Vybrané dopravní modelyVybrané dopravní modely

3. seminář OSA3. seminář OSA

Jednostupňová dopravní úlohaJednostupňová dopravní úloha

Komponenty modeluKomponenty modelu

DodavateléDodavatelé OdběrateléOdběratelé Dopravní trasyDopravní trasy Nákladové sazby přepravyNákladové sazby přepravy

DodavateléDodavatelé Nabízejí předmět přepravyNabízejí předmět přepravy Maximální kapacityMaximální kapacity

OdběrateléOdběratelé Poptávají předmět přepravyPoptávají předmět přepravy Minimální požadavkyMinimální požadavky

Dopravní trasyDopravní trasy Nelze přepravovat záporné množství Nelze přepravovat záporné množství Některé trasy mohou být uzavřenéNěkteré trasy mohou být uzavřené

Účelová funkceÚčelová funkce Minimalizují se přepravní nákladyMinimalizují se přepravní náklady Součin přepravovaného množství a ceny za Součin přepravovaného množství a ceny za

přepravu jedné jednotky přepravu jedné jednotky

Matematický zápis modeluMatematický zápis modeluxij – množství přepravovaného produktu od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteliai – kapacita i-tého dodavatelebj – požadavek j-tého odběratelecij – cena za přepravu jednotky produktu od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli

xi1 + xi2 + … + xin ai i = 1, 2, …, m omezení kapacit dodavetelů

zajištění požadavků odběratelůx1j + x2j + … + xmj bj j = 1, 2, …, n

z = c11x11 + c12x12 + … + cmnxmn min. kritérium – minimalizace celkových nákladů

xij 0 nezápornost přepravovaného množství

Uzavřená trasa – prohibitivní sazba v účelové funkci

Postup řešení JDÚPostup řešení JDÚ

1.1. Vyvážení požadavků a kapacitVyvážení požadavků a kapacit2.2. Nalezení přípustného výchozího řešeníNalezení přípustného výchozího řešení3.3. Testování optimality aktuálního řešeníTestování optimality aktuálního řešení4.4. Není-li řešení optimální, přechod k novému Není-li řešení optimální, přechod k novému

přípustnému řešení, jinak konecpřípustnému řešení, jinak konec5.5. Zpět k bodu 3Zpět k bodu 3

PříkladPříkladBramboryZe tří zemědělských farem dodáváme ročně brambory do čtyř skladů.Náklady na přepravu 1t v Kč od jednotlivých farem do skladů, kapacity farem a požadavky skladů v t jsou uvedeny v podkladové tabulce. Najděte optimální plán rozvozu – tj. při kterém budou dopravní náklady minimální.   

1)      Je tato úloha vyvážená ?2)      Najděte výchozí řešení pomocí VAM3)      Vyřešte tento problém4)      Interpretujte výsledné optimální řešení

Roční kapacita farem (t)1 2 3 4

1 12 12 8 13 100Farmy 2 7 10 7 11 250

3 6 9 12 11 200150 130 120 150

SkladyNáklady na přepravu

Požadavky skladů (t)

Vyváženost dopravní úlohyVyváženost dopravní úlohy Rovnost součtu kapacit dodavatelů a součtu Rovnost součtu kapacit dodavatelů a součtu

požadavků spotřebitelůpožadavků spotřebitelů Převis na straně nabídky – fiktivní odběratelPřevis na straně nabídky – fiktivní odběratel Převis na straně poptávky – fiktivní dodavatelPřevis na straně poptávky – fiktivní dodavatel Kapacita (požadavek) = Kapacita (požadavek) = ||rozdíl N a Prozdíl N a P|| Přepravní sazby = 0Přepravní sazby = 0

Nalezení výchozího řešeníNalezení výchozího řešení Metoda severozápadního rohuMetoda severozápadního rohu Indexová metodaIndexová metoda Vogelova aproximační metodaVogelova aproximační metoda

Testování optimality řešeníTestování optimality řešení

Výpočet duálních hodnot uVýpočet duálních hodnot uii a v a vjj

Ve vhodné řadě zvolíme uVe vhodné řadě zvolíme uii nebo v nebo vjj rovno nule rovno nule Ve všech ostatních řadách dopočítáme uVe všech ostatních řadách dopočítáme uii a v a vjj tak, aby pro všechna obsazená pole platilo, že tak, aby pro všechna obsazená pole platilo, že uuii + v + vjj = c = cijij

Řešení je optimální, pokud pro všechna Řešení je optimální, pokud pro všechna

neobsazená pole platí, že neobsazená pole platí, že uuii + v + vjj – c – cij ij 0 0

Přípustnost nového řešeníPřípustnost nového řešení Dantzigovy uzavřené obvodyDantzigovy uzavřené obvody Na nově obsazované pole přidáváme, na Na nově obsazované pole přidáváme, na

ostatních polích střídavě ubíráme a přidávámeostatních polích střídavě ubíráme a přidáváme Nikde nesmí být záporné množství, proto Nikde nesmí být záporné množství, proto

přesouváme minimum z polí, kde ubírámepřesouváme minimum z polí, kde ubíráme Nesmíme rozhodit splnění omezujících Nesmíme rozhodit splnění omezujících

podmínek, proto přičítáme (odčítáme) stejné podmínek, proto přičítáme (odčítáme) stejné množstvímnožství

Příklad k procvičeníPříklad k procvičeníRozvoz kompostuRozvoz kompostuZávod na kompostování přírodního odpadu zpracovává tento odpad ve třech od sebe vzdálených kompostárnách. Dopravní náklady na rozvoz kompostu jsou velmi vysoké. Odběratelé kompostu jsou čtyři, jsou známy vzdálenosti mezi kompostárnami a odběrateli, kapacity kompostáren a objednávky odběratelů.

Vzdálenosti OI OII OIII OIV Kapacity KI 15 25 40 30 350 t KII 30 7 8 11 200 t KIII 3 40 23 18 100 t

Objednávky 80 t 150 t 200 t 120 t

Která kompostárna má zásobovat jednotlivé odběratele, jestliže má být minimalizován celkový počet tunokilometrů?

Další typy dopravních problémůDalší typy dopravních problémů

Přiřazovací problémPřiřazovací problém Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů (m)Stejný počet dodavatelů a spotřebitelů (m) Čtvercová matice sazebČtvercová matice sazeb Přiřazení 1:1Přiřazení 1:1 Silně degenerovaná řešeníSilně degenerovaná řešení Maďarská metodaMaďarská metoda

Maďarská metodaMaďarská metoda1) Primární redukce – od každé řady odčítáme hodnou minimálního 1) Primární redukce – od každé řady odčítáme hodnou minimálního

prvkuprvku2) Vybíráme nezávislé nuly a vedeme krycí čáry2) Vybíráme nezávislé nuly a vedeme krycí čáry - nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci- nula je nezávislá, je-li jediná v řádku nebo sloupci - krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé - krycí čáru vedeme přes řadu, která je kolmá na řadu nezávislé

nulynuly3) Je-li počet krycích čar menší než m =3) Je-li počet krycích čar menší než m =>> sekundární redukce: sekundární redukce: - vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků- vybereme minimum z nepřeškrtnutých prvků

- toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí- toto minimum odečteme od nepřeškrtnutých polí- 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny- 1x přeškrtnutá pole necháme beze změny- 2x přeškrtnutá pole – k těmto minimum přičteme- 2x přeškrtnutá pole – k těmto minimum přičteme

Zpěk k bodu 2 tak dlouho, dokud počet krycích čar není roven mZpěk k bodu 2 tak dlouho, dokud počet krycích čar není roven m

PříkladPříklad

Garáž 1 Garáž 2 Garáž 3 Garáž 4Auto 1 20 25 18 14Auto 2 34 36 28 22Auto 3 15 17 14 14Auto 4 22 25 19 20

Navrhněte plán rozvozu aut do gararáží tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální

Okružní dopravní problémOkružní dopravní problém Problém pošťáka, problém obchodního cestujícíhoProblém pošťáka, problém obchodního cestujícího Dána síť míst, která je potřeba projít tak, žeDána síť míst, která je potřeba projít tak, že

do každého místa se jde právě jednoudo každého místa se jde právě jednou skončí se tam, odkud se začalo (uzavře se okruh),skončí se tam, odkud se začalo (uzavře se okruh),

Minimalizuje se délka trasyMinimalizuje se délka trasy Přibližné řešeníPřibližné řešení Metoda nejbližšího sousedaMetoda nejbližšího souseda Vogelova aproximační metodaVogelova aproximační metoda

PříkladPříklad

Naplánujte trasu návštěv vybraných měst v ČR tak, Naplánujte trasu návštěv vybraných měst v ČR tak, aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. aby celková ujetá vzdálenost byla minimální. Přepravní vzdálenosti jsou v tabulce:Přepravní vzdálenosti jsou v tabulce:

Brno Jihlava Luhačovice Olomouc Strážnice Svitavy Zlín ZnojmoBrno - 86 104 77 76 71 98 65Jihlava 86 - 190 163 162 103 184 75Luhačovice 104 190 - 86 53 164 23 163Olomouc 77 163 86 - 95 78 63 142Strážnice 76 162 53 95 - 147 52 115Svitavy 71 103 164 78 147 - 141 136Zlín 98 184 23 63 52 141 - 162Znojmo 65 75 163 142 115 136 162 -

Příklad k procvičeníPříklad k procvičeníNaplánujte výlet po kopcích tak, aby celková délka trasy byla minimální

Syslík Skalka Zaječí Špičák Kaňkov BořeňSyslík 100 9 11 5 14 17Skalka 9 100 14 6 12 8Zaječí 11 14 100 6 13 16Špičák 5 6 6 100 8 7Kaňkov 14 12 13 8 100 7Bořeň 17 8 16 7 7 100

Analýza výsledkůAnalýza výsledků

Optimální řešeníOptimální řešení Alternativní řešeníAlternativní řešení Suboptimální řešeníSuboptimální řešení Analýza citlivosti vzhledem k změnám cenAnalýza citlivosti vzhledem k změnám cen Analýza citlivosti vzhledem k změnám pravých Analýza citlivosti vzhledem k změnám pravých

stranstran