

√ 2008 + √ 2009 √ 2007 + √ 2010 (G. M. B. nr. 4 / 2010.)

3). Fie un triunghi ABC cu AB = 2cm , BC = 4cm şi AC = 3cm . O paralelă la AC intersectează semidreptele ( AB şi (CB în punctele E şi respectiv F. Să se determine perimetrul triunghiului BEF ştiind că FC =7,2 cm.

( Artur Bălăucă – Auxiliar la manualele alternative : 4 / 101.)

4). În trapezul ABCD, AB║ CD , AB < CD, AC ∩ BD ={ O } ,iar AD ∩ BC = {P }. Dacă PO ∩ AB = { M } şi PO ∩ CD = { N } , arătaţi că punctele M şi N sunt mijloacele laturilor (AB) , respectiv (CD).

( Ioan Balica,Marius Perianu, Dumitru Săvulescu - Matematică pentru clasa a V I I-a ).

NOTĂ: Timp de lucru 3h. Se acordă câte 7 puncte pentru fiecare din cele 4 subiecte corect rezolvate.La subiectele 3 şi 4 se punctează şi concordanţa executării figurilor în funcţiede datele problemelor.

PROF : MIRON VASILE

Page 4: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a VIII-a

Subiectul 1. a)Se da suma :

Sa se arate ca S² = 1b) Sa se arate ca numarul a = (x2 – 7x + 1)(x2 – 7x – 3) + 4 este patrat perfectc) Fie x Є [-3; 2] şi y = 3x + 5; demonstraţi că y Є [-4; 11].

Problemă propusă de prof.

Chircu Gheorghe Subiectul 2. Fie numărul

a) Aratati ca ;b) Calculati ;

c) Demonstrati egalitatea

Problemă propusă de prof. Chircu Gheorghe

Subiectul 3.Fie piramida triunghiulară regulată dreaptă VABC,cu M mijlocul laturii BC astfel încât triunghiul VBM este isoscel.Determinaţi măsura unghiului dintre dreapta AV şi planul (VBC).

S:E11.219. G.M Supliment cu exerciţii 6/2011

Subiectul 4. Pe planul triunghiului isoscel ABC, AB = AC = 5 cm şi BC = 8 cm, se ridică perpendiculara AM cu AM = cm. Aflaţi : a) d(M,BC) ; b) d[A, (MBC)]; c) măsura unghiului diedru format de planele (MBC) şi (ABC)

Problemă propusă de prof. Chircu Gheorghe

prof. Chircu Gheorghe,Şcoala Vîrteşcoiu

Nota: Timp de lucru 3h. Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte.Baremul de notare este:I a) 3puncte ;I b) 2 puncte;Ic)2puncte;II a) 3puncte;II b) 2 puncte;IIc)2puncte; III 7 puncte; IV a) 4 puncte; IV b) 2 puncte ; IV c) 1 puncte .

Page 5: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a IX-a

1) Să se demonstreze inegalitățile:

a) , ;

b) , pentru orice .

(Manual)

2) Fie șirul definit astfel și unde .

Aflați și arătați că pentru orice .(***)

3) Lungimile laturilor triunghiului verifică relația:

Să se arate că triunghiul este echilateral.(Gazeta matematică, nr. 1/2011)

4) În triunghiul bisectoarele , se intersectează în punctul I. Arătați că sunt echivalente afirmațiile:

a) este echilateral;

b)

c)

(Manual)

(Propunător: prof. Grădinaru Carmen–Liceul Teoretic „D. Zamfirescu” Odobești – Vrancea)

Fiecare subiect se notează cu 7 puncte.Timp de lucru 3 ore.

Page 6: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ“ADOLF HAIMOVICI”

Etapa locală, 25 februarie 2012 Filiera:teoretică profil ştiinţe ale naturiiClasa a X-a

1.a) Fie

Arătaţi că oricare ar fi numărul natural .

b) Fie .Arătaţi că oricare ar

fi numerele x, y strict pozitive distincte. Etapa locală Adolf Haimovici 2008 , Iaşi

2.Fie Calculaţi : .

Etapa locală Adolf Haimovici 2008 , Iaşi

3.a)Calculaţi :

b)Determinaţi valorile lui x pentru care ,folosind monotonia

funcţiei logaritmice cu baza supraunitară şi ţinînd cont de condiţiile de existenţă ale funcţiei logaritmice. Etapa locală Adolf Haimovici 2008 , Iaşi

4 Intre localităţile A şi B sunt 70 km. Cosmin pleacă din localitatea A spre localitatea B şi parcurge,în prima etapă 34 km cu o viteză constantă .Apoi se odihneşte o oră si ajunge în localitatea B după 14 ore de la plecare,mergând cu viteză dublă faţă de viteza din prima etapă.Determinaţi viteza cu care s-a deplasat Cosmin în prima etapă. Olimpiada judeţeană Adof Haimovici 2011 ,enunţ modificat

Subiectele au fost selectate şi propuse de profesor Tarciniu Vochiţa

Notă: Timp de lucru 3 oreToate subiectele sunt obligatoriiFiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7

Page 7: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a XI-a

1. Fie matricea

a ) Să se demonstreze

b ) Să se demonstreze că multimea este finită.

2 . Arătaţi că oricare ar fi a,b,c R avem: Etapa locală Covasna 2011

Etapa locală Arad 2009

3. .Să se calculeze : ,unde a,b .

Etapa locală Covasna 2011

4. .Să se calculeze :

G. M nr .4/ 2011

Subiectele au fost selectate şi propuse de profesor Tarciniu Vochiţa

Notă: Timp de lucru 3 oreToate subiectele sunt obligatoriiFiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7

Page 8: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a XII-a

1. Fie A = M4(R) şi G = {AnnN*}. Arătaţi că (G,) este grup.

Variante bacalaureat

2 Arătaţi că f : RR, f(x) = , nu are primitive pe R.

3.Se considera multimile si

a) Să se determine numărul de elemente ale mulţimii H. b) Să se arate că inmulţirea matricelor este operaţie internă pe G . Variante bacalaureat

4. Să se calculeze unde k Z.

G.M . 4 / 2011.

Subiectele au fost selectate şi propuse de profesor Tarciniu Vochiţa

Clasa a V-a

Page 9: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE

Notă:orice rezolvare corectă, alta decât în baremul de mai jos, se punctează;

Subiectul 1. a) …………………………………………………………1p ……………………………………………………………1p ……………………………………………………..1p

………………………………………….1p

b) …………………………………………………………….1p

…………………………………………………………………………………………………….1p

…………………………………………………………………………………1p

Subiectul 2. …………………………………………………………………………...1p …………………………………………………………………………....1p

…………………………………………...2p

……...............................................................2p …..........................................................................................1p

Subiectul 3. Fie D numărul si ……………………………………...2p

si .............................................................................2p

..........................................................................................1p

.........................................1p

…………………………… .1p

Subiectul 4.Fie numere naturale consecutive: 1,2,3,...,n

Ştim ca 7 numere naturale consecutive împărtite la 7 dau şi

156 = 21 7 + 9 avem 7 grupe complete de 7 numere consecutive cu suma resturilor 21 şi grupa 8 incompletă are suma resturilor 9Dupa ordinea resturilor avem urmatoarele cazuri posibile:I 4,5,6,0,1,2,3 grupa incompletă cu resturile 2,4,5 n=7.7+2=51II 2,3,4,5,6,0,1 grupa incompletă cu resturile 4,5 n=7.7+3=52III6,0,1,2,3,4,5 grupa incompletă cu resturile 6,0,1,2,3,4,5 n=7.7+4=53

Clasa a VI-a

Page 10: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE

Notă:orice rezolvare corectă, alta decât în baremul de mai jos, se punctează;

1. a) 4x + 503y = 2012 . 503y 2012, deci y { 0; 1; 2; 3; 4 } (1p)

Deoarece 4 / y , avem doar y { 0 ; 4 } (1p) ( x , y) { ( 503 , 0 ) ; ( 0 , 4 ) } (1p)

b) 22013 ∙ 52012 + 2012 = 2 ∙ 102012 + 2012 = + 2012 (1p)

= 2012; nu e pătrat perfect ( ultima cifră este 2 ). (1p)

41006 ∙ 52013 + 1 = 22012 ∙ 52013 + 1 = 5 1 (0,5p)

Numărul este divizibil cu 3 şi nu este divizibil cu 9; (1p)

Numărul nu e pătrat perfect. (0,5p)

2. a) x = (0,5p) ;

x = (0,5p) y = (0,5p) ; y = (0,5p) ;

Ma = = 0,5. (0,5p)

b) n = 70! ∙

n = 70! ∙ + 70! ∙ + 70! ∙ + … + 70! ∙ (0,5p)

Deoarece k / 70! , pentru orice k { 1; 2; 3; …; 70 }, avem 70! ∙ N, (1p)

Deci n este număr natural . (0,5p)

n = 70! ∙ + 70! ∙ + …+ 70! ∙ ; (1p) ;

(0,5p)

Page 11: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

n = 71 ∙ a ; cu a =70! ∙ + 70! ∙ +…+ 70! ∙ şi a N. (0,5p)

Deci n se divide cu 71. (0,5p)

3. m( AOD) =1100 ; (1p)

Fie [OM bisectoarea AOD, deci m( AOM) = m( DOM) =550 ; (1p)

Fie [ON bisectoarea BOC, deci m( CON) = m( BON); (1p)

m( NOM) =700, deci m( DON) =150 ; (1p)

m( CON) =350 ; (1p)

m( BOC) =2 m( CON) = 700 ; (1p)

m( AOB) =1600 ; (1p)

4. MN = 2012dm = 201,2 m ; (1p)

AB + BC = AC = 2x ∙ + 2y ∙ ; (1p)

= 2x ∙ 11a + 2y ∙ 11b ; (1p)

= 11∙ ( 2x ∙ a + 2y ∙ b ) 11 / (1p)

AC < MN 201 , deci a = 1 b = 7. (1p)

Ecuaţia devine: 2x + 2y ∙ 7 = 16 cu soluţia x=1şi y=1. (1p)

Deci, AB = 22dm. (1p)

Page 12: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a VII-aBAREM DE CORECTARE ŞI NOTARE

Notă:orice rezolvare corectă, alta decât în baremul de mai jos, se punctează;

71.a) ─── Є Z → (2x +1)│ 7 ……………….1p.

2x +1 D7 = { ± 1, ± 7 }..................1p.x Є { - 4,-1, 0, 3 }................1p.

1.b) 2x+9 2x +3 +6 6──── Є Z → ───── = 1 + ─── ...........................................1p. 2x+3 2x +3 2x +3

( 2x+3) │ 6 .......................................................0.5p. D6 = { ±1 , ±2 , ±3 , ± 6 } .................................0,5p.

2x +3 = nr. impar. .............................................0,5p.(2x+3) Є { ± 1,± 3 }..........................................0,5p.x Є{ -3, -2, -1, 0 }................................................1p.

2). a > 0 , b > 0 ..................................................................................1p.

1 1 a2= ────────────── ; b2= ───────────── .....2p. __________ __________

4017 + 2 √ 2008 · 2009 4017 + 2 √ 2007 · 2010

2008 · 2009 > 2007 · 2010 ...........................................................1p. a2 < b2 ..........................................................................................2p. a < b ............................................................................................1p.

3). Figura corect executată.................................................................1p. BF = FC – BC = 7,2 cm – 4 cm =3,2 cm......................................1p. EF ║ AC → ∆ BEF ~ ∆ BAC ( T.F.A.).......................................1p. BF 3,2 4 ── = ── = ── = k ....................................................................1p. BC 4 5

P∆BEF 4 ─── = k = —— ..........................................................................1p. P∆BAC 5 P∆BAC = 2cm + 3cm + 4cm = 9cm.................................................1p. P∆BEF = 7,2 cm...............................................................................1p.

- 2-

Page 13: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

4). - Figură corect executată ..................................................................0.5p. - Fie EF ║ AB , E Є (AD) , F Є (BC) şi O Є EF OF ║ AB → ∆ CAB ~ ∆ COF ( T.F.A.) ......................................0,5p.

OF CF— = — ( 1 ) ............................................................................0,5p.AB CB

EO ║ AB → ∆ DAB ~ ∆ DEO ( T.F.A.) ....................................0,5p.

EO DE— = — ( 2 ).............................................................................0,5p.AB DA CF DEAB║ EF║ DC → — = — ( 3 ) ......................................... 0,5p. CB DA

OF EO - Din ( 1 ) , ( 2 ) şi ( 3 ) → — = — → OF = EO, (4 )....... ...0,5p. AB AB MA PM AM║ EO→ ∆ PAM ~ ∆ PEO (T.F.A.) → —— = —— (5).......0,5p. OE PO PM MB MB║OF → ∆ PMB ~ ∆ POF ( T.F.A.) → —— = —— , (6).....0,5p. PO OF MA MB - Din (5) şi (6) → — = — , dar OE = OF → MA = MB ......0,5p. OE OF -Asemănător din ∆ POE ~ ∆ PND şi ∆ POF ~ ∆ PNC → ND = NC ...................................................................................2p.

Prof. Miron Vasile

Page 14: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Clasa a VIII-a

BAREM DE CORECTARE

Notă:orice rezolvare corectă, alta decât în baremul de mai jos, se punctează;

Subiectul 1.

a)

…………………0,5p

…………

………………0,5p

………………

………….. .0,5p……………

…………… 0,5p

…………… 0,5pObtinem : S = – 1 S2 =( – 1)2, de unde S2 = 1…………………………………………………………. 0,5pb) a = (x2 – 7x + 1)(x2 – 7x -1) –2 (x2 – 7x + 1)+ 4…………………… ................................................0,5p a = (x2 – 7x)2 – 2(x2 – 7x) +1 ……………………………………… ......................... ................... 0,5p a = (x2 – 7x + 1)2………………………………………………………........................... ................. 0,5p Finalizare a este patrat perfect ………………………………………............................................... 0,5pc) -3≤x≤2…………………………………………………………………………………………… 1p -4≤3x + 5≤11……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1p

Subiectul 2.

a)

…………………………………………………………………………………… 2p

Page 15: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

………………………………………………………………………………………………………… 1p

b)Obs ca < 0;

……………………………………………………………………………………….1p

; ,dar nu convine,deci …………………………………………..1p

c) …………………………………………………….2p

Subiectul 3. Realizarea desenului corespunzator datelor problemei….................................................2pVABC piramida triunghiulară regulată si M mijlocul segmentului BC VMBC....................................1pVBM isos si VMBC VM=BMVM= BC/2VBCdr.isos m (<BVC) = 90……………...1pVABC piramida triunghiulară regulatăVBC VBA VAC ( dr isos ).............1p

m (<BVC) = 90, m (<BVA) = 90, m (<AVC) = 90…1pVABC tetraedru tridreptunghic ,VA VB ,VA VC ,VB VC = VA (VBC) m(AV, (VBC))=90……………………………………………………1p

Subiectul 4.

a) Figura……………………………………………………………………………………..1p MA (ABC) ,constr. AD BC , BC (ABC) → MD BC (T3), d(M;BC) = MD…1p D mijlocul lui [BC] , ADB dr. → AD = 3 cm...................................................................1p AMD dr. ,MD = 2 cm………………………………………………………………...1p b) Fie AP MD în AMD. Avem BC (AMD),deci BC AP → AP (MBC) …………1p d[M;(MBC] = AP. şi AP = AM · AD/MD = 3/2cm…………………………………… 1pc) Unghiul plan coresp.diedrului este < ADM şi în AMD sin(< ADM) = AM/MD = /2=1/2 măs(< ADM) = 300…………………………………………………………………………1p

CLASA a IX-aBAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

1) a) Dacă sau atunci . (1p)

Page 16: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Dacă și avem:

i) și atunci și deci ; (1p)

ii) și atunci și , iar și

și deci . (1p)

iii) Dacă și , atunci și și sunt două situații:

și se obține ;

sau

și se obține . (1p)

b) Se demonstrează prin inducție.

Verificare: cf. a). (1p)

Demonstrație:

(2p)

2) , , (1,5p)

Fie .(1p) Cum și

se obține , oricare ar fi .

(3p)

Atunci și (1p), iar , oricare ar fi .(0,5p)

3) Din primul și al treilea raport avem

(1). (1p)

Din primul și al doilea raport avem

(2). (1p)

Dacă și cf. (2) se obține , de unde

. (2p)

Atunci din obținem și ceea ce

contrazice relația (1). (2p)Analog pentru avem contradicție. Deci , și înlocuind în relația (2)

rezultă . (1p)

4) bisectoare în (cf. teoremei bisectoarei). (1) (1p)

Page 17: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

bisectoare în (cf. teoremei bisectoarei)

(2) (1p)

Din (1) și (2) se obține .

Analog se demonstrează că și .(1p)

a) b),c)

și deci iar

(1p)

b) a)

Cum , oricare ar fi numere reale .

(1p)c) a)

și cum

, oricare ar fi numere reale .(1p)

Și în final dacă c) a) și a) b) atunci c) b) b) a) și a) c) atunci b) c) (1p)

Barem de corectare si notare clasa a X a

1.a) …………………………………..2p

………………………………..1p

……………………………………………………………..1p

Page 18: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

b)

1p

1

p

…………………………1p

2. ………………………………………………………

3p

………………………………………………..2p

..2p

3.a)

….................................................................................................................................3p

b) …………………………………......1p

3x-1>0 rezultă x>1/3 , x (1/3, )……………………………………………… 1p3-x>0 rezultă x<3 , x (- ,3) …………………………………………………….1pFinalizare x [1,3)………………………………………….1p4. Fie v km /h viteza cu care se deplasează in prima etapă.În a doua etapă Cătălin va avea viteza 2v……………………………………. 1pDacă este timpul ( in ore ) in care Cătălin parcurge primii 34 km ,iar este timpul

( in ore ) in care Cătălin parcurge următorii 36 km, atunci =13……...... 2pDacă d este distanţa parcursă in intervalul de timp t ore cu viteza constantă v, atunci d =vt..............................................................................................1pConform enunţului avem si ….................… .2p

Rezultă că v=4km/h……………………...1p

Page 19: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

Barem de corectare şi notare OLM clasa a XI a M1

1 Demonstraţia se face prin calcule directe sau folosind relaţia C-H şi se obţine egalitatea cerută………………………………………………………………….3p

Page 20: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

b) …………………..1p.

rezulta că …………..2p

demonstraţie prin inducţie matematică…………………………… …..1p

2. …………………………… …..1p

=

……………………………………………………………………………2p

……………….2p

= ……………1p

Rezultă = =

= ………………………………………1p

3. Avem cazul de nedeterminare ……………………………………1p

După transformările necesare avem

Page 21: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

4. Deoarece …………………………………………………2p

…………….3p

rezultă că limita cerută este - …………………………………………2p

Barem de corectare şi notare OLM clasa a XII a

Page 22: VRANCEA Cl. v XII Enunturi Si Bareme

1 Prin calcule rezultă că G = I4, A, A2, A3;……………………………………….4pVerificarea axiomelor grupului..........................................................................................3p

2. f admite primitive pe R dacă f continuă pe R................................................................1p Limitele laterale în 0 sunt : f (0-0) =arcctg() = ……………………......................2p f(0+0)= arcctg() = 0 ……………………........................2p arcctg() = f(0+0) arcctg() = 0 ........................................................................1p 0 este punct de discontinuitate de speţa I f nu are primitive pe R.............................1p

3.a ) Avem

şi …………………………………2 p

b) Fie : dacă

…………………………………………………………………………………2 p

Presupunem că ………………………………………………………

1p

Însumând relaţiile astfel obţinute avem:

Ţinând cont de faptul că obţinem

ceea ce contravine ipotezei. Deci …………………………..2 p

4. Se face substituţia x= -t,………………………………………………………… 2p

şi obţinem I= ……………………………………..2p

= …………………………………..2p

de unde rezultă I = 0 ......................................................................................................1p