Vyuziti GeoGebry ve vyuce matematiky a geometriekonference3mi.vsb.cz/images/dokumenty/workshop/workshop... · 2016-11-15 · Geometrie, algebra a tabulkový procesor vzájemne dynamicky

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie

Workshop na konferenci 3µ 2015Horní Lomná, 1. – 3. cervna 2015

Jana BelohlávkováDagmar Dlouhá

Radka HamríkováZuzana MorávkováRadomír Palácek

Petra SchreiberováJana VolnáPetr Volný

Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

3µ 2015 Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie

GeoGebra je multiplatformní matematický software,který umožnuje každému získat neobvyklý rozhled, který nám dává matematika.

Poskytuje špickový software a materiály do rukou ucitelu a studentu po celém svete.

Co je GeoGebra?

GeoGebra je dynamický matematický software pro všechny úrovne vzdelávání, který spojujegeometrii, algebru, tabulkový procesor, grafy, statistiku a analýzu do jednoho snadno pou-žitelného balícku.

GeoGebra je rychle rostoucí komunita milionu uživatelu žijících prakticky ve všech zemíchsveta.

GeoGebra se stala špickovým poskytovatelem dynamického matematického softwaru podpo-rujícího vedu, technologii, inženýrství a matematiku (STEM).

Strucný prehled

• Geometrie, algebra a tabulkový procesor vzájemne dynamicky propojené.

• Snadno použitelné ovládání, mnoho užitecných funkcí.

• Nástroj na tvorbu interaktivních výukových materiálu v podobe webových stránek.

• V Ceštine a mnoha dalších jazycích, pro miliony našich uživatelu po celém svete.

• Open source software volne dostupný nekomercním uživatelum.

http://www.geogebra.org

Studenti ji milují, protože... delá matematiku hmatatelnou. GeoGebra propojuje geometrii a al-gebru novým, vizuálním zpusobem. Studenti mohou konecne matematiku videt a zažít na vlastnídotyk.

Ucitelé ji milují, protože... umožnuje ucitelum pokracovat v ucení. GeoGebra nenahrazuje uci-tele. Pomáhá jim delat to, co umí nejlépe – ucit.

Školy ji milují, protože...Studenti používající GeoGebru = Studenti s vetší motivací = Studenti s lepšími výsledky.

II

http://www.geogebra.org

Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015

Co se naucíte na našem workshopu?

První pohled na 3D v GeoGebreJana Volná, Petr Volný ([email protected],[email protected])V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je nove v GeoGebreobsažen.

3D GeoGebra ve výuce Matematiky IIPetra Schreiberová ([email protected])V rámci kurzu Matematika II se venujeme geometrickým aplikacím urcitého integrálu a funkcidvou promenných. Studentum obcas delá problémy si predstavit rotacní teleso vzniklé rotacírovinného útvaru ci graf funkce dvou promenných, príp. tecnou rovinu. GeoGebra poskytuje ná-stroj k vizualizaci techto problému.

Numerická integraceZuzana Morávková ([email protected])Ukážeme si práci s objektem seznam. Dále užití príkazu Posloupnost pro vytvorení seznamuhodnot, príkazu Prvek, který slouží k výberu jednoho prvku ze seznamu a príkazu Vyber, kterývybere cást ze seznamu.

Cyklus for a iterace v GeoGebreJana Belohlávková ([email protected])V Geogebre (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje prímá podpora pro cyklus. Standardne senabízí dva zpusoby, jak se vyporádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud’ vytvorit tzv. nástroj,nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených zpusobu není zcela uspokojující, protože aniv jednom nemužeme zadat pocet opakování a jsme nuceni bud’ jednotlivé kroky „naklikat rucne“nebo „rucne roztáhnout tabulku“. Príspevek popisuje jiný zpusob, který tento nedostatek odstra-nuje a nahrazuje tím chybející príkaz pro cyklus for.

Rezy rotacní kuželové plochyRadomír Palácek ([email protected])Prostrednictvím vytvoreného apletu se seznámíme s rezy na rotacní kuželové ploše. K jehotvorbe využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebre nove k dispozici. Aplet je možnépoužít také ve výuce, kde muže nápomoci ke zdokonalení prostorové predstavivosti studentua zlepšení pochopení dané problematiky.

GeoGebra 3D v deskriptivní geometriiRadka Hamríková, Dagmar Dlouhá ([email protected],[email protected])Pro zájemce jsme pripravily 2 jednoduché úlohy jak zacít ve 3D GeoGebre.

III

Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie3µ 2015

První pohled na 3D v GeoGebre

Jana Volná, Petr VolnýKatedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava

Abstrakt: V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je novev GeoGebre obsažen.

Od páté verze GeoGebra obsahuje 3D modul, který je plne propojen se všemi ostatními cástmiGeoGebry. V rámci 3D zobrazení je možné používat veškeré manipulace s nákresnou tak, jakje to možné realizovat s nákresnou pro 2D zobrazení. Objekty ve 3D lze zadávat bud’ výberempríslušného nástroje z menu aplikace, nebo s využitím príkazového rádku.

V našem príspevku se zameríme predevším na seznámení se s 3D modulem. Na naši úvodnílekci pak naváže série lekcí, z nichž nekteré již budou zamereny na konkrétní problémy ve 3D.

Pracujeme s GeoGebrou verze 5.0.119.0-3D.

Autori dekují za podporu svému pracovišti.


Pri otevrení aplikace GeoGebra na vašem pocítaci na vás vyskocí úvodní okno s nabídkou mo-dulu. Vybereme modul 3D grafika. Pokud nabídka zmizí, je možné zapnout 3D zobrazení volbouz menu aplikace: Zobrazit→Grafický náhled 3D.

• Otevrete 2D okno: Zobrazit→Nákresna

• Zkuste prepínat mezi 2D a 3D zobrazením prostým kliknutím myši do prostoru jednotlivýchoken a pozorujte, jak se mení nabídka v menu. Pro každý modul, at’ už 2D nebo 3D je k dispo-zici odpovídající sada nástroju.

J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava V


Príklad 1: Schodište

Zadání: Sestrojte trojboký hranol s podstavnou stenou ležící v pudorysné rovine. Pomocí trans-lace a rotace hranolu vytvorte tocité schodište.

Konstrukce

1. Klikneme myší do 2D okna - nákresny.

2. Pomocí tohoto nástroje posuneme nákresnu podle potreby.

3. Zadáme tri body: A=(0,0), B=(2,-3) a C=(3,-2).

4. Sestrojíme trojúhelník ABC.

5. Vytvoríme posuvník; Název: vyska, Interval: od 0.1 do 1, Krok: 0.1.

6.Klikneme do 3D okna. Zvolíme nástroj Vytažení do hranolu nebo válce- klikneme na trojúhelník ve 3D zobrazení a poté do dialogového okna zapíšemehodnotu danou posuvníkem, zapíšeme tedy hodnotu vyska.

• Skryjeme 2D nákresnu. Zrušíme popisy hran a vrcholu hranolu. V algebraickém okne po-stupne klikáme pravým tlacítkem myši na Bod → Zobrazit objekt; Hranol → Zobrazitpopis; Úsecka→ Zobrazit popis. 3D pohledem je možné otácet pomocí nástroje Otocit

Grafický náhled 3D a Pohybovat s nákresnou . Rozklikneme nabídku Gra-fický náhled 3D (Prepnout formátovací panel). Tato nabídka se mení podle výberukonkrétního nástroje nebo objektu.

• Vyzkoušejte jednotlivé ikony, které nabídka nabízí. My se soustredíme nejdríve na ikonu pro ro-

VI J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


tace - Zacít nebo zastavit otácení panelu - . Po rozkliknutí nabídky Zacít nebozastavit otácení panelu je možné nastavit na lište rychlost rotace a její orientaci, bud’ vesmeru anebo proti smeru chodu hodinových rucicek. Poznamenejme, že je také možné otácetpohledem, pokud na 3D nákresnu klikneme a pridržíme pravé tlacítko myši.

• Další položkou je ikona pohledu - Smer pohledu - . Po kliknutí na tuto ikonu se pohledprenastaví na defaultní nastavení. Po rozkliknutí nabídky máme možnost zvolit základnípohledy v poradí - pudorys - nárys - bokorys .

Konstrukce

1. Zmeníme barvu hranolu na zelenou. Klikneme na hranol v Algebraickém okne az nabídky (lišta v horní cásti 3D okna) vybereme zelenou barvu.

2. Zobrazíme 2D nákresnu: Zobrazit→ Nákresna.

3. Zmeríme úhel α =BAC.

4. Vytvoríme posuvník; Název: pocet, Interval: od 1 do 20, Krok: 1.

5. Posloupnost[Posun[Rotace[d,n*α],Vektor[(0,0,n*vyska)]],n,1,pocet-1].

Vytvorili jsme schodište, u kterého je možné menit pocet a výšku schodu. Pomocí nástroje

Pohybovat s nákresnou presuneme pudorysnou rovinu úplne dolu. Horizontální vs.vertikální posun meníme kliknutím levého tlacítka myši na pudorysnou rovinu.

• Zkuste schodištem rotovat a využívat ruzné smery pohybu.

J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava VII


Na záver ješte vyzkoušíme jedno velmi zajímavé zobrazení 3D objektu. Jedná se o anagly-fické zobrazení, které umožnuje pomocí speciálních 3D brýlí simulovat prostorový vjem. Volímepoložku Vyberte typ promítání→ Promítání pro anaglyfické brýle.

VIII J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


3D GeoGebra ve výuce Matematiky II

Petra SchreiberováKatedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava

Abstrakt: V rámci kurzu Matematika II se venujeme geometrickým aplikacím urcitého integrálua funkci dvou promenných. Studentum obcas delá problémy si predstavit rotacní teleso vzniklérotací rovinného útvaru ci graf funkce dvou promenných, príp. tecnou rovinu. GeoGebra posky-tuje nástroj k vizualizaci techto problému.

První úlohaUkážeme si zpusob, jak lze využít 3D GeoGebru k vizualizaci a tvorbe rotacního telesa.

Druhá úlohaVyužijeme GeoGebru k pochopení pojmu tecné roviny ke grafu funkce dvou promenných.

Autorka dekuje za podporu svému pracovišti.


Príklad 2: Rotacní teleso

Zadání: Zakreslete rovinný útvar ohranicený grafy funkcí f(x) = x3 − 2x + 1, h(x) = x − 1.Vytvorte rotacní teleso vzniklé rotací tohoto útvaru kolem osy x.

Rešení:

1. Otevreme GeoGebru.

2. Vykreslíme grafy funkcí, které ohranicují daný rovinný útvar. Klikneme do vstupu azadáme príkaz.

3. Do vstupu zadáme predpis funkce f(x).

4. Do vstupu zadáme predpis funkce h(x).

V menu Zobrazit zvolíme možnost Grafický náhled 3D.

5. Nalezneme prusecíky obou funkcí.

Prusecík lze nalézt i klikem na ikonu prusecík a následným klikem na obe funkce v ná-kresne.

Z grafu funkcí si necháme znázornené pouze cásti omezující rovinný útvar.

6. Vykreslíme graf funkce f(x) v mezích x(A), x(B).

7. Vykreslíme graf funkce h(x) v mezích x(A), x(B).

V algebraickém okne zmeníme viditelnost funkcí f(x) a h(x).

X P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Vzniklý rovinný útvar zacneme rotovat kolem osy x. Potrebujeme vytvorit úhel rotace. Toto pro-vedeme využitím posuvníku v Nákresne.

8. Klik na ikonu posuvníku, následne na nákresnu a vytvoríme si posuvníkpro úhel α - interval zvolíme s krokem 1◦.

9. Dáme použít.

Navolíme osu rotace.

10. Do vstupu zadáme predpis y = 0.

Zacneme rotovat. Nejdríve si musíme vyjádrit dané krivky parametricky.

P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XI


11. Zadáme do vstupu príkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde ob-jekt je p(x), úhel α a osou je objekt a.

12. Zadáme do vstupu príkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde ob-jekt je r(x), úhel α a osou je objekt a.

Pomocí posuvníku volbou úhlu zacne rovinný útvar rotovat.

Pro znázornení telesa, které touto rotací vznikne, musíme zaškrtnout u parametrických krivekvolbu stopa zapnuta a v posuvníku zvolíme animace zapnuta (pravým klikem na objekty v alge-braickém okne).

13. Pro lepší názornost lze v grafickém náhledu odstranit rovinuxy.

XII P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Príklad 3: Tecná rovina

Zadání: Zakreslete graf funkce f(x, y) = 0.5x2 + 2y2 a naleznete rovnici tecné roviny ke grafufunkce v daném bode. Tecnou rovinu znázornete.

Rešení:

Otevreme GeoGebru a zobrazíme grafický náhled 3D. V 3D náhledu pomocí skryjeme ro-vinu xy.

1. Znázorníme graf funkce zadáním predpisu do vstupu.

Zvolíme bod na ploše.

2. Volbou bod na objektu a následným klikem na osu x a y dostaneme 2 bodyA,B.

3. Vytvoríme bod v rovine xy se souradnicemi [x(A), y(B)].

4. Znázorníme bod na ploše grafu se souradnicemi[x(A), y(B), f(x(A), y(B))].

V 3D náhledu pomocí lze pootocit graf.

Bod na ploše lze dynamicky menit posunutím bodu A,B.

P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XIII


Pro nalezení rovnice tecné roviny a normály je potreba urcit normálový vektor, tzn. parciálníderivace funkce. Do vstupu zadáme príkaz Derivace[funkce, promenná].

5. Získáme parciální derivaci podle x.

6. Získáme parciální derivaci podle y.

Nalezené parciální derivace schováme a vytvoríme smerové vektory (príkaz Vektor[pocátecníbod,koncový bod]).

7. Smerový vektor odpovídající parciální derivaci podle x v bode D.

8. Smerový vektor odpovídající parciální derivaci podle y v bode D.

Pro lepší prehlednost mužeme zmenit tloušt’ku a barvu smerových vektoru (pravý klik na objektvektoru a zvolit možnost Vlastnosti).

Pomocí vektorového soucinu ⊗ urcíme normálový vektor.

9. Normálový vektor v bode D.

10. Znázorníme tecnou rovinu, bod je D a vektor n.

Nalezli jsme rovnici tecné roviny.

XIV P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Postrehy a poznámky

Pri tvorbe bodu lze zápis zprehlednit volbou a = x(A), b = y(B) a následne C = (a, b),D = (a, b, f(a, b)).

P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XV


Numerická integrace

Zuzana MorávkováKatedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava

Abstrakt: Ukážeme práci s objektem seznam. Dále užití príkazu Posloupnost pro vytvoreníseznamu hodnot, príkazu Prvek, který slouží k výberu jednoho prvku ze seznamu a príkazuVyber, který vybere cást ze seznamu.

Numerická integrace lichobežníkovým pravidlemSestrojíme aplikaci na výpocet približné hodnoty urcitého integrálu lichobežníkovým pravidlem.Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integracní meze pomocí textových polí.

Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlemSestrojíme aplikaci na výpocet približné hodnoty urcitého integrálu složeným lichobežníkovýmpravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integracní meze pomocí textových polí. Dáleje k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

Príspevek vznikl za podpory projektu FRVS2015/158 Inovace predmetu Numerická matematikana Fakulte strojní Vysoké školy bánské-Technické univerzite Ostrava. Autorka také dekuje zapodporu svému pracovišti.


Príklad 4: Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem

Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpocet približné hodnoty urcitého integrálu lichobežníkovýmpravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integracní meze pomocí textových polí.

Obrázek 1: Náhled na aplikaci

Konstrukce

Nejprve si vytvoríme textová pole pro zadání integrované funkce a mezí.

1. Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2)

2. Vytvoríme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x).

3. Zadáme integracní mez: a=1

4. Vytvoríme textové pole pro integracní mez s popisem a= a propojíme s objektema.

5. Zadáme integracní mez: b=2

6. Vytvoríme textové pole s popisem b= a propojíme s objektem b.

Poznámka: Textovým polím pro zadání integracních mezí lze zmenit délku. viz. Vlastnosti - Styl.

Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XVII


Integrovanou funkci na intervalu 〈a, b〉 interpolujeme lineární funkcí. Hodnotu urcitého integrálu∫ ba f(x) dx tedy nahradíme obsahem lichobežníku.

7. Zadáme body: A=(a,f(a)) a B=(b,f(b))

8. Vytvoríme úsecku: Usecka[A,B]9. Zadáme body: C=(b,0) a D=(a,0)

10. Vytvoríme lichobežník urcený body ABCD. Klikneme postupne na jednotlivébody a zadávání ukoncení kliknutím na první bod.

11. Obsah lichobežníku je približnou hodnotou urcitého integrálu.

Príklad 5: Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravi-dlem

Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpocet približné hodnoty urcitého integrálu složeným lichobež-níkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integracní meze pomocí textovýchpolí. Dále je k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

Obrázek 2: Náhled na aplikaci

XVIII Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Popis metody

Na intervalu 〈a, b〉 vytvoríme ekvidistantní sít’ xi = a+ ih pro i = 0, 1, . . . , n, kde h = b−an

.Integrovanou funkci na každém intervalu 〈xi−1, xi〉, i = 1, . . . , n interpolujeme lineární funkcí.Oznacme hodnoty funkce v uzlech yi = f(xi), i = 0, . . . , n.

Pak približná hodnota integrálu je:

I ≈ h

2 (y0 + y1) + h

2 (y1 + y2) + h

2 (y2 + y3) + · · ·+ h

2 (yn−1 + yn) = h

2

(y0 + 2

n−1∑1yi + yn

)(?)

Konstrukce

Nejprve si vytvoríme textová pole pro zadání integrované funkce a integracních mezí.

1. Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2)

2. Vytvoríme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x).

3. Zadáme integracní mez: a=1

4. Vytvoríme textové pole s popisem a = a propojíme s objektem a.

5. Zadáme integracní mez: b=2

6. Vytvoríme textové pole s popisem b = a propojíme s objektem b.

Promenná n urcující pocet dílu, na který rozdelíme interval 〈a, b〉, bude nabývat hodnot n =1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .

7. Zadáme: r=6

8. Vytvoríme posuvník pro celá císla. Název má k a jeho hodnoty jsou od 1 do r.

9.Budeme pocítat s prvními r prvky z posloupnosti {1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .}.Tedy pomoci príkazu Posloupnost vytvoríme seznam hodnot {2j−1}r

1:nn=Posloupnost[2^(j-1),j,1,r]

10. Nastavíme hodnotu n jako k-tý prvek ze seznamu nn pomocí príkazu Prvek:n=Prvek[nn,k]

Nyní mužeme postupovat dvema zpusoby.

Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XIX


První možnost je sestrojit lichobežníky a secíst jejich obsahy.

11.a Vypocítáme krok delení: h=(b-a)/n

12.a Vytvoríme body (xi, f(xi)) i = 0, . . . n ležící na grafu funkce (viz Obrázek 3):F=Posloupnost[(a+i*h,f(a+i*h)),i,0,n]

13.a A vytvoríme lomenou cáru procházející body Fj (viz Obrázek 3):lomena=Posloupnost[Usecka[Prvek[F,j],Prvek[F,j+1]],j,1,n]

14.a Vytvoríme body (xi, 0) i = 0, . . . n ležící na ose x (viz Obrázek 3):X=Posloupnost[(a+i*h,0),i,0,n]

15.aA vytvoríme lichobežníky urcené body Fj Fj+1 Xj+1 Xj, j = 1, . . . , n:lich=Posloupnost[Mnohouhelnik[Prvek[F,j],Prvek[F,j+1],Prvek[X,j+1],Prvek[X,j]],j,1,n]

16.a Secteme obsahy lichobežníku: I=Suma[lich]

Fj

Fj+1

Xj Xj+1

h

a b

f

Obrázek 3

yi

yi+1

h

a b

f

xi xi+1

Obrázek 4

Druhá možnost je vypocítat približnou hodnotu integrálu podle vzorce (?).11.b Vypocítáme krok delení: h=(b-a)/n

12.b Vytvoríme hodnoty xi = a+ ih, i = 0, . . . , n (viz Obrázek 4):xx=Posloupnost[a+i*h,i,0,n]

13.b A vypocítáme funkcní hodnoty f(xi) (viz Obrázek 4): yy=f(xx)

14.b Podle vzorce (?) spocítáme približnou hodnotu urcitého integrálu:II=h/2*(Prvek[yy,1]+2*Suma[Vyber[yy,2,n]]+Prvek[yy,n+1])

XX Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Cyklus for a iterace v GeoGebre

Jana BelohlávkováKatedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava

Abstrakt: V GeoGebre (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje prímá podpora pro cyklus. Stan-dardne se nabízí dva zpusoby, jak se vyporádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud’ vytvorittzv. nástroj, nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených zpusobu není zcela uspokojující,protože ani v jednom nemužeme zadat pocet opakování a jsme nuceni bud’ jednotlivé kroky„naklikat rucne“ nebo „rucne roztáhnout tabulku“. Príspevek popisuje jiný zpusob, který tentonedostatek odstranuje a nahrazuje tím chybející príkaz pro cyklus for.

Autorka dekuje za podporu svému pracovišti.


Príklad 6: Seznámení s príkazy

Zadání: Vytvorte n bodu (i,i) s názvem Ai tak, aby se se zmenou hodnoty n menil jejich pocet.

Než pristoupíme k rešení príkladu, seznamme se s príkazy, které budeme potrebovat. Príkazyzadáváme do vstupního pole.

• Posloupnost[<Výraz>,<Promenná>,<Pocátecní hodnota>,<Koncová hodno-ta>] vytvorí seznam objektu definovaných výrazem a promennou.

• Vykonat[<Seznam textu>] vykoná seznam príkazu vložených jako text. Názvy prí-kazu musí být anglicky.

• Smazat[<Objekt>] smaže objekt. Jeho anglická verze je Delete[<Objekt>].

Vyzkoušejte si:

• S0={1,4,5}

• S1={"n=5","A=(1,3)","k=Circle[A,n]"}

• Vykonat[S1]

• Vykonat[{"Delete[k]"}]

• S3=Posloupnost[(i,i),i,1,n]

• S4=Posloupnost["A_{i}=(i,i)",i,1,n]

• S5=Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n]

Konstrukce

1. Vytvoríme posuvník n od 0 do 50 s krokem 1.

2.

Do dialogového okna posuvníku n v záložce Skriptování, Po aktualizaci vložímepríkazyVykonat[Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n]]Vykonat[Posloupnost["Delete[A_{"+i+"}]",i,n+1,50]] podle Ob-rázku 1.

Obrázek 1: Dialogové okno pro skriptování

XXII J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Príklad 7: Regula-falsi

Zadání: Zobrazte n iterací metody regula-falsi.

Obrázek 2: Regula falsi

Príkazy, které budeme potrebovat:

• Spoj[<Seznam seznamu>] spojí seznam seznamu v jeden seznam.

• Kdyz[<Podmínka>,<Pak>,<Jinak>] pokud je splnena podmínka, definuje objekt jakoPak, není-li splnena jako Jinak. Anglická verze If[<Podmínka>,<Pak>,<Jinak>].

• NastavitPodminkuZobrazeni[<Objekt>,<Podmínka>] nastaví podmínku viditel-nosti daného objektu.

• Usecka[<Bod>,<Bod>] vytvorí úsecku, anglická verze Segment[<Bod>,<Bod>].

Vyzkoušejte si:

• S1={{"n=5","A=(1,3)"},{"B=(2,4)","C=(5,1)"}}

• Vykonat[S1] Ohlásí chybu.

• S2=Spoj[S1]

• Vykonat[S2]

• u=Kdyz[n>3,Usecka[A,B], Usecka[A,C]]

• NastavitPodminkuZobrazeni[A,n>0]

Máme-li více príkazu v jedné iteraci, bude výsledný príkaz sestaven takto:Vykonat[Spoj[Posloupnost[{"prikaz1","prikaz2","prikaz3"},i,0,n]]]

J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXIII


V našem prípade budou v jedné iteraci tyto príkazy:Ai=(ai,f(ai))Bi=(bi,f(bi))ui=Usecka[Ai,Bi]ci=ai-(bi-ai)/(f(bi)-f(ai))*f(ai),a(i+1)=If[sgn(f(ai))==sgn(f(ci)),ci,ai]b(i+1)=If[sgn(f(bi))==sgn(f(ci)),ci,bi]Ri=(ci,0)

Konstrukce

1. Vytvoríme posuvník n od 0 do 10 s krokem 1.

2. f(x)=2*xˆ3-4*xˆ2+3*x

3. a0=-1

4. b0=1

5. Tlacitko[]

6.

Do dialogového okna tlacítka v záložce Sriptovaní, Po kliknutí vložíme príkaz:Vykonat[Spoj[Posloupnost[{ "A"+i+"=(a"+i+",f(a"+i+"))","B"+i+"=(b"+i+",f(b"+i+"))","u"+i+"=Segment[A"+i+",B"+i+"]","c"+i+"=a"+i+"-(b"+i+"-a"+i+")/(f(b"+i+")-f(a"+i+"))*f(a"+i"a"+(i+1)+"=If[sgn(f(a"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",a"+i+"]","b"+(i+1)+"=If[sgn(f(b"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",b"+i+"]","R"+i+"=(c"+i+",0)"}, i,0,n]]]viz. Obrázek 3.

7.

Podmínky viditelnosti nastavíme pridáním príkazu:Vykonat[Posloupnost["SetConditionToShowObject[A"+i+",n>="+i+"]",i,0,n]]A podobne pro body Bi,Ri a úsecky ui.

Obrázek 3: Pozor na správné vložení príkazu

XXIV J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Poznámky

Další príkazy, které by mohly být užitecné:

• NastavitStylBodu[<Bod>,<Císlo>]

• NastavitVelikostBodu[<Objekt>, <Císlo> ]

• NastavitBarvu[<Objekt>,"<barva>"]

• ZobrazitPopis[<Objekt>, <Logická hodnota> ]

• NastavitTloustkuCary[<Cára>,<Císlo>]

• NastavitStylCary[<Cára>,<Císlo>]

Zdroj

https://wiki.geogebra.org/en/Main_Page

J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXV


Rezy rotacní kuželové plochy

Radomír PalácekKatedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava

Abstrakt: Prostrednictvím vytvoreného apletu se seznámíme s rezy na rotacní kuželové ploše.K jeho tvorbe využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebre nove k dispozici. Aplet jemožné použít také ve výuce, kde muže nápomoci ke zdokonalení prostorové predstavivosti stu-dentu a zlepšení pochopení dané problematiky.

Rezy rotacní kuželové plochyVytvorte aplet, který bude demonstrovat rezy rotacní kuželové plochy rovinou.

Autor dekuje za podporu svému pracovišti.


Príklad 8: Rezy rotacní kuželové plochy

Zadání:Vytvorte aplet, který bude demonstrovat rezy rotacní kuželové plochy rovinou.

Obrázek 4: Náhled na aplet

Rezem rotacní kuželové plochy rovinou muže být elipsa, parabola, hyperbola a další singulárníkuželosecky.Oznacme rovinu rezu ρ. Dále oznacme α odchylku roviny rezu ρ od roviny libovolné povrchovékružnice kuželové plochy a β oznacíme odchylku povrchových prímek plochy od roviny povr-chové kružnice. Dále oznacme V vrcholem kuželové plochy.Pokud se jedná o tzv. eliptický rez kuželové plochy, má rovina protnout všechny její površky.To nastane práve tehdy, když α < β, viz obrázek 5 a), kde je nárys dané situace. Její ohniskajsou dotykové body vepsaných sfér do kuželové plochy, které se také dotýkají roviny ρ . Je-linavíc rovina kolmá k ose této plochy (α = 0), pak je rezem kružnice jakožto speciální prípadelipsy.

R. Palácek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXVII


V prípade tzv. parabolického rezu musí nastat rovnost odchylek, tedy α = β. Situace je znázor-nena na obrázku 5 b).Poslední možností je tzv. hyperbolický rez a to, když α > β, obrázek 5 c).

Obrázek 5: Rezy rotacní kuželové plochy rovinou ρ.

Na obrázku 5 jsou dále u každého rezu ješte znázorneny rezy vrcholovými rovinami ρ′, kteréjsou rovnobežné s rovinami ρ. Výsledkem jsou potom singulární kuželosecky:

• bod - vrchol kuželové plochy,

• prímka procházející vrcholem kuželové plochy - jedna její površka,

• dve ruznobežné prímky se spolecným bodem - vrcholem kuželové plochy.

XXVIII R. Palácek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Konstrukce

Celou konstrukci mužeme rozdelit na dve cásti. Nejprve vytvoríme ovládací prvky a rovinu rezu,poté budeme konstruovat samotný kužel.

K vytvorení apletu budeme potrebovat Nákresnu a Grafický náhled 3D. Ovládací prvky budouumísteny v nákresne, kužel a rovina rezu v Grafickém náhledu 3D.

1. „Rezy rotacní kuželové plochy“.

2. Do nákresny vložíme bod A.

3. Vytvoríme ctverec a pojmenujeme ho poly. Do vstupu zapíšemeMnohouhelnik[A+(-2,-2), A+(-2,2), A+(2,2), A+(2,-2)].

4. Dovnitr ctverce vložíme bod B (velikost 9, styl +).

5.V Grafickém náhledu 3D vytvoríme bod C, který vznikne tak, že pricteme k bodu(1,1,1) vektor urcený body A a B. Do vstupu zapíšeme Posun[(1, 1, 1),Vektor[A, B]].

6.Vytvoríme mnohoúhelník v Grafickém náhledu 3D a pojmenujeme ho poly1. Dovstupu zapíšemeMnohouhelnik[C+(-5,-5), C+(-5,5), C+(5,5), C+(5,-5)].

7.

Vytvoríme posuvníky pro úhly

• α od 0◦ do 180◦ (vodorovne),

• β od 0◦ do 360◦ (svisle).

8.V Grafickém náhledu 3D vytvoríme rotací mnohoúhelníku poly1 okolo osyx o úhel α mnohoúhelník poly2. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly1, α,OsaX]. (Rovinu poly1 dáme nezobrazovat).

9.V Grafickém náhledu 3D vytvoríme rotací mnohoúhelníku poly2 okolo osyz o úhel β mnohoúhelník poly3. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly2, β,OsaZ]. (Rovinu poly2 dáme nezobrazovat).

10.

Vytvoríme posuvník pro posun roviny poly3 ve smeru osy z

• h od -5 do 5 (svisle).

11.V Grafickém náhledu 3D vytvoríme posunutím roviny poly3 o hodnotu h rovinupoly4. Do vstupu zapíšeme Posun[poly3, Vektor[(0, 0, h)]]. (Rovinupoly3 dáme nezobrazovat, popisek: $\rho$ ).

Nyní prejdeme ke konstrukci samotného kužele.

R. Palácek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXIX


12.

Vytvoríme posuvník, jehož hodnota bude definovat úhel, který bude svírat kužels kladným smerem osy z.

• uhel od 0◦ do 90◦ (vodorovne, popisek: úhel kužele).

13. Do vstupu zapíšeme NekonecnyKuzel[(0, 0, 0), OsaZ, uhel].

V tomto okamžiku nás bude zajímat prunik kužele s rovinou rezu. V našem prípade je rovina re-prezentována mnohoúhelníkem. Bohužel, GeoGebra neumožnuje udelat prunik mnohoúhelníkus takto konstruovaným kuželem prímo, ale musíme nejdríve proložit našim mnohoúhelníkempomocnou rovinu.

14. Do vstupu zapíšeme Rovina[poly4].

15. Zaklikneme Prunik dvou ploch a klikneme na kužel a rovinu z bodu 14). Výsled-kem bude Pruniková cára k techto objektu.

GeoGebra nám v tomto prípade také umožnuje vytvorit samostatné okno, které predstavujerovinný pohled na prunik daných objektu. To lze udelat napríklad tak, že v Algebraickém okneklikneme pravým tlacítkem na výsledek pruniku a z nabídky vybereme Vytvorit 2D náhled z k(viz. obr. 6)

Obrázek 6: Náhled na nabídku prunikové cáry.

XXX R. Palácek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Do nove vytvoreného okna umístíme texty, které budou slovne charakterizovat vzniklé rezy ku-žele a roviny ρ.

16.

Do nákresny umístíme pres sebe následující texty a nastavíme u každého z nichpodmínky pro zobrazení objektu:

• Kružnicepodmínky: (α = 0◦) ∨ (α = 180◦),

• Elipsapodmínky: (0◦ < α < 90◦-uhel) ∨ (90◦+uhel< α < 180◦),

• Parabolapodmínky: (α = 90◦-uhel) ∨ (α = 90◦+uhel),

• Hyperbolapodmínky: 90◦-uhel< α < 90◦+uhel.

Dále, ve vlastnostech všech textu, v záložce Pro pokrocilé, v kolonce Umístenímusí být zatrhnuto Extra Views.

Zdroj

1. http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/vera.setmanukova.dp/?page=qdvK& pqdv=1

R. Palácek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXXI


GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii

Radka Hamríková, Dagmar DlouháKatedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Abstrakt: Pro zájemce jsme pripravily 2 jednoduché úlohy jak zacít ve 3D GeoGebre.

Konstrukce tecné roviny kulové plochy ve 3D Geogebre.

Motivacní úloha: ukázat studentum princip konstrukce úlohy, kterou dále rešíme v kótovanémpromítání nebo v Mongeove projekci.

Autorky dekují za podporu svému pracovišti.


Príklad 9: Tecná rovina

Zadání: Je dána kulová plocha stredem S = (0, 3.5, 5) a polomerem r = 3cm. V bode T =(2, 2, ?) sestrojte tecnou rovinu.

Po spuštení programu si vybereme z nabídky 3D grafika.

Konstrukce

1. stred kulové plochy, zadáme v souradnicích do príkazového rádku S =(0, 3.5, 5)

2. zvolíme tlacítko ,koule stredem a polomerem‘, klikneme na bod S a zadámepolomer 3

3. zadáme pudorys bodu T , napr. Q = (2, 2, 0) (ideálne napsat do príkazovéhorádku)

4. bodem Q vedeme prímku b kolmo k pudorysne

5. najdeme prusecíky prímky b a kulové plochy - prejmenujeme je na T a T ′

6. spojíme stred S s bodem T a pak S s bodem T ′

7. tecná rovina v bode T je kolmá k ST , tecná rovina v bode T ′ je kolmá k ST ′

R. Hamríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXXIII


Ukázka otácení roviny do prumetny ve 3D Geogebre.

Motivacní úloha: ukážeme studentum princip otácení, dále ho mužeme využít v kótovaném pro-mítání nebo v Mongeove projekci.

Pridáme si nová tlacítka do nabídky okna 3D grafika:nástroje - nastavit panel nástroju - grafický náhled 3Dkolmice - vložit - použítposuvník - vložit - použít

XXXIV R. Hamríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava


Príklad 10: Otocení bodu do prumetny

Zadání: Je dána rovina α body A = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2). Otocte bod C do pru-metny.

Po spuštení programu si vybereme z nabídky 3D grafika. Dále si pridáme nákresnu - zobrazit -nákresna.

Konstrukce

1. rovina je dána tremi body, zadáme v souradnicích do príkazového rádkuA = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2)

2. zvolíme tlacítko ,rovina tremi body‘ a klikneme postupne na body A,B,C

3. najdeme stopu roviny jako prusecnici zadané roviny a pudorysny, prímkuprejmenujeme na p

4. vedeme spádovou prímku s bodem C kolmo ke stope p

5. najdeme stopník spádové prímky jako prusecík stopy a spádové prímky -stred otácení

R. Hamríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava XXXV


6. nakreslíme kružnici, která prochází bodem C a její osa je stopa roviny p

7. prusecíky kružnice z bodu 6 a prumetny D,E odpovídají otocenému boduC

8. spojíme body D,E a dostaneme prímku d

9. zmeríme úhel mezi prímkami s a d α = 39, 81◦ a dopocítáme si úhel β =180◦ − 39, 81◦ = 140, 19◦

10. posuvník β v rozmezí 0◦ − 140, 19◦

11. rotuje bod C o úhel −β, u bodu zatrhneme ,stopa zapnuta‘

Vyzkoušejte si: Sestrojte v rovine α ctverec nad úhlopríckou BC. Najdete jeho pudorys.

XXXVI R. Hamríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava

Obsah

První pohled na 3D v GeoGebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IVPríklad 1: Schodište . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

3D GeoGebra ve výuce Matematiky II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXPríklad 2: Rotacní teleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XPríklad 3: Tecná rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

Numerická integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIPríklad 4: Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem . . . . . . . . . . . . . XVIIPríklad 5: Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlem . . . . . . . XVIII

Cyklus for a iterace v GeoGebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIPríklad 6: Seznámení s príkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIIPríklad 7: Regula-falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII

Rezy rotacní kuželové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXVIPríklad 8: Rezy rotacní kuželové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XXVII

GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XXXIIPríklad 9: Tecná rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XXXIIIPríklad 10: Otocení bodu do prumetny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XXXIV

XXXVII

Documents

Vyuziti GeoGebry ve vyuce matematiky a geometriekonference3mi.vsb.cz/images/dokumenty/workshop/workshop... · 2016-11-15 · Geometrie, algebra a tabulkový procesor vzájemne dynamicky