W1 Linear Programming-2012

PendahuluanPemodelan Pemrograman Linier dan Contoh

Some References

Pendahuluan untuk Pemrograman Linier(Formulasi dan klasifikasi kelas masalah)

Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran

Minggu ke-1: 3 September 2012

Materi Kuliah Pemrograman Linear

Semester Ganjil 2012-2013

Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier


Some References

TerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier

Pemrograman Linier

DefinitionPemrograman Linier merupakan suatu teknik penyelesaian masalahoptimisasi (meminimumkan atau memaksimumkan) suatu fungsilinier yang juga memenuhi suatu himpunan persamaan linier danatau kendala pertidaksamaan atau batasan.



Some References


Sejarah perkembangan ilmu Pemrograman Linier

1 Goerge B. Dantzig sekitar tahun 1947 ketika ia bekerjasebagai penasehat matematika pada United States Air ForceComptroller untuk mengembangkan suatu alat perencanaanmekanis untuk program persediaan logisstik, pelatihan dandeployment time-staged.

2 Meskipun matematikawan dan ekonom Soviet, L.VKontorovich merumuskan dan menyelesaikan suatu masalahsejenis dalam hal organisasi dan perencanaan pada tahun1939, pekerjaan ini tidak diketahui sampai tahun 1959.

3 Dengan demikian konsepsi dari general class of linearprogramming problems dinyatakan sebagai kontribusi dariDantzig.



Some References


Terminologi Pemrograman Linier dan Metode Simplex

1 Sejarah istilah Programs. Karena Air Force USA menyebutberbagai rencana dan jadwal dengan istilah Programs, makaartikel pertama dari Dantzig yang dipublikasikan untukmasalah perencanaan dan penjadwalan ini berjudulProgramming in a Linear Structure.

2 Terminologi Linear Programming sebenarnya dinyatakanpertama kali oleh seorang ekonom dan matematikawn T.CKoopmans pada tahun 1948.



Some References


Metode Simplex

1 Tahun 1949 George B Dantzig mempublikasikan MetodeSimplex untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier.

2 Setelah dipublikasikannya Metode Simplex berbagaiterdapat kontribusi untuk bidang Pemrograman Linier dalamberbagai cara, termasuk pengembangan secara teoritis, aspekkomputasi, dan eksplorasi dari berbagai aplikasi baru.

3 Metode Simplex untuk Pemrograman Linear dapat diterimakarena

1 Kemampuannya untuk memodelkan masalah-masalahpengambilan keputusan manajemen yang kompleks danpenting.

2 Kapabilitasnya untuk menghasilkan solusi dalam waktu yangcukup beralasan.



Some References


Bentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier

Masalah PL secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk skalar yangdinyatakan dengan menggunakan tanda penjumlahan sebagai berikut.

min

nj=1

cjxj

s.t

nj=1

aijxj bi, i = 1, 2, . . . ,m, (1)

xj 0, j = 1, . . . , n,dimana

Fungsi objektif yang akan diminimumkan z =n

j=1 cjxj .

Koefisien cj ,j = 1, . . . , n dikenal sebagai koefisien biaya.Variabel keputusan (variables, variabel struktur, atau level aktivitas)yang akan ditentukan adalah xj untuk j = 1, . . . , n



Some References



Pertidaksamaan

nj=1

aijxj bi, i = 1, 2, . . . ,m

merupakan fungsi kendala ke-i (atau batasan, fungsional, strukturalatau kendala teknologi). Koefisien aij , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , ndisebut koefisien teknologi yang membentuk matriks kendala A

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

. (2)



Some References



Vektor kolom dengan komponen ke-i, bi, disebut vektor ruas kananyang merepresentasikan batas yang diperlukan untuk dicapai.

Kendala xj 0, j = 1, . . . , n disebut dengan kendala nonnegatif.Himpunan variabel x1, . . . , xn yang memenuhi semua kendaladisebut titik atau vektor fisibel. Himpunan seluruh titik fisibelmembentuk daerah fisibel atau ruang fisible.

Dengan menggunakan terminologi-terminologi ini, maka PemgrogamanLinier dapat dinyatakan dengan statement berikut: dari seluruh vektoryang fisibel, tentukan satu variabel yang dapat meminimumkanatau memaksimumkan fungsi objektif.



Some References


Asumsi-asumsi Masalah Pemrograman Linier

Untuk merepresentasikan masalah optimisasi sebagai suatu pemrogramanlinier, beberapa asumsi yang harus dinyatakan secara eksplisit adalah

1 Proporsionalitas. Variabel xj memberikan kontribusi yangproporsional terhadap fungsi biaya dan fungsi kendala sebesar cjxjdan aijxj .

2 Aditivas. Asumsi ini menjamin bahwa biaya total adalah jumlahdari penjumlahan unit biaya dan total kontribusinya terhadapkendala ke-i adalah jumlah unit kontribusi dari setiap aktivitas.

3 Divisibilitas. Variabel keputusan dapat dinyatakan dalam fraksionalsehingga nilai yang noninteger diijinkan.

4 Deterministik. Koefisien cj , aij , bj diketahui secara deterministik.



Some References



Dalam bentuk matriks:

min cTx

s.t Ax b (3)x 0

dimana

x =

x1x2...xn

, b =b1b2...bm

, c =c1c2...cn

, A =a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

...am1 am2 . . . amn

(4)

dan tanda superscript T digunakan untuk mengindikasikantranspose dari vektor kolom c.



Some References


Karakteristik dari Masalah Pemrograman Linier

Dalam bentuk standar PL, maka dapat dikarakterisasi bahwa masalah PLmemenuhi kondisi:

1 Fungsi objektif merupakan fungsi minimisasi.

2 Semua fungsi kendala merupakan fungsi kesamaan dengan tanda(=).

3 Semua variabel keputusan bernilai nonnegatif.



Some References


Transformasi Fungsi Objektif sebarang Masalah PL menjadi bentuk Standar PL

Memaksimumkan fungsi f ekivalen dengan meminimumkan negatifdari fungsi f .

max f = min(f). (5)Seperti terlihat pada gambar berikut.

Maka fungsi objektif dapat dinyatakan dalam bentuk meminimumkan

untuk sebarang masalah PL.



Some References


Transformasi Variabel sebarang Masalah PL menjadi bentuk Standar PL

Dalam sebagian besar masalah optimisasi engineering, variabelkeputusan mewakili suatu dimensi fisis, dengan demikian variabel xjharuslah nonnegatif. Namun, suatu variabel mungkin saja tidakdibatasi dengan tanda. Dalam kasus ini, suatu variabel tanpa tanda(mungkin positif, negatif atau nol) dapat ditulis sebagai selisih daridua variabel nonnegatif. Dengan demikian, jika xj tidak dibatasioleh tanda maka

xj = xj xj (6)

dimana xj , xj 0. Hal ini menunjukkan bahwa xj dapat bernilaipositif, negatif atau nol bergantung pada xj apakah lebih besar,lebih kecil atau sama dengan xj .



Some References


Transformasi Fungsi Kendala sebarang Masalah PL menjadi bentuk Standar PL

Jika fungsi kendala muncul dalam bentuk ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn bk (7)

maka bentuk ini dapat diubah kedalam bentuk kesamaan =dengan menambahkan variabel slack yang bernilai nonnegatif yk.

ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn + yk = bk. (8)

Demikian pula dengan fungsi kendala dengan tanda ,ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn bk (9)

dapat diubah kedalam bentuk kesamaan = dengan mengurangkanvariabel surplus sk.

ak1x1 + ak2x2 + . . .+ aknxn sk = bk. (10)



Some References


Asumsi dimensi dari Masalah PL

Dalam PL dapat dilihat bahwa terdapat m persamaan dan n buahvariabel keputusan. Maka untuk masalah PL diasumsikan bahwam < n. Hal ini disebabkan oleh fakta berikut.

Jika m n, maka akan terdapat m n kelebihan persamaan yangharus dieliminasi.

Jika m n maka dalam kasus ini, tidak ada hal yang menarikkarena hanya ada satu solusi tunggal yang memenuhi masalah PL(1) (dalam kasus ini mungkin tidak ada masalah yang harusdioptimisasi) atau tidak ada solusi, bila fungsi kendala tidakkonsisten.

Jika m < n, ini berhubungan dengan sebuah sistem persamaanlinier (SPL) yang belum ditentukan, dimana jika SPL ini memilikisatu solusi, maka SPL inipun memiliki sejumlah takhinggabanyaknya solusi. Dan masalah PL adalah menentukan satu solusidari solusi-solusi ini yang memenuhi (1) dan meminimumkan f .



Some References


Bentuk Standar dan Kanonik dari Masalah PL

Bentuk Standar PL:

min cTx

s.t Ax = b (11)

x 0.

Bentuk Kanonik

min cTx

s.t Ax b (12)x 0.



Some References

Pemodelan Pemrograman Linier dan Contoh

Pemodelan dan analisis dari suatu masalah Riset Operasi secara umumdan juga pada masalah Pemrograman Linier secara khusus melibatkanbeberapa tahapan yang harus dilalui, antara lain:

Formulasi masalah melibatkan

1 study lanjut mengenai sistem2 pengumpulan data3 dan identifikasi masalah yang perlu dianalisis bersamaan

dengan kendala sistem, restriksi atau limitasi dan fungsiobjektif.

Konstruksi dari abstraksi atau idealisasi dari masalah melaluipemodelan matematika.



Some References

Pemodelan Pemrograman Linier dan Contoh

Pencarian solusi.

Pengujian model, analisis dan restrukturisasi.

Implementasi, yaitu model dibuat untuk secara iteratif membantupenentuan proses pengambilan keputusan.



Some References

Contoh Pemodelan Pemrograman Linier

Perhatikan masalah berikut ini.

max f = 2x1 x2 + 5x3s.t x1 2x2 + x3 8

3x1 2x2 182x1 + x2 2x3 4x3 0.

Nyatakan masalah ini dalam bentuk standar pemrograman linier.



Some References


Perhatikan, karena x1 dan x2 tidak ditentukan tandanya, maka tulis

x1 = x+1 x21

x2 = x+2 x22

dimana x+1 , x21, x

+2 , x

22 0, Sehingga masalah menjadi

max f = 2(x+1 x21) (x+2 x22) + 5x3s.t (x+1 x21) 2(x+2 x22) + x3 8

3(x+1 x21) 2(x+2 x22) 182(x+1 x21) + (x+2 x22) 2x3 4x+1 , x

21, x

+2 , x

22, x3 0.



Some References


Untuk menyatakannya dalam bentuk standar, maka fungsi objektif akandinyatakan dalam minimisasi, fungsi kendala dengan tanda akanditambahi dengan slack variabel yi dan fungsi kendala dengan tanda akan dikurangi dengan surplus variabel si, sehingga masalah dapat ditulismenjadi masalah berikut.

min f = 2(x+1 x21) + (x+2 x22) 5x3s.t (x+1 x21) 2(x+2 x22) + x3 + y1 = 8

3(x+1 x21) 2(x+2 x22) s1 = 182(x+1 x21) + (x+2 x22) 2x3 + y2 = 4x+1 , x

21, x

+2 , x

22, x3 0

y1, s1, y2 0.



Some References

Masalah Produksi Kilang Minyak

Sebuah kilang minyak memiliki dua sumber minyak mentah yaitu minyakmentah ringan dengan harga 35 dollar per barel dan minyak mentahberat dengan harga 30 dollar per barel. Kilang minyak ini memproduksigasoline, heating oil (minyak pemanas) dan bahan bakar jet dari minyakmentah dalam jumlah per barel yang disajikan dalam tabel berikut.

Gasoline Heating Oil Jet Fuel

Light crude 0.3 0.2 0.3

Heavy crude 0.3 0.4 0.2

Kilang minyak ini menandatangani kontrak untuk menyediakan 900,000

barel gasoline, 800,000 barel heating oil dan 500,000 jet fuel. Kilang

minyak ini akan menentukan berapa jumlah light dan heavy crude yang

harus dibeli sedemikian sehingga akan meminimumkan biaya.

Formulasikan masalah ini sebagai masalah pemrograman linier.



Some References

Langkah Pemodelan Masalah Pemrograman Linier

Tentukan variabel keputusan:

1 x1 = jumlah light crude.2 x2 = jumlah heavy crude.

Tentukan fungsi tujuan. Dalam masalah ini tujuan kita adalahuntuk meminimumkan biaya pembelian light crude dan heavy crude,sehingga dapat diformulasikan sebagai berikut.

f(x1, x2) = 35x1 + 30x2. (13)



Some References

Langkah Pemodelan Masalah Pemrograman Linier

Fungsi kendala untuk masalah ini adalah fungsi-fungsi yangdibentuk dari batasan yang diberikan dari kondisi yang ada padakomposisi produk yang akan dibuat yaitu:

1 Untuk produksi gasoline:

0.3x1 + 0.3x2 900.000 (14)2 Untuk produksi heating oil:

0.2x1 + 0.4x2 800.000 (15)3 Untuk produksi jet fuel:

0.3x1 + 0.2x2 500.000. (16)



Some References

Contoh Pemodelan Masalah Pemrograman Linier

Sehingga model PL untuk masalah diatas dapat ditulis secara lengkapsebagai berikut:

min f(x1, x2) = 35x1 + 30x2

s.t 0.3x1 + 0.3x2 900.0000.2x1 + 0.4x2 800.0000.3x1 + 0.2x2 500.000x1, x2 0.



Some References

Contoh Pemodelan Masalah Pemrograman Linier dalam bentuk Standar

min f(x1, x2) = 35x1 + 30x2

s.t 0.3x1 + 0.3x2 + y1 = 900.000

0.2x1 + 0.4x2 + y2 = 800.000

0.3x1 + 0.2x2 + y3 = 500.000

x1, x2 0.



Some References

Contoh Pemodelan Masalah Pemrograman Linier dalam Bentuk Standar Matriks

min

3530000

T

x1x2y1y2y3

s.t

0.3 0.3 1 0 0

0.2 0.4 0 1 0

0.3 0.3 0 0 1

x1x2y1y2y3

=900.000

800.000

500.000

x1x2y1y2y3

00000

.Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier


Some References

Representasi grafis

(penyelesaian dengan bantuan software Mapple)



Some References

Pemodelan LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan

Suatu universitas memutuskan untuk tetap membuka perpustakaansepanjang hari dengan jadwal berikut

Waktu Jumlah pekerja minimum yang diperlukan

0-4 4

4-8 8

8-12 10

12-16 9

16-20 14

20-24 3

Jika setiap pekerja bekerja 8 jam perhari, formulasikan masalah ini untuk

menemukan jumlah minimum pekerja yang diperlukan untuk memenuhi

masalah diatas.



Some References

Pendekatan Enumerasi untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan



Some References


Untuk memodelkan masalah jumlah karyawan perpustakaan ini, misalkanbahwa

1 Himpunan seluruh karyawan dinyatakan dengan J , dalam hal initerdapat 48 delapan orang karyawan yang siap dipilih untukdiperkerjakan pada setiap shift jam buka perpustakaan.

2 Himpunan jam buka perpustakaan dinyatakan dengan I, dalam halini terdapat 6 shift jam buka perpustakaan.

Dengan demikian dapat didefinisikan

xij =

1 jika karyawan j bekerja pada shift ke-i0 lainnya. (17)



Some References


Selanjutnya perhatikan tabel berikut:

Jam kerja perpustakaan k1 k2 . . . k48 Jumlah Karyawan Minimum

0-4 x1,1 x1,2 . . . x1,48 4

4-8 x2,1 x2,2 . . . x2,48 8

8-12 x3,1 x3,2 . . . x3,48 10

12-16 x4,1 x4,2 . . . x4,48 9

16-20 x5,1 x5,2 . . . x5,48 14

20-24 x6,1 x6,2 . . . x6,48 3

Jumlah Jam Kerja Maksimum 8 8 . . . 8



Some References


1 Variabel keputusan yang harus ditentukan adalah karyawan manayang harus bekerja suatu shift, dinotasikan dengan xij .

2 Fungsi objektif yang harus ditentukan adalah berapa jumlahkaryawan minimum yang harus dipekerjakan dalam satu hari, dapatdiformulasikan sebagai

f(x11, . . . , xij , . . . , xmn) =

6i=1

48j=1

xij . (18)

3 Fungsi kendala:

Jumlah jam kerja untuk seorang karyawan maksimum 8 jamperhari (lihat tabel)

6i=1

xi,j 8,j = 1, . . . , 48. (19)



Some References


Jumlah pekerja pada setiap shift (lihat tabel)

Shift 1:48j=1

x1j 4, Shift 2:48j=1

x2j 8 (20)

Shift 3:48j=1

x3j 10, Shift 4:48j=1

x4j 9 (21)

Shift 5:48j=1

x5j 14, Shift 6:48j=1

x6j 3 (22)



Some References

Model LP untuk Masalah Jumlah Karyawan Perpustakaan

min

6i=1

48j=1

xij , (23)

s.t

6i=1

xi,j 8,j = 1, . . . , 48, (24)

48j=1

x1j 4,48j=1

x2j 8, (25)

48j=1

x3j 10,48j=1

x4j 9, (26)

48j=1

x5j 14,48j=1

x6j 3, (27)

xij {0, 1},i = 1, . . . , 6 j = 1, . . . , 48. (28)Dosen: Dr. Diah Chaerani, M.Si Pendahuluan untuk Pemrograman Linier


Some References

Some references

1 Luenberger, David G. Linear and Nonlinear Programming. 2nded. Reading, MA: Addison Wesley, 1984. ISBN: 0201157942.

2 Bazaraa, Mokhtar S., Hanif D. Sherali, and C. M. Shetty.Linear Programming and Networks Flows: Theory andAlgorithms. New York: John Wiley and Sons, 1990. ISBN:0471636819.

3 Rao, S.S. Optimization: Theory and Applications. WileyEastern Limited.1989 ISBN: 085226 756 8.


PendahuluanTerminologiBentuk Umum dari Masalah Pemrograman Linier

Pemodelan Pemrograman Linier dan ContohSome References

Documents

W1 Linear Programming-2012